Função Quadrática

Prévia do material em texto

Matemática Básica Aula 9 Adriana Pimenta 
Cristiane Argento 
Ion Moutinho 
1 
 
 
Aula 9 
Função quadrática 
 
 
 
 
Metas 
Esta aula é sobre a função cuja expressão de definição é um polinômio do 2º grau. 
 
Objetivos 
Ao final desta aula você deve: 
 saber esboçar o gráfico de uma função quadrática, que é sempre uma parábola, 
incluindo pontos notáveis como interseção com o eixo x, com o eixo y e o vértice da 
parábola; 
 resolver inequações envolvendo expressões polinomiais do 2º grau. 
 
 
 
Matemática Básica Aula 9 Adriana Pimenta 
Cristiane Argento 
Ion Moutinho 
2 
 
Função quadrática 
 Uma função quadrática é uma função do tipo f :  , com f(x) = ax2 + bx + 
c, onde a, b, c  são constantes pré fixadas e a  0. A representação gráfica no plano 
cartesiano 2 de uma função quadrática coincide com a representação de uma parábola 
no plano. Isto é, o conjunto {(x, y)  2 | y = ax2 + bx + c}, onde a  0, marcado no 
plano 2 forma uma parábola. 
 Vejamos alguns exemplos de gráficos obtidos no GeoGebra. 
 
 
 
 
Matemática Básica Aula 9 Adriana Pimenta 
Cristiane Argento 
Ion Moutinho 
3 
 
 Com os exemplos ilustrados, podemos perceber que sempre obtemos uma figura 
com o aspecto de uma parábola, mas com algumas variações no plano cartesiano. 
Podemos obter, como gráfico de uma função quadrática, uma parábola com 
concavidade para cima ou para baixo, podemos obter a parábola interceptando o eixo x 
em dois pontos, um ponto ou nenhum ponto, mas sempre temos a parábola 
interceptando o eixo y. 
 Estes resultados gráficos podem ser antecipados apenas conhecendo os valores 
dos coeficientes a, b e c. Por exemplo, sempre que a > 0, a parábola terá concavidade 
para cima. Quando a < 0, a parábola terá concavidade para baixo. O coeficiente c marca 
o ponto do eixo y cortado pela parábola. Os pontos do eixo x cortados pela parábola 
podem ser determinados pela fórmula de Baskara. De fato, os pontos do eixo x são 
caracterizados por serem da forma (x, 0), ou seja, por serem da forma y = 0. Isto 
significa fazer ax
2
 + bx + c = y = 0. A solução desta equação é dada pela fórmula de 
Baskara. Lembre que nem sempre uma equação deste tipo tem solução. O número de 
soluções, 0, 1 ou 2, depende de uma condição sobre o  = b2  4ac, a saber,  < 0,  = 0 
ou  > 0, respectivamente. Assim, a informação geométrica sobre o gráfico ser uma 
parábola que corta o eixo x em 2 pontos, 1 ponto ou nenhum ponto depende do sinal do 
 da fórmula de Baskara. Você pode ver este fato, leitor, como uma explicação gráfica 
para os resultados obtidos na resolução de uma equação do 2º grau em função do sinal 
de . 
 
Atividade 1 
a) Verifique, em cada um dos quatro exemplos acima, que os coeficientes numéricos 
conferem com as informações que você acabou de receber sobre o gráfico de uma 
função quadrática. 
b) Verifique que, quando a > 0, a função dada por y = ax
2
 + bx + c possui um valor 
mínimo. Em particular, a imagem da função é um conjunto da forma [m. +). 
c) Faça uma verificação análoga para o caso em que a < 0. 
 
Inequações com expressões polinomiais do 2º grau 
 
 O conhecimento do gráfico de uma função quadrática permite determinar 
facilmente o sinal do valor de f(x) somente pela posição de x com relação às raízes, se 
estas existirem. 
Matemática Básica Aula 9 Adriana Pimenta 
Cristiane Argento 
Ion Moutinho 
4 
 
 
Exemplo: Considere a função quadrática dada por y = x
2
  2x e o seu gráfico esboçado a 
seguir. 
 
 Só pela figura não podemos determinar os valores de f(x), exceto para os pontos 
especiais, x = 0 e x = 2, quando verificamos facilmente que o valor é zero. Contudo, 
podemos obter facilmente que f(x) < 0, para pontos x entre 0 e 2, e f(x) > 0, para pontos 
x menores do que 0 ou maiores do que 2. Uma boa forma de representar tal estudo de 
sinais é utilizar algum tipo de tabela de sinais como a dada a seguir. 
 
 O estudo de sinais de uma função quadrática pode ser útil na resolução de 
algumas inequações. Por exemplo, a inequação x
2
  2x > 0 tem como solução, de acordo 
com a tabela de estudo de sinais, o conjunto S = (, 0)  (2, +). 
 
 
Atividade 2 
a) Faça uma representação gráfica da função quadrática dada (você pode marcar alguns 
pontos especiais, como as interseções com os eixos coordenados, além de outros pontos 
que ache necessário para obter um melhor esboço, ou pode usar algum programa, como 
o GeoGebra). Compare o aspecto do gráfico com os respectivos valores dos 
coeficientes. 
1) y = x
2
 + x  12 2) y = 4x2  4x + 1 3) y = – x2 + x + 1 
4) y = 
2
1
x
2
 + 1 5) y = x2 + 3 
b) Faça um estudo de sinais de cada expressão do item anterior. 
c) Resolva as inequações. 
 
+ +  x
2
  2x 
0 2 
Matemática Básica Aula 9 Adriana Pimenta 
Cristiane Argento 
Ion Moutinho 
5 
 
 1) x
2
 + 2x + 5  0 2) x2  2x  4 > 0 3) x3  5x2 + 4x > 0 
d) Resolva os sistemas de inequações. 
 a) 





02
012
x
x
 b) 






0682
04
2
2
xx
xx 
e) Resolva as inequações. 
a) (2x  1)(x2 1) > 0 b) (x + 3)x(x2 + 6x  8)  0 c) 
0
54
)13)(5(
2



xx
xx
 
 
Vértice da parábola 
 
 Um ponto notável da parábola é o seu vértice, o ponto de coordenadas indicadas 
por V = (xv, yv). Se a parábola é dada pela equação y = ax
2
 + bx + c, temos as relações: 
xv = 
a
b
2

 e yv = 
a4


. 
 
 
 
 
Atividade 3 
a) Dada uma função quadrática de equação y = ax
2
 + bx + c, calcule a média aritmética 
de suas raízes, dadas pela fórmula de Baskara. Relacione o resultado com o assunto 
desta seção. 
Matemática Básica Aula 9 Adriana Pimenta 
Cristiane Argento 
Ion Moutinho 
6 
 
b) Sem fazer qualquer conta, de o valor f(
a
b
2

), quando f(x) = ax
2
 + bx + c. Se você 
não souber a resposta, substitua na expressão da função para obter o resultado. 
c) Encontre o valor mínimo assumido pela função f(x) = x
2
  8x + 15. 
d) Um galpão retangular deve ser construído num terreno com a forma de um triângulo 
retângulo, de catetos medindo 10m e 20m. Determinar as dimensões do galpão (as 
medidas dos lados) de modo que ele seja construído com a maior área possível. (reveja a 
atividade 3-d, da aula 8. 
e) Resolva a equação 
1
2
3
1
2



 xx
. 
f) O vértice da parábola y = ax
2
 + bx + c é o ponto (2, 9). Sabendo que 3 é a ordenada do 
ponto onde a curva corta o eixo vertical, determine a, b e c. 
g) A equação h = 5t2 +30t representa a relação entre a altura, h, em metros, de um 
corpo lançado e o tempo, t, em segundos, decorrido após o lançamento do corpo. 
1) Determine quanto tempo o corpo gasta para atingir o solo após o lançamento. 
2) Levando em consideração que o tempo de subida do corpo é igual ao tempo de 
descida, determine a altura máxima atingida no lançamento. 
3) Se f : I  R é a função matemática que representa o fenômeno discutido neste 
exercício, determine I = Dom(f) e Im(f). 
 
 
Solução das atividades 
 
Atividade 1  Solução: 
a) Exemplo 1: y = x
2
  5x + 6 
Neste caso, temos a = 1, b = 5 e c = 6. Assim, temos a > 0 e de fato a concavidade da 
parábola no desenho é para cima, c = 6 e de fato a parábola corta o eixo y em 6,  = 1 > 
0 e de fato a parábola corta o eixo x em dois pontos, a saber, x = 2 e x = 3, soluções da 
equação x
2
  5x + 6 = 0. 
Matemática Básica Aula 9 Adriana Pimenta 
Cristiane Argento 
Ion Moutinho 
7 
 
 
Exemplos 2, 3 e 4: A verificação é análoga aomodelo do exemplo 1. 
b) Esta é uma atividade de constatação pelo gráfico, é só conferir. 
c) Idem. 
 
Atividade 2  Solução: 
a) 1) 
Matemática Básica Aula 9 Adriana Pimenta 
Cristiane Argento 
Ion Moutinho 
8 
 
2) 
3) 
4) 
5) 
Matemática Básica Aula 9 Adriana Pimenta 
Cristiane Argento 
Ion Moutinho 
9 
 
b) Estudo de sinais 
1) x
2
 + x  12: ++++ 4    3 ++++ 
2) 4x
2
  4x + 1: ++++ ½ ++++ 
3) – x2 + x + 1:     
2
51 + + + 
2
51     
4) 
2
1
x
2
 + 1: ++++++++++ 
5) x2 + 3:     
3
 +++ 
3
     
c) 
1) x
2
 + 2x + 5  0 
Temos  < 0 e a > 0 (veja o esboço do gráfico). Logo, S = . 
 
2) x2  2x  4 > 0 
Temos  < 0 e a < 0 (veja o esboço do gráfico). Logo, S = . 
 
3) x
3
  5x2 + 4x > 0 
Temos x
3
  5x2 + 4x = x(x2  5x + 4). 
Estudo de sinais de P1 = x :    0 + + + 
Estudo de sinais de P2 = x
2
  5x + 4 : ++++ 1    4 ++++ 
Estudo de sinais de P1P2 :    0 +++ 1    4 +++ 
Solução: S = (0, 1)  (4, +). 
d) 
a) 





02
012
x
x 
Solução da 1ª inequação: S1 = (1, 1) 
Solução da 2ª inequação: S2 = (, 2) 
Solução: S = S1  S2 = . 
Matemática Básica Aula 9 Adriana Pimenta 
Cristiane Argento 
Ion Moutinho 
10 
 
b) 






0682
04
2
2
xx
xx 
Solução da 1ª inequação: S1 = (0, 4) 
Solução da 2ª inequação: S2 = (1, 3) 
Solução: S = S1  S2 = (1,3) 
e) 
a) (2x  1)(x2 1) > 0  S = (1, ½)  (1, +) 
b) (x + 3)x(x2 + 6x  8)  0  S = (0, 2)  (3, 4) 
c) 
0
54
)13)(5(
2



xx
xx
  S = (, 1)  (1/3, 5)  (5, +) 
 
Atividade 3  Solução: 
a) Se x1 = 
a
acbb
2
42  e x2 = 
a
acbb
2
42  são as raízes, então: 
 
a
ba
b
xx
22
2
2
2
21 


 (valor que coincide com xv) 
b) Temos f(
a
b
2

) = f(xv) = yv = 
a4


. Se você quiser se certificar deste resultado com 
contas, efetue a substituição f(
a
b
2

) = a(
a
b
2

)
2
 + b(
a
b
2

) + c. 
c) O valor mínimo assumido pela função f(x) = x
2
  8x + 15 é yv = 1. 
d) Vimos que a área do galpão é A(x) = 
2
2x
 + 10x. O valor máximo da área é dado por 
yv = 50. 
e) 
1
2
3
1
2



 xx
  2x  4 + 3x + 3 = x2  x  2 (e x  1, 2)  x2  6x  1 = 0 
 x = 
103
 ou x = 
103
. (Se você achou a resposta estranha, substitua o valor 
103
 
na expressão 
2
3
1
2


 xx
 e verifique que o resultado é 1. Faça o mesmo com 
o valor 
103
.) 
f) Com as informações dadas, já sabemos que c = 3. Temos as relações 
a
b
2

 = 2, donde 
b = 4a, e 
a
ab
4
122 

 = 9, donde 
b
bb 32  = 9, donde b = 6. Logo, a = 3/2. 
g) 
Matemática Básica Aula 9 Adriana Pimenta 
Cristiane Argento 
Ion Moutinho 
11 
 
1) Devemos resolver a equação 5t2 +30t = 0, ou seja, t = 0 (quando o corpo foi 
lançado) ou t = 6. Logo, o corpo volta ao chão após 6 segundos. 
2) O corpo atinge a altura máxima na metade do tempo, isto é, quando t = 3 (valor que 
coincide com tv – confira). A altura é dada por h = f(3) = 45 (valor que coincide com hv 
– confira). 
3) Dom(f) = [0, 6] e Im(f) = [0, 45].