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Lógica Computacional Diego Silveira Costa Nascimento Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Norte diego.nascimento@ifrn.edu.br 25 de julho de 2016 Ementa do Curso 1 Introdução 2 Lógica Proposicional 3 Construção de Tabelas-verdade 4 Implicação e Equivalência Lógica 5 Método Dedutivo 6 Inferência Lógica 7 Lógica de Predicados Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 2 / 101 Ementa do Curso 1 Introdução 2 Lógica Proposicional 3 Construção de Tabelas-verdade 4 Implicação e Equivalência Lógica 5 Método Dedutivo 6 Inferência Lógica 7 Lógica de Predicados Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 3 / 101 Motivações O estudo desta disciplina faz o aluno adquirir ou aperfeiçoar seu raciocínio lógico no intuito de desenvolverem programas e sistemas em uma determinada linguagem de programação. A Lógica é apresentada como uma técnica eficiente para: a organização de conhecimentos em qualquer área; raciocinar corretamente sem esforço consciente; interpretar e analisar informações rapidamente; aumentar a competência linguística (oral e escrita); adquirir destreza com o raciocínio quantitativo; e detectar padrões em estruturas (premissas, pressuposições, cenários, etc.) Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 4 / 101 Lógica Definição É a ciência das leis ideais do pensamento e a arte de aplicá-las à pesquisa e à demonstração da verdade. Deriva do Grego (logos); e Significa: palavra; pensamento; ideia; argumento; relato; razão lógica; ou princípio lógico. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 5 / 101 Origem da Lógica A Lógica teve início na Grécia em 342 a.C.; Aristóteles sistematizou os conhecimentos existentes em Lógica, elevando-a à categoria de ciência; Obra chamada Organon (Ferramenta para o correto pensar); Aristóteles preocupava-se com as formas de raciocínio que, a partir de conhecimentos considerados verdadeiros, permitiam obter novos conhecimentos; e A partir dos conhecimentos tidos como verdadeiros, caberia à Lógica a formulação de leis gerais de encadeamentos lógicos que levariam à descoberta de novas verdades. Aristóteles Organon Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 6 / 101 Argumento Lógico Em Lógica, o encadeamento de conceitos é chamado de argumento; As afirmações de um argumento são chamadas de proposições; Um argumento é um conjunto de proposições tal que se afirme que uma delas é derivada das demais; Usualmente, a proposição derivada é chamada de conclusão, e as demais, de premissas; e Em um argumento válido, as premissas são consideradas provas evidentes da verdade da conclusão. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 7 / 101 Exemplo de Argumento Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 8 / 101 Princípios Lógicos A Lógica Formal repousa sobre três princípios fundamentais que permitem todo seu desenvolvimento posterior, e que dão validade a todos os atos do pensamento e do raciocínio. São eles: Princípio da Identidade Afirma A = A e não pode ser B , o que é, é; Princípio da Não Contradição A = A e nunca pode ser não-A, o que é, é e não pode ser sua negação, ou seja, o ser é, o não ser não é; e Princípio do Terceiro Excluído Afirma que Ou A é x ou A é y , não existe uma terceira possibilidade. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 9 / 101 Ementa do Curso 1 Introdução 2 Lógica Proposicional 3 Construção de Tabelas-verdade 4 Implicação e Equivalência Lógica 5 Método Dedutivo 6 Inferência Lógica 7 Lógica de Predicados Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 10 / 101 Proposição Chama-se proposição todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo; As proposições transmitem pensamentos; e Afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados entes. Exemplos A Lua é um satélite da Terra; Sócrates é um homem; Eu estudo Lógica; ou Não está chovendo. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 11 / 101 A Linguagem da Lógica Proposicional Considere o conjunto de símbolos: A = {(, ),¬,∧,∨,→,↔, p, q, r , s, . . .} A esse conjunto é chamado de alfabeto da Lógica Proposicional; As letras são símbolos não lógico (letras sentenciais); e O restante são símbolos lógicos (parênteses e conectivos lógicos); Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 12 / 101 Letras Sentenciais As letras sentenciais são usadas para representar proposições elementares ou atômicas, isto é, proposições que não possuem partes que sejam também proposições. Exemplos p = O céu é azul; Q = Eu estudo lógica; r = 2 + 2 = 4; ou s = Sócrates é um homem. Importante As partes dessas proposições não são proposições mais simples, mas sim, componentes subsentenciais: expressões, palavras, sílabas ou letras. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 13 / 101 Conectivos Lógicos As proposições compostas são obtidas combinando proposições simples através de certos termos chamados conectivos; A Lógica dispõe de cinco tipos de conectivos e seus operadores: Não (Negação), ¬ ; E (Conjunção), ∧; Ou (Disjunção), ∨; Se – então (Condicional), →;e Se e somente se (Bicondicional), ↔. Exemplos Não está chovendo; Está chovendo e está ventando; Está chovendo ou está nublado; Se choveu, então está molhado; ou Será aprovado se e somente se estudar. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 14 / 101 Operador de Negação: ¬ A característica peculiar da negação, tal como ela se apresenta na lógica proposicional clássica, é que toda proposição submetida à operação de negação resulta na sua contraditória. Exemplo p = Está chovendo. Ler-se ¬p, como: “Não está chovendo.” Importante O fato expresso por uma proposição não pode ocorrer ao mesmo tempo e sob o mesmo modo e circunstância que o fato expresso pela negação dessa mesma proposição. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 15 / 101 Tabela Verdade: ¬ Se p é uma proposição, a expressão ¬p é chamada negação de p; e Claramente, a negação inverte o valor verdade de uma expressão. Exemplo p ¬p V F F V Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 16 / 101 Operador de Conjunção: ∧ A característica peculiar da conjunção está no fato de fórmulas conjuntivas expressarem a concomitância de fatos. A fórmula (p ∧ q) expressa que o fato expresso por p ocorre ao mesmo tempo que o fato expresso por q. Exemplo p = Está chovendo. q = Está ventando. Ler-se p ∧ q, como: “Está chovendo e está ventando.” Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 17 / 101 Tabela Verdade: ∧ Se p e q são proposições, a expressão p ∧ q é chamada conjunção de p e q; e As proposições p e q são chamadas fatores da expressão. Exemplo p q p∧q V V V V F F F V F F F F Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 18 / 101 Operador de Disjunção: ∨ A característica peculiar da disjunção consiste no fato de proposições disjuntivas expressarem que pelo menos um de dois fatos ocorre. A fórmula (p ∨ q) expressa que, dentre os fatos expressos por p e q respectivamente, pelo menos um deles ocorre. Exemplo p = Está nublado. q = Está chovendo. Ler-se p ∨ q, como: “Está nublado ou está chovendo.” Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 19 / 101 Tabela Verdade: ∨ Se p e q são proposições, a expressão p ∨ q é chamada disjunção inclusiva de p e q; e As proposições p e q são chamadas parcelas da expressão. Exemplo p q p∨q V V V V F VF V V F F F Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 20 / 101 Operador Condicional: → A característica peculiar dessa operação consiste em que um condicional (p → q) expressa que a ocorrência do fato expresso por p garante necessariamente a ocorrência do fato expresso por q. Exemplo p = Choveu. q = Está molhado. Ler-se p → q, como: “Se choveu, então está molhado.” Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 21 / 101 Tabela Verdade: → Se p e q são proposições, a expressão p → q é chamada condicional de p e q; A proposição p é chamada antecedente, e a proposição q consequente da condicional; e A operação de condicionamento indica que o acontecimento de p é uma condição para que q aconteça. Exemplo p q p→q V V V V F F F V V F F V Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 22 / 101 Operador Bicondicional: ↔ A característica peculiar dessa operação consiste em que um bicondicional (p ↔ q) assevera que os fatos expressos por p e q são interdependentes, isto é, ou os dois ocorrem juntos ou nenhum dos dois ocorrem. Exemplo p = Será aprovado. q = Estudar. Ler-se p ↔ q, como: “ Será aprovado, se e somente se estudar.” Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 23 / 101 Tabela Verdade: ↔ Se p e q são proposições, a expressão p ↔ q é chamada bicondicional de p e q; e A operação de bicondicionamento indica que p é uma condição para que q aconteça, e vice-versa. Exemplo p q p↔q V V V V F F F V F F F V Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 24 / 101 Parênteses: (e) A necessidade de usar parênteses na simbolização das proposições se deve ao fato de se evitar qualquer tipo de ambiguidade. Exemplo p = Estudar. q = Fazer a prova. r = Fazer o trabalho. s = Serei aprovado. Ler-se ((p ∧ q) ∨ r)→ s, como: “ Se ((estudar e fazer a prova) ou fazer o trabalho), então será aprovado.” Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 25 / 101 Ementa do Curso 1 Introdução 2 Lógica Proposicional 3 Construção de Tabelas-verdade 4 Implicação e Equivalência Lógica 5 Método Dedutivo 6 Inferência Lógica 7 Lógica de Predicados Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 26 / 101 Tabela-verdade de uma Proposição Composta Dadas várias proposições simples p, q, r , . . ., podemos combiná-las pelos operadores lógicos ∧,∨,→,↔ e construir proposições compostas: Exemplo P(p, q) = ¬p ∨ (p → q) Q(p, q) = (p ↔ ¬q) ∧ q R(p, q, r) = (p → ¬q ∨ r) ∧ ¬(q ∨ (p ↔ ¬r)) Então, com o emprego das tabelas-verdade das operações lógicas fundamentais já estudadas: ¬p, p ∧ q, p ∨ q, p → q e p ↔ q; É possível construir a tabela-verdade correspondente a qualquer proposição composta; e A tabela-verdade exibirá exatamente os casos em que a proposição composta será verdadeira (V ) ou falsa (F ), admitindo-se que o seu valor lógico só depende dos valores lógicos das proposições simples. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 27 / 101 Ordem de Precedência dos Operadores 1 Percorra a expressão da esquerda para a direita, executando as operações de negação, na ordem em que aparecerem; 2 Percorra novamente a expressão, da esquerda para a direita, executando as operações de conjunção e disjunção, na ordem em que aparecerem; 3 Percorra outra vez a expressão, da esquerda para a direita, executando desta vez as operações de condicionamento, na ordem em que aparecerem; e 4 Percorra uma última vez a expressão, da esquerda para a direita, executando as operações de bicondicionamento, na ordem em que aparecerem. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 28 / 101 Construindo a Tabela-verdade Dada uma expressão proposicional composta, e dados os valores lógicos das proposições simples que a compõe, podemos, com a ordem de precedência, calcular o valor lógico da expressão dada. Expressão Proposicional Composta P(p, q) = ¬(p ∧ ¬q) Forma-se, em primeiro lugar, o par de colunas correspondentes às duas proposições simples p e q. O total de linhas é igual a 2n, onde n corresponde ao número de proposições simples. Exemplo p q V V V F F V F F Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 29 / 101 Construindo a Tabela-verdade (cont.) Em seguida, forma-se a coluna para ¬q. Exemplo p q ¬q V V F V F V F V F F F V Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 30 / 101 Construindo a Tabela-verdade (cont.) Depois, forma-se a coluna para p ∧ ¬q. Exemplo p q ¬q p∧¬q V V F F V F V V F V F F F F V F Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 31 / 101 Construindo a Tabela-verdade (cont.) Por fim, forma-se a coluna relativa aos valores lógicos da proposição composta ¬(p ∧ ¬q). Exemplo p q ¬q p∧¬q ¬(p∧¬q) V V F F V V F V V F F V F F V F F V F V Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 32 / 101 Tautologia Definição Tautologia é toda proposição composta P(p, q, r , . . .) cujo valor lógico é sempre verdadeiro, quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples p, q, r , . . . As tautologias são também denominadas proposições tautológicas ou proposições logicamente verdadeiras. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 33 / 101 Tautologia: Demonstração I Proposição ¬(p ∧ ¬p) Exemplo p ¬p p∧¬p ¬( p∧¬p) V F F V F V F V Portanto, dizer que uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa é sempre verdadeiro. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 34 / 101 Tautologia: Demonstração II Proposição p ∨ ¬p Exemplo p ¬p p∨¬p V F V F V V Portanto, dizer que uma proposição ou é verdadeira ou é falsa é sempre verdadeiro. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 35 / 101 Contradição Definição Contradição é toda proposição composta P(p, q, r , . . .) cujo valor lógico é sempre falso, quais quer que sejam os valores lógicos das proposições simples p, q, r , . . . As contradições são também denominadas proposições contraválidas ou proposições logicamente falsas. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 36 / 101 Contradição: Demonstração I Proposição p ∧ ¬p Exemplo p ¬p p∧¬p V F F F V F Portanto, dizer que uma proposição pode ser simultaneamente verdadeira e falsa é sempre falso. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 37 / 101 Contradição: Demonstração II Proposição p ↔ ¬p Exemplo p ¬p p↔ ¬p V F F F V F Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 38 / 101 Contingência Definição Contingencia é toda a proposição composta que não é tautologia nem contradição. As contingências são também denominadas proposições contingentes ou proposições indeterminadas. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 39 / 101 Contingência: Demonstração I Proposição p → ¬p Exemplo p ¬p p→ ¬p V F F F V V Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 40 / 101 Contingência: Demonstração II Proposição p ∨ q → p Exemplo p q p∨q p∨q → p V V V V V F V V F V V F F F F V Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 41 / 101 Ementa do Curso 1 Introdução 2 Lógica Proposicional 3 Construção de Tabelas-verdade 4 Implicação e Equivalência Lógica 5 Método Dedutivo 6 Inferência Lógica 7 Lógica de Predicados Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 42 / 101 Implicação Lógica Definição Diz-se que uma proposição P(p, q, r , . . .) implica logicamente uma proposição Q(p, q, r , . . .), se Q(p, q, r , . ..) é verdadeiro todas as vezes em que P(p, q, r , . . .) é verdadeiro. Notação P(p, q, r , . . .)⇒ Q(p, q, r , . . .) Importante Em particular, toda proposição implica uma tautologia e somente uma contradição implica uma contradição. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 43 / 101 Propriedades da Implicação Lógica É imediato que a relação de implicação lógica entre proposições utiliza-se das propriedades reflexiva (R) e transitiva (T). Exemplo (R) P(p, q, r , . . .)⇒ P(p, q, r , . . .) (T) Se P(p, q, r , . . .)⇒ Q(p, q, r , . . .) e Q(p, q, r , . . .)⇒ R(p, q, r , . . .), então P(p, q, r , . . .)⇒ R(p, q, r , . . .) Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 44 / 101 Demonstração de Implicação Lógica I Proposições p ∧ q, p ∨ q e p ↔ q Exemplo p q p∧q p∨q p↔q V V V V V V F F V F F V F V F F F F F V A proposição p ∧ q é verdadeira somente na linha 1, e nesta linha, as proposições p ∨ q e p ↔ q também são verdadeiras. Logo, a primeira proposição implica cada uma das outras duas proposições, isto é: p ∧ q ⇒ p ∨ q e p ∧ q ⇒ p ↔ q Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 45 / 101 Demonstração de Implicação Lógica II Proposições p ↔ q, p → q e q → p Exemplo p q p↔q p→q q→p V V V V V V F F F V F V F V F F F V V V A proposição p ↔ q é verdadeira nas linhas 1 e 4 e, nestas linhas, proposições p → q e q → p também são verdadeiras. Logo, a primeira proposição implica cada uma das outras duas proposições, isto é: p ↔ q ⇒ p → q e p ↔ q ⇒ q → p Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 46 / 101 Tautologias e Implicação Lógica Teorema A proposição P(p, q, r , . . .) implica a proposição Q(p, q, r , . . .) isto é: P(p, q, r , . . .)⇒ Q(p, q, r , . . .) se e somente se a condicional: P(p, q, r , . . .)→ Q(p, q, r , . . .) é tautológica. Importante Os símbolos → e ⇒ são distintos, pois o primeiro é de operação lógica (aplicado, por ex., às proposições p e q dá a nova proposição p → q), enquanto que o segundo é de relação (estabelece que a condicional P(p, q, r , . . .)→ Q(p, q, r , . . .) é tautológica). Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 47 / 101 Demonstração de Tautologia e Implicação Lógica Condicional (p → q) ∧ p → q Exemplo p q p→q (p→q)∧ p (p→q)∧ p → q V V V V V V F F F V F V F F V F F V F V Portanto, simbolicamente: (p → q) ∧ p ⇒ q Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 48 / 101 Equivalência Lógica Definição Diz-se que uma proposição P(p, q, r , . . .) é logicamente equivalente a uma proposição Q(p, q, r , . . .), se as tabelas-verdade destas duas proposições são idênticas. Notação P(p, q, r , . . .)⇔ Q(p, q, r , . . .) Importante Em particular, se as proposições P(p, q, r , . . .) e Q(p, q, r , . . .) são ambas tautológicas ou são ambas contradições, então são equivalentes. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 49 / 101 Propriedades da Equivalência Lógica É imediato que a relação de equivalência lógica entre proposições utiliza-se das propriedades reflexiva(R), simétrica (S) e transitiva (T), isto é, simbolicamente: Exemplo (R) P(p, q, r , . . .)⇔ P(p, q, r , . . .) (S) Se P(p, q, r , . . .)⇔ Q(p, q, r , . . .), então Q(p, q, r , . . .)⇔ P(p, q, r , . . .) (T) Se P(p, q, r , . . .)⇔ Q(p, q, r , . . .) e Q(p, q, r , . . .)⇔ R(p, q, r , . . .), então P(p, q, r , . . .)⇔ R(p, q, r , . . .) Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 50 / 101 Demonstração de Equivalência Lógica I Proposições ¬p → p e p Exemplo p ¬p ¬p→p V F V F V F A proposição ¬p → p e p são equivalentes nas colunas 1 e 2, isto é: ¬p → p ⇔ p Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 51 / 101 Demonstração de Equivalência Lógica II Proposições p → p ∧ q e p → q Exemplo p q p∧q p→p∧q p→q V V V V V V F F F F F V F V V F F F V V A proposição p → p ∧ q e p → q são equivalentes nas colunas 4 e 5, isto é: p → p ∧ q ⇔ p → q Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 52 / 101 Tautologias e Equivalência Lógica Teorema A proposição P(p, q, r , . . .) é equivalente à proposição Q(p, q, r , . . .), isto é: P(p, q, r , . . .)⇔ Q(p, q, r , . . .) se e somente se a bicondicional: P(p, q, r , . . .)↔ Q(p, q, r , . . .) é tautológica. Importante Os símbolos ↔ e ⇔ são distintos, pois o primeiro é de operação lógica (aplicado, por ex., às proposições p e q dá a nova proposição p ↔ q), enquanto que o segundo é de relação (estabelece que a bicondicional P(p, q, r , . . .)⇔ Q(p, q, r , . . .) é tautológica). Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 53 / 101 Demonstração de Equivalência Lógica Proposições (p ∧ ¬q → c) e (p → q) Exemplo p q c p∧¬q p∧¬q→c p→q (p∧¬q→c) ↔ (p→q) V V F F V V V V F F V F F V F V F F V V V F F F F V V V ... ... ... ... ... ... ... Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 54 / 101 Ementa do Curso 1 Introdução 2 Lógica Proposicional 3 Construção de Tabelas-verdade 4 Implicação e Equivalência Lógica 5 Método Dedutivo 6 Inferência Lógica 7 Lógica de Predicados Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 55 / 101 Dedução Definição Dado um argumento P1,P2 e P3 → Q chama-se demonstração ou dedução de Q a partir das premissas P1,P2, . . .Pn, a sequência finita de proposições X1,X2, . . .Xm, tal que cada Xi ou é uma premissa ou decorre logicamente de proposições anteriores da sequência, e de tal modo que a última proposição Xm seja a conclusão Q do argumento dado. Desta forma, se for possível obter a conclusão Q através do procedimento de dedução, o argumento é válido, caso contrário, não é válido. O método dedutivo é mais eficente para demonstração de implicações e equivalências lógicas do que quando utiliza-se de tabelas-verdade. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 56 / 101 Álgebra das Proposições Propriedades da Conjunção; Propriedades da Disjunção; Propriedades da Conjunção e Disjunção; Negação da Condicional; e Negação da Bicondicional. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 57 / 101 Propriedades da Conjunção Seja p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições também simples cujos valores lógicos respectivos são verdadeiro e falso, temos as propriedades a seguir: idempotente, comutativa, associativa e identidade. Idempotente p ∧ p ⇔ p Exemplo p p∧p p∧p↔p V V V F F V Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 58 / 101 Propriedades da Conjunção (cont.) Comutativa p ∧ q ⇔ q ∧ p Exemplo p q p∧q q∧p p∧q↔q∧p V V V V V V F F F V F V F F V F F F F V Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 59 / 101 Propriedades da Conjunção (cont.) Associativa (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r) Exemplo p q r p∧q (p∧q)∧r q∧r p∧(q∧r) V V V V V V V V V F V F F F V F V F F F F V F F F F F F F V V F F V F F V F F F F F F F V F F F F F F F F F F F Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 60 / 101 Propriedades da Conjunção (cont.) Identidade p ∧ t ⇔ p e p ∧ c ⇔ c Exemplo p t c p∧t p∧c p∧t↔p p∧c↔c V V F V F V V F V F F F V V Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 61 / 101 Propriedades da Disjunção Seja p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições também simples cujos valores lógicos respectivos são verdadeiro e falso, temos as propriedades a seguir: idempotente, comutativa, associativa e identidade. Idempotente p ∨ p ⇔ p Exemplo p p∨p p∨p↔p V V V F F V Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica ComputacionalApresentação 62 / 101 Propriedades da Disjunção (cont.) Comutativa p ∨ q ⇔ q ∨ p Exemplo p q p∨q q∨p p∨q↔q∨p V V V V V V F V V V F V V V V F F F F V Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 63 / 101 Propriedades da Disjunção (cont.) Associativa (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r) Exemplo p q r p∨q (p∨q)∨r q∨r p∨(q∨r) V V V V V V V V V F V V V V V F V V V V V V F F V V F V F V V V V V V F V F V V V V F F V F V V V F F F F F F F Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 64 / 101 Propriedades da Disjunção (cont.) Identidade p ∨ t ⇔ t e p ∨ c ⇔ p Exemplo p t c p∨t p∨c p∨t↔t p∨c↔p V V F V V V V F V F V F V V Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 65 / 101 Propriedades da Conjunção e Disjunção Seja p, q e r proposições simples quaisquer, podemos representar as propriedades: distributiva, absorção e regras De Morgan. Distributiva p ∧ (q ∨ r)⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) e p ∨ (q ∧ r)⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) Exemplo p q r q∨r p∧(q∨r) p∧q p∧r (p∧q) ∨ (p∧r) V V V V V V V V V V F V V V F V V F V V V F V V V F F F F F F F F V V V F F F F F V F V F F F F F F V V F F F F F F F F F F F F Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 66 / 101 Propriedades da Conjunção e Disjunção (cont.) Absorção p ∧ (p ∨ q)⇔ p e p ∨ (p ∧ q)⇔ p Exemplo p q p∨q p∧(p∨q) p∧(p∨q)↔p V V V V V V F V V V F V V F V F F F F V Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 67 / 101 Propriedades da Conjunção e Disjunção (cont.) Regras De Morgan (1806–1871) ¬(p ∧ q)⇔ ¬p ∨ ¬q e ¬(p ∨ q)⇔ ¬p ∧ ¬q Exemplo p q p∧q ¬(p∧q) ¬p ¬q ¬p∨¬q V V V F F F F V F F V F V V F V F V V F V F F F V V V V Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 68 / 101 Negação da Condicional Demonstração Como p → q ⇔ ¬p ∨ q, temos: ¬(p → q)⇔ ¬(¬p ∨ q)⇔ ¬¬p ∧ ¬q ou seja: ¬(p → q)⇔ p ∧ ¬q Exemplo p q p→q ¬(p→q) ¬q p∧¬q V V V F F F V F F V V V F V V F F F F F V F V F Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 69 / 101 Negação da Bicondicional Demonstração Como p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p), temos: p ↔ q ⇔ (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p) e portanto: ¬(p ↔ q)⇔ ¬(¬p ∨ q) ∨ ¬(¬q ∨ p)⇔ (¬¬p ∧ ¬q) ∨ (¬¬q ∧ ¬p) ou seja: ¬(p ↔ q)⇔ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) Exemplo p q ¬p ¬q p∧¬q ¬p∧q (p∧¬q) ∨ (¬p∧q) p↔q ¬(p↔q) V V F F F F F V F V F F V V F V F V F V V F F V V F V F F V V F F F V F Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 70 / 101 Demonstração da Implicação I Implicação p ∧ q ⇒ p Exemplo p ∧ q → p ⇔ ¬(p ∧ q) ∨ p ⇔ (¬p ∨ ¬q) ∨ p ⇔ (¬p ∨ p) ∨ ¬q ⇔ Tautologia ∨¬q ⇔ Tautologia Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 71 / 101 Demonstração da Implicação II Implicação (p → q) ∧ p ⇒ q Exemplo ((p → q) ∧ p)→ q ⇔ ¬((p → q) ∧ p) ∨ q ⇔ (¬(p → q) ∨ ¬p) ∨ q ⇔ (¬(¬p ∨ q) ∨ ¬p) ∨ q ⇔ ((¬¬p ∧ ¬q) ∨ ¬p) ∨ q ⇔ ((p ∧ ¬q) ∨ ¬p) ∨ q ⇔ ((¬p ∨ p) ∧ (¬p ∨ ¬q)) ∨ q ⇔ (Tautologia ∧ (¬p ∨ ¬q)) ∨ q ⇔ (¬p ∨ ¬q) ∨ q ⇔ ¬p ∨ (¬q ∨ q)⇔ ¬p ∨ Tautologia⇔ Tautologia Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 72 / 101 Demonstração da Equivalência I Equivalência p → q ⇔ p ∨ q → q Exemplo p ∨ q → q ⇔ ¬(p ∨ q) ∨ q ⇔ (¬p ∧ ¬q) ∨ q ⇔ (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ q)⇔ (¬p ∨ q) ∧ Tautologia ⇔ p → q Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 73 / 101 Demonstração da Equivalência II Equivalência (p → q) ∧ (p → ¬q)⇔ ¬p Exemplo (¬p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬q)⇔ ¬p ∨ (q ∧ ¬q)⇔ ¬p∨ Contradição ⇔ ¬p Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 74 / 101 Ementa do Curso 1 Introdução 2 Lógica Proposicional 3 Construção de Tabelas-verdade 4 Implicação e Equivalência Lógica 5 Método Dedutivo 6 Inferência Lógica 7 Lógica de Predicados Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 75 / 101 Inferência Definição É o processo pelo qual se chega a uma proposição, firmada na base de uma ou outras mais proposições aceitas como ponto de partida do processo. Um método mais eficiente para demonstrar, verificar ou testar a validade de um dado argumento P1,P2, . . . ,Pn ` Q consiste em deduzir a conclusão Q a partir das premissas P1,P2, . . . ,Pn mediante o uso de certas regras de inferência. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 76 / 101 Regras de Inferência Regra de Adição (AD); Regra de Simplificação (SIMP); Regra da Conjunção (CONJ); Regra de Absorção (ABS); Regra Modus ponens (MP); Regra Modus tollens (MT); Regra do Silogismo disjuntivo (SD); Regra do Silogismo hipotético (SH); Regra do Dilema construtivo (DC); e Regra do Dilema destrutivo (DD). Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 77 / 101 Regra da Adição Definição Dada uma proposição p, dela se pode deduzir a sua disjunção com qualquer outra proposição, isto é, deduzir p ∨ q, ou p ∨ r , etc. Exemplo p p ∨ q p q ∨ p Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 78 / 101 Regra de Simplificação Definição Da conjunção p ∧ q de duas proposições se pode deduzir cada uma das proposições, p ou q. Exemplo p ∧ q p p ∧ q q Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 79 / 101 Regra da Conjunção Definição Permite deduzir de duas proposições dadas p e q (premissas) a sua conjunção p ∧ q ou q ∧ p (conclusão). Exemplo p q p ∧ q p q q ∧ p Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 80 / 101 Regra da Absorção Definição Está regra permite, dada uma condicional p → q como premissa, dela deduzir como conclusão uma outra condicional com o mesmo antecedente p e cujo consequente é a conjunção p ∧ q das duas proposições que integram a premissa, isto é, p → p ∧ q. Exemplo p → q p → (p ∧ q) Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 81 / 101 Regra Modus Ponens Definição Também é chamada Regra de Separação e permite deduzir q (conclusão) a partir de p → q e p (premissas). Exemplo p → q p q Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 82 / 101 Regra Modus Tollens Definição Permite, a partir das premissas p → q (condicional) e ¬q (negação do consequente), deduzir como conclusão ¬p (negação do antecedente). Exemplo p → q ¬q ¬p p → ¬q q ¬p Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 83 / 101 Regra do Silogismo Disjuntivo Definição Permite deduzir da disjunção p ∨ q de duas proposições e da negação ¬p (ou ¬q) de uma delas a outra proposição q (ou p). Exemplo p ∨ q ¬p q p ∨ q ¬q p ¬p ∨ q p q Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 84 / 101 Regra do Silogismo Hipotético Definição Esta regra permite, dada duas condicionais: p → q e q → r (premissas), tais que o consequente da primeira coincide com o antecedente da segunda, deduzir uma terceira condicional p → r (conclusão) cujo antecedente e consequente são respectivamente o antecedente da premissa p → q e o consequente da outra premissa q → r . Exemplo p → q q → r p → r Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 85 / 101 Regra do Dilema Construtivo Definição Nesta regra, as premissas são duas condicionais e a disjunção dos seus antecedentes, e a conclusão é a disjunção dos consequentes destas condicionais. Exemplo p → q r → s p ∨ r q ∨ s Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 86 / 101 Regra do Dilema Destrutivo Definição Nesta regra, as premissas são duas condicionais e a disjunção da negação dos seus consequentes, e a conclusão é a disjunção da negação dos antecedentes destas condicionais. Exemplo p → q r → s ¬q∨ ¬s ¬p ∨ ¬r Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 87 / 101 Validade Mediante Regras de Inferência I Argumento p → q, p ∧ r ` q Exemplo (1) p → q (2) p ∧ r (3) p 2 – SIMP (4) q 1,3 – MP Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 88 / 101 Validade Mediante Regras de Inferência II Argumento p ∧ q, p ∨ r → s ` p ∧ s Exemplo (1) p ∧ q (2) p ∨ r → s (3) p 1 – SIMP (4) p ∨ r 3 – AD (5) s 2,4 – MP (6) p ∧ s 3,5 – CONJ Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 89 / 101 Ementa do Curso 1 Introdução 2 Lógica Proposicional 3 Construção de Tabelas-verdade 4 Implicação e Equivalência Lógica 5 Método Dedutivo 6 Inferência Lógica 7 Lógica de Predicados Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 90 / 101 Termo e Predicado Na Lógica Proposicional as interpretações não dependem da estrutura interna de suas proposições, mas unicamente no modo como se combinam; Já lógica de Predicados, dada uma proposição simples qualquer, pode destacar dela dois entes: Termo; e Predicado. O termo pode ser entendido como o sujeito da sentença declarativa; e O predicado é uma declaração a respeito do termo. Exemplos Sócrates é mortal Termo: Sócrates Predicado: é mortal Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 91 / 101 Função Proposicional Seja T um conjunto de termos, uma função proposicional em T é um predicado p associado a um termo x , p(x); A expressão p(a) é verdadeira só e somente se a ∈ T ; e Nas funções proposicionais, os termos são variáveis, enquanto que as proposições são constantes. Exemplos Seja o conjunto Z = {1, 2, 3, 4, . . . }, são funções proposicionais: par(x) primo(x) Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 92 / 101 Quantificadores Definição São operadores lógicos que restringem as funções proposicionais, de forma que elas se refiram a todo um conjunto de termos T , ou parte dele. Há dois tipos de quantificadores: Universal: ∀; e Existencial: ∃. Exemplos ∀x(matematica(x)), ler-se: Tudo é matemática. ¬∃x(homem(x) ∧ infiel(x)), ler-se: Não existe homem infiel. ∀x(homem(x)→ mortal(x)), ler-se: Todos os homens são mortais. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 93 / 101 Negação dos Quantificadores Se usarmos a para representar um predicado associado aos termos de um conjunto T , as seguintes equivalências se verificam: ¬∀x(p(a))⇔ ∃x¬(p(a)) ¬∃x(p(a))⇔ ∀x¬(p(a)). Importante As equivalências já estudada no cálculo proposicional podem ser usadas nas funções proposicionais. Exemplo Não existe baleia que seja réptil ¬∃x(baleia(x) ∧ reptil(x))⇔ ∀x¬(baleia(x) ∧ reptil(x))⇔ ∀x(¬baleia(x) ∨ ¬reptil(x))⇔ ∀x(baleia(x)→ ¬reptil(x)) Todas as baleias não são répteis. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 94 / 101 Validade de Argumentos com Quantificadores É possível provar a validade de argumentos que envolva proposições quantificadas; Para isso, é necessário transformar os argumentos com quantificadores em argumentos não quantificados, por meio de exemplificações; Em seguida, aplicar as regras de inferências lógicas já estudadas; e Por fim, uma vez concluída a prova de validade do argumento, usa-se a generalização para obter a conclusão do argumento quantificado. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 95 / 101 Exemplificação Existencial Definição Dado um conjunto de termos T e um predicado qualquer p. Se existe um termo associado ao predicado p, estipulamos que tal termo seja c . Exemplo ∃x(p(x)) p(c) Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 96 / 101 Exemplificação Universal Definição Dado um conjunto de termos T e um predicado qualquer p. Se todos os termos são associado ao predicado p, escolhemos um deles, c , um termo constante. Exemplo ∀x(p(x)) p(c) Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 97 / 101 Generalização Existencial Definição Dado um conjunto de termos T e um predicado qualquer p. Se concluímos que um termo c constante está associado ao predicado p, então existe um termo associado a p. Exemplo p(c) ∃x(p(x)) Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 98 / 101 Generalização Universal Definição Dado um conjunto de termos T e um predicado qualquer p. Se o termo c tomado na exemplificação pode ser qualquer um, ou seja, pode ser tomado aleatoriamente, então qualquer termo está associado ao predicado p. Exemplo p(c) ∀x(p(x)) Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 99 / 101 Validade Mediante Regras de Inferência I Argumento Todos os jogadores são atletas. Todos os atletas sofrem contusões. Logo, todos os jogadores sofrem contusões. Exemplo (1) ∀x(jogador(x)→ atleta(x)) (2) ∀x(Atleta(x)→ contusao(x)) (3) jogador(Zico)→ atleta(Zico) 1 – EU (4) Atleta(Zico)→ contusao(Zico) 2 – EU (5) jogador(Zico)→ contusao(Zico) 3,4 – SH (6) ∀x(jogador(x)→ contusao(x)) 5 – GU Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 100 / 101 Validade Mediante Regras de Inferência II Argumento Todos que estavam doentes foram medicados. Alguns não foram medicados. Logo, nem todos estavam doentes. Exemplo (1) ∀x(doente(x)→ medicado(x)) (2) ∃x¬(medicado(x)) (3) doente(Pedro)→ medicado(Pedro) 1 – EU (4) ¬medicado(Pedro) 2 – EE (5) ¬doente(Pedro) 3,4 – MT (6) ¬∀x(doente(x)) Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 101 / 101 Introdução Lógica Proposicional Construção de Tabelas-verdade Implicação e Equivalência Lógica Método Dedutivo Inferência Lógica Lógica de Predicados
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