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Cálculo Diferencial e Integral I –Notas de Aula - Profs. Claudete Cargnin, Thelma Vecchi, 
Angela Mognon e Michele Barros
CAPÍTULO 1
SISTEMATIZAÇÃO DOS NÚMEROS REAIS
1. ALGUNS SÍMBOLOS E NOTAÇÕES
Inicialmente, vamos relembrar alguns símbolos e notações que usaremos 
durante o curso:
 : “para todo” ou “qualquer que seja” (esse símbolo é chamado 
quantificador universal)
 : “existe” (esse símbolo é chamado quantificador existencial)
! : “existe um único”
 : “implica” ou “acarreta” ou “se... então...”
 : “menor ou igual que”
 : “maior ou igual que”
 : “intersecção”
 : “união”
 : “está contido” (para dizer que um conjunto está contido em outro 
conjunto)
 : “contém”
 : “pertence” (para dizer que um elemento pertence a um conjunto)
 : não pertence
 : “é equivalente a” ou “se, e somente se”
 : conjunto vazio
Se A e B são partes de um conjunto universo E , então:
a∈ A : “o elemento a pertence ao conjunto A”
A⊂ B : “o conjunto A está contido no conjunto B” (ou seja, A é 
subconjunto de B: todo elemento de A é também elemento de B)
A∪ B : “A união B” = {x∈ E∨x ∈ Aou x∈ B }
A∩B : “A inter B” = {x∈ E∨x ∈ Ae x∈ B }
A−B : “A menos B” = {x∈ E∨x ∈ Ae x∉ B }
2. O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS R
1
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Desde o ensino fundamental alguns conjuntos numéricos nos são 
apresentados. Ao iniciarmos o ensino médio, alguns conjuntos são 
destacados, entre eles:
N= {0,1,2 ,3,4 ,…} : conjunto dos números naturais
+¿={0,1,2 ,3 ,… }
Z ¿ : conjunto dos números inteiros não negativos
+¿¿={1,2 ,3 ,…}
Z ¿ : conjunto dos números inteiros positivos
−¿= {0,−1,−2,−3,…}
Z ¿ : conjunto dos números inteiros não positivos
Q={ pq ∨p∈ Z e q∈ Z ¿} : conjunto dos números racionais
Q' ou I={k ∈ R/k ∉Q }
R=Q⋃Q' : conjunto dos números reais
2.1PROPRIEDADES ALGÉBRICAS DO CONJUNTO R
Vamos aceitar que existe um conjunto R cujos elementos são 
chamados de números reais. Em R estão definidas duas operações 
internas:
• Adição: a cada par (a ,b ) de números reais associamos um número 
real s que é chamado soma de ae b e indicado por a+b ;
• Multiplicação: a cada par (a ,b ) de números reais associamos um 
número real p que é chamado produto de ae b e indicado por 
a∗b ou ab.
Propriedades das Operações:
P1. Lei associativa da adição:
∀a ,b ,c∈ R , (a+b )+c=a+(b+c )
P2. Lei comutativa da adição
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∀a ,b∈ R , a+b=b+a
P3. Existência do elemento neutro da adição 0 (zero)
∀a∈ R ,a+0=a
P4. Existência do oposto
Todo número real a tem oposto, indicado por – a , tal que a+ (−a )=0
P5. Lei associativa da multiplicação
∀a ,b ,c∈ R , (ab ) c=a (bc)
P6. Lei comutativa da multiplicação
∀a ,b∈ R , ab=ba
P7. Existência do elemento neutro da multiplicação:
Existe 1∈ R tal que ∀a∈ R ,a ∙1=a
P8. Existência do recíproco ou inverso
Todo número real a ≠0 tem recíproco, indicado por a
−1 , ou 
1
a , tal 
que a ∙a
−1=1 .
P9. Lei distributiva da multiplicação em relação à adição
∀ a ,b , c∈ R ,a (b+c )=ab+ac
Obs.: um conjunto numérico que satisfaz os nove axiomas acima é 
denominado um corpo.
2.2A RELAÇÃO DE ORDEM EM R
Em R está definida uma relação de ordem total ≤ (menor do que ou 
igual a), isto é, uma relação que satisfaz as seguintes propriedades:
P10. Quaisquer que sejam os números reais ae b tem-se sempre:
I. a≤ bou a≥b ;
II. a≤ be a≥ b⟹a=b
III. Se a≤ be b≤ c⟹ a≤ c
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P11. Compatibilidade com a adição
∀a ,b ,c∈ R , se a≤ b⟹a+c≤ b+c
P12. Compatibilidade com a multiplicação
∀ a ,b , c∈ R , se a≤ be 0≤ c⟹ac≤ bc
Observação: As afirmações a<b , a>b ,a≤ b ,a≥ b são chamadas 
desigualdades. As desigualdades a<be a>b são chamadas desigualdades 
estritas, enquanto que a≤ be a≥ b são chamadas desigualdades 
não-estritas.
EXERCÍCIO:
1. Escolha alguns números e teste as seguintes afirmações:
a) ∀a ,b ,c∈ R , se ab=ac ea ≠0⟹b=c
b) Se a≤ be c≥ d então a−c ≤b−d
c) Se 0<a<b⟹
1
a
> 1
b
d) se0<a<bentão a<
a+b
2
<b
e) se0<a<bentão a<√ab<b
f) se0<a<bentão√ab<
a+b
2
2.3VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO REAL: | x |
Se x é um número real qualquer, o valor absoluto de x , indicado | x
|, é o número real definido por ∣x∣=√ x2 onde a raiz é positiva.
Geometricamente, o número ∣x∣ representa a distância do número real 
x ao numero real 0 (zero), sobre a reta numérica.
2.3.1 Propriedades
i. ∣x∣≥ 0
ii. ∣x∣=0  x=0
4
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iii. ∣−x∣=∣x∣
iv. −∣x∣≤ x≤∣x∣
v. ∣xy∣=∣x∣∣y∣
vi. Se y ≠0,∣xy∣=∣x∣∣y∣
vii. ∣x+ y∣≤∣x∣+∣y∣ (Propriedade triangular)
viii. ∣∣x∣−∣y∣∣≤∣x− y∣
ix. Se c>0 tem-se ∣x∣<c−c<x<c
x. Se c>0 tem-se ∣x∣>c x<−c ou x>c
EXERCÍCIOS
2. Teste as propriedades anunciadas no item 2.3.1.
3. Resolva as seguintes inequações:
a) ∣x−7∣<9
b) ∣3x−1∣< x
c) ∣2x+3∣≥10
d) ∣2 x
2+3x+3∣≤ 3
e) ∣5x∣>1
f) ∣x
2−2x+4∣>3
2.4INTERVALOS REAIS
Se a e b são números reais, com a<b , são chamados intervalos 
reais:
[a ,b ]= {x∈ R∨a≤ x≤ b } : intervalo fechado de extremos a e b
¿ {x∈ R∨a<x<b }
¿a ,b¿ : intervalo aberto de extremos a e b
¿a ,b¿¿={x∈ R∨a< x ≤b } : intervalo semi-aberto à esquerda de extremos 
a e b
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¿ {x∈ R∨a≤ x<b }
a ,b¿
¿
: intervalo semi-aberto à direita de extremos a e b
¿−∞ ,b¿¿={x∈ R∨ x≤ b } : intervalo infinito à esquerda 
¿ {x∈ R∨a≤ x }
a ,+∞¿
¿
: intervalo infinito à direita
Observação: 
1. O extremo infinito sempre fica com colchete aberto ou bola – no caso 
da representação gráfica, aberto;
2. Todos os intervalos reais podem ser representados geometricamente. 
Para tanto, basta assinalar os extremos a e b sobre a reta numérica e 
marcar os pontos “entre” os extremos a e b. Geometricamente 
usamos “bolas” fechadas e abertas para representar se o extremo 
pertence ou não, respectivamente, ao intervalo. Note:
¿a ,b¿¿ : 
 a b
EXERCÍCIOS:
4. Represente algébrica e geometricamente os conjuntos:
a) [1,+∞ [∩ ]−∞ ,4 ]
b)
¿
[3,8 ]∪ ¿2,4 ¿
c)
¿
¿−∞ ,−1¿¿∪ ¿2,+∞ ¿
5. Expresse, usando a notação de intervalos, a solução das seguintes 
inequações:
a) 3x−2≥ 7
b) 4−5x<−6
c) 2≤ x+3<8
d) 2+3x<5x+8
e) 3+7x<8x+9
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f) 4x+3≥ 2x−5
g) 7<5x+3≤ 9
h) −5<
4−3x
2
<1
OBSERVAÇÃO: mais informações a respeito desse assunto poderão ser 
obtidas em livros de ensino médio, em especial dos autores Bianchini e 
Paccola – matemática – volume único.
RESPOSTAS DOS EXERCICIOS
3. A) −2<x<16 b)
1
4
<x< 1
2 c) x ≤
−13
2
ou x ≥ 7
2 d)
−3
2
≤ x ≤ 0
e) x<
−1
5
ou x>1
5 f) x ≠1
4. A) [1,4 ] b) ¿2,8¿¿ c) 
¿
¿−∞ ,−1¿¿∪ ¿2,+∞ ¿
5. A)
¿
3,+∞ ¿
¿
b)
¿
2,+∞¿
¿
c)
¿
−1,5¿
¿
 d) 
¿
¿−3,+∞¿ e) 
¿
¿−6,+∞¿ f) 
¿
−4,+∞ ¿
¿
g) 
¿ 4
5
, 6
5
¿¿ h) 
¿
¿ 2
3
; 14
3
¿
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LISTA DE EXERCÍCIOS N.1
SISTEMATIZAÇÃO DOS NÚMEROS REAIS
1. Calculea)
3
5
+ 8
7 b) 
1
2
∙( 23−14 )
2
 c) 2+(3.5−12)÷3 d) 
2−3+4−( 35 )
−2
2. Resolva:
a)
x−2
4
−2=3 
b) 
1
x
+ 2
3 x
=4− 1
7x 
c) 5−9 x=0 
d) x
2+4 x=¿
e) x
2+x=3 x3 
f) 2x+1≥ 5 ( x−2 )
g) 
x
3
− x
2
< x
5
+4 
h)
x+3
2
< 2−x
5
i) x
2− x+8≤ 0 
j) 3 x
2+2x+5>0 
k) ∣1−2x∣=4 
l) ∣2x+1∣=∣2x−1∣
Obs.: escreva a solução das inequações sob a forma de intervalos reais, 
usando as representações na forma de colchetes ou chaves.
3. Utilizando os símbolos de ∈ ,∉ ,⊂ ,⊃ , relacione:
a) 2……N b) N …… . Z c) 
2
5
………Z
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d)
+¿……R
Q ¿ e) 
π
4
…… ..Q f) Q……Z
g) −4……Z h) √5……Q i) 
√16
3√8
……N
j) R……N
4. Considerando os conjuntos A= {x∈N ; x<4 } , B={x∈ Z ;2x+3=7 } e 
C= {x∈ R ; x2+5x+6=0 } , é verdade que:
a. A∪ B=A
b. A∩C= {2,3 }
c. A−B= {0,1,3 }
d. A∪C=R
e. (B∩C )⊂ A
5. Determine e represente na reta numérica o conjunto solução das 
seguintes inequações:
a) 5x+2>x−6
b) 3− x<5+3x
c) 
2
3
x−1
2
≤ 0
d) 3−2x≥ 9+4x
e) 13≥ 2x−3≥ 5 
f) −2<6−4x≤ 8 
g) 2>−3−3x≥−7
h) 2≤ 5−3x<11 
i) 3≤
2x−3
5
<7 
9
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j) −5<
4−3x
2
<1
k) 3 ( x−4 )+1≥ 2x−12 
l) 2 ( x−2 )+3<5( x+1)
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6. Determine o conjunto solução das seguintes equações modulares:
a) ∣4x+3∣=7 
b) ∣3x−8∣=4 
c) ∣5x−3∣=∣3x+5∣
d) ∣x−2∣=∣3−2x∣ 
e) ∣7x∣=4− x
f) 2x+3=∣4x+5∣
g) ∣ x+2x−2∣=2
h) ∣3x+82x−3∣=4
7. Determine o conjunto solução das seguintes inequações modulares:
a¿∣x+4∣<7 b) ∣2x−5∣<3 c) ∣3x−4∣≤ 2
d) ∣3x+2∣≥ 1 e) ∣5− x∣>7 f) ∣3− x∣<5
g) ∣7−4x∣≤9 h) ∣6−2x∣≥7 i) 
∣x+4∣≤∣2x−6∣
j) ∣ x+22x−3∣<4 k) ∣6−5x3+ x ∣≤ 12
Observação 2: outros exercícios podem ser encontrados:
• no capítulo 1 do livro Matemática Aplicada, de Seiji Hariki e Oscar 
Abdounour, ed. Saraiva.
• Nos capítulos 1 e 3 do livro : Curso de Matemática, de Bianchini e 
Paccola, volume único, editora moderna.
• Qualquer outro livro de ensino médio...
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