RELATÓRIO PALITO DE PICOLÉ TIPO HOWE

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EDUARDO HENRIQUE FERREIRA ALVES 
HENRIQUE MENDES DA SILVA 
LUCAS GABRIEL RIBEIRO OLIVEIRA 
 
 
 
PROJETO PONTE DE PALITOS DE PICOLÉ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Telêmaco Borba - PR 
2018 
 
 
EDUARDO HENRIQUE FERREIRA ALVES 
HENRIQUE MENDES DA SILVA 
LUCAS GABRIEL RIBEIRO OLIVEIRA 
 
 
PROJETO PONTE DE PALITOS DE PICOLÉ 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho apresentado para a 
interdisciplinar, do Curso de Engenharia 
Civil, da Faculdade de Telêmaco Borba, 
como requisito parcial para aprovação 
desta disciplina. 
Orientadores: Prof. Ms. Kevin Mauricio 
Menon Ribeiro & Marcel Andrey de Goes 
 
 
 
 
 
 
Telêmaco Borba - PR 
2018 
 
 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 4 
2 OBJETIVO ........................................................................................................... 5 
2.1 OBJETIVO GERAL ........................................................................................ 5 
2.2 OBJETIVO ESPECÍFICO ............................................................................... 5 
3 REFERENCIAL TÉORICO .................................................................................. 6 
3.1 TRELIÇA NA ENGENHARIA ......................................................................... 6 
3.2 USO DO TRIÂNGULO NAS PONTES TRELIÇADAS .................................... 7 
3.3 TIPOS DE APOIO .......................................................................................... 8 
3.4 DIAGRAMA DE CORPO LIVRE ..................................................................... 9 
3.5 DADOS DO PALITO .................................................................................... 10 
4 MATERIAIS E MÉTODOS ................................................................................. 11 
4.1 MATERIAIS DE MONTAGEM ...................................................................... 11 
4.1.1 Materiais para confecção ....................................................................... 11 
4.1.2 Materiais secundários ............................................................................ 11 
4.2 MÉTODOS ................................................................................................... 11 
5 PROJETO DA PONTE DE PALITOS DE PICOLÉ ............................................ 16 
5.1 JUSTIFICATIVA PARA DEFINIÇÃO DO DESIGN ....................................... 16 
5.2 LAYOUT DO PROJETO ............................................................................... 16 
5.3 ESQUEMA DE ESFORÇOS MECÂNICOS EM CADA BARRA ................... 17 
6 MEMORIAL DE CÁLCULO ............................................................................... 17 
6.1 DIAGRAMA DE CORPO LIVRE ................................................................... 17 
6.2 CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO ....................................................... 18 
6.3 CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES EM CADA BARRA .................................. 19 
6.4 CÁLCULO DA TENSÃO E DEFORMAÇÃO EM CADA BARRA EM TORNO 
DA REGIÃO CRÍTICA ........................................................................................... 24 
6.4.1 Cálculo da tensão .................................................................................. 24 
6.4.2 Cálculo da deformação .......................................................................... 26 
6.5 CÁLCULO DA TENSÃO EM CADA BARRA ................................................ 27 
6.5.1 Barras tracionadas ................................................................................. 27 
6.5.2 Barras comprimidas ............................................................................... 27 
7 DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL .............................................................. 28 
7.1 DIMENSIONAMENTO DAS BARRAS SUJEITAS A TRAÇÃO .................... 29 
7.2 DIMENSIONAMENTO DAS BARRAS SUJEITAS A COMPRESSÃO.......... 30 
8 CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................... 31 
 
 
ANEXO A - PLANEJAMENTO DO PROJETO .......................................................... 33 
ANEXO B – VISTA FRONTAL E VISTA SUPERIOR DO PROJETO ........................ 34 
ANEXO C – VISTA LATERAL E ISOMÉTRICA DO PROJETO ................................ 35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
Desde o principio o homem buscou o desenvolvimento de ferramentas e 
métodos para vencer obstáculos que os impediam de conseguir alimentos ou 
abrigos. Deste modo, de forma discreta veio surgindo às pontes, as primeiras pontes 
de forma geral surgiram devido à ação da natureza, pelo desabamento de troncos 
sobre rios e lagos. A partir disto, o homem começou a assemelhar esses fenômenos 
e devidamente seguiu os mesmo processos, manuseando troncos de madeiras e 
também pedras, com auxílio de suportes e travas artesanais, e ao longo do tempo, 
as estruturas das pontes foram se desenvolvendo em todas as partes do planeta, 
passando para outros tipos de materiais, como o ferro e o concreto que são usados 
até hoje. 
As pontes são estruturas que permitem conectar dois pontos de mesmo nível 
separados por obstáculos, como: rios, vales, mares e outras vias. 
Antes de construir qualquer projeto, existe um grande processo de estudos e 
viabilidade para que ela saia do papel, as pontes não são diferentes. Essas 
construções independentemente do tamanho tendem a sofrer com carregamentos 
que serão solicitadas, a atuação do ambiente que estarão sujeitas a serem 
construídas como o vento, temperatura, vibrações, entre outros fatores que podem 
ter impacto na estrutura. Devem resistir às deformações que estarão sujeitas, como 
as torções, flexões, dilatações e etc. Além disso, deve-se apresentar um grande grau 
de durabilidade ao decorrer do tempo. Portanto, é de extrema importância o 
levantamento de um estudo para assegurar que a estrutura dispõe a rigidez e 
resistência necessária. 
Apesar de existirem diversos tipos de pontes, as de treliça são uma das mais 
construídas ao redor do planeta, por ser uma estrutura simples e conseguir vencer 
grandes vãos. As treliças são utilizadas porque são estruturas muito rígidas, que 
transferem a carga a partir de um ponto único a uma área muito mais ampla, o que 
garante a absorção do peso e do impacto. (AWA, 2016) 
Treliças representam elementos delgados, normalmente disposto de maneira 
triangular, unidas umas nas outras por nós, com o intuito de distribuir a carga que 
está sendo aplicada na estrutura. De acordo com Zucatelli et. Al, (2011), a união 
entre as treliças é importante, pois é essa união que mantém a ponte estável e, da 
5 
 
mesma forma que as treliças, ela está sujeita as solicitações mecânicas, desta forma 
fazendo com que aguentem a grandes esforços. 
 
2 OBJETIVO 
2.1 OBJETIVO GERAL 
 
O foco desse trabalho tem como intuito a construção de uma ponte treliçada 
utilizando palito de picolé e cola. A estrutura da ponte deve ter no máximo uma 
massa equivalente a 1100g, e de comprimento deve apresentar 1,20 m, além disso, 
deverá suportar uma massa de no mínimo 20 kg, vencendo vão livre de 1 metro. 
 
2.2 OBJETIVO ESPECÍFICO 
 
 Obter conhecimento de como funcionam as forças que atuam em uma treliça; 
 Traçar o diagrama de corpo livre; 
 Calcular as reações de apoio; 
 Calcular as compressões e trações que atuaram na estrutura utilizando os 
métodos dos nós; 
 Conhecer as propriedades mecânicas do palito de picolé; 
 Dimensionar a quantidade de palitos que serão necessários em cada barra, 
atravésdo resultado obtido pelos cálculos; 
 Realizar a construção da ponte de maneira que suporte 70 kg. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
3 REFERENCIAL TÉORICO 
3.1 TRELIÇA NA ENGENHARIA 
 
Treliças são componentes que possibilitam uma margem de vantagens 
satisfatórias na aplicação da arquitetura e da engenharia. Elas se constituem de 
barras unidas pelas extremidades por meio de nós articulados, sendo estes, os 
componentes que recebem os esforços de tração e compressão. 
Pelo fato de permitirem uma variedade de formas, ela é comumente utilizada 
para projetos de grande porte, sendo eles de estruturas metálicas, de madeira, ou 
de outros materiais. Suas aplicações são diversificadas sendo empregues de 
diversas maneiras e com diferentes formas geométricas. De maneira genérica, as 
treliças podem ser definidas em triangulares. Na engenharia as treliças quando bem 
planejadas podem custear uma obra, tornar algo caro em barato, por isso devem ser 
calculadas para cada tipo de situação. 
Figura 1 – Ponte Treliçada 
 
Fonte: (EngenhariaCivil.com; University of Glasgow; Historic Scotland.) 
 
Dentro da engenharia existe uma infinidade de estilos de treliças, bem como 
diversos métodos de cálculos que resultam em uma única solução final: o equilíbrio 
estático das estruturas. Uma treliça simples pode ser definida como um sistema de 
barras, situadas em um mesmo plano, ligadas umas às outras pelas extremidades, 
de modo a formar um sistema estável. 
De acordo com J L.F. SERRA (2013) Na análise das treliças é usual 
7 
 
adotarem-se as seguintes hipóteses simplificadoras: 
1) As articulações nas extremidades das barras (nós) são perfeitas, sem atrito. 
2) As cargas são forças concentradas aplicadas apenas nos nós. 
3.2 USO DO TRIÂNGULO NAS PONTES TRELIÇADAS 
 
Como citado anteriormente, as pontes treliçadas são normalmente formadas 
por triângulos, não é apenas uma questão de design, mas sim, pelos princípios 
geométricos desta figura. Por meio destes princípios pode-se afirmar que o triângulo 
é única figura que não pode modificar sua forma. 
O triângulo que será formado na treliça não pode sofrer qualquer 
deslocamento por alguma ação do seu peso ou por meio de forças externas, pois 
devidamente devem estar em equilíbrio. Estarão recebendo esforços apenas em 
dois sentidos ao longo do seu comprimento. Caso esses esforços estejam no sentido 
exterior ao longo da barra, pode-se dizer que a barra está sendo tracionada, se os 
esforços estiverem no sentido interior da barra, estão sujeitas a comprimi-las. 
 
Figura 2 – Representação de esforços mecânicos 
 
Fonte: (Romão, 2002/2003) 
 
A força de Tração é representada com magnitude positiva (+), que para a 
engenharia é dada como uma força axial que atua com sentido ao exterior da peça, 
fazendo que a mesma sofra uma deformação de alongamento no sentido em que a 
força está se direcionando. Já a força de Compressão é representada com 
magnitude negativa (-), que para engenharia é vista como uma força axial que atua 
do exterior para o centro da peça, fazendo com que a mesma sofra uma deformação 
de encurtamento. 
 Ambos estão presentes nos cálculos de pontes e treliças, em cada situação é 
determinada uma medida preventiva para a não ruptura e o prolongamento da vida 
útil da peça em questão. Para isso é adicionado um coeficiente de segurança, 
8 
 
estipulado para manter a estrutura com uma resistência elevada e diminuir a 
possibilidade de deformações ao longo do tempo. 
 
3.3 TIPOS DE APOIO 
 
Os apoios podem ser divididos em três gêneros: 
1° gênero: impede o movimento em apenas uma direção; 
2° gênero: impede o movimento em duas direções; 
3° gênero: impede o movimento em duas direções, e a rotação em torno do seu 
eixo. 
Cada tipo de apoio apresenta um tipo de reação, tendo cada um a sua 
importância e uso. Como mostrado na figura abaixo: 
 
Figura 3 – Características dos apoios 
 
 
Fonte: (UANG, et al, 2009) 
 
 
 Aplicando se a terceira Lei de Newton, que diz que a toda ação corresponde 
a uma reação de força igual, mas de sentido contrário, as forças de reação são 
encarregadas de limitar a movimentação da peça em questão, fazendo com que ela 
permaneça estática. Dando sentido às formulas de equilíbrio estático: 
9 
 
 
 
 
 
3.4 DIAGRAMA DE CORPO LIVRE 
 
 Para denominar e encontrar as forças internas e externas que existem em 
um sistema, é necessário fazer o diagrama de corpo livre, o qual seria um esboço 
onde são representadas todas as forças que atuam diretamente no material a ser 
analisado, também devem ser representados as forças de reação nos apoios para 
que o material esteja em total equilíbrio estático, desprezando outras forças que não 
estão agindo diretamente sobre o mesmo. Como ilustrado no exemplo abaixo e seu 
desenvolvimento para o entendimento das equações citadas acima. 
 
 Figura 4 – Exemplo de sistema de forças 
 
 
Fonte: (VIEIRA, 2015) 
 
 
Figura 5 – Diagrama de corpo livre das forças que atuam no sistema 
 
 
 
Fonte: (VIEIRA, 2015) 
 
10 
 
 
Desenvolvendo-se as equações de equilíbrio estático pode-se determinar as 
reações de apoio, levando em conta os sinais negativos (-), se a força está em 
sentido horário, e positivos (+), se a força está em sentido anti-horário. 
 
Figura 6 – Equações de equilíbrio estático 
 
 
Fonte: (VIEIRA, 2015) 
3.5 DADOS DO PALITO 
 
Para aprimorar o processo dos cálculos foi realizada uma pesquisa para 
saber os dados de resistência mecânica dos palitos, como a resistência à tração, á 
compressão e módulo de elasticidade, ambos os resultados foram obtidos através 
de testes laboratoriais. 
De acordo com Universidade Federal De Juiz De Fora (V Olimpíada de 
Engenharia Civil), a resistência à tração do palito é de 90 kgf ou 882,9 N (média 
extraída de 8 palitos testados), resultando numa tensão normal de ruptura média na 
tração de: 52,55 MPa. 
 A resistência à compressão de um palito de 110 mm de comprimento é de 
4,9 kgf ou 48,07N (média de 11 palitos), resultando numa tensão normal média de 
ruptura de: 2,86 MPa. 
A resistência à compressão de uma composição formada por dois palitos de 
110 mm de comprimento colados (dimensão final da composição 110 mm x 4 mm x 
8,4 mm) é de 27 kgf ou 264,87 N (média de 5 composições), resultando numa 
tensão normal média de ruptura de: 7,88 MPa. 
O módulo de elasticidade da madeira que constitui o palito é representado 
pela letra E (E = 7350MPa); I=bh³/12 (b e h são, respectivamente o maior e o menor 
lado da seção transversal da barra) é o menor momento de inércia (5,6 mm4 para 
um palito e 44,8 mm4 para a composição de dois palitos). 
11 
 
4 MATERIAIS E MÉTODOS 
4.1 MATERIAIS DE MONTAGEM 
 
4.1.1 Materiais para confecção 
 
- Palitos laminados de madeira 11,5 cm (palito de picolé); 
- Cola de madeira. 
 
4.1.2 Materiais secundários 
 
- Papel; 
- Tesoura; 
- Estilete; 
- Régua e Escalímetro. 
 
4.2 MÉTODOS 
 
Para dar início ao projeto, elaborou-se um planejamento contemplando o 
cronograma das atividades de forma que os integrantes do grupo pudessem se 
organizar com base na demanda de cada assunto dentro do escopo do projeto. 
Assim, dando andamento de maneira organizada, e inteligente. Dividiu-se o projeto 
em etapas e traçaram-se datas para cumprimento de partes do mesmo, determinado 
metas e organizando-se em reuniões a cada fim de etapa concluída, desta maneira 
pôde-se trabalhar com solidez e precisão. Para o desenvolvimento desse 
planejamento foi utilizado o software Ms Project, dentrodo software foi determinado 
datas e etapas. O anexo A demonstra, as datas de início e término e tempo de 
duração, mostrando a linha de trabalho que foi seguida durante a execução do 
projeto. 
Anteriormente ao processo da construção da ponte treliçada, ou seja, o 
processo de colagem foi realizado uma série de estudos para analisar o 
comportamento da estrutura. Com ajuda do software ftool, foi possível calcular os 
12 
 
esforços mecânicos que cada barra irá sofrer, ajudando no dimensionamento e no 
design da ponte. 
A ponte proposta tem como objetivo suportar uma carga de 70 kg, 
consequente como são duas treliças, uma em cada lado da ponte foi divido essa 
carga por dois, ou seja, 35 kg cada lado. 
Devido alguns palitos apresentarem certas imperfeições como: rachaduras, 
tamanho desigual, lascas nas extremidades, entre outros fatores, foi feita uma 
seleção para escolher os palitos com maior qualidade para construção da ponte. 
 Para melhorar a etapa construtiva foi desenhado um molde da ponte em 
escala real, para que fosse possível realizar a colagem dos palitos de maneira 
alinhada e correta. 
 
Figura 7 – Construção do molde 
 
 
Fonte: (Autores, 2018) 
 
Figura 8 – Molde da ponte 
 
 
Fonte: (Autores, 2018) 
13 
 
Figura 9 – Utilização do moldem no processo de alinhamento e colagem dos palitos 
 
Fonte: (Autores, 2018) 
 
Para melhorar o processo de colagem foi utilizado grampos para aprimorar a 
fixação entre os palitos e a cola. 
 
Figura 10 – Utilização de grampos no processo de fixação dos palitos 
 
Fonte: (Autores, 2018) 
 
Em seguida realizou-se a colagem de todos os membros da ponte. Após os 
palitos estarem bem fixados foi feito a união das duas treliças. 
. 
14 
 
Figura 11 – Duas treliças construídas prontas para o travamento 
 
Fonte: (Autores, 2018) 
 
Após as duas partes das treliças estarem prontas, foi feito o travamento da 
estrutura. Com esse o travamento a estrutura irá ter uma proteção e melhor 
estabilidade, diante dos futuros esforços que irão solicitá-las. 
 
Figura 12 – Realização do travamento da estrutura com o auxílio de grampos para 
melhor fixação da cola. 
 
Fonte: (Autores, 2018) 
Figura 13 – Visão lateral do travamento estrutural. 
 
Fonte: (Autores, 2018) 
15 
 
E por fim, o protótipo do projeto finalizado. 
 
Figura 14 – Protótipo finalizado 
 
Fonte: (Autores, 2018) 
 
Figura 15 – Vista superior do protótipo finalizado. 
 
Fonte: (Autores, 2018) 
 
16 
 
5 PROJETO DA PONTE DE PALITOS DE PICOLÉ 
5.1 JUSTIFICATIVA PARA DEFINIÇÃO DO DESIGN 
 
 Por motivos de existirem uma grande variedade de pontes treliçadas, foram 
testadas a grande maioria, e a que mais se destacou entre as tradicionais foi à ponte 
tipo Howe. Os elementos na diagonal nesse tipo de ponte estão sujeitos a sofrer 
compressão por estarem posicionadas no sentido contrário do centro, e os 
elementos nas verticais sofrem tração. Devido apresentam esforços menores nas 
barras, tanto como as de tração quanto as de compressão, consequentemente, suas 
áreas transversais vão ser menores, diminuindo o peso da ponte. 
 
Figura 16 – Ponte Howe 
 
 
 
Fonte: (Pontes Militares, 2013). 
 
5.2 LAYOUT DO PROJETO 
 
Para melhor visualização, o projeto foi desenhado manualmente em duas 
folhas A3. Na primeira folha é possível observar a vista frontal e vista superior, 
conforme anexo B, e na segunda folha, a vista lateral e vista isométrica, conforme 
anexo C. 
 
 
 
 
 
17 
 
5.3 ESQUEMA DE ESFORÇOS MECÂNICOS EM CADA BARRA 
 
As solicitações correspondidas pelo sinal negativo equivalem à compressão 
(C) e as com o sinal positivo equivalem à tração (T). 
 
Figura 17 – Esforços mecânicos em cada barra 
 
Fonte: (Autores, 2018) 
 
 
6 MEMORIAL DE CÁLCULO 
6.1 DIAGRAMA DE CORPO LIVRE 
 
Fonte: (Autores, 2018) 
 
18 
 
6.2 CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO 
 
Figura 18 – Reações de apoio 
 
 
Fonte: (Autores, 2018) 
 
 
 
 
 
∑fy 
∑Ma 
Ray + Rty = 350 -350*57,5 + Rty*115 =0 
Ray = 350 - 175 Rty = 20125/115 
Ray = 175 N Rty = 175 N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
6.3 CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES EM CADA BARRA 
 
 
Figura 19 – As barras da estrutura foram numeradas para melhorar o entendimento 
dos futuros cálculo. 
 
Fonte: (Autores, 2018) 
 
 
 
Para descobrir o ângulo que está na componente do triângulo é possível 
realizar os cálculos através de funções trigonométricas. 
Sabe-se que o comprimento e a altura são 11,5 cm de cada triângulo, sendo 
assim, podem ser considerados como cateto oposto e adjacente. 
 
 
Fonte: (Autores, 2018) 
 
 
 
20 
 
A equação que melhor se encaixa nesses dados é função da tangente, 
expressa da seguinte forma: 
 
Tan α = 
 
 
 
 
Substituindo os valores, temos o seguinte resultado: 
 
Tan α = 
 
 
 
α = 
 
 
 * Tan-¹ 
α= 45° 
 
Desta forma, é possível saber que todos os ângulos da estrutura serão 
representados pelo ângulo de 45º. 
 
Figura 20– Nó A 
 
 
 
Obs: Por questão de simetria F1=F36 e F2=37 
 
 
Fonte: (Autores, 2018) 
 
 
 
 
 
 
 
Ʃfy Ʃfx
F1*Sen 45° + 175 = 0 F2+ F1*(Cos 45°) = 0
F1= -247N F2 = 175 N
F1= 
F2+ (-247*Cos 45°)
 
 
21 
 
Figura 21 – Nó B 
 
Obs: por questão de simetria F3=F35 e F4=F32 
 
 
Fonte: (Autores, 2018) 
 
Figura 22 – Nó C 
 
 
 
Obs: Por questão de simetria F5=F33 e F6=F34 
 
Fonte: (Autores, 2018) 
 
Figura 23 – Nó D 
 
 
 
Obs: Por questão de simetria F7=F31 e F8=F28 
 
 
Fonte: (Autores, 2018) 
 
Ʃfy Ʃfx
F3+F5*Sen 45° = 0 F5*Cos 45°+F6-F2 = 0
175+F5*Sen 45°= 0 -247 * cos 45°-F2+F6=0
F5= -247 N F6= 350 N
F5= 
-175-175+F6=0
 
 
Ʃfy Ʃfx
-F7-F5*sen45° =0 -F4+F8-F5*cos45°= 0
- F7-(-247*sen45°)=0 -(-175)+F8-(-247 * cos 45°)=0
-F7+175=0 * (-1) 175+175+F8 =0
F7 = 175 N F8= -350 N
Ʃfy Ʃfx
-F3-F1*Sen45°= 0 -F1*Cos 45°+F4= 0
-F3-(-247 * Sen45°)= 0 -(-247 * cos 45°)+F4=0
-F3+175 = 0 * (-1) 175+F4=0
F3=175 N F4=-175 N
22 
 
Figura 24 – Nó E 
 
 
 
Obs: Por questão de simetria F10=F30 e F9=F29 
Fonte: (Autores, 2018) 
 
Figura 25 – Nó F 
 
 
 
 
Obs:Por questão de simetria F11=F27 e F12=F23 
 
 
 
Fonte: (Autores, 2018) 
 
 
Figura 26 – Nó G 
 
 
 
 
 
Obs: Por quetão de simetria F13=F24 e F14=F26 
 
 
Fonte: (Autores, 2018) 
 
 
Ʃfy Ʃfx
F7+F9* sen45° = 0 -F6+F10+F9*cos 45° =0
175+F9* sen45° = 0 -350+F10*-247 * cos 45° = 0
-350-175+F10=0
F10=525 N
F9 = -247 N
F9 = 
 
Ʃfy Ʃfx
-F11-F9* sen45° = 0 -F8+F12-F9*cos 45° = 0
-F11-(-247* sen45°) = 0 -(-350)+F12-(-247 * cos 45°) = 0
-F11+175 = 0 *(-1) 350+F12 + 175 = 0
F11 = 175 N F12 = -525 N
23 
 
Figura 27 – Nó H 
 
 
 
 
 
Obs: Por questão de simetria F15=F25 e F16=F22 
 
 
 
Fonte: (Autores, 2018) 
 
 
Figura 28 – Nó I 
 
 
 
 
Obs: Por questão de simetria F18=F20 e F17=F21 
 
 
 
Fonte: (Autores, 2018) 
 
Figura 29 – Nó J 
 
 
Fonte: (Autores, 2018) 
Ʃfy Ʃfx
F15+F13* sen45° = 0 -F12-(F13*cos 45°)+F16 = 0
F15+(-247* sen45°) = 0 -(-525) - (-247* cos 45°) + F16 = 0
F15= 175 N F16= -700 N
Ʃfy Ʃfx
F15+F17* sen45° = 0 -F14+( F17*cos 45°)+F18 = 0
175+(F17* sen45°) = 0 -700 - (247* cos 45°) + F18 =0
-700-175 + F18 = 0
F18 = 875 N
F17 = -247 N
F17= 
 
Ʃfy
F17*sen45° - F18 = 0
-(-247*sen45°) - F19 = 0
F19= 175 N
-F19 = -175*(-1)
24 
 
Figura 30 – Representação dos esforços mecânicos em cada barra através do 
software Ftool 
 
 
Fonte: (Autores, 2018) 
 
6.4 CÁLCULO DA TENSÃO E DEFORMAÇÃO EM CADA BARRA EM TORNO DA 
REGIÃO CRÍTICA 
 
6.4.1 Cálculo da tensão 
 
Para calcular a tensão em cada barra na região critica foi utilizado a formula: 
 
σ = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
Figura 31 – Representação do local onde será a área critica da estrutura 
 
Fonte: (Autores, 2018) 
 
A área critica está situada devidamente neste ponto, pois as barras com maior 
solicitação mecânica estão nela, de certa forma, a zona com a maior probabilidade 
de ruptura será ao meio, pois a carga está totalmente concentrada em apenas um 
local. 
Como é possível perceber na figura 31, a área critica está direcionada no 
meio da estrutura, passando por 7 barras, sendo elas: 16,17,18,19,20,21,22. 
Sabendo que a estrutura é simétrica pode-se afirmar que as barras 16 e 22, 
17 e 21, 18 e 20 sofrem os mesmos esforços mecânicos, sendo assim, aplica-se a 
formula da tensão. 
 
Tabela 01 – Demonstração das barras situadas na área critica e seus respectivos 
esforços. 
 
Barras Compressão (-) Tração (+) 
F16=F22 -700 N 
F17=F21 -247 N 
F18=F20 875 N 
F19 175 N 
Fonte: (Autores, 2018) 
 
 
26 
 
σ = 
 
 
 = - 760,8 KPa 
 
σ = 
 
 
 = -268,47 KPa 
 
σ = 
 
 
 = 951,08 KPa 
 
σ = 
 
 
 = 951,08 KPa 
 
6.4.2 Cálculo da deformação 
 
Com o auxílio da figura 31 é possível calcular a deformação em cada barra 
em torno da região critica. 
Para realização do cálculo de deformação foi utilizada a seguinte fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
P = Esforço mecânico em cada barra 
L = Comprimento da barra (palito de picolé) 
E = Módulo de elasticidade do palito de picolé (7350 MPa) 
A = Área transversal do palito 
 
 
Tabela 02 – Demonstração das barras situadas na área critica que irão deformar. 
 
Fonte: (Autores, 2018) 
 
27 
 
6.5 CÁLCULO DA TENSÃO EM CADA BARRA 
 
Para calcular a tensão em cada barra foi utilizada a fórmula: 
 
σ = 
 
 
 
 
 
Devido à simetria da ponte é possível observar que as solicitações mecânicas 
irão se repetir, perante a isso foi feita uma tabela representando a tensão nas barras 
que irão sofrer tração e compressão. 
 
 
6.5.1 Barras tracionadas 
 
Tabela 03 – Demonstração das barras que serão tracionadas ao longo da estrutura 
 
Barra Esforço (+) Área (m²) Tensão (KPa) 
F2=F37 175 N 0,00092 190,2 KPa 
F3=F7=F11=F15=F19=F25=F27=F31=F35 175 N 0,00092 190,2 KPa 
F6=F34 350 N 0,00092 380,4 KPa 
F10=F30 525 N 0,00092 570,6 KPa 
F14=F26 700 N 0,00092 760,8 KPa 
F18=F20 875 N 0,00092 951,08 KPa 
 
Fonte: (Autores, 2018) 
 
6.5.2 Barras comprimidas 
 
Tabela 04 – Demonstração das barras que serão comprimidas ao longo da estrutura 
 
Barra Esforço (-) Área (m²) Tensão (KPa) 
F4=F32 -175 N 0,00092 -190,2 KPa 
F1=F5=F5=F9=F13=F17=F21=F24=F29=F33=F37 -247 N 0,00092 -268,47 KPa 
F8=F28 -350 N 0,00092 -380,4 KPa 
F12=F23 -525 N 0,00092 -570,6 KPa 
F16=F22 -700 N 0,00092 -760,8 KPa 
 
Fonte: (Autores, 2018) 
28 
 
 
7 DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL 
Para dimensionar a estrutura da ponte, foi necessário conhecer as 
propriedades mecânicas do palito. Durante as pesquisas feitas, foi encontrada a 
tração de um palito de picolé, correspondente a 52,55 MPa. A resistência de 
compressão de um palito equivale a 2,88 MPa e a de dois palitos 7,88 MPa, por 
questão de dimensionamento estrutural a resistência que mais se adequou foi a de 
7,88 Mpa, evidentemente devido a sua maior resistência aos futuros esforços 
mecânicos que irão ocorrer. 
A tensão denomina-se como a distribuição de força por uma área 
qualquer, é dada pela equação (1) abaixo: 
 
σ = 
 
 
 
 
Sendo assim, a área de cada membro será representada pela equação (2) 
descrita da seguinte maneira: 
 
A= 
 
 
 
 
 
 
 
Referente aos possíveis erros que podem ocorrer na estrutura devido o palito 
não ser um material que apresente tanta segurança, foi proposto utilizar um 
coeficiente de segurança de 15%. O coeficiente de segurança é indicado para tomar 
precauções quanto às características do material, como uniformidade, propriedades 
mecânicas, entre outros fatores que possam prejudicar de certa forma o projeto em 
si. 
Desta maneira, aplicando o coeficiente de segurança na equação (2), temos a 
equação (3) abaixo: 
 
 
 
 
 
 
29 
 
Para determinar a espessura de cada barra, será utilizada a seguinte 
equação, sabendo que a ℓ (largura) sempre será 10 mm, ou seja, será constante, e a 
área irá variar conforme o esforço solicitado em cada barra, sendo assim, é possível 
obter a espessura, representada pela letra E. 
Desta forma, é definida a equação (4): 
 
 
 
Deixando a espessura em evidência, chega-se na equação (5): 
 
 
 
 
 
 
 
Com as equações acima é admissível determinar a área de seção 
transversal, através dos cálculos que apresentem esforços mecânicos de cada 
membro, o qual está representado pela letra F, assim é possível estabelecer a 
quantidade de palito para cada barra. 
7.1 DIMENSIONAMENTO DAS BARRAS SUJEITAS A TRAÇÃO 
 
 
(Fonte: Autores, 2018) 
 
 
 
 
 
F6;F34 350 7,65 1
F10;F30 525 1,148 1
F14;F26 700 1,53 2
F18;F20 875 1,96 2
Barra
F2;F3;F7;F11;F15;F19;F25;F27;F31;F32;
F35;F37
175 3,82
Esforço no membro (N)
Área de seção 
transversal (m²)
Quantidade de 
palito para seção 
1 
 
 
 
 
30 
 
7.2 DIMENSIONAMENTO DAS BARRAS SUJEITAS A COMPRESSÃO 
 
 
(Fonte: Autores, 2018) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F4;F32 -175 2,55 2
F8;F28 -350 5,1 3
F12;F23 -525 7,4 4
F16;F22 -700 1,02 5
F1;F5;F9;F13;F17;F21;F24;F29;F33;F36 -247 3,1 2
Barra Esforço no membro (N)
Área de seção 
transversal (m²)
Quantidade de 
palito para seção 
 
 
 
 
 
31 
 
8 CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 O presente trabalho foi uma maneira de colocar em prática aquilo que foi 
estudado em aula. Entretanto muitas das informações que eram necessárias para 
os cálculos não constassem no edital, a utilização de artigos e outras fontes de 
pesquisa, permitiram a efetivação do mesmo, fazendo com que os acadêmicos 
buscassem conhecimento e se aprofundassem mais no assunto abordado. 
Pode-se afirmar que o objetivo desse estudo foi alcançado, quando os 
resultados dos cálculos manuais se assemelharam ao que foi obtido através do 
programa Ftool, apresentando uma margem de diferença mínima ou quase nula por 
questões de arredondamento e, consequentemente, possibilitando a determinação 
dos perfis adequados para cada situação dentro da estrutura. 
 Entende-se que um bom projeto estrutural de treliças preza pela eficiência, 
característica fundamental, uma vez que bem dimensionado é possível reduzir 
custos com materiais, inserindo na execução somente o que é necessário. 
 Entretanto, observa- se claramente que cada detalhe interfere diretamente 
no resultado final do projeto, seja ele pequeno ou de maior proporção. De toda 
forma, a grande questão em pauta durante o desenvolvimento dos cálculos como 
da execução, foi à experiência de ver a teoriadeixando o “papel” e se tornando 
realidade. Para o acadêmico e seu aprendizado, este projeto contribui de maneira 
extraordinária, dessa forma expandindo o conhecimento e proporcionando novas 
experiências na execução de projetos e cálculos reais. 
 
 
 
32 
 
REFERÊNCIAS 
BARBOSA, Gênesis da Cunha. Analise de Treliças. ULBRA. Disponível em: 
<http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAjIAAC/analise-trelicas> 
CAMPOS, Pedro Trindade. Projeto e Execução: Ponte de Palitos de Picolé. 2015. 
UFTM. Disponível em: <https://www.passeidireto.com/arquivo/16502246/relatorio----
ponte-de-palitos-de-picole> 
ENGENHEIRAÇO. Como calcular reações de apoio em vigas com carga 
deslocada. 2015. Disponível em: 
<https://engenheiraco.blogspot.com/2015/01/calculo-estrutural.html> 
EQUILIBRIUM ENGENHARIA. Projeto Ponte de Macarrão da disciplina 
Resistência dos Materiais. 2016. Faculdade Área 1. Disponível em: 
<http://equilibriumengenharia.blogspot.com/> 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA. Recomendações e dados para 
projeto de pontes com palito de picolé. 2009. Pet Civil UFJF. Disponível em: 
<file:///C:/Users/Samsung/Downloads/dados_projeto2009.pdf> 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
ANEXO A - PLANEJAMENTO DO PROJETO 
 
34 
 
ANEXO B – VISTA FRONTAL E VISTA SUPERIOR DO PROJETO 
 
 
 
 
 
35 
 
ANEXO C – VISTA LATERAL E ISOMÉTRICA DO PROJETO