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Ana´lise de resposta transito´ria para sistemas de primeira e segunda ordem Controle I Paulo Roberto Brero de Campos 0.1 Introduc¸a˜o Nesta apostila sera˜o estudadas as respostas transito´rias de sistemas de primeira e segunda ordem, analisadas no domı´nio do tempo. No estudo dos sistemas de controle, as equac¸o˜es diferenciais lineares de primeira ordem e segunda ordem sa˜o muito importantes, porque os sistemas de ordem mais elevadas podem ser aproximados para estes tipos de sistemas. 0.2 Sistemas de primeira ordem Um sistema de primeira ordem possui a seguinte func¸a˜o de transfereˆncia: C(s) R(s) = 1 Ts+1 Na forma de diagrama de blocos tem-se: R(s) - 1 Ts+1 -C(s) Figura 1: Diagrama em blocos Uma maneira de se analisar uma func¸a˜o de transfereˆncia e´ aplicar um degrau unita´rio na entrada e observar a resposta na sa´ıda. Sendo o degrau unita´rio R(s) = 1 s , a resposta sera´ dada por: C(s) = 1 Ts+1 R(s) = 1 Ts+1 1 s Separando em frac¸o˜es parciais, obte´m-se: C(s) = A Ts+1 + B s = −T Ts+1 + 1 s = 1 s − 1 s+ 1 T Calculando a transformada inversa, obte´m-se: c(t) = 1− e− tT para t ≥ 0 A resposta ao degrau possui a seguinte forma: 1 0 1 2 3 4 5 0 0.5 1 1.5 t c( t) Substituindo t por valores mu´ltiplos da constante de tempo, tem-se: para t = 0, c(t) = 0 para t = T , c(t) = 0, 632 para t = 2T , c(t) = 0, 865 para t = 3T , c(t) = 0, 950, que e´ a resposta dentro da faixa de 5% do valor final para t = 4T , c(t) = 0, 982, que e´ a resposta dentro da faixa de 2% do valor final para t = 5T , c(t) = 0, 993, que e´ a resposta dentro da faixa de 1% do valor final 0.3 Definic¸a˜o da constante de tempo Ja´ foi visto que a resposta de um sistema de primeira ordem a uma entrada degrau e´ dada por: c(t) = 1− e− tτ O valor de t que torna o expoente de e igual a −1 e´ definido como uma Constante de tempo. Assim: −t τ = −1 enta˜o t = τ . Assim τ =constante de tempo. A partir da func¸a˜o de transfereˆncia: G(s) = 1 τs+1 = 1 τ s+ 1 τ Na func¸a˜o de transfereˆncia, observa-se que τ =constante de tempo e quando se isola o termo em s, obtem-se 1 τ =po´lo. Enta˜o o po´lo e´ o inverso da constante de tempo. Exemplo: Considerando a func¸a˜o de transfereˆncia G(s) = 100 s+20 : a) Calcule o valor do po´lo: o po´lo e´ o valor de s que faz a func¸a˜o tender ao infinito, enta˜o po´lo=s=-20 rad/s. b) Calcule a constante de tempo: pela definic¸a˜o, constante de tempo = τ = 1 20 = 0, 05s 2 c) Calcule o valor final da sa´ıda, aplicando o Teorema do Valor final: f(∞) = lim t→∞ f(t) = lims→0 sF (s) = lims→0 s 100 s+ 20 1 s = 5 d) Calcule o valor final de sa´ıda, pela resposta no tempo: separando em frac¸o˜es parciais, obte´m-se: C(s) = 100 s+20 1 s = A s + B s+20 = 5 s − 5 s+20 Calculando a anti-transformada de Laplace: c(t) = 5− 5e−20t Para t =∞, obtem-se c(s) = 5. e) Calcule o valor de c(t) para uma constante de tempo: a constante de tempo e´ obtida como: −20t = −1 e t = τ = 0, 05. Substituindo este valor de t na equac¸a˜o do item anterior, c(t) = 3, 16. Exerc´ıcio: Considere a resposta de um sistema desconhecido. A partir da resposta no tempo obtenha a func¸a˜o de transfereˆncia. Figura 2: Exerc´ıcio 0.4 Sistemas de segunda ordem A equac¸a˜o diferencial padronizada de um sistema de segunda ordem e´ dada por: d2y(t) dt2 + 2ξωn dy(t) dt + ωn 2y(t) = ωn 2x(t) A constante ξ e´ chamada Coeficiente de amortecimento (ou raza˜o de amortecimento) A constante ωn e´ chamada frequeˆncia natural na˜o amortecida. A transformada de Laplace com condic¸o˜es iniciais nulas e´ dada por: Y (s)s2 + 2ξωnsY (s) + ωn 2Y (s) = ωn 2X(s) A func¸a˜o de transfereˆncia e´ dada por: G(s) = Y (s) X(s) = ωn 2 s2+2ξωns+ωn2 Os po´los da func¸a˜o sa˜o dados por: s = −ξωn ± ωn √ ξ2 − 1 O coeficiente de amortecimento (ξ) fornece indicac¸o˜es de como sera´ a resposta transito´ria do sistema: 3 1. Se ξ > 1, o sistema possui dois po´los reais e distintos 2. Se 0 ≤ ξ < 1, o sistema possui po´los complexos conjugados, localizados em: s = −ξωn ± jωn √ 1− ξ2 = −σ ± jωd 3. Se ξ = 1, o sistema possui duas ra´ızes reais iguais. onde: σ = taxa de decaimento ωd = frequeˆncia natural amortecida Resumo: a)0 ≤ ξ < 1 – sistema sub-amortecido (amortecimento sub-cr´ıtico) b) ξ = 1 – amortecimento cr´ıtico c) ξ > 1 – sistema super-amortecido (amortecimento super-cr´ıtico) 0 10 20 30 40 50 0 0.5 1 t c( t) ξ < 1 ξ = 1 ξ > 1 Para ξ < 1 o lugar geome´trico dos po´los e´ mostrado na figura 3. - 6 @ @ @I . . . +jωd −jωd- −σ * * θ θ = cos−1ξ . . .... .. . ... . . s = −σ + jωd s = −σ − jωd Figura 3: Plano s 0.5 Definic¸a˜o de constante de tempo para sistemas de segunda ordem, com ξ < 1 Neste caso os po´los sa˜o complexos conjugados: 4 s = −ξωn ± jωn √ 1− ξ2 = −σ ± jωd A func¸a˜o de transfereˆncia e´ dada por: F (s) = ω 2 n (s+σ+jωd)(s+σ−jωd) No tempo, calculando a anti-transformada de Laplace, obte´m-se: f(t) = A1e (−σ−jωd)t + A2e(−σ+jωd)t = Ae−σtsen(ωdt+ φ) O termo e−σt e´ denominado taxa de decaimento. Pela definic¸a˜o de constante de tempo, vista na parte inicial da apostila: −σt = −1, t = 1 σ = τ , desta forma: τ = 1 σ = 1 ξωn 0 20 40 60 80 100 120 −0.5 0 0.5 1 t c( t) Ae(−σt)sen(ωdt+ φ) e(−σt) Exerc´ıcio: desenhe as regio˜es para: ξ,ωn, ωd, σ constantes. 0.5.1 Exemplo Analise o sistema abaixo, sendo ξ = 0, 5 e ωn = 10rad/s: E(s)- ω2n s(s+2ξωn) -i C(s)-+R(s) - 6 Figura 4: Diagrama em blocos a) Calcule os po´los em malha fechada: b) Calcule a frequeˆncia natural amortecida: c) Calcule a constante de tempo do sistema d) Determine o tio de resposta que o sistema exibe 5 0.6 Especificac¸o˜es de Resposta transito´ria para siste- mas de segunda ordem As caracter´ısticas de desempenho desejadas de sistemas de controle sa˜o especificadas em termos de grandezas no domı´nio do tempo. Sistemas com armazenamento de energia na˜o podem responder instantaneamente e tera˜o respostas transito´rias sempre que sujeitos a alterac¸o˜es na entrada ou sujeitos a perturbac¸o˜es. Frequentemente as caracter´ısticas de desempenho de um sistema de controle sa˜o especi- ficadas em termos da resposta transito´ria para uma entrada em degrau unita´rio, pois esta entrada e´ fa´cil de gerar e e´ suficientemente severa. As seguintes informac¸o˜es sa˜o usadas para especificar a resposta no tempo: 1) Tempo de atraso (delay) – td 2) tempo de subida (rise time) – tr 3) Instante de pico – tp 4) Sobressinal ma´ximo – Mp 5) tempo de acomodac¸a˜o – ts Figura 5: Resposta de um sistema de segunda ordem 1) Tempo de atraso (td) – e´ o tempo necessa´rio para a resposta alcanc¸ar pela primeira vez a metade do valor final. 2) Tempo de subida (tr) – e´ o tempo necessa´rio para a resposta passar de 10% a 90%, de 6 5% a 95% ou de 0 a 100%. Normalmente usa-se de 10% a 90%. 3) Instante de pico (tp) – e´ o tempo necessa´rio para a resposta alcanc¸ar o primeiro pico do sobressinal. 4) Sobressinal Ma´ximo ( Mp em valor percentual) – e´ o valor de pico da curva de resposta medido a partir do valor unita´rio, para a sa´ıda padronizada. Se o valor final do regime estaciona´rio de resposta difere da unidade, enta˜o normalmente se usa o ma´ximo sobressinal percentual: Mp(%) = c(tp)−c(∞) c(∞) 100% O valor do sobressinal ma´ximo (percentual) fornece indicac¸o˜es da estabilidade relativa do sistema. 5) Tempo de estabilizac¸a˜o (acomodac¸a˜o) (ts) – e´ o tempo necessa´rio para a curva de resposta alcanc¸ar e permanecer dentro de uma faixa em torno dovalor final (normalmente ±1%, ±2% ou ±5%) O tempo de estabilizac¸a˜o esta´ relacionado com a maior constante de tempo do sistema de controle. A escolha de que percentagem usar no crite´rio de erro, pode ser determinada a partir dos objetivos do projeto do sistema em questa˜o. Comenta´rios: Estas especificac¸o˜es sa˜o importantes, pois os sistemas de controle atuam no domı´nio do tempo, devendo apresentar respostas temporais satisfato´rias. E´ deseja´vel que a resposta transito´ria seja suficientemente ra´pida e suficientemente amor- tecida. Para um sistema de segunda ordem a resposta deve estar na faixa: 0, 4 ≤ ξ ≤ 0, 8. Valores menores que ξ ≤ 0, 4 resultam em sobressinal excessivo. Valores maiores que ξ ≥ 0, 8, o sistema responde de forma lenta. 0.7 Resumo 1) Rise-time – tempo de subida (tr) tr(10%−90%) ∼= 0,8+2,5ξωn 2) Tempo de pico e sobressinal (tp e Mp) tp = pi ωd 7 Mp = e − piξ√ 1−ξ2 (algumas vezes Mp e´ expresso em valores percentuais (exemplo, Mp = 10%), mas na equac¸a˜o deve ser escrito como Mp = 0, 10. 3) Tempo de estabilizac¸a˜o (ts) ts1% ∼= 4,6σ ts2% ∼= 4σ ts5% ∼= 3σ 0.8 Resposta transito´ria para sistemas de segunda or- dem, para um degrau unita´rio na entrada. A figura abaixo mostra as respostas padronizadas para um sistema de segunda ordem. Figura 6: Resposta padronizada para um sistema de segunda ordem 0.9 Efeito dos zeros Zeros tem um efeito significante na resposta transito´ria, para sistemas sobre-amortecidos, especialmente se eles esta˜o pro´ximos a` origem. 8 0.10 Resposta natural e resposta forc¸ada Quando um sistema dinaˆmico e´ sujeito a forc¸as externas na sua entrada, a sa´ıda resultante pode ser separada em duas partes: a resposta natural yn(t) e a resposta forc¸ada yf (t). A resposta natural e´ definida como a parte da resposta completa que consiste dos mo- dos naturais do sistema. A resposta forc¸ada consiste de termos adicionais modais que sa˜o definidos pela entrada u(t). 0.11 Exerc´ıcios 1. Para os exemplos usados nesta apostila, determine as respostas natural e forc¸ada. 2. Dado os sistemas abaixo, reduza a um u´nico bloco e escreva a func¸a˜o de transfereˆncia. Figura 7: Diagramas de blocos 3. Dada a func¸a˜o de transfereˆncia F(s)=C(s)/R(s) que representa um sistema em malha aberta, sendo R(s) um degrau unita´rio, 8, determine: a) o valor dos po´los e os localize no plano s; b) tipo de resposta; c) coeficiente de amortecimento (ξ); d) frequ¨eˆncia natural na˜o amortecida (ωn) e a frequ¨eˆncia natural amortecida (ωd); e) Tr, Ts5%, Ts2%, Tp e Mp; 9 f) constante de tempo. - 9 s2+2s+9 - Figura 8: Diagrama em blocos 4. Considere o sistema representado pela func¸a˜o de transfereˆncia que possui um zero real em s = −1 α . G(s) = αω 2 ns+ω 2 n s2+2ξωns+ω2n Considerando a resposta no tempo para um degrau unita´rio, analise as respostas para: a) α = 0; b) α = 1; c) α = 2; d) Comparando com uma func¸a˜o sem zero, α = 0, que termo que aparece devido ao zero? 5. Fac¸a os exerc´ıcios propostos na apostila ”Efeitos de polos e zeros na resposta.pdf”que esta´ no site http://pessoal.utfpr.edu.br/brero/controle 1/2 sem 2012/Exercicios/. Estes exerc´ıcios devem ser entregues ao professor, valendo 0,4 pon- tos. 6. Projete o sistema mostrado na figura 9 para obter-se ξ = 0, 7. a) calcule ts5%, Mp e tp b) calcule o valor do po´los em malha fechada. E(s)- K30 s(s+30) -i C(s)-+R(s) - 6 Figura 9: Exerc´ıcio 10 Introdução Sistemas de primeira ordem Definição da constante de tempo Sistemas de segunda ordem Definição de constante de tempo para sistemas de segunda ordem, com < 1 Exemplo Especificações de Resposta transitória para sistemas de segunda ordem Resumo Resposta transitória para sistemas de segunda ordem, para um degrau unitário na entrada. Efeito dos zeros Resposta natural e resposta forçada Exercícios
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