lista1-fisica-mat1-2014-2

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Universidade Federal Fluminense — UFF
F´ısica Matema´tica 1 — 1a Lista de Exerc´ıcios
Varia´vel Complexa
Prof.Schmidt
08/2014
Problemas
1. Calcule as integrais reais considerando que xp > 0 para x > 0.
I1 =
∫ ∞
0
xp−1 cos(ax)dx, I2 =
∫ ∞
0
xp−1 sin(ax)dx
onde a > 0 e 0 < p < 1 para a primeira e a > 0 e −1 < p < 1 para a segunda. Dica:
use o contorno da figura 1.
2. Sendo a ∈ R calcule,
I3 =
∫ ∞
0
sin(ax)dx
sinh(x)
, I4 =
∫ ∞
0
cosh(ax)dx
cosh(pix)
,
onde na integral I4 o paraˆmetro satisfaz −pi < a < pi. Dicas para I3: comece da
integral
∫
C dz exp (iaz)/ sinh(z) e use o contorno da figura 2. Dicas para I4: analise
a integral
∫
C dz exp (az)/ cosh(piz) e use o contorno da figura 3.
3. (a) Utilizando a identidade
Γ(z)Γ(1− z) = pi
sin(piz)
,
mostre que se Re(ν) < 0 enta˜o,
1
Γ(1 + ν)
=
1
2pii
∫
C
ezdz
zν+1
,
onde C e´ o contorno de Hankel que comec¸a em −∞− i0 sobre o eixo real, vai ate´
−ε−i0, circula a origem no sentido anti-hora´rio ao longo de uma circunfereˆncia com
raio ε ate´ o ponto −ε+ i0, e retorna para −∞+ i0.
(b) Desenhe o contorno C e calcule a integral;
(c) Esta integral converge se Re(ν) ≥ 0?
4. Calcule a transformada inversa de Laplace de F (s) = 1/(s2 + ω2), sendo
ω > 0, ou seja, obtenha f(x) integrando,
f(x) =
1
2pii
∫ c+i∞
c−i∞
esxds
s2 + ω2
,
desenhando um contorno fechado no plano complexo s. Dica: use o contorno de
Bromwich. Ele comec¸a em c − iR, vai ate´ c + iR e pode ser fechado a` direita ou
a` esquerda foi uma semi-circunfereˆncia. Escolha convenientemente este arco para
poder utilizar o teorema dos res´ıduos de Cauchy.
5. Mostre que se Re(z) > 0 a func¸a˜o de Bessel de primeira espe´cie de ordem ν
possui a representac¸a˜o integral abaixo,
Jν(z) =
1
2pi
∫
C
exp (iz sin ζ − iνζ)dζ,
onde o contorno e´ dado na figura 4. Supondo que a ordem ν seja um inteiro n
obtenha o caso especial,
Jn(z) =
1
pi
∫ pi
0
cos(z sin ζ − nζ)dζ.
1
Contornos
2