Exercícios RESOLVIDOS - Derivadas parciais

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Exercício 1 
Por meio de uma regra da cadeia, ache 
z
w
∂
∂
 se 
32 tsvrw ++= , com 222 zyxr ++= , 
xyzs = e yxev = e 2yzt = . 
Solução: 
��
�� =
��
��
��
�� +
��
��
��
�� +
��
��
��
�� +
��
�	
�	
�� = 
2��
2�� + 
��
�� + 
��
0� + 
3	
��
2��� 
��
�� =
��
��
��
�� +
��
��
��
�� +
��
��
��
�� +
��
��
��
�� = ��� + ��� + ��
��� 
Exercício 2 
Certo gás obedece à lei dos gases ideais �� = 8!. Suponha que o gás esteja sendo aquecido à 
taxa de min/2° e a pressão esteja aumentando a taxa de min/)/(
2
1 2cmKg . Se, em certo 
instante, a temperatura é de 200° e a pressão é de )/(10 2cmKg , ache a taxa à qual o 
volume está variando. 
Solução: 
As taxas de P, V e T estão relacionadas com o tempo t (em minutos). Pede-se, assim, 
"#
"$ . 
 
"%
"$ � + �
"#
"$ = 8
"&
"$ 	� (
)
�* 
� =? � + 
10�
"#
"$ = 8
2� � (
)
�* 
160� + 
10�
"#
"$ = 8
2� 
"#
"$ =
.
��/(01*
)23�
)3 � 
45
4� = −�, �	
89:
9;< 
 
�� = 8! � 
10�� = 8
200� � � = 160	=>? 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 3 
A areia está vazando por um buraco em um recipiente à razão de min/6 3cm . Ao vazar, a 
areia vai formando uma pilha em forma de um cone circular reto cujo raio da base aumenta à 
razão de min/
4
1
cm . Se no instante em que já vazaram 340cm , o raio é de 5 centímetros, 
determine a taxa de aumento da altura da pilha. 
Solução: 
As taxas de Volume (V), Raio (R) e Altura (H) estão relacionadas com o tempo t (em minutos). 
Pede-se, assim, 
"@
"$ . 
�
A; C� = )?DA
�C		 � "#"$ =
)
?D (2A
"E
"$ C +	A
� "@
"$*	� 
� 6 = )?D F2
5� (
)
H* 
C =? � +	
5�
� "@
"$ I	 � 6 =
)
?D F2
5� (
)
H* 
�H
JK� +	
5�
� "@
"$ I � 
6 = 4 + F	�JK?
"@
"$ I	� 2 =
�JK
?
"@
"$ � 
4M
4� =
�
�NO 	
89
9;< ≅ Q, QR�
89
9;< 
 
�
C; A� = )?D
5�
�C = 40		� C = ?
H3��JK 		� M =
��
NO 	89 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
Exercício 4 
Seja xyxyxf 4),( 2 −= . Ache o gradiente de f no ponto )2,1(=P e esboce o vetor Pf∇ . 
Use o gradiente para achar a derivada direcional de f em )2,1(=P na direção de 
)2,1(=P para )5,2(=Q 
Solução: 
	 Pf∇ 
1; 2� = 〈TUTV 
1; 2�;
TU
TW 
1; 2�〉 = 〈−�;−�〉 
TU
TV = 2
 − 4� � 
TU
TV 
1; 2� = 2
1� − 4
2� = −6 
TU
TW = 0 − 4
 � 
TU
TW 
1; 2� = 0 − 4
1� = −4 
 
�Y = �Z[[[[[Y = 〈
2 − 1�; 
5 − 2�〉 = 〈1; 3〉 
\[Y] =
〈1; 3〉
√1� + 3�
= 〈 1
√10
; 3
√10
〉 
 
_ [`[Yab
1; 2� = Pf∇ 
1; 2�. \[Y] = 〈−6;−4〉 〈
1
√10
; 3
√10
〉 = 
−6�
1� + 
−4�
3�
√10
= −de
√dQ
 
 
Exercício 5 
Verificar se a função yxxyz ++= )ln( satisfaz a equação yx
y
zy
x
z
x −=
∂
∂
−
∂
∂
 
Solução: 
Tf
TV =
)
VW � + 1 + 0 =
)
V + 1		 � 
Tf
TV = 1 + 
 
Tf
TW =
)
VW 
 + 0 + 1 =
)
W + 1		 � �
Tf
TW = 1 + � 
� ���� − �
��
�� = 
d + �� − 
d + �� = � − � 
∇b%
);�� 
\][[[[Y 
−∇b%
);�� 
hi[[Y�j
d; ��
�Y 
P