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Aurora bor eal, fenôme no óptico ob servado nos céus de reg iões próxima s a zonas p olares Planos de Manejo garantem produçãode alimentos em áreas de proteçãoambiental •• Matemática – Matrizes pg. 02 •• Matemática – Determinantes pg. 04 •• Física – Óptica geométrica pg. 06 •• Física – Refração da luz pg. 08 •• Português – Perscrutando o texto pg. 10 Matrizes Notação geral Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas por dois índicesz que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por: ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a23 é o elemento da 2. a linha e da 3.a coluna. Na matriz , temos: Ou na matriz B = [ −1 0 2 5 ], temos: a11 = −1, a12 = 0, a13 = 2 e a14 = 5. Denominações especiais Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais. Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A =[4 7 −3 1], do tipo 1 x 4. Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo, , dotipo 3 x 1. Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo, a matriz é do tipo 2 x 2, isto é, quadrada de ordem 2. Numa matriz quadrada, definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A principal é formada pelos elementos aij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1. Veja: Observe a matriz a seguir: a11 = −1 é elemento da diagonal principal, pois i = j = 1 a31= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 (3 + 1 = 3 + 1) Matriz nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0m x n. Por exemplo, . Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos. Por exemplo: Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos; é representada por In, sendo n a ordem da matriz. Por exemplo: Assim, para uma matriz identidade: In Matriz transposta: matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo: Se Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, At é do tipo n x m. Note que a 1.a linha de A corresponde à 1.a coluna de At e a 2.a linha de A corresponde à 2.a coluna de At. Matriz simétrica: matriz quadrada de ordem n, tal que A = At . Por exemplo, é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 = 4, ou seja, temos sempre aij = aji. Matriz oposta: matriz −−A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de A. Por exemplo, . Igualdade de matrizes Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posição são iguais: A=B⇔aij = bij para todo 1≤ i ≤ m e todo 1≤ j≤ n. e A = B, então c = 0 e b = 3 Operações envolvendo matrizes Adição Dadas as matrizes, A = [aij]mxn e B = [bij]mxn, chamamos de soma dessas matrizes a matriz C = [Cij]mxn, tal que Cij = aij + bij, para todo: l ≤ i ≤ m e todo l ≤ j ≤ n A + B = C Exemplos: Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo. Propriedades Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo (m x n), temos as seguintes propriedades para a adição: a) comutativa: A + B = B + A 2 Melhoramento genético, preservação de ecossistemas e recuperação de áreas degradadas. Estes são alguns dos focos das pesquisas desenvolvidas por alunos do curso de Engenharia Florestal da UEA em trabalhos de conclusão de curso. As pesquisas, ainda que preliminares, já demonstram resultados significativos no esforço de produzir conhecimentos aplicáveis ao manejo e proteção de recursos florestais e representam uma parte da contribuição da UEA para preservação do ecossistema da região e melhoria das condições de vida do homem amazônico. É o caso da pesquisa desenvolvida por Larissa Chevreuil. Orientada pela pelas professoras Silvana Cristina Pando e Márcia Bananeira Castro e Silva, a estudante pesquisou a caracterização de proteínas de sementes florestais da Amazônia. Com esse trabalho, a aluna foi aprovada no Programa de Pós-Graduação em Ciências de Florestas Tropicais do INPA. A avaliação de sementes, principal insumo para produção de mudas de qualidade usadas no reflorestamento, foi o objeto de um outro estudo, desenvolvido pela aluna Adriana de Araújo Bastos. O trabalho, inserido no projeto Parkia, da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Amazonas (Fapeam), foi orientado pelas professoras Ângela Maria da Silva Mendes e Maria da Glória Gonçalves de Melo. Desenvolvendo estudos sobre plantas jovens de mogno (Swietena macrophylla King), o acadêmico Adamir da Rocha Nina Júnior buscou identificar o melhor ambiente de plantio da espécie. A pesquisa, cujos resultados devem viabilizar plantios por meio da seleção de indivíduos de alta performance produtiva e também o manejo florestal, garantiu ao acadêmico, aprovação em três cursos de mestrado, em algumas das principais instituições de pesquisa do Estado: Ufam, UEA e INPA. O trabalho foi orientado pelos professores José Francisco de Carvalho Gonçalves e Ananias Alves Cruz. A identificação de doenças em espécies florestais da Amazônia foi o tema central do trabalho da aluna Áurea da Silva Trindade. Considerando a escassez de estudos sobre doenças mais incidentes da região, ela identificou três novas doenças foliareas em mudas de andiroba (Carapa guianensis), jacareúba (Calophyllum brasiliensis), ipê roxo (Tabebuia impetiginosa) e mogno (Swietena macrophylla). O trabalho representa o primeiro passo para a adoção de manejo fitossanitário em plantios e no manejo sustentável das espécies nativas. Pesquisas de alunos da UEA contribuem para preservação da floresta Matemática Professor CLÍCIO b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C) c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x n d) elemento oposto: A + (−A) = (−A) + A = 0 Subtração Dadas as matrizes A = [aij]mxn e B = [bij]mxn, chamamos de diferença entre essas matrizes a soma de A com a matriz oposta de B: A − B = A + ( − B ) Observe: Multiplicação de um número real por uma matriz Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, bij = xaij: B = x . A. Observe o seguinte exemplo: Propriedades Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reais quaisquer, valem as seguintes propriedades: a)associativa: x . (yA) = (xy) . A b)distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x . (A + B) = xA + xB c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: (x + y) . A = xA = yA d)elemento neutro: xA = A, para x=1, ou seja, A=A Multiplicação de matrizes O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos seus respectivos elementos. Assim, o produto das matrizes A = (aij)mxp e B = (bij)pxn é a matriz C = (cij)mxn em que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da ié- sima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B. Vamos multiplicar a matriz para entender como se obtém cada Cij: 1.a linha e 1.a coluna: 1.a linha e 2.a coluna: 2.a linha e 1.a coluna: 2.a linha e 2.a coluna: Assim, observe que: Portanto, A . B ≠ B . A, ou seja, para a multiplica- ção de matrizes não vale a propriedade comutativa. Vejamos outro exemplo com as matrizes: Da definição, temos quea matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B: A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n): Se A3 x 2 e B2 x 5 , então (A . B)3 x 5 Se A4 x 1 e B2 x 3, então não existe o produto Se A4 x 2 e B2 x 1, então (A . B)4 x 1 Propriedades Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes propriedades: a) associativa: (A . B). C = A .(B . C) b) distributiva em relação à adição: A .(B + C)= A . B + A . C ou (A + B). C = A . C + B . C c) elemento neutro: A . In = In . A = A, sendo In a matriz identidade de ordem n Vimos que a propriedade comutativa, geralmen- te, não vale para a multiplicação de matrizes. Não vale também o anulamento do produto, ou seja: sendo 0m x n uma matriz nula, A .B =0 m x n não implica, necessariamente, que A = 0 m x n ou B = 0 m x n. Matriz inversa Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A’, de mesma ordem, tal que A . A’ = A’ . A = In , então A’ é matriz inversa de A . representamos a matriz inversa por A-1 . Exemplos: 01. (FGV)Determinar a inversa da matriz . Solução: 02. (PUC) Determine a matriz X na equação A.(B+X)T= C, sabendo- se que A, B e C são inversíveis. Solução: A.(B + X)T = C ⇒ A-1.A.(B + X)T = A-1.C I2.(B + X)T= A-1.C (B + X)T= A-1.C B + X = (A-1.C)T X = (A-1.C)T – B 3 01. Sendo A= e B= ,calcule o valor de 2 A – B. a) b) c) d) e) 02. Se A e B são matrizes do tipo 2 x 3, qual das seguintes operações não pode ser efetuada? a) A + B b) At – Bt c)(A + B) . Bt d) Bt . A e) A . B 03. Sabe-se que as ordens das matrizes A, B e C são, respectivamente, 3xr, 3xs, e 2xt. Se a matriz (A – B) . C é de ordem 3x4, então r + s + t é igual a: a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14 04. Dadas as matrizes A= e B= , conclui-se que a matriz: a) AB é nula b) BA é não nula c) A2 é nula d) B2 é nula e) A + B é nula 05. Multiplicando obtemos . O produto dos elementos a e b da primeira matriz é: a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 6 06. Sejam as matrizes M= e T= . Se M . T é a matriz nula 2 x 1, então p . q é igual a: a) –12 b) –15 c) –16 d) –18 07. O valor de x para o qual se tem é: a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2 08. Se A é igual a , então A3 é igual a: a) b) c) d) e) Desafio Matemático Determinantes Entenderemos por determinante , como sendo um número ou uma função, associado a uma matriz quadrada , calculado de acordo com regras específicas . É importante observar , que só as matrizes quadradas possuem determinante. 1. Regra para o cálculo de um determinante de 2.ª ordem. Dada a matriz quadrada de ordem 2 , temos que: O determinante de A será indicado por det(A) e calculado da seguinte forma: det (A) = 1/2 A1/2 = ad − bc Exemplo: = senx . senx − [cosx . (−cosx)] = senx . senx + cosx . cosx Regra para o cálculo de um determinante de 3.a ordem (Regra de SARRUS). Para o cálculo de um determinante de 3.a ordem pela Regra de Sarrus, proceda da seguinte maneira: 1. Reescreva abaixo da 3.a linha do determinante, a 1.a e 2.a linhas do determinante. 2. Efetue os produtos em “diagonal”, atribuindo sinais negativos para os resultados à esquerda e sinal positivo para os resultados à direita. 3. Efetue a soma algébrica. O resultado encontrado será o determinante associado à matriz dada. Exemplo: Portanto, o determinante procurado é o número real positivo 8. Principais propriedades dos determinantes P1. Somente as matrizes quadradas possuem determinantes. P2. O determinante de uma matriz e de sua transposta são iguais: det(A) = det( At ). P3. O determinante que tem todos os elementos de uma fila iguais a zero , é nulo. Obs: Chama-se FILA de um determinante, qualquer LINHA ou COLUNA. P4. Se trocarmos de posição duas filas paralelas de um determinante, ele muda de sinal. P5. O determinante que tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais, é nulo. P6. Multiplicando-se (ou dividindo-se) os elemen- tos de uma fila por um número, o determinan- te fica multiplicado (ou dividido) por esse número. P7. Um determinante não se altera quando se substitui uma fila pela soma desta com uma fila paralela, multiplicada por um número real qualquer. P8. Determinante da matriz inversa: det( A-1)= 1/det(A). Se A-1 é a matriz inversa de A , então A . A-1 = A-1 . A = In , onde In é a matriz identidade de ordem n. Nestas condições , podemos afirmar que det(A.A-1) = det(In) e portanto igual a 1. Logo , podemos também escrever det(A) . det(A-1) = 1; logo , concluímos que: det(A-1) = 1/det(A). Notas: 1. Se det(A) = 0 , não existe a matriz inversa A–1. Dizemos então que a matriz A é SINGULAR ou NÃO INVERSÍVEL . 2. Se det A ≠ 0, então a matriz inversa A-1 existe e é única. Dizemos então que a matriz A é INVERSÍVEL . P9. Se todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem n, forem nulos (matriz triangular), o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. P10.Se A é matriz quadrada de ordem n e k∈IR então det(k.A) = kn . det A Exemplos: 1) Qual o determinante associado à matriz? Observe que a 4.ª linha da matriz é proporcional à 1.ª linha (cada elemento da 4.ª linha é obtido multiplicando os elementos da 1.ª linha por 3). Portanto, pela propriedade P5, o determinante da matriz dada é NULO. 2) Calcule o determinante: Observe que a 2.ª coluna é composta por zeros; FILA NULA POSSUI DETERMINANTE NULO , conforme propriedade P3 acima. Logo, D=0. 3) Calcule o determinante: Ora, pela propriedade P9 acima, temos: D = 2.5.9 = 90 Definições. a)Chama-se Menor Complementar (Dij) de um elemento aij de uma matriz quadrada A, ao determinante que se obtém eliminando-se a linha i e a coluna j da matriz. Assim, dada a matriz quadrada de terceira ordem (3x3) A a seguir : Podemos escrever: Da mesma forma determinaríamos D11, D12, D13, D21, D22, D31, D32 e D33. Faça os cálculos como exercício! b)Cofator de um elemento aij de uma matriz : cof (aij) = (−1 ) i+j . Dij . Assim, por exemplo, o cofator do elemento a23 = 9 da matriz do exemplo anterior, seria igual a: cof(a23) = (−1) 2+3 . D23 = (−1) 5 . 10 = − 10. Teorema de Laplace. • determinante de uma matriz quadrada é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores. • Este teorema permite o cálculo do determi- nante de uma matriz de qualquer ordem. Como já conhecemos as regras práticas para o cálculo dos determinantes de ordem 2 e de ordem 3, só recorremos à este teorema para o cálculo de determinantes de 4.a ordem em diante. O uso desse teorema, possibilita abaixar a ordem do determinante. Assim, para o cálculo de um determinante de 4.a ordem, a sua aplicação resultará no cálculo de quatro determinantes de 3.a ordem. O cálculo de determinantes de 5.a ordem, já justifica o uso de planilhas eletrônicas, a exemplo do Excel for Windows, Lótus 1-2-3, entre outros. • Para expandir um determinante pelo teorema de Laplace, é mais prático escolher a fila (linha ou coluna) que contenha mais zeros, pois isto vai facilitar e reduzir o número de cálculos necessários. • Pierre Simon Laplace – (1749–1827) – Matemático e astrônomo francês. 4 Desafio Matemático 01. Dadas as matrizes A= e B= , o determinante da matriz A . B é: a) –1 b) 6 c) 10 d) 12 e) 14 02. São dadas as matrizes M1= e M2 = . Considerando-se que o determinante da matriz M2 vale D, o determinante de M1 valerá: a) –2D-1 b) –2D c) –1/2D d) 1/2D-1 e) 1/2D 03. Calcule o valor de x,a fim de que o determinante da matriz A seja nulo: a) x = 7 b) x = 10 c) x = 13 d) x = 15 e) x = 9 04. Na matriz A, faça K = 0 e resolva a equação matricial . Dê o valor de x – y – z. a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 05. Seja a matriz A= . Sabendo-se que At = A, calcule o determinante da matriz A – A2 + I 23, sendo I3 a matriz identidade de ordem 3. a) –35 b) 67 c) 89 d) –76 e) –54 2x + 2–x 2x – 2–x 06. Sendo a= ––––––– e b=–––––– , o 2 2 determinante da matriz é igual a: a) 1/4 b) 4 c) 1 d) 1/2 07. Calcular x e y de sorte que: a) x = 1, y = 3 b) x = 3, y = 2 c) x = 4, y = 4 d) x = 4, y = 3 Matemática Professor CLÍCIO Cálculo da inversa de uma matriz. a)A matriz inversa de uma matriz X , é a matriz X-1 , tal que X . X-1 = X-1 . X = In , onde In é a matriz identidade de ordem n. b)Matriz dos cofatores da matriz A: é a matriz obtida substituindo-se cada elemento pelo seu respectivo cofator. Símbolo: cof A . c) Fórmula para o cálculo da inversa de uma matriz: 1 A-1=––––– . (cofA)T detA Onde: A-1 = matriz inversa de A; det A = determinante da matriz A; (cof A)T = matriz transposta da matriz dos cofatores de A . Determinante de matrizes de Vandermonde Chama-se matriz de Vandermonde a toda matriz quadrada de ordem n x n , ou seja, com n linhas e n colunas, da forma geral: Observe que na matriz de Vandermonde acima, temos: a)a primeira linha é composta por bases do tipo ai (i ∈ N , conjunto dos números naturais) elevado a zero, ou seja, a1, a2, ... , an elevadas ao expoente zero e portanto são todas iguais a 1, pois a0 = 1 para todo a∈R, conjunto dos números reais. b)a segunda linha é composta por bases do tipo ai elevado à unidade, ou seja, a1, a2, ... , an elevadas ao expoente um e portanto são todas iguais a si próprio, pois a1 = a para todo a∈R. Sendo assim, a matriz genérica acima pode ser reescrita na forma a seguir: Numa matriz de Vandermonde, os elementos a1, a2, a3, ... , an são denominados elementos característicos da matriz. Assim, por exemplo, na matriz de Vandermonde abaixo, os elementos característicos são 5, 6 e 7. Observe que a matriz é de Vandermonde pois na terceira linha os elementos são obtidos da segunda linha, quadrando cada termo, ou seja: 25 = 52, 36 = 62 e 49 = 72. Prova-se que o de uma matriz de Vandermonde pode ser obtido multiplicando- se todas as diferenças possíveis entre os elementos característicos (ai – ak) com a condição de que i>k. Assim, por exemplo, na matriz M acima, o determinante será igual a : |M| = (6 – 5).(7 – 6).(7 – 5) = 1.1.2 = 2. Veja mais um exemplo: Calcule o determinante de Vandermonde abaixo: Ora, como os elementos característicos são 5, 3, 2 e 4, o determinante será igual a: |D| = (3 – 5).(2 – 5).(2 – 3).(4 – 5).(4 – 3).(4 – 2) = (–2).(–3).(–1).(–1).1.2 = 12 Claro que este método de cálculo de, aplica-se somente a matrizes de Vandermonde. Nota: como o determinante de Vandermonde é obtido multiplicando-se todas as diferenças pos- síveis (ai – ak) entre os elementos característicos, com a condição que i > k, podemos concluir que se pelo menos dois dos elementos carac- terísticos forem iguais entre si, o determinante será nulo, pois aparecerá um zero no produto. Exemplo: = 0 ⇔ (5 − 7) . (X − 7) . (x − 5) = 0 ⇔ (−2) . (x − 7) . (x − 5) = 0 ⇔ x = 7 x = 5 Então, se x for igual a 5 ou a 7, o determinante de Vandermonde acima será nulo. Exercícios resolvidos 01. Dada uma matriz A de ordem 3, cujo deter- minante é igual a 2, calcule o determinante da matriz 2A. a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 Resolução: Det (2A) = 23.det A = 8. 2 = 16 02. O valor do determinante da matriz é igual a: a) 2 b) 3 c) 4 d) 0 e) –1 Resolução: 2x + 2–x 2x – 2–x 03. Sendo a=–––––––– e b=–––––––– , o 2 2 determinante da matriz é igual a: a) 1/4 b) 4 c) 1 d) 1/2 e) 2 Resolução: 2x + 2–x 2x + 2–x a – b = –––––––– – –––––––– = 2–x 2 2 2x – 2–x 2x – 2–x a + b = –––––––– – –––––––– = 2x 2 2 04. Quais os valores assumidos pela função ? a) [0;1] b) ]0;1] c) [0;1[ d) ]0;1[ e) [0;2] Resolução: f(x) = senx. cosx. sen2x = (1/2).sen2x.sen2x = (1/2).sen2 2x Como –1 ≤ sen2x ≤ 1, temos que 0 ≤ sen2 2x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ (1/2)sen2 2x ≤ 1/2 ⇒ 0 ≤ f(x) ≤ ½ 05. Calcule o valor de . a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Resolução: 06. O determinante da matriz é igual a: a) –1 b) 1 c) 0 d) 2 e) –2 Resolução: , já que a terceira coluna é igual à soma das colunas 1 e 2. 5 Desafio Matemático 01. A condição para que o determinante da matriz A= seja diferente de zero é: a) a = –1 e a = 2 b) a ≠ 1 e a ≠ –2 c) a > 0 d) a ≠ –1 e a ≠ 2 e) a ≠ 1 e a ≠ 2 02. O valor de é: a) 4 (cosa + sena) b) 4 c) 2(cos2a – sena) d) 2 e) 0 03. Sejam as matrizes A= e B= . A equação det (A – xB) = 0, com x∈IR, admite: a) uma raiz de multiplicidade 2; b) uma raiz negativa; c) duas raízes negativas; d) uma raiz positiva e outra negativa; e) uma raiz nula. 04. O valor do determinante da matriz é igual a: a) –4 b) –3 c) –1 d) 2 e) 3 05. Considere as matrizes A= , B= e C= . Sabe-se que B = C, o determinante da matriz A será: a) 42 b) 21 c) 24 d) 12 e) 15 06. Se A= e M = At + A–1, então o determinante da matriz M é igual a: a) –89 b) –39 c) 0 d) –1 e) 39 07. Se A é uma matriz quadrada de ordem n, de elementos reais, λλ é um número real e I, a matriz identidade de ordem n, chama-se “valor próprio” de A a uma raiz da equação det(A –λλ. I) = 0, em que “det” significa determinante. Dessa forma, a soma dos valores próprios da matriz A, abaixo é: a) 4 b) 2 c) 0 d) 6 e) –4 Óptica geométrica Estuda as leis que descrevem o comportamento geométrico da luz nos fenômenos ópticos. Reflexão da luz – Fenômeno óptico que ocorre quando a luz, ao incidir em uma superfície que separa dois meios, volta ao meio original. a) Reflexão difusa – Efetua-se em todas as direções, como a reflexão produzida por todos os corpos que não apresentam uma superfície polida como um espelho (esta página que você está lendo, por exemplo). b)Reflexão especular – Ocorre quando um feixe incide numa superfície polida e volta regularmente para o meio original; por exemplo, se o feixe incidente é paralelo, o refletido também é paralelo. A reflexão especular permite a formação de imagens. AS LEIS DA REFLEXÃO 1.a O raio incidente, a normal à superfície refletora no ponto de incidência e o raio refletido pertencem a um mesmo plano. 2.a O ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. ESPELHO PLANO Qualquer superfície lisa e plana que reflita especularmente a luz. Figura 2 – Imagem conjugada por espelho plano. Características da imagem em um espelho plano: a) Imagem virtual – Forma-se atrás do espelho, na interseção dos prolongamentos dos raios refletidos. b) Imagem de um objeto extenso – Tem o mesmo tamanho do objeto e é simétrica dele em relação ao espelho: invertem-se os lados esquerdo e direito. A distância da imagem ao espelho é igual à distância do objeto ao espelho. Aplicação Que altura deve ter um espelho plano para que uma pessoa possa ver-se por inteiro quando olha para o espelho colocadoverticalmente diante dela? Solução: Como d1 = d2, os triângulos OAB e OCD são semelhantes. Então, seus lados são proporcionais às suas alturas: AB d1(altura OAB)––– = –––––––––––––––––––– CD d1+d2(altura de OCD) x d1 h––=–––– ∴ x=–– h 2d1 2 O espelho deve ter a metade da altura da pessoa. ESPELHO ESFÉRICO Qualquer superfície lisa, de formato esférico, que reflete especularmente a luz. Elementos de um espelho esférico C = centro de curvatura do espelho; V = vértice do espelho; CV = raio de curvatura; EP = eixo principal; ES = eixo secundário; αα = abertura do espelho (obedeceremos às condições de Gauss: espelhos com abertura menor que 10° e raios incidentes próximos ao eixo principal). Foco imagem de um espelho esférico – É o ponto de encontro dos raios refletidos ou de seus prolongamentos. a) O foco do espelho côncavo é real (espelho convergente); do convexo, virtual (espelho divergente); b)A distância entre o foco e o vértice do espelho é chamada distância focal (f) – nos espelhos de Gauss, consideramos f = R/2, onde R é o raio de curvatura. Raios fundamentais: 1. Todo raio paralelo ao eixo principal de um espelho esférico reflete-se passando pelo foco. 2. Todo raio que passa pelo centro de curvatura reflete-se sobre si mesmo. 3. Todo raio que passa pelo foco reflete-se paralelamente ao eixo principal. 6 Física Professor CARLOS Jennings 01. Três raios luminosos, A, B e C, incidem num espelho plano. O raio A incide perpendicularmente ao espelho; B incide formando 80° com o seu raio refletido; C incide formando 30° com o espelho. Os ângulos de incidência são, respectivamente: a) 0°, 40° e 60° b) 60°, 40° e 0° c) 40°, 60° e 0° d) 90°, 60° e 30° e) 30°, 90° e 60° 02. Uma pessoa olha-se em um espelho esférico e vê que sua imagem, virtual, aparece ampliada e direita. Quanto ao tipo de espelho e à posição da pessoa em relação ao espelho: a) convexo; defronte o espelho; b) côncavo; entre o foco e o vértice; c) côncavo; sobre o foco; d) côncavo; entre o foco e o centro de curvatura; e) côncavo; sobre o centro de curvatura. 03. (UECE) Quando um homem se aproxima diretamente de um espelho plano, com velocidade de 1,2m/s, ele: a) afasta-se de sua imagem com velocidade de 1,2m/s; b) aproxima-se de sua imagem com velocidade de 1,2m/s; c) aproxima-se de sua imagem com velocidade de 2,4m/s; d) mantém uma distância constante de sua imagem. 04. Sobre a imagem formada em um espelho plano: I) É real. II) É virtual. III) Tem o mesmo tamanho do objeto. IV)É menor que o objeto. V) É invertida. VI)Não é superponível ao objeto. São falsas: a) II e V b) IV, V e VI c) II e IV d) I, IV e V e) II, III, IV e VI 05. Um raio de luz monocromática propa- gando-se no ar (meio 1) incide na superfície plana e polida de um bloco de vidro (meio 2), como mostra a figura. Dados: n1= 1,00; n2= 1,41≅ ;c= 3,0 .108m/s; θ1=45° a) Calcule o ângulo de refração. b) Calcule o desvio ∆ do raio incidente ao refrata-se. c) Calcule a velocidade da luz refratada Desafio Físico 4. Todo raio que atinge o vértice, formando certo ângulo com o eixo principal, reflete-se formando ângulo igual. Imagem de um objeto extenso 1.° caso – espelho côncavo; objeto colocado além de C: Imagem: real, invertida e menor que o objeto. 2.° caso – espelho côncavo; objeto colocado sobre C: Imagem: real, invertida e do mesmo tamanho do objeto. 3.° caso – espelho côncavo; objeto colocado entre F e C: Imagem: real, invertida e maior que o objeto. 4.° caso – espelho côncavo; objeto colocado sobre F: Neste caso, não haverá formação de imagem (imagem imprópria). 5.° caso – espelho côncavo; objeto colocado entre V e F: Imagem: virtual, direita e maior. 6.° caso – espelho convexo: No espelho convexo, a imagem de um objeto real é sempre virtual, direita e menor que o objeto. Equação dos espelhos esféricos (Equação de Gauss) 1 1 1 –– = ––– + ––– f di do Equação da ampliação (A) Hi di ––– = ––– Ho do Nas equações acima: f = distância focal (positiva para espelho côncavo; negativa para convexo); di = distância da imagem ao vértice (positiva para imagem real; negativa para virtual); Hi = altura da imagem (positiva para imagem direita; negativa para invertida). do = distância do objeto ao vértice; Ho = altura do objeto. Aplicações 01. Um objeto de 4cm é colocado verticalmente sobre o eixo principal de um espelho côncavo, a 60cm do vértice. O raio do espelho mede 40cm. Calcule a natureza e a posição da imagem fornecida pelo espelho. Solução: a) Pela Equação de Gauss: Ho = 4cm; do = 60cm; f = R/2 = 40/2 = 20cm 1 1 1 –– = ––– + ––– f do di 1 1 1 1 1 1 ––– = ––– + ––– ∴ –– = ––– – ––– 20 60 di di 20 60 1 2 ––– = ––– ∴di =30cm di 60 Como di é positiva, a imagem é real. b) Para determinar o tamanho da imagem, aplicamos a expressão da ampliação: Hi di Hi 30 ––– = – ––– ∴ ––– = – ––– ∴ Hi=–2cm Ho do 4 60 O resultado mostra que a imagem é menor que o objeto e invertida em relação a ele (Hi negativa). 02. Um objeto de 4cm é colocado verticalmente sobre o eixo principal de um espelho convexo com raio de curvatura de 20cm. A distância objeto é de 20cm. Determine as características da imagem. Solução: a)Equação de Gauss: Ho = 4cm; f = –10cm (espelho convexo); do = 20cm 1 1 1 –– = ––– + ––– f do di 1 1 1 1 1 1 –––– = ––– + ––– ∴ –– = ––– – ––– –10 20 di di 10 20 1 –2–1 ––– = ––––– ∴di =–6,6cm di 20 Como di é negativa, a imagem é virtual. b)Usando a ampliação: Hi di Hi (–6,6) ––– = – ––– ∴ ––– = – ––––– ∴ Hi=1,3cm Ho do 4 20 O resultado mostra que a imagem é menor que o objeto e direita (Hi positiva). 7 01. Uma pessoa, de 1,70m de altura, posta-se diante de um espelho plano colocado a 1,5m dela. A altura da imagem e a distância que separa a pessoa de sua própria imagem são: (1,60m; 3,0m) a) 85cm e 3m b) 1,70m e 3m c) 1,70m e 75cm d) 1,70m e 1,70m e) 3m e 1,5m 02. Analise as sentenças abaixo, indicando as falsas e as verdadeiras: I) Toda imagem real é sempre invertida em relação ao objeto. II) Toda imagem virtual é sempre direita em relação ao objeto. III) Um espelho que produz uma imagem virtual e menor que o objeto é, certamente, côncavo. IV)Os espelhos convexos só podem produzir, de objetos reais, imagens virtuais. V) Um espelho esférico produz uma imagem real, invertida e maior que o objeto. Podemos afirmar que o objeto está entre o foco e o raio de curvatura. a) Todas são verdadeiras. b) Todas são falsas. c) Apenas a III é falsa. d) I, II e III são falsas. e) Apenas V é verdadeira. 03. (Unifor–CE) Um espelho esférico tem raio de curvatura 40cm. Um raio luminoso, paralelo ao eixo principal, incide próximo ao vértice e sofre reflexão passando por um ponto P do eixo principal. A distância de P ao espelho vale, em cm: a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 80 04. (UFMT) A um objeto colocado a 90cm de um espelho esférico de pequena abertura corresponde uma imagem que é real e situada a 60cm do espelho. Baseado nesses dados, deduza a distância focal, em cm, e reconheça a natureza do espelho. (36cm; côncavo) a) 50, convexo; b) 45, convexo; c) 40, côncavo; d) 30, côncavo; e) 36, côncavo. Desafio Físico Refração da luz A velocidade de um raio luminoso muda quando ele passa de um meio para outro, sofrendo, em conseqüência, um desvio na sua direção de propagação. A esse fenômeno dá-se o nome de refração da luz. Índice de refração – Caracteriza, do ponto de vista óptico, um meio transparente e homogêneo. A velocidade da luz emcada meio está associada ao índice de refração absoluto: cn = –––v Na expressão acima, c é a velocidade da luz no vácuo (≅ 300.000km/s), e v é a velocidade da luz em dado meio. O índice de refração é também chamado de refringência. Diz-se que mais refringente é o meio com maior índice de refração; menos refringente, o meio com menor índice de refração. Aplicação (UFCE) O índice de refração da água é 4/3 e o do vidro é 3/2. Qual é a razão entre a velocidade da luz na água e no vidro? Solução: C C C Cna = ––– ∴ va = ––– e nv = ––– ∴ vv = –––va na vv nv va nv 3/2 va 9––– = ––– = –––– ∴ ––– = –––vv na 4/3 vv 8 Lei de Snell-Descartes Ao incidir na superfície de separação (dióptro plano) dos meios 1 e 2, parte do feixe de luz é refletida e parte é refratada. Figura 1 O produto do seno do ângulo de incidência pelo valor do índice de refração do meio onde se propaga o raio incidente (n1) é igual ao produto do seno do ângulo de refração pelo índice de refração do meio onde se propaga o raio refratado (n2). n1 . sen i = n2 . sen r Importante: 1. Passando a luz de um meio menos refringente para outro mais refringente, o raio refratado aproxima-se da normal. 2. Passando a luz de um meio mais refringente para outro menos refringente, o raio sofre um desvio afastando-se da normal. Aplicação Um raio de luz propaga-se no ar (nar = 1,0) e incide em uma placa de vidro (nvidro = 1,4), sofrendo refração. O ângulo de incidência é 45°. Calcule o ângulo de refração. Solução: n1. sen i = n2 .sen r 1. sen 45° = 1,4 . sen r ∴ 0,7 = 1,4.sen r sen r = 0,5 ∴ r = 30° Ângulo-limite (L) – É o ângulo de incidência que corresponde a um ângulo de refração de 90°. Sendo o meio 1 mais refringente que o meio 2, ao passar de 1 para 2, um raio luminoso sofre um desvio, afastando-se da normal. À medida que o ângulo de incidência cresce, o de refração também cresce, mas numa proporção maior. No esquema abaixo, o ângulo de incidência do raio OC é o ângulo-limite porque o correspon- dente ângulo de refração é 90°. Figura 2 Reflexão total – Se um raio de luz incidir na superfície de separação de dois meios com ângulo maior que o ângulo-limite, a superfície reflete o raio incidente. Na figura acima, o raio OD é totalmente refletido. Arapuca Determine o ângulo-limite para a água, cujo índice de refração é 4/3. Solução: Neste caso, comparamos a água com o ar (nar =1), aplicando a Lei de Snell-Descartes (lembre-se de que o ângulo de refração é 90o): n1. sen i = n2 .sen r nágua . sen L = nar . sen 90° ∴ 4/3 . sen L = 1,1 sen L = 3/4 ∴ sen L = 0,5 ∴ L ≅ 50° Dióptro plano – Um conjunto de dois meios separados por uma superfície plana (água e ar, por exemplo) é chamado dióptro plano. Profundidade aparente - Dado um dióptro (ar- água), um observador no ar e um ponto objeto P na água, verifica-se que a luz, saindo da água, afasta-se da normal. O observador, em vez de enxergar o ponto objeto P, verá a imagem P’. Quando os raios incidem praticamente na vertical, di n2é válida a proporção: ––– = –––– , em que y' é do n1 a profundidade aparente; y é a profundidade real; n2 é o índice de refração do meio onde está o observador; n1 é o índice de refração do meio onde está o objeto. Exemplo: No fundo de um copo de 12cm de altura, completamente cheio de água, há uma moeda. A que altura um menino, que observa a moeda numa direção aproximadamente perpendicular, vai vê-la? Dados: nágua = 4/3; nar = 1. Solução: y’ nar y’ 1––– = ––––– ∴ ––– = ––––– ∴ y= 9cmy nágua 12 4/3 A imagem da moeda é virtual e, embora muitos digam que não, ela tem o mesmo tamanho da moeda propriamente dita. Lentes esféricas As aplicações mais importantes dos dióptros, na vida cotidiana, estão nas lentes. De modo simples, lente é um corpo transparente, delimitado por duas faces, das quais uma, pelo menos, é curva. Então, uma lente esférica pode ser considerada como a interseção de duas esferas. Elementos geométricos de uma lente • C1 e C2 = centros de curvatura das faces. • r1 e r2 = raios de curvatura das faces. • Eixo principal = reta que contém C1 e C2. • e = espessura da lente. Classificação das lentes delgadas – A denomi- nação das lentes de bordas finas termina sempre com a palavra convexa; das de bordas grossas, com a palavra côncava. Figura 4 8 DEFEITOS DA VISÃO HUMANA O olho emetrope (normal) é praticamente esférico. Os meios transparentes (córnea, humor aquoso, cristalino e humor vítreo) funcionam como um sistema de lentes que refratam a luz, permitindo a formação de imagens nítidas exatamente sobre a retina, que é um prolongamento do nervo ótico. Miopia O olho míope é mais alongado que o olho normal. Em conseqüência disso, a imagem de um objeto situado a longa distância forma-se antes da retina, perdendo nitidez. A correção dessa anomalia é feita com o auxílio de uma lente divergente para compensar a excessiva convergência do cristalino, permitindo que se forme a imagem sobre a retina. Hipermetropia É o inverso da miopia. Neste caso, o olho é menos alongado que o normal e, conseqüentemente, a imagem forma-se depois da retina, perdendo a nitidez. Presbiopia ou “vista cansada” É um defeito comum em pessoas idosas e ocorre por falta de acomodação do cristalino. Com o passar do tempo, tanto o cristalino quanto os músculos ciliares perdem sua elasticidade, dificultando ainda mais a acomodação visual, ou seja, aumentando a distância mínima de visão nítida. A correção da presbiopia é feita com o emprego de uma lente convergente, que soma sua convergência à do cristalino, permitindo uma visão perfeita de objetos próximos. Astigmatismo Normalmente, esse defeito é provocado pela falta de esfericidade da córnea. Por isso, é corrigido com o auxílio de lentes cilíndricas. As pessoas astigmatas vêem os objetos sem nitidez, como se estivessem superpostos, com pequena sombra lateral. Física Professor CARLOS JenningsDesafio Físico Para simplificar, convencionou-se representar as lentes pelos símbolos: Lentes convergentes e divergentes – Os raios luminosos que incidem numa lente podem ser desviados, convergindo para o eixo principal ou divergindo dele. Isso depende da forma das lentes e do índice de refração do meio onde elas se encontram: 1. Se o índice de refração da lente for maior que o do meio em que ela está: as de bordas finas são convergentes; as de bordas grossas, divergentes. 2. Se o índice de refração da lente for menor que o do meio em que ela está: as de bordas finas são divergentes; as de bordas grossas, convergentes. Foco principal objeto – Refere-se à luz incidente. Quando raios luminosos incidem numa direção que contém o foco objeto, emergem paralelos ao eixo principal: Foco principal imagem – Refere-se à luz emergente. Quando raios luminosos incidem paralelos ao eixo principal, emergem numa direção que contém o foco imagem: Construção de imagens – De modo semelhante aos espelhos (veja a aula anterior), as lentes também formam imagens reais ou virtuais de objetos que são colocados diante delas. Usaremos, também aqui, os raios principais que permitem encontrar a posição da imagem de um ponto. 1.° – Um raio luminoso que incide paralelamente ao eixo de uma lente convergente refrata-se passando pelo 1.° foco. Um raio luminoso que incide paralelamente ao eixo de uma lente divergente refrata-se de modo que o seu prolongamento passa pelo 1.° foco. 2.°– Um raio luminoso que incide em uma lente convergente e cuja direção passa pelo 2.° foco, refrata-se paralelamente ao eixo da lente. Um raio luminoso que incide em uma lente divergente, de modo que o seu prolongamento passe pelo 2.° foco, refrata-se paralelamente ao eixo da lente. Exemplo 1 – O objeto AB dafigura encontra-se em frente a uma lente convergente, cujos focos estão localizados em F1 e F2. A distância do objeto à lente é maior do que o dobro de sua distância focal. Localizar a imagem do objeto. Traçamos, a partir do ponto A, os dois raios principais. Os raios refratados encontram-se em A’, onde se forma a imagem A’B’ real, invertida e menor que o objeto. Agora, faça você: desloque o objeto AB para uma posição entre o foco e a lente, e obtenha a imagem A’B’ (ela será virtual, direita e maior que o objeto). Exemplo 2 – Considere o objeto AB diante de uma lente divergente como na figura. Como será a imagem dele? Neste caso, observe que os raios refratados não se cruzam. Seus prolongamentos cortam-se no ponto A’, onde o observador verá a imagem A’B’ virtual, direita e menor que o objeto. Numa lente divergente, a imagem terá sempre essas características. Equação de Gauss para lentes esféricas 1 1 1 ––– = –––– + –––– f di do Equação da ampliação (A) Hi di–––– = – –––– Ho do Nas equações acima: f = distância focal (positiva para lentes convergentes; negativa para divergentes); di = distância imagem (positiva para imagem real, negativa para virtual); Hi = altura da imagem (positiva para imagem direita; negativa para invertida); do = distância do objeto ao vértice; Ho = altura do objeto. Aplicações 01. Um objeto de 6cm é colocado diante de uma lente convergente, com distância focal de 20cm, a 60cm do centro óptico da lente. Determine a natureza e a posição da imagem. Solução: a) Ho = 6cm; do = 60cm; f = 20cm 1 1 1 1 1 1 –– = ––– + ––– ∴ –––– = ––– + ––– f do di 20 60 di 1 1 1 3–1 ––– = ––– – –––– = ––––– ∴di =30cmdi 20 60 60 b) Pela ampliação: Hi di Hi 30–––– = – –––– ∴ ––– = – ––– ∴ Hi =–3cmHo do 6 60 Os resultados mostram que a imagem é real, invertida e colocada a 30cm do centro óptico da lente. 02. Um objeto de 4cm é colocado diante de uma lente divergente, com distância focal de 20cm, a 40cm do centro óptico da lente. Determine a natureza e a posição da imagem. Solução: a) Ho = 4cm; do = 40cm; f = –20cm 1 1 1 1 1 1 –– = ––– + ––– ∴ –––– = ––– + ––– f do di –20 40 di 1 1 1 –2–1 40 ––– = ––– – –––– = ––––– ∴di =– ––– cmdi –20 40 40 3 b) Pela ampliação: Hi di Hi –40/3–––– = – –––– ∴ ––– = – –––––– ∴ Hi =4/3cmHo do 4 40 A imagem é direita e colocada a 4/3cm à esquerda da lente (virtual). 9 01. (PUC-SP) Que tipo de imagem uma lente divergente conjuga de um objeto real? a) real e maior que o objeto; b) virtual e invertida; c) real e direita; d) real e invertida; e) virtual e direita. 02. (UCP) Numa lente divergente de distância focal 30cm, tem-se um objeto real situado a 30cm da lente. A imagem será: a) virtual a 15cm da lente; b) real a 15cm da lente; c) real ou virtual situada no infinito; d) virtual a 40cm da lente; e) n.d.a. 03. O índice de refração do diamante é 2,5. A velocidade da luz no diamante é, em km/s: a) 25.000 b) 250.000 c) 120.000 d) 10.000 e) n.d.a. 04. (Fac. Med. U.M.G.) A luz ao passar de um meio de menor índice de refração para outro de maior índice de refração tem: a) o comprimento de onda aumentado; b) a velocidade aumentada; c) a velocidade diminuída; d) a velocidade da luz não se altera, pois é constante universal; e) n.d.a. 05. (ABC) Pessoas míopes possuem o globo ocular longo. Para corrigir esse defeito da visão usam-se: a) lentes convergentes; b) lentes cilíndricas; c) lentes divergentes; d) prismas especiais; e) n.d.a. 06. (FEI) A reflexão total somente ocorre ao passar a luz: a) de um meio mais para outro menos refringente; b) de um meio menos para outro mais refringente; c) de um meio mais para outro menos absorvente; d) de um meio menos para outro mais absorvente; e) n.d.a. 07. (AMAN) Um raio luminoso incide com um ângulo de incidência de 30° e refrata-se formando um ângulo de 60° com a normal. O índice de refração do meio que contém o raio refratado em relação ao meio que contém o raio incidente é: a) 1 b) c) d) e) Desafio Físico 10 Texto Geisislaine Nicolas Júnior Eu lembro aquela manhã de domingo Você lá na laje tomando banho de [mangueira Nós se olhemo e logo se apaixonemo E nós juremo quera amor pra vida inteira Domingo à tarde eu calçava meu all star Minha calça social e a camisa de tergal Você de shortinho de lycra alaranjado E uma blusa social com a foto do Magal E na cabeça uma fita verde e branca Que nós ganhemo de lembrança Da Amazônia Celular E na cintura uma carteira de derby Um corote na pochete e saía a passear Primeiramente o Balneário da Dengosa, Em seguida a Ponta Negra, depois praça [do DB À noite íamos pro boteco Tomar Cerpa e jogar bilhar Virava a noite nos bregas, lá na Grande [Circular Oh, Geisislaine, Geisislaine meu amor! Por que você pegou aquele barco Não deixou nenhum recado E se mandou pro interior Oh, Geisislaine, manda uma carta por favor! Aproveite e manda um fardo de farinha E a cassete da Calypson Que você me apresentou Me impressionava o seu cabelo bicolor Ao som de Fernando Mendes a gente [acasalava Sonhava em ter um Fusca, totalmente [incrementado Atrás escrito TURBO E um terço no retrovisor E o cordão grosso de prata Que lhe dei de aniversário Ela esqueceu lá na gaveta do armário Ficou ainda o tururi do Carnaboi O autógrafo do Nunes E um pingüim de geladeira A camisa do Rio Negro E um pôster do Arlindo E a foto que ela tirou Com um ex-vereador Perscrutando o texto 01. Aparecem, no texto, algumas constru- ções típicas da linguagem coloquial. Assinale a alternativa em que a mudança para a norma culta da língua foi feita com ERRO gramatical. a) Nós se olhemo e logo se apaixonemo Nós nos olhamos e logo nos apaixona- mos. b) E nós juremo quera amor pra vida inteira E nós juramos que era amor para a vida inteira. c) Oh, Geisislaine, manda uma carta por fa- vor! Aproveite e manda um fardo de farinha Oh, Geisislaine, mande uma carta por fa- vor! Aproveita e mande um fardo de farinha d) Me impressionava o seu cabelo bicolor Impressionava-me o seu cabelo bicolor e) Ao som de Fernando Mendes a gente acasalava Ao som de Fernando Mendes, nós nos acasalávamos. 02. Observe o trecho seguinte: E o cordão grosso de prata Que lhe dei de aniversário Ela esqueceu lá na gaveta do armário Em relação a ele, a única afirmação INCOR- RETA é que: a) a inclusão do pronome átono o depois de ela não agride a norma culta da lín- gua; b) o pronome átono que aparece no trecho tem função de objeto indireto. c) a inclusão da contração dele depois de esqueceu não agride a norma culta da língua; d) a partícula que tem função sintática e função morfológica; e) o trecho contém oração subordinada adjetiva. 03. Observe o trecho seguinte: Eu lembro aquela manhã de domingo Você lá na laje tomando banho de [mangueira Nós se olhemo e logo se apaixonemo E nós juremo quera amor pra vida inteira Em relação a ele, assinale a afirmação IN- CORRETA. a) O primeiro verso admite a seguinte cons- trução, sem agressão à norma culta da língua: “Eu me lembro daquela manhã de domingo”. b) Pode-se isolar a expressão “lá na laje” por vírgulas, sem prejuízo gramatical. c) Na construção “tomando banho de man- gueira” há metonímia. d) A contração de “que era” para “quera” pode ser chamada de composição por aglutinação. e) A transformação de “E nós juremo quera amor pra vida inteira” para “E nós jura- mos que era amor para toda vida” cor- rige todas as falhas gramaticais. 04. Observe o trecho seguinte: À noiteíamos pro boteco Tomar Cerpa e jogar bilhar Em relação a ele, assinale a afirmação IN- CORRETA. a) Há orações subordinadas coordenadas entre si. b) Mudando-se a construção “À noite íamos pro boteco” para “À noite, íamos no boteco” fez-se total adaptação para a norma culta da língua. c) O vocábulo boteco é forma reduzida de botequim. d) Entre os dois versos, há idéia de finali- dade. e) Na construção “Toma cerpa” há metoní- mia. 05. Assinale a alternativa em que, reescre- vendo versos do texto, a norma culta Português Professor João BATISTA Gomes 01. (FGV) Quase todos os verbos deriva- dos conjugam-se por seus primitivos. Assim, expor e obter, por exemplo, conjugam-se pelos verbos pôr e ter respectivamente. Assinale a alternativa em que há ERRO na conjugação do verbo derivado em destaque: a) Devemos agir com rigor sempre que prevermos a má intenção do pales- trante. b) Não aceitarei as críticas, provenham elas de onde provierem. c) O diplomata brasileiro interveio na pa- lestra do economista americano. d) Creio que os brasileiros já reouveram o tempo perdido. e) Se o palestrante mantivesse a neces- sária prudência, não ouviria os protes- tos que ouviu. 02. Escolha a alternativa em que as pala- vras são graficamente acentuadas em função da mesma regra. a) balneário e autógrafo b) você e atrás c) saía e Amazônia d) íamos e pôster e) armário e nós 03. Escolha a alternativa em que se ERRA na análise fonética: a) Lembro: dígrafo e encontro consonan- tal. b) Inteira: dígrafo e ditongo decrescente oral. c) Nenhum: dois dígrafos. d) Ainda: hiato e dígrafo. e) Gente: encontro consonantal. 04. Escolha a construção que respeita a norma culta da língua escrita. a) Geisislaine, faça uma surpresa: mande um fardo de farinha para o teu amor. b) Geisislaine, faz uma surpresa: manda um fardo de farinha para o seu amor. c) Geisislaine, faze uma surpresa: manda um fardo de farinha para o teu amor. d) Geisislaine, faze uma surpresa: manda um fardo de farinha para o seu amor. e) Geisislaine, faz uma surpresa: mande um fardo de farinha para o teu amor. 05. Escolha a construção que respeita a norma culta da língua escrita. a) Não te esqueças do cordão de prata que te dei. b) Não esqueças do cordão de prata. c) Não te esqueces do cordão de prata. d) O cordão de prata: esquece dele. e) O cordão de prata: esqueça-te dele. Desafio gramatical da língua foi totalmente respeitada. a) Primeiramente, o balneário da Dengosa; em seguida, o da Ponta Negra; depois, a praça do DB. b) Oh, Geisislaine, Geisislaine meu amor! Porque você pegou aquele barco? c) Você não deixou nenhum recado por que? d) Quero saber o porque de você se mandar para o interior. e) O seu cabelo bi-color impressionava-me. 06. O vocábulo Carnaboi é resultado da fusão de carnaval e boi (composição por aglutinação). Escolha a alternativa em que a formação da palavra dá-se por processo idêntico. a) Alaranjado. b) Bicolor c) Acasalava d) Autógrafo e) Embora 07. Na seqüência seguinte, só NÃO há: Domingo à tarde eu calçava meu all star Minha calça social e a camisa de tergal a) metonímia; b) elipse; c) verbo transitivo direto; d) adjunto adverbial; e) complemento nominal. 08. Observe o verso: “E na cabeça uma fita verde e branca” Escolha a alternativa em que o adjetivo para dar cor a fita contraria a norma culta da lín- gua. a) Havia na cabeça fitas esverdeadas. b) Havia na cabeça fitas verdes. c) Havia na cabeça fitas verde-claras. d) Havia na cabeça fitas verde-musgos. e) Havia na cabeça fitas verde-escuras. 09. Observe o verso: “Me impressionava o seu cabelo bicolor” Escolha a alternativa em que o vocábulo formado a partir do prefixo bi- apresente grafia incorreta. a) Bi-campeão b) Birreator c) Bianual d) Birrepetente e) Bissexual 10. Aponte o erro quanto à indicação do processo de formação da palavra. a) Alaranjado: derivação prefixal e sufixal. b) Mangueira: derivação sufixal. c) Foto: derivação regressiva. d) Retrovisor: derivação prefixal. e) Acasalar: derivação parassintética. 11. Observe o verso seguinte: “Ficou ainda o tururi do Carnaboi” Escolha a alternativa em que a oxítona ter- minada em i – a exemplo de tururi – não mereça acento gráfico. a) Urubui b) Distrai-la c) Atrai-la d) Impedi-la e) Conclui-lo Caiu no vestibular 12. (FGV) Das sentenças abaixo, aquela em que se usou ERRADAMENTE um dos homônimos entre parênteses é: a) Após o censo de 2000, o IBGE publicou Brasil em Números, que contém informa- ções muito úteis aos pesquisadores. (censo / senso) b) O complexo de inferioridade não diz res- peito apenas ao estrato mais pobre da população brasileira. (estrato / extrato) c) Foi necessária a interseção do embai- xador para que o palestrante parasse de falar asneiras sobre o Brasil. (interseção / intercessão) d) O embaixador tachou o comentarista in- ternacional de ignorante. (tachar / taxar) e) Ninguém gosta de ver o nome de seu país inserto no rol das nações subdesenvolvidas. (inserto / incerto) Arapuca 13. A paroxítona pôster, usada nos últimos versos do poema de Nicolas Júnior, torna-se proparoxítona no plural: pôsteres. Escolha a alternativa em que o plural da paroxítona contraria essa lógica. a) Hambúrguer b) Gêiser c) Vômer d) Caráter e) Suéter Momento semântico Semântica de palavras envolvendo as letras E e I. Algoso (ô) da natureza das algas. Algozo forma do verbo algozar. Alisar tornar liso; acariciar. Alizar peça para arremate. Alvarás plural de alvará: licença. Alvaraz manchas brancas na pele. Asado que tem asas; alado. Azado oportuno, propício. Asar guarnecer com asas. Azar má sorte; revés. Asinha diminutivo de asa. Azinha fruto da azinheira. Ás exímio; carta de jogo. Az ala do exército; esquadrão. Brisa aragem; viração; vento ameno. Briza espécie de plantas. Canonisa cônega. Canoniza do verbo canonizar. Colisão choque entre corpos. Coalizão união, junção, aliança. Coser costurar. Cozer cozinhar. Desasado que tem asas caídas ou partidas. Desazado maljeitoso, descuidado. Fiúsa desusado; fora de moda. Fiúza confiança, esperança. 11 PLURAIS ESPECIAIS 1. Plural dos diminutivos: Alemãozinho alemãezinhos Anãozinho anãozinhos Anãozinho anõezinhos Anelzinho aneizinhos Animalzinho animaizinhos Azulzinha azuizinhas Balãozinho balõezinhos Bastãozinho bastõezinhos Cãozinho cãezinhos Colherzinha colherezinhas Coquetelzinho coqueteizinhos Coraçãozinho coraçõezinhos Cordãozinho cordõezinhos Dorzinha dorezinhas Florzinha florezinhas Leãozinho leõezinhos Mulherzinha mulherezinhas Narizinho narizezinhos Papelzinho papeizinhos Pãozinho pãezinhos Pastelzinho pasteizinhos Portalzinho portaizinhos 2. Plural em ÃES: Alemão alemães Bastião bastiães Cão cães Capelão capelães Capitão capitães Catalão catalães Charlatão charlatães Escrivão escrivães Guardião guardiães Tabelião tabeliães 3. Palavras com DOIS plurais: Alazão alazães e alazões Anão anãos e anões Castelão castelãos e castelões Corrimão corrimãos e corrimões Deão deães e deões Hortelão hortelãos e hortelões Refrão refrões e refrães Rufião rufiães e rufiões Sacristão sacristãos e sacristães Truão truães e truões Verão verões e verãos Vilão vilãos e vilões 4. Palavras com TRÊS plurais: Alão alões, alães e alãos Aldeão aldeãos, aldeões e aldeães Ancião anciãos, anciões e anciães Ermitão ermitães, ermitões e ermitãos Sultão sultões, sultãos e sultães Dificuldades da língua ALVARENGA, Beatriz et al. Curso de Física. São Paulo: Harbra, 1979, 3v. ÁLVARES, Beatriz A. et al. Curso de Física. São Paulo: Scipicione, 1999, vol. 3. BIANCHINI, Edwaldo e PACCOLA, Herval. Matemática. 2.a ed. São Paulo: Moderna, 1996. BONJORNO, José et al. Física 3: de olho novestibular. São Paulo: FTD, 1993. CARRON, Wilson et al. As Faces da Física. São Paulo: Moderna, 2002. DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2000. GIOVANNI, José Ruy et al. Matemática. São Paulo: FTD, 1995. Grupo de Reelaboração do Ensino de Física (GREF). Física 3: eletromagne- tismo. 2.a ed. São Paulo: Edusp, 1998. PARANÁ, Djalma Nunes. Física. Série Novo Ensino Médio. 4.a ed. São Paulo: Ática, 2002. RAMALHO Jr., Francisco et alii. Os Fundamentos da Física. 8.a ed. São Paulo: Moderna, 2003. TIPLER, Paul A. A Física. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2000, 3v. DESAFIO MATEMÁTICO (p. 3) 01. B; 02. E; 03. A; 04. B; 05. D; 06. B; 07. A; 08. E; 09. D; DESAFIO MATEMÁTICO (p. 4) 01. C; 02. D; 03. B; 04. C; 05. E; 06. C; 07. D; 08. C; DESAFIO MATEMÁTICO (p. 5) 01. A; 02. D; 03. A; 04. A; 05. C; 06. B; 07. A; 08. E; DESAFIO FÍSICO (p. 6) 01. A; DESAFIO FÍSICO (p. 7) 01. C; 02. C; 03. a) b) Sim. A Fat em C pode equilibrar o sistema; 04. 4N; EXERCÍCIOS (p. 9) 01. C; 02. A; DESAFIO FÍSICO (p. 9) 01. B; 02. C; 03. C; 04. E; ARAPUCA (p. 10) 01. C; 02. A; DESAFIO GRAMATICAL (p. 10) 01. C; 02. A; APLICAÇÃO (p. 11) 01. C; 02. A; 03. C; DESAFIO LITERÁRIO (p. 11) 01. D; 02. A; 03. A; 04. E; Governador Eduardo Braga Vice-Governador Omar Aziz Reitor Lourenço dos Santos Pereira Braga Vice-Reitor Carlos Eduardo Gonçalves Pró-Reitor de Planejamento e Administração Antônio Dias Couto Pró-Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Ademar R. M. Teixeira Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa Walmir Albuquerque Coordenadora Geral Munira Zacarias Coordenador de Professores João Batista Gomes Coordenador de Ensino Carlos Jennings Coordenadora de Comunicação Liliane Maia Coordenador de Logística e Distribuição Raymundo Wanderley Lasmar Produção Aline Susana Canto Pantoja Renato Moraes Projeto Gráfico – Jobast Alberto Ribeiro Antônio Carlos Aurelino Bentes Heimar de Oliveira Mateus Borja Paulo Alexandre Rafael Degelo Tony Otani Editoração Eletrônica Horácio Martins Encarte referente ao curso pré-vestibular Aprovar da Universidade do Estado do Amazonas. Não pode ser vendido. Este material didático, que será distribuído nos Postos de Atendimento (PAC) na capital e Escolas da Rede Estadual de Ensino, é base para as aulas transmitidas diariamente (horário de Manaus), de segunda a sábado, nos seguintes meios de comunicação: • TV Cultura (7h às 7h30); sábados: reprise às 23h Postos de distribuição: • Amazon Sat (21h30 às 22h) • RBN (13h às 13h30) reprise: 5h30 e 7h (satélite) • PAC São José – Alameda Cosme Ferreira – Shopping São José • Rádio Rio Mar (19h às 19h30) • PAC Cidade Nova – Rua Noel Nutles, 1350 – Cidade Nova I • Rádio Seis Irmãos do São Raimundo • PAC Compensa – Av. Brasil, 1325 – Compensa (8h às 9h e reprise de 16h às 16h30) • PAC Porto – Rua Marquês de Santa Cruz, s/n.° • Rádio Panorama de Itacoatiara (11h às 11h30) armazém 10 do Porto de Manaus – Centro • Rádio Difusora de Itacoatiara (8h às 8h30) • PAC Alvorada – Rua desembargador João • Rádio Comunitária Pedra Pintada de Itacoatiara Machado, 4922 – Planalto (10h às 10h30) • PAC Educandos – Av. Beira Mar, s/nº – Educandos • Rádio Santo Antônio de Borba (18h30 às 19h) • Rádio Estação Rural de Tefé (19h às 19h30) – horário local • Rádio Independência de Maués (6h às 6h30) • Rádio Cultura (6h às 6h30 e reprise de 12h às 12h30) • Centros e Núcleos da UEA (12h às 12h30) www.uea.edu.br e www.linguativa.com.br Endereço para correspondência: Projeto Aprovar - Reitoria da UEA - Av. Djalma Batista, 3578 - Flores. CEP 69050-010. Manaus-AM
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