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Quadro de 
Antonio R
amalho mo
stra Camõe
s lendo Os
 Luzíadas 
para Dom 
Sebastião,
rei de Por
tugal 
Atividade madeireira controlada em área de reservaextrativista no rio Juruá (arquivo CNPT/Ibama-AM)
•• Matemática – Números complexos 
pg. 02
•• Matemática – Polinômios e
equações algébricas
pg. 04
•• Física – Eletromagnetismo I
pg. 06
•• Física – Eletromagnetismo II
pg. 08
•• Português – Perscrutando o texto
pg. 10
Números complexos
Introdução
A formação de um número complexo é realizada
pela adição de um número real a um número
imaginário. Os números complexos possuem a
forma geral a+bi, onde i é a unidade imaginária
i2 = –1, sendo a e b números reais. a é o termo
que constitui a parte real do número complexo,
enquanto a parte imaginária é constituída por bi.
A condição de igualdade entre os números
complexos reside na igualdade entre ambas as
partes reais e imaginárias.
Ao contrário dos números reais, os números
complexos não podem ser dispostos numa
ordenação. No entanto, o sistema de
coordenadas cartesianas, por exemplo, pode
ser utilizado para a ilustração dos números
complexos. O eixo real equivale à linha dos
números reais, e o eixo imaginário equivale à
linha dos números imaginários, sendo esta
perpendicular ao eixo dos reais. 
Unidade imaginária: 
Define-se a unidade imaginária, representada
pela letra i , como sendo a raiz quadrada de –1.
Pode-se escrever então: i = 
Observe que a partir dessa definição , passam a
ter sentido certas operações com números
reais, a exemplo das raízes quadradas de
números negativos .
Exemplo:
Potências de i :
i0 = 1
i1 = i
i2 = –1
i3 = i2 . i = –i
i4 = (i2)2 = (–1)2 = 1
i5 = i4 . i = 1.i = i
i6 = i5 . i = i . i = i2 = –1
i7 = i6 . i = –i , etc.
Percebe-se que os valores das potências de i se
repetem no ciclo 1 , i , –1 , –i , de quatro em
quatro a partir do expoente zero.
Portanto, para se calcular qualquer potência
inteira de i, basta eleva-lo ao resto da divisão do
expoente por 4. Assim, podemos resumir:
i4n = ir , onde r = 0 , 1 , 2 ou 3. (r é o resto da
divisão de n por 4).
Exemplo: Calcule i2001
Ora, dividindo 2001 por 4, obtemos resto igual a 1.
Logo i2001 = i1 = i .
Forma Algébrica
Definição:
Dados dois números reais a e b , define-se o
número complexo z como sendo:
z = a + bi , onde i = é a unidade
imaginária .
Exemplos:
z = 2 + 3i ( a = 2 e b = 3)
w = –3 –5i (a = -3 e b = –5)
u = 100i ( a = 0 e b = 100)
Exercícios Resolvidos:
1)Sendo z = (m2 – 5m + 6) + (m2 – 1) i,
determine m de modo que z seja um
imaginário puro.
Solução:
Para que o complexo z seja um imaginário puro,
sua parte real deve ser nula ou seja, devemos ter
m2 – 5m + 6 = 0, que resolvida encontramos
m=2 ou m=3.
2)Determine a parte real do número complexo z
= (1 + i)12 .
Solução: 
Observe que (1 + i)12 = [(1 + i)2]6 . Nestas
condições, vamos desenvolver o produto notável
(1 + i)2 = 12 + 2.i + i2 = 1 + 2i –1 = 2i \ (1 +
i)2 = 2i (isto é uma propriedade importante, que
vale a pena ser memorizada). Substituindo na
expressão dada, vem:
(1 + i)12 = [(1 + i)2]6 = (2i)6 = 26.i6 = 64.(i2)3 =
64.(–1)3 = –64.
Portanto, o número complexo dado fica z = –64
= –64 + 0i e portanto sua parte real é igual a –64.
Conjugado de um número complexo
Dado um número complexo z = a + bi , chama-
se conjugado de z e representa-se por 
––––––
Z, a um
outro número complexo que possui a mesma
parte real de z e a parte imaginária o simétrico
aditivo da parte imaginária de z .
z = a + bi →
––––––
Z= a - bi
Exemplo:
z = 3 + 5i ; 
––––––
Z= 3 – 5i
Divisão de números complexos na forma
binomial
Regra : Para dividir um número complexo z por
outro w ≠≠ 0 , basta multiplicar numerador e
denominador pelo complexo conjugado do
denominador .
Exemplos:
Módulo e Argumento
Considere a figura a seguir:
Sendo P o afixo do número complexo z , de
módulo |z| , no triângulo OaP, podemos
escrever:
a b
cosα = ––– e senα = –––
|z| |z|
• O ângulo α é denominado argumento do
número complexo z e a distância OP é
denominada módulo do complexo e
representada por |z|, ou pela letra grega ρ
(rô). 
• Usando o Teorema de Pitágoras no
triângulo AoP, podemos escrever a seguinte
relação para calcular o módulo do número
complexo z:
Exemplo: Dado o número complexo 
z = 1 + i , determine o módulo e o
argumento de z.
a) Módulo: ou seja a = 2.
b)Argumento: tg a = b/a = / 1 = 
a = 60° = a / 3 rad (radianos).
Forma Trigonométrica
Sendo z = a + bi e substituindo os valores de a
e b vistos acima, vem:
z = |z|.(cosα + i . senα) , denominada forma
2
Com a participação decisiva da Fundação
de Apoio à Pesquisa do Estado do
Amazonas (Fapeam), a Universidade do
Estado do Amazonas oferece aos alunos da
área de saúde selecionados no vestibular do
interior 250 (duzentos e cinqüenta) bolsas
anuais de iniciação científica, que têm
características de trabalhos de extensão
universitária e ao mesmo tempo iniciam o
estudante em pesquisa acadêmica. 
É o Programa Amazonas de Integração da
Ciência no Interior (Paici), base de iniciação
científica que, para sua efetivação, recebe
financiamento da Fapeam através de
bolsas de iniciação científica e auxílio à
pesquisa. O programa tem duração de um
ano. Teve início em 2004, com 160 bolsas,
que foram ampliadas para 250 em 2005.
A importância desse projeto é medida
pelos resultados alcançados nos últimos
anos, com alunos participando e apresen-
tando produção em vários eventos
científicos nacionais.
O programa tem como objetivos envolver
estudantes e professores da Escola Superior
de Ciências da Saúde em programa e
projetos de extensão e de complementação
de ensino, oportunizando o acesso à
iniciação científica e tecnológica para
melhoria do desenvolvimento humano e
sustentável; e fornecer ao interior do Estado
profissional com massa crítica capaz de
interferir na história de sua cidade,
contribuindo para o desenvolvimento
econômico, político e social do Amazonas.
Durante o projeto, os alunos desenvolvem
atividades de pesquisa científica que incluem
estudos teóricos individuais e em grupos,
apresentações de seminários, exposições
públicas das atividades das pesquisas e
visitas técnicas a unidades de saúde.
Desde 2004, o projeto beneficiou 539
alunos, sendo 130 no período 2004/2005,
167 em 2005/2006 e 242 em 2006/2007.
Nesse período, atuaram na coordenação
das pesquisas 94 professores da Escola
Superior de Ciências da Saúde.
Mas a atenção especial do Governo do
Estado com os estudantes oriundos do
interior vem desde o estabelecimento das
regras para ingresso na instituição. A Lei
de Cotas da UEA estabelece que metade
das vagas oferecidas no vestibular para os
cursos na área da Saúde (Medicina,
Odontologia e Enfermagem), são
destinadas ao interior, distribuídos os 61
municípios em 10 pólos geográficos.
Paici já beneficiou
539 alunos do
interior
Matemática 
Professor CLÍCIO 
polar ou trigonométrica do número complexo.
Assim, o número complexo do exemplo anterior,
poderá ser escrito na forma polar como segue:
z = 2(cos60° + i.sen60°)
Exemplos:
z = 10(cos30° + i.sen30°) 
= =
w = 2(cos0° + i.sen0°) = 2(1 + i .0) = 2
r = 5(cos90° + i . sen90°) = 5(0 + i . 1) = 5i
s =100(cos180° + i.sen180°) =100(–1+ i .0) 
= –100
u = cos 270° + i . sen270° = 0 + i .(-1) = - i
Operações com números complexos na
forma tirgonométrica
Mostraremos a seguir, as fórmulas para
multiplicação, divisão e potenciação de números
complexos. Sejam os números complexos:
z1 = r1(cosq1 + i . senq2) 
z2 = r2(cosq2 + i . senq2) 
Temos as seguintes fórmulas, demonstráveis
sem excessivo trabalho:
a)Produto.
z1 . z2 = r1.r2 [cos(q1+q2) + i.sen(q1+q2)]
Exemplo: 
z1 = 15(cos30°+ i . sen30°) e z2 = 3(cos60°+ i .
sen60°).
z1 . z2 = 15.3[cos(30°+60°) + i .
sen(30°+60°)]= 45(cos90°+i .sen90°) = 45(0 +
i . 1) = 45i
b)Divisão.
z1 r1––– = –––– [cos(q1–q2) + i.sen(q1–q2)]z2 r2
Exemplo:
z1 = 10(cos120°+ i . sen120°) e 
z2 = 5(cos30° + i . sen30°)
z1 /z2=10 /5.[cos(120°–30°) + i.sen(120° – 30°)]
= 2(cos90° + i . sen90°) = 2(0+i . 1) = 2i
c) Potenciação.
zn = rn [cos( n.q) + i . sen( n.q )]
Exemplo:
z = 10(cos30° + i . sen30°)
z3 = 103(cos3.30° + i . sen3.30°) = 1000(cos90°
+ i . sen90°) = 1000(0 + i . 1) = 1000i
z9 = 109(cos9.30° + i . sen9.30°) =
109(cos270° + i . sen270°) = 109[0 + i . (-1)] =
109.i
d)Radiciação
Seja o número complexo z = r (cosq + i .senq).
Para o cálculo das raízes e-nésimas do
complexo z, ou seja, para o cálculo de ,
deveremos utilizar a seguinte fórmula:
onde k = 0,1,2,3, ... , n – 1.
Observações:
1. O ângulo q (argumento do complexo) deve
ser expresso em graus. Se você preferir usar a
unidade radiano, ao invés de 360.k, deverá ser
usado 2kp , pois 360 graus = 2p radianos.
2. Como k = 0,1,2,.3, ... , n –1, então são n
valores possíveis para a variável k, o que
significa que existem n raízes e-nésimas de z.
Ou seja: 2 raízes quadradas, três raízes
cúbicas, quatro raízes quartas, cinco raízes
quintas, etc.
3. Observe que todas as n raízes e-nésimas de z
possuem o mesmo módulo.
Exemplo:
Vamos determinar, como exemplo, as três raízes
cúbicas da unidade.
Seja o número complexo z=1 (unidade).
Podemos escrever na forma polar: 
z = 1 (cos 0° + i . sen 0°)
Temos então:
módulo: r = 1
argumento: q = 0° = 0rad
Substituindo na fórmula dada, vem:
Fazendo k = 0, obteremos a primeira raiz, ou
seja:
z1 = 1(cos0° + i .sen0°) = 1(1 + i . 0) = 1
Fazendo k=1, obteremos a segunda raiz, ou
seja:
z2 =1(cos 120°+i.sen120°) = –1/2 + i . 
Finalmente, fazendo k = 2, obteremos a terceira
e última raiz:
z3 = 1(cos240° + i.sen240°) = -1 /2 – i .
Nota:
Um detalhe importante pode ser visualizado no
exemplo acima: os argumentos das raízes são
0°, 120° e 240°, que são termos de uma
progressão aritmética de razão 120°. Isto não é
uma coincidência! Veja a dica abaixo:
As n raízes enésimas de um número complexo
de argumento q, possuem argumentos que
formam uma progressão aritmética de primeiro
termo q / n e razão 360° / n.
Exercícios
01. (UFSE) O módulo de um número
complexo é e seu argumento
principal é 45°. A sua forma algébrica
é:
a) 4 + 4i
b) 2 + 2i
c) 2 – 2i
d)
e) 
02. (U.F.VIÇOSA) Seja o número complexo
z = + i, sendo i a unidade
imaginária. O argumento principal de
z . z é:
a) 0°
b) 30°
c) 40°
d) 90°
e) 60°
03. (MACK)A função ƒƒ associa a cada
complexo seu argumento. O valor de
cotg(ƒƒ(–1 – i)) é:
a) –1
b) 0 
c) 1
d)
e)
04. (.STA.CASA) Seja o número complexo
z = (2 – 2i)n, onde n∈IN*. Se z = 512,
então o número n é:
a) primo
b) quadrado perfeito
c) divisível por 5
d) múltiplo de 4
e) divisível por 3
05. Se o número complexo z= 1 – i é uma
das raízes da equação x10– a = 0, o
valor de a é:
a) 16 b) 32 c) 64
d) –16i e) –32i
3
01. (UEFS) O valor da expressão
E = x–1 + x2, para x = 1 – i , é:
a) –3i 
b) 1–i 
c) 5/2 + (5/2)i
d) 5/2 – (3/2)i 
e) 1/2– (3/2)i
02. Simplificando-se a expressão
E = i7+i5 +( i3 + 2i4)2, obtêm-se:
a) –1+2i
b) 1+2i
c) 1 – 2i
d) 3 – 4i
e) 3 + 4i
03. (UEFS). Se m – 1+ni = (3+i).(1+3i),
então m e n são respectivamente:
a) 1 e 10 b) 5 e 10 c) 7 e 9
d) 5 e 9 e) 0 e -9
04. (FGV)A soma de um numero complexo
z com o triplo do seu conjugado é
igual a –8 – 6i. O módulo de z é:
a) b) c) 13
d) 7 e) 5
05. (PUC) Seja z = 1+i , onde i é a
unidade imaginária. Podemos afirmar
que z8 é igual a:
a) 16 b) 161 c) 32
d) 32i e) 32+16i
06. (UFPA) Qual o valor de m para que o
produto (2+mi) . (3+ i) seja um
imaginário puro?
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 10
07. (U.C.SALVADOR) Efetuando-se
(1 + i)2 – (1 – i)3, obtém-se:
a) 1 + i b) 2 + i c) 2 + 4i
d) 4 – 2i e) –1 – i 
08. (UFRN) Se z = 4 + 2i, então z – 3 
––––––
Z
vale:
a) 6 + i b) 1 + 8i c) –8 + 8i
d) 1 – 8i e) 12 + 6i
09. (CESGRANRIO) O módulo do número
complexo (1 + 3i)4 é:
a) 256 b) 100 c) 81
d) 64 e) 16
10. (U.MACK) O número de soluções
distintas do sistema 
é:
a) zero b) 1 c) 2
d) 3 e) maior que 3
Desafio
Matemático
Polinômios e Equações
Algébricas
1. Polinômios.
Definições e características de polinômios 
Um polinômio (função polinomial) com
coeficientes reais na variável x é uma função
matemática f: R R definida por: 
p(x) = ao + a1x + a2x2 + a3x3 + ... + anxn,
onde ao, a1, a2, ..., an são números reais,
denominados coeficientes do polinômio. O
coeficiente ao é o termo constante. 
Se os coeficientes são números inteiros, o
polinômio é denominado polinômio inteiro em x. 
Valor numérico de um polinômio
O valor numérico de um polinômio p(x) em x =
a é obtido pela substituição de x pelo número a,
para obter p(a). 
Exemplo 01: O valor numérico de p(x) = 2x2 +
7x – 12 para x = 3 é dado por: 
p(3) = 2(3)2 + 7(3) – 12 = 2(9) + 21 –12 =
18 + 9 = 27 
Exemplo 02: Qual o valor numérico do
polinômio p(x) = x3 – 5x + 2 para x = –1?
Teremos, substituindo a variável x por x = –1 ⇒
p(–1) = (–1)3 – 5(–1) + 2 = –1 + 5 + 2 =
6 \ p(–1) = 6.
Raiz (ou zero) de um polinômio
O número complexo m é raiz ou zero do
polinômio P(x) quando P(m) = 0 .
Exemplo 01: i é raiz do polinômio P(x) = x2 + 1,
pois P(i) = 0.
Lembre-se que i2 = –1, ou seja , o quadrado da
unidade imaginária é igual a –1.
O número natural 2 é raiz do polinômio
P(x) = x3 – 2x2 – x + 2 , pois P(2) = 0.
Exemplos:
a) P(x) = 2x4 + 3x2 – 7x + 10 → S = P(1) = 2 +
3 – 7 + 10 = 8.
b)Qual a soma dos coeficientes de 
S(x) = x156 + x? 
Ora, substituindo x por 1, encontramos S = 2.
(Lembre-se que 1156 = 1).
Igualdade de polinômios 
Os polinômios p e q em P[x], definidos por: 
p(x)=ao+a1x+a2x2+a3x3+ ...+anxn e
q(x)=bo+b1x+b2x2+b3x3+ ... + bn xn
são iguais se, e somente se, para todo
k=0,1,2,3,...,n: ak = bk
Teorema: Uma condição necessária e suficiente
para que um polinômio inteiro seja
identicamente nulo é que todos os seus
coeficientes sejam nulos. 
Assim, um polinômio p(x) = ao + a1 x + a2
x2+a3 x3 + ... + an xn será nulo se, e somente
se, para todo k=0,1,2,3,...,n: ak= 0 
O polinômio nulo é denotado por po=0 em P[x]. 
O polinômio unidade (identidade para o
produto) p1=1 em P[x], é o polinômio:
p(x) = ao + a1 x +a2 x2 + a3 x3 + ... + an xn
cujo termo constante é ao = 1 e ak = 0 , para
todo k=1,2,3,...,n. 
Aplicação
Sendo P(x) = Q(x) + x2 + x + 1 e sabendo que
2 é raiz de P(x) e 1 é raiz de Q(x) , calcule o
valor de P(1) – Q(2) .
Solução: 
Ora, se 2 é raiz de P(x), então sabemos que
P(2)= 0 e se 1 é raiz de Q(x) então Q(1) = 0.
Temos então substituindo x por 1 na expressão
dada:
P(1) = Q(1) + 12 + 1 + 1 
P(1) = 0 + 1 + 1+ 1 = 3. Então P(1) = 3.
Analogamente, poderemos escrever:
P(2) = Q(2) + 22 + 2 + 1 → 0 = Q(2) + 7, 
logo Q(2) = –7. Logo P(1) – Q(2) = 3 – (–7) =
3 + 7 = 10. 
Soma de polinômios 
Consideremos p e q polinômios em P[x],
definidos por: 
p(x) =ao+a1x+a2x2+a3x3+ ...+anxn e
q(x)=bo+b1x +b2x2+b3x3 + ... +bnxn
Definimos a soma de p e q, por:
(p+q)(x) =(ao+bo)+ (a1+b1)x + (a2+b2)x2 + ...
+ (an+bn)xn
Produto de polinômios 
Sejam p, q em P[x], dados por: 
p(x) = ao+a1x+a2x2+a3x3+ ... +anxn e
q(x)=bo+b1x+b2x2+b3x3+ ... + bn xn
Definimos o produto de p e q, como um outro
polinômio r em P[x]: 
r(x) = co + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + ... + cn xn
tal que: ck=ao bk+a1bk–1+a2 bk–2+a3bk–3+...+
ak–1 b1+akbo para cada ck (k=1,2,3,...,m+n).
Observamos que cada termos soma que gera
ck, a soma do índice de a com o índicede b
sempre fornece o mesmo resultado. 
Algoritmo da divisão de polinômios 
Dados os polinômios p e q em P[x], dizemos
que q divide p se existe um polinômio g em P[x]
tal que p(x) = g(x) q(x).
Se p em P[x] é um polinômio com gr(p)=n e g é
um outro polinômio com gr(g)=m<n, então
existe um polinômio q em P[x] e um polinômio r
em P[x] com gr(r)<gr(g), tal que: 
p(x)=q(x).g(x)+ r(x) 
Um caso particular importante é quando
tomamos: g(x) = x–c e p(x)= ao+a1x+a2x2+
a3x3+...+anxn
Como para todo k=1,2,3,...,n vale a identidade: 
xk–ck=(x–c)(xk–1+c xk–2+c2xk–3+...+ck–2x+ck–1) 
então para p(x)=ao+a1x+a2x2+a3x3+...+anxn
temos que p(c)=ao+a1c+a2c2+a3c3+...+ancn
e tomando a diferença entre p(x) e p(c), teremos: 
p(x)–p(c)=a1(x–c)+a2(x2–c2)+a3(x3–c3)+...+
an(xn–cn) 
o que garante que podemos colocar em
evidência g(x)=x–c para obter 
p(x) – p(c) = (x–c) q(x) onde q=q(x) é um
polinômio de grau n–1. 
Assim podemos escrever: 
p(x) = (x–c) q(x) + p(c) e é claro que r(x)=p(c)
é um polinômio de grau 0. 
Aplicação
Determinar o quociente de A(x) = x4 +x3 – 7x2
+ 9x – 1 por B(x) = x2 + 3x – 2.
Solução:
Zeros de um polinômio 
Um zero de um polinômio real p em P[x] é um
número c, que pode ser real ou complexo, tal
que p(c)=0. O zero de um polinômio também é
denominado raiz do polinômio. 
Uma consequência do Algoritmo da Divisão de
polinômios é que: 
x–c é um fator de p em P[x] ⇔ r(x)=f(c)=0 
4
Desafio
Matemático
01. (PUC) Sejam três polinômios em x: P =
–2x3 – 2x2 + 2x –1; Q = (2x2 + 3) (x –
1) e R = –4x + 3 . Dividindo-se P – Q
por R, encontram-se quociente e resto
respectivamente iguais a:
a) x2 + (3/4)x + 13/16 e –7/16 
b) x2 + (3/4)x – 13/16 e 7/16 
c) x2 + (3/4)x + 13/16 e 7/16 
d) x2 – (3/4)x + 13/16 e –7/16 
e) x2 + (3/4)x – 13/16 e 7/16 
02. (MACK) Sejam P = 5x – 2, Q=(4+25x2)2
e R = 5x + 2; então (PR)2 – Q é:
a) –400x2
b) 400x2
c) –400x3
d) –300x2
e) 300x2
03. (UNIP) Se o resto da divisão de P(x)=x3
+ ax + b por Q(x) = x2 + x + 2 é 4,
então a + b vale:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
04. (UFRS) O conjunto verdade da
equação 18x3 + 9x2 – 2x –1 = 0 está
contido em:
a) [–2,–1) 
b) [–1,1) 
c) [1,2) 
d) [2,3) 
e) [3,4)
05. (FGV) A soma das raízes da equação
2x4 – 3x3 + 3x – 2 = 0 é:
a) 1
b) 0,5
c) 1,5
d) 2
e) 2,5
06. Marque o polinômio: O polinômio de
grau 2 é
a) x4 + 2x2 – 6x + 2
b) x5 + 7
c) x2 + x–1 + 6
d) (x + 1)2 – x2 + 3
e) (x + 2)(x – 3)
07. (UFRGS) O polinômio (m2 – 4)x3 + (m –
2)x2 – (m + 3) é de grau 2 se, e
somente se,
a) m = – 2
b) m = 2
c) m = ±2
d) m ≠ 2
e) m ≠ – 2
Matemática 
Professor CLÍCIO 
o que é equivalente a: 
c é um zero de p em P[x] ⇔ x–c é um divisor de
p=p(x) 
2. Equações Algébricas
Portanto , as raízes da equação algébrica , são
as mesmas do polinômio P(x). O grau do
polinômio , será também o grau da equação.
Exemplo: 
3x4 – 2x3 + x + 1 = 0 é uma equação do 4.°
grau.
Propriedades importantes :
a) Toda equação algébrica de grau n possui
exatamente n raízes.
Exemplo: a equação x3 – x = 0 possui 3 raízes
a saber: x = 0 ou x = 1 ou x = –1. Dizemos
então que o conjunto verdade ou conjunto
solução da equação dada é 
S={0, 1, –1}.
b)Se b for raiz de P(x) = 0 , então P(x) é
divisível por x – b.
Esta propriedade é muito importante para
abaixar o grau de uma equação , o que se
consegue dividindo P(x) por x – b , aplicando
Briot-Ruffini. 
Exemplo: Qual o grau mínimo da equação
P(x) = 0, sabendo-se que três de suas raízes
são os números 5, 3 + 2i e 4 – 3i.
Solução:
Ora, pela propriedade P3, os complexos
conjugados 3 – 2i e 4 + 3i são também raízes.
Logo, por P1, concluímos que o grau mínimo de
P(x) é igual a 5, ou seja, P(x) possui no mínimo 5
raízes. 
d)Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais
a m então dizemos que m é uma raiz de grau
de multiplicidade k.
Exemplo: A equação (x – 4)10 = 0 possui 10
raízes iguais a 4 . Portanto 4 é raiz décupla ou
de multiplicidade 10.
Outro exemplo: a equação x3 = 0, possui três
raízes iguais a 0 ou seja três raízes nulas com
ordem de multiplicidade 3 (raízes triplas).
A equação do segundo grau x2 – 8x + 16 = 0,
possui duas raízes reais iguais a 4, (x’= x’’= 4).
Dizemos então que 4 é uma raiz dupla ou de
ordem de multiplicidade dois. 
e) Se a soma dos coeficientes de uma equação
algébrica P(x) = 0 for nula , então a unidade é
raiz da equação (1 é raiz).
Exemplo: 1 é raiz de 40x5 –10x3 + 10x – 40 = 0,
pois a soma dos coeficientes é igual a zero .
f) Toda equação de termo independente nulo ,
admite um número de raízes nulas igual ao
menor expoente da variável .
Exemplo: a equação 3x5 + 4x2 = 0 possui duas
raízes nulas .
A equação x100 + x12 = 0, possui 100 raízes,
das quais 12 são nulas!
g)Se x1,x2,x3, ...,xn são raízes da equação
aoxn+a1xn–1+a2xn–2+..+an= 0 , então ela
pode ser escrita na forma fatorada:
ao (x – x1) . (x – x2) . (x – x3) . ... . (x – xn) = 0
Exemplo: Se –1 , 2 e 53 são as raízes de uma
equação do 3° grau , então podemos escrever:
(x+1) . (x–2) . (x–53) = 0 , que desenvolvida fica
: x3 – 54x2 + 51x + 106 = 0.
Relações de Girard
São as relações existentes entre os coeficientes
e as raízes de uma equação algébrica .
• Para uma equação do 2° grau , da forma ax2
+ bx + c = 0 , já conhecemos as seguintes
relações entre os coeficientes e as raízes x1 e
x2 : x1 + x2 = – b/a e x1 . x2 = c/a .
• Para uma equação do 3° grau , da forma
ax3 + bx2 + cx + d = 0, sendo x1, x2 e x3 as
raízes, temos as seguintes relações de Girard:
x1 + x2 + x3 = - b/a 
x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a
x1.x2.x3 = – d/a
• Para uma equação do 4° grau , da forma ax4
+ bx3 + cx2 + dx + e = 0 , sendo as raízes
iguais a x1, x2, x3 e x4, temos as seguintes
relações de Girard :
x1 + x2 + x3 + x4 = –b/a
x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 =
c/a
x1.x2x3 + x1.x2.x4 + x1.x3.x4 + x2.x3.x4 = –d/a
x1.x2.x3.x4 = e/a
Exercícios resolvidos
01. Sabendo-se que –2 e 3 são raízes de P(x) =
x3 + ax +b, calcular os valores de a e b.
Resolução: 
Como –2 e 3 são raízes de P(x), temos:
P(-2) = 0 ⇒ (-2)3 –2a+b = 0
–2a + b = 8
P(3) = 0 ⇒ 33 +3a +b = 0
3a +b = –27
Resolvendo o sistema formado pelas equações
e, obtemos:
⇒ a= –7 e b = –6
02. Calcular o valor de a, para que o polinômio
P(x)= x2 + 8/3x + a seja um “quadrado
perfeito”.
Resolução:
Se P(x) é do 2° grau, ele deve ser identificado ao
quadrado de um binômio da forma (mx + n), isto
é:
P(x) ≅ (mx + n)2 ⇒ 1x2 + 8/3x +a ≅ m2x2 +
2mnx + n2
Igualando-se os coeficientes, vem:
m2 = 1 ⇒ m= ±1
2mn = 8/3 ⇒ n= ± 4/3
n2 = a 
Como a = n2 ⇒ a = 16/9
03. Determine os números reais a e b de modo
que o polinômio P(x)= 3x2 – 4ax2 + x + b seja
divisível por ( x – 1) e que dividido por (3x + 6)
dê resto –42.
Resolução:
Devemos ter:
P(1) = 0 ⇒ 3 – 4a + 1 + b = 0
–4a + b = –4 
P(2) = –42 ⇒ –24 – 16a –2 + b = –42
–16a + b = –16 
Resolvendo o sistema, obtemos:
⇒ a=1
⇒ b=0
04. Determinar a e b, de modo que P(x) = x3 +
ax2 +bx + 10 seja divisível por (x – 1) . (x – 2).
Resolução:
Se P(x) é divisível por (x – 1) (x – 2), então é
divisível por (x – 1) e (x – 2); assim temos:
P(1) = 0 ⇒ (1)3 + a(1)2 + b(1) + 10 = 0 ⇒
P(2) = 0 ⇒ (2)3 + a(2)2 + b(2) + 10 = 0 ⇒
⇒
Resolvendo o sistema, obtemos a = 2 e b= –13
05. Transformar o polinômio P(x) = 2x3 + x2 –
5x + 2 num produto de fatores do 1° grau,
sabendo-se que –2 é um dos seus zeros.
Resolução:
Se –2 é um dos zeros de P(x), vem:
P(x)=(x+2) . Q(x)
Se Q(x) = 2x2 – 3x + 1, temos:
P(x) = (x + 2) (2x2 – 3x + 1)
As raízes de Q(x) são:
2x2 – 3x + 1 = 0 ⇒ x = 1 ou x = 0,5 
Logo, 2x2 – 3x + 1 = 2(x – 1)(x – 1/2)
Substituindo, temos:
P(x)= 2(x+2)(x – 1)(x – 1/2)
5
Desafio
Matemático
01. (UFRGS) Se P(x) = 3x2 + 12x – 7,
então P(–1) vale:
a) –16
b) –7
c) 0
d) 3
e) 24
02. (UCS) Se P(x) = x3 + 2x2 + kx – 2 e
P(2) = 0, então k vale:a) – 2
b) – 4
c) – 7
d) 2
e) 7
03. O polinômio P(x) = ax3 + bx2 + cx + d
é idêntico a Q(x) = 5x2 – 3x + 4. O
valor de a + b + c + d é:
a) 6
b) 5
c) 4
d) 0
e) – 3
x – 2 A B
04. (UFRGS) Se –––––– = —— + ––– ,
x2 + x x+1 x 
o valor de A – B é:
a) 5
b) 3
c) – 1
d) – 3
e) – 5
05. Dividindo x3 + 6x2 + 2x – 4 por x2 + 2x
– 4 encontramos como quociente
a) x + 3
b) x + 4
c) x + 5
d) x – 1
e) x – 3
06. O resto da divisão do polinômio
P(x)=x3 – x + 1 pelo polinômio
D(x)= x2 + x + 1 é igual a:
a) 0
b) x + 2
c) x – 2
d) –x + 2
e) –x – 2
07. (UFRGS) A divisão de P(x) por x2 + 1
tem quociente x – 2 e resto 1. O
polinômio P(x) é:
a) x2 + x – 1 b) x2 + x – 1
c) x2 + x d) x3 –2x2 + x – 2
e) x3 –2x2 + x –1
08. O quociente da divisão de
x3 + 2x2 – 5x + 1 por x – 2 é 
a) x2 – 4x – 3 b) x2 + 4x + 3
c) x2 + 7 d) x2 – 7
e) n.r.a
Eletromagnetismo I
Ímãs
São corpos que atraem o ferro, o níquel, o
cobalto e alguns outros materiais. Existem ímãs
naturais, que são pedras de um minério de
óxido de ferro (magnetita), e ímãs artificiais, que
são fabricados a partir de algumas ligas
metálicas. Uma liga importante é o alnico
(alumínio, níquel e cobalto).
A atração que um ímã exerce em outros corpos
é mais intensa em duas regiões, denominadas
pólos magnéticos. No caso de um ímã em
forma de barra reta, os pólos localizam-se nas
extremidades.
Na região central do ímã não imantação. Essa
região é denominada zona neutra.
A partir do comportamento de uma bússola,
cuja agulha é um ímã, os pólos magnéticos
receberam a denominação de pólo norte
magnético e pólo sul magnético. Em condições
normais, a agulha imantada da bússola alinha-
se aproximadamente na direção norte-sul
geográfica.
Atração e repulsão
Verifica-se experimentalmente que:
• Pólos magnéticos de mesmo nome se
repelem.
• Pólos magnéticos de nomes diferentes se
atraem.
Assim, se o pólo norte magnético da agulha da
bússola é atraído pela região do norte geográfico
da Terra, concluímos que nessa região existe um
pólo sul magnético. Do mesmo modo, na região
do pólo sul geográfico existe um pólo norte
magnético. Os pólos norte geográfico e sul
magnético e os pólos sul geográfico e norte
magnético da Terra não estão exatamente no
mesmo lugar, embora estejam relativamente
próximos (separados por cerca de 2000km).
Campo magnético
Um ímã cria no espaço uma região de influência
denominada campo magnético, que lhe possibilita
trocar forças de campo magnético com objetos
de ferro, de níquel, etc., ou com outros ímãs.
A origem de um campo magnético pode ser
entendida a partir de uma experiência simples.
Com fio de cobre esmaltado, faz-se um
enrolamento que é colocado em presença de
um ímã. Nenhuma interação é observada.
Após remover a película de esmalte (isolante)
das extremidades do fio de cobre, liga-se uma
pilha entre elas. Com isso, uma corrente elétrica
é estabelecida no enrolamento. Agora, um ímã
próximo do enrolamento interage com ele: se
um determinado pólo do ímã atrair uma das
faces do enrolamento, esse mesmo pólo repelirá
a outra face. Isso prova que o enrolamento
adquiriu pólos magnéticos, em razão de estar
sendo atravessado por uma corrente elétrica.
Portanto, o campo magnético é gerado por
corrente elétrica. 
Materiais ferromagnéticos
Em quase todos os tipos de materiais, os
campos magnéticos gerados pelos elétrons em
cada átomo se anulam. Porém nos materiais
ferromagnéticos isso não ocorre. Nesses
materiais, cada átomo cria o seu próprio campo
magnético, formando aglomerados microscópi-
cos – denominados domínios magnéticos – que
se comportam como pequenos ímãs.
Num objeto ferromagnético não-imantado, como
um prego, por exemplo, os domínios magnéticos
estão num estado de desorganização tal que
seus campos acabam se anulando.
Quando o objeto ferromagnético é submetido
ao campo magnético de um ímã, por exemplo,
seus domínios se deformam e buscam um
estado de organização: o objeto fica imantado,
passando a ter pólos magnéticos definidos,
induzidos pelo ímã. A esse fenômeno dá-se o
nome de indução magnética.
Observe que o ímã atrai o prego porque o pólo N
do ímã está mais próximo do pólo S induzido no
prego. Se o ímã for afastado, a imantação do
prego de ferro praticamente desaparecerá,
porque seus domínios voltarão ao estado de
desorganização. Entretanto se o objeto fosse feito
de aço ou de alnico, ele permaneceria imantado
após o afastamento do ímã, em razão de nesses
materiais é considerável a manutenção do estado
de organização dos domínios magnéticos. A essa
capacidade de reter imantação, que é, por
exemplo, muito maior no alnico do que no aço,
dá-se o nome de histerese magnética.
Inseparabilidade dos pólos
Num ímã permanente, os domínios magnéticos,
que são microscópicos e em número muito
grande, estão todos organizados. Quando um
ímã é quebrado, cada pedaço continua com
uma grande quantidade de domínios
organizados. Por isso, cada pedaço continua
6
Física
Professor CARLOS Jennings
01. (UECE) Cargas elétricas em movimento
no interior de um campo magnético
podem sofrer ação de forças magnéti-
cas. Uma hélice de alumínio gira em
torno de seu eixo com velocidade
angular constante no sentido horário,
num local onde o campo magnético da
Terra é como o indicado na figura.
A região do centro da hélice e da
extremidade das pás tendem a adquirir
cargas elétricas, respectivamente:
a) negativa e positiva
b) positiva e negativa
c) nula e positiva
d) nula e negativa
02. (U. E. Maringá – PR) Uma partícula α
(massa ≅ 6,4.10–27 kg e carga q= 3,2
10–19 C) penetra numa região do espaço
onde existe um campo magnético
uniforme, de módulo B=5,0T, como
velocidade de módulo v=5,0. 107m/s,
perpendicular á direção do campo,
descrevendo uma trajetória circular, de
raio R. Nessas condições, assinale o
que for correto
01) Em qualquer ponto da trajetória, a
força magnética será perpendicular
à velocidade
02) Em qualquer ponto da trajetória, a
velocidade 
→→
v da partícula
permanece constante
04) A energia cinética da partícula não é
alterada, enquanto esta estiver sob
a ação do campo magnético
08) O trabalho realizado pela força
magnética, para deslocar a partícula
entre dois pontos quaisquer da
trajetória, é nulo
16) Para a partícula a α, o raio da
trajetória é R=20 cm
32) Substituindo a partícula α por um
elétron (carga negativa) e, ao
mesmo tempo, invertendo o sentido
de 
→→
B , o sentido da trajetória
também será invertido
Dê como resposta a soma dos números
correspondentes às afirmativas corretas
Desafio
Físico
apresentando seus próprios pólos magnéticos
norte e sul. Assim não é possível separar os
pólos magnéticos de um ímã.
Vetor indução magnética ou vetor campo
magnético
O campo magnético, assim como o campo
gravitacional e o campo elétrico, também é
representado por um vetor. Esse vetor 
→
B é o
vetor indução magnética.
O vetor indução magnética 
→
B, num ponto P
qualquer de um campo magnético, tem as
seguintes características:
• Direção: da reta com a qual uma pequena
agulha imantada (agulha de prova) procura
alinhar-se.
• Sentido: indicado para onde aponta o pólo
norte magnético da agulha de prova.
• Módulo: medido, no SI, em tesla (T).
Linhas de indução de um campo magnético
São linhas orientadas que possuem a seguinte
propriedade: em cada um de seus pontos, o
vetor 
→
B tem direção tangente a elas e o sentido
delas.
• Na região externa ao ímã, as linhas de
indução orientam-se de N para S. Dentro do
ímã, essas linhas orientam-se de S para N.
• Ao contrário das linhas de força do campo
elétrico, que são abertas, as linhas de
indução são fechadas.
• A intensidade de 
→
B é tanto maior quanto mais
concentradas as linhas de indução. Na figura
anterior,temos: BA > BB.
• O campo magnético é uma propriedade de
cada ponto do espaço, independentemente
de colocarmos ou não um elemento de prova.
• As linhas de indução não podem se cruzar,
pois, se isso ocorresse, haveria mais de uma
direção possível para o vetor 
→
B no
cruzamento delas, o que não é possível.
Campo magnético uniforme (CMU)
Diz-se do campo magnético em que 
→
B tem
mesmo módulo, mesma direção e mesmo
sentido em todos os pontos. Suas linhas de
indução são representadas por segmentos de
reta paralelos entre si, igualmente espaçados e
orientados. Isso ocorre, aproximadamente, na
região entre os pólos de um ímã em forma de U.
Aplicação
A figura mostra dois ímãs idênticos P e Q
colocados sobre uma mesa de madeira, vista de
cima. Esses ímãs estão igualmente afastados do
ponto O.
Sendo B a intensidade do vetor indução
magnética que um dos ímãs gera em O, e
supondo desprezível o campo magnético
terrestre em relação aos campos dos ímãs:
a) Determine o vetor indução magnética em O.
b)Mostre a posição de equilíbrio estável da
agulha de uma bússola centrada em O.
c) Repita o item b supondo o campo magnético
terrestre não-desprezível, horizontal e com
intensidade também igual a B.Utilize os
pontos cardeais e suponha os pólos
geográficos coincidentes com os pólos
magnéticos da Terra.
Solução:
a) O ímã P cria em O um vetor 
→
BP que aponta
“saindo” de seu pólo norte; o ímã Q cria em O
um vetor 
→
BQ que aponta “chegando” ao seu
pólo sul:
Como os ímãs são idênticos e estão igualmente
afastados de O, 
→
BP e 
→
BQ têm o mesmo módulo
de B. Então, o campo resultante 
→
Bo aponta para
sudeste e tem módulo dado por:
B2o = B2P+ B
2
Q= B
2 + B2 = 2B2 ⇒ Bo= B
b) No equilíbrio estável, a agulha está alinhada
com o campo resultante 
→
Bo , e seu norte
magnético aponta no sentido de 
→
Bo:
c) O campo magnético terrestre 
→
BT aponta do
norte magnético da Terra (pólo sul geográfico)
para o pólo sul magnético (pólo norte
geográfico):
Como BT = B, o campo resultante passa a ser→
BP e o norte magnético da agulha passa apontar
para leste.
7
01. (PUC–MG) Uma pequena partícula
leve, portadora de uma carga elétrica
positiva, foi lançada com uma certa
velocidade em uma região em que
existia um campo elétrico uniforme e
constante ou um campo magnético
uniforme e constante. Durante um
curto intervalo de tempo, em que os
efeitos gravitacionais puderam ser
considerados desprezíveis, a trajetória
seguida pela partícula foi um arco de
circunferência. Com estas informa-
ções, é correto afirmar que na referida
região havia:
a) um campo elétrico paralelo à atividade
da partícula
b) um campo elétrico perpendicular à
atividade da partícula
c) um campo magnético paralelo à
atividade da partícula
d) um campo magnético perpendicular à
atividade da partícula
02. (UFES) Uma partícula de massa m e
carga q é lançada da origem de coor-
denadas do plano xy. Sua velocidade
inicial é no sentido positivo do eixo x e
tem módulo v. Na faixa do plano xy
definida por a ≤ x ≤ b,.existe um campo
elétrico uniforme 
→→
E , perpendicular ao
plano xy, no sentido z>0. No
semiplano x>b, existe um campo
magnético uniforme 
→→
B perpendicular
ao plano xy, no sentido z<0, conforme
representado na figura abaixo.
Despreze a aceleração da gravidade e
os efeitos de bordas. Determine:
a) o componente da velocidade da
partícula na direção do eixo z, no
exato instante em que esta entra no
semiplano x > b;
b) o tempo de permanência da partí-
cula na região do semiplano x > b.
03. (UFSE) Dois fios condutores, longos e
paralelos, colocados a pequena
distância um do outro, são percorridos
por correntes elétricas. É correto
afirmar que:
a) a força magnética entre os condutores
será de atração se as correntes forem
de mesmo sentido
b) a força magnética entre os condutores
será sempre de repulsão
c) a força magnética entre os condutores
será sempre de atração
d) a força magnética entre os condutores
será de atração se as correntes forem
de sentidos opostos
e) não aparecerá força magnética entre os
condutores
Desafio
Físico
Eletromagnetismo II 
Campo magnético de correntes
Como já sabemos, o campo magnético é
gerado por correntes elétricas. Nesta aula,
vamos apresentar alguns casos de campos
magnéticos gerados por condutores percorridos
por corrente elétrica.
Campo magnético gerado por condutores
retilíneos
Um fio condutor retilíneo longo, percorrido por
uma corrente elétrica de intensidade i, gera um
campo magnético cujas linhas de indução são
circunferências contidas num plano perpendi-
cular ao fio:
Para orientar as linhas de indução, segura-se o
fio com a mão direita, de modo que o polegar
aponte para o sentido da corrente. As pontas
dos outros dedos indicam a orientação das
linhas. A esse procedimento dá-se o nome de
regra da mão direita.
Num ponto P situado a uma distância d do fio, a
intensidade do vetor indução magnética 
→
B é
dada por:
µ .i
B= –––––
2π.d
A grandeza µ é uma característica do meio em
que o fio se encontra, denominada
permeabilidade absoluta do meio. No vácuo, é
representada por µo, e seu valor, no SI, é:
T.mµo= 4π .10–7 ––––– A
Aplicação
Em dois fios retilíneos muito longos, I e II,
paralelos entre si e separados por uma distância
D = 60cm, são estabelecidas correntes
contínuas de intensidades i1 = 10A e i2 = 20A,
T.m
respectivamente. Sendo µo= 4π .10–7 ––––– aA
permeabilidade do meio, determine a
intensidade BP do vetor indução magnética
resultante, devido a esses fios, num ponto P,
situado no plano dos fios e a uma distância
d1=10cm do fio I, nos seguintes casos:
a) as correntes têm mesmo sentido;
b)as correntes têm sentidos opostos.
Solução:
Sendo 
→
B1 e 
→
B2 os vetores indução magnética
criados no ponto P pelos fios I e II,
respectivamente, e usando a regra da mão
direita envolvente, temos:
a) d1= 10cm = 10 . 10–2m
d2= 50cm = 50 . 10–2m
µo .i1 4π. 10–7. 10 B1= ––––– = ––––––––––– ⇒ B1= 2.10–5 T2π.d1 2π. 10.10–2
µo .i2 4π. 10–7. 20 B2= ––––– = ––––––––––– ⇒ B2= 0,8.10–5 T2π.d2 2π. 50.10–2
Como 
→
B1 e 
→
B2 têm sentidos opostos:
BP = B1 – B2 = 2 . 10–5 – 0,8 . 10–5
BP = 1,2 . 10–5 T
b)
Como 
→
B1 e 
→
B2 têm o mesmo sentido e as
mesmas intensidades (calculadas no item
anterior):
BP = B1 + B2 = 2 . 10–5 + 0,8 . 10–5
BP = 2,8 . 10–5T
Campo magnético gerado por uma espira
circular
Considere uma espira circular de raio R,
percorrida por uma corrente de intensidade i. o
vetor indução magnética 
→
B no centro da espira
é perpendicular ao plano da espira, e seu
sentido é dado pela regra da mão direita
envolvente. Sua intensidade é dada por:
µ .i
B= –––––
2.R
Note que o observador O1 vê 
→
B “saindo” de
uma face da espira: essa face é um pólo norte
magnético. O observador O2, porém, vê 
→
B
“entrando” na outra face da espira: essa face é
um pólo sul magnético.
A polaridade magnética das faces da espira
pode ser determinada usando a seguinte regra
prática:
8
01. Desafio – (Mack-SP) Um condutor
elétrico retilíneo e de pequeno
diâmetro tem 10cm de comprimento; e,
enquanto é percorrido pela corrente
elétrica de intensidade i = 10A, ele se
encontra numa região onde existe um
campo de indução magnética de
intensidade 5,0 . 10–1T, conforme a
figura.
A força de origem eltromagnética que
age nesse condutor é:
a) F = 5,0 . 10–4N, vertical ascendente.
b) F = 5,0 . 10–4N, vertical descendente.
c) F = 5,0 . 10–1N, vertical ascendente.
d) F = 5,0 . 10–1N, vertical descendente.
e) F = 5,0 . 102N, vertical descendente.
02. (Vunesp) A figura mostra um fio
metálico AB suspenso entre os pólos
de um ímã por meio de dois fios
condutores leves e flexíveis, ligados a
uma bateria e a uma chaveC.
O fio AB está colocado
perpendicularmente às linhas de
campo magnético 
→→
B. Desprezando a
presença de outros campos
magnéticos, podemos afirmar que, ao
ser fechada a chave C:
a) Não aparecerá nenhuma força adicional
atuando no fio.
b) Aparecerá uma força magnética atuando
no fio, perpendicularmente ao plano da
figura e penetrando na página.
c) Aparecerá uma força magnética atuando
no fio, perpendicularmente ao plano da
figura e apontando para o leitor.
d) Aparecerá uma força magnética atuando
na direção do fio e sobre ele e que
aponta para a esquerda do leitor.
e) Aparecerá uma força magnética atuando
na direção do fio e sobre ele e que
aponta para a direita do leitor.
Física
Professor CARLOS JenningsDesafio
Físico
Campo magnético gerado por uma bobina
circular
Sendo i a intensidade de corrente, R o raio da
bobina, n o número de espiras, e supondo L
bem menor que R, temos:
µ . i
B= n. –––––
2R
Campo magnético gerado por uma bobina
longa (solenóide)
A figura mostra um solenóide percorrido por
corrente de intensidade i, e algumas linhas de
indução do campo magnético gerado. Como nos
casos anteriores, essas linhas são orientadas de
acordo com a regra da mão direita envolvente:
Note que o observador O1 vê 
→
B “entrando” na
extremidade superior: essa extremidade é um
pólo sul magnético. O observador O2, porém, vê→
B “saindo” da extremidade inferior: essa face é
um pólo norte magnético.
Veja também que, externamente ao solenóide,
as linhas de indução orientam-se de N para S,
do mesmo modo que acontece na região
externa a um ímã. No interior do solenóide, o
campo é aproximadamente uniforme, e as linhas
de indução orientam-se de S para N.
No caso de um solenóide compacto (espiras
justapostas), de comprimento L e n espiras, o
campo magnético no interior é sensivelmente
uniforme, desde que não tomemos pontos muito
próximos das extremidades.
A intensidade desse campo é dada por:
n. µ .i
B= –––––
L
Em que n/L é o número de espiras por unidade
de comprimento.
Aplicação
A figura representa dois longos fios retilíneos I e
II, paralelos entre si e perpendiculares ao plano
do papel, separados por uma distância
D=30cm, e percorridos por correntes i1 = 20A e
i2 = 10A, respectivamente. A uma distância d1
do fio I, o vetor indução magnética devido aos
fios é nulo. Calcule d1 nos seguintes casos:
a) as correntes têm o mesmo sentido;
b)as correntes têm sentidos opostos.
Solução:
a) Supondo i1 e i2 “entrando” no plano do papel,
temos:
Devemos ter:
µ .i1 µ .i2 i1 i2B1= B2⇒ –––––– = –––––– ⇒ –– = ––––––– ⇒2π.d1 2π.d2 d1 (D – d1) 
20 10 
⇒ ––– = ––––––– ⇒ d1= 20cmd1 (30 – d1) 
b) Supondo i1 “entrando” e i2 “saindo” do papel,
temos:
Observe que o ponto em que o vetor indução
magnética resultante é nulo deve estar mais
próximo do fio percorrido pela menor corrente.
Caso contrário, a igualdade entre B1 e B2 seria
impossível:
µ .i1 µ .i2 i1 i2B1= B2⇒ –––––– = –––––– ⇒ –– = ––––––– ⇒2π.d1 2π.d2 d1 (d1 – D) 
20 10 
⇒ ––– = ––––––– ⇒ d1= 60cmd1 (d1 – 30) 
Exercícios
01. (U. F. Uberlândia-MG) Nos esquemas a
seguir, as polaridades norte (N) e sul (S)
dos ímãs criam campos magnéticos
uniformes, e as placas P e P’ situam-se,
respectivamente, acima e abaixo do
plano que contém os ímãs. As
partículas Q, carregadas com os sinais
apresentados, passam entre os pólos
dos ímãs com a velocidade 
→→
v, conforme
as figura. Indique a única situação em
que a partícula carregada poderá atingir
uma das placas (P ou P’):
02. (U. F. Santa Maria – RS) Por três fios
condutores, iguais e paralelos, fluem
correntes elétricas cujos valores e
sentidos estão indicados na figura.
Considerando que a força 
→→
F12 do
condutor 1
sobre o condutor 2 tem módulo F,
pode-se afirmar que a força 
→→
F31 do
condutor 3 sobre o condutor 1 é
......................................com módulo
............................
A alternativa que completa,
corretamente, os espaços é:
a) atrativa, 2 F b) repulsiva, F/2
c) atrativa F/2 d) repulsiva, F
e) atrativa, F
9
01. (PUC-RJ) A figura representa dois
condutores retilíneos colocados
paralelamente. Os dois condutores
estão submetidos a uma corrente
elétrica de mesma intensidade i,
conforme a figura.
Classifique as afirmativas em corretas ou
erradas.
I. A intensidade do campo magnético
resultante no ponto A corresponde à
soma das intensidades dos campos
criados pela corrente elétrica em
cada condutor.
II. A intensidade do campo magnético
resultante no ponto A é nula, pois as
correntes elétricas têm sentidos
opostos.
III. A intensidade do campo magnético
resultante no ponto A é nula, pois as
correntes elétricas não geram campo
magnético.
IV. Os condutores ficam sujeitos a forças
de origem magnética.
02. (UFF-RJ) Dois condutores metálicos
homogêneos (1) e (2) retos e extensos
são colocados em paralelo. Os condu-
tores são percorridos por correntes
elétricas de mesma intensidade.
A partir das informações acima,
responda as perguntas:
a) Em que condição a força magnética
entre os condutores será de atração?
b) Em que condição a força magnética
entre os condutores será de repulsão?
Desafio
Físico
10
Texto
Samba-canção para ser
acompanhado de regional
Anibal Beça
Mulher de um sonho distante
na névoa densa da noite
eu te sabia em mim
dispersa em minha canção
Eu te queria tão próxima
de luz e raio constante
pra te dizer tantas coisas
como o mais comum amante
Sussurrar no teu ouvido
palavras soltas ao vento
mas te vais sem deixar rastros
dona e senhora do tempo
Mulher de um sonho distante
não sei se existes de fato
sei da maneira que chegas
no clique de algum retrato
Mas teu rosto não me foge
nem teu riso enigmático
nesse mistério que explode
como um flash fotográfico
Mulher sem nome consomes
minha sede de ficar
nas asas de tua gruta
meu abrigo meu luar
Nesse instante és meu apelo
Aumentando esse tesão
só te quero verdadeira
se teu nome for paixão
(Suíte para os habitantes da noite,
1995, pág. 112/113)
Perscrutando o texto
01. A mulher retratada no poema asseme-
lha-se à cultuada pelos poetas:
a) do Arcadismo;
b) da Primeira Geração do Romantismo;
c) da Segunda Geração do Romantismo;
d) do Simbolismo;
e) do Parnasianismo.
02. Predominam no poema versos:
a) com rimas soantes;
b) com rimas toantes;
c) em redondilha menor;
d) em redondilha maior;
e) prosaicos e heterométricos.
03. Sobre a estrofe seguinte, assinale a
afirmativa incorreta.
Sussurrar no teu ouvido
palavras soltas ao vento
mas te vais sem deixar rastros
dona e senhora do tempo
a) Pode-se escrever o primeiro verso
assim, sem prejuízo semântico:
“Sussurrar-te no ouvido”.
b) O pronome átono em “mas te vais sem
deixar rastros” tem função de objeto
indireto.
c) O adjetivo “soltas” tem função de
adjunto adnominal.
d) O verso “mas te vais sem deixar rastros”
corresponde gramaticalmente a “mas te
vais sem os deixar”.
e) Pode-se trocar “rastros” por “rastos”
sem prejuízo gramatical.
04. Observe a estrofe seguinte:
Mulher de um sonho distante
não sei se existes de fato
sei da maneira que chegas
no clique de algum retrato
Escolha a alternativa em que o “se” te-
nha o mesmo valor do usado em “não
sei se existes de fato”.
a) Se ela existisse, seu nome seria
“paixão”.
b) Se ela existe de verdade eu não sei.
c) Sei que não se pode amar uma mulher
imaginária.
d) Emergirei do meu sonho se ela vier ao
meu encontro.
e) Se você a vir por aí, diga-lhe que meu
sonho não feneceu.
05. Observe a estrofe seguinte:
Eu te queria tão próxima
de luz e raio constante
pra te dizer tantas coisas
como o mais comum amante
Escolha a alternativa em que a regência
do verbo “querer” iguala-se à usada no
verso 1 daestrofe.
a) Mulher sem nome, apesar de não te
conhecer, quero-te muito.
b) Mulher de um sonho distante, quero-lhe
mais que o ar que respiro.
c) Quero-lhe muito, mamãe.
d) Despede-se aqui o filho que muito lhe
quer.
e) Ele a amava, mas não a queria para
esposa.
06. Observe a estrofe seguinte:
Eu te queria tão próxima
de luz e raio constante
pra te dizer tantas coisas
como o mais comum amante
Assinale a alternativa em que a função
sintática da palavra (ou expressão) sub-
linhada iguala-se à de “tantas”, subli-
nhada na estrofe.
a) Eles a adotaram e fizeram-na feliz.
b) Nos meus sonhos, eu a chamo de
paixão.
c) Mulher de um sonho distante, eu a
tenho como musa.
d) Mesmo sabendo que você não existe,
eu a desejo tanto.
e) Há em mim muitos sonhos irrealizáveis.
07. Observe a estrofe seguinte:
Mas teu rosto não me foge
nem teu riso enigmático
nesse mistério que explode
como um flash fotográfico
O sujeito de “explode” é:
Português
Professor João BATISTA Gomes
Arapuca
01. (FGV) Muitas pessoas costumam
permanecer ...... espera de soluções
apontadas quer pela religião, quer
pela ciência, mesmo que caiba ......
elas duvidar de postulados ...... que
todos são submetidos.
As lacunas da frase acima estão
corretamente preenchidas por
a) à – à – a d) a – a – à
b) à – a – a e) a – a – a
c) à – à – à
02. (FGV) Assinale a alternativa em que a
ausência da preposição, antes do
pronome relativo que, está de acordo
com a norma culta.
a) É uma quantia vultosa, que o Estado
não dispõe: falta-lhe numerário.
b) Vi claramente o bolso que você pôs o
dinheiro nele.
c) Não interessava perguntar qual a
agência que o remetente enviou a carta.
d) A garota que eu gosto não está
namorando mais. Chegou a minha
oportunidade.
e) Essa era a declaração que o alcaide
insistia em fazer.
03. (FGV) Assinale a alternativa em que o
uso dos verbos fazer, haver e ser
está de acordo com a norma culta.
a) Ele não se olhava no espelho haviam
três dias. A esposa se queixava muito
daquela situação.
b) Faziam dias alegres naquele verão.
Muito calor e muita mulher bonita.
c) Não houveram mais casos de dengue
nas redondezas, desde a intervenção
do médico.
d) Meu maior incômodo são as aves
noturnas que vêm fazer ninho no forro
da casa.
e) E Agora são meio-dia. As pessoas que
fazem a sesta se dirigem a casa.
04. (FGV) Está correta a flexão do verbo
grifado na frase:
a) Alguns cientistas até crêem que existe
no universo uma ordem que ultrapassa
a compreensão dos homens.
b) Muitas vezes, no decorrer da história, o
progresso científico deteu-se em nome
dos dogmas religiosos.
c) Em todos os tempos adviram situações
de conflito, devido tanto a posturas
religiosas quanto a descobertas
científicas.
d) Até hoje, representantes das altas
esferas religiosas vêm o
desenvolvimento científico como um
inimigo da fé popular.
e) Descobertas científicas, em todo tempo,
anteporamse à aceitação de dogmas,
questionando-os.
Desafio 
gramatical
a) o substantivo “mistério”;
b) o substantivo “riso”;
c) o pronome “que”;
d) a seqüência “como um flash fotográfico”;
e) o substantivo “rosto”.
08. Observe a estrofe seguinte:
Nesse instante és meu apelo
Aumentando esse tesão
só te quero verdadeira
se teu nome for paixão
Assinale a alternativa em que todas as
palavras sejam masculinas, como
“tesão”.
a) ênfase, hematoma, caudal
b) aguardente, bacanal, ferrugem
c) sanduíche, tapa, cal
d) clã, libido, dó
e) telefonema, tracoma, alface
09. Na estrofe seguinte, há:
Mas teu rosto não me foge
nem teu riso enigmático
nesse mistério que explode
como um flash fotográfico
a) uma única oração; 
b) duas orações;
c) três orações;
d) quatro orações;
e) cinco orações.
10. Observe, na estrofe da questão anterior,
a forma “explode”. Assinale a alternati-
va em que a frase contém forma do ver-
bo explodir condenada pela norma cul-
ta da língua. 
a) Se a paixão ameaça deprimi-lo, é
melhor que ela exploda de uma vez.
b) Se ela fosse uma mulher real, a paixão
já teria explodido.
c) Que mistério explodirá se você não
aparecer?
d) Explodi, paixão ingrata, e acabai com
meu sofrimento.
e) Depois do discurso, o público explodiu
em ovações.
Dificuldades da língua
DEITAR ou DEITAR-SE?
Quando deitar equivale a estender-se, lan-
çar-se ao comprido, sobre leito, sofá ou no
chão, é pronominal: deitar-se.
1. A um sinal do diretor, todos deitaram no
chão. (errado)
2. A um sinal do diretor, todos se deitaram
no chão. (certo)
3. Aqui, no interior, o povo deita cedinho.
(errado)
4. Aqui, no interior, o povo deita-se cedi-
nho. (certo)
5. Deite de bruços, minha filha. Preciso exa-
miná-la. (errado)
6. Deite-se de bruços, minha filha. Preciso
examiná-la. (certo)
7. Você pode deitar com muitos homens,
mas um de cada vez. (errado)
8. Você pode deitar-se com muitos homens,
mas um de cada vez. (certo)
Momento da dissertação
PONTUAÇÃO I
Vírgula proibida
1. Separar o sujeito do verbo
A vírgula não pode separar o sujeito do verbo
quando juntos, sem outros termos intercala-
dos.
Julgue os períodos seguintes quanto ao uso
da vírgula. 
a. ( ) Todos nós, devemos participar da recu-
peração de menores abandonados.
Sujeito de “devemos participar”: “Todos
nós”.
b.( ) Todos nós, dentro dos nossos limites,
devemos participar da recuperação de
menores abandonados. 
Sujeito de “devemos participar”: “Todos
nós”.
c. ( ) Convém às autoridades competentes,
que não percam mais tempo no comba-
te ao narcotráfico.
Sujeito de “convém”: a segunda oração.
d. ( ) Todos nós sem exceção, devemos parti-
cipar da recuperação de menores aban-
donados.
Sujeito de “devemos participar”: “Todos
nós”.
2. Separar o verbo do seu complemento
A vírgula não pode separar o verbo do seu
complemento quando não há outros elemen-
tos intercalados entre eles. 
Julgue os períodos seguintes quanto ao uso
da vírgula.
a. ( ) Agora, que o período eleitoreiro passou,
o povo só quer, que os políticos cum-
pram metade das promessas feitas em
campanha. 
b. ( ) Agora, que o período eleitoreiro passou,
o povo só quer, sem muito alarde, que
os políticos cumpram metade das pro-
messas feitas em campanha.
c. ( ) Só queremos, se não for muito incômo-
do, que ela assine todos os papéis.
d.( ) Olhamos para o céu e vimos, à seme-
lhança de um disco, uma luminosidade
intensa.
e. ( ) Vários órgãos do Governo Federal vão
iniciar, a partir do próximo mês, várias
operações de combate à prostituição
infanto-juvenil.
3. Separar orações adjetivas restritivas
A vírgula não pode separar orações adjeti-
vas restritivas: aquelas que encerram uma
idéia dentre outras, indispensável à compre-
ensão do período. 
Julgue os períodos seguintes quanto ao uso
da vírgula.
a. ( ) O homem, que age com honestidade,
consegue envelhecer em paz.
b.( ) O homem que age com honestidade
consegue envelhecer em paz.
c. ( ) O Brasil, com que todos sonhamos, ain-
da está em construção.
d.( ) O Brasil com que todos sonhamos ain-
da está em construção.
e. ( ) As mulheres, que lutam por igualdade,
conseguem o reconhecimento social.
11
Caiu no vestibular
A Camões
Quando n’alma pesar de tua raça
A névoa da apagada e vil tristeza,
Busque ela sempre a glória que não passa,
Em teu poema de heroísmo e de beleza.
Gênio purificado na desgraça,
Tu resumiste em ti toda a grandeza:
Poeta e soldado... Em ti brilhou sem jaça
O amor da grande pátria portuguesa.
E enquanto o fero canto ecoar na mente
Da estirpe que em perigos sublimados
Plantou a cruz em cada continente,
Não morrerá, sem poetas nem soldados,
A língua em que cantaste rudemente
As armas e os barões assinalados.
(Manuel Bandeira)
01. (FGV–2004) O poema de Manuel
Bandeira pode ser classificado como
pertencendo ao gênero:
a) épico; d) oratório;b) lírico; e) sacro.
c) dramático;
02. (FGV–2004) Assinale a alternativa que
melhor corresponde à análise do texto
A Camões.
a) Composto por um poeta do
Modernismo, rende uma homenagem
somente temática ao bardo português,
não acolhendo, na forma, semelhanças
com estilos anteriores.
b) Manuel Bandeira é poeta modernista de
feições românticas, mas, no texto em
questão, foge a essa tendência ao
realizar um poema de caráter inovador
e iconoclasta.
c) O texto, apesar de escrito no século XX,
guarda diálogo com a tradição literária,
utilizando-se do soneto, forma muito
utilizada por Camões.
d) O texto enquadra-se nas propostas de
uma poesia libertária e social, como
prevista pelo Modernismo.
e) Manuel Bandeira constrói um poema de
caráter simétrico, com rimas ao estilo
camoniano, mas nada há no conteúdo
do texto que remeta diretamente às
obras do poeta português.
03. (FGV–2004) Assinale a alternativa em
que se encontre termo com função
sintática idêntica à de “as armas e os
barões assinalados” (v. 14).
a) a glória (verso 3)
b) em ti (verso 7)
c) o amor da grande pátria portuguesa
(verso 8)
d) da estirpe (verso 10)
e) a língua (verso 13)
Desafio 
gramatical
ALVARENGA, Beatriz et al. Curso de
Física. São Paulo: Harbra, 1979, 3v.
ÁLVARES, Beatriz A. et al. Curso de
Física. São Paulo: Scipicione, 1999, vol. 3. 
BIANCHINI, Edwaldo e PACCOLA,
Herval. Matemática. 2.a ed. São Paulo:
Moderna, 1996. 
BONJORNO, José et al. Física 3: de olho
no vestibular. São Paulo: FTD, 1993.
CARRON, Wilson et al. As Faces da
Física. São Paulo: Moderna, 2002.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática:
contexto e aplicações. São Paulo: Ática,
2000. 
GIOVANNI, José Ruy et al. Matemática.
São Paulo: FTD, 1995.
Grupo de Reelaboração do Ensino de
Física (GREF). Física 3: eletromagne-
tismo. 2.a ed. São Paulo: Edusp, 1998. 
PARANÁ, Djalma Nunes. Física. Série
Novo Ensino Médio. 4.a ed. São Paulo:
Ática, 2002. 
RAMALHO Jr., Francisco et alii. Os
Fundamentos da Física. 8.a ed. São
Paulo: Moderna, 2003.
TIPLER, Paul A. A Física. Rio de Janeiro:
Livros Técnicos e Científicos, 2000, 3v.
DESAFIO MATEMÁTICO (p. 3)
01. C; 
02. A; 
03. D;
04. A;
05. B;
06. D;
07. A;
08. E;
09. A;
DESAFIO MATEMÁTICO (p. 4)
01. A; 
02. B; 
03. A;
04. A;
05. E;
06. A;
07. B;
08. A;
DESAFIO MATEMÁTICO (p. 5)
01. D; 
02. B; 
03. D;
04. E;
05. B;
06. E;
07. C;
DESAFIO FÍSICO (p. 6)
01. A
02. 44
03. a) 0,04Ω ; 
b) 72W;
DESAFIO FÍSICO (p. 9)
01. a) 16V, b) 0,6Ω
DESAFIO LITERÁRIO (p. 10)
01. D; 02. A; 03. D; 04. D; 05. D;
RESPOSTAS DO SIMULADÃO
HISTÓRIA
01. D; 02. B; 03. B; 04. D; 05. D; 06. A; 07. D;
08. B; 09. A; 10. D; 
GEOGRAFIA
11. A; 12. B; 13. B; 14. C; 15. B; 16. E; 17. B;
18. B; 19. A; 20. C;
PORTUGUÊS
21. E; 22. B; 23. A; 24. B; 25. C; 
LITERATURA
26. C; 27. B; 28. E; 29. A; 30. C;
Governador
Eduardo Braga
Vice-Governador
Omar Aziz
Reitor
Lourenço dos Santos Pereira Braga
Vice-Reitor
Carlos Eduardo Gonçalves
Pró-Reitor de Planejamento e Administração 
Antônio Dias Couto
Pró-Reitor de Extensão e 
Assuntos Comunitários
Ademar R. M. Teixeira
Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Walmir Albuquerque
Coordenadora Geral
Munira Zacarias Rocha
Coordenador de Professores
João Batista Gomes
Coordenador de Ensino
Carlos Jennings
Coordenadora de Comunicação
Liliane Maia
Coordenador de Logística e Distribuição
Raymundo Wanderley Lasmar
Produção
Renato Moraes
Projeto Gráfico – Jobast
Alberto Ribeiro
Antônio Carlos 
Aurelino Bentes
Heimar de Oliveira
Mateus Borja
Paulo Alexandre
Rafael Degelo
Tony Otani
Editoração Eletrônica
Horácio Martins
Encarte referente ao curso pré-vestibular
Aprovar da Universidade do Estado do
Amazonas. Não pode ser vendido.
Este material didático, que será distribuído nos Postos de Atendimento (PAC) na capital e Escolas da Rede Estadual de Ensino, é
base para as aulas transmitidas diariamente (horário de Manaus), de segunda a sábado, nos seguintes meios de comunicação:
• TV Cultura (7h às 7h30); sábados: reprise às 23h Postos de distribuição:
• Amazon Sat (21h30 às 22h)
• RBN (13h às 13h30) reprise: 5h30 e 7h (satélite) • PAC São José – Alameda Cosme Ferreira – Shopping São José 
• Rádio Rio Mar (19h às 19h30) • PAC Cidade Nova – Rua Noel Nutles, 1350 – Cidade Nova I
• Rádio Seis Irmãos do São Raimundo • PAC Compensa – Av. Brasil, 1325 – Compensa
(8h às 9h e reprise de 16h às 16h30) • PAC Porto – Rua Marquês de Santa Cruz, s/n.° 
• Rádio Panorama de Itacoatiara (11h às 11h30) armazém 10 do Porto de Manaus – Centro
• Rádio Difusora de Itacoatiara (8h às 8h30) • PAC Alvorada – Rua desembargador João
• Rádio Comunitária Pedra Pintada de Itacoatiara Machado, 4922 – Planalto
(10h às 10h30) • PAC Educandos – Av. Beira Mar, s/nº – Educandos
• Rádio Santo Antônio de Borba (18h30 às 19h)
• Rádio Estação Rural de Tefé (19h às 19h30) – horário local
• Rádio Independência de Maués (6h às 6h30)
• Rádio Cultura (6h às 6h30 e reprise de 12h às 12h30)
• Centros e Núcleos da UEA (12h às 12h30)
www.uea.edu.br e www.linguativa.com.br
Endereço para correspondência: Projeto Aprovar – Reitoria da UEA – Av. Djalma Batista, 
3578 - Flores. CEP 69050-010. Manaus-AM