Introdução à Probabilidade

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Probabilidade
Prof. Maria Lídia Coco Terra
Departamento de Estatística
Universidade Federal da Paraíba - UFPB
João Pessoa, 16 de novembro de 2011
Introdução
Encontramos na natureza dois tipos de fenômenos: Determinísticos e
Não-determinísticos (probabilísticos ou aleatórios);
1 Determinísticos: Os resultados são sempre os mesmos e
determinados pelas condições sob as quais o procedimento seja
executado.
Exemplos: Ponto de ebulição da água, ponto de congelamento da
água, lançamento de uma pedra no vácuo, avaliação matemática da
energia, força, etc.
2 Não-determinísticos: Normalmente utilizados em situações que
envolvem incerteza. Ou seja, resultados que variam de uma
observação para outra, mesmo em condições normais de
experimentação.
Exemplos: Fatores de risco (para ataque cardíaco, câncer, diabetes,
etc.),
As condições do experimento determinam apenas o comportamento
probabilístico do resultado observável.
Experimentos aleatórios
São aqueles onde o processo de experimentação está sujeito a
influências de fatores casuais que conduzem a resultados incertos.
Exemplo: Lançar um dado, lançar uma moeda, retirar uma carta de
um baralho, preço do dólar ao fim do dia, aplicação de um novo
medicamento em um grupo de pacientes com tuberculose,
resultado da alteração de dose de um medicamento em pacientes
com determinada doença crônica, etc.
Características de um experimentos aleatório
• Pode ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições;
• Podemos descrever todos os possíveis resultados,
matematicamente ou não.
• Depois de um número grande de repetições de um
experimento aleatório, ocorre uma regularidade na frequência
relativa, definida anteriormente como fri =
fi
n
, onde fi é o
número de ocorrências de um determinado resultado e n é o
número total de repetições do experimento.
Conceitos Iniciais
• Espaço Amostral (Ω): É o conjunto de todos os possíveis
resultados de um experimento aleatório.
Exemplo: Lançamento de um dado:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Evento: Dado um espaço amostral Ω, associado a um experimento
E qualquer, definimos como evento qualquer subconjunto desse
espaço amostral.
Exemplo: No caso anterior, considere o evento A, “sair um número
par”, ou seja:
A = {2, 4, 6}
Esquema Ilustrativo
Tipos de Eventos
• Eventos Mutuamente Exclusivos: Dois eventos, A e B, serão
mutuamente exclusivos se não puderem ocorrer na mesma tentativa,
isto é, a ocorrência do evento A impede a ocorrência de B. Na
teoria dos conjuntos representamos que dois eventos são
mutuamente exclusivos por A ∩ B = ∅.
Exemplo: A = {2, 4, 6} e B = {1, 3, 5}. Temos que A ∩ B = ∅
• Eventos Não-mutuamente Exclusivos: Quando os eventos
possuem elementos comuns em relação à ocorrência, estes NÃO
serão mutuamente exclusivos, ou seja A ∩ B 6= ∅.
Esquema Ilustrativo
Esquema Ilustrativo
Operações com eventos
A forma de determinar o espaço amostral é através de um
dispositivo gráfico, em que o espaço amostral (Ω ou S) é
representado por retângulos e os eventos por círculos. Esse
dispositivo é chamado de Diagrama de Venn:
Representação de operações
União
Situações em que A ocorre, B ocorre, ou ocorrem A e B
simultaneamente são chamadadas união (A ∪ B):
Operações com eventos
Interseção
Há situações em que A ocorre e B ocorre nos permite dizer que A e
B ocorrem simultaneamente. Esta situação, denotada por A ∩ B é
chamada interseção:
Operações com eventos
Diferença
Fala-se em diferença entre eventos quando ocorre A e não ocorre
B . A operação diferença é denotada por D = A− B . Note que A e
B têm pontos em comum, da diferença só fazem parte os pontos
de A não pertencentes a B .
Operações com eventos
Complemento
Fala-se em complemento ou complementar quando temos a
diferença entre todo o espaço amostral e um evento em particular.
O complementar de um evento A, por exemplo, é denotado por Ac .
EXEMPLOS DE OPERAÇÕES
Espaço Amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Eventos: A = {1, 4, 7, 8, 9}, B = {2, 4, 6, 8, 10},
C = {valores maiores ou iguais a 7}, D = {3, 5}
Temos que:
A ∪ B = {1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10} B ∪ C = {2, 4, 6, 7, 8, 9, 10}
A ∩ B = {4, 8} B ∩ C = {8, 10} A ∩ B ∩ C = {8}
Ac = {2, 3, 5, 6, 10} Bc = {1, 3, 5, 7, 9} C c = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(A ∩ B)c = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10} (B ∩ C )c = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}
A ∪ B ∪ C ∪ D = Ω
Probabilidade
• É uma medida com a qual podemos esperar a chance de ocorrência
de um determinado evento A, atribuindo-a um número (valor) entre
0 e 1.
• O que quer dizer? Significa dizer que se temos a certeza de que um
evento ocorrerá, diremos que sua probabilidade é 1 (ou 100%).
• Se temos certeza de que um evento NÃO ocorrerá, diremos que sua
probabilidade é 0 (ou 0%).
• Quando a probabilidade de um evento não for nem 0 nem 1,
teremos um valor P(A) entre estes dois números, o que levará à
conclusões favoráveis ou não à ocorrência de um evento, ou seja:
0 ≤ P(A) ≤ 1 ou 0% ≤ P(A) ≤ 100%
Probabilidade
• Quando falamos que a probabilidade de um evento está SEMPRE
entre 0 e 1, significa matematicamente que, dado um evento A
qualquer,
P(A) =
Número de casos favoráveis ao evento A
Número total de casos
• Note que o número total de casos é igual à quantidade de
elementos pertencentes à Ω.
Exemplo
• De uma classe com 30 alunos, dos quais 14 são meninos, um
aluno é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de:
a) o aluno escolhido ser um menino?
b) o aluno escolhido ser uma menina?
Probabilidade
• Temos sempre certeza de que ocorrerá qualquer evento de um
espaço amostral ao executarmos um experimento. A chance de
ocorrer qualquer evento de Ω é o mesmo que escrever P(Ω) = 1.
• Se A e B são dois eventos mutuamente exclusivos (ou
excludentes), então
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
• Se A e B são dois eventos que NÃO são mutuamente exclusivos,
então
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)
• Se A = ∅, então P(A) = 0
Probabilidade
• A e Ac são eventos mutuamente exclusivos. Ou seja: A ∩ Ac = ∅.
Além disso, A ∪ Ac = Ω. A partir destas informações, temos uma
propriedade importante sobre eventos complementares:
P(A ∪ Ac) = P(A) + P(Ac)
P(Ω) = P(A) + P(Ac)
1 = P(A) + P(Ac) =⇒ P(Ac) = 1− P(A)
• Podemos interpretar também a probabilidade como o valor
correspondente à frequência relativa de um determinado resultado
após a realização do experimento n vezes.
• A soma de todas as probabilidades de todos os n eventos
pertencentes ao espaço amostral é igual a 1, ou seja:
n∑
i=1
P(Ai ) = 1.
Exemplo
• Suponha o lançamento de uma moeda. Como avaliar a
probabilidade de ocorrência de suas faces?
• O espaço amostral é dado por
Ω = {C ,K}, onde C =Cara e K =Coroa
• Note que o total de valores do espaço amostral é igual a 2.
• Note que cada ponto amostral (C ou K ) representam elementos
pertencentes ao espaço amostral.
• Ou seja, temos uma descrição completa de tudo o que pode
acontecer na ocorrência do experimento.
Exemplo
• Suponha que o nosso evento de interesse é:
A = {sair cara}
• Portanto, se estamos interessados em avaliar a probabilidade de A,
temos que
P(A) =
Número de casos favoráveis ao evento A
Número total de casos
=
1
2
• O evento B = {Sair coroa} também pode ser um evento de
interesse. Note que.
P(B) =
1
2
• Note ainda que B = Ac , pois A ∪ B = Ω. Dessa forma, aplicando a
fórmula para eventos complementares
P(B) = P(Ac) = 1− P(A) = 1− 1
2
Exemplo
• Considere os dados do quadro a seguir, que mostra 15 indivíduos
classificados quanto às variáveis obesidade e sedentarismo
INDIVÍDUO OBESIDADE SEDENTARISMO
1 NÃO SIM
2 NÃO NÃO
3 SIM SIM
4 NÃO SIM
5 SIM NÃO
6 SIM SIM
7 NÃO NÃO
8 NÃO SIM
9 NÃO SIM
10 SIM SIM
11 NÃO NÃO
12 NÃO NÃO
13 SIM SIM
14 NÃO NÃO
15 NÃO SIM
Exemplo
• SejaA =OBESIDADE e B =SEDENTARISMO
• Então, uma estimativa de probabilidade de um indivíduo ser obeso,
com base nos dados da amostra é:
P(A) =
5
15
= 0, 3 = 30%
• A probabilidade de um indivíduo ser sedentário, com base nos dados
da amostra é:
P(B) =
9
15
= 0, 6 = 60%
Exemplo
• A probabilidade de um indivíduo ser obeso E sedentário, com base
nos dados da amostra é:
P(A ∩ B) = 4
15
• A probabilidade de um indivíduo ser obeso OU sedentário, com base
nos dados da amostra é:
P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B) = 5
15
+
9
15
− 4
15
= 0, 6667 = 66, 67%
Mais sobre cálculo de probabilidades
• Com base no que foi visto, podemos estimar uma probabilidade com
base na proporção de casos da ocorrência de interesse (frequência
relativa).
• Entretanto, uma vez estabelecida a probabilidade de um ou vários
eventos, existem diversos cálculos que podem ser feitos.
• Alguns destes casos serão vistos de acordo com situações clássicas
apresentadas a seguir.
Eventos independentes
• Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um
não afeta a probabilidade de ocorrência do outro. Se A e B
não são independentes, então A e B são dependentes.
Condição de independência: Se A e B são independentes,
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
Exemplo
Suponha que um levantamento estatística efetuado em certa população
verificou que:
• 23% de indivíduos do sexo masculino são hipertensos;
• 18% de indivíduos do sexo feminino são hipertensos;
• Nessa mesma população, 7% dos casais são hipertensos.
Podemos observar neste caso que existe o que chamamos em estatística
de dependência (ou associação) entre as variáveis sexo e presença de
doença, pois denotando H = {O indivíduo é do sexo masculino} e
M = {O indivíduo é do sexo feminino} como os eventos de interesse,
P(H) = 0, 23
P(M) = 0, 18
P(H) · P(M) = 0, 23 · 0, 18 = 0, 0414 = 4, 14%
P(H ∩M) = 0, 07 = 7%
Logo: P(H ∩M) 6= P(H) · P(M).
Ou seja, H e M NÃO são independentes.
Atenção
• É importante não confundir eventos mutuamente exclusivos
com eventos independentes!!
• Pense no jogo da moeda. Quando se joga uma moeda, não há
como ocorrer cara e coroa ao mesmo tempo. Logo,
P(C ∩ K ) = 0⇒ C e K são mutuamente exclusivos
Eles são independentes?
P(C ) = P(K ) =
1
2
P(C ) · P(K ) = 1
4
6= 0 = P(C ∩ K )
Logo, C e K não são independentes!!
Probabilidade Condicional
• Quando existem dois eventos dependentes, a probabilidade de um
deles é afetada pela ocorrência prévia ou não do outro.
• Quando a probabilidade de A um evento é afetada pela ocorrência
prévia de B, dizemos que a probabilidade de A está condicionada à
ocorrência de B.
• Ou seja, quando o evento B ocorre, há uma redução do espaço
amostral, pois agora avaliamos todas as chances de ocorrência do
evento A com base no evento ocorrido.
Probabilidade Condicional
• De modo geral,
P(A|B) = P(A ∩ B)
P(B)
Observações:
1 Quando os eventos A e B são independentes,
P(A|B) = P(A) P(B|A) = P(B)
2 Quando os eventos A e B NÃO são independentes,
P(A ∩ B) = P(A) · P(A|B) = P(B) · P(B|A)
Exemplo
• Imagine dois eventos associados a um conjunto de indivíduos.
• O primeiro evento(A) é definido pela variável “Presença de
Cirrose” e o segundo (B) pela variável “É alcoólatra?”.
• É possível estimar com estas informações, a probabilidade de
um indivíduo ter cirrose dado que é alcóolatra.
• Para isto, é preciso verificar o número de indivíduos que
apresentam simultaneamente as mesmas características, de
modo a determinar P(A ∩ B), e depois disso, dividir pela
probabilidade associado à B , P(B).
• Este tipo de situação costuma ser colocado em forma de
tabelas (ou quadros), chamadas tabelas conjuntas, ou mais
especificamente tabelas de contingência.
• Em relação ao exemplo, a tabela associada é apresentada a
seguir.
Exemplo
Situação aplicada:
TÍTULO DA TABELA
Eventos É alcoólatra? Totais
SIM NÃO
Cirrose SIM 9 2 11
NÃO 26 43 69
Totais 35 45 80
FONTE:
Exemplo
Logo:
P (cirrose | alcoólatra) =
P(cirrose ∩ alcoólatra)
P(alcoólatra)
=
9/80
35/80
=
9
35
P (cirrose|Não alcoól) = P(Ter cirrose ∩Não alcoól)
P(Não alcoól)
=
2/80
45/80
=
2
45
Risco Relativo (Odds Ratio)
• O risco relativo pode ser calculado a partir das tabelas de
contingência apresentadas anteriormente.
• É uma condição bastante utilizada em saúde, pois avalia o risco
adicional de apresentar uma condição A, devido ao fato de
apresentar(possuir, ou estar) em uma condição B.
Denotaremos essa expressão em destaque por RRAB .
• Com base na tabela geral descrita anteriormente, se A = cirrose e
B = alcoólatra, esse risco é:
RRAB =
P(A|B)
P(A|Bc)
Risco Relativo
Considerando também o exemplo anterior,
Temos que, para A = cirrose e B = alcoólatra,
RRAB =
9× 45
2× 35 = 5, 79
Interpretação: Estatisticamente, o risco de um indivíduo alcoólatra
desenvolver cirrose é 5 vezes maior em comparação com um indivíduo
não-alcoólatra.