Matemática Financeira em Gestão Financeira

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MATEMÁTICA FINANCEIRAMATEMÁTICA FINANCEIRAMATEMÁTICA FINANCEIRAMATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
INTRODUÇÃO 
 
A Matemática Financeira é a parte da Matemática que visa estudar o valor do dinheiro no 
tempo, isto é: ela fornece instrumentos para o estudo e avaliação das formas de aplicação 
de dinheiro bem como de pagamentos de empréstimos. 
 
 I -OPERAÇÕES BÁSICAS 
 
1.1 Formas de apresentação da taxa: 
 
PPPPercentualercentualercentualercentual (%) 
Corresponde a referência da taxa a cem unidades de capital. 
Exemplos: 
 i = 2% ao mês = 2% a.m 
 i = 0,45% ao dia = 0,45% a.d 
 
UnitáriaUnitáriaUnitáriaUnitária 
Corresponde a referência da taxa a uma unidade de capital. 
Exemplos: 
 2% (forma percentual) corresponde a 0,02 na forma unitária. 
 0,45% (forma percentual) corresponde a 0,0045 na forma unitária. 
 
1.2 Simbologia e convenções adotadas 
 
Para efeito de um melhor rendimento do conteúdo, será utilizada a simbologia da 
calculadora financeira HP 12C, em que: 
 
nnnn - número de períodos de capitalização de juros, prazo da operação; 
iiii - taxa de juros em cada período de capitalização; 
PVPVPVPV- valor presente, capital inicial, principal; 
FVFVFVFV- valor futuro, montante no final de n períodos de capitalização; 
PMTPMTPMTPMT – pagamentos/recebimentos periódicos de mesmo valor , que ocorrem 
no final/início de cada período ( série uniforme ou anuidade) 
 
Obs.: Quando o prazo da operação é dado considerando-se ano de 360 dias, e por meses de 
30 dias, os juros são chamados de comerciais; quando os números de dias correspondem 
àqueles do ano civil (365 dias), são chamados de juros exatos. No presente texto, salvo 
observações em contrário, serão considerados anos/meses comerciais (360/30 dias). 
 
1.3 Fluxo de Caixa 
 
O fluxo de caixa de uma operação é uma representação esquemática muito útil na 
resolução de problemas, e consta de um eixo horizontal no qual é marcado o tempo, a 
partir de um instante inicial (origem), a unidade de tempo (mês, ano, dia, etc...). As 
entradas de dinheiro num determinado instante são indicadas, por convenção, com setas 
para cima, e as saídas de dinheiro são indicadas com setas para baixo. 
 
 
 
 
 
 
2 
 
DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA 
 
 
entrada de caixa (+) 
 
 
 0 1 2 . . . . . . n tempo 
 
saída de caixa ( -) 
 
 
1.4 Juros 
 
Pode ser definido como sendo a remuneração do capital, a qualquer título que são fixados 
por meio de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo (ano, mês, 
dia, etc...) 
 
Ex. 10% ao ano = 10% a.a 
 5% ao trimestre = 5% a.t 
 0,2% ao dia = 0,2% a.d 
 
A obtenção do valor dos juros do período, em valores monetários, é sempre feita pela 
aplicação da taxa de juros sobre o capital aplicado, como exemplo um capital de $100,00 
aplicado a uma taxa de juros de 5% a.a, terá no final de um ano, um valor de juros igual a: 
 100,00 x 5% = 100,00 x 0,05 = $ 5,00 0,05 = 5/100 
 
1.5 Regimes de Capitalização 
• Regime de Capitalização Simples (juros simples) - neste regime, apenas o capital 
inicial (PV), rende juros. Comporta-se como se fosse uma progressão aritmética (PA), 
crescendo os juros de forma linear ao longo do tempo. Os juros somente incidem sobre o 
capital inicial (PV), não se registrando juros sobre o saldo de juros acumulados. 
 
Exemplo: Um capital de $1.000,00 foi aplicado durante 3 anos à taxa de 10% a. a, 
pelo regime de juros simples. 
 
Juro gerado no 1º ano (1.000,00 x 0,10) = 100,00 
Juro gerado no 2º ano (1.000,00 x 0,10) = 100,00 
 Juro gerado no 3º ano (1.000,00 x 0,10) = 100,00 
 
Logo , após 3 anos este capital renderá de juros $300,00, pois somente o capital aplicado 
rende juros. 
 
• Regime de Capitalização Composta (juros compostos) - neste regime somam-se os 
juros do período ao capital (PV) para o cálculo de novos juros nos períodos 
seguintes. É um comportamento equivalente a uma progressão geométrica (PG). 
 
Exemplo: Um capital de $1.000,00 foi aplicado durante 3 anos à taxa de 10% a.a, 
pelo regime de juros compostos. 
 
Juro gerado no 1º ano (1.000,00 x 0,10) = 100,00 
Juro gerado no 2º ano (1.100,00 x 0,10) = 110,00 
 Juro gerado no 3º ano (1.210,00 x 0,10) = 121,00 
 
Logo, após 3 anos este capital renderá de juros $331,00 , pois os juros acumulam-se sobre 
os juros dos períodos anteriores. 
3 
 
2- REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES – JUROS SIMPLES 
 
2.1 Cálculo do rendimento a juros simples 
 
Fórmula : 
 
J = PV. i. n 
 
Onde: 
JJJJ - juros, rendimento, remuneração ; 
PVPVPVPV - Capital valor presente, capital inicial, principal; 
iiii - taxa de juros em cada período de capitalização; 
nnnn - número de períodos de capitalização de juros; 
 
Exemplo 2.1.1: Calcular os juros de uma aplicação financeira de $3.000,00 aplicados por 
um ano à taxa de 20% a.a. 
 
Resolução: J- ? PV - $ 3.000,00 i- 20% a.a (transformando em taxa unitária 0,20) , n – 1 
ano 
J= 3.000,00 x 0,20 x 1 = $600,00 
 
Exemplo 2.1.2 : Qual o rendimento de $10.000,00 aplicados por um mês à taxa de 12% a.a? 
 
Resolução: J- ? PV- $10.000,00 n – 1 mês i- 12 % a.a* 
 
* Às vezes a unidade de tempo da taxa de juros e do período de investimento são 
diferentes, é necessário igualá-las por meio de ajuste na taxa, iiii, ou no tempo, nnnn. Como o 
regime de capitalização é simples, basta converter através de uma multiplicação ou 
divisão. 
 
• Convertendo o exemplo pela taxa: 
J = 10.000,00 x (0,12/12) x 1 = $ 100,00 
 
• Convertendo o exemplo pelo prazo 
J = 10.000,00 x 0,12 x (1/12) = $ 100,00 
 
 
Exemplo 2.1.3: Um capital de $5.000,00 rendeu $1.200,00 em 180 dias. Qual a taxa de 
juros simples mensal e anual desta operação? 
 
Resolução: J – 1.200,00 PV - $ 5.000,00 i - ? n – 180 dias 
 
1.200,00 = 5.000,00 x i x 180 
 
i = ( 1.200,00/5.000,00) / 180 
i = 0,001333333 
 
Como as taxas são expressas em percentual 
0,001333333 x 100 = 0,133333 % a . d 
 
Ao mês = 0,133333 x 30 = 4,00% a.m Ao ano = 4,00 x 12 = 48,00% a.a 
 
 
4 
 
Exemplo 2.1.4: Uma aplicação de $3.000,00 teve um rendimento financeiro de $2.700,00. 
Para uma taxa de juros simples de 180 % a.a qual o prazo da operação? 
 
Resolução: J - $2.700,00 PV - $ 3.000,00 i = 180% a.a n - ? 
 
2.700,00 = 3.000,00 x 1,8 x n 
n = (2.700,00/3.000,00) / 1,8 
n = 0,50 ano ou 6 meses 
 
 
2.2 Cálculo do Montante e do Capital 
 
O montante, ou valor futuro (FV), é o capital inicialmente investido (PV) acrescido dos 
juros ganhos no período. 
 
FV = PV + J 
FV= PV + PV . i . n 
 
Logo a fórmula é: 
 
FV = PV (1 + i .FV = PV (1 + i .FV = PV (1 + i .FV = PV (1 + i . n)n)n)n) 
 
O cálculo do capital a partir do montante é o processo inverso, cuja fórmula é 
 
PV= FV/ (1+ i .PV= FV/ (1+ i .PV= FV/ (1+ i .PV= FV/ (1+ i . n)n)n)n) 
 
 
(1+i .n) 
 
0 1 ... 
 
n 
 ... 
 
 1/(1+i .n) 
 
Onde: 
• (1+i .n) Fator que “leva” as grandezas para frente, permite encontrar o Valor Futuro de 
uma operação ; 
 
• 1/(1+i .n) Fator que”traz” as grandezas para trás, permite encontrar o Valor 
Presente de um Montante. 
 
 
Exemplo 2.2.1: Calcular o montante de uma aplicação financeira de $3.000,00 aplicados 
por um ano à taxa de 20% a.a. 
 
Resolução FV - ? PV – $ 3.000,00 i = 20 % a.a n= 1 ano 
 
FV = 3.000,00 (1 + 0,20 x 1) 
FV = $3.600,00 
 
Exemplo 2.2.2: Qual o valor futuro (FV) de $10.000,00 aplicados por um mês à taxa de 12% 
a.a? 
 
Resolução: FV- ? PV- $10.000,00n – 1 mês i- 12 % a.a 
5 
 
• Convertendo o exemplo pela taxa: 
FV = 10.000,00 (1+(0,12/12) x 1) = $10.100,00 
 
• Convertendo o exemplo pelo prazo 
FV = 10.000,00 (1+ 0,12 x (1/12)) = $10.100,00 
 
Exemplo 2.2.3 Qual o capital ( PV) que aplicados à taxa de juros simples de 6% a.s 
obteve um montante de $1.180,00 após um ano e meio ? 
 
Resolução: FV - $1.180,00 PV - ? n – 1,5 ano = 3 semestres i – 6% a.s 
 
• Convertendo o exemplo pelo prazo: 
 PV = 1.180,00/ ( 1+0,06 x 3) 
 PV = $1.000,00 
• Convertendo o exemplo pela taxa 
 PV = 1.180,00/(1+(0,06 x 2) 1,5) 
 PV= $1.000,00 
 
Exemplo 2.2.4 Um capital de $5.000,00 após 180 dias obteve um montante de $6.200,00. 
Qual a taxa de juros simples mensal e anual desta operação? 
 
Resolução: FV – 6.200,00 PV - $ 5.000,00 i - ? n – 180 dias 
 
6.200,00 = 5.000,00(1+ i x 180 ) 
 
6.200,00/5.000,00 = 1+180i 
1,24 = 1 + 180i 
i = 0,001333333 
 
Como as taxas são expressas em percentual 
0,001333333 x 100 = 0,133333 % a . d 
 
Ao mês = 0,133333 x 30 = 4,00% a.m Ao ano = 4,00 x 12 = 48,00% a.a 
 
 
Exemplo 2.2.5 Uma aplicação de $3.000,00 teve um valor futuro de $5.700,00. Para uma 
taxa de juros simples de 180 % a.a qual o prazo da operação? 
 
Resolução : FV - $5.700,00 PV - $ 3.000,00 i = 180% a.a n - ? 
 
5.700,00 = 3.000,00 (1+ 1,8 x n) 
5.700,00/3.000,00 = 1 + 1,8n 
1,90 = 1+ 1,8n 
n = 0,50 ano ou 6 meses 
 
 
2.3 Equivalência de taxas e Capitais 
 
Na fórmula de juros simples, sabemos que o prazo deve ser expresso na mesma unidade da 
taxa, ou vice-versa, logo dizemos que duas taxas são equivalentes a juros simples quando 
aplicadas num mesmo capital e durante um mesmo prazo derem juros iguais. Em juros 
simples as taxas equivalentes são proporcionais aos respectivos prazos a que se referem. 
 
6 
 
 Exemplo 2.3.1 Em juros simples qual a taxa anual equivalente a 1%a.m? 
 
Resolução: 1 (0,01) x 12 = 12% a.a 
 
Exemplo 2.3.2 Em juros simples qual a taxa mensal equivalente a 9% a.t ? 
 
Resolução: 9 (0,09) / 3 = 3% a.m 
 
Dois capitais são equivalentes quando têm o mesmo valor em uma determinada data de 
avaliação, (data focal). Porém, no regime de capitalização simples, se for mudada a data 
focal a equivalência não será mantida, pois o processo de cálculo adotado neste regime de 
juros não se pode fracionar o prazo da operação. 
 
Exemplo 2.3.3 Uma pessoa tem os seguintes compromissos a pagar: $2.000,00 daqui a três 
meses e $2.500,00 daqui a oito meses. Passando por dificuldades financeiras decide trocar 
estes débitos por dois pagamentos iguais, um para 10 meses e o outro para 15 meses. Qual 
o valor destes pagamentos para uma taxa de juros simples de 10% a.m? 
 
Resolução: Os dois esquemas de pagamento são financeiramente equivalentes em uma 
determinada data de avaliação. Se definirmos a data focal como zero e colocando todos os 
valores para esta data temos: 
 
Representação do fluxo de caixa proposto para o momento zero 
 
 
 
0 3 8 10 15 
 2.000 2.500 x x 
 
 
 
 
2.000,00/(1+0,10x3)+2.500/(1+0,10x8) = X/(1+0,10x10) + X/(1+0,10x15) 
2.927,35 = x /2 + x /2,5 
x= 14.636,75/4,5 
x= $3.252,61 
 
Se mudarmos a data focal para o 10º mês teremos: 
 
Representação do fluxo de caixa proposto para o 10º mês 
 
 
 
 
0 3 8 10 15 
 
 2.000 2.500 x x 
 
 
2.000,00(1+0,10x7) + 2.500,00(1+0,10x2) = x + x/(1+0,10x5) 
x =$ 3.840,00 
 
Fica assim demonstrado que no regime de juros simples se for mudada a data focal, a 
equivalência não será mantida. 
 
Exemplo 2.3.4 João tem um pagamento daqui a 2 meses no valor de $200,00 e $400,00 
daqui a 5 meses, à taxa de juros simples de 5%a.m . Determine o valor de um pagamento 
único a ser efetuado daqui a 3 meses para que ele possa liquidar a dívida. 
Resolução: 
7 
 
 
Representação do fluxo de caixa proposto 
 
 
 
 
 
 0 2 3 5 
 200 x 400 
 
x = 200,00(1+0,05x1) + 400,00/(1+0,05x2) 
x = $573,64 
 
2.4 Contagem de dias entre duas datas 
 
Para determinação da data de vencimento e prazo das operações pode-se utilizar a tabela 
de contagem de dias. Para sua utilização deve-se subtrair o número de dias da data final 
do número de dias da data inicial, e se a operação ultrapassar um ano e tiver ano bissexto, 
acrescentar 1 (um) ao resultado encontrado. 
 TABELA CONTAGEM DE DIAS 
 
 
dias janeiro fevereiro março abril maio junho julho agosto setembro outubro novembro dezembro 
1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 
2 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336 
3 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337 
4 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 
5 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339 
6 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340 
7 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341 
8 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342 
9 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343 
10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 
11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345 
12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346 
13 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 
14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 
15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349 
16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350 
17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351 
18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352 
19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353 
20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354 
21 21 52 80 111 141 172 201 233 264 294 325 355 
22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356 
23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357 
24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358 
25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359 
26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360 
27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361 
28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362 
29 29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363 
30 30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364 
31 31 90 151 212 243 304 365 
8 
 
Exemplo 2.4.1 Capital de $ 10.000,00 foi aplicado no dia 12 de fevereiro à taxa juros 
simples de 6%a.m, e foi resgatado no dia 14 de julho do mesmo ano. Qual foi o valor 
recebido? 
 
Resolução PV = 10.000,00 i = 6% a.m n= ? FV = ? 
 
Para achar o prazo da operação utilizando a tabela de contagem de dias 
Data final (14/07) = 195 
Data inicial (12/02) = - 43 
Prazo = 152 dias 
 
FV = 10.000,00(1+ (0,06/30) x 152) = $ 13.040,00 
 
 
Exemplo 2.4.2 No dia 26 de maio foi efetuado um empréstimo de $50.000,00 à taxa de 
juros simples de 24% a.a , para totalmente liquidado em 90 dias. No dia 16 de junho foram 
pagos $20.000,00 e no dia 11 de julho $15.000,00. Determine a data de vencimento da 
divida e o valor do saldo a ser liquidado naquela data . 
 
Resolução 
 
Achando a data : 
Data final (?) = X 
Data inicial(26/05) = -146 
Prazo = 90 logo X = 146 + 90 = 236 , que na tabela corresponde ao 
dia 24/08. 
 
Para achar o saldo temos : 
50.000,00(1 + (0,24/360)x90) – 20.000,00(1 + (0,24/360) x 69*) – 15.000,00( 1+(0,24/360) x 
44*)= 
$16.640,00 
 
*obs.: (24/08) - (16/06) = 69 dias, e 
 (24/08) – (11/07) = 44 dias. 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. Qual a taxa anual,semestral, trimestral e mensal de juros simples para uma 
aplicação de $1.300,00 que produz após um ano o montante de $1.750,00 ? 
R: 34,615385% a.a. / 17,307692% a.s. / 8,653846% a.t. / 2,884615% a.m. 
 
2. Determinar os juros simples obtidos nas seguintes condições e prazos 
 
 capital taxa prazoA $2.000,00 1,2 % a.m 5 meses 
B $3.000,00 21% a.a 2 anos 
C $2.000,00 1,3% a.m 3 anos 
D $6.000,00 15%a.t 2,5 
anos 
 
R: $120,00 / $ 1.260,00 / $ 936,00 / $ 9.000,00 
 
9 
 
3. Maria aplicou $30.000,00 a juros simples, pelo prazo de 6 meses e recebeu 
$9.000,00 de juros. Qual a taxa mensal da aplicação? 
R: 5% a.m. 
 
4. Pedro aplicou certa quantia a juros simples à taxa de 1,8%a.m, pelo prazo de 4 
meses. Qual foi o valor aplicado, e o valor dos juros auferidos, sabendo-se que o 
montante recebido foi de $5.360,00? 
PV = $ 5.000,00 
J = $ 360,00 
 
5. Ache o capital que, aplicado a juros simples nas condições abaixo, teve os seguintes 
rendimentos: A) $345.600,00 a 7,2 %a.m, durante 3 meses; B) $11.760,00 , a 100,8% 
a.a durante 7 meses. 
R: 
a) $ 1.600.000,00 
b) $ 20.000,00 
 
6. Um capital de $18.888,88 é investido no dia 1º de março, à taxa de juros simples de 
6%a.m. Em que dia o investidor deverá receber um montante de $24.000,00 
 
7. Calcule as taxas anuais equivalentes, a juros simples, às seguintes taxas: 
 
 
A) 0,3 % a.d R: 108%a.a. 
B) 2,3 % a.m R: 27,60%a.a. 
C) 4% a.b R:24%a.a. 
D) 4,5% a.t R:18%a.a. 
E) 8% a.q R:24%a.a. 
F) 5,8% a.s R:11,6%a.a. 
 
8. Calcule as taxas mensais equivalentes, a juros simples, às seguintes taxas: 
 
 
A) 12 % a.a 
B) 16,8 % a.q 
C) 6% a.b 
D) 3,5% a.t 
E) 8% por 7 meses 
F) 5,8% a.s 
 
9. Um capital de $3.000,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 7% a.s, e teve um 
rendimento financeiro de $1.050,00. Por quantos meses este capital ficou aplicado? 
R: 5 semestres = 30 meses 
 
10. Por 2 anos um capital de $5.600,00 obteve de juros $1.344,00. Qual foi a taxa de 
juros mensal auferida por esta aplicação? 
R: 1% a.m. 
 
11. Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros simples e à taxa de 8% 
a.a para que duplique? E para que triplique? 
R: 12,5 anos e 25 anos 
10 
 
 
12. Uma TV é vendida à vista por $2.400,00, ou a prazo com 20% de entrada mais uma 
parcela de $2.150,00 dois meses após a compra. Qual a taxa de juros simples 
mensal desta operação? 
R: 5,989583% a.m. 
 
13. Em quantos meses um capital de $28.000,00, aplicado à taxa de juros simples de 
48% a.a produz um montante de $38.080,00? 
R: 9 meses 
 
14. Um capital de $135.000,00 transformou-se em $180.000,00 após 44 dias de 
aplicação. Calcular a taxa de juros simples mensal desta aplicação. 
 
15. Hoje uma pessoa tem duas dívidas, a primeira, de $8.000,00 vence em 36 dias e a 
segunda, no valor de $12.000,00, vence em 58 dias. Esta pessoa propõe pagá-las em 
dois pagamentos iguais dentro de 45 dias e 90 dias respectivamente. À taxa de 
juros simples de 24%a.a, calcular o valor de cada pagamento, tendo as seguintes 
datas focais: 
 
A) hoje (instante 0); B) 90º dia ; C) 45º dia 
 
16. Uma aplicação financeira de $2.000,00 foi feita no dia 02/6. Posteriormente foram 
efetuados dois depósitos adicionais de $500,00 e de $300,00 nos dias 8 e 16 do 
mesmo mês, e também foi feito um saque no valor de $200,00 no dia 26 do mesmo 
mês. Inicialmente a taxa de juros simples era de 28%a.a, que baixou no dia 16/6 
para 26% a.a. Calcular o saldo disponível desta aplicação no dia 01/07 
 
17. No dia 26/5 foi contratado um empréstimo de $7.000,00 à taxa de juros simples de 
24% a.a, para ser totalmente liquidado em 90 dias. No dia 16/6 amortizou-se 
$3.000,00 e no dia 11/7 amortizou-se $2.500,00. Qual é a data de vencimento deste 
empréstimo, e quanto deverá ser o saldo pagar nesta data? (obs. a data focal é 90º 
dia) 
 
18. Um produtor de feijão, possuidor de um estoque de 30.000 sacas, na expectativa de 
alta do preço do produto, recusa uma oferta de compra deste estoque ao preço de 
$5,00 por saca. Seis meses mais tarde, vende o estoque por $12,00 a saca. Para uma 
taxa de juros simples de 12% a.m, qual o lucro ou prejuízo real este produtor teve 
por saca? 
 
19. Um capital ficou depositado durante 10 meses à taxa de juros simples de 8% a.m. 
Findo este prazo, o montante auferido foi aplicado durante 15 meses a juros simples 
à taxa de 10% a.m. Calcule o valor do capital inicial aplicado, sabendo-se que 
montante final recebido foi de $1.125.000,00. 
 
20. Silvia aplicou um capital em uma conta remunerada que rende juros simples de 
30% a.a. Depois de 3 anos resgatou metade dos juros que ganhou e reaplicou a 
outra metade por um ano à taxa de juros simples de 32%a.a , obtendo um 
rendimento de $20,16 nesta última aplicação. Qual foi o capital inicial aplicado por 
Silvia? 
 
 
 
 
11 
 
3 - REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA – JUROS COMPOSTOS 
 
 
3.1 Cálculo do Montante e Capital 
 
Se no regime de juros simples o montante cresce linearmente, pois os juros de um 
determinado período não são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período 
seguinte, no regime de juros compostos o dinheiro cresce exponencialmente em progressão 
geométrica ao longo do tempo, dado que os rendimentos de cada período são incorporados 
ao saldo anterior e passam, por sua vez a render juros. 
 
Logo a fórmula é 
 
FV = PV (1 + iFV = PV (1 + iFV = PV (1 + iFV = PV (1 + i))))nnnn 
 
O cálculo do capital a partir do montante é o processo inverso, cuja fórmula é 
 
PV= FV/ (1 + iPV= FV/ (1 + iPV= FV/ (1 + iPV= FV/ (1 + i))))nnnn 
 
 
(1+i)n 
 
 
 
 
 
 0 1 ... n 
 
 1/(1+i)n 
 
Onde: 
• (1+i)n Fator que “leva” as grandezas para frente, permite encontrar o Valor Futuro de uma 
operação ; 
 
• 1/(1+i)n Fator que”traz” as grandezas para trás, permite encontrar o Valor Presente 
de um Montante. 
 
 
Exemplo 3.1.1 A juros compostos de 10% a.m qual o montante de uma aplicação de 
$3.000,00 em 5 meses ? 
 
Resolução 
 FV= ? PV = 3.000,00 i= 0,10 n = 8 meses 
 
FV = 3.000,00( 1 + 0,10) 8 
FV = 3.000,00(2,143588810)* 
FV = $6.430,77 
 
obs. : ao encontrar o fator em fórmulas, deixar no mínimo 06 casas após a vírgula para não distorcer o 
resultado final. 
 
 
Exemplo 3.1.2 Qual o capital que em 5 anos à taxa de juros compostos de 12%a.a tem um 
montante de $36.000,00? 
 
Resolução 
FV = 36.000,00 PV= ? i= 0,12 n= 5 anos 
 
12 
 
PV= 36.000,00/(1+ 0,12)5 
PV= 36.000,00/1,762341683 
PV= $20.427,37 
 
 
Exemplo 3.1.3 Em que prazo um capital de $55.000,00 terá um montante de $110.624,80 
com uma taxa de juros compostos de 15%a.m? 
 
Resolução 
FV = 110.624,80 PV = 55.000,00 i= 0,15 n =? 
 
110.624,80 = 55.000,00(1,15)n 
110.624,80/55.000,00= (1,15)n 
2,01136= (1,15)n 
log 2,01136 = n . log 1,15 
n= log 2,01136/log1,15 
n= 5 meses 
 
 
Exemplo 3.1.4 Qual a taxa de juros compostos de um capital de $13.200,00 que foi 
aplicado por 7 meses , e ao final do período obteve um montante de $35.112,26 ? 
 
Resolução 
FV = 35.112,26 PV = 13.200,00 i= ? n = 7 meses 
 
35.112,26= 13.200,00(1+i)7 
35.112,26/13.200,00 = (1+i)7 
2,660019697 = (1+i)7 
7 660019697,2 = 7 7)1( i+ 
1+i = 7 660019697,2 
i= 0,149999989 ≅ 0,15 x 100 = 15,00% a.m 
 
Exemplo 3.1.5 Quanto rende um capital de $3.000,00 aplicado por 10 meses a juros 
compostos de 2% a.m ? 
 
Resolução 
FV = ? PV = 3.000,00 i = 0,02 n = 10 meses 
 
FV = 3.000,00(1,02)10 
FV= 3.656,98 J = FV – PV J= 3.656,98 – 3.000,00 = $656,98 
 
Exemplo 3.1.6 Qual a taxa de juros compostos que um capital de $2.000,00 que aplicados 
por 2 meses obtém um rendimento de $280,00? 
 
Resolução 
FV = (PV + J )= 2.000,00 + 280,00 = 2.280,00 PV = 2.000,00 i = ? n= 2 meses 
 
2.280,00= 2.000,00(1+i)2 
i= )00,000.200,280.2( ÷ - 1 = 0,067707825 x 100 = 6,7707825%a.m 
 
 
13 
 
3.2 Equivalência de Capitais 
 
O princípio de equivalência de capitais, já descrito no regime de juros simples, é 
fundamental e essencialàs abordagens aplicadas nos problemas de cálculo financeiro. E, 
diferentemente do regime de juros simples, na capitalização composta a data focal pode 
ser mudada, dentro de uma mesma operação, que a equivalência será mantida. 
 
Exemplo 3.2.1 Para uma taxa de juros compostos de 10% a.m, demonstrar que o conjunto 
de capitais do fluxo de caixa abaixo são equivalentes 
 
 
0 1 
 
2 3 4 5 
1.100 1.210 1.331 1.464,10 
 
a) Data focal o instante 0 
 
 
 
 
0 1 
 
 2 3 4 5 
 1.100 1.210 1.331 1.464,10 
 
 
1.100/1,101 = 1.000,00 
1.210/1,102 = 1.000,00 
1.331/1,103 = 1.000,00 
1.464,10/1,104 = 1.000,00 
 
Todos os capitais são equivalentes na data focal = 0, porque os seus valores levados àquela 
data são todos iguais. 
 
Se mudarmos a data focal para o 2º mês teremos: 
 
 
 
0 1 
 
 2 3 4 5 
 1.100 1.210 1.331 1.464,10 
 
 
 
1.100,00(1,10)1= 1.210,00 
1.331,00/(1,10) 1 = 1.210,00 
1.464,10/(1,10)2 = 1.210,00 
 
Fica constatado que a equivalência de capitais fica mantida. 
 
Exemplo 3.2.2 Um empréstimo foi feito à taxa de juros compostos de 5%a.m para ser pago 
da seguinte maneira: o primeiro pagamento no valor de $400,00 ao final de 6 meses, e o 
segundo no valor de $800,00 ao final do 10º mês . Porém o empréstimo pode ser liquidado 
por meio de um único pagamento no valor de $1.641,46. Determine o mês deste 
pagamento. 
 
Resolução: Pode-se encontrar o prazo de pagamento único se considerar que por 
equivalência de capitais, as duas formas de pagamento devem ter o mesmo valor presente. 
Logo: 
 
14 
 
400,00/(1,05)6 + 800,00/(1,05)10 = 1.641,56/(1,05)n 
 
(1,05)n = 2,078932566 
n = log2,078932566/log1,05 
n = 15 meses 
 
Exemplo 3.2.3 Uma compra pode ser paga à vista por $1.400,00 ou financiada por meio de 
uma entrada de 30% e mais dois pagamentos mensais, o segundo sendo 50% maior que o 
primeiro. Tem-se que o 1º pagamento será efetuado daqui a 4 meses , para uma taxa de 
juros de 5% a.m , calcular o valor dos pagamentos mensais. 
 
Resolução: O valor dos pagamentos pode ser encontrado pelo principio de equivalência de 
capitais, onde o valor à vista deve ser igual ao valor presente do fluxo de pagamento do 
financiamento. 
 
1.400,00 = 420,00 + X/(1,05)4 + 1,5X/(1,05)5 
980,00 = X/1,215506250 + 1,5X/1,276281562 
980,00 =3,099540937/1,551328215 
X = $490,49 (1º pagamento) 2º pagamento = 490,49 x 1,5 = $735,74 
 
 
3.3 Convenção Exponencial e Convenção Linear 
 
No regime de juros compostos muitas vezes o prazo da operação não corresponde a um 
número inteiro de períodos a que se refere a taxa de juros, mas a um número fracionário, 
logo permite-se duas alternativas de cálculo: 
• CálculCálculCálculCálculo pela convenção linear, onde os juros compostos são usados para o número o pela convenção linear, onde os juros compostos são usados para o número o pela convenção linear, onde os juros compostos são usados para o número o pela convenção linear, onde os juros compostos são usados para o número 
inteiro de períodos e os juros simples para a parte fracionária de períodos;inteiro de períodos e os juros simples para a parte fracionária de períodos;inteiro de períodos e os juros simples para a parte fracionária de períodos;inteiro de períodos e os juros simples para a parte fracionária de períodos; 
 
 
• Cálculo pela convenção exponencial ,Cálculo pela convenção exponencial ,Cálculo pela convenção exponencial ,Cálculo pela convenção exponencial , onde os juros compostos são usados tanto para onde os juros compostos são usados tanto para onde os juros compostos são usados tanto para onde os juros compostos são usados tanto para 
o número inteiro quanto para a parte fracionária dos períodoso número inteiro quanto para a parte fracionária dos períodoso número inteiro quanto para a parte fracionária dos períodoso número inteiro quanto para a parte fracionária dos períodos 
 
Exemplo 3.3.1 Para um capital de $33.000,00 aplicados durante 74 dias à taxa de juros 
compostos de 5% a.m , calcular o montante utilizando as convenções linear e exponencial. 
 
Resolução Resolução Resolução Resolução 
 
• Pela convenção linearPela convenção linearPela convenção linearPela convenção linear 
PV = 33.000,00 FV = ? i = 0,05 n= 2 meses (inteiro) e 14 dias ( fração)PV = 33.000,00 FV = ? i = 0,05 n= 2 meses (inteiro) e 14 dias ( fração)PV = 33.000,00 FV = ? i = 0,05 n= 2 meses (inteiro) e 14 dias ( fração)PV = 33.000,00 FV = ? i = 0,05 n= 2 meses (inteiro) e 14 dias ( fração) 
FV = FV = FV = FV = 33333333.000,00(.000,00(.000,00(.000,00(1,05)1,05)1,05)1,05)2222 x (1+ 0,05 x (14/30)) = $37.231,43x (1+ 0,05 x (14/30)) = $37.231,43x (1+ 0,05 x (14/30)) = $37.231,43x (1+ 0,05 x (14/30)) = $37.231,43 
 
 
• Pela convenção exponencial Pela convenção exponencial Pela convenção exponencial Pela convenção exponencial 
PV = 33.000,00 FV = PV = 33.000,00 FV = PV = 33.000,00 FV = PV = 33.000,00 FV = ? i = 0,05 n= (74/30 ) 2,466666667? i = 0,05 n= (74/30 ) 2,466666667? i = 0,05 n= (74/30 ) 2,466666667? i = 0,05 n= (74/30 ) 2,466666667 
FV = 33.000,00(1,05)FV = 33.000,00(1,05)FV = 33.000,00(1,05)FV = 33.000,00(1,05)2,4666666672,4666666672,4666666672,466666667 = $37.220,39= $37.220,39= $37.220,39= $37.220,39 
 
Obs. Nos exercícios futuros, salvo expresso o contrário, os cálculos serão feitos pela 
convenção exponencial. 
 
 
 
15 
 
3.4 Taxas de juros compostas 
 
Um dos problemas mais importantes da matemática financeira é o estudo das taxas, para 
que se possa distinguir as suas diferentes formas em que se apresenta no dia a dia para 
tomada de decisão. 
 
3.4.1 Taxas equivalentes e efetivas 
 
Vimos na fórmula do valor futuro, FV= PV(1+i)FV= PV(1+i)FV= PV(1+i)FV= PV(1+i)nnnn , e nos exemplos dados, que 
habitualmente expressamos o prazo , nnnn, de acordo com a unidade de tempo da taxa, ( por 
exemplo : se iiii = %a.a e n = n = n = n = 18 meses , expressamos nnnn = 1,5 anos). Pode-se considerar outra 
situação, na qual temos que escolher uma entre duas taxas, uma anual e outra mensal. 
Em ambos os problemas temos que converter uma taxa , num período, em outra taxa para 
outro período, de modo que ambas produzam o mesmo montante. 
Assim se i1 e i2 forem as taxas e n1 e n2 o referido prazo expresso nas unidades das 
respectivas taxas, logo devemos ter: 
 PV(1+i1)n1 = PV(1+i2)n2 portanto (1+i1)n1 = (1+i2)n2 
 
Exemplo 3.4.1.1 Em juros compostos qual a taxa efetiva, anual, equivalente a 2% a.m ? 
 
 
 
 
 
if =(1+i)n 
 
 0 1 ... 12 
 
Resolução 
 i= (1+0,02)12 -1 = 1,268241795 – 1= 0,268241795 x 100 = 26,8241795%a.a 
 
 
Exemplo 3.4.1.2 Em juros compostos qual a taxa equivalente mensal, à taxa efetiva de 
26,8241795%a.a? 
 
 
 
 
 
 
 
 
ie =
1)1( −+n i 
 
 0 1 ... 12 
 
 
 
Resolução 
ie= 12 268241795,01+ -1 = 1,02 -1 = 0,02 x 100 = 2,00% a.m 
 
Logo se aplicarmos $100,00 a 2,00%a.m de taxa efetiva por um ano (100,00(1,02)2 = 
$126,82), produzirá o mesmo montante se aplicarmos $100,00 a 26,8241797% a.a pelo 
mesmo período (100,00(1,268241797)1 = $126,82). Constata-se que as taxas efetivas de 
26,8241795%a.a e 2,00% a.m são equivalentes pois produzem o mesmo montante. 
 
 
16 
 
3.4.2 Taxas nominais 
 Freqüentemente os juros são capitalizados mais de uma vez no período a que se refere a 
taxa de juros , isto é : a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de 
tempo dos períodos de capitalização, quando isto ocorre a taxa de juros é chamada detaxa 
nominal. Ela é bastante usada no mercado financeiro, mas não representa uma taxa 
efetiva, que é a taxa de juros que deve ser aplicada nos cálculos financeiros. 
 
 
Exemplo 3.4.2.1 Sendo a taxa nominal de 12% a.a , com capitalização mensal, qual a taxa 
efetiva anual correspondente? 
 
Resolução in = 0,12 a.a , a capitalização é mensal logo os juros vão ser incorporados 12 
vezes , n =12 . Podemos aplicar a seguinte fórmula: 
 
in = (1+i/n)n , onde i/n é a taxa unitária divido pelo número de vezes em que ela é 
capitalizada; e o expoente n é o prazo efetivo que se quer. 
 
in = (1 +0,12/12)12 = 1,26825030 – 1 = 0,126825030 x 100 = 12,6825030%a.a 
 
Logo como os juros irão capitalizar mensalmente por 12 períodos a taxa efetiva desta 
operação é maior do que a taxa nominal. 
 
Exemplo 3.4.2.2 Calcular o montante resultante de um investimento de $1.200,00 aplicado 
por 2 anos à taxa nominal de juros de 6%a.a com capitalização semestral. 
 
Resolução 
FV = ? PV = 1.200,00 i = 0,06 nominal n = 2 anos que corresponde a 4 semestres 
 
FV = 1.200,00(1+0,06/2)4 = $1.273,64 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. Calcular o montante de uma aplicação de $2.000,00 pelas seguintes taxas efetivas e 
prazos: 
a) 3% a.m por 5 meses ; b) 7% a.t por 24 meses ; c) 12%a.a por 4 semestres 
 
2. Uma empresa pretende comprar uma máquina daqui a 4 anos no valor de 
$40.000,00, quanto deverá aplicar hoje para os juros efetivos para esta aplicação 
forem: 
a) 13% a.t b) 18%a.a c) 6% a.s d) 1% a.m 
 
3. Um investimento resultou em um montante de $43.000,00 em 3 meses, com uma 
taxa de juros efetiva de 10%a.m, calcular o valor do investimento. 
 
4. Em que prazo um capital de $10.000,00 acumula um montante de $12.762,82 com 
uma taxa efetiva de 5%a.m ? 
 
5. Um capital de $10.000,00 aplicado por 6 meses teve um montante de $11.596,93 , 
qual foi a taxa de juros compostos(efetiva) ganha? 
 
6. Para uma taxa efetiva de 48%a.a , calcular as taxas equivalentes a: 
17 
 
a) 1 mês : b) 1 trimestre ; c) 20 dias ; d) 4 meses ; e) 1 semestre ; f) 5 meses 
 
7. Para uma taxa efetiva de 2% a.m, calcular as taxas, efetivas, equivalentes a : 
a) 1 ano ; b) 2 trimestres e meio ; c) 1 semestre ; d) 2 quadrimestres ; e) 75 dias ; f) 
1,5 ano 
 
8. Calcular as taxas de juros efetivas mensal, trimestral e semestral , equivalentes à 
taxa nominal de 12%a.a com capitalização mensal. 
 
9. O Produto Interno Bruto (PIB) de um país cresceu 300% em 12 anos. Qual foi a 
taxa de crescimento anual média? 
 
10. Uma pessoa precisa de $10.000,00 por 2 anos. Oferecem-lhe a quantia nas 
seguintes condições: a) a juros nominais de 5% a.a com capitalização trimestral; b) a 
juros nominais de 5,375%a.a com capitalização semestral; c) a juros simples de 
5.5% a.a . Qual é a melhor oferta? 
 
11. Em quanto tempo um capital duplica de valor se este for aplicado à taxa efetiva de 
5%a.s? 
 
12. O valor à vista de um bem é de $6.000,00. A prazo, paga-se uma entrada mais três 
parcelas mensais de $2.000,00 cada, sendo a primeira daqui a 1 mês . Qual o valor 
da entrada se a taxa de juros efetiva for de 7%a.m? 
 
13. Um equipamento de $360.000,00 paga-se uma entrada de 20% mais dois 
pagamentos mensais consecutivos. Se o primeiro pagamento for de $180.000,00 e a 
taxa de juros efetiva aplicada é de 10% a.m, qual o valor do segundo pagamento? 
 
14. Um capital de $2.345,00 foi aplicado no dia 24/03, para uma taxa de juros efetiva de 
10%a.m, qual foi o valor resgatado no dia 29/09 do mesmo ano? 
 
15. Uma empresa tem o seguinte conjunto de dívida: $2.000,00 com vencimento daqui a 
2 meses; $3.000,00 com vencimento daqui a 4 meses , e $1.500,00 com vencimento 
daqui a 6 meses. Passando por dificuldades financeiras, propõe ao credor a 
liquidação da dívida em dois pagamentos iguais com vencimento daqui a 8 meses e 
10 meses respectivamente. Para uma taxa de juros nominal de 12%a.a, qual o valor 
destes pagamentos? 
 
16. Um empréstimo de $5.000,00 foi feito no dia 14/04 e pago no dia 28/05 do mesmo 
ano com valor de $5.850,00. Determine a taxa efetiva mensal desta operação. 
 
17. Calcular a taxa nominal anual com capitalização trimestral equivalente à taxa 
efetiva de 12%a.a 
 
18. Qual a taxa anual efetiva que permite a duplicação de um capital no prazo de 42 
meses? 
 
19. Um aparelho de TV é vendido por $1.500,00 à vista, ou por 20% de entrada mais 
duas parcelas mensais, sendo a 2ª 30% maior do que a 1ª , com vencimento da 1ª 
trinta dias após a compra. Para uma taxa efetiva de 6%a.m , qual o valor das 
parcelas? 
 
18 
 
20. Determinar a taxa mensal de juros compostos, taxa efetiva, que faz com que um 
capital triplique de valor após dois anos e meio. 
 
 
 
4 SÉRIES UNIFORMES 
 
São séries de pagamento ou recebimentos iguais, que podem ser realizadas após o período, 
postecipadas, no início do período, antecipadas, ou séries diferidas onde existe um período 
de carência para pagamento da primeira parcela. 
 
5.1 Têm-se PV quer achar PMT 
 PV 
 
 
 
 
 
 0 1 2 3 4 n 
 pmt pmt pmt pmt 
 
Situação de uma série de pagamento postecipada 
 
Fórmula: 
PMT = PV x [(i(1+i)n) / ((1+i)n – 1)] 
 
Exemplo 5.1.1 Qual o valor das prestações mensais de um financiamento com principal de 
$1.000,00, realizado com uma taxa efetiva de juros, regime de capitalização composta, de 
8% a.m, para um prazo de quatro meses, com vencimento da primeira prestação 1 mês 
após a contratação ? 
 
Resolução 
Se o vencimento da primeira prestação é um período após , dá-se uma série postecipada. 
 
PMT = 1.000,00 x [(0,08(1+0,08)4) /((1+0,08)4 – 1 ) ] 
PMT= $301,92 
 
Exemplo 5.1.2 Qual o valor das prestações mensais de um financiamento com principal de 
$1.000,00, realizado com uma taxa efetiva de juros, regime de capitalização composta, de 
8% a.m, para um prazo de quatro meses, com vencimento da primeira prestação no ato da 
contratação? 
 
Resolução 
Se o vencimento da primeira prestação é no ato da contratação, dá-se uma série 
antecipada, deve-se então descapitalizar o principal (PV) um período para após aplicar a 
fórmula. 
 
 
PV 
 
PV 
 0 1 2 3 mês 
 pmt pmt pmt pmt 
 1 2 3 4 
 Pagtos. 
uniformes 
 
 
PV=1.000,00/1,08 = 925,93 
19 
 
 Logo 
PMT = 925,93 x [(0,08(1+0,08)4) /((1+0,08)4 – 1 ) ] 
PMT = $279,56 
 
Exemplo 5.1.3 Qual o valor das prestações mensais de um financiamento com principal de 
$1.000,00, realizado com uma taxa efetiva de juros, regime de capitalização composta, de 
8% a.m, para um prazo de quatro meses, com vencimento da primeira prestação ao final 
do 3º mês após a contratação? 
 
Resolução 
Neste caso o primeiro pagamento acontece com um prazo de carência de dois meses, e as 
prestações são postecipadas, logo se dá uma série diferida, precisando levar o capital dois 
períodos à frente, para após aplicar a fórmula. 
 
Logo 
 
FV= 1.000,00(1,08)2 
FV= 1.116,40 
 
PMT = 1.116,40 x [(0,08(1+0,08)4) /((1+0,08)4 – 1 ) ] 
PMT = $352,16 
 
 
 
Exemplo 5.1.4 Qual o valor das prestações mensais de um financiamento com principal de 
$1.000,00, realizado com uma taxa efetiva de juros, regime de capitalização composta, de 
24% a.a, para um prazo de quatro meses, com vencimento da primeira prestação 1 mês 
após a contratação ? 
 
Resolução 
 Aqui a taxa de juros efetiva está diferente do prazo da operação, pagamento mensal logo 
se deve transformá-la em taxa equivalente mensal, após o que se pode aplicar a fórmula. 
 ie= 12 24,01+ = 1,8087582%a.m 
 
PMT=1.000,00 x [(0,018087582(1+0,018087582)4) /((1+0,018087582)4 – 1 ) ] 
PMT = $261,41 
 
 
Exemplo 5.1.5 Qual o valor das prestações mensais de um financiamento com principalde 
$1.000,00, realizado com uma taxa nominal de juros, com capitalização mensal, de 24% 
a.a, para um prazo de quatro meses, com vencimento da primeira prestação 1 mês após a 
contratação ? 
 
Resolução: 
Aqui a taxa de juros é nominal, como no exemplo ela é capitalizada mensalmente e as 
prestações são mensais deve-se dividi-la pelo no de períodos da capitalização para após 
aplicar a fórmula. 
 
24/12 = 2%a.m 
PMT = 1.000,00 x [(0,02(1+0,02)4) /((1+0,02)4 – 1 ) ] 
PMT = $262,62 
 
20 
 
 
5.2 Têm-se PMT quer achar PV 
 
Fórmula 
PV = PMT x [((1+i)n – 1)/ (i(1+i)n)] 
 
Exemplo 5.2.1 Determinar o valor de um principal de um financiamento efetuado a uma 
taxa de juros efetiva, regime de juros compostos, de 2% a.m , e que deve ser liquidado em 
12 prestações mensais iguais e sucessivas no valor de $500,00 cada , com vencimento da 
primeira 30 dias após a sua contratação. 
 
Resolução: 
 
PV 
0
 
 1 2 ... 12 
0 500 500 500 500 
 
 
 
 
 
Como as prestações vencem ao final do período, tem-se uma série postecipada, e a 
capitalização taxa e o período da série estão na mesma grandeza, mês, pode-se aplicar 
diretamente a fórmula. 
 
PV = 500,00 x [((1,02)12 -1)/( 0,02(1,02)12)] 
PV = $5.287,67 
 
Exemplo 5.2.2 Determinar o valor de um principal de um financiamento efetuado a uma 
taxa de juros efetiva, regime de juros compostos, de 2% a.m, e que deve ser liquidado em 
12 prestações mensais iguais e sucessivas no valor de $500,00 cada , com vencimento da 
primeira no ato da sua contratação. 
 
Resolução: 
Neste caso o prazo do primeiro pagamento é no ato da contratação, início da série, logo se 
dá uma série antecipada, logo o n = 11 na aplicação da fórmula, com o resultado soma o 1º 
PMT. 
 
PV = 500,00 x [((1,02)11 -1)/( 0,02(1,02)11)] 
PV = 4.893,42 +500 = $5.393,42 
 
 
5.3 Têm-se PMT quer achar FV 
 
 
 
FV 
 
 
 
0 
 
 1 2 ... 
 
n 
 pmt pmt ... pmt 
 
Fórmula 
FV = PMT x [((1+i)n -1) / i] 
 
21 
 
Exemplo 5.3.1 Determinar o valor acumulado que se terá após a realização de 5 depósitos 
anuais com valor de $1.000,00 cada , com uma taxa efetiva de juros de 10% a.a 
 
Resolução 
FV = 1.000,00 x [(1,10)5 – 1)/0,10] 
FV = $6.105,10 
 
E o saldo imediatamente antes do último depósito? 
 
FV = 6.105,10 – 1.000,00 = $5.105,10 
 
 
4.4 Tem-se FV quer achar PMT 
 
Fórmula 
PMT = FV x [ i/((1+i)n -1)] 
 
Exemplo 5.4.1 Determinar o valor dos quatro depósitos semestrais para que se tenha um 
montante no valor de $10.775,31 após a realização do último do quarto depósito, com uma 
taxa efetiva de juros de 5% a.s 
 
Resolução 
PMT = 10.775,31 x [(0,05/ ((1,05)4 -1)] 
PMT = $2.500,00 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1- Determinar o valor das prestações anuais de um financiamento realizado com a 
taxa efetiva de 8% a.a no regime de juros compostos, sabendo-se que o valor do 
principal é de $ 1.000,00, e que prazo da operação é de 4 anos 
 
2- Um empresário deseja obter um financiamento para adquirir um equipamento, cujo 
valor á vista é de $10.000,00. Para diminuir o valor das prestações, ele pretende dar 
uma entrada de $3.000,00 por ocasião da compra. Determinar o valor das 24 
prestações mensais, iguais e sucessivas, para a parte financiada. Sabendo-se que a 
taxa efetiva é de 15% a.a, capitalizados mensalmente, e que a 1ªprestação ocorre 30 
dias após a liberação dos recursos 
 
 
3- Determinada pessoa assume hoje uma divida de $4.000,00 que devera ser saldada 
em 4 prestações mensais iguais e consecutivas,vencendo a 1ª um mês após. Achar o 
valor de cada prestação, usando a taxa de 5,2 % a.m, capitalizados mensalmente. 
 
4- Uma empresa interessada em aumentar sua produção, quer adquirir um 
equipamento industrial cujo preço á vista é de $100.000,00. Essa compra poderá ser 
feita em 12 pagamentos mensais, iguais e consecutivos. Sabendo que a taxa efetiva 
de juro é de 6% a.m. Calcular o valor de cada pagamento. 
 
5- Um automóvel $15.000,00 á vista, é comprado da seguinte forma: entrada de 30% 
do seu valor à vista, saldo em 24 prestações iguais, mensais e consecutivas, 
22 
 
vencendo a 1ª 30 dias após a compra. Determine o valor das prestações. Sabendo 
que a taxa de juros é de 2,45% a.m capitalizados mensalmente. 
 
6- O dono de uma agência de viagens quer anunciar a venda de uma excursão em 10 
pagamentos mensais, iguais e consecutivos, sendo que o primeiro deve ser pago no 
ato do fechamento do negócio. Sendo a taxa efetiva de juros de 6% a.m, qual deverá 
ser valor de cada pagamento, se o preço a vista da excursão é de $8.000,00 
 
7- Um banco de investimentos financia a venda de equipamentos num prazo de 2 
anos,com uma taxa efetiva de 3%a.t, no regime de juros compostos. Determinar o 
valor da prestação trimestral de um equipamento cujo valor á vista é de $ 
20.000,00. 
 
8- Um principal de $10.000,00 deve ser liquidado em 4 prestações semestrais iguais e 
sucessivas. Determiná-las, para uma taxa efetiva de 1,5% a.m. 
 
9- Uma empresa, interessada em aumentar sua produção, quer adquirir um 
equipamento industrial cujo preço à vista é de $20.000,00. Essa compra poderá ser 
feita em 12 pagamentos mensais , iguais e consecutivos, devendo o 1º ser pago no 
ato. Sabendo que a taxa efetiva de juros é de 6% a.m., calcular o valor de cada 
pagamento. 
 
10- Uma piscina é vendida em uma loja por $8.000,00 à vista, ou em 8 pagamentos 
mensais, iguais e consecutivos, sendo que o 1º dever ser efetuado no ato da compra. 
Calcule o valor de cada pagamento, sabendo que a taxa efetiva de juro é de 7% a.m. 
 
11- Um financiamento de $1.000,00 de principal deve ser pago em 5 prestações 
mensais, iguais e sucessivas. Sabendo-se que a taxa efetiva de juros é de 1% a. m. , 
e admitindo-se meses com 30 dias, determinar o valor da prestação mensal desse 
financiamento nas seguintes condições : 
 
A) O pagto. da 1ª prestação ocorrendo 1 mês após a liberação dos recursos ; 
B) O pagto.. da 1ª prestação ocorrendo no ato da liberação dos recursos . 
 
12 - Determinada pessoa compra um automóvel pelo qual vai pagar 12 prestações 
mensais, iguais e consecutivas de $1.000,00 cada, sem entrada, com vencimento da 1ª 
30 dias após a compra, sendo a taxa efetiva de juros de 6% a m , achar o preço à vista 
deste automóvel . 
 
13- As Casas Jambo estão oferecendo um eletrodoméstico através do seguinte plano de 
pagamento: $500,00 de entrada, e o restante em 6 prestações mensais iguais e 
consecutivas de $300,00 cada vencendo a primeira 30 dias após a compra. Para uma 
taxa de juros efetiva de 6% a.m , qual o valor à vista da mercadoria? 
 
14- Uma TV está sendo oferecida, em uma loja, por 8 pagamentos mensais, iguais e 
consecutivos de $1.000,00 cada, sendo que o primeiro pagamento deve ser efetuado no 
ato da compra. Com uma taxa efetiva de juros de 7% a m, ache o preço à vista desta 
TV. 
 
15- Determinar o valor do investimento necessário para garantir um recebimento 
anual de $10.000,00 no final de cada um dos próximos 8 anos , sabendo-se que esse 
investimento é remunerado com uma taxa efetiva de 10% a a . 
23 
 
 
16- Determinar o valor do principal de um financiamento realizado com uma taxa 
efetiva de 1% a m, e que deve ser liquidado em 12 prestações mensais, iguais e 
sucessivas de $1.000,00. 
 
17- Uma construtora está vendendo um apartamento com entrada de $60.000,00, e o 
restante em 12 prestações trimestrais, iguais e consecutivas de $5.000,00 cada, 
vencendo a primeira um trimestre após a venda. Qual o valor à vista do apartamento 
sendo de 12% a.t a taxa efetiva de juros? 
 
18- Uma mercadoria está sendo vendida sem entrada em 12 prestações mensais, iguais 
e consecutivas de $5.000,00 cada , vencendo a primeira ummês após a compra. Achar 
o valor à vista dessa mercadoria, sendo a taxa efetiva de juros de 73,53% a a . 
 
19- Um empresário compra um equipamento para a sua indústria, pagando 8 
prestações mensais iguais e consecutivas de $8.000,00 cada, sem entrada. Se a taxa de 
juros efetiva é de 4% a.m. , qual o preço à vista deste equipamento? 
 
20- Uma pessoa compra, hoje, um terreno, dando $3.000,00 de entrada e o restante em 
36 prestações mensais, iguais e consecutivas de $300,00, com vencimento da primeira 
30 dias da entrada. Qual o preço à vista deste terreno, supondo uma taxa efetiva de 
jur4os de 6,4% a.m? 
 
21- Um poupador efetua depósitos mensais, iguais e consecutivos de $1.000,00, em um 
banco que remunera a uma taxa de juros efetiva de 2% a.m. Qual o valor do capital 
investido por este poupador após o 6º depósito? 
 
22- Determinar o montante do fluxo de caixa de $1.000,00 com uma taxa de 10% a.a, 
no regime de juros compostos onde o n = 5 anos . 
 
23 - Um investidor efetua 04 depósitos anuais de $5.000,00, sabendo-se que estes 
depósitos são remunerados a uma taxa de 8%a.a, no regime de juros compostos, 
determinar o valor acumulado por este investidor no final do quarto ano nas seguintes 
condições: 
 
A) Imediatamente após a realização do 4º depósito; 
B) Imediatamente antes da realização do 4º depósito. 
 
24- Determinada pessoa deposita anualmente a quantia de $1.000,00 no final de 
dezembro de cada ano, em um banco que remunera seus depósitos com uma taxa 
efetiva de 10% a.a. Assumindo o ano comercial, determinar o saldo credor desta pessoa 
imediatamente antes do seu 4º depósito anual. 
 
25- Uma instituição financeira remunera seus depósitos na base de 1,5%a.m. no regime 
de juros compostos, e realiza seus cálculos considerando os meses com 30 dias. Um 
investidor efetua nessa instituição 06 depósitos mensais, iguais e consecutivos de 
$800,00, ocorrendo o 1º depósito no final do mês de janeiro e o ultimo no final do mês de 
junho (todos no mesmo ano). Determinar os valores dos saldos acumulados nas 
seguintes datas: 
 
A) Final de junho após o deposito do mês ; 
B) Final de junho antes do depósito do mês . 
24 
 
 
26 - Uma pessoa pretende formar um capital com o fim de adquirir uma casa própria. 
Para isso efetua depósitos de $10.000,00, mensalmente em um banco que está 
remunerando o capital com uma taxa de juros de 2%a.m no regime de juros compostos. 
Quanto terá acumulado na data do %º depósito logo após efetuá-lo? 
 
27- Uma pessoa investe em um banco que paga uma taxa de juros de 2% a.m , efetuado 
depósitos trimestrais de $100.000,00. Quanto terá acumulado: 
A) Logo após o 10º deposito? 
B) Imediatamente antes do 10º depósito? 
 
28- Um comerciante investe a importância de $5.000,00 mensalmente em um banco 
que paga uma taxa efetiva de juros de 4% a.m. Quanto este comerciante terá de valor 
acumulado após o 20º depósito? 
 
29- Uma financeira está remunerando o capital na base de 4,5% a.m de taxa efetiva de 
juros. Se uma pessoa faz depósitos mensais de $1.000,00, quanto terá acumulado logo 
após o 15º depósito? 
 
30- Um investidor resolveu efetuar 06 depósitos trimestrais sucessivos de $5.000,00 
cada, em um investimento que oferece uma remuneração de 12%a a , de taxa nominal, 
capitalizada trimestralmente. Determinar: 
A) O saldo acumulado imediatamente após o seu ultimo deposito. 
B) O saldo acumulado imediatamente antes do seu último depósito. 
C) Qual o saldo acumulado imediatamente após o último depósito, trimestral, se a taxa 
nominal fosse de 12% a.a capitalizada mensalmente? 
 
31- Determinar o valor de seis depósitos mensais iguais e sucessivos, capazes de 
produzir um montante de $5.000,00 no final do 6º mês, imediatamente após a 
realização do 6º depósito, sabendo–se que eles são remunerados com uma taxa nominal 
de 12% a a capitalizadas mensalmente. 
 
32- Um empresário pretende ter, dentro de um ano, um capital de $2.000.000,00, para 
montar uma indústria. Quanto deverá investir mensalmente, depósitos iguais, em um 
banco que paga uma taxa de 3% a m , no regime de juros compostos, para que logo após 
o 12º depósito, atinja o seu objetivo? 
 
33- Uma pessoa deseja fazer uma viagem dentro de 10 meses. Para isso ela deverá ter, 
à época da viagem, uma quantia de $30.000,00. Quanto ela deverá depositar 
mensalmente, depósitos iguais, em um banco que está pagando uma taxa de juros de 
11% a.t. , no regime de juros compostos, de modo que logo após o 10º depósito, tenha 
aquela quantia ? 
 
34- Quanto devo investir trimestralmente em um banco que paga uma taxa efetiva de 
juros de $,5% a.t., de modo que , dentro de 2 anos , logo após o último deposito, eu 
tenha a importância de $500.000,00? ($53.304,83) 
 
35 - Num determinado ano civil, um empresário efetua depósitos mensais, iguais e 
sucessivos, em um banco que remunera seus depósitos a juros compostos com a taxa de 
1,2% a.m.. No final de dezembro desse exercício o total acumulado pelo empresário, 
através destes depósitos, é de $100.000,00. Assumindo os meses com 30 dias, 
determinar o valor dos depósitos mensais nas seguintes hipóteses: 
25 
 
 
A) O primeiro depósito ocorreu no inicio do mês de janeiro; 
B) O primeiro depósito ocorreu no final do mês de abril; 
C) O primeiro depósito ocorreu no inicio do mês de setembro. 
 
36 - Uma aplicação financeira que remunera seus depósitos com uma taxa nominal de 
juros de 15% a.a. capitalizados trimestralmente, recebeu de um cliente 06 depósitos 
trimestrais consecutivos, todos do mesmo valor. Determinar o valor destes depósitos 
trimestrais para que esse cliente possa retirar desta aplicação a quantia de $20.000,00 
no final do 6º trimestre após a efetivação do seu ultimo depósito.