AULA 2 COMBINATORIA

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 Probabilidade e Estatística – Aula 2 Prof.: Duarte 
 
 
2 – Análise Combinatória 
 
 
I. Princípio fundamental da contagem 
 
Se um evento A pode acontecer de x maneiras e um evento independente B pode acontecer de y maneiras, então, o 
número de maneiras que podem acontecer os eventos A e B sucessivamente é o produto: M = x . y . 
 
Exemplos: 
 
1) Uma pessoa tem 5 calças e 10 camisas. De quantas maneiras diferentes ela pode se vestir? 
 
Temos: x = 5 e y = 10, portanto: 
 105M diferentes maneiras 50M 
. 
 
2) Um aluno da Unisanta tem 2 carros e 3 namoradas. De quantas maneiras diferentes ele pode ir pra “balada”? 
 
Temos: x = 2 e y = 3, portanto: 
 32M diferentes maneiras 6M 
. 
 
3) O Brasileirão tem 20 times na séria A e 20 times na série B. De quantas maneiras diferentes uma pessoa pode 
torcer para um time de cada série? 
 
Temos: x = 20 e y = 20, portanto: 
 2020M diferentes maneiras 400M 
. 
 
4) Uma pessoa resolve viajar de São Paulo pra Campinas. Para fazer a viagem ele pode escolher entre três opções: 
carro, bicicleta e skate. Na viagem ele vai escolher uma das duas principais rodovias que ligam ambas as cidades, a 
Anhanguera ou a Bandeirantes. De quantas maneiras diferentes ele pode fazer a viagem? 
 
Temos: x = 3 e y = 2, portanto: 
 23M diferentes maneiras 6M 
. 
 
5) Num domingo um cidadão calunga resolve ir à praia de manhã, ir ao cinema à tarde e um barzinho à noite. Ele 
frequenta a praia do Gonzaga em Santos ou da Enseada no Guarujá. Cinema ele escolhe sempre entre três, 
dependendo do filme. Barzinho ele escolhe dependendo da companhia, mas sempre opta entre quatro. Quantas 
possibilidades existem para o calunga organizar o seu domingo? 
 
Temos: x = 2, y = 3 e z = 4, portanto: 
 432M adespossibilid 24M
. 
 
6) Uma estrada de ferro que liga nada a lugar nenhum tem 6 estações. Quantos tipos distintos de passagens existem 
em circulação, sabendo-se que cada passagem contém impresso apenas a estação de partida e a estação de 
chegada? 
 
O passageiro pode pegar o trem em qualquer uma das 6 estações: x = 6. 
Partindo da estação escolhida ele pode ir até qualquer uma das outras 5 estações: y = 5. 
 
 56M adespossibilid 30M
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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II. Fatorial 
 
Seja n > 1 um número natural, ou seja, um número inteiro positivo. 
 
Chamamos de fatorial de n e indicamos por n! ao número definido por: 
 
      1234..........3n2n1nn!n 
 
 
Observação: Define-se que: 
1! 0 
 e 
1! 1 
. 
 
Exemplos: 
 
7) 
12012345!5 
 
 
8)
362880012345678910!10 
 
 
9) Vamos calcular a expressão: 
!99
!101!100!99 
 
       
10201
!99
101001001!99
!99
!99100101!99100!99
!99
!101!100!99






 
 
10) Vamos resolver a equação: 
6
n!
)!1(n


 
 




61n6
n!
n!1n
6
n!
)!1(n 5n 
 
 
 
 
III. Permutações 
 
a) Permutação simples 
 
O número de permutações simples de n elementos diferentes é um número indicado por Pn, que corresponde ao 
número total de sequências de n elementos distintos. Pn pode ser calculado por: 
!nPn 
 
 
Obs.: Em cada permutação simples todos os n elementos diferents devem de ser usados, portanto não há repetição. 
 
Exemplos: 
 
11) Quantas permutações são possíveis com as letras A, B, C e D? 
 
Para a primeira posição temos 4 letras possíveis. 
Para segunda posição temos 3 letras possíveis, uma vez que uma já foi usada na primeira posição. 
Para a terceira posição temos 2 letras possíveis. 
Para a quarta posição temos 1 letra só, visto que as outras 3 já foram usadas. 
 
 1a Posição 2a Posição 3a Posição 4a Posição 
Possibilidades 4 3 2 1 
 
Neste caso n = 4. 
 
24P1234P!4P!nP 444n 
. Portanto temos 24 permutações possíveis. 
 
 
 
 
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12) Quantos anagramas da palavra PIRADO existem? 
 
Temos n = 6. 
 
 123456P!6P!nP 66n
anagramas 720P6 
 
 
13) Para a mesma palavra do exercício anterior quantos anagramas começam com A? 
 
Como tem de começar por A devemos fixar esta letra na primeira posição. 
 
 1a Posição 2a Posição 3a Posição 4a Posição 5a Posição 6a Posição 
Possibilidades A 5 4 3 2 1 
 
Sobram 5 letras (P, I, R, D e O), portanto n = 5. 
 
 12345P!5P!nP 55n
anagramas 120P5 
 
 
 
14) Para a mesma palavra do exercício anterior quantos anagramas terminam com DO? 
 
Temos de ter D na quinta posição e O na última. 
 
 1a Posição 2a Posição 3a Posição 4a Posição 5a Posição 6a Posição 
Possibilidades 4 3 2 1 D O 
 
 1234P!4P!nP 44n
anagramas 24P4 
 
 
 
15) Quantos números de 5 algarismos podem ser formados por 1, 3, 5, 7 e 8, sem repetição de nenhum deles? 
 
 12345P!5P!nP 55n
números120P5 
 
 
 
16) No exercício anterior quantos números pares podem ser formados? 
 
Para o número ser par tem de terminar em um número par, ou seja, 8. 
 
 1a Posição 2a Posição 3a Posição 4a Posição 5a Posição 
Possibilidades 4 3 2 1 8 
 
 1234P!4P!nP 44n
números 24P4 
 
 
 
17) Com os algarismos 3, 5, 6 e 9, sem repetição, quantos números múltiplos de 3 podem ser formados? 
 
Um número múltiplo de 3 deve ser divisível por 3 e, para isso, a soma de seus algarismos deve ser divisível por 3. 
3 + 5 + 6 + 9 = 23 ... que não é divisível por 3. Nenhum número formado por esses algarismos é divisível por 3. 
 
 
18) Suponha que a senha de um determinado banco tenha dez dígitos, de 0 até 9, sem que nenhum seja repetido. O 
dono da conta esqueceu a senha, mas sabe que não há repetição de nenhum digito. Qual o número máximo de 
tentativas ele deve fazer para garantir que entre na conta? 
 
 12345678910P!10P!nP 1010n tentativas 3628800P10 
 
 
 
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b) Permutação com repetição 
 
Vamos considerar as permutações onde existe repetição de uma letra (ou número). Por exemplo, quantos anagramas 
diferentes existem com as letras da palavra PEIXE? 
Observe que temos duas letras E, e se aplicarmos 
!nP
n

, vamos contar duas vezes o mesmo anagrama, pois 
PE1IXE2 será contado e PE2IXE1 também. Por esse motivo devemos dividir o total das permutações (n!) por r! , onde r 
é o número de vezes que uma letra é repetida. Ficamos com: 
 
!r
!n
Prn 
 
 
19) Quantos anagramas diferentes existem com as letras da palavra PEIXE? 
 

!r
!n
Prn 
!2
!5
P25 


!2
!2345
P25
anagramas 60P25 
 
 
20) Quantos números diferentes podemos formar com os algarismos do número 157565? 
 
O número 5 se repete 3 vezes, r = 3 
 

!r
!n
Prn 
!3
!6
P36 


!3
!3456
P36
números 120P36 
 
 
Podemos ter repetição de mais de uma letra (ou número), por exemplo, a palavra MATEMÁTICA. 
Neste caso temos a letra M com 2 repetições (r1 = 2); a letra A com 3 repetições (r2 = 3) e a letra T com 2 repetições 
(r3 = 2). Nesta caso a fórmula seria: 
!r!r!r
!n
P
321
3r , 2r , 1r
n


 
 
21) Quantos anagramas diferentes existem com a palavra MATEMÁTICA? 
n = 10, r1 = 2, r2 = 3 e r3 = 2. 



!r!r!r
!n
P
321
3r , 2r , 1r
n



!2!3!2
!10
P 2 , 3 , 210 



2!32
!345678910
P 2 , 3 , 210
anagramas 151200P 2 , 3 , 2n 
 
 
22) Um amigo de alheio descobriu que a senha de um cidadão continha o número 4 duas vezes, o 7 três vezes e o 
número 9 uma vez. 
a) Quantas tentativas ele deve fazer, no máximo, para larapiar o cidadão do bem? 
b) Se ele demora5 s para digitar a senha uma vez, quanto tempo, no máximo, gastaria? 
c) Se ele conhece os números da senha, mas nenhum é repetido, qual o tempo máximo? 
 
a) Temos o número: 447779 
n = 6; para o digito 4 r1 = 2 e para o digito 7  r2 = 3. 



!r!r
!n
P
21
 2r , 1r
n



!3!2
!6
P 3 , 26 



!3!2
!3456
P 3 , 26
tentativas 60P 3 , 26 
 
 
b) Se demora 5 s em cada tentativa: 
 uma cada de tempo tentativas de númerot
 560t minutos 5s 300t 
 
 
c) Se sabe os números, e nenhum é repetido temos: 
 123456P!6P !nP 66n tentativas 720P6 
 
 uma cada de tempo tentativas de númerot  5720tt h 1s3600tt 
 
 
 
 
 
 
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Resolva os exercícios abaixo. 
 
23) Quantos anagramas diferentes existem com a palavra PARANAPIACABA que começam por A? 
 
24) De quantas maneiras diferentes um homem pode vestir-se tendo ele tem 20 camisas, 8 calças e 14 sapatos? 
 
25) Uma loira vai a um restaurante disposta a comer um só prato de peixe e uma só sobremesa. O cardápio oferece 
cinco pratos distintos de peixe e seis tipos diferentes de sobremesa. De quantas formas a loira pode fazer sua 
refeição, supondo que não esqueça que só pode comer um de cada? 
 
26) O Duarte, num final de semana, resolve ir visitar velhos amigos Campinas. Ele sairá de Santos, vai passar por São 
Paulo e seguirá viagem até Campinas. Suponha que nesse dia existam 3 rodovias funcionando, que ligam Santos a 
Sampa: a Imigrantes, a Anchieta e a estrada “velha” Caminho do Mar (SP-148). De Sampa até Campinas ele terá 
duas opções de rodovias: Bandeirantes e Anhanguera. De quantas maneiras diferentes Duarte pode fazer a viagem? 
 
27) Jogando-se uma moeda para cima ao cair, a face voltada para cima tem duas possibilidades, ser cara ou coroa. 
Lançando-se um dado a face voltada para cima tem seis possibilidades, ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Jogando-se ambos 
simultaneamente podemos obter o resultado de quantas maneiras diferentes? 
 
28) a) Quantos anagramas podemos obter com a palavra COISA? 
b) Quantos que comecem por SA? 
c) Quantos que terminem com O? 
 
29) Usando os algarismos 2, 4, 5, 7 e 9, sem repetição, quantos números divisíveis por 3 existem? 
 
30) Usando os algarismos 2, 4, 5, 7 e 8, sem repetição, quantos números ímpares existem? 
 
31) Quantos números diferentes podem ser formados com os algarismos do número 315911. 
 
32) Quantos anagramas diferentes podem ser formados com as letras da palavra ANATEL? 
 
33) Quantos anagramas diferentes podem ser feito com a palavra UNISANTA que comecem por A? 
 
34) Uma aluna da UNISANTA resolve num domingo, depois de estudar P&E, ir assistir um filme em um cinema. Ela 
está a fim de ver o filme A ou o filme B. Cada um deles está em cartaz em dois cinemas diferentes e cada um deles 
cinemas tem três sessões disponíveis às 18 h, às 20 h e às 22 h. De quantas maneiras diferentes ela pode assistir um 
dos filmes? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 23) 
anagramas 1995840P 2 , 512 
 - 24) 
esdifererent maneiras2240M
- 25) 
esdifererent formas30M
 - 
26) 
esdifererent maneiras6M
 - 27) 
diferentes maneiras12M
 - 28) 
anagramas120P5 
 ; 
anagramas6P3 
 ; 
anagramas24P4 
 - 29) 
números120P5 
 - 30) 
números48PTotal 
 - 31) 
números 120P36 
 - 
32) 
anagramas 360P26 
 - 33) 
anagramas 2520P27 
 - 34) 
diferentes maneiras 12M 
.