AULA 3 COMBINATORIA

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Prof. Duarte - Aula 3 página 1 
- Probabilidade e Estatística – Aula 3 Prof.: Duarte 
 
 
IV. Arranjos simples 
 
O número de arranjos simples de n elementos tomados p a p, com n e p naturais e n  p, é um número natural 
indicado por An,p, que corresponde ao número total de sequências de p elementos distintos, que podem ser 
construídas com n elementos dados. Observamos que como se trata de sequências, a ordem dos elementos 
diferencia duas sequências entre si, ou seja, a sequência 12 é diferente da sequência 21. 
 
(n-p)!
n!
A p,n 
 
 
Exemplos: 
 
1) Num baralho de 52 cartas, 4 cartas são tiradas sucessivamente e sem reposição. Quantas sequências de cartas 
são possíveis? 
 
Neste caso temos: n = 52 e p = 4. 
 
   






 49505152A
!48
!4849505152
A
!452
!52
A
!pn
!n
A 4,524,524,52p,n
 
 
sequências 6497400A 4,52 
 
 
2) Seis times sub-20 de futebol A, B, C, D, E e F disputam um torneio hexagonal, sendo que os dois primeiros se 
classificavam para as Olimpíadas. Quantas são as possibilidades para os dois primeiros lugares na classificação final? 
 
São 6 times (n = 6) para duas posições (p = 2). 
Importa a ordem, o primeiro lugar é o campeão. É arranjo! 
 
 




 56A
!4
!456
A
!26
!6
A 2,62,62,6
adespossibilid 30A 2,6 
 
 
3) Quantos são os números compreendidos entre 5000 e 6000 por algarismos distintos escolhidos entre 
{1,2,3,4,5,6,7}? 
 
O primeiro algarismo certamente é 5. Sobram 6 (n = 6) para 3 posições (p = 3). 
 
 




 456A
!3
!3456
A
!36
!6
A 3,63,63,6
números 120A 3,6 
 
 
4) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos do conjunto {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 
sem os repetir, de modo que: 
a) Os números comecem por 6. 
b) Os números comecem por 1 e terminem por 7. 
c) Os números comecem por 6 e sejam impares. 
 
a) Tem de começar por 6, logo sobram somente 9 algarismos (n = 9) para duas posições (p = 2). A ordem importa, 
então é Arranjo. 
 
   






 89A
!7
!789
A
!29
!9
A
!pn
!n
A 2,92,92,9p,n
algarismos 72A 2,9 
 
 
 
 
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b) Tem de começar por 1 e terminar por 7, logo sobram somente 8 algarismos (n = 8) para uma posição (p = 1). 
 
   







!7
!78
A
!18
!8
A
!pn
!n
A 1,81,8p,n
algarismos 8A 1,8 
 
 
c) Tem de começar por 6 e ser impar, sobram 8 algarismos (n = 8) para uma posição (p = 1). Teremos 
1,8A
para cada 
um dos cinco números ímpares (1,3,5,7,9), portanto o resultado será: 
1,8
A5R 
 
 




 85R
!7
!78
5R
!18
!8
5RA5R 1,8
algarismos 40R 
 
 
Pense ...... como ficaria este item se os números tivessem de começar por 5? 
 
5) “Seo” “Arnesto”, que mora no Brás, é um brilhante pintor de paredes. Ele foi convidado por “dona” Clementina para 
pintar uma sala, que tem 6 paredes. Para tal tarefa “dona” Clementina forneceu 8 latas de tintas de cores diferentes e 
queria que cada parede fosse pintada de uma cor, não podendo repetir a mesma cor em paredes diferentes. De 
quantas maneiras diferentes “seu” “Arnesto” pode cumprir a tarefa? 
 
Tintas de 8 cores diferentes, n = 8; 6 paredes diferentes, p = 6. 
 
 




 345678A
!2
!2345678
A
!68
!8
A 6,86,86,8
maneiras 20160A 6,8 
 
 
6) Sueca é um popular jogo de cartas, introduzido pelos portugueses no Brasil, onde duas duplas se enfrentam 
usando um baralho de 40 cartas, com os naipes de Ouros, Espadas, Copas e Paus, cada um deles contendo as 
cartas: A (Ás), 2, 3, 4, 5, 6, 7, V (Valete), D (Dama), R (Rei). Em cada “mão” da sueca os jogadores recebem dez 
cartas cada um. Quantas sequências de cartas são possíveis para um jogador? 
 
Temos: n = 40 e p = 10. 
 





!30
!3031323334353637383940
A
!1040
!40
A 10,4010,40
 
 
 31323334353637383940A 10,40
sequências 1008,3A 1510,40 
 
 
7) Tiago, o neto do Duarte, resolve brincar com seus carrinhos. Numa caixa A ele tem dez carrinhos diferentes e, em 
outra caixa B, cinco diferentes. Tiago pegou quatro carrinhos da caixa A e três da caixa B e fez uma fila com os sete 
carrinhos. Quantas possibilidades existem no total? 
 
Por ser uma fila a ordem importa, mudar a ordem seria mudar a fila, então é Arranjo. 
 
Caixa A temos: n = 10 e p = 4: 
 
5040A78910A
!6
!678910
A
!410
!10
A 4,104,104,104,10 




 
 
Caixa B temos: n = 5 e p = 3: 
 
60A345A
!2
!2345
A
!35
!5
A 3,53,53,53,5 




 
 
Tem de tirar carrinhos da caixa A E da caixa B, portanto o total será o produto dos Arranjos: 
 
 605040TAAT 3,54,10
adespossibilid 302400T 
 
 
Observação: se fosse simplesmente tirar carrinhos a ordem não iria importar, seria Combinação. 
 
 
 
 
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8) Um cadeado possui três discos distintos, todos eles marcados com os dígitos 0, 1, 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9. Para abrir o 
cadeado devemos alinhar os discos, formando um número de 3 algarismos. Se uma pessoa tentar abrir o cadeado, 
quantas tentativas, no máximo, deverá fazer para conseguir abri-lo? 
 
Os três discos são distintos. 
No primeiro disco temos n = 10 e p = 1: 
 





!9
!910
!110
!10
A 1,10
10A 1,10 
 
No segundo disco temos n = 10 e p = 1: 
 





!9
!910
!110
!10
A 1,10
10A 1,10 
 
No terceiro disco temos n = 10 e p = 1: 
 





!9
!910
!110
!10
A 1,10
10A 1,10 
 
 
Tem de acertar o primeiro número E o segundo E o terceiro, portanto o número máximo de tentativas será: 
 
 101010T tentativas 1000T 
 
 
 
 
 
V. Combinações simples 
 
O número de combinações simples de n elementos tomados p a p, com n e p naturais e n  p, é um número natural 
indicado por Cn,p ou 






p
n
, corresponde ao número total de subconjuntos de p elementos, escolhidos dentre os n 
elementos dados. É calculado por: 
p!p)!(n
n!
p!
A
p
n
C
p,n
p,n








 
 
Observamos que com se trata de subconjuntos, a ordem dos elementos não é considerada para a contagem das 
combinações distintas, ou seja, o subconjunto AB é o mesmo que BA. 
 
Essa é a diferença entre Arranjo e Combinação. No Arranjo importa a ordem dos elementos e na Combinação 
não importa a ordem. 
 
 
Exemplos: 
 
9) Um grupo de 10 jogadores de truco quer fazer um campeonato. Quantas duplas diferentes podem ser formadas? 
 
Não importa a ordem, a dupla jogador A e B é a mesma jogador B e A. É Combinação. 
 
n = 10 e p = 2 
 











12
910
C
!2!8
!8910
C
!2)!210(
!10
C
p!p)!(n
n!
C 2,102,102,10p,n
duplas 45C 2,10 
 
 
10) Quantas comissões de 4 alunos podem ser formadas com 6 alunos? 
 
Formar uma comissão significa escolher 4 pessoas não importando a ordem, portanto é Combinação. n = 6 e p = 4. 
 











12
56
C
!4!2
!456
C
!4)!46(
!6
C
p!p)!(n
n!
C 4,64,64,6p,n
comições 15C 4,6 
 
 
 
 
 
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11) Uma empresa tem 7 engenheiros e 5 engenheiras. O diretor da empresa pediu que formassem uma comissão 
com 4 engenheiros e 3 engenheiras, para discutirem qual o índice de aumento do dissídio. Calcule quantas comissões 
poderiam ser formadas. 
 
Engenheiros: de 7 (n = 7) pode escolher 4 (p = 4). 
 
 










123
567
!4!3
!4567
!4!47
!7
C
p!p)!(n
n!
C 4,7p,n
35C 4,7 
 
 
Engenheiras: de 5 (n = 5) pode escolher 3 (p = 3). 
 
 
 











12
45
!3!2
!345
!3!35
!5
C
p!p)!(n
n!
C 3,5p,n
10C 3,5 
 
 
Tem de escolher 4 engenheiros E 3 engenheiras, portanto é o produto. 
 
 1035T comições 350T 
 
 
12) Um clube tem 21 garotos atletas, sendo que 10 jogam futsal e 11 jogam voleibol. Como o clube vai participar de 
um torneio de futsal (cinco jogadores) e outro de voleibol (seis jogadores) deve formar um time de cada. Sabendo que 
no de futsal deve ter 3 reservas e no de voleibol 4 reservas, determine quantos times diferentes poderão ser 
formados. 
 
Futsal: n = 10 e p = 8. 
 









12
910
!8!2
!8910
!8!810
!10
C 8,10
45C 8,10 
 
 
Voleibol: n = 11 e p = 10. 
 
 






1
11
!10!1
!1011
!10!1011
!11
C 10,11
11C 10,11 
 
 
Tem de formar o time de Futsal E o de Voleibol, o total T vai ser o produto dos dois. 
 1145T times 495T 
 
 
13) Um professor propôs, para uma de suas turmas, uma prova com 7 questões, das quais cada aluno deveria 
escolher exatamente 5 questões para responder. Sabe-se que não houve duas escolhas das mesmas 5 questões 
entre todos os alunos da turma. Logo, qual o número máximo de alunos que essa turma poderia possuir? 
 
Temos: n = 7 e p = 5. 
 
 









12
67
!5!2
!567
!5!57
!7
C 5,7
alunos 21C 5,7 
 
 
14) Uma caixa contém 10 bolas brancas e 6 pretas. De quantos modos é possível tirar 7 bolas das quais pelo menos 4 
bolas sejam pretas? 
 
1o caso 6 bolas pretas e 1 branca. 
6 Pretas – 
 





1
1
!6!0
!6
!6!66
!6
C 6,6
1C 6,6 
 
1 Branca – 
 






1
10
1!9
!910
!1!110
!10
C 1,10
10C 1,10 
 
 
Total 1 (T1): 
 101T1 10T1 
 
 
 
 
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2o caso 5 bolas pretas e 2 brancas. 
5 Pretas – 
 






1
6
!5!1
!56
!5!56
!6
C 5,6
6C 5,6 
 
2 Brancas – 
 








2
910
!2!8
!8910
!2!210
!10
C 2,10
45C 2,10 
 
 
Total 2 (T2): 
 456T2 270T2 
 
 
3o caso 4 bolas pretas e 3 brancas. 
4 Pretas – 
 






2
30
!4!2
!456
!4!46
!6
C 4,6
15C 4,6 
 
 3 Brancas – 
 









123
8910
!3!7
!78910
!3!310
!10
C 3,10
120C 3,10 
 
 
Total 3 (T3): 
 12015T3 1800T3 
 
 
Acontece o 1o caso OU o 2o caso OU o 3o caso, portanto é a soma dos três: 
 
 180027010TTTTT 321
modos 2080T 
 
 
15) Em um jogo de truco, usando um baralho de 40 cartas (sem os 8, 9 e 10), foram dadas 3 cartas a um jogador. De 
quantas formas esse jogador receberá pelo menos um Ás? 
 
Número total de combinações: Todas as cartas: n = 40 e p = 3. 
 
 









123
383940
!3!37
!37383940
!3!340
!40
C 3,40
9880C 3,40 
 
 
Número de combinações que não tem Ás. Total das cartas menos os Ases: n = 36 e p = 3. 
 
 









123
343536
!3!33
!33343536
!3!336
!36
C 3,36
7140C 3,36 
 
 
Para determinarmos a resposta devemos subtrair o total das combinações possíveis das combinações onde não 
aparece pelo menos um Ás. 
 
 3,363,40 CCR
 71409880R formas 2740R 
 
 
 
 
Resolva os exercícios: 
 
16) Seis times de futebol A, B, C, D, E e F disputam um torneio hexagonal, sendo que os quatro primeiros se 
classificam para o Campeonato Mundial. Quantas são as possibilidades para os quatro primeiros lugares na 
classificação final? 
 
17) Quantos conjuntos com 3 letras diferentes, podemos fazer usando as letras da palavra HANDEBOL? 
 
18) Quantos números de 4 algarismos podem ser formados por 1,2,3,5 e 8 ? 
 
19) Quantos são os números compreendidos entre 2000 e 3000 formados por algarismos distintos escolhidos entre 
1,2,3,4,5,6,7,8 e 9? 
 
20) Numa reunião com 7 rapazes e 6 moças, quantas comissões podemos formar com 4 rapazes e 3 moças? 
 
 
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21) Você vai a uma festa onde são oferecidas 6 bebidas diferentes. Para não ficar digamos, alterado, resolve tomar 
uma só, de 3 bebidas diferentes. De quantas maneiras diferentes você pode combinar as bebidas? 
 
22) Em uma sacola há 20 balas de mesma dimensão: 4 são de café e as restantes de morango. Uma criança retira 4 
balas. Calcule o número de maneiras que se pode extrair um conjunto de 4 balas desta sacola de modo que haja pelo 
menos uma de café dentre elas. 
 
23) De quantas maneiras podemos dispor 4 homens e 4 mulheres formando um fila, de modo que não fiquem juntos 2 
homens e 2 duas mulheres. 
 
24) De quantas formas podemos escolher 4 cartas de um baralho de 40 cartas (Copas, Ouros, Espadas e Paus) não 
levando em conta a ordem delas, de modo que em cada escolha haja pelo menos uma carta de Copas? 
 
25) As placas de automóveis e caminhões no Brasil são formadas por 3 letras (de um total de 26 letras) e 4 
algarismos. Lembrando que pode haver repetição de símbolos, quantas placas diferentes podem ser formadas? 
 
1a Letra 2a Letra 3a Letra 1o Num. 2o Num. 3o Num. 4o Num. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16) 
possib. 360A 4,6 
– 17) 
conjuntos 56C 3,8 
– 18) 
algarismos 120A 4,5 
 – 19) 
números 336A 3,8 
– 
20) 
comições 700R 
– 21) 
maneiras 20C 3,6 
– 21) 
maneiras 20C 3,6 
– 22) 
maneiras 3025R 
 – 
23) 
maneiras 1152R 
 – 24)
formas 63985R 
 – 25) 
placas 107576,1R 8
.