Primeira Parte da Matéria (P1)

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Testes de Convergência para Termos Positivos 
* Se uma série ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 converge entao lim
𝑛→ +∞
𝑎𝑛 = 0 
** Se sabemos apenas que lim
𝑛→ +∞
𝑎𝑛 = 0 então nada podemos falar sobre a convergência da serie. 
 
1. A Série Geométrica ∑ 𝑎𝑟𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟² + 𝑎𝑟³+ . . .∞𝑛=0 converge para a soma 
𝑎
1−𝑟
 se |𝑟| < 1 e 
diverge se |𝑟| ≥ 1. 
 
2. A Série-P ∑
1
𝑛𝑝
∞
𝑛=1 diverge se 𝑝 ≤ 1 e converge se 𝑝 > 1. 
 
3. A Série Telescópica ∑ ( 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛+1 )
∞
𝑛=1 converge se lim
𝑛→ +∞
𝑎𝑛+1 existe. 
 
4. Teste da Divergência: Se lim
𝑛→ +∞
𝑎𝑛 ≠ 0, então a série infinita ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 é divergente. 
 
5. Teste da Integral: Seja 𝑓 uma função contínua, decrescente e positiva para todo 𝑥 ≥ 1. 
Sendo 𝑎𝑛 = 𝑓 (𝑛): 
(i) se ∫ 𝑓(𝑥)
∞
𝑎
𝑑𝑥 converge então ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=𝑎 converge. 
(ii) se ∫ 𝑓(𝑥)
∞
𝑎
𝑑𝑥 diverge então ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=𝑎 diverge. 
 
6. Teste da Comparação: Sejam ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 e ∑ 𝑏𝑛
∞
𝑛=1 com 0 < 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛, para todo n. 
(i) se ∑ 𝑏𝑛
∞
𝑛=1 converge então ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 converge. 
(ii) se ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 diverge então ∑ 𝑏𝑛
∞
𝑛=1 diverge. 
Em geral 𝑏𝑛 será uma Série-P ou Série Geometrica 
 
7. Teste de Comparação por Limite: Sejam ∑ 𝑢𝑛
∞
𝑛=1 e ∑ 𝑣𝑛
∞
𝑛=1 , duas séries de termos positivos. 
(i) se lim
𝑛→ +∞
𝑢𝑛
𝑣𝑛
= 𝑐 > 0, então ambas as séries covergem, ou ambas divergem. 
(ii) se lim
𝑛→ +∞
𝑢𝑛
𝑣𝑛
= 0 e se ∑ 𝑣𝑛
∞
𝑛=1 converge então ∑ 𝑢𝑛
∞
𝑛=1 converge. 
(iii) se lim
𝑛→ +∞
𝑢𝑛
𝑣𝑛
= +∞ e se ∑ 𝑣𝑛
∞
𝑛=1 diverge então ∑ 𝑢𝑛
∞
𝑛=1 diverge. 
 
Testes de Convergencia para Termos Não Positivos 
8. Teste de Séries Alternadas ou Teste de Leibniz: Seja ∑(−1)𝑛 𝑎𝑛 com 𝑎𝑛 > 0 para todo 𝑛. 
(i) se 𝑎𝑛+1 ≤ 𝑎𝑛, ou seja, {𝑎𝑛} decrescente 
(ii) e lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 0 
Então a série converge. 
 
9. Teste da Razão ou Teste de d’Alembert: Seja ∑ 𝑢𝑛
∞
𝑛=1 uma série. Então: 
(i) se lim
𝑛→+∞
 |
𝑢𝑛+1
𝑢𝑛
| = 𝐿 < 1, a série é absolutamente convergente; 
(ii) se lim
𝑛→+∞
 |
𝑢𝑛+1
𝑢𝑛
| = 𝐿 > 1 ou lim
𝑛→+∞
 |
𝑢𝑛+1
𝑢𝑛
| = +∞, a serie é divergente; 
(iii) se lim
𝑛→+∞
 |
𝑢𝑛+1
𝑢𝑛
| = 1 , nenhuma conclusão podemos tirar quanto à convergência da série. 
 
 
 
10. Teste da Raiz ou Teste de Cauchy: Seja ∑ 𝑢𝑛
∞
𝑛=1 uma série. Então: 
(i) se lim
𝑛→+∞
 √|𝑢𝑛|
𝑛
= 𝐿 < 1, a série é absolutamente convergente; 
(ii) se lim
𝑛→+∞
 √|𝑢𝑛|
𝑛
= 𝐿 > 1 ou lim
𝑛→+∞
 √|𝑢𝑛|
𝑛
= +∞, a série é divergente; 
(iii) se lim
𝑛→+∞
 √|𝑢𝑛|
𝑛
= 1, nenhuma conclusão podemos tirar quanto à convergência da série. 
 
11. Convergência Absoluta e Convergência Condicional: Seja ∑ 𝑢𝑛
∞
𝑛=1 uma série. Então: 
(i) se ∑ |𝑢𝑛|
∞
𝑛=1 converge ela é dita absolutamente convergente. Automaticamente, a série 
∑ 𝑢𝑛
∞
𝑛=1 também converge. 
(ii) se ∑ |𝑢𝑛|
∞
𝑛=1 não converge mas ∑ 𝑢𝑛
∞
𝑛=1 converge ela é dita condicionalmente 
convergente. 
 
Estrategia para Testar Séries 
1. Se a série for da forma ∑
1
𝑛𝑝
, ela é urna p-série, que sabemos ser convergente se 𝑝 > 1 e 
divergente se 𝑝 ≤ 1. 
 
2. Se a série tiver a forma ∑𝑎𝑟𝑛−1 ou ∑𝑎𝑟𝑛 , ela é uma série geométrica, que converge se |𝑟| < 1 e 
diverge se |𝑟| ≥ 1. Algumas manipulações algébricas podem ser necessárias para deixar a série 
dessa forma. 
 
3. Se a série tiver uma forma similar a uma p-série ou a uma série geométrica, então um dos testes 
de comparação deve ser considerado. Em particular, se 𝑎𝑛 for uma função racional ou urna função 
algébrica de 𝑛 (envolvendo raízes de polinômios), a série deve ser comparada com urna p-série. Os 
testes de comparação se aplicam apenas a séries com termos positivos, mas, se ∑𝑎𝑛 tiver alguns 
termos negativos, então poderemos aplicar o Teste da Comparação em ∑|𝑎𝑛| e testar a 
convergência absoluta. 
 
4. Se você vir que lim
𝑛→ +∞
𝑎𝑛 ≠ 0, o Teste para Divergência deve ser usado. 
 
5. Se a série for da forma ∑(−1)𝑛−1 𝑏𝑛 ou ∑(−1)
𝑛 𝑏𝑛 então o Teste da Série Alternada é 
uma possibilidade óbvia. 
 
6. Séries que envolvem fatoriais ou outros produtos (incluindo uma constante elevada à n-ésima 
potência) são com frequência testadas convenientemente usando-se o Teste da Razão. Tenha em 
mente que 
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
→ 1 quando 𝑛 → ∞ para todas as p-séries, e portanto todas as funções racionais ou 
algébricas de n. Então. o Teste da Razão não deve ser usado para tais séries. 
 
7. Se 𝑎𝑛 for da forma (𝑏𝑛)
𝑛, o Teste da Raiz pode ser útil. 
 
8. Se 𝑎𝑛 = 𝑓(𝑥), onde ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
1
 é facilmente calculada, então o Teste da Integral é eficaz (satisfeita 
as hipóteses para este teste). 
 
 
 
 
Encontrando a Representação de Uma Função como Série de Potências 
Existem três formas: 
 
1) Através de série de Taylor 
1º passo: Expandir a série de Taylor até se encontrar um padrão de repetição 
2º passo: Tomar a derivada de cada termo expandido 
3º passo: Substituir os valores encontrados na fórumla da Série de Taylor 
4º passo: Escrever a série de potências correspondente à série de Taylor encontrada. 
 
2) Através da derivação/integração de uma série conhecida 
ex: representação de 𝑐𝑜𝑠(𝑥) como série de potências 
Sabemos que 𝑐𝑜𝑠(𝑥) é a derivada de 𝑠𝑒𝑛(𝑥). Basta entao derivar a série de potencias 
correspondente à 𝑠𝑒𝑛(𝑥) que encontraremos a série para 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
 
3) Através da multiplicação/divisao de um termo por uma série conhecida 
ex: representação de 𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑥) como série de potências 
Se sabemos a série de potências referente ao 𝑐𝑜𝑠(𝑥), basta multiplicar ela por x para encontrarmos 
a serie correspondente ao 𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
 
Serie de Potências - Receita para Encontrar o Intervalo de Convergência 
Uma série de potências é uma série da forma: 
∑ 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)
𝑛 = 𝑐0 + 𝑐1(𝑥 − 𝑎)
2 + 𝑐3(𝑥 − 𝑎)
3 + ⋯ + 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)
𝑛
∞
𝑛=0
 
Para uma serie de potências existem apenas três possibilidades com relação à convergencia: 
(i) A série converge apenas quando 𝑥 = 𝑎. 
(ii) A série converge para todo 𝑥. 
(iii) Existe um número positivo 𝑅 tal que a série converge se |𝑥 − 𝑎| < 𝑅 e 
diverge se|𝑥 − 𝑎| > 𝑅. Damos o nome de raio de convergência ao valor 𝑅. 
 
Encontrando o intervalo de convergencia 
1º passo: Utilizar o teste da Razao ou o teste da Raiz. 
lim
𝑛→+∞
 |
𝑢𝑛+1
𝑢𝑛
| ou lim
𝑛→+∞
 √|𝑢𝑛|
𝑛
 
 
2º passo: Analisar o resultado do teste 
i) Se o teste deu um número > 1, então a série converge apenas quando 𝑥 = 0. 
O raio de convergencia neste caso é 𝑹 = 𝟎. 
ii) Se o teste deu um número < 1, então a série converge para todo x. 
O raio de convergencia neste caso é 𝑹 = ∞. 
iii) Se o teste deu uma inequaçao do tipo |𝑥 − 𝑎| < 1, então basta apenas resolver a 
inequação. 
O raio de convergência neste caso é 𝑹 = 𝟏 + 𝒂 
O intervalo de convergência será −𝟏 + 𝒂 < 𝒙 < 𝟏 + 𝒂 
 
 
 
3º passo: Testar a convergência/divergência nas extremidades do intervalo 
(i) Substituir na serie original as extremidades encontradas no passo anterior. 
(ii) Utilizar o teste da Comparação, da Integral ou da Serie Alternada para descobrir se 
aquelas extremidades convergem ou divergem. 
 
Serie de Potências - Derivação e Integração e Séries de Taylor 
Se a serie de potências ∑ 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)
𝑛∞
𝑛=0 tiver um raio de convergência 𝑅 > 0, então fazemos 
𝑓(𝑥) = 𝑐0 + 𝑐1(𝑥— 𝑎) + 𝑐2(𝑥— 𝑎)
2 + ⋯ = ∑ 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)
𝑛
∞
𝑛=0
 
E a derivada e integral da série serão dadas por: 
𝑓′(𝑥) = 𝑐1 + 2𝑐2(𝑥— 𝑎) + 3𝑐3(𝑥— 𝑎)
2 + ⋯ = ∑ 𝑛𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)𝑛−1
∞
𝑛=0
 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐶 + 𝑐0(𝑥 − 𝑎) + 𝑐1
(𝑥 − 𝑎)²
2
+ ⋯ = ∑ 𝑐𝑛
(𝑥 − 𝑎)
𝑛 + 1
𝑛+1
+ 𝐶
∞
𝑛=0
 
O raio de convergencia continua sendo R. 
* Prestar atençao! Na derivada há o deslocamento do índice. 
 
Chama-se série de Taylor de f no ponto a a série de potências 
𝑓(𝑥) = ∑
𝑓(𝑛)(𝑎)
𝑛!
(𝑥 − 𝑎)𝑛 = 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) +
𝑓′′(𝑎)
2!
(𝑥 − 𝑎)2 + ⋯ +
𝑓(𝑛)(𝑎)
𝑛!
(𝑥 − 𝑎)𝑛 + ⋯
∞
𝑛=0
 
 
Quando 𝑎 = 0 chamamos de série de Mac-Laurin de 𝒇 
∑
𝑓(𝑛)(0)
𝑛!
𝑥𝑛
∞
𝑛=0
= 𝑓(0) + 𝑓′(0)𝑥 +
𝑓′′(0)
2!
𝑥2 + ⋯ +
𝑓(𝑛)(0)
𝑛!
𝑥𝑛 + ⋯ 
 
Se 𝑓(𝑥) pode ser representado como uma serie de potências então 
𝑎𝑛 =
𝑓(𝑛)(𝑎)
𝑛!
 
 
Série em Ponto Ordinário - Solução por Séries de Potência 
Seja a equação 
𝐴(𝑥)𝑦" + 𝐵(𝑥)𝑦′ + 𝑋(𝑥)𝑦 = 0 
 
Dividindo tudo por 𝐴(𝑥) temos 
𝑃(𝑥) =
𝐵(𝑥)
𝐴(𝑥)
 e 𝑄(𝑥) =
𝐶(𝑥)
𝐴(𝑥)
 
 
Se 𝐴(𝑥0) ≠ 0 dizemos que 𝑥0 é ponto ordinário, e que as funções 𝑃(𝑥) e 𝑄(𝑥) sao analíticas em 𝑥0. 
Se 𝐴(𝑥0) = 0O dizemos que 𝑥0 é um ponto singular. 
 
 
 
Pelo teorema do ponto ordinário, existem duas soluções linearmente independentes da forma 
𝑦 = ∑ 𝑎𝑛(𝑥— 𝑥0)
𝑛
∞
𝑛=0
 
e o raio de convergência é dado pela diferença entre o ponto ordinario utilizado e o ponto singular 
mais proximo. 
 
1º passo: Checar se o ponto utilizado é mesmo um ponto ordinario. Para facilitar os cálculos, em 
geral utiliza-se 𝑥0 = 0. 
2º passo: Dizemos que a solução da equaçao é da forma: 
𝑦 = ∑ 𝑎𝑛(𝑥— 𝑥0)
𝑛
∞
𝑛=0
 
𝑦′ = ∑ 𝑎𝑛(𝑛)(𝑥— 𝑥0)
𝑛−1
∞
𝑛=1
= ∑ 𝑎𝑛+1(𝑛 + 1)(𝑥— 𝑥0)
𝑛
∞
𝑛=0
 
𝑦′′ = ∑ 𝑎𝑛(𝑛)(𝑛 − 1)(𝑥— 𝑥0)
𝑛−2
∞
𝑛=2
= ∑ 𝑎𝑛+2(𝑛 + 2)(𝑥— 𝑥0)
𝑛
∞
𝑛=0
 
 
3º passo: Substituir 𝑦′ e 𝑦" na equaçao do "enunciado". Atenção com o indice das derivadas! 
4º passo: Trabalhar algebricamente com as equações para juntar os coeficientes de (𝑥 − 𝑥0)
𝑛 em 
um único coeficiente 𝑆(𝑥) colocando (𝑥 − 𝑥0)
𝑛 em evidencia. 
5º passo: Achar a relação de recorrência. Para isso fazemos 𝑆(𝑥) = 0 e isolamos o termo 𝑎𝑛 de 
maior índice. Logo após, escrevemos os termos da relação de recorrência começando por 𝑛 = 0 e 
buscamos identificar um padrão. Dica: escrever os índices pares e impares separadamente. 
6º passo: Escrever o padrão encontrado na forma de serie. 
7º passo: Escrever a soluçao na forma: 
𝑦 = ∑ 𝑎𝑛𝑥
𝑛 = 𝑎0𝑦1(𝑥) + 𝑎1𝑦2(𝑥)
∞
𝑛=0
 
Atenção! Os valores 𝑎0 e 𝑎1 são dados pelas condições iniciais: 𝐴0 = 𝑦 (𝑥0) e 𝐴1 = 𝑦′(𝑥0) 
 
Série em Ponto Singular Regular – Equações de Euler 
As Equações de Euler são equações diferenciais da forma 
𝐿[𝑦] = 𝑥²𝑦′′ + 𝑎𝑥𝑦′ + 𝑏𝑦 = 0 
Onde 𝑎 e 𝑏 são coeficientes constantes. 
 
Encontrando as soluções da equação 
1º passo: Dizemos que a equação tem uma solução do tipo. 
𝑦 = 𝑥𝑟 
2º passo: Determinar 𝑦’ e 𝑦’’. 
𝑦′ = 𝑟𝑥𝑟−1 
𝑦‘’ = 𝑟(𝑟 — 1)𝑥𝑟−2 
3º passo: Substituir 𝑦’ e 𝑦’’ na equação e determinar as raizes 𝑟1 e 𝑟2 
 
 
Após descobrir as raizes, teremos 3 casos diferentes: 
 
RAÍZES REAIS E DISTINTAS 
𝑦1(𝑥) = 𝑥
𝑟1 𝑒 𝑦2(𝑥) = 𝑥
𝑟2 
𝑦(𝑥) = 𝑐1𝑥
𝑟1 + 𝑐2𝑥
𝑟2 𝑐𝑜𝑚 𝑥 > 0 
 
RAÍZES IGUAIS 
𝑦1(𝑥) = 𝑥
𝑟1 𝑒 𝑦2(𝑥) = 𝑥
𝑟2𝑙𝑛𝑥 
𝑦(𝑥) = (𝑐1 + 𝑐2 𝑙𝑛𝑥)𝑥
𝑟1 𝑐𝑜𝑚 𝑥 > 0 
 
RAÍZES COMPLEXAS 
Suponha que as raízes são complexas conjugadas, digamos, 𝒓𝟏 = 𝜶 + 𝜷𝒊 e 𝒓𝟐 = 𝜶 − 𝜷𝒊, com β≠ 0 
𝑦(𝑥) = 𝑐1𝑥
𝛼 cos(𝛽 𝑙𝑛𝑥) + 𝑐2𝑥
𝛼 sen(𝛽 𝑙𝑛𝑥) 𝑐𝑜𝑚 𝑥 > 0 
 
 
Transformadas de Laplace - Receita para Resolução do PVI 
A transformada de Laplace de 𝑓(𝑥), designada por 𝐿{𝑓(𝑥)} ou 𝐹(𝑠) é: 
𝐿{𝑓(𝑥)} = 𝐹(𝑠) = ∫ 𝑒−𝑠𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
0
 
Só existe transformada de uma funçao 𝑓(𝑥) caso o seguinte limite exista: 
lim
𝑅→∞
∫ 𝑒−𝑠𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑅
0
 
Em geral, utiliza-se a integração por partes para resolver as integrais. 
 
Propriedades das Transformadas de Laplace 
(i) 𝐿{𝑐1𝑓(𝑥) + 𝑐2𝑔(𝑥)} = 𝑐1𝐿{𝑓(𝑥)} + 𝑐2𝐿{𝑔(𝑥)} = 𝑐1𝐹(𝑠) + 𝑐2𝐺(𝑠) 
(ii) 𝐿{𝑒𝑎𝑥𝑓(𝑥)} = 𝐹(𝑠 — 𝑎) 
(iii) 𝐿{𝑥𝑛𝑓(𝑥)} = 𝑥𝑛−1
𝑑𝑛
𝑑𝑠𝑛
[𝐹(𝑠)] 
 
Encontrando a solução para Problemas de Valor Inicial (PVI) 
Antes de tudo, é necessário garantir duas condições para que a transformada de uma função exista: 
(i) a funçao deve ser seccionalmente contínua (contínua por partes) 
(ii) a função deve ser de ordem exponencial (limitada por uma exponencial) 
 
1º passo: Calcular a transformada de Laplace da equação diferencial, utilizando 
𝐿{𝑦(𝑥)} = 𝑌(𝑠) 
𝐿′{𝑦(𝑥)} = 𝑠𝑌(𝑠) — 𝑐0 
𝐿′′{𝑦(𝑥)} = 𝑠2𝑌 (𝑠)— 𝑐0𝑠 — 𝑐1 
para expressar 𝐿{𝑦’’} e 𝐿{𝑦’} em funçao de 𝑌(𝑠) 
 
 
 
2º passo: Substituir os valores de 𝑐0 e 𝑐1 dados pelas condições iniciais, onde 
𝑦(0) = 𝑐0, e 𝑦′(0) = 𝑐1 
3º passo: Resolver para 𝑌(𝑠) 
Neste passo geralmente caímos numa fração de polinômios. Para resolver este problema, 
utilizamos fraçoes parciais de modo a separar a fraçao em funções familiares que saibamos 
a transformada. 
4º passo: Encontrar a inversa da transformada, pois sabemos que 
𝐿−1{ 𝑌(𝑠) } = 𝑦(𝑥) 
 
Transformadas de Laplace - Função Degrau e Delta de Dirac 
Função Degrau: A função degrau unitário é definida e denotada por: 
𝑢𝑐(𝑡) = {
0, 𝑡 < 𝑐, 𝑐 ≥ 0
1, 𝑡 ≥ 0 
 
A transformada de Laplace da função degrau 𝑢𝑐 é: 
𝐿{𝑢𝑐(𝑡)} =
𝑒−𝑠𝑐
𝑠
, 𝑠 > 0 
Utilizamos a função degrau quando queremos escrever uma função com "salto" (𝑔). Essa função (𝑔) 
pode ser obtida pela translação de uma função conhecida (𝑓). 
 
Podemos escrever 𝑔 usando a função 𝑓 e a função degrau 
𝑔(𝑡) = 𝑢𝑐(𝑡) 𝑓(𝑡 — 𝑐) = {
0, 𝑡 < 𝑐
𝑓(𝑡 − 𝑐), 𝑡 ≥ 𝑐
 
 
Teorema do Deslocamento em t 
Se a função 𝑓(𝑡) sofre um deslocamento de 𝑐 unidades então sua transformada é alterada por um 
fator multiplicativo 𝑒−𝑐𝑠: 
𝐿{𝑢𝑐(𝑡) 𝑓(𝑡 — 𝑐)} = 𝑒
−𝑐𝑠 𝐿{𝑓(𝑡)} = 𝑒−𝑐𝑠𝐹(𝑠) 
Reciprocamente, se 𝑓(𝑡) = 𝐿−1{𝐹(𝑠)}, então 
𝐿−1{𝑒−𝑐𝑠 𝐹(𝑠)} = 𝑢𝑐(𝑡) 𝑓(𝑡 — 𝑐) 
 
Teorema do Deslocamento em s 
Se multiplicamos a função 𝑓(𝑡) por 𝑒−𝑐𝑠 sua transformada sofre um deslocamento em 𝑐 unidades; 
𝐿{𝑒𝑐𝑡 𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠 — 𝑐) 
Reciprocamente, se 𝑓(𝑡) = 𝐿−1{𝐹(𝑠)}, então 
𝑒𝑐𝑡 𝑓(𝑡) = 𝐿−1{𝐹(𝑠 − 𝑐)} 
 
 
Delta de Dirac: É utilizado para definir funções de impulso unitário e tem as seguintes 
propriedades: 
 𝛿𝑎(𝑡) ≠ 0, 𝑡 ≠ 𝑎 
∫ 𝛿𝑎(𝑡) 𝑑𝑡 = 1
∞
0
 
∫ 𝑔(𝑡) 𝛿𝑎(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑔(𝑎)
∞
0
 
𝐿{𝛿𝑎(𝑡)} = 𝑒
−𝑠𝑎 
Notação: 𝛿(𝑡) = 𝛿0(𝑡)