AULA 4 MF

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Matemática Financeira – Alexandre Braz (4ª NOTA DE AULA – 2018.2) 1 
 
5- CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
 
É aquela em que a taxa de juros incide sobre o capital inicial, acrescido dos 
juros acumulados até o período anterior. O comportamento de variação da taxa 
é exponencial. 
 
5.1 – Noções de Progressão Geométrica 
 
Progressão Geométrica é toda seqüência de números em que a divisão de cada 
um dos seus termos, a partir do segundo, pelo termo imediatamente anterior, 
resulta num valor constante. Esse valor constante é chamado razão da PG e é 
representado pela letra q. 
 
Se q > 1, a PG é crescente. 
Se q < 1, a PG é decrescente. 
Se q = 1, a PG é constante. 
 
Sendo a1 o primeiro termo, an o último termo e q a razão de uma PG, pode-se 
estabelecer que: 
 
a1 = a1 
a2 = a1 . q 
a3 = a2 . q = a1 . q .q = a1 . q2 
a4 = a3 . q = a1 . q2 . q = a1 . q3 
..... 
an = an-1 . q = a1 . qn-2 . q = a1 . qn-1  valor do “enésimo” termo ou fórmula 
do termo geral (de uma PG). 
 
5.2 – Noções sobre potências 
 
Define-se como potência a expressão an, onde a variável a, chamada base da 
potência, é um numero real qualquer, e em que a variável n, chamada 
expoente, é um número inteiro ou fracionário. A seguir, algumas propriedades 
das potências: 
 
- a0 = 1 
- am . an = am+n 
- (a . b)n = an . bn 
- (an)m = an.m 
- 1/ an = a-n 
- an / am = an-m 
- (a / b)n = an / bn 
 
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5.3 – Noções sobre radicais 
Entende-se por radical o símbolo \/¯ , sendo a expressão 
n a
 lida como raiz 
enésima de a; n é um número inteiro chamado índice do radical e a é um 
número real positivo chamado radicando. A seguir, algumas propriedades dos 
radicais: 
- 
n a
 = a1/n 
- 
n ma
 = am/n 
 
5.4 – Noções sobre logaritmos 
 
 A expressão logba = c lê-se o logaritmo de a na base b é igual a c, o que 
significa bc = a. A seguir, algumas propriedades de logaritmo: 
 
- log (A . B) = log A + log B 
- log (A / B) = log A – log B 
- log an = n . log a 
- logc a / logc b = logb a 
 
5.5 – Montante a juros compostos 
 
Para se calcular o montante a juros compostos é necessário que se calcule o 
valor dos juros a cada período de capitalização, pois a base de cálculo é 
mutante, isto é, os juros do período seguinte são calculados sobre o capital e os 
juros acumulados dos períodos anteriores. Para demonstrar o cálculo dos juros 
e consequentemente do valor do montante utilizaremos um exemplo, com base 
nos conhecimentos de juros simples, para deduzir a fórmula do montante pela 
capitalização composta. 
 
ex.: Calcular o montante de um capital de $ 1.000,00, aplicado a taxa de 4% 
ao mês, durante 4 meses. 
 
mês Capital no início do 
mês (Ct) 
Juros correspondentes ao 
mês (Jt) 
montante no final do 
mês (Mt) 
1 1.000,00 1.000,00 x 0,04 = 40,00 1.040,00 
2 1.040,00 1.040,00 x 0,04 = 41,60 1.081,60 
3 1.081,60 1.081,60 x 0,04 = 43,26 1.124,86 
4 1.124,86 1.124,86 x 0,04 = 45,00 1.169,86 
 
M0 = 1.000,00 
 
M1 = 1000 + 0,04 x 1000 = 1000 (1+0,04) = 1000 (1,04)1 
 
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M2 = 1000 (1,04) + 0,04 x 1000 (1,04) = 1000 (1,04) (1,04) = 1000 (1,04)2 
 
M3 = 1000 (1,04)2 + 0,04 x 1000 (1,04)2 = 1000 (1,04)2 (1,04) = 1000 (1,04)3 
 
M4 = 1000 (1,04)3 + 0,04 x 1000 (1,04)3 = 1000 (1,04)3 (1,04) = 1000 (1,04)4 
 
No final, M4 = C (1,04)4, como (1,04)4 = 1,16986 => M4 = 1.169,86. 
Substituindo os números do exemplo pela simbologia correspondente, temos 
que: 
 
Mn = C (1 + i )n, ou simplesmente M = C(1 + i )n 
 
A definição de montante na capitalização composta é a mesma do regime de 
juros simples, ou seja, trata-se de um valor capitalizado: 
 
M = C + J , portanto J = M - C  J = C(1+i)n - C , assim 
 
 11  niCJ
 ou 








ni
MJ
)1(
1
1
 
 
5.6 - Valor atual (capitalização composta) 
 
O valor atual de um pagamento único, no regime de juros compostos, 
conceitualmente é o mesmo do regime de juros simples, isto é, corresponde ao 
montante descontado de uma data futura para uma data anterior. A sua 
fórmula de cálculo é deduzida da fórmula do montante: 
 
Dado que M = C (1 + i )n, para obter o valor de “C” temos: 
 
 M 
C = -------------- 
 (1 + i )n 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIO: 
 
1- Calcular o montante de uma aplicação de $ 15.000,00 a taxa 
composta de 3% ao mês, com prazo de 6 meses. 
 
 
 
 
 
 
 
2- Quais os juros produzidos por $ 1.000 durante cinco meses à taxa 
composta de 3,38% am? 
 
 
 
 
 
 
 
3- Uma dívida vencível em 5 meses foi contratada à taxa de juros 
compostos de 2,5% am. Qual o total dos juros dessa operação, 
sabendo-se que o valor de quitação será de $ 1.131,41? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4- Um pagamento a ser efetuado daqui a dez meses no valor de $ 
161.051,00, pode ser executado hoje por qual valor equivalente, uma 
vez que taxa de juros compostos vigente seja de 10% ao bimestre? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5- Uma empresa concedeu um prazo de 24 dias, com taxa de juros 
compostos comercial de 4,5% ao mês, para o pagamento da compra 
de uma determinada mercadoria que resultou no valor de $ 1.035,84. 
Quanto deveria ser o valor de pagamento dessa mercadoria, caso a 
quitação da mesma se desse da forma à vista? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6- Qual o valor do montante acumulado na aplicação de um capital 
de $ 80.000,00, taxa de juros compostos comercial de 3% ao mês, 
pelo prazo de 72 dias corridos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.7 - A taxa ( i ) como incógnita 
 
A solução matemática nesse caso requer o conhecimento de algumas 
propriedades potências e radicais. A fórmula de cálculo do montante assume a 
seguinte notação: 
 
i = (M ÷ C)1/n - 1 
 
 
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EXERCÍCIO: 
 
7- O Banco financia a compra de um equipamento industrial no valor 
de $ 16.000,00, sem entrada, para pagamento único no valor de $ 
22.753,61 daqui a 8 meses. Qual a taxa composta mensal dessa 
operação? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8- Qual é a taxa de juros compostos mensal paga por uma instituição 
onde o aplicador recebeu, após dois anos, o montante de $45.666,57, 
sendo $25.666,57 referente a juros? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9- Determine a taxa mensal composta cobrada por um banco em um 
empréstimo no valor de R$ 8.000,00, pelo prazo de oito meses, 
cujo valor único de pagamento no final montou em R$ 10.000,00? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5.8 - O prazo ( n ) como incógnita 
 
Quando o prazo é a variável desconhecida, a solução do problema pode ser 
obtida com a utilização de propriedades de logaritmo. A notação da fórmula do 
montante pode ser a seguinte: 
 
 log (M ÷ C) 
n = ---------------- 
 log (1 + i ) 
 
 
EXERCÍCIO: 
 
10- Um banco anuncia que a sua taxa composta para empréstimo 
pessoal é de 2,5% am. Um cliente retirou $ 20.000 e quando foi saldar 
a sua dívida o gerente lhe disse que esta importava em $ 31.193,17. 
Quanto tempo levou o cliente para restituir o empréstimo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11- Um investidor aplicou $ 40.000 em uma modalidade de 
investimento financeiro com rentabilidade composta de 5% as. O 
valor do resgate totalda operação foi de $ 56.284,00. Por quanto 
tempo o recurso ficou aplicado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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12- Em quanto tempo um capital dobra de valor aplicado à taxa 
mensal composta de 12,246% am? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIO – 3 (JUROS COMPOSTOS) 
 
 
1) Determinar o montante, ao final de 10 meses, resultante da aplicação de $ 
100.000,00, a taxa composta de 3,75% ao mês. R - $144.504,39. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Quanto se deve aplicar, a taxa composta de 51,107% a.a., para resgatar $ 
1.000.000,00 no final de 19 meses? R - $520.154,96. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3) Uma pessoa aplica $ 2.800, por dois anos, em um banco que remunera os 
recursos à taxa composta de 5% ao mês. Qual o valor bruto ao final da 
aplicação? R - $9.030,28. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Para quitar uma dívida de $ 4.250 exigível no final de um semestre, quanto 
devo aplicar a partir de hoje, por igual período, em uma modalidade que 
remunera o capital à taxa composta de 2,25% ao mês, de forma a quitar a 
referida dívida com o saldo final da aplicação. R - $3.718,85. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Durante quanto tempo devo deixar $ 1.400 aplicados à taxa composta 
de 6% ao mês, para receber $ 2.507,18? R - 10 meses. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6) Qual a taxa de juros composta que devo aplicar um certo capital de modo 
que, passado oito meses, terei obtido de juros ¼ do valor deste capital. R - 
2,829% ao mês. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Calcule quantos meses devo deixar aplicado um certo capital, dada uma taxa 
composta de 2,93% ao mês, de modo a resgatar o dobro do aplicado. R - 24 
meses. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Uma capital de $ 1.000 produziu 70% de juros em um ano e nove meses. 
Calcule a taxa de juros mensal composta. R - 2,559% ao mês. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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9) Uma dívida contraída há um ano foi liquidada hoje por de $ 16.010,32. 
Sabendo-se que a taxa composta cobrada foi de 4% ao mês, calcule o valor dos 
juros da operação. R - $6.010,32. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Um equipamento está sendo oferecido a uma empresa por $ 450.000,00 à 
vista ou $ 150.000 de entrada e mais uma parcela de $ 320.000,00, no final de 
6 meses. Sabendo-se que no mercado a taxa para aplicação dos recursos desta 
empresa é de 1% a.m. composta (taxa líquida), demonstrar qual a melhor 
opção para a empresa, supondo que a mesma possua condições de aderir a 
qualquer das alternativas apresentadas. R - à vista. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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11) Dados os capitais de $ 15.208,13 e $ 17.107,08, a serem realizados de 
hoje a 5 e 8 meses, respectivamente, verificar e demonstrar se os mesmos são 
equivalentes, na data de hoje, considerada a taxa de juros composta de 4% ao 
mês. R – Sim, são equivalentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) Identificar a que taxa composta os 2 planos de pagamento seguintes são 
equivalentes: 
 
a) 2% a.m. b) 3% a.m. 
 
PLANO A: 1 pagamento de $ 4.500,00 no final de 5 meses e outro de $ 
6.434,56 no final de 11 meses. 
 
PLANO B: 1 entrada de $ 2.000,00 e outro pagamento de $ 9.310,50 no final 
de 12 meses.