Lista 1 - Extra

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Teor. Aplic. Ca´lc. 1o sem 2012
Exerc´ıcios extras lista 1
1. Calcule a taxa de variac¸a˜o me´dia da grandeza y em relac¸a˜o a` grandeza x, no intervalo [x1, x2]
pedido, conhecendo a dependeˆncia y(x). Utilize essa taxa me´dia e os pontos dados para obter
a equac¸a˜o da reta secante ao gra´fico de y(x) por esses pontos. E finalmente, calcule um valor
aproximado para y(x3) e y(x4) com essa reta secante.
a) y(x) = x3 − x2, [x1, x2] = [3, 5], x3 = 4, x4 = −1.
b) y(x) = 2x−
√
x, [x1, x2] = [1, 4], x3 = 2, x4 = 5.
c) y(x) = sen(x), [x1, x2] = [0, pi/2], x3 = pi/4, x4 = pi/2.
2. Estudamos o movimento de um ponto material em uma trajeto´ria linear, t designa o tempo em
segundos e y e´ a posic¸a˜o em metros. Por definic¸a˜o, a velocidade do ponto no instante t e´ a taxa de
variac¸a˜o instantaˆnea v(t) de y relativo a t. Calcule o valor ou a fo´rmula geral de v(t), nos seguintes
casos:
a) y(t) = 3t5, v(1) = d) y(t) = −t2 + 3t− 1, v(t) =
b) y(t) = 4t− 1, v(t) = e) y(t) = 3
√
t, v(4) =
c) y(t) =
2
t
, v(2) = f) y(t) = 2t7 + 5t4 − t2, v(t) =
3. A acelerac¸a˜o de um movimento no instante t e´ definida como a taxa de variac¸a˜o da velocidade
v em relac¸a˜o ao tempo t. Calcule a acelerac¸a˜o a(t) nos seguintes casos:
a) v(t) = 1/(t2 + 1) b) y(t) = t5 − t4 + t3 − 2t, sendo y a posic¸a˜o na trajeto´ria.
4. (Taxas inversas). Se x e y sa˜o grandezas e denote Tx:y a Taxa de x relativo a y, e similarmente
para Ty:x. Vamos descobrir uma relac¸a˜o entre essas duas taxas.
a) Calcule Tx:y e Ty:x nos seguintes casos: a1) y(x) = 3x
5 − 1 a2) x(y) = 2y + y7.
b) Escreva uma u´nica expressa˜o geral para mostrar que Tx:y = 1/Ty:x.
c) Como aplicac¸a˜o: se y posic¸a˜o, v velocidade, a acelerac¸a˜o, t tempo, mostre que a taxa do tempo
relativ. a` posic¸a˜o e´ 1/v e a taxa do tempo relat. a` velocidade e´ 1/a.
5. (Produto de taxas). SeA, B e C sa˜o reais na˜o nulos podemos escrever a raza˜oA/B = (A/C).(C/B).
Uma ide´ia parecida ocorre com as taxas. Vejamos com um exemplo.
a) Sejam x = y2+1 e y = 1/(z−1). Calcule as taxas de y relativo a z e de x relativo a y, no instante
em que z = 3. Agora obtenha uma expressa˜o para a func¸a˜o (composta) x = x(z). Calcule a taxa de
x em relac¸a˜o a z em z = 3. Oque voceˆ observa ?
Em geral queremos demonstrar o seguinte: tx:z = tx:y.ty:z. Note que a varia´vel “extra” que aparece
no lado direito, y, aparece no “denominador” de uma taxa e no “numerador” da outra. Mas as taxas
instantaˆneas na˜o sa˜o quocientes, e sim limites.
b) Escreva uma expressa˜o usando lim que justifique o dito acima.
6. Um ponto material de massa m se desloca ao longo de uma reta com escala em metros. A energia
cine´tica desse ponto e´ definida como K = 1
2
mv2, sendo v sua velocidade. O momento linear desse
ponto e´ q = mv.
a) Mostre que a taxa de variac¸a˜o da energia cine´tica relativo a` velocidade e´ o momento.
A Forc¸a resultante que age no ponto material e´ definida como a massa vezes a acelerac¸a˜o,
F = m.a.
b) Calcule a taxa de variac¸a˜o de K relativo a t, usando a) e as ide´ias do exerc´ıcio 5, e mostre que
essa taxa pode ser escrita apenas com F e v.
A Energia Potencial U do movimento e´ definida nos casos em que a forc¸a depende apenas da
posic¸a˜o do ponto, F = F (y). U e´ uma func¸a˜o tal que a taxa de U relat. a y e´ −F . Admitindo-se
que tal e´ o caso desse movimento, a Energia Total e´ E = K + U .
c) Mostre que a taxa de E relativo ao tempo e´ nula. Oque voceˆ conclui ? (Note que esse fato e´ geral,
e na˜o depende da expressa˜o particular do potencial U(y)!)