Lista 3 - Extra

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Teor. Aplic. Ca´lc. 1o sem 2012
Exerc´ıcios extras lista 3
1. Encontre a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = f(x) no ponto T = (x, y)
dado:
a) f(x) =
3x− x4
x2 + 3
, T tem abcissa x = 1;
b) f(x) = sen(x2) +
√
cos(x) + 5x, T tem abcissa x =
pi
4
2. Um certo movimento possui treˆs grandezas associadas (na˜o independentes) que
sa˜o: tempo t, posic¸a˜o x e velocidade v. Sabemos que v =
dx
dt
. Encontre a equac¸a˜o
da reta tangente ao gra´fico x× t, em cada caso.
a) x = 3t2 − 2t+ 5, quando t = 1.
b) x = 3t2 − 2t+ 5, quando v = 2.
c) x = sen(3t+ 1), quando x = 1.
3. Considere o seguinte problema: um mo´vel se desloca ao longo de uma escala
x graduada em metros, e suas energias cine´tica e potencial sa˜o, respectivamente:
K = 1
2
mv2 e U = x3 + 4x2 + x − 2 (em Joules), sendo m = 3 Kg. A energia total
do movimento e´ E = K +U e e´ uma constante, E = 10 J. A poteˆncia gerada pela
forc¸a que age no mo´vel e´ por definic¸a˜o P = dK
dt
, em Joules por segundo. Encontre
os valores de P quando v = 2 metros por segundo.
4. Calcule os limites envolvendo as func¸o˜es trigonome´tricas.
a) lim
x→0
sen(3x2)
x tan(x)
b) lim
x→0
sec(x)− cos(x)
2x2
c) lim
x→0
sen(3x) tan(5x)cossec(7x)
sen(2x) tan(4x)cossec(8x)
d) lim
x→0
1−
√
cos(x)
x2
e) lim
x→0
sen(3x2)
1− cos(x) f) limx→0
tan(x+ pi
4
)− sen2(3x)
x+ pi
4
5. Calcule as derivadas das func¸o˜es.
a) f(x) =
√
x2 − 3x b) f(x) =
√
1 + x
1− x c) f(x) = (1 +
√
3 x)3
d) g(y) = (y + 1)
√
y2 − 2y + 2 e) h(u) =
√
1− u2
1 + u2
f) g(θ) =
√
θ +
√
θ
g) V (y) =
1
2(3y2 − 2y) 13
h) P (x) =
15
sen(x/3) + cos(x/3)
i) F (z) =
1 + cos(2z)
1− cos(2z)
j) G(y) = tan(sen(y4))