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Lista extra 16 - Func¸o˜es Impl´ıcitas
1. Mostre que a equac¸a˜o y3 + xy + x3 = 4 define implicitamente uma func¸a˜o y = y(x) diferencia´vel
em torno do ponto (0, 3
√
4).
2. Mostre que a equac¸a˜o x2 y + sen(y) = x define implicitamente uma func¸a˜o y(x) na vizinhanc¸a de
algum ponto. Calcule dy
dx
em func¸a˜o de y e x.
3. A func¸a˜o diferencia´vel y(x) e´ dada implicitamente pela equac¸a˜o x = f(x2 + y, y2). Sabendo que
f : R2 → R e´ tambe´m diferencia´vel, calcule dy
dx
em termos de x, y e das derivadas parciais de f .
4. Mostre que para todo real a bastante pro´ximo de 2 o polinoˆmio x8−ax3−x+2 possui uma u´nica
ra´ız real pro´xima de x = 1.
5. Fac¸a os exerc´ıcios 8,9,10 e 11 da pa´g. 166 apostila 4.
Respostas:
(1). A func¸a˜o associada e´ f(x, y) = y3 + xy +x3, e ∂f
∂y
(0, 3
√
4) 6= 0. (2). O ponto (0, 0) satisfaz a equac¸a˜o. A
derivada ∂
∂y
de x2 y + sen(y)− x em (0, 0) e´ diferente de zero, logo o TFI nos garante a existeˆncia da func¸a˜o
impl´ıcita y(x) em uma vizinhanc¸a de x = 0. y′(x) = − 2xy−1
x2+sen(y)
. (3). y′(x) = (1− 2x ∂f
∂x
)/(∂f
∂x
+ 2y ∂f
∂y
). (4).
Note que para a = 2 o valor x = 1 e´ ra´ız do polinoˆmio. Aplique o TFI para P (x, a) = x8 − ax3 − x + 2.

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