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Lista extra 16 - Func¸o˜es Impl´ıcitas 1. Mostre que a equac¸a˜o y3 + xy + x3 = 4 define implicitamente uma func¸a˜o y = y(x) diferencia´vel em torno do ponto (0, 3 √ 4). 2. Mostre que a equac¸a˜o x2 y + sen(y) = x define implicitamente uma func¸a˜o y(x) na vizinhanc¸a de algum ponto. Calcule dy dx em func¸a˜o de y e x. 3. A func¸a˜o diferencia´vel y(x) e´ dada implicitamente pela equac¸a˜o x = f(x2 + y, y2). Sabendo que f : R2 → R e´ tambe´m diferencia´vel, calcule dy dx em termos de x, y e das derivadas parciais de f . 4. Mostre que para todo real a bastante pro´ximo de 2 o polinoˆmio x8−ax3−x+2 possui uma u´nica ra´ız real pro´xima de x = 1. 5. Fac¸a os exerc´ıcios 8,9,10 e 11 da pa´g. 166 apostila 4. Respostas: (1). A func¸a˜o associada e´ f(x, y) = y3 + xy +x3, e ∂f ∂y (0, 3 √ 4) 6= 0. (2). O ponto (0, 0) satisfaz a equac¸a˜o. A derivada ∂ ∂y de x2 y + sen(y)− x em (0, 0) e´ diferente de zero, logo o TFI nos garante a existeˆncia da func¸a˜o impl´ıcita y(x) em uma vizinhanc¸a de x = 0. y′(x) = − 2xy−1 x2+sen(y) . (3). y′(x) = (1− 2x ∂f ∂x )/(∂f ∂x + 2y ∂f ∂y ). (4). Note que para a = 2 o valor x = 1 e´ ra´ız do polinoˆmio. Aplique o TFI para P (x, a) = x8 − ax3 − x + 2.
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