Maximos_e_Minimos

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Otimizac¸a˜o
Nas aplicac¸o˜es a`s cieˆncias, frequentemente surge a necessidade de se achar pontos de ma´ximo e
mı´nimo de func¸o˜es em duas ou mais varia´veis, assim como seus valores de ma´ximo e mı´nimo. Na
F´ısica busca-se o mı´nimo da energia potencial U(x,y,z) definida no espac¸o. Na Economia deseja-se
maximizar a func¸a˜o lucro, que pode depender de diversos paraˆmetros. Na Qu´ımica interessa saber a
temperatura e a quantidade do reagente A que maximizam a produc¸a˜o de uma substaˆncia B, numa
certa reac¸a˜o.
A otimizac¸a˜o e´ o procedimento do ca´lculo que nos permite analisar esses problemas. Para tal,
devemos antes definir com cuidado os conceitos acima.
1 Func¸o˜es definidas em regio˜es abertas do Rn
A definic¸a˜o mais geral para pontos extremos pode ser feita independentemente do conjunto domı´nio
da func¸a˜o. Denotaremos D ⊂ Rn um conjunto na˜o-vazio arbitra´rio, e x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ D um
ponto qualquer.
Definic¸a˜o 1.1. Seja f : D ⊂ Rn → R e P ∈ D. Dizemos que P e´ ponto de. . .
mı´nimo local: Se f(x) ≥ f(P ) para todos os pontos x em D suficientemente pro´ximos de P . Por
suficientemente pro´ximo entende-se que existe um raio r > 0 (pequeno) para o qual a propriedade
f(x) ≥ f(P ) vale para todo x ∈ BP (r) ∩D.
ma´ximo local: Se f(x) ≤ f(P ) para todo x ∈ BP (r) ∩D, para algum r > 0.
Um ponto de mı´nimo local no qual a condic¸a˜o f(x) ≥ f(P ) vale para todo x no domı´nio D de
f e´ chamado mı´nimo global, e similarmente, um ponto de ma´ximo local sera´ ma´ximo global
se a desigualdade respectiva valer para toda a regia˜o D. Qualquer ponto de ma´ximo ou mı´nimo e´
chamado ponto extremo, oqual pode ser local ou global.
O conjunto D pode ser todo o espac¸o Rn, ou enta˜o um pedac¸o menor deste espac¸o. Nesse caso
D possuira´ fronteira ∂D 6= ∅. Os pontos extremos de f podem ocorrer no interior de D e tambe´m
em sua fronteira.
Lembramos que um subconjunto U ⊂ Rn e´ aberto se para todo P ∈ U , existe algum raio r > 0
tal que a bola aberta BP (r) = {x ∈ Rn | d(x, P ) < r} esta´ contida inteiramente em U (a notac¸a˜o
d(x, P ) designa a norma do vetor x−P , e´ a distaˆncia euclidiana entre os pontos). O importante sobre
os conjuntos abertos e´ que eles na˜o conteˆm nenhum ponto de sua fronteira U ∩ ∂U = ∅, portanto
sempre se pode aproximar um de seus pontos P por qualquer direc¸a˜o, desde que tomemos outros
pontos bem pro´ximos de P . Por outro lado, se D e´ qualquer subconjunto de Rn, o interior de D,
denotado intD, e´ o maior conjunto aberto contido em D, e vale intD = D − ∂D.
Definic¸a˜o 1.2. Um ponto cr´ıtico da func¸a˜o f e´ um ponto P ∈ D no qual o vetor ∇fP na˜o existe,
ou enta˜o existe e vale ∇fP = ~0.
Teorema 1.3. Seja P um ponto extremo de f no interior de D. Enta˜o ou o gradiente de f na˜o existe
em P (uma das derivadas parciais na˜o existe), ou o gradiente existe e vale ~0. Portanto, qualquer
ponto extremo de f no interior de D e´ cr´ıtico.
Demonstrac¸a˜o. Seja P ∈ intD um ponto extremo, admitamos que seja ma´ximo local. Enta˜o
existe uma bola aberta pequena BP (r) ⊂ D tal que f(x) ≤ f(P ) para todo x ∈ BP (r) (definic¸a˜o
de ma´ximo local). Escrevendo P = (p1, p2, . . . , pn) e x = (x1, x2, . . . , xn) podemos escolher algum
ı´ndice i, 1 ≤ i ≤ n e considerar a reta paralela ao eixo 0xi que passa por P . Restringindo f a essa
reta obtemos g(s) = f(p1, p2, . . . , pi−1, s, pi+1, . . . , pn) que e´ func¸a˜o de uma varia´vel real com ponto
de ma´ximo local em s = pi. Da teoria em dimensa˜o 1, sabemos que pi e´ ponto cr´ıtico de g, ou seja,
1
g′(pi) e´ zero ou na˜o existe. Como g
′(pi) =
∂f
∂xi
(P ), conclu´ımos que as derivadas parciais de f em P
sa˜o, cada uma delas, zero ou inexistente. Isso conlui que P e´ ponto cr´ıtico.
Exemplo 1. A func¸a˜o f(x, y) = x2 + y2 e´ diferencia´vel no R2 e so´ pode ter pontos cr´ıticos do tipo
∇f = (0, 0). Como ∇f(x,y) = (2x, 2y) vemos que o u´nico ponto cr´ıtico de f e´ a origem (0, 0).
Exemplo 2. A func¸a˜o g(x, y) = x
3
3
− 3y2 + 2xy − x e´ diferencia´vel no plano. Resolvemos a equac¸a˜o
∇g(x,y) = (0, 0):
∇g(x,y) = (x2 + 2y − 1,−6y + 2x) = (0, 0) =⇒
{
x2 + 2y − 1 = 0
−6y + 2x = 0 .
O sistema de equac¸o˜es obtido tem por soluc¸a˜o os pontos {(−1+
√
10
3
, −1+
√
10
9
), (−1−
√
10
3
, −1−
√
10
9
)}. Estes
sa˜o pois os u´nicos pontos cr´ıticos de g.
No interior do domı´nio pontos extremos sa˜o cr´ıticos. Contudo, nem todo ponto cr´ıtico necessita
ser ponto extremo. Isso sugere uma definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 1.4. Um ponto cr´ıtico P de f e´ chamado ponto de sela se vale a propriedade seguinte:
podemos encontrar pontos x, y ∈ D ta˜o pro´ximos de P quanto desejarmos com f(x) < f(P ) < f(y).
Note que a definic¸a˜o de ponto de sela so´ vale para pontos cr´ıticos. Um ponto P no qual ∇fP 6= 0
na˜o pode ser classificado como ponto de sela, mesmo que ambas desigualdades da definic¸a˜o acima
valham para P .
Exemplo 3. Veˆ-se atrave´s de um ca´lculo que o u´nico ponto cr´ıtico de f(x, y) = y2 − x2 e´ (0, 0).
Tomando x = 0 e valores arbitrariamente pequenos para y obtemos pontos onde f(0, y) = y2 > 0,
logo f(0, y) > f(0, 0) = 0. E se tomarmos y = 0 e x arbitrariamente pequeno obtemos pontos onde
f(x, 0) < f(0, 0). Isso mostra ser a origem um ponto de sela.
O crite´rio de classificac¸a˜o de pontos cr´ıticos interiores usara´ a matriz hessiana de f : se f : U ⊂
R
n → R e´ de classe C2 enta˜o
Hf =


∂2f
∂x21
∂2f
∂x2∂x1
· · · ∂
2f
∂xn∂x1
∂2f
∂x1∂x2
∂2f
∂x22
· · · ∂
2f
∂xn∂x2
...
...
. . .
...
∂2f
∂x1∂xn
∂2f
∂x2∂xn
· · · ∂
2f
∂x2n


.
Apresentaremos o crite´rio inicialmente para func¸o˜es em abertos do plano.
Teorema 1.5. Seja f : D ⊂ R2 → R de ordem C2, f = f(x, y), e P um ponto cr´ıtico no interior de
D. Enta˜o:
1. detHf(P ) > 0 e
∂2f
∂x2
(P ) > 0 ⇒ P e´ ponto de mı´nimo local.
2. detHf(P ) > 0 e
∂2f
∂x2
(P ) < 0 ⇒ P e´ ponto de ma´ximo local.
3. detHf(P ) < 0 ⇒ P e´ ponto de sela.
4. detHf(P ) = 0 ⇒ teste inconclusivo.
Vamos analisar alguns exemplos anteriores atrave´s deste teorema.
2
Exemplo 4. No exemplo 1 a func¸a˜o f tem matriz hessiana calculada num ponto (x, y) arbitra´rio
Hf =
(
2 0
0 2
)
⇒ detHf = 2.2 = 4 > 0.
Como
∂2f
∂x2
= 2 > 0 vemos pelo teste que (0, 0) e´ ponto de mı´nimo local, oque ja´ pod´ıamos inferir
diretamente devido ao crescimento da func¸a˜o afastando-se da origem. Note que (0, 0) e´ efetivamente
um mı´nimo global.
Ja´ para a func¸a˜o g do exemplo 2 na˜o parece o´bvio qual a classificac¸a˜o dos dois pontos cr´ıticos
antes de aplicarmos o teste da segunda derivada. Vamos obter a matriz hessiana em (x, y):
Hg(x, y) =
(
2x 2
2 −6
)
.
Temos dois pontos cr´ıticos, P1 = (
−1+
√
10
3
, −1+
√
10
9
) e P2 = (
−1−
√
10
3
, −1−
√
10
9
). Calculando os determi-
nantes fica
detHg(P1) = 2(
−1 +√10
3
)(−6)− 2.2 = −4
√
10 < 0 ,
detHg(P2) = 2(
−1−√10
3
)(−6)− 2.2 = +4
√
10 > 0 .
Conclu´ımos primeiro que P1 e´ ponto de sela. Agora, como a derivada
∂2g
∂x2
(P2) = 2(
−1−
√
10
3
) e´ negativa,
mas seu determinante e´ positivo, temos que P2 e´ ponto de ma´ximo local.
Exemplo 5. Encontre os valores extremos locais de f(x, y) = xy − x2 − y2 − 2x− 2y + 4.
Soluc¸a˜o. A func¸a˜o e´ diferencia´vel em todo o plano, por isso os pontos extremos ocorrem somente
nos pontos cr´ıticos. Calculando as derivadas primeiras,
∂f
∂x
= y − 2x− 2 e ∂f
∂y
= x− 2y − 2 ,
vemos que a soluc¸a˜o do sistema {
y − 2x− 2 = 0
x− 2y − 2 = 0
nos da´ o u´nico ponto cr´ıtico: P = (−2,−2). Como o determinante da hessiana e´
detHf = det
( −2 1
1 −2
)
= 3 > 0 ,
o sinal de
∂2f
∂x2
= −2 enta˜o nos indica ser (−2,−2) ponto de ma´ximo local. O valor de ma´ximo
correspondente e´ f(−2,−2) = 8.
Para classificarmos pontos cr´ıticos interioresem dimensa˜o maior que 2 devemos tratar com os
autovalores da matriz hessiana. Lembramos que uma matriz A de tipo n × n e´ sime´trica se
A = (aij) com aij = aji. O principal fato a respeito de matrizes sime´tricas e´ a diagonalizac¸a˜o:
existe uma matriz ortogonal Rn×n e tal que D = R
−1.A .R e´ matriz diagonal. Os autovalores de A
sa˜o os elementos da diagonal de D. Notamos que devido a regra de Schwartz, a matriz hessiana de
uma func¸a˜o de classe C2 sempre e´ sime´trica.
3
Teorema 1.6 (Classificac¸a˜o de pontos cr´ıticos). Se f e´ de classe C2 e P um ponto cr´ıtico, Hf a
matriz hessiana de f . Enta˜o
1) Se os autovalores {λ1, . . . , λm} de Hf forem positivos P e´ ponto de mı´nimo local;
2) Se os autovalores {λ1, . . . , λm} de Hf forem negativos P e´ ponto de ma´ximo local;
3) Se houver ao menos dois autovalores λi e λj de sinais opostos, P e´ ponto de Sela;
4) Se algum autovalor λi for zero e os demais mantiverem o mesmo sinal nada se pode concluir.
2 Ma´ximos e mı´nimos de func¸o˜es com restric¸a˜o - Multiplicadores de
Lagrange
Seja f(x, y) definida em uma regia˜o D ⊂ R2 aberta. Considere C uma curva fechada diferencia´vel,
ou diferencia´vel por partes, e contida em D. Podemos considerar a func¸a˜o obtida da restric¸a˜o de f
a C, ou seja, uma func¸a˜o
f˜ : C → R , f˜(x, y) = f(x, y) para todo (x, y) ∈ C .
A pergunta e´: como encontrar pontos extremos de f˜ em C 1 ? Notamos que a definic¸a˜o 1.1 se aplica
a f˜ , bastando que se substitua naquela f(x, y) por f˜ e D pela curva C. O conceito de localidade
continua sendo dado por bolas abertas no plano.
Vamos primeiro abordar essa pergunta visualmente, atrave´s das curvas de n´ıvel de f :
A
B
E
P
Q
f(x,y)=c
7
8
9
10
11
12
13 14
No desenho acima as curvas de n´ıvel de f sa˜o aproximadamente arcos de elipses. A curva fechada
C e´ dada pela justaposic¸a˜o dos segmentos diferencia´veis AB, BE e EQPA. Note que C na˜o e´
diferencia´vel nos pontos A, B e E, embora seja cont´ınua em todos os seus pontos. A curva C e´
diferencia´vel nos pontos P e Q, e os vetores representados sobre esses pontos indicam a direc¸a˜o
ortogonal a` C (o sentido foi determinado como “para fora” da regia˜o limitada de fronteira C). A
ana´lise do desenho mostra que f˜ , ou f restrita a` curva C, apresenta 4 pontos extremos:
B e´ mı´nimo global;
P e´ mı´nimo local;
A e´ ma´ximo local;
Q e´ ma´ximo global.
Observamos que os pontos extremos de f restrito a C ocorrem em pontos onde C na˜o e´ dife-
rencia´vel, assim como em pontos onde a curva de n´ıvel de f e´ tangente a` curva C. Esses
sera˜o os candidatos naturais a pontos extremos de uma func¸a˜o restrita a uma curva diferencia´vel por
partes. Note que E tambe´m e´ um ponto onde C na˜o e´ diferencia´vel, mas a func¸a˜o na˜o apresenta
extremo em E.
Teorema 2.1. Dada a func¸a˜o f(x, y) definida numa vizinhanc¸a de uma curva C. Suponha que o
ponto P ∈ C seja ma´ximo local (ou mı´nimo local) de f restrita a C. Enta˜o uma das treˆs condic¸o˜es
ocorre:
1A forma natural de se responder a` pergunta acima e´ com a Teoria de Variedades Diferencia´veis, que estuda espac¸os
na˜o-euclidianos e func¸o˜es diferencia´veis neles definidas.
4
1. C na˜o e´ diferencia´vel em P ; ou
2. C e´ diferencia´vel em P e P e´ ponto cr´ıtico de f ; ou
3. C e´ diferencia´vel em P e ∇fP e´ ortogonal a` curva C.
No caso 2 acima o ponto cr´ıtico e´ entendido no sentido original da definic¸a˜o 1.2
Demonstrac¸a˜o. Certamente que o caso 1 e´ mutuamente excludente com os casos 2 e 3. Assim,
devemos mostrar, por exemplo, que se 1 e 2 na˜o ocorrem, enta˜o deve necessariamente ocorrer o caso
3.
Assuma que C e´ curva diferencia´vel em P . Enta˜o podemos achar uma parametrizac¸a˜o t→ σ(t) =
(x(t), y(t)) tal que σ(0) = P e σ′(0) e´ um vetor tangente a` curva C no ponto P . Note que σ′(0) deve
ser na˜o nulo, oque e´ sempre poss´ıvel. Assuma tambe´m que P na˜o e´ ponto cr´ıtico de f . Enta˜o ∇fP
e´ diferente de zero. Devemos apenas mostrar que ∇fP e´ ortogonal a` curva C para finalizar a prova
do teorema.
Por simplicidade, vamos admitir que f e´ diferencia´vel. Tomemos a composta f(σ(t)). Como f
restrito a C tem ma´ximo local em P , certamente a func¸a˜o f(σ(t)) possui ma´ximo local em t = 0.
Logo (f ◦ σ)′(0) = 0. Pela regra da cadeia obtemos
(f ◦ σ)′(0) = ∇fσ(0) · σ′(0) = ∇fP · σ′(0) = 0 ,
ou seja, o gradiente de f em P e´ ortogonal ao vetor tangente a` curva em P , como quer´ıamos
demonstrar.
Considere agora o caso de uma curva de n´ıvel C dada como o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o
g(x, y) = c, para uma certa func¸a˜o diferencia´vel g(x, y) e constante real c. Supomos tambe´m que
∇gQ 6= 0 para todo Q ∈ C (essa condic¸a˜o e´ importante para garantir que C seja uma curva regular,
ou seja, uma curva diferencia´vel em todos os pontos). O caso 3 do teorema 2.1 nos diz que se P e´
ponto extremo da restric¸a˜o de f enta˜o o gradiente de f e´ ortogonal a C em P . Mas o gradiente de g
tambe´m e´ ortogonal a C em P , pela relac¸a˜o ba´sica entre curvas de n´ıvel e gradiente de uma mesma
func¸a˜o. Portanto, ∇fP e ∇gP sa˜o paralelos a` mesma direc¸a˜o. Logo devem ser mu´ltiplos um
do outro. Tal fato e´ expresso pelo teorema abaixo.
Teorema 2.2 (Multiplicadores de Lagrange). Sejam f(x, y) e g(x, y) func¸o˜es diferencia´veis em um
mesmo aberto do plano, e C 6= ∅ a curva de n´ıvel c de g. Assuma que P ∈ C e´ ponto extremo de f
restrita a C, e que ∇gP 6= 0. Enta˜o existe uma nu´mero real λ tal que
∇fP = λ ∇gP .
Observac¸a˜o 2.3. Note que para incluirmos o caso de P ser ponto cr´ıtico de f o multiplicador de
Lagrange λ deve ser sempre coeficiente de ∇gP .
Lembramos que um subconjunto K ⊂ Rn e´ compacto se K e´ limitado e fechado. Por limitado
entendemos que na˜o existe uma sequeˆncia de pontos em K que ‘fuja’ para algum infinito, ou ainda,
que existe alguma bola aberta BO(R) de raio suficientemente grande e tal que BO(R) ⊃ K.
Teorema 2.4. Se D ⊂ Rn e´ compacto e f : D → R e´ cont´ınua enta˜o f admite valores (pontos) de
ma´ximo e mı´nimo globais.
Exemplo 6. Encontre os valores de ma´ximo e mı´nimo de f(x, y) = xy restrito a curva x
2
8
+ y
2
2
= 1.
Soluc¸a˜o. Definindo g(x, y) = x
2
8
+ y
2
2
estamos olhando primeiro para o seguinte problema: Encontrar
os pontos (x, y) do plano tais que, para algum λ real,{
∇f(x, y) = λ∇g(x, y)
g(x, y) = 1
.
5
Calculando os gradientes ∇f = (y, x) e ∇g = (x/4, y), chegamos no sistema de equac¸o˜es
 y = λ
x
4
x = λy .
(1)
Aqui a ana´lise pode ser feita assim: se fosse x = 0 enta˜o necessariamente y = 0, mas (0, 0) na˜o e´
soluc¸a˜o de g(x, y) = 1. Logo deve ser x 6= 0. Dividindo a primeira pela segunda equac¸a˜o em (1)
obtemos
y
x
=
x
4y
=⇒ 4y2 = x2 .
Substituindo em g(x, y) = 1 fica
4y2
8
+
y2
2
= 1 =⇒ y2 = 1 ⇒ y = ±1 .
Para esses valores de y calculamos que x pode ser ±2, ou seja, os u´nicos candidatos a pontos cr´ıticos
sa˜o {(2, 1), (2,−1), (−2, 1), (−2,−1)}. Testando diretamente esses pontos chegamos a f(2, 1) =
2 = f(−2,−1) e f(2,−1) = −2 = f(−2, 1). Portanto, o valor ma´ximo de f e´ 2, alcanc¸ado em
{(2, 1), (−2,−1)}. O valor mı´nimo e´ -2 em {(−2, 1), (2,−1)}. Observe que a func¸a˜o f(x, y) na˜o tem
ma´ximo nem mı´nimo no plano cartesiano.
Exemplo 7. Ache o(s) ponto(s) cr´ıticos de f(x, y) = 5x+ 2y na para´bola y = 3x2 − 4x+ 1.
Soluc¸a˜o. Definimos g(x, y) = y − 3x2 + 4x e queremos analisar a curva g(x, y) = 1. A condic¸a˜o de
ponto cr´ıtico nos da´ ∇f = λ∇g e as equac¸o˜es ficam{
5 = λ(−6x+ 4)
2 = λ.1
⇒ λ = 2 e x = 1
4
.
Substituindo o valor de x na equac¸a˜o da curva calculamos y = 3
16
. Logo o u´nico ponto cr´ıtico de f
restrito a g(x, y) = 1 e´ (1
4
, 3
16
).
Observac¸a˜o 2.5. No exemplo acima podemos calcular diretamente o ponto cr´ıtico e mostrar que
se trata de mı´nimo global. Tomando σ(t) = (t, 3t2 − 4t + 1) vemos que a curva σ(t) parametrizaa
para´bola dada por g(x, y) = 1, sendo t ∈ R. Compondo f ◦ σ(t) e otimizando a func¸a˜o resultante
em uma varia´vel, obtemos
f(σ(t)) = 6t2 − 3t+ 2 ⇒ t = 1
4
e´ mı´nimo global.
Como t = 1
4
corresponde ao ponto P = (1
4
, 3
16
) conclu´ımos que este e´ o ponto de mı´nimo global de f
condicionado a` g(x, y) = 1.
Note que este e´ um exemplo muito espec´ıfico, pois em geral na˜o sabemos paramterizar a curva
de n´ıvel de g de forma a reduzir o problema ao Ca´lculo I.
3 Func¸o˜es em regio˜es compactas do plano
Para finalizar o caso de func¸o˜es em duas varia´veis, analisemos a situac¸a˜o em que desejamos encontrar
ma´ximos e mı´nimos de f(x, y) definida em uma regia˜o D ⊂ R2 compacta.
Definic¸a˜o 3.1. Um conjunto F ⊂ Rn e´ chamado fechado se seu complementar Rn − F e´ aberto.
Um conjunto F e´ compacto se for fechado, e ale´m disso existir alguma bola aberta Bp(r) para
algum r > 0 e p ∈ Rn tal que F ⊂ Bp(r). Assim um conjunto compacto e´ um conjunto fechado (que
possui todos os seus pontos de fronteira) e limitado.
6
Um fato importante aqui (que ja´ usamos antes) e´ enunciado abaixo:
Teorema 3.2. Seja f : D → R uma func¸a˜o cont´ınua e D um compacto. Enta˜o f admite pelo menos
um ponto de ma´ximo global e um ponto de mı´nimo global em D. Ou seja, existem Pmin ∈ D e
Pmax ∈ D tais que
f(Pmin) ≤ f(x) ≤ f(Pmax)
para qualquer x ∈ D.
O procedimento para encontrar pontos extremos de f em D e´ assim resumido: buscamos os
pontos cr´ıticos de f no interior de D e os pontos extremos de f restrita a` fronteira de D, ∂D. A´ı
comparamos todos esses pontos e entre eles encontraremos o ma´ximo e mı´nimo globais, ale´m dos
apenas locais. Para simplificar, supomos sempre que ∂D e´ uma curva diferencia´vel por partes,
de forma a aplicarmos os resultados da sec¸a˜o 2.
Exemplo 8. Determine os pontos extremos de f(x, y) = x3+y3−3x−3y em D = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤
x ≤ 2 e |y| ≤ 2}.
Soluc¸a˜o. f e´ cont´ınua em D, e D e´ compacto. Vamos encontrar os pontos cr´ıticos de f no interior
de D, intD = {(x, y) ∈ R2 | 0 < x < 2 e |y| < 2}. Calculando o gradiente e igualando a zero,
∇f(x,y) = (3x2 − 3, 3y2 − 3) = (0, 0) ⇔
{
3x2 − 3 = 0
3y2 − 3 = 0
O sistema acima possui no plano quatro soluc¸o˜es, que sa˜o os ve´rtices do quadrado [−1, 1]× [−1, 1].
Desses, somente os pontos (1, 1) e (1,−1) pertencem a intD.
Agora analisamos a fornteira ∂D, que sa˜o os lados de um retaˆngulo. Os ve´rtices {(0, 2), (0,−2), (2, 2), (2,−2)
sa˜o candidatos a extremos por serem pontos onde ∂D na˜o e´ diferencia´vel. Para os demais pontos
da fronteira, utilizamos multiplicadores de Lagrange: olhamos cada lado como um pedac¸o de uma
curva de n´ıvel de uma func¸a˜o g(x, y) apropriada:
1- No lado horizontal superior tomamos g(x, y) = y = 2 com 0 < x < 2. Enta˜o ∇f = λ ∇g
equivale a {
3x2 − 3 = 0
3y2 − 3 = λ
Resolvendo encontramos x = 1 e y = 2 (e λ = 9 mas isto na˜o sera´ usado aqui). De forma totalmente
ana´loga obtemos, no lado horizontal inferior g(x, y) = y = −2 e 0 < x < 2 o ponto (1,−2).
2- Nos lados verticais tomamos g(x, y) = x =0 ou 2, conforme o caso. Tambe´m aplicando
multiplicadores de lagrange obtemos {
3x2 − 3 = λ
3y2 − 3 = 0
Portanto os pontos candidatos nos segmentos verticais de fronteira sa˜o {(0, 1), (0,−1), (2, 1), (2,−1)}.
Coletando todos os pontos obtidos temos os candidatos a extremos:
J = {(0, 2), (0,−2), (2, 2), (2,−2), (1, 1), (1,−1), (1, 2), (1,−2), (0, 1), (0,−1), (2, 1), (2,−1)} .
Calculando f(P ) para cada P ∈ J conclu´ımos enfim que existem 2 pontos de ma´ximo global
(2,−1), (2, 2) com valor de ma´ximo 4, e dois pontos de mı´nimo global (1, 1), (1,−2) com valor de
mı´nimo -4.
Exemplo 9. Calcule o valor ma´ximo que f(x, y) = 2x+ y assume na regia˜o x2 + 4y2 ≤ 1.
7
Soluc¸a˜o. A regia˜o D = {(x, y) | x2+4y2 ≤ 1} e´ a regia˜o compacta limitada pela elipse que se obte´m
trocando o “≤” por “=” na inequac¸a˜o acima. A func¸a˜o f e´ linear, portanto cont´ınua e diferencia´vel.
Devemos buscar pontos cr´ıticos de f no interior de D e aplicar a condic¸a˜o de Lagrange para f na
fronteira de D.
Calculando ∇f obtemos ∇f(x,y) = (2, 1). Vemos que na˜o ha´ pontos cr´ıticos para f(x, y) em intD
(e em nenhum lugar do plano). Enta˜o todos os pontos extremos de f em D ocorrem na fronteira
∂D. Esta e´ a curva de n´ıvel 1 da func¸a˜o g(x, y) = x2 +4y2. Como ∇g(x,y) = (2x, 8y), o multiplicador
de Lagrange λ nos da´
∇f = λ ∇g ⇒
{
2 = 2λx
1 = 8λy
A primeira equac¸a˜o obriga tanto x como λ a serem diferentes de zero, em particular x = 1
λ
. A
segunda equac¸a˜o nos da´ y = 1
8λ
. Agora usamos a equac¸a˜o da restric¸a˜o, que e´ a pro´pria curva de
n´ıvel:
x2 + 4y2 = 1 ⇒
(
1
λ
)2
+ 4
(
1
8λ
)2
= 1 ,
resolvendo fornece λ =
√
17
4
ou λ = −
√
17
4
. Substituindo nos valores de x e y calculamos:
1- Para λ =
√
17
4
o ponto P1 = (
4√
17
, 1
2
√
17
).
2- Para λ = −
√
17
4
o ponto P2 = (− 4√17 ,− 12√17).
Esses sa˜o os u´nicos pontos extremos de f em D. Os valores de f sa˜o
f(P1) =
√
17
2
, f(P2) = −
√
17
2
.
Logo o valor de ma´ximo de f em D e´
√
17
2
.
4 Otimizac¸a˜o em dimensa˜o > 2
Com relac¸a˜o a` otimizac¸a˜o condicionada vamos admitir que f e´ sempre diferencia´vel, e V ⊂ U e´ o
conjunto de n´ıvel c de uma func¸a˜o diferencia´vel g : U → R. Desejamos estudar extremos de f restrita
a V . Note que tipicamente, V e´ uma variedade diferencia´vel de dimensa˜o m-1, que e´ subvariedade
do espac¸o euclidiano, ao menos nos pontos onde ∇g 6= 0.
Teorema 4.1 (Multiplicadores de Lagrange). Assuma que ∇gP 6= 0. Se P ∈ V e´ extremo local de
f restrito a V enta˜o existe λ ∈ R tal que
∇fP = λ ∇gP .
Para ilustrar esse u´ltimo teorema consideremos uma superf´ıcie de n´ıvel S ⊂ R3.
Exemplo 10. Encontre os extremos globais de f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + 4xy + 6xz + 6yz restrito
a` superf´ıcie da esfera unita´ria x2 + y2 + z2 = 1.
Soluc¸a˜o. A esfera e´ a superf´ıcie de n´ıvel 1 de g(x, y, z) = x2 + y2 + z2. Aplicando a condic¸a˜o de
Lagrange com ∇f = (2x+ 4y + 6z, 2y + 4x+ 6z, 2z + 6x+ 6y) e ∇g = (2x, 2y, 2z) obtemos
∇f = λ ∇g ⇒


(2− 2λ)x+ 4y + 6z = 0
4x+ (2− 2λ)y + 6z = 0
6x+ 6y + (2− 2λ)z = 0
Para cada λ ∈ R fixo o sistema de equac¸o˜es acima e´ linear em x,y e z. Por outro lado, buscamos uma
soluc¸a˜o desse sistema que tambe´m satisfac¸a x2 + y2 + z2 = 1. Isso significa que procuramos soluc¸o˜es
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na˜o triviais do sistema linear homogeˆneo. De acordo com a A´lgebra Linear, isso so´ e´ poss´ıvel se o
determinante da matriz do sistema for zero, ou seja,∣∣∣∣∣∣
(2− 2λ) 4 6
4 (2− 2λ) 6
6 6 (2− 2λ)
∣∣∣∣∣∣ = −λ3 + 3λ2 + 19λ+ 15 = 0 .
Por tentativas, achamos que λ = −1 e´ ra´ız do polinoˆmio acima. Fatorando em (λ + 1) obtemos
as duas outras ra´ızes,
−λ3 + 3λ2 + 19λ+ 15 = −(λ+ 1)(λ2 − 4λ− 15) = 0 ⇒ λ ∈ {−1, 2 +
√
19, 2−
√
19} .
Para cada valor de λ encontramos agora os pontos (x, y, z) associados resolvendo diretamente o
sistema linear (4).
Para λ = −1.
A soluc¸a˜o dos sistema e´ da forma (x,−x, 0). Substituindo em x2 + y2 + z2 = 1 obtemos os pontos
P1 = (
1√
2
,− 1√
2
, 0) e P2 = (− 1√2 , 1√2 , 0).
Para λ = 2 +
√
19.
Obtemos pontos da forma (x, x, 6
1+
√
19
x). Aplicando a restric¸a˜o novamente encontramos os pontos
P3 =
√
19+
√
19
2
√
19
(1, 1, 6
1+
√
19
) e P4 = −P3.
Para λ = 2−√19.
Os pontos sa˜o da forma (x, x, 6
1−
√
19
x) e calculando x fica P5 =
3√
2(19+
√
19)
(1, 1, 6
1−
√
19
) e P6 = −P5.
Agora devemos calcular todos os f(Pi), 1 ≤ i ≤ 6, e comparar. Obtemos que f(P3) = f(P4) =
2+
√
19, f(P5) = f(P6) = 2−
√
19 e f(P1) = f(P2) = −1. Portanto os pontos de ma´ximo global sa˜o
{P3, P4} e os pontos de mı´nimo global sa˜o {P5, P6}.
Observac¸a˜o 4.2. A func¸a˜o f do exemplo acima e´ uma forma quadra´tica definida no espac¸o R3, que
pode ser escrita comof(x, y, z) = (x, y, z) · A · (x, y, z)T , onde A3×3 e´ uma matriz sime´trica (qual
?). Vemos enta˜o que os pontos candidatos a serem extremos locais de f restrito a` esfera unita´ria
sa˜o os autovetores da matriz A, e o valor de f nesses pontos sa˜o os respectivos autovalores. Esse
fato se generaliza para matrizes sime´tricas n × n que definem formas quadra´ticas no espac¸o Rn, ou
seja, podemos definir autovetor unita´rio de uma matriz sime´trica como sendo um ponto
da esfera unita´ria ⊂ Rn que verifica a condic¸a˜o de Lagrange para a forma quadra´tica
associada a`quela matriz.
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