Cálculo Diferencial e Integral II

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GUIDG.COM 1 
 
29/7/2012 – Limites de funções de duas variáveis 
Tags: Funções de várias variáveis, limites, aminhos, dxemplos demonstrados, demonstração, passo a passo, exercícios resolvidos, Cálculo II dois (2). 
 
Cálculo B - Mírian Buss Gonçalves, Diva Marília Flemming 
Apostila do curso de CDI-II (UDESC-CCT 2010/2) 
 
 
Determine os limites: 
 
Pela definição: 
 
1) lim
x, y
` a
Q 1, 2
b c 3x + 2y
b c
= 7 
 
2) lim
x, y
` a
Q 1, 3
b c 2x + 3y
b c
= 11 
 
3) lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c 2xy
x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
fffffffffffffffffffffffffffffff
= 0 
 
Por caminhos e definição: 
 
4) lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c 2xy
2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
 
 
Usando a proposição: 
 
5) lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c 2xy
2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
= 0 
 
Por caminhos, se possível: 
 
6) lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c 2xy
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
 
 
7) lim
x, y
` a
Q 0, 2
b c
x 2 y@ 2
b c
x 4 + y@ 2
b c2ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff 
 
Por caminhos e definição: 
 
8) lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c 3x
2 y
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
 
 
Calcule se possível: 
9) lim
x, y
` a
Q 0, 1
b c
3x 4 y@ 1
b c4
x 4 + y2@ 2y + 1
b c3fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff 
 
10) lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c xy
2
x 2 + y4
ffffffffffffffffffffff
 
 
Por caminhos, definição e pela proposição: 
 
11) lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c x
3 + y3
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
 
 
Calcule se possível: 
 
12) lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c x
2 y2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
 
 
 
GUIDG.COM 2 
 
I ) Definição: Sejam f :AjR2QR e x0 , y0
` a
 um ponto de acumulação de A . Dizemos que o limite 
de f (x, y) quando (x,y) se aproxima de x0 , y0
` a
 é um número real L se, para todo ε > 0 , existir um 
δ > 0 tal que f x,y` a@LLLL MMM< ε sempre que x,y` a 2 A e 0 < x,y` a@ x0 , y0` aLLL MMM< δ . 
 
lim
x , y
` a
Q x0 ,y0
b c f x,y` a= L 
 
II ) Definição resumida em símbolos: 
 
lim
x , y
` a
Q x0 ,y0
b c f x,y` a= L se 8 ε> 0 9 δ> 0 | f x,y` a@LLLL MMM< ε s A q A x @ x0` a2@ y@ y0` a2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww< δ . 
 
* s.q. = sempre que. 
Interpretação: O limite existe se, e somente se as condições da definição forem verificadas (isto é, 
quando podemos estabelecer uma relação entre as desigualdades propostas), quando isso ocorre dizemos 
que o limite esta provado. 
 
 
III ) Observação: Para que o limite de uma função de duas variáveis exista, é preciso que a função tenda 
para L , independentemente do caminho considerado. Por isso a situação é diferente do cálculo 1, aqui 
existe uma infinidade de curvas (caminhos) das quais o ponto pode se aproximar de L . E essa é a base do 
teorema que deve ser compreendido antes de começar a provar limites. 
 
 
IV ) Teorema: Seja f uma função de duas variáveis definida numa bola aberta centrada em A x0 , y0
` a
 
, exceto possivelmente em A x0 , y0
` a
 . Se f (x , y) tem limites diferentes quando (x, y) tende para 
x0 , y0
` a
 por caminhos diferentes então o limite não existe. 
 
 lim
x , y
` a
Q x0 ,y0
b c f x,y` a 9+ não existe` a. 
 
 
 
V ) Módulo ou Valor absoluto: Na prova de limites as desigualdades serão fundamentais, se achar 
necessário faça uma revisão de conteúdo. Uma propriedade que será muito utilizada. 
 
 Desigualdade triangular: x + yLL MM ≤ xLL MM+ yLL MM 
 Demonstração: 
x + y
LL MM2
= x + y
` a2
= x 2 + 2xy + y2 ≤ x 2 + 2 xy
LL MM+ y2
≤ x
LL MM2 + 2 xyLL MM+ yLL MM2 = xLL MM+ yLL MMb c2
x + y
LL MM≤ xLL MM+ yLL MM
X^^^^^
^^\^
^^^^^^Z
 
GUIDG.COM 3 
 
Agora a prova de limites de duas variáveis. O raciocínio pode ser estendido para n variáveis. 
 
Exemplos: 
 
1) Mostre pela definição que: 
lim
x, y
` a
Q 1, 2
b c 3x + 2y
b c
= 7 
 
Solução: 
*Antes vamos esclarecer que: f x,y` a= 3x + 2y , L = 7 , x0 = 1 , y0 = 2 e de forma análoga será feita 
para todos os seguintes. Quando o exercício é dado com o valor do limite, não esta pedindo o valor, 
somente a prova, então não é necessário usar caminhos. Para provar a existência de um limite é necessário 
proceder do modo que faremos abaixo, ou de mesma clareza. 
 
Queremos mostrar que: 
lim
x, y
` a
Q 1, 2
b c 3x + 2y
b c
= 7 se 8 ε> 0 9 δ> 0 | 3x + 2y@ 7LLL MMM< ε s A q A x @ 1` a2 + y@ 2b c2s
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
< δ A 
 
Trabalhando a desigualdade que envolve ε : 
3x + 2y@ 7
LLL MMM= 3x @ 3 + 2y@ 4LLL MMM
= 3 x @ 1
` a
+ 2 y@ 2
b cLLLL MMMM≤ 3 x @ 1` aLLL MMM+ 2 y@ 2b cLLLL MMMM
≤ 3 x @ 1LL MM+ 2 y@ 2LLL MMM
 
 
Pela propriedade de módulo, podemos concluir que: 
x @ 1
LL MM
= x @ 1
` a2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww ≤ x @ 1` a2 + y@ 2b c2s
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
< δ
y@ 2
LLL MMM= y@ 2b c2s
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
≤ x @ 1
` a2
+ y@ 2
b c2swwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww< δ
 
 
3x + 2y@ 7
LLL MMM≤ 3 x @ 1LL MM+ 2 y@ 2LLL MMM
< 3δ + 2δ = 5δ
 
 
Então comparando as inequações, podemos admitir: 
 
3x + 2y@ 7
LLL MMM< 5δ
3x + 2y@ 7
LLL MMM< ε
X^^\^
Z^ 
 ε = 5δ[ δ = ε5
fff
 
 
Portanto escolhendo δ = ε5
fff
 a definição de limite é verificada. 
 
Verificação do δ (opcional): 
3x + 2y@ 7
LLL MMM≤ 3 x @ 1LL MM+ 2 y@ 2LLL MMM
< 3δ + 2δ
< 3 A ε5
fff+ 2 A ε5fff= ε
 
 
Logo, lim
x, y
` a
Q 1, 2
b c 3x + 2y
b c
= 7
GUIDG.COM 4 
 
2) Mostrar pela definição que: 
lim
x, y
` a
Q 1, 3
b c 2x + 3y
b c
= 11 
 
3) Mostre pela definição que: 
lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c 2xy
x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
fffffffffffffffffffffffffffffff
= 0 
 
Solução: 
 
Queremos mostrar que: 
lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c 2xy
x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
fffffffffffffffffffffffffffffff
= 0 se 8 ε> 0 9 δ> 0 | 2xy
x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
fffffffffffffffffffffffffffffff
LLLLLLL
MMMMMMM< ε s A q A x 2 + y2q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
< δ A 
 
Pelas propriedades de módulo, concluímos que: 
 8 x, y
` a
≠ 0, 0
b c xLL MM≤ x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
y
LL MM≤ x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwX^^^\^
^^Z 
 
Trabalhando a desigualdade que envolve ε : 
2xy
x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
fffffffffffffffffffffffffffffff
LLLLLLL
MMMMMMM=
2 x
LL MMA yLL MM
x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
fffffffffffffffffffffffffffffff≤ 2 x
2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwA x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
≤ 2 x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
 
 
Comparado as inequações, podemos admitir: 
 
 
2xy
x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
fffffffffffffffffffffffffffffff
LLLLLLL
MMMMMMM< ε
≤ 2 x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
X^^^^^
^^^\^
^^^^^^^Z
 
 
ε = 2 x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww [ ε2fff= x 2 + y2q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
< δ
δ = ε2
fff 
Portanto escolhendo δ = ε2
fff
 a definição de limite é verificada. 
 
 
Verificação do δ (opcional): 
2xy
x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
fffffffffffffffffffffffffffffff
LLLLLLL
MMMMMMM≤ 2 A x 2 + y2q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
< 2 A ε2
fff
= ε
 
 
Logo, lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c 2xy
x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
fffffffffffffffffffffffffffffff
= 0 
GUIDG.COM 5 
 
4) Mostre pela definição que o limite existe: 
lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c 2xy
2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
 
 
Solução: 
 
Como não temos o valor L do limite, utilizando caminhos distintos vamos supor o limite e prova-lo. Já 
que o enunciado diz que ele existe. 
 
Seja o caminho C1 = x,y
` a
2 R
2 | x = 0R S (analogamente aos seguintes) ou informalmente C1 :x = 0 . 
Então o limite de duas variáveis passa a um limite de uma variável. 
Note que o caminho x = 0 é o eixo y (a interpretação dos demais caminhos são feitas de forma análoga, 
sejam retas, curvas, parábolas e etc.). 
 
lim
0, y
b c
Q 0, 0
b c f 0, y
b c
=
2xy2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffffHJ IK= lim
yQ 0
2 A 0 A y2
02 + y2
ffffffffffffffffffffffff
= 0 = L
 
 
 
C2 :y = 0 . 
lim
x, 0
b c
Q 0, 0
b c f x, 0
b c
=
2xy2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffffHJ IK= lim
xQ 0
2x A02
x 2 + 02
fffffffffffffffffffff
= 0 = L
 
 
 
C3 :y = kx . 
lim
x, kx
b c
Q 0, 0
b c f x, kx
b c
=
2xy2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
=
2x kx` a2
x 2 + kx` a2ffffffffffffffffffffffffffffff=
2x 3 k 2
x 2 1 + k 2
b cfffffffffffffffffffffffffffffffff
HLLJ
IMMK= lim
xQ 0
2xk 2
1 + k 2
ffffffffffffffffff
= 0 = L 
 
 
C4 :y = kx
2
 
lim
x, kx2
b c
Q 0, 0
b c f x, kx 2
b c
=
2xy2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
=
2x kx 2
b c2
x 2 + kx 2
b c2ffffffffffffffffffffffffffffffffff= 2x 5 k
2
x 2 1 + x 2 k 2
b cfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
HLLLLJ
IMMMMK= limxQ 0 2x
3 k 2
1 + x 2 k 2
fffffffffffffffffffffffffff
= 0 = L
 
 
Então pelo resultado L do limite ser igual nos quatro caminhos, supomos que L = 0 e seguimos para a 
verificação através da definição. 
 
Queremos mostrar que: 
 
lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c 2xy
2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
= 0 se 8 ε> 0 9 δ> 0 | 2xy
2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffffLLLLLL
MMMMMM< ε s A q A x 2 + y2q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
< δ A 
 
Trabalhando a desigualdade que envolve ε : 
 
2xy2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffffLLLLLL
MMMMMM= 2 x
LL MMy2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
 
 
...
GUIDG.COM 6 
 
Aqui podemos fazer as seguintes considerações: 
 
y2 ≤ x 2 + y2
x
LL MM≤ x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww 
 
Ou também: 
 
y2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff≤ x 2 + y2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
= 1 ; x,y
` a
≠ 0,0
b c
 
 
Substituindo: 
 
2xy2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffffLLLLLL
MMMMMM= 2 x
LL MM y2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
≤
2 x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww x 2 + y2b c
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
= 2 x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
 
 
Comparando: 
 
2xy2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffffLLLLLL
MMMMMM< ε
≤ 2 x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
X^^^^^
\^^
^^^^^Z
 
 
ε = 2 x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww [ ε2fff= x 2 + y2q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
< δ
δ = ε2
fff 
 
Portanto escolhendo δ = ε2
fff
 a definição de limite é verificada. 
 
Logo, lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c 2xy
2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
= 0 
 
VI ) Proposição: Se lim
x, y
` a
Q x0 , y0
b c f x,y` a= 0 e g(x, y) é uma função limitada numa bola aberta de centro 
em x0 , y0
` a
 , então: lim
x, y
` a
Q x0 , y0
b c f x,y` aA g x,y` a= 0 
A prova foi omitida, e pode ser encontrada no livro Cálculo B, pg 54/55. 
 
Exemplo: 
5) Utilizando a proposição mostre que o limite existe: 
lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c 2xy
2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
= 0 
 
GUIDG.COM 7 
 
Solução 1: 
Definindo f x,y` a= x ; g x,y` a= 2y2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
 então: 
lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c f x,y` a= 0 
Agora temos que mostrar que g(x,y) é limitada 8 x,y` a≠ 0,0b c : 
 
g x,y
` aLLL MMM= 2 y2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
= 2 A y
2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
≤ 2 A x
2 + y2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
= 2
 
 
Logo g x,y
` aLLL MMM≤ 2 8 x,y` a≠ 0,0b c , assim: 
 
lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c 2xy
2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
= lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c x A 2 y
2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
=
lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c x{~~~~~~ }~~~~~~y
L = 0
A 2y
2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
z~~~ |~~~xLimitada
= 0 
 
Solução 2: 
Definindo f x,y` a= 2y ; g x,y` a= yx
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
 então: 
lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c f x,y` a= 0 
 
Agora temos que mostrar que g(x,y) é limitada. Aplicando substituição polar (coordenadas polares), 
lembrando que: sin2 x + cos2 x = 1 
 
g r cosθ ,r sinθ
b c
=
yx
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
=
r sinθ A r cosθ
r2 cos2 θ + r2 sin2 θ
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
=
r2 A sinθ A cosθ
r2 cos2 θ + sin2 θ
b cfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff= sinθcosθ 
 
Logo g r cosθ,r sinθ
b cLLLL MMMM= sinθcosθLL MM≤ 1 8 x,y` a≠ 0,0b c ,assim: 
lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c 2xy
2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
= lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c2y A yx
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
=
lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c2y{~~~~~~~~ }~~~~~~~~y
L = 0
A
yx
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffffz~~~ |~~~xLimitada
= 0 
 
 
Quanto as propriedades: lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c 2xy
2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
 se f x,y` a= 2y ; g x,y` a= yx
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
 então: 
lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c 2xy
2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
= lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c f x,y` aA g x,y` a= lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c f x,y` aA lim
x, y
` a
Q 0, 0
b cg x,y
` a
= lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c2y A lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c yx
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff 
 
Quanto a substituição polar: g r cosθ ,r sinθ
b c
= sinθcosθ , e se: x,y` aQ 0,0b c então x 2 + y2 = r2 logo 
r2Q 0 , rQ 0 , e o limite também muda com a substituição, vamos ver o que acontece: 
 
... 
GUIDG.COM 8 
 
lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c 2xy
2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
= lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c f x,y` aA lim
r Q 0
g r cosθ,r sinθ
b c
= lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c2y A lim
rQ 0
sinθcosθ
=
lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c2y{~~~~~~~~ }~~~~~~~~y
L = 0
A sinθcosθ = 0 A sinθcosθ = 0
 
E isto se aplica de forma análoga as outros limites. 
 
6) Prove a inexistência por caminhos: 
lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c 2xy
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
 
 
Solução: 
 
Utilizando caminhos distintos vamos supor um valor L do limite, e se existir apenas um valor , 
provaremos pela definição: 
 
C1 :x = 0 
lim
0, y
b c
Q 0, 0
b c 2xy
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
=
2 A 0 A y
02 + y2
ffffffffffffffffffffff
= 0 = L1
HJ IK
 
 
C2 :y = 0 
lim
x, 0
b c
Q 0, 0
b c 2 A x A 0
x 2 + 02
fffffffffffffffffffff
= 0 = L1
F G
 
 
C3 :y = x 
lim
x, x
` a
Q 0, 0
b c 2xx
x 2 + x 2
ffffffffffffffffffffff
=
2x 2
2x 2
ffffffffff
= 1 = L2
F G
 
 
Como L1 ≠ L2 , isto é, por caminhos, concluímos que o limite não existe. 
Leia III e IV se não entender. 
 
 
7) lim
x, y
` a
Q 0, 2
b c
x 2 y@ 2
b c
x 4 + y@ 2
b c2ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff 
 
Solução: 
 
C1 :x = 0 
 
lim
0, y
b c
Q 0, 2
b c
02 y@ 2
b c
04 + y@ 2
b c2ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff= limyQ 2 0y2@ 4y + 4ffffffffffffffffffffffffffffffffffff= 0 = L1
F G
 
 
C2 :y = kx + 2 
 
lim
x, kx + 2
b c
Q 0, 2
b c
x 2 kx + 2@ 2` a
x 4 + kx + 2@ 2` a2fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
HJ IK= lim
xQ 0
x 2 kx` a
x 4 + kx` a2ffffffffffffffffffffffffffffff=
kx 3
x 2 x 2 + k 2
b cffffffffffffffffffffffffffffffffffff= kx
x 2 + k 2
ffffffffffffffffffffff
=
0
k 2
fffffff
= 0 = L1
HLJ
IMK 
 
GUIDG.COM 9 
 
C3 :y = kx
2
+ 2
 
lim
x, kx2 + 2
b c
Q 0, 2
b c
x 2 kx 2 + 2@ 2
b c
x 4 + kx 2 + 2@ 2
b c2fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff= limxQ 0
x 2 kx 2
b c
x 4 + kx 2
b c2ffffffffffffffffffffffffffffffffff= x 4 k
x 4 + k 2A x 4
fffffffffffffffffffffffffffffffff
=
x 4 k
x 4 1 + k 2
b cfffffffffffffffffffffffffffffffff= k
1 + k 2
ffffffffffffffffff
= L2
HLLLJ
IMMMK 
 
Como L1 ≠ L2 , isto é, por caminhos, concluímos que o limite não existe. 
 
 
8) Utilize caminhos e prove a existência do limite: 
lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c 3x
2 y
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
 
 
Solução: 
Utilizando caminhos distintos vamos supor um valor L do limite, e se existir apenas um valor , 
provaremos pela definição: 
 
C1 :y = kx 
lim
x, kx
b c
Q 0, 0
b c 3x
2 kx
x 2 + kx` a2ffffffffffffffffffffffffffffff= limxQ 0
3kx 3
x 2 1 + k 2
b cfffffffffffffffffffffffffffffffff= 3kx
1 + k 2
b cffffffffffffffffffffffff= 0 = L1
HLJ
IMK 
 
C2 :y = kx
2
 
lim
x, kx2
b c
Q 0, 0
b c 3x
2 kx 2
x 2 + kx 2
b c2ffffffffffffffffffffffffffffffffff= limxQ 0 3kx
4
x 2 1 + k 2 x 2
b cfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff= 3kx 2
1 + k 2 x 2
fffffffffffffffffffffffffff
= 0 = L1
HLJ
IMK 
 
Como o resultado L do limite é igual nos dois caminhos, supomos que L = 0 e seguimos para a 
verificação através da definição. 
 
Queremos mostrar que: 
 
lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c 3x
2 y
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
= 0 se 8 ε> 0 9 δ> 0 | 3x
2 y
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffffLLLLLL
MMMMMM< ε s A q A x 2 + y2q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
< δ A 
 
Vemos facilmente que, e pelas propriedades de módulos: 
 
 8 x, y
` a
≠ 0, 0
b c x 2 ≤ x 2 + y2
y
LL MM
= y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww≤ x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww< δ
X^^\^
Z^ 
 
Trabalhando a desigualdade que envolve ε : 
3x 2 y
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffffLLLLLL
MMMMMM= 3x
2 y
LL MM
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
≤
3 x 2 + y2
b c
y
LL MM
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
≤ 3 x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
 
 
Comparando as desigualdades, podemos admitir que: 
GUIDG.COM 10 
 
3x 2 y
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffffLLLLLL
MMMMMM≤ ε
≤ 3 x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
X^^^^^
\^^
^^^^^Z
 
 
ε = 3 x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww [ ε3fff= x 2 + y2q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
< δ
δ = ε3
fff 
 
Portanto escolhendo δ = ε3
fff
 a definição de limite é verificada. 
 
 
9) Calcule se possível: 
lim
x, y
` a
Q 0, 1
b c
3x 4 y@ 1
b c4
x 4 + y2@ 2y + 1
b c3fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff 
 
Solução: 
Utilizando caminhos distintos vamos supor um valor L do limite, e se existir apenas um valor , 
provaremos pela definição: 
 
C1 :y = kx + 1 
 
lim
x, kx + 1
b c
Q 0, 1
b c
3x 4 kx + 1` a@ 1b c4
x 4 + kx + 1` a2@ 2 kx + 1` a+ 1b c3
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
= lim
xQ 0
3x 4 k 4 x 4
x 4 + k 2 x 2 + 2kx + 1@ 2kx @ 2 + 1
b c3ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
lim
xQ 0
3x 8 k 4
x 4 + k 2 x 2
b c3fffffffffffffffffffffffffffffffffffffff= 3x 8 k
4
x 2 x 2 + k 2
b cd e3fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff= 3x
8 k 4
x 6
b c
x 2 + k 2
b c3ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff= 3x 2 k
4
x 2 + k 2
b c3fffffffffffffffffffffffffffffff= 0k 2fffffff= 0 = L1
HLLLJ
IMMMK
 
 
 
C2 :y = kx
2
+ 1
 
lim
x, kx + 1
b c
Q 0, 1
b c
3x 4 kx 2 + 1
b c
@ 1
d e4
x 4 + kx 2 + 1
b c2
@ 2 kx 2 + 1
b c
+ 1
f g3fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff= limxQ 0 3x
4 k 4 x 8
x 4 + k 2 x 4 + 2kx 2 + 1@ 2kx 2@ 2 + 1
b c3fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
lim
xQ 0
3x12 k 4
x 4 + k 2 x 4
b c3fffffffffffffffffffffffffffffffffffffff= 3x12 k
4
x 4 1 + k 2
b cd e3ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff= 3x
12 k 4
x12 1 + k 2
b c3fffffffffffffffffffffffffffffffffffff= 3k
4
1 + k 2
b c3fffffffffffffffffffffffffff=L2
HLLLJ
IMMMK
 
 
 
Como L1 ≠ L2 , isto é, por caminhos, concluímos que o limite não existe. 
 
 
10) lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c xy
2
x 2 + y4
ffffffffffffffffffffff
 
 
GUIDG.COM 11 
 
Solução: 
Utilizando caminhos distintos vamos supor um valor L do limite, e se existir apenas um valor , 
provaremos pela definição: 
 
C1 :y = 0 
lim
x, 0
b c
Q 0, 0
b c x0
2
x 2 + 04
fffffffffffffffffffff
= lim
xQ 0
0
x 2 + 04
fffffffffffffffffffff
= 0 = L1 
 
C2 :y = kx 
lim
x, kx
b c
Q 0, 0
b c
x kx` a2
x 2 + kx` a4ffffffffffffffffffffffffffffff= limxQ 0
x 3 k 2
x 2 + k 4 x 4
ffffffffffffffffffffffffffffff
=
x 3 k 2
x 2 1 + k 4 x 2
b cfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff= xk 2
1 + k 4 x 2
fffffffffffffffffffffffffff
= 0 = L1
HLJ
IMK 
 
C3 :y = xpwwwwwwwwwwwwwwwwwww 
lim
x, xpwwwwwwwwwwb cQ 0, 0b c
x xpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwb c2
x 2 + xpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwb c4
fffffffffffffffffffffffffffffffffff
= lim
xQ 0
x 2
x 2 + x 2
ffffffffffffffffffffff
=
x 2
2x 2
ffffffffff
=
1
2
fff
= L2
F G
 
 
Como L1 ≠ L2 , isto é, por caminhos, concluímos que o limite não existe. 
 
 
11) lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c x
3 + y3
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
 
 
Solução: 
Utilizando caminhos distintos vamos supor um valor L do limite, e se existir apenas um valor , 
provaremos pela definição: 
 
C1 :y = kx 
lim
x, kx
b c
Q 0, 0
b c
x 3 + kx` a3
x 2 + kx` a2ffffffffffffffffffffffffffffff= limxQ 0
x 3 + k 3 x 3
x 2 + k 2 x 2
ffffffffffffffffffffffffffffff
=
x 3 1 + k 3
b c
x 2 1 + k 2
b cfffffffffffffffffffffffffffffffff= x + xk 3
1 + k 2
fffffffffffffffffffffff
= 0 = L1
HLLJ
IMMK 
 
C2 :y = xpwwwwwwwwwwwwwwwwwww 
lim
x, xpwwwwwwwwwwb cQ 0, 0b c
x 3 + xpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwb c3
x 2 + xpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwb c2
fffffffffffffffffffffffffffffffffff
= lim
xQ 0
x 3 + x xpwwwwwwwwwwwwwwwwwww
x 2 + x
fffffffffffffffffffffffffffffffff
=
x x 2 + xpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwb c
x x + 1
` afffffffffffffffffffffffffffffffffffffff= x 2 + xpwwwwwwwwwwwwwwwwwww
x + 1
fffffffffffffffffffffffffff
= 0 = L1
HLJ
IMK 
 
Como o resultado L do limite é igual nos dois caminhos, supomos que L = 0 e seguimos para a 
verificação através da definição. 
 
Queremos mostrar que: 
 
lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c x
3 + y3
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
= 0 se 8 ε > 0 9 δ> 0 | x
3 + y3
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffffLLLLLL
MMMMMM< ε s A q A x 2 + y2q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
< δ A 
 
GUIDG.COM 12 
 
Podemos admitir que: 
 
 
x 2 ≤ x 2 + y2 e x
LL MM
= x 2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww≤ x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww<δ
y2 ≤ x 2 + y2 e y
LL MM
= y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww≤ x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww<δ
X^^^\^
^^Z 
 
(☻) Trabalhando a desigualdade que envolve ε : 
 
x 3 + y3
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffffLLLLLL
MMMMMM= x
LL MMx 2 + yLL MM y2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
≤
x
LL MM x 2 + y2b c+ yLL MM x 2 + y2b c
x 2 + y2
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
=
x 2 + y2
b c
x
LL MM+ yLL MMb c
x 2 + y2
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
= x
LL MM+ yLL MM
< 2δ
 
 
Comparando as desigualdades, vemos que: 
 
x 3 + y3
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffffLLLLLL
MMMMMM≤ ε
< 2δ
X^^^^\^
^^^Z 
 
ε = 2δ [ δ = ε2
fff
 
Portanto escolhendo δ = ε2
fff
 a definição de limite é verificada. 
 
 
Também podemos resolver de outra maneira a partir deste ponto: 
 
(☻) Trabalhando a desigualdade que envolve ε : 
 
x 3 + y3
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffffLLLLLL
MMMMMM= x
LL MMx 2 + yLL MM y2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
≤
x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwx 2 + x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwy2
x 2 + y2
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
=
x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww x 2 + y2b c
x 2 + y2
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
≤ x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww< δ
 
 
Portanto escolhendo δ = ε a definição de limite também é verificada. 
 
 
GUIDG.COM 13 
 
Agora vamos usar a proposição, aplicando as propriedades de limites: 
 
lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c x
3 + y3
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
=
xx 2 + yy2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffffffffffff
=
xx 2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff+ yy2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffffHJ IK
= lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c xx
2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff+ lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c yy
2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
=
lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c x{~~~~~~ }~~~~~~y
L = 0
lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c x
2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
z~~~~~~~~~~~~~ |~~~~~~~~~~~~~xI
+
lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c y{~~~~~~ }~~~~~~y
L = 0
lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c y
2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
z~~~~~~~~~~~~~ |~~~~~~~~~~~~~xII
 
 
Queremos mostrar que as funções dos limites I [ f(x, y) ] e II [ g(x, y) ] , (isto é estamos definindo as 
funções) são funções limitadas com (x, y) ≠ (0, 0) . 
 
I ) x
2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff≤ x 2 + y2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
= 1 , assim: f x, y` aLLL MMM≤ 1
 
 
II) y
2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff≤ x 2 + y2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
= 1 , assim: g x, y
` aLLL MMM≤ 1
 
 
Logo pela proposição fica provado que lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c x
3 + y3
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
= 0 . 
 
Também pode-se aplicar a substituição polar para a resolução (siga o exemplo 5). 
 
 
12) Calcule se possível: 
lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c x
2 y2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
 
 
Solução: 
Utilizando caminhos distintos vamos supor um valor L do limite, e se existir apenas um valor , 
provaremos pela definição: 
 
C1 :y = xpwwwwwwwwwwwwwwwwwww 
lim
x, xpwwwwwwwwwwb cQ 0, 0b c
x 2 xpwwwwwwwwwwwwwwwwwww2
x 2 + xpwwwwwwwwwwwwwwwwwww2
fffffffffffffffffffffffffffff
= lim
xQ 0
x 3
x 2 + x
fffffffffffffffffff
=
x 3
x x + 1
` afffffffffffffffffffffffffff= x 2
x + 1
ffffffffffffffff
= 0 = L1
HJ IK
 
 
C2 :y = x 2 
lim
x, x2
b c
Q 0, 0
b c
x 2 x 2
b c2
x 2 + x 2
b c2ffffffffffffffffffffffffffffff= limxQ 0 x
6
x 2 + x 4
ffffffffffffffffffffff
=
x 6
x 2 1 + x 2
b cfffffffffffffffffffffffffffffffff= x 4
1 + x 2
ffffffffffffffffff
= 0 = L1
HLJ
IMK 
 
Como o resultado L do limite é igual nos dois caminhos, supomos que L = 0 e seguimos para a 
verificação através da definição. 
 
Queremos mostrar que: 
 
GUIDG.COM 14 
 
lim
x, y
` a
Q 0, 0
b c x
2 y2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff
= 0 se 8 ε > 0 9 δ> 0 | x
2 y2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffffLLLLLL
MMMMMM< ε s A q A x 2 + y2q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
< δ A 
 
Vemos facilmente que, e pelas propriedades de módulos: 
 
x 2 ≤ x 2 + y2 e x
LL MM= x 2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww≤x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww< δ
y2 ≤ x 2 + y2 e y
LL MM= y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww≤ x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww< δ
X^^^\^
^^Z 
 
Trabalhando a desigualdade que envolve ε , num dos métodos possíveis: 
x 2 y2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffffLLLLLL
MMMMMM= x
LL MM2 y2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffff≤ x
LL MM2 y2 + x 2b c
x 2 + y2
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
= x
LL MM2
≤ x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwd e2
 
 
Agora comparamos as desigualdades: 
x 2 y2
x 2 + y2
ffffffffffffffffffffffLLLLLL
MMMMMM≤ ε
≤ x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwd e2
X^^^^^
^^^\^
^^^^^^^Z
 
 
 ε = x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwd e2 [ εpwwwwwwwwwwwwwwwww= x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww< δ [ δ = εpwwwwwwwwwwwwwwwww 
 
Portanto escolhendo δ = εpwwwwwwwwwwwwwwwww a definição de limite é verificada.