Cálculo Diferencial e Integral II - Resumo dos Teoremas de Séries Infinitas

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19/6/2012 – CDI-2: Resumo dos Teoremas de Séries Infinitas. 
 
Tags: Séries infinitas, Séries, Resumo de Séries, Definições, Critérios de Convergência, Testes de Séries infinitas, Teoremas, Propriedades, 
Colorários, Séries Convergentes e Divergentes, Condicionalmente Convergente e Absolutamente Convergente... 
 
Este resumo foi escrito para alunos que já cursaram ou estão cursando a disciplina de Cálculo II. O objetivo é por os teoremas 
mais importantes em mãos numa linguagem clara e rápida. No entanto o aluno que usar este resumo deve demonstrar ou ao 
menos ver a demonstração dos teoremas abaixo, a fim de esclarecer todos os detalhes e as conclusões. 
Bibliografia: Leithold, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica Vol. 2; Apostila de Cálculo Diferencial e Integral II (Udesc-CCT) 
 
 
 
 
Série infinita. 
Seja an :NCQR uma seqüência numérica. Denomina-se série infinita, a soma de todos os infinitos 
termos dessa seqüência, e denota-se por: 
 
X
n = 1
+1
an = a1 + a2 + a3 + …+ an + … 
 
Os números a1 , a2 , a3 , … , an , … são chamados de termos da série infinita. 
an é chamado também de termo geral da série, ou n-ésimo termo da série. 
 
 
Soma parcial e Seqüência de somas parciais. 
 
Seja a série X
n = 1
+1
an , então a soma dos k primeiros termos desta série, é dada por... 
S k =X
n = 1
k
an = a1 + a2 + a3 + …+ ak 
 
...e é denominada soma parcial da série dada. 
 
Note que as somas... 
 
S1 = a1
S 2 = a1 + a2 = S1 + a2
S 3 = a1 + a2 + a3 = S 2 + a3
S 4 = a1 + a2 + a3 + a4 = S 3 + a4
… = …
S k = S k@ 1 + ak
 
 
...formam uma seqüência, denominada seqüência de somas parciais. 
 
 
Soma de uma série, Série Convergente e Série Divergente. 
 
Seja X
n = 1
+1
an uma série infinita e S k a seqüência de somas parciais desta série. 
Então se existir o lim
kQ +1
S k e for igual a S , dizemos que a série dada é convergente, sendo S a soma 
desta série. 
Mas se não existir o lim
kQ +1
S k , então a série será divergente e não terá uma soma. 
 
 
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Permanência de Caráter. 
 
I) Seja a série infinita X
n = 1
+1
an , podemos multiplicar a série por uma constante c , e adicionar ou subtrair 
um número finito de termos da série que seu caráter divergente ou convergente permanecerá inalterado. 
 
 
II) Se X
n = 1
+1
an for uma série convergente, e S n a soma parcial dos termos desta série, então o produto de 
uma constante c pela série, é o produto de c pela soma desta série: 
 
c AX
n = 1
+1
an = c A S n . 
 
A série resultante permanece convergente, e a soma agora multiplicada por c . 
 
 
III) Se X
n = 1
+1
an for uma série convergente de termos positivos, seus termos podem ser agrupados de 
qualquer maneira, e a série resultante permanecerá convergente e com a mesma soma que a série inicial. 
 
IV) Se X
n = 1
+1
an for uma série convergente de termos positivos, a ordem dos termos pode ser rearranjada 
de qualquer maneira, e a série resultante permanecerá convergente e com a mesma soma que a série 
inicial. 
 
 
Propriedades. 
 
Seja X
n = 1
+1
an uma série convergente e X
n = 1
+1
bn uma série divergente, então a série X
n = 1
+1
an + bn
b c
 será 
divergente. 
Se ambas as séries forem convergentes, então a série X
n = 1
+1
an + bn
b c
 será convergente. 
Mas se ambas forem divergentes, a série X
n = 1
+1
an + bn
b c
 pode ou não ser convergente. 
 
 
Séries Especiais. 
 
I) Série geométrica: É a série que pode ser escrita na forma: 
 
X
n = 1
+1
c A rn@ 1 = c + cr + cr2 + …+ crn@ 1 + … 
 
c é uma constante, e r é a razão. 
 
A série geométrica é divergente se rLL MM≥ 1 . 
A série geométrica é convergente se r
LL MM< 1 . 
Se r
LL MM< 1 , a soma da série geométrica é X
n = 1
+1
c A rn@ 1 =
c
1@ r
fffffffffffffff
 . 
 
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II) Séries p: Harmônica e Hiper-harmônica. 
 
São as séries escritas na forma X
n = 1
+1 1
n p
fffffff
 , onde p é uma constante. 
 
Se p = 1 temos X
n = 1
+1 1
n
ffff
 . Esta é a série Harmônica, e ela é divergente. 
 
Se p < 1 , a série p é divergente. 
 
Se p > 1 , a série p é convergente. 
 
 
 
 
Séries de termos de sinais quaisquer: São as séries formadas por termos positivos e negativos. 
 
As Séries Alternadas são casos particulares das séries de termos de sinais quaisquer, por seguirem um 
padrão de alternância de sinais. 
 
Seja an > 0 8 n 2 NC . Denominamos série alternada às séries dos tipos: 
 
X
n = 1
+1
@ 1
` an + 1
an = a1@ a2 + a3@ a4 + …+ @ 1
` an + 1
an + … 
 
X
n = 1
+1
@ 1
` an
an =@ a1 + a2@ a3 + a4@…+ @ 1
` an
an + … 
 
 
Condição necessária para a convergência: 
Se X
n = 1
+1
an for uma série convergente, então lim
n Q +1
an = 0 . 
 
 
Teste da Divergência: Seja a série X
n = 1
+1
an . 
Se lim
n Q +1
an ≠ 0 então a série é divergente. 
 
Se lim
n Q +1
an = 0 a série pode ou não ser convergente. 
 
 
Teste da Integral: Seja a Série X
n = 1
+1
an , tomando an = f n` a , então a função deve ser: 
 
Contínua, Positiva e Decrescente 8 n 2 NC . 
 
Se a integral imprópria Z
1
+1
f n` adn
 convergir então a série será convergente. 
Se a integral divergir, então a série será divergente. 
 
 
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Teste da Comparação. 
 
Sejam X
n = 1
+1
an e X
n = 1
+1
bn séries de termos positivos. 
 
I) Se X
n = 1
+1
bn for uma série convergente e 0 ≤ an ≤ bn 8 n 2 N
C
, então a série X
n = 1
+1
an será 
convergente. 
 
II) Se X
n = 1
+1
bn for uma série divergente e an ≥ bn ≥ 0 8 n 2 N
C
, então a série X
n = 1
+1
an será divergente. 
 
 
Teste das séries alternadas (Teste de Leibniz). 
 
Considere a série alternada X
n = 1
+1
@ 1
` an
an ou X
n = 1
+1
@ 1
` an + 1
an , com an > 0 . 
I) Se an > an + 1 > an + 2 > … isto é a seqüência é decrescente 8 n 2 NC . 
 
II) E o lim
n Q +1
an = 0 . 
 
Então a série alternada é convergente. 
 
 
Convergência Absoluta e Condicional. 
 
Seja X
n = 1
+1
an uma série de termos de sinais quaisquer, então: 
 
I) Se X
n = 1
+1
an
LL MM
 é convergente, a série X
n = 1
+1
an também será convergente, e é denominada absolutamente 
convergente. 
 
II) Se X
n = 1
+1
an
LL MM
 for divergente, nada podemos concluir sobre X
n = 1
+1
an sem estuda-la. 
 
III) Se X
n = 1
+1
an for convergente e X
n = 1
+1
an
LL MM
 for divergente, então a série é denominada condicionalmente 
convergente. 
 
 
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Teste da Razão e Teste da Raiz. 
 
* São testes que possuem as mesmas conclusões (e com demonstrações semelhantes) e podem ser 
aplicados em séries de termos positivos e séries de termos de sinais quaisquer, bastando verificar qual 
teste é adequado ao caso. 
 
 
Teste da Razão: 
Seja X
n = 1
+1
an uma série infinita, com an > 0 8 n 2 N e lim
n Q +1
a
n + 1
an
ffffffffffffffLLLLL
MMMMM= L . 
 
Teste da Raiz: 
Seja X
n = 1
+1
an uma série infinita, com an > 0 8 n 2 N e lim
n Q +1
an
LL MMnqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= L . 
 
Conclusões: 
 
I) Se L < 1 , a série é convergente / absolutamente convergente. 
 
II) Se L > 1 , a série é divergente. 
 
III) Se L = 1 , nada podemos concluir.