Cap 2 2 Alunos

Prévia do material em texto

1
MECÂNICA - ESTÁTICA
Vetores Forças
Cap. 2
Prof Dr. Cláudio Curotto
Adaptado por:
Prof Dr. Ronaldo Medeiros-Junior TC021 - Mecânica Geral I - Estática 2
Exemplo 2.2B
Decomponha a força horizontal de 600 N da Figura nas componentes
que atuam ao londo dos eixos u e v e determine as intensidades
dessas componentes
TC021 - Mecânica Geral I - Estática 3
Força mínima
Determinar a direção θ para que o módulo da força F2 seja mínimo. 
F1
R
F2
α
ϴ
F1
F2
α = ϴ
R
TC021 - Mecânica Geral I - Estática 4
Força mínima
Determinar a direção θ para que o módulo da força F2 seja mínimo. 
F1
F2
α
R
F1
F2
α = ϴ
R
ϴ < α 
F1
F2
α
R ϴ > α 
TC021 - Mecânica Geral I - Estática 5
Problema 2.30
Três cabos puxam um tubo criando
uma resultante de módulo igual a 900 
lb. Se dois destes cabos são sujeitos
a forças conhecidas, mostradas pela
figura, determine a direção θ do 
terceiro cabo para que o módulo da
força F neste cabo seja mínimo. As 
forças são coplanares, plano x-y. 
Qual é o módulo de F?
DicaDica: primeiro encontre : primeiro encontre 
a resultante das forças a resultante das forças 
conhecidas.conhecidas.
TC021 - Mecânica Geral I - Estática 6
Problema 2.30
R1,2
105°
φφφφ
α
400 lb
600 lb
⇒⇒⇒⇒
Usando a regra do paralelogramo para encontrar 
a resultante dos vetores conhecidos:
2
TC021 - Mecânica Geral I - Estática 7
Problema 2.30
2 2
1,2
lei dos cosenos:
600 400 2(600)(400)cos105 802,64 lb
900 802,64 97,4 lb
R
F
= + − ° =
= − =
R1,2
105°
φφφφ
400 lb600 lb
R1,2
105°
φφφφ
α
400 lb
600 lb
F
= ϴ
lei dos senos
600 802,64
sen sen105
46,22
46,22 30 16,2
φ
φ
α θ
=
°
= °
= = ° − ° = °
TC021 - Mecânica Geral I - Estática 8
Exemplo 2.4
É necessário que a força resultante
que age sobre a argola seja
direcionada ao longo do eixo x 
positivo e que F2 tenha uma
intensidade mínima. Determine essa
intensidade, o ângulo ϴ e a força
resultante correspondente.
F1 = 800 N
F2
x
60o
ϴ
TC021 - Mecânica Geral I - Estática 9
Exemplo 2.4
F1 = 800 N
F2
x
60o
ϴ
800 
60o
R 
F2
ϴ
ϴ
800 
60o
R 
F2
Como as intensidades (comprimentos) de FR e F2 não são especificadas, então F2 
pode ser qualquer valor que tenha sua extremidade tocando a linha de ação de FR. 
Entretanto, a intensidade de F2 deve ser uma distância mínima, ou a mais curta, o 
que ocorre quando sua linha de ação é perpendicular à linha de ação de FR, ou seja, 
quando ϴ = 90o. 
TC021 - Mecânica Geral I - Estática 10
Exemplo 2.4
F1 = 800 N
F2
x
60o
ϴ
800 
60o
R 
F2
ϴ
ϴ
800 
60o
R 
F2
Como a adição vetorial forma agora um triângulo retângulo reto, as duas
intensidades desconhecidas podem ser obtidas pela trigonometria.
FR = (800) cos 60o = 400 N
F2 = (800) sen 60o = 693 N
TC021 - Mecânica Geral I - Estática 11
Objetivos
�Mostrar como somar forças e decompô-las em 
componentes usando a lei do paralelogramo.
�Expressar a força e a sua localização na forma 
vetorial cartesiana e explicar como determinar a 
intensidade e a direção dos vetores.
�Introduzir o conceito de produto escalar para 
determinar o ângulo entre dois vetores ou a projeção 
de um vetor sobre o outro.
TC021 - Mecânica Geral I - Estática 12
2.4 Adição de um Sistema de Forças Coplanares
Notação Escalar:
�As componentes de F são Fx e Fy
�As componentes de F’ são F’x e –F’y
�Esta notação é usada somente para efeito de cálculos, 
não para representação gráfica nas figuras
�Graficamente, a ponta da seta determina o sentido do 
vetor.
3
TC021 - Mecânica Geral I - Estática 13
2.4 Adição de um Sistema de Forças Coplanares
Notação Escalar:
�As componentes de F são Fx e Fy
Fx = F cos ϴ
Fy = F sen ϴ
colado no ângulo = cosseno
ϴ
separado do ângulo = seno
TC021 - Mecânica Geral I - Estática 14
2.4 Adição de um Sistema de Forças Coplanares
Notação Vetorial Cartesiana:
�Em duas dimensões os vetores unitários cartesianos são i e j
� i e j determinam a direção dos eixos x e y, respectivamente
� i e j possuem módulo unitário adimensional
�Seus sentidos são descritos por um sinal de mais ou de menos
TC021 - Mecânica Geral I - Estática 15
⇒⇒⇒⇒
F’ = F’ xi + F′y(-j)
ou
F’ = F′xi - F′yj
2.4 Adição de um Sistema de Forças Coplanares
Notação Vetorial Cartesiana:
⇒⇒⇒⇒ F = Fxi + Fyj
TC021 - Mecânica Geral I - Estática 16
2.4 Adição de um Sistema de Forças Coplanares
Resultantes de Forças Coplanares:
�Decomponha cada força nas direções x e y
⇒⇒⇒⇒
F1 = F1xi + F1yj
F2 = -F2xi + F2yj
F3 = F3xi - F3yj
TC021 - Mecânica Geral I - Estática 17
2.4 Adição de um Sistema de Forças Coplanares
Resultantes de Forças Coplanares:
�Adicione os respectivos componentes usando algebra 
escalar simples pois eles são colineares
FR = F1 + F2 + F3
= F1xi + F1yj -F2xi + F2yj + F3xi - F3yj
= (F1x - F2x + F3x)i + (F1y + F2y - F3y)j
= (FRx)i + (FRy)j
onde Rx x Ry yF F F F= Σ = Σ
TC021 - Mecânica Geral I - Estática 18
2.4 Adição de um Sistema de Forças Coplanares
Resultantes de Forças Coplanares:
⇒⇒⇒⇒ FR = (FRx)i + (FRy)j
(+→) FRx = F1x - F2x + F3x
(+↑) FRy = F1y + F2y - F3y
Usando a notação escalar:
4
TC021 - Mecânica Geral I - Estática 19
2.4 Adição de um Sistema de Forças Coplanares
Resultantes de Forças Coplanares:
�De uma forma geral
 
onde 
Rx Ry
Rx x Ry y
F F
F F F F
= +
= Σ = Σ
RF i j
2 2
-1
θ tan
R Rx Ry
Ry
Rx
F F F
F
F
= +
=
TC021 - Mecânica Geral I - Estática 20
Pontos importantes
TC021 - Mecânica Geral I - Estática 21
Problema 2.33
Determine o módulo da 
força F tal que a 
resultante FR das três 
forças seja a menor 
possível. 
TC021 - Mecânica Geral I - Estática 22
Problema 2.33 - Solução
A regra do paralelogramo é usada para
decompor F, F1 e F2
⇒⇒⇒⇒
y
45º
F
Fx
Fy
F2=12kN
F1=20kN
F1x
F1y
35
4
x
TC021 - Mecânica Geral I - Estática 23
Problema 2.33 - Solução
Notação Escalar: Somando os componentes 
algebricamente:
+
 → FRx = Fx∑∑
FRx = 20
4
5





− F cos45°
⇒ FRx =16 − 0.70711F →
+↑ FRy = Fy∑∑
FRy = 20
3
5





−12 + F sin 45°
⇒ FRy = 0.70711F ↑
y
45º
F
Fx
Fy
F2=12kN
F1=20kN
F1x
F1y
35
4
x
TC021 - Mecânica Geral I - Estática 24
Problema 2.33 - Solução
O módulo da resultante FR é:
FRx =16− 0.70711F
FRy = 0.70711F
FR = FRx
2 + FRy
2
FR = (16 − 0.70711F )2 + (0.70711F )2
FR = F
2
− 22.627F + 256 (1)
5
TC021 - Mecânica Geral I - Estática 25
Problema 2.33 - Solução
2 2 22.627 256 (1)RF F F= − +
Pontos críticos:
f’(x) = 0
x1 x2
Derivida da função igual a 0
Nos pontos críticos, o coeficiente
angular (derivada) é zero
TC021 - Mecânica Geral I - Estática 26
Problema 2.33 - Solução
2
2 2
Da Equação (1)
22.627 256
22.627 256
Diferenciando
2 2 22.627
11.314 (2)
R
R
R
R
R
R
F F F
F F F
dFF F
dF
dFF F
dF
= − +
= − +
= −
= −
TC021 - Mecânica Geral I - Estática 27
Problema 2.33 - Solução
R
R
2
2
Para obter a resultante mínima F ,
dF 0; Assim da equação 2
dF
11.314 0
11.3 kN
Substituindo F 11.314 kN na equação (1)
22.627 256 (1)
11.314
14 k
22.627(11.314) 256 128.00
11
.3 N
.
11
R
R
R
F
F
F F F
F
F
F
=
− =
∴ =
=
= − +
= − + =
=
=
314 kN (4)
TC021 - Mecânica Geral I - Estática 28
Problema 2.33 – Solução pelo Excel
O módulo da resultante FR é:
FR = F
2
− 22.627F + 256 (1)
Utilizando o Excel coloque F numa
célula (A2) e a fórmula de FR em
outra(B2).
Se Dados/Solver não estiver
disponível, ative o mesmo em
Arquivo/Opções/Suplementos/G
erenciar Suplementos do Excel
ver arquivo incluso
TC021 - Mecânica Geral I - Estática 29
Problema 2.33 – Solução pelo Excel
Defina B2 como Objetivo
(Target), selecione Min
como valor do objetivo
e A2 como a célula
variável.
Clique em Resolver 
(Solve) e o problema
estará resolvido. A 
solução será:
F = 11.3 kN com
FR = 11.314 kN