NOÇÕES DE LÓGICA

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INICIAÇÃO À LÓGICA
	Esta apostila tem o objetivo de apresentar algumas noções básicas de Lógicas que, por certo, contribuirão para melhor assimilação dos assuntos tratados neste curso.
	A lógica fundamenta os raciocínios e as ações; o pensamento lógico geralmente é criativo e inovador. A cabeça humana é uma máquina notável que não pode e nem deve ser robotizada. O raciocínio lógico lubrifica e torna mais produtivo o pensar em direção ao porvir. 
 
Proposições: 
	Na linguagem natural nos acostumamos a vários tipos de proposições ou sentenças:
declarativas:
Márcio é engenheiro;
Todos os homens são maus.
interrogativas:
Será que Roberto vai ao cinema?
Quantos candidatos foram aprovados no concurso para o Banco Central?
exclamativas:
Que garota!
Feliz natal!
imperativas:
Feche a porta.
Não falte ao colégio.
Estudaremos somente as proposições declarativas, pois elas podem facilmente ser classificadas em verdadeiras (V) ou falsas (F).
Sentenças abertas: 
Quando numa proposição substituirmos algumas (ou todas) componentes por variáveis, obteremos 
uma sentença aberta.
	Exemplo: Seja a proposição: Nilza é maranhense. Se substituirmos o nome Nilza pela variável x obteremos a sentença aberta: x é maranhense, a qual não é, necessariamente, verdadeira nem falsa.
	Outros exemplos:
X é filho de Y;
X + 3 > 8
X – Y = 12
Conectivos: 
Denomina-se conectivo a certas palavras ou frases que em Lógica são utilizadas para formarem 
através de proposições simples outras em proposições compostas. 
	Os conectivos usuais são:
	CONECTIVOS
	SÍMBOLOS
	LÊ-SE
	NEGAÇÃO
	
	não
	CONJUNÇÃO
	
	e
	DISJUNÇÃO
	
	ou
	CONDICIONAL
	
	se . . . então
	BICONDICIONAL
	
	se e só se
se e somente se
Proposições simples: 
		Diz-se que uma proposição é simples quando declara ou afirma algo sem o uso de nenhum dos conectivos: “e”, “ou”, “se . . . então” e “se, e somente se”. É também chamada de átomos. Costuma-se representá-las pelas letras minúsculas do alfabeto latino: a, b, c,... ou p, q, r, ... ou p1, p2, p3
Exemplos:
p: O nº 5 é ímpar;
q: O homem é mortal;
c) r: 8 : 2 = 3
Proposições compostas: 
Denominam-se proposições compostas às proposições formadas (ou conectadas) por duas ou 
mais proposições simples. Ao fazermos uso da linguagem combinamos ideias simples através de conectivos, obtendo, então, proposições compostas.
Exemplos:
	Sejam as proposições (átomos) abaixo:
		p : Tales de Mileto foi um sábio;
		q: Barrabás um bandido;
		r: Jô Soares é gordo;
		s: Inteligente;
		t: o quadrilátero tem os lados paralelos dois a dois;
		u: É um paralelogramo;
		v: Um nº natural é ímpar;
		x: não for par.
Linguagem Comum:
Tales de Mileto foi um sábio e Barrabás um bandido;
Jô Soares é gordo ou inteligente.
Se o quadrilátero tem os lados paralelos dois a dois, então, é um paralelogramo.
Um nº natural é ímpar se, e somente se não for par.
Se Tales de Mileto foi um sábio e Barrabás um bandido, então Jô Soares é gordo.
Conectivo Lógico ou Forma simbólica:
p ^ q		b) r v s			c) t → u		d) v ↔ x		e) p ^ q → r
Axiomas Fundamentais de Lógica:
Princípio da identidade:
Se qualquer proposição é verdadeira, então, ela é verdadeira.
Princípio da não contradição:
Uma proposição lógica não pode ser falsa e verdadeira simultaneamente.
Principio do Terceiro Excluído:
Toda proposição lógica ou é falsa ou é verdadeira (não existe uma terceira alternativa).
Valores lógicos das proposições:
O valor lógico de uma proposição p é a verdade (ou é verdadeiro) se p é verdadeira. 
Escrevendo-se v(p) = V. Lê-se: valor lógico de p é V.
O valor lógico de uma proposição q é a falsidade (ou é falso) se q for falsa. 
Escrevendo-se v(q) = F. Lê-se: valor lógico de q é F.
Os valores “verdadeiro” (V) e “falso” (F) são chamados valores lógicos (ou valores veritativos).
	Exemplos:
Considere a proposição p: A terra gira em torno do Sol.
O valor lógico de p é V. Escreve-se: v(p) = V.
Seja a proposição q: A massa da água é maior que a do mercúrio.
O valor lógico de q é F. Escreve-se: v(q) = F.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO:
1) Das expressões seguintes, diga quais são sentenças abertas e quais são proposições declarativas:
	a) x + 2 = 7		
b) 5 + 4 ≠ 8		
c) 2 – x ≤ 7		
d) 3 > 6 e 3 + 2 = 4
2) Sejam as proposições:
	p: O empregado foi demitido.
	q: O patrão indenizou o empregado.
Forme sentenças, na linguagem natural, que correspondam às proposições seguintes:
~ p		
b) ~ q		
c) p ^ q	
d) p v q	
e) ~ p ^ q	
f) p v ~ q	
g) ~ (~p)
	
3) Sejam as proposições:
	p: Jô Soares é gordo.
	q: Jô é artista.
Escreva, na forma simbólica, cada uma das proposições seguintes:
Jô Soares não é gordo.
Jô Soares não é artista.
Não é verdade que Jô Soares não é gordo.
Jô Soares é gordo ou artista.
Jô Soares não é gordo e é artista.
Operações com Proposições Lógicas – TABELA VERDADE
O valor lógico, V ou F, de uma proposição composta é totalmente determinado pelos valores lógicos das proposições simples que a constituem e pela operação do conectivo envolvido.
Os conectivos são operações lógicas. Logo, os símbolos ~, v, ^ , → e ↔, são sinais lógicos de operação. Cada um dos conectivos tem definição própria.
NEGAÇÃO: ~ p ( Lê-se: não p) 
Dada uma proposição como: “A Terra é plana”, podemos formar a sua negação de um dos 
seguintes modos:
			“Não é verdade que a Terra é plana”, ou então, “é falso que a Terra é plana”, ou, ainda, “a Terra não é plana”.
A negação de p será simbolizada por ~p e deve obedecer à seguinte tabela-verdade:
	p
	~ p
	V
	F
	F
	V
		
	Obs.: A proposição ~(~p) é equivalente à proposição p. Negar uma negação significa fazer uma afirmação.
			Exemplos:
p: As galinhas têm pelos.
~p: As galinhas não têm pelos.
q: Lídia é estudiosa.
~q: É falso que Lídia é estudiosa.
p: Ela gosta de você.
~p: Não é verdade que ela gosta de você. 
b) CONJUNÇÃO: p ^ q ( Lê-se: p e q) 
Chamando de p a proposição simples: “Pedro II foi imperador do Brasil” e denominado de q a 
proposição simples: “Isaac Newton foi um dos três maiores matemáticos do mundo”, a proposição composta simbolizada por p ^ q, é:
	p ^ q: “Pedro II foi imperador do Brasil ^ Isaac Newton foi um dos três maiores matemáticos do mundo”.
			A Proposição composta p ^ q é chamada conjunção das proposições p e q.
			A proposição composta p ^ q somente é verdadeira nos casos em que as proposições simples p e q forem ambas verdadeiras. Se uma das proposições (ou ambas) for falsa, a proposição composta p ^ q será considerada falsa.
			A definição dada pode ser resumida na seguinte tabela-verdade:
		Exemplos: 
p: Pitágoras era grego.
q: Descartes era francês.
			p ^ q: Pitágoras era grego ^ Descartes era francês.
			Solução: v(p) = V	v(q) = V	v(p^q) = V
p: O Brasil situa-se na América do sul.
q: A Argentina é uma nação europeia.
			q ^ p: A Argentina é uma nação europeia ^ o Brasil situa-se na América do Sul.
			Solução: v(q) = F	v(p) = V	v(p^q) = F
c) DISJUNÇÃO: p v q (Lê-se: p ou q) 
			Na linguagem coloquial a palavra “ou” tem dois sentidos. Exemplifiquemos:
			Sejam as duas seguintes proposições compostas:
		p: Amilton é bombeiro ou eletricista.
		q: Rosa é mineira ou goiana.
			A proposição p está indicando que pelo menos umas das proposições “Amilton é bombeiro”, “Amilton é eletricista” é verdadeira, podendo serem ambas verdadeiras: “Amilton é bombeiro e eletricista”.
			Mas, a proposição q está afirmando que somente uma das proposições “Rosa é mineira”, “Rosa é goiana” é verdadeira, pois não é possível ocorrer “Rosa é mineira e goiana”.
			Na proposição p diz-se que o “ou” é inclusivo, já na proposição q, o “ou” é exclusivo. Logo, a proposição p éa disjunção inclusiva ou simplesmente disjunção das proposições simples “Amilton é bombeiro”, “Amilton é eletricista”. Enquanto que a proposição q é a disjunção exclusiva das proposições simples “Rosa é mineira”, “Rosa é goiana”.
		Obs.: Atendendo ao que se propõe este curso, trabalharemos somente com o “ou inclusivo”.
“Ou” inclusivo (símbolo v):
A disjunção inclusiva de duas proposições p e q é a proposição composta “p v q”, que é falsa 
quando o valor lógico das proposições p e q forem ambos falsos e verdadeira nos demais casos, ou seja, quando pelo menos uma das proposições simples é verdadeira. O conectivo “ou” inclusivo é também chamado de soma lógica.
		Exemplos:
p: Aracaju é a capital de Sergipe.
q: 9 – 7 = 2.
			p v q: Aracaju é a capital de Sergipe v 9 – 7 = 2.
			Solução: v(p) = V	v(q) = V	v(pvq) = V
p: O imperador Pedro II nasceu no Brasil.
q: Manaus é capital de Alagoas.
			p v q: O imperador Pedro II nasceu no Brasil v Manaus é capital de Alagoas.
			Solução: v(p) = F	v(q) = F	v(pvq) = F
d) CONDICIONAL: p → q (Lê-se: Se p, então q) 
			Quando duas proporções são conectadas com a palavra “se” antes da primeira e a inserção da palavra “então” entre elas, a proposição resultante é composta (também chamada de proposição hipotética, implicativa ou uma implicação). 
			Numa proposição condicional, o componente que se encontra entre “se” e o “então” costuma ser chamado de antecedente (ou implicante) e o componente que se segue à palavra “então” é chamado de consequente (ou implicado).
		“Se o coronel mora na mesma quadra do professor, então o coronel ganha exatamente o quíntuplo do que ganha o professor”, é uma proposição condicional em que “o coronel mora na mesma quadra do professor” é o antecedente e o “coronel ganha exatamente o quíntuplo do que ganha o professor” é o consequente.
			Uma proposição condicional afirma que seu antecedente implica seu consequente. Não afirma que seu antecedente seja verdadeiro, mas tão somente que, se seu antecedente for verdadeiro, então seu consequente será, também, verdadeiro. Nem afirma que o consequente é verdadeiro, mas somente que o consequente é verdadeiro se o antecedente o for. 
			O significado essencial de uma proposição condicional está na relação de implicação que se afirma existir entre o antecedente e o consequente, nesta ordem.
			Como no caso da disjunção “ou”, também aqui poderá ter mais de um significado. Atente para as quatro proposições seguintes, observando que as quatro proposições condicionais, são de tipos bastante diferentes:
			p: “Se todos os números naturais pertencem a N e 1999 é um número natural, então, 1999 pertence a N”.
			O consequente da proposição p decorre, logicamente, do seu antecedente.
			q: “Se 64 é par, então, 64 não é ímpar”.
			O consequente da proposição q só decorre do seu antecedente em virtude da própria definição do número par, que significa número não ímpar.
			r: Se o flamengo perder o jogo, então, comerei minha camisa.
			A proposição r comunica uma decisão da pessoa que fala de tomar certa atitude em determinada circunstância. Não decorre do seu antecedente pela lógica, por definição dos termos, ou porque esteja envolvida qualquer lei casual – no sentido usual do termo.
			s: Se aplicarmos dinheiro na poupança, então, ficaremos ricos.
			A proposição s não decorre de seu antecedente somente pela lógica ou pela definição de seus termos; a conexão é casual, pois ficar rico depende de uma série de fatores como, por exemplo, quantia aplicada, tempo de aplicação, taxas, etc.
			As quatros proposições condicionais que acabamos de examinar diferem, à medida que declaram um diferente tipo de implicação entre seus antecedentes e consequentes. Contudo, não são totalmente diferentes; todas afirmam algum tipo de implicação.
			Vale dizer que há outro tipo de implicação diferente das quatro mencionadas, que denomina-se de implicação material, pois é essa que iremos trabalhar.
			A implicação material é um quinto tipo de proposição condicional e não sugere qualquer “conexão real” entre o antecedente e o consequente. 
			Tudo o que se afirma é que, de fato, não acontece o caso de o antecedente ser verdadeiro quando o consequente for falso. A implicação material só será falsa quando o antecedente for verdadeiro e consequente for falso. Nos demais casos o valor lógico será verdadeiro. 
			O valor lógico do condicional de duas preposições p e q é definido pela tabela-verdade.
			Exemplo:
			p: Napoleão era um gênio militar.
			q: Eu sou sobrinho de um macaco.
			p → q: Se Napoleão era um gênio militar, então eu sou sobrinho de um macaco.
			Solução: v(p) = V	v(q) = F	v(p → q) = F 
e) BICONDICIONAL: p ↔ q (Lê-se: p se e somente/só se q)
			A conjunção da sentença p → q com a sentença q → p resulta na sentença p ↔ q.
			Assim, (p → q) ^ (q → p) equivale a p ↔ q.
			A proposição “A condição necessária e suficiente para que 7 seja maior que 4 é que 2 seja menor que 9”, pode ser escrita assim:
							7 > 4 ↔ 2 < 9
			Chama-se bicondicional p ↔ q à proposição representada por “p se, e somente se q” cujo valor lógico é a verdade (V), quando p e q são ambos verdadeiros ou ambos falsos e, a falsidade (F), quando p e q têm valores lógicos diferentes. 
			O valor lógico do bicondicional de duas proposições p e q é definido pela tabela-verdade:
	Exemplo:
	p: No triângulo pode-se traçar três diagonais.
	q: 91 é um número primo.
	p ↔ q: No triângulo pode-se traçar três diagonais se e somente se, 91 é um número primo.
	Solução: v(p) = F	v(q) = F	v(p ↔ q) = V
Confecção de uma TABELA - VERDADE:
Nº de linhas de uma tabela-verdade: 
	Sabe-se que uma proposição composta pode ser formada de duas ou mais proposições simples.
	O nº de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta está em função do número de proposições simples que a compõem.
	Teorema: A tabela-verdade de uma proposição composta com n proposições simples contém 2n linhas.
	 Hipótese: 
	Seja P uma proposição composta formada pelas “n” proposições simples p1, p2, p3,...., pn.
	 Tese:
	Números de linhas da tabela-verdade de P é igual a 2n.
	 Demonstração:
	Toda proposição simples tem dois valores lógicos: V e F, que se excluem. Para uma proposição composta P com n proposições simples p1, p2, p3, ...., pn há tantas possibilidades de atribuição dos valores lógicos V e F ás proposições simples que compõem P, quantos são os arranjos com repetição dos 2 elementos ( V e F ) n a n.
	Com efeito, temos: (AR)2,n = 2n
	Exemplos:
Para uma proposição p, o nº de linhas da tabela-verdade é 21 = 2.
	p
	V
	F
Para duas proposições p e q, o nº de linhas da tabela-verdade é 22 = 4.
	p
	q
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	F
	Vejamos na prática alguns exemplos:
	a) (p → q) ^ (q → p) (durante a aula)
	b) ~p ↔ ~ (q v r) (durante a aula)
Observação:
- Quando o valor lógico de uma proposição é toda V (verdade), teremos uma TAUTOLOGIA.
- Quando o valor lógico de uma proposição é toda F (falso), teremos uma CONTRADIÇÃO.
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO:
4) Construa a TABELA – VERDADE das seguintes proposições lógicas:
a) ~ ( p ^ q ) v ( q v p ) =				 b) ( ~ p ^ ~ q ) ^ ( q v p ) =
c) ( p ^ q ) → ( ~ p v r ) =				 d) ( p v q ) → [ ( q v p ) ^ ( ~ r ) ] =
e) ( q v p ) v ( ~ p ^ ~ q ) =				 f) ~ ( p ^ q ) ↔ [ ( ~ p ) → ( q v r ) ] =
g) ~ ( p v ~q) → ( ~p ↔ ~q)				 h) [ ~ ( p → ~q)] v ( p → q)
i) [( ~p → ~r ) v ( q ↔ p)] → ~ [( ~q v r) ^ (p ^ q)]	 j) [( p → q) v ( q → r)] → [( ~q → ~r ) ^ ( ~p → ~q)]
Relação de Implicação ou Implicação Lógica:
Sejam A e B duas proposições lógicas, dizemos que A implica 
logicamente B só e só se a CONDICIONAL A → B é uma TAUTOLOGIA.
Notação: A 
 B ( lê-se: A implica B ou A acarreta B)
	Obs: → ≠ 
 
 A BExemplo: Prove que ( p ^ q ) 
 ( p v q )
Tabela Verdade:	
					 A	 B
	p
	q
	( p ^ q )
	( p v q )
	A → B
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	 F
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	F
	F
	V
Relação de Equivalência:
Sejam A e B duas proposições lógicas, dizemos que A equivalente 
 logicamente a B se e só se a BICONDICIONAL A ↔ B tem sempre o mesmo valor lógico e é TAUTOLÓGICO.
Notação: A 
 B ( A é equivalente a B)
Obs: ↔ ≠ 
 
Exemplo: Prove que:
( p ^ q ) 
 ( p v q )		 A	 B
	p
	q
	( p ^ q )
	( p v q )
	A ↔ B
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	 F
	V
	F
	V
	F
	F
	F
	F
	F
	V
						 A ≠ B
(p → q) 
 ( ~ q → ~ p)		 A	 B
	p
	q
	~ q 
	~ p
	( p → q)
	( ~ q → ~ p)
	A ↔ B
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	V
	V
	F
	 V
	F
	F
	F
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	V
	V
	V
 A = B
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO:
5) Prove que:
( q v p ) 
 ( ~ p ^ ~ q ) =				b) p v ( q ^ r ) 
 ( p v q ) ^ ( p v r ) =
c) ~ ( p → r ) 
 ( q v p ) v ~ ( p ^ r ) =			d) ( p ^ ~ q ) 
 ( ~ p v ~ q ) → ~ r =
Negação das Operações Lógicas:
	a)
	Negação da Negação
	~ p
	~ ( ~ p ) 
 p
	b)
	Negação da Conjunção
	p ^ q
	~ ( p ^ q ) 
 ~ p v ~ q
	c)
	Negação da Disjunção
	p v q
	~ ( p v q ) 
 ~ p ^ ~ q
	d)
	Negação da Condicional
	p → q
	~ ( p → q ) 
 p ^ ~ q
	e)
	Negação da Bicondicional
	p ↔ q
	~ ( p ↔ q ) 
 ( p ^ ~ q ) v ( q ^ ~ p )
Proposições Associadas a uma Condicional:
	Dado a condicional p → q , chamam-se proposições associadas a essa condicional as três seguintes proposições:
	a) RECÍPROCA ou CONVERSO: p → q = q → p
	b) CONTRÁRIA ou INVERSO: p → q = ~ p → ~ q
	c) CONTRAPOSITIVA ( Lei de De Morgan): p → q = ~ q → ~ p
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO:
6) Encontrar:
a) A contrapositiva de p → ~ q :				
b) A contrapositiva de ~ p → q :
c) A contrapositiva de ~ p → ~ q :				
d) A recíproca de p → q :
e) A contrapositiva da recíproca de p → ~ q :		
f) A recíproca da contrapositiva de ~ p → ~ q :
g) A contrária da recíproca de ~ p → ~ q :
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES:
7) Se a conexão é lenta, então o download demora. Logo:
a) se a conexão não é lenta, então o download não demora.
b) o download demora.
c) se o download não demora, então a conexão não é lenta.
d) a conexão é lenta.
e) se o download demora, então a conexão é lenta.
8) Sabe-se que se André é administrador, então ele é pobre. Pode-se concluir que:
a) Se André é administrador, então ele é rico.
b) Se André é pobre, então ele é administrador.
c) Se André é pobre, então não é administrador.
d) Se André não é pobre, então não é administrador.
9) Se não é carnaval, então os sambistas não dançam nas ruas. Logo:
a) Se os sambistas não dançam nas ruas, então não é carnaval.
b) Se é carnaval, então os sambistas dançam nas ruas.
c) Se é carnaval, então os sambistas não dançam nas ruas.
d) Se os sambistas dançam nas ruas, então não é carnaval.
e) Se os sambistas dançam nas ruas, então é carnaval.
10) Se chove ou neva, então o chão fica molhado.
a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou.
b) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou.
c) Se o chão está molhado, então choveu e nevou.
d) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou.
11) Considere as seguintes proposições:
p: está frio;
q: está chovendo.
Então, a proposição composta por p e q, que é uma tautologia, é:
Se está frio, então está chovendo.
Se está frio, então está frio e chovendo.
Se está chovendo, então está frio e chovendo.
Se está frio e chovendo, então está frio se, e somente se, está chovendo.
Se está chovendo, então está frio.
RESPOSTAS:
1) Sentenças abertas: a, c.		
 Proposições declarativas: b, d
 
2) a) O empregado não foi demitido	
 b) O patrão não indenizou o empregado
 c) O empregado foi demitido e o patrão indenizou o empregado
 d) O empregado foi demitido ou o patrão indenizou o empregado
 e) O empregado não foi demitido e o patrão indenizou o empregado
 f) O empregado foi demitido ou o patrão não indenizou o empregado
 g) não é verdade que o empregado não foi demitido (o empregado foi demitido) 
 
3) a) ~p	b) ~q		c) ~(~p) / p		d) p v q	e) ~p ^ q
4) a) V V V V	 	 b) F F F F		c) V F V V V V V V		d) F V F V F V V V	 e) V V V V	
f) F F V V V V V F	 g) VVFV		h) VFVV	 i) FVVVVVVV		j) VVFVFFFV
5) a) F F F V 
 				b) V V V V V V V V 
 c) V V V V V V V V 
			d) F F F V V F V F 
6) a) q → ~ p		b) ~ q → p	c) q → p	d) q → p	e) ~ p → q	f) p → q	g) q → p
7) c)		
8) d)		
9) e) 		
10) d) 		
11) d) 
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p é uma proposição simples.
V e F são os dois valores lógicos que, exclusivamente, podem ser atribuídos a p.
p e q são proposições simples.
(V,V), (V,F), (F,V) e (F,F) são os quatro pares ordenados de valores lógicos das proposições p e q.
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