Lista 5

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5a LISTA DE A´LGEBRA LINEAR
1. Determine se cada uma func¸a˜o dada e´ uma transformac¸a˜o linear.
(a) T : R2 → R3 tal que (x1, x2) 7→ (x1 + x2, x1x2, x1 − x2)
(b) T : R4 → R3 tal que (x1, x2, x3, x4) 7→ (2x1 + x2 + x3 − x4, 4x1 − x2 + 2x3, x1 −
x2 + 2x4)
(c) T : R4 → R3 tal que (x1, x2, x3, x4) 7→ (x1 + x2, 0, x2)
(d) T : R3 → R3 tal que (x1, x2, x3) 7→ (0, 0, 0)
(e) T : R4 → R3 tal que (x1, x2, x3, x4) 7→ (x21+x2+x3−x4, x1−x2+2x3, x1−x2+2x4)
(f) T : R2 → R2 tal que (x1, x2) 7→ (1 + x1, x2)
(g) T : R2 → R2 tal que (x1, x2) 7→ (sen(x1), x2)
2. Das func¸o˜es do exemplo anterior, determine N(T ) e T (E), sendo E = Dom(T ), no caso
em que T e´ linear.
3. Seja C(0, 1) = {f : (0, 1) → R; f e´ cont´ınua}, o conjunto das func¸o˜es reais definidas
em (0, 1) e contı´nuas. C(0, 1) com as operac¸o˜es (f + g) : (0, 1) → R tal que, ∀ x ∈
(0, 1), (f + g)(x) = f(x) + g(x), e (a · f) : (0, 1)→ R tal que, ∀ x ∈ (0, 1), (a · f)(x) =
a · f(x), a ∈ R, e´ um espac¸o vetorial real. Seja
I :C(0, 1)→ R
f 7→
∫ 1
0
f(x)dx.
Mostre que I e´ uma transformac¸a˜o linear.