Derivadas de Forma Simplificada

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Derivadas- Com base nos Vídeos do Professor Fernando Grings 
 Ao derivarmos a função f(x), a derivada necessariamente será f’(x); 
 A derivada de constante é zero; 
 A derivada de uma incógnita elevada a 1 sempre será um (exemplo: 
 f(x)=x -> f’(x)=1; 
f(x)= 7x -> f’(x)=7; 
 A derivada de uma função f(x)=xp -> f’(x)= pxp-1, cai o expoente e subtrai 1 (exemplos: 
f(x)=x3 -> f’(x)=3x3-1=3x2; 
f(x)=3x4-> f’(x)= 3.4x4-1 -> f’(x)= 12x³; 
f(x)=x-2-> f’(x)= -2x-2-1-> f’(x)= -2x-3); 
 Ao se ter uma função soma, podemos simplesmente derivar parte por parte e ao final 
juntarmos tudo (exemplo: 
f(x)=3x5-2x1+10 -> f’(x)= 3.5x5-1-2.(1)+0 -> f’(x)= 15x4-2, pois ao derivarmos “tentamos” 
nos livrar de x, tanto que a derivada de x desacompanhado de um numerador 
diferente de zero sempre será um, e a derivada de uma constante qualquer SEMPRE 
será zero; 
 G(x)= 3 -> G(x)= 3x-5 -> G’(x)= 3(-5)x-5-1->G’(x)= -15x-6 -> G’(x)= -15 ; 
 x5 x6 
 No caso mostrado acima ao termos uma incógnita no denominador devemos “subir” 
pra o numerado trocando o sinal do expoente e efetuando a derivação normalmente; 
 Se tivermos n√ap => ap/n , depois deriva normalmente, por exemplo: 
 f(x)=3√x4 -> f(x)=x4/3 -> f’(x)= (4/3)x(4/3)-1 -> f’(x)= (4/3)x1/3 -> f’(x)= (4/3)3√x1; 
 Caso a fração que acompanha a incógnita fosse negativa deveríamos usar o raciocínio 
da questão anterior e colocar a raiz para o denominador, por exemplo: 
g(x)=73√x -> g(x)=7x1/3 -> g’(x)= (7.(1/3))x(-2/3) -> g’(x)= 7 -> g’(x)= 7 . 
 3x²/3 33√x2 
 G(x)=ex -> G’(x)= ex, em outras palavras a derivada do ex SEMPRE será ele próprio, por 
exemplo: 
G(x)=3ex -> G’(x)= 3ex; 
 H(x)= ln(x) -> H’(x)= 1/x, SEMPRE, esta é uma definição, por exemplo: 
H(x)=5 ln(x) -> H’(x)= 5(1/x) -> H’(x)= 5/x; 
 
 
 Se tivermos uma constante multiplicando uma incógnita ela não será derivada, por 
exemplo: 
f(x)=(1/8)x8-4x4 
f’(x)=(1/8).(8)x8-1-4(4)x4-1 
f’(x)=(8/8)x7-16x3 
f’(x)=x7-16x3 
 Ao termos uma derivada de uma função diferente de x, ou seja , uma função de uma 
função, derivamos primeiro a função mais externa e por último a interna, exemplo: 
y=√(2x2-1)³ , o normal seria √(x)³ , logo (2x²-1) está desempenhando o papel de ‘x’, com 
isso percebemos que a raiz está sendo a função mais externa e por isso será derivada 
1º , então abrimos a raiz para podermos deriva-lá-> y= (x)3/2 -> y’= (3/2)(x)(3/2)-1 -> 
y’=(3/2)(x)1/2 -> y’= (3/2) √(x), mas o valor de ‘x’ na verdade e (2x²-1), então temos uma 
função interna em relação aquela função √x, logo teremos que deriva-lá também, 
 y’= (3/2) √(2x²-1)(2x²-1)’ -> y’= (3/2) √(2x²-1)(4x) -> y’= ((3/2)4x) √(2x²-1) -> 
y’= (12x/2) √(2x²-1) -> y’= (6x) √(2x²-1). Logo a derivada de y=√(2x2-1)³ e y’= (6x) √(2x²-
1). 
 f(x)= ((2x+1)/(x+5)).(3x-1) -> f(x)=((6x²+x-1)/(x+5)), nesse caso iremos usar a regra do 
quociente(y=f/g) que diz que y=(f’.g- f.g’)/g² -> 
f’(x)= [(6x²+x-1)’(x+5)-(6x²+x-1)(x+5)’]/(x+5)²- > f’(x)=[(12x+1)(x+5)-(6x²+x-1)(1)]/(x+5)² -
> f’(x)=[12x²+60x+x+5-(6x²+x-1)]/(x+5)² -> f’(x)= [12x²+60x+x+5-6x²-x+1)]/(x+5)² -> 
f’(x)= (6x²+60x+6)/(x+5)² 
 y=3x²-> y’= 3x².ln(3).2x , logo o que constatamos é que a derivada de y=au -> 
y=au.ln(a).u’ 
 
 
 Reta Tangente: Tangencia o gráfico em apenas um ponto, o ângulo e dado por f’(x0); 
 Reta Normal: E perpendicular ao gráfico, fazendo um ângulo de 90º;