Resumo de Resistência dos Materiais - UNICAMP

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL
Departamento de Estruturas
 
 
RESUMO DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
 
Prof. Dr. Nilson Tadeu Mascia 
Bolsista Ped: Elias Antonio Nicolas 
 Pad: Bianca Lopes de Oliveira, 
 Renato Saldanha Victor (revisão 2008) 
 
Campinas, Fevereiro - 2003 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
2 
 
 
SUMÁRIO 
 
1-FLEXÃO GERAL .................................................................................03 
2-TORÇÃO................................................................................................26 
3-CENTRO DE CISALHAMENTO EM SEÇÕES SIMÉTRICAS.........51 
4-TEORIA DAS TENSÕES......................................................................65 
5-TEORIA DAS DEFORMAÇÕES.........................................................76 
6-ENERGIA DE DEFORMAÇÃO...........................................................86 
7-CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA.........................................................104 
8-FLAMBAGEM.....................................................................................117 
9-BIBLIOGRAFIA..................................................................................128 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
3 
 
 
OBSERVAÇÃO INICIAL 
 
Esta apostila tem por objeto dar ao aluno que freqüenta o curso de EC-501 – 
Resistência dos Materiais II um material que o auxilie no acompanhamento das aulas 
regulares. Não tem por meta substituir outras apostilas ou livros de Resistência dos 
Materiais . Constitui-se como notas de um caderno de um aluno, com a colocação de 
alguns exemplos adicionais. 
 
 
 
1-FLEXÃO GERAL 
 
- Momentos de segunda ordem: 
 
zy, eixos centrais de inércia. 
- Momentos de inércia centrais: 
AzI
A
y ∂⋅= ∫ 2 
AyI
A
z ∂⋅= ∫ 2 
 - Produto de inércia: 
AzyI
A
yz ∂⋅⋅= ∫ 
AzbAzI
AA
y ∂⋅+=∂⋅= ∫∫ 22 )( 
AzzbbI
A
y ∂⋅+⋅⋅+= ∫ )2( 22 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
4 
 
AzAbI
A
y ∂⋅+⋅= ∫ 22 
Momento estático = ∫ ∂⋅=
A
AzS 
S = 0 em relação ao c.g. 
yy
IAbI +⋅= 2 
zz IAcI +⋅= 2 
yzyz IAcbI +⋅⋅= 
• “b” e “c” são coordenadas do c.g. em relação ao sistema (y,z). 
- Rotação dos eixos (u,v): 
 
 
Matriz de transformação de coordenadas: 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
z
y
v
u
αα
αα
cossen
sencos
 
αα sencos ⋅+⋅= zyu 
αα cos⋅+⋅−= zsenyv 
AvI
A
u ∂⋅= ∫ 2 
AzyI
A
u ∂⋅⋅+⋅−= ∫ 2)cossen( αα 
AzyAzAyI
AAA
u ∂⋅⋅⋅⋅⋅−+∂⋅⋅+∂⋅⋅= ∫∫∫ αααα cossen2cossen 2222 
αααα cossen2cossen 22 ⋅⋅⋅−⋅+=
yzyzu
IIII 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
5 
 
AzyAuI
AA
v ∂⋅⋅+⋅=∂⋅= ∫∫ 22 )sencos( αα 
αααα cossen2sencos 22 ⋅⋅⋅+⋅+=
yzyzv
IIII 
AzyzyAvuI
AA
uv ∂⋅+−⋅+=∂⋅⋅= ∫∫ )cossen()sencos( αααα 
( ) ( )αααα 22 sencoscossen −+⋅⋅−=
yzzyuv
IIII 
- Utilizando Arcos duplos: ααα cossen22sen ⋅⋅= 
 ααα 2cossencos 22 =− 
 1sencos 22 =+ αα 
Tem-se: 
αα 2sen2cos
22
⋅−⋅−++= yzzyzyu I
IIII
I 
αα 22cos
22
senI
IIII
I yz
zyzy
v ⋅+⋅
−−+= 
αα 2cos2
2
⋅+⋅−= yzzyuv Isen
II
I 
22
22cos
22 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⋅−⋅−=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +− αα senIIIIII yzzyzyu 
( )
2
2 2cos2
2 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⋅+⋅−= αα yzzyuv Isen
II
I 
yz
zy
uv
zy
u I
II
I
II
I 2
2
2
2
22
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +− 
- Equação da circunferência 
• ( ) 2220 Ryxx =+− 
• (y0 = 0) 
• (x0, y0) posição do centro. 
 
 
Círculo de Mohr: 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
6 
 
 
I1 = momento de inércia máximo 
I2 = momento de inércia mínimo. 
Em I1 e I2 tem-se: Iuv = 0. 
02cos2
2
=⋅+⋅−= αα yzzyuv Isen
II
I 
yz
yz
II
I
tg −
⋅= 22α 
 
Propriedade: 
cteIIIIIIII vuzyzy =+=+=+=+ 21 
Valores de I1 e I2. 
yz
zyzy I
IIII
I 2
2
1 22
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ += 
yz
zyzy I
IIII
I 2
2
2 22
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ += 
 
 
 
 
Exercícios: 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
7 
 
 
1) Calcular os momentos principais (I1 e I2) de inércia e suas direções ( 1α e 2α ). 
 
 
 
2) Calcular os momentos principais (I1 e I2) de inércia e suas direções ( 1α e 2α ). 
 
 
 
 
 
3) Calcular os momentos principais (I1 e I2) de inércia e suas direções ( 1α e 2α ). 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
8 
 
 
 
 
 
4) Calcular os momentos principais (I1 e I2) de inércia e suas direções ( 1α e 2α ). 
(resolvido) 
 
 
 
 
 
 
Resolução do exercício 4: 
- Divisão da seção em áreas: 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
9 
 
 
 
Centro de gravidade (c.g.): 
( ) cmA
Ay
y
i
ii 88,5
5,0125,1115
05,01265,05,115,105,015 =⋅++
⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅= ∑
∑ 
( ) cmA
Az
z
i
ii 60,6
5,0125,1115
65,01285,05,1165,015 =⋅++
⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅= ∑
∑ 
 
Momento de inércia de cada seção: 
 
Área 1: 
4
3
1 16,012
5,015 cmI z =⋅= 
4
3
1 63,14012
155,0 cmI y =⋅= 
⇒= 01yzI seção retangular 
 
 
 
Rotação dos eixos da área 1: 
 087,36=α
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
10 
 
αα 2sen2cos
221
⋅−⋅−++== yzzyzyuy I
IIII
II 
4
1
06,900)74,73cos(24,7040,70 cmI
y
=−⋅+= 
αα 2sen2cos
221
⋅+⋅−−+== yzzyzyvz I
IIII
II 
4
1
73,500)74,73cos(24,7040,70 cmI z =+⋅−= 
αα 2cos2sen
21
⋅+⋅−== yzzyuvyz I
II
II 
4
1
43,670)74,73sen(24,70 cmI yz =+⋅= 
 
Área 2: 
4
3
2 12,012
5,05,11 cmI y =⋅= 
4
3
2 37,6312
5,115,0 cmI z =⋅= 
⇒= 02yzI seção retangularÁrea 3: 
4
3
3 7212
125,0 cmI y =⋅= 
4
3
3 13,012
5,012 cmI z =⋅= 
⇒= 03yzI seção retangular 
 
 
 
 
Momento de inércia total: 
4222 3,1785,0126,0725,05,114,112,05,0156,006,90 cmI y =⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅+= 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
11 
 
4222 82,4815,01288,513,05,05,1112,037,635,01562,473,50 cmI z =⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅+= 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 477,685,0126,088,55,05,114,112,05,01562,46,043,67 cmI
yz
=⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅−+⋅⋅−⋅+=
 
Direções principais: 
453,0
3,17882,481
77,68222 =−
⋅=−
⋅=
yz
yz
II
I
tg α 
02,12=′α 
02,102=′′α 
 
Momentos principais de inércia: 
( )222,1 22 yzzyzy IIIIII +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −±⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ += 
( )222,1 77,682
82,4813,178
2
82,4813,178 +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −±⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=I 
4
1 68,496 cmI = 
4
2 45,163 cmI = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tensões Normais à Seção Transversal 
Seja: 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
12 
 
 
- Flexão Pura: quando atua apenas o momento fletor. (N=V=0). 
Hipóteses: 
1. A distribuição da tensão normal na seção é linear. 
2. O material é isotrópico e segue a lei de Hooke ( εσ ⋅= E ; γτ ⋅= G ). 
3. As seções planas permanecem planas após o carregamento. 
- Tensão ( xσ ) 
 
Da hipótese (1): yKx ⋅=σ (variação linear), onde K = constante. 
Sabe-se que 
A
F=σ que resulta em AF xx ∂⋅=∂ σ , e que yFM xz ⋅∂=∂ . Assim: 
AyyAM xxz ∂⋅⋅=⋅∂⋅=∂ σσ 
AyKM z ∂⋅⋅=∂ 2 
∫∫ ∂⋅⋅=∂=
AA
zz AyKMM
2 → ∫ ∂⋅⋅=
A
z AyKM
2 → zz IKM ⋅= 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
13 
 
Como 
z
z
I
MK = e yKx ⋅=σ , tem-se: 
• y
I
M
z
z
x ⋅=σ 
 
- Flexão oblíqua pura: o plano de cargas é inclinado de um ângulo θ em relação ao 
plano vertical. O vetor momento é inclinado do mesmo ângulo em relação ao eixo z. 
 
 
 Essa flexão é tratada como a superposição de duas flexões normais (Mz e My): 
θcos⋅= MM z 
θsen⋅= MM y 
 
 
A tensão normal será: xxx σσσ ′′+′= , onde yKx ⋅′=′σ e zKx ⋅′′=′′σ . 
Logo: zKyKx ⋅′′+⋅′=σ . 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
14 
 
Sabe-se que ∫∫ ⋅∂⋅=⋅∂=
A
x
A
xz yAyFM σ 
∫ ∂⋅⋅⋅′′+⋅′=
A
z AyzKyKM )( → ∫ ∂⋅⋅⋅′′+⋅′=
A
z AzyKyKM )(
2 
∫ ∫ ∂⋅⋅⋅′′+∂⋅⋅′=
A A
z AzyKAyKM )()(
2 → ∫ ∫ ∂⋅⋅⋅′′+∂⋅⋅′=
A A
z AzyKAyKM
2 
• yzzz IKIKM ⋅′′+⋅′= 
∫∫ ⋅∂⋅=⋅∂=
A
x
A
xy zAzFM σ → ∫ ∂⋅⋅⋅′′+⋅′=
A
y AzzKyKM )( 
∫ ∂⋅⋅⋅′+⋅′′=
A
y AzyKzKM )(
2 → ∫ ∫ ∂⋅⋅⋅′+∂⋅⋅′′=
A A
y AzyKAzKM )()(
2 
∫ ∫ ∂⋅⋅⋅′+∂⋅⋅′′=
A A
y AzyKAzKM
2 
• yyzy IKIKM ⋅′′+⋅′= 
Como o sistema yz é central de inércia, ou seja, vuzy ,, → (momentos principais de 
inércia), tem-se: 
0== uvyz II 
yzzz IKIKM ⋅′′+⋅′= → 
v
v
vv I
M
KIKM =′→⋅′= 
yyzy IKIKM ⋅′′+⋅′= → 
u
u
uu I
M
KIKM =′′→⋅′′= 
Assim: 
vKuKx ⋅′′+⋅′=σ 
v
I
M
u
I
M
u
u
v
v
x ⋅+⋅=σ 
 A linha neutra é o lugar geométrico dos pontos da seção transversal onde as 
tensões normais são nulas. 
0=⋅+⋅= v
I
M
u
I
M
u
u
v
v
xσ → uI
I
M
M
v
v
u
u
v ⋅⋅−= 
Sendo 
• θsen⋅= MM u 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
15 
 
• θcos⋅= MM v 
Substituindo: 
u
I
I
M
Mv
v
u ⋅⋅⋅
⋅−= θ
θ
sen
cos 
u
I
I
tg
v
v
u ⋅⋅−= θ
1 
Essa é a equação da linha neutra. 
 
 
Se 
v
u
I
I
tg
tg ⋅−= θβ
1 
utgv ⋅=∴ β 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
16 
 
 
5) Calcular os valores extremos de tensão (tração e compressão) que surgirão na viga. O 
peso próprio é desprezado. A carga P é vertical e passa pelo c.g. da seção. 
Dados: 4167.124 cmI y = , 4042.461 cmI z = , 4375.194 cmI yz = . 
 
6) Qual deve ser o valor do momento fletor admissível num plano que forma com o 
eixo y um ângulo de 30o ?. Dados: 41408cmI y = , 42656cmI z = , 4864cmI yz −= , 
2/1000 cmtf=σ 
 
7) Determinar na seção crítica a linha neutra e calcular a flecha máxima em A. 
2/200 cmtfE = 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
17 
 
1 m 3 m 
P=2 tf 10 
10 151015
15 
15 
15 
10 
medidas em cm
 
 
Resolução do exercício 5 
 
Calcular os valores extremos de σ (tração e compressão) que surgirão na viga. O 
peso próprio é desprezado. A carga P é vertical e passa pelo cg da seção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados: Iy = 124167 cm4 
 Iz = 461042 cm4 
 Iyz = 194375 cm4 
 
 
 
Figura 5.1 
 
Solução: 
 
a) Características Geométricas 
 
- Cálculo do CG 
 
→ como a seção é simétrica a posição do cg é óbvia. 
 
 
- Momentos Totais de Inércia e suas Direções 
 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
18 
 
200 tf.cm 
Diagrama de momento (M): 
y
z C
u
v
α
L
M
θ
β
σ
σ
A
B
o7624
124167461042
194375222 ,
II
I
tg
yz
yz =α⇒−
⋅=−
⋅=α 
 
⇒+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −±+= yzzyzy I
IIII
I
2
2212 ⎪⎩
⎪⎨⎧ =
=
4
2
4
1
8039532
20550676
cm,I
cm,I
 
 
→ eixos u e v, 
 
4803953222
22
cm,IsenIcos
IIII
I uyz
zyzy
u =⇒α⋅−α⋅
−++= 
 
1
2
II
II
v
u
=
=∴
 
 
b) Tensões 
 
Pela regra da mão direita temos: 
 
u
I
M
v
I
M
v
v
u
u
x ⋅+⋅−=σ 
 
 
 
onde: o7624,−=θ 
 
⎩⎨
⎧
⋅=θ⋅=
⋅−=θ⋅=
cmtf,cosMM
cmtf,senMM
v
u
61181
7683
 
u
,
,v
,
,
x ⋅+⋅−=σ∴ 20550676
61181
8039532
7683 
 
- Para a Linha Neutra σ = 0 
 
0
20550676
61181
8039532
7683 =⋅+⋅−=σ u
,
,v
,
,
x 
 
 
 → podemos calcular a LN de duas formas: 
 admitindo pontos na eq. de tensão 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
19 
 
4261
00
,uv
vu
=⇒=
=⇒=∴ou pelo cálculo do angulo β: 
 o8581 ,
I
I
tg
tg
utgv
v
u =β⇒⋅θ−=β
⋅β=
 
 Para a obtenção dos pontos mais solicitados será necessário fazer uma mudança de 
base, onde será utilizado a matriz de transformação: 
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
αα−
αα=⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
z
y
cossen
sencos
v
u
 
 → ponto A: 
 
⎩⎨
⎧
=
−=⇒
⎩⎨
⎧
=
−=
cm,v
cm,u
z
cm,y
A
A
A
A
6113
5129
0
532
 
 ( ) 28635129
20550676
611816113
8039532
7683 cmtf,,
,
,,
,
,
A −=−⋅+⋅−=σ⇒ 
 → ponto B: 
 
⎩⎨
⎧
−=
=⇒
⎩⎨
⎧
=
=
cm,v
cm,u
z
cm,y
B
B
B
B
6113
5129
0
532
 
 ( ) 286,351,2920,550676
61,18161,13
80,39532
76,83 cmtfB =⋅+−⋅−=⇒ σ 
 
 ⎪⎩
⎪⎨⎧ =
−=⇒
2
2
86,3
86,3
:
cmtf
cmtf
sãodeextremosvaloresos
T
C
σ
σσ 
 
 
 
 
 
 
- Flexão composta: quando atua no trecho o momento e também a força axial(F). 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
20 
 
• Flexo-compressão (F < 0). 
• Flexo-tração (F > 0). 
• e: excentricidade. 
Quando e = 0: é flexo-compressão ou flexo-tração centrada. Quando não, deve-se 
considerar a excentricidade. 
- Flexão Oblíqua Composta: 
eu : excentricidade em relação ao eixo u. 
ev : excentricidade em relação ao eixo v. 
v
I
M
u
I
M
A
F
u
u
v
v
x ⋅+⋅+=σ 
Superposição de efeitos. 
 
Nesse caso: 
uu eFeFMM ⋅=⋅⋅=⋅= θθ sensen 
vv eFeFMM ⋅=⋅⋅=⋅= θθ coscos 
Linha Neutra: 
0=⋅+⋅+= v
I
M
u
I
M
A
F
u
u
v
v
xσ → 0sencos1 =⋅⋅+⋅⋅+ vI
eu
I
e
A uv
θθ 
utg
eA
I
v u ⋅+⋅⋅−= βθsen 
utgctev ⋅+= β → →≠ 0cte a linha neutra não passa pelo c.g. 
 
 
Exercícios: 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
21 
 
 
8) Calcular F, sendo 2/800 cmkgfc =σ e 2/1400 cmkgft =σ . 
Dados: 4000.105 cmI y = , 473,577.55 cmI z = , 4320.28 cmI yz −= , 2900cmA = 
 
 
 
9) Determinar a carga admissível P sabendo que 2/120 cmkgfc =σ ; 2/30 cmkgft =σ e 
que lPq = . Dados: 436,689.103 cmI y = , 436,689.183 cmI z = , 457,319.76 cmI yz −= . 
 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
22 
 
10) Traçar o diagrama de tensões normais na situação mais crítica. Dados: 
413932cmI y = , 434668cmI z = , 415552cmI yz −= , P = 10KN, q = 5KN/m. 
 
 
 
11) Determinar a posição e o valor de uma carga P de tração que provoca a linha neutra 
indicada na figura abaixo. A tensão no ponto A vale 2/100 cmkgfA =σ . 
 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
23 
 
Núcleo central de Figuras Planas 
 
• Definição: região da seção transversal onde aplicada uma força normal, sua 
linha neutra não corta a seção. 
• Conseqüência: a seção só terá tensões de um mesmo sinal (compressão ou 
tração) de acordo com o sinal da força. 
• Importância: materiais com baixa resistência a tração. 
Exemplos: murros de arrimo, chaminés e pilares. 
 
Determinação do núcleo central: 
u
I
M
A
N
v
v
x ⋅+=σ → com vv eNM ⋅= → uI
eN
A
N
v
v
x ⋅⋅+=σ 
Linha neutra: 
0=⋅⋅+= u
I
eN
A
N
v
v
xσ → 01 =⋅+ uI
e
A v
v → 
v
v
eA
I
u ⋅−= 
 
Observação: 
1. Cada figura plana tem seu núcleo central que não depende de N. 
2. A cada par de lados consecutivos do polígono circunscrito corresponderá a um lado 
do polígono que constitui o núcleo central. 
3. O ponto de aplicação de N e a LN conseqüente ficam em semi-planos opostos 
delimitados pelos eixos centrais (antipolos da LN). 
4. O núcleo central terá tantos lados quantos forem os lados (ou vértices) do polígono 
convexo circunscrito. 
 
 
 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
24 
 
 
Exercícios: 
 
12) Traçar o núcleo central para a seção da figura abaixo. 
 
 
13) Traçar o núcleo central para a seção da figura abaixo. 
Dados: 22300cmA = , 454,1220171 cmIu = , 415,385504 cmIv = , 085,9−=α 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
25 
 
 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
26 
 
2-TORÇÃO 
 
Torção em barras de seção circular 
 
 
Figura 2.1 
 
 Seja uma barra de seção circular engastada numa extremidade e solicitada na 
extremidade livre por um momento torsor Mt (figura 2.1). No engastamento, surgirá um 
momento de mesmo valor com sentido oposto. 
 Na deformação elástica, cada seção da barra terá uma rotação γ (ângulo de 
torção). Aparecerá, assim, em cada seção da barra, tensões de cisalhamento τ. 
 
Hipóteses básicas: 
1. As tensões de cisalhamento estão dirigidas perpendicularmente ao raio e seus valores 
são proporcionais ao mesmo. 
ττ ⋅=
a
r
r (Equação 2.1) 
 
 
Figura 2.2 
 
 
2. As seções executam rotações elásticas como se fossem corpos rígidos. 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
27 
 
 Seja: 
 
 
Figura 2.3 
 
A tensão aplicada na face 34, e a mesma tensão (reativa) na face oposta 12 são 
insuficientes para equilibrar o elemento porque as duas forças provocadas por elas 
formam um binário. Assim, devem existir tensões longitudinais de cisalhamento (τ l ). 
O Teorema de CAUCHY diz que as tensões em planos perpendiculares são iguais. 
trxxtr ∂⋅∂⋅∂⋅=∂⋅∂⋅∂⋅ lττ (Equação 2.2) 
lττ =∴ (Equação 2.3) 
 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
28 
 
Tensões de cisalhamento – Lei de Hooke 
 
 Após a aplicação do momento torsor Mt, os pontos 3 e 4 passarão a ocupar as 
posições 3’ e 4’ devido a distorção γ . 
 Na flexão, a tensão normal é: εσ ⋅= E . 
 
Analogamente, na torção, a tensão de cisalhamento será: 
γτ ⋅= G (Equação 2.4)Onde G é o módulo de elasticidade transversal. 
Para materiais isotrópicos, podemos facilmente determinar o módulo de 
elasticidade transversal, conforme mostrado na equação abaixo: 
)1(2 ν+⋅=
EG (Equação 2.5) 
Onde ν é o coeficiente de Poisson. 
Para exemplificar, temos os seguintes valores para o aço: 
 
MPacmKgfE 210000/2100000 2 == 
MPacmKgfG 80000/800000 2 == 
3,0=ν 
 Da equação 2.1: ττ ⋅=
a
r
r , e equação 2.4: γτ ⋅= G , substituindo temos: 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
29 
 
γγ ⋅=
a
r
r (Equação 2.6) 
 Obtém-se o momento torsor Mt, calculando-se o momento resultante das forças 
elementares aplicadas na seção. Em um anel circular (conforme figura 2.4) de espessura 
∂ r, o momento ∂ Mt é dado pela resultante das tensões τ na área elementar ∂ A. 
 
 
Figura 2.4 
 
 
 
Sendo rAM rt ⋅∂⋅=∂ τ e rrA ∂⋅⋅⋅=∂ π2 , temos: 
rrr
a
rM t ∂⋅⋅⋅⋅⋅=∂ πτ 2 
a
rrM t
∂⋅⋅⋅=∂
32πτ (Equação: 2.7) 
 
 Para obtermos o momento torsor, basta integrar a equação 2.7: 
24
22 3
0
4
0
3 τπτππτ ⋅⋅=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅
⋅⋅=∂⋅⋅⋅=∂= ∫ ∫ aa ra rrMM
aa
tt (Equação:2.8) 
 Da equação 2.8 podemos determinar a tensão de cisalhamento (τ ) em função do 
momento torsor ( tM ) e do diâmetro (D): 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
30 
 
3
2
a
M t
⋅
⋅= πτ , como 2
Da = , portanto para seção circular temos: 
3
16
D
M t
⋅
⋅= πτ (Equação 2.9) 
 Da teoria de flexão, temos a tensão normal (σ ) em função do momento 
fletor (M) e momento de inércia (I), conforme equação abaixo: 
W
M
yI
My
I
M ==⋅=
/
σ (Equação 2.10) 
W: módulo de resistência à flexão. 
Fazendo uma analogia da teoria de flexão com a teoria de Torção, temos a 
tensão de cisalhamento (τ ) em função do momento torsor ( tM ), conforme equação 
abaixo: 
t
ttt
W
M
D
M
D
M =
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⋅=⋅
⋅=
16
16
33 ππτ (Equação 2.11) 
 Da equação 2.11, podemos determinar o módulo de resistência à torção para 
seção circular cheia: 
16
3DWt
⋅= π (Equação 2.12) 
Cálculo do Giro Relativo (ϕ ): 
 
Figura 2.5 
 
Da teoria de pequenos deslocamentos, sabemos que o arco se confundi com a tangente 
ϕ∂ é muito pequeno → arco ≈ tangente. A partir da figura acima e da teoria de 
pequenos deslocamentos, temos: 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
31 
 
tangente = a⋅∂ϕ = x∂⋅γ ( γ é muito pequeno). Dessa relação, temos: 
a
x∂⋅=∂ γϕ (Equação 2.13) 
 Para calcularmos o giro relativo bastar integrar a equação 2.13. 
x
a
∂⋅=∂= ∫ ∫l l0 0 γϕϕ (Equação 2.14) 
 Da integração vem: 
l⋅=∴
a
γϕ (Equação 2.15) 
 Sendo 
G
τγ = → 
aG ⋅
⋅= lτϕ (Equação 2.16) 
 A partir da equação 2.16 e aplicando a para a seção circular temos: 
2
16
3 DGD
M t
⋅⋅⋅
⋅⋅=
π
ϕ l (Equação 2.17) 
 Simplificando temos: 
4
32
DG
M t
⋅⋅
⋅⋅= πϕ
lÆ 
)
32
(
4DG
M t
⋅⋅
⋅= πϕ
l
 (Equação 2.18) 
 Ou 
t
t
IG
M
⋅
⋅= lϕ com 
32
4DIt
⋅= π 
Resumindo: seção circular cheia. 
t
t
W
M=τ 
16
3DWt
⋅= π 
t
t
IG
M
⋅
⋅= lϕ 
32
4DIt
⋅= π 
 
 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
32 
 
 
SEÇÃO CIRCULAR DE PAREDE ESPESSA (GROSSA) 
 
 Com as expressões obtidas anteriormente e a = D/2, tem-se: 
2
D
rr =τ
τ
→ ττ ⋅=
2
D
r
r 
drrA ⋅⋅⋅=∂ π2 
rAM rt ⋅∂⋅=∂ τ 
rrrM rt ⋅∂⋅⋅⋅=∂ πτ 2 
rrM rt ∂⋅⋅⋅=∂ 22πτ 
rr
D
M t ∂⋅⋅⋅=∂ 32
)
2
(
πτ (Equação 2.19) 
 Para obtermos o momento torsor basta integrar a equação 2.19, logo: 
∫∫ ∂⋅⋅⋅=∂=∂ 2/2/ 32/2/ 2
)
2
(
D
d
D
d tt
rr
D
MM πτ (Equação 2.20) 
 Finalmente, momento torsor resultante: 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅
⋅
⋅=
44
224
2
2 dD
D
M t
τπ (Equação 2.21) 
 Assim, a tensão será 
t
t
W
M=τ , com: 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
44
22
dD
D
Wt
π (Equação 2.22) 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
33 
 
 Resumindo, temos: 
t
t
IG
M
⋅
⋅= lϕ (Equação 2.23) 
( )44
32
dDIt −= π (Equação 2.24) 
 
SEÇÃO CIRCULAR DE PAREDE FINA (DELGADA) 
 Nas quais dmt <<< ou 10>
t
dm , onde: 
dm: diâmetro médio; 
t: espessura. 
 Pode-se considerar que τ seja uniforme. 
tM
dmA =⋅⋅
2
τ → tMdmtdm =⋅⋅⋅⋅ 2πτ → tM
tdm =⋅⋅⋅
2
2πτ → 
2
2dmt
M t
⋅⋅= πτ 
 Assim 
t
t
W
M=τ com 
2
2dmtWt
⋅⋅= π . E 
t
t
IG
M
⋅
⋅= lϕ com 
4
3dmtIt
⋅⋅= π . 
 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
34 
 
Exemplo de Diagramas de Momento Torsor 
• Momento de torção aplicado 
 
 
 
 
Exercícios: 
1) Traçar o diagrama de momento torsor 
 
2) Traçar o diagrama de momento torsor 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
35 
 
 
 
• Momento de torção uniformemente distribuído (m) 
 
xmxmM
x
t ⋅=∂⋅= ∫0 → ll ⋅== mxM t )( 
• Momento de torção linearmente distribuído (m) 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
36 
 
 
∫ ∂= x xt xmM 0 onde xmtgmx ⋅== lθ 
∫ ∂⋅⋅= xt xxmM 0 l 
Logo: l⋅
⋅=
2
2xmM t e 22
)(
2 l
l
ll ⋅=⋅
⋅== mmxM t 
 
Exercícios: 
 
1) Traçar o diagrama de momento torsor para a estrutura isostática. a
Mm 21 = , 
a
Mm =2 
 
 
 
 
2) Traçar o diagrama de momento torsor para a estrutura hiperestática. a
Mm = 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
37 
 
 
3) Traçar o diagrama de momento torsor para a estrutura hiperestática. 
M = 5 kNm; m = 0,3 kNm/m; L = 1,2 m. 
 
 
4) Calcular o giro relativo abϕ 
 
 
 
 
 
 
5) Calcularo giro relativo abϕ 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
38 
 
 
 
 
 
6) Calcular o diâmetro d e o giro abϕ 
 
M = 120 Nm; m = 40 Nm/m; a = 1,2 m; b = 0,8 m; 2/10 mMNadm =τ , G = 80000 
MN/m2. 
 
 
 
 
 
 
7) Calcular o momento torsor M. 
E = 21000 kN/cm2; G = 7000 kN/cm2; cmbarra 1=φ ; 2/12 cmkNadm =σ 2/8 cmkNadm =τ 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
39 
 
 
 
Torção em barras de seção qualquer 
 
Observações: 
Barras de seção circular: seções sofrem rotações elásticas e permanecem planas. 
Barras de seção qualquer: sofrem empenamento. 
 
 
Hipóteses: 
1. A espessura t = t(s), pode variar com s, mas é constante em x. 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
40 
 
2. As tensões de cisalhamento igualmente distribuídas sobre a espessura t e dirigindo-se 
paralelas às bordas são funções de s, )(sττ = , mas independentes de x. 
 
obs: considerando-se o empenamento nulo tem-se a torção livre (torção de Saint 
Venant) 
Equilíbrio de forças: 
xtxt ∂⋅⋅=∂⋅⋅ 2211 ττ 
cteststt =⋅=⋅=⋅ )()(2211 τττ 
=⋅ )()( stsτ fluxo de cisalhamento 
Momento Mt: 
hdsstsM t ⋅⋅⋅=∂ )()(τ com 
dAdshhdsA ⋅=⋅⇒⋅=∂ 2
2
 
dAstsM t ⋅⋅⋅=∂ 2)()(τ 
∫∫ ⋅⋅⋅=∂=
AA
tt dAstsMM 2)()(τ 
AstsM t ⋅⋅⋅=∴ )()(2 τ 
)(2
)(
stA
Ms t⋅⋅=∴τ 
t
t
W
M
s =∴ )(τ com )(2 stAWt ⋅⋅= 
 
 
Exemplo: Seção quadrada: 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
41 
 
 
2aA = 
tst =)( 
taWt ⋅⋅= 22 
Exemplo: círculo 
 
4
2dmA ⋅= π 
2
2dmtWt
⋅⋅= π 
 
 Na seção qualquer, se t = t(s): 
t
t
W
M=τ e )(2 stAWt ⋅⋅= 
mint
t
MAX W
M=τ → min2min tAWt ⋅⋅= 
Fluxo de cisalhamento → ctests =⋅ )()(τ 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
42 
 
 
 
Deformação φ (rotação elástica) 
• Trabalho/energia 
 
U = energia = T = trabalho 
2
dpU p
⋅= 
dFU FV ⋅= 
ϕ⋅⋅== tMUT 2
1 (carregamento lento) 
Se ϕ⋅= tMT (cargas rápidas) 
U: energia de deformação (interna) 
T: trabalho externo 
 A carga (F,M) produz esforços (M,V,N,Mt) e tensões ( )τσ , . 
dsdxstsU ⋅⋅⋅⋅⋅=∂ γτ )()(
2
1 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
43 
 
Pela Lei de Hooke: 
εσ ⋅= E γτ ⋅= G 
G
τγ = 
 Logo dsdxsts
G
U ⋅⋅⋅⋅⋅=∂ )()(2
1 2τ . 
 Tem-se: 
)(2
)(
stA
Ms t⋅⋅=τ . 
dsdxst
stA
M
G
U t ⋅⋅⋅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅⋅⋅=∂ )()(22
1
2
 
dsdx
stAG
MU t ⋅⋅⋅⋅⋅=∂ )(8 2
2
 
)(8 2
2
st
dsdx
AG
M
U t ⋅⋅⋅⋅=∂ 
∫∫∫ ⋅∂⋅⋅⋅=∂= )(8 02
2
st
dsx
AG
M
UU t
l
 
 Igualando-se o trabalho do esforço Mt com o das tensões τ, tem-se: 
TU = 
ϕ⋅⋅=⋅⋅⋅
⋅ ∫ tt MstdsAGM 21)(8 2
2 l
 
∫⋅⋅⋅ ⋅= )(4 2 stdsAGM t lϕ 
T
t
IG
M
⋅
⋅= lϕ 
∫
⋅=∴
)(
4 2
st
ds
AIt 
como t é normalmente constante, ∫ ds = perímetro. 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
44 
 
Exemplo: 
 
A = a x b 
)(
)(2
)(2
)(4
)(
4 222
ba
tba
t
ba
ba
st
ds
AIt +
⋅⋅⋅=+⋅
⋅⋅=⋅=
∫
 
 
Exercícios: 
 
1) Calcular “e”, It. 
Dados: Mt = 100 tfcm, t = 0,1 cm, 2/0,1 cmtfadm =τ 
 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
45 
 
2) Calcular “a” 
Dados: Mt = 250 tfcm, 2/0,1 cmtfadm =τ 
 
 
Analogia de membrana 
 
 Imaginemos uma membrana homogênea, com o mesmo contorno da seção 
transversal do elemento sujeito à torção e solicitada por uma tração uniforme nas bordas 
e por pressão uniforme. 
 
 
 
 Equação diferencial da superfície deformada de uma membrana. 
 
K
p
y
z
x
z −=∂
∂+∂
∂
2
2
2
2
 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
46 
 
 Mostra-se que a equação diferencial da superfície elástica da membrana 
deformada tem a mesma forma da equação diferencial que determina a distribuição das 
tensões ao longo da barra solicitada à torção. 
Equação diferencial da torção: 
αφφ ⋅−=∂
∂+∂
∂ G
yx 2
2
2
2
 
Analogia entre as equações diferenciais se: α⋅= G
K
p onde: 
P: pressão lateral por unicidade de área; 
K: força de tração por unicidade de comprimento da barra; 
α: ângulo de torção por unicidade de comprimento. 
 
Seções celulares: 
Torção em seções celulares: 
 
Equação de equilíbrio da membrana: 
∫⋅⋅=⋅ tdshKAp 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
47 
 
Placa 1: 
)()()( 12
31
1
1 chhe
Kaca
e
hKAp ⋅−⋅−++⋅⋅=⋅ 
Placa 2: 
)()()( 12
32
2
2 chhe
Kbcb
e
hKAp ⋅−⋅+++⋅⋅=⋅ 
Tensão tangencial: 
βτ ⋅⋅= V
M t
2
 
e
h=β 
11 2
βτ ⋅⋅= V
M t 
1
1
1 e
h=β 
22 2
βτ ⋅⋅= V
M t 
2
2
2 e
h=β 
33 2
βτ ⋅⋅= V
M t 
3
12
3 e
hh −=β 
Momento de inércia à torção: 
p
KVIT
⋅⋅= 4 
ângulo de giro: 
K
p
VG
M
IG
M t
t
t ⋅⋅⋅
⋅=⋅
⋅=
4
llϕ 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
48 
 
Exercícios: 
 
1)Calcular Mt e abϕ 
Dados: G = 800 kN/cm2; 2/8 cmkNadm =τ 
 
 
2) Determinar: a) Wta / Wtf, b) esforço no cordão de solda, sendo Mt = 100 tfcm. 
 
 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade deEngenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
49 
 
3) Calcular o deslocamento do ponto A. 
Dados: t = 0,1 cm; Mt = 1 
50 kNcm, G = 8000 kN/cm2. 
 
Resolução do exercício 3. 
 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
50 
 
Placa 1 = Placa 3 
 
 
)5(
1,0
)4783,5(
1,0
5
2
)74(
21 ⋅⋅−++⋅⋅=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅+⋅ hKhKp → 21 583,1675,2 hhK
p ⋅−⋅=⋅ 
Placa 2 
 
 
( ) ( ) )5544(
1,0
)55(
1,0
95 212 +++⋅+⋅++⋅⋅=⋅⋅ hhKhKp → 21 28185,4 hhK
p ⋅+⋅=⋅ 
K
ph ⋅= 18,01 
K
ph ⋅= 05,02 
Volume: ( ) ( )212112 hhAhAV +⋅+⋅⋅= 
( )
K
p
K
p
K
pV ⋅=⋅+⋅+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅⋅= 25,2005,018,04518,05,272 
Inércia à torção: 48125,2044 cm
p
K
K
p
p
KVIt =⋅⋅⋅=⋅⋅= 
Giro: rad
IG
M
t
t 023,0
818000
100150 =⋅
⋅=⋅
⋅= lϕ 
Coordenadas do ponto A em relação ao c.g. 
cmxA 5,9= , cmyA 3,3= 
( ) cmyv Ax 076,03,3023,0 =⋅−−=⋅−= ϕ 
( ) cmxv AY 219,05,9023,0 −=⋅−=⋅= ϕ 
Deslocamento: cmvvv yx 23,0
22 =+= 
 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
51 
 
3-CENTRO DE CISALHAMENTO EM SEÇÕES SIMÉTRICAS 
 
 - Tensões tangenciais nas seções delgadas abertas: 
 Dado um elemento de viga obtido por duas seções: x e x + dx 
 
 
• Ay
I
xMAxT
A
z
A
∂⋅⋅=∂⋅= ∫∫ )()(σ 
• Ay
I
xxMAxxt
A
z
A
∂⋅⋅∂+=∂⋅∂+= ∫∫ )()(σ 
 As resultantes das trações exercidas sobre o elemento geralmente não serão 
iguais: tT ≠ → tTxxMxM >⇒∂+> )()( 
0>− tT 
0)()( >∂⋅⋅∂+−∂⋅⋅ ∫∫ AyI xxMAyI xM A zA z 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
52 
 
)()()( xMxMxxM ∂−=∂+ 
0)( >∂⋅⋅∂∫ AyI xMA z 
 
 O equilíbrio exige, então, que exista uma força horizontal, que será: 
xsestT ∂⋅⋅=− −− )()(τ 
xsesAy
I
xM
A
z
∂⋅⋅=∂⋅⋅∂ −−∫ )()()( τ 
A
seI
yxVA
seIx
yxMs
A
z
A
z
∂⋅
⋅
⋅=∂⋅
⋅⋅∂
⋅∂=∴ ∫∫ −−−−
)(
)(
)(
)()(τ 
∫ ∂⋅⋅⋅= −− Az
Ay
seI
xVs
)(
)()(τ 
• 
)(
)()( −−⋅
⋅=
seI
SxVs
z
τ onde: 
τ: tensão de cisalhamento; 
V: força cortante na seção em estudo; 
e: espessura da seção; 
Iz: momento de inércia com relação ao eixo neutro z; 
S: momento estático da parte da seção estudada com relação ao eixo neutro z. 
ssesF ∂⋅⋅=∂ )()(τ 
∫ ∂= s FF 0 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
53 
 
∫∫ ∂⋅⋅⋅
⋅=∂⋅⋅= −−
s
z
s
sse
seI
SxVssesF
0
0
)(
)(
)()()(τ 
Geralmente ctesese == −− )()( 
∫ ∂⋅⋅=∴ s
z
ssS
I
xVF
0
)()( 
 
Exemplo 1: 
 
)(
)()(
seI
SxVs
z ⋅
⋅=τ 
PxV =)( 
ese =)( 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅=
233
2
2
12
22
12
hebbeehI z 
• Variação nas mesas: 
2
)( hsesS ⋅⋅= 
)()( sSKs ⋅=τ 
)(
)(
seI
xVK
z ⋅
= 
2
)( sheKs ⋅⋅⋅=∴τ 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
54 
 
 Tem-se: 
 
• OBS: As tensões tangenciais verticais vτ são desprezadas 
bI
SxV
z
v ⋅⋅
⋅=
2
)(τ 
)(
)()(
seI
SxVs
z ⋅
⋅=τ 
)(2 sbe v ττ <<⇒⋅<< 
• Para S2 (outra posição de S) na alma 
Momento estático 
bheshsesS ⋅⋅+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅⋅=
22
)( 
O momento estático é acumulativo. 
bhesehsesS ⋅⋅+⋅−⋅⋅=
22
)(
2
 
)()( sSKs ⋅=τ 
 
Exemplo 2: 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
55 
 
 
2
)( shesS ⋅⋅= (mesa) 
bheshsesS ⋅⋅+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅⋅=
22
)( (mesa + alma) 
0
2
)( =⋅−⋅=∂
∂ sehe
s
sS 
2
hS =∴ 
22222
2
max
hbehehheS ⋅⋅+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅−⋅⋅= 
28
2
max
hbeheS ⋅⋅+⋅= 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
56 
 
 
)(
)()(
seI
SxVs
z ⋅
⋅=τ 
)()( sSKs ⋅=τ 
PxV =)( 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅⋅+⋅⋅+⋅=
233
212
2
12
hebbeehI z 
 
∫ ∂⋅⋅= s
z
ssS
I
xVF
0
)()( 
• ∫ ∂⋅⋅= b
z
ssS
I
PF
01
)( 
• 31 FF = 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
57 
 
42
)(
2
00
bhesshessS
bb ⋅⋅=∂⋅⋅⋅=∂⋅ ∫∫ 
4
1
2bhe
I
PF
z
⋅⋅⋅=∴ 
• ∫ ∂⋅⋅= h
z
ssS
I
PF
02
)( 
222
)(
2 bhesehsesS ⋅⋅+⋅−⋅⋅= 
262222
)(
233
0
2
0
hbehehesbhesehsessS
hh ⋅⋅+⋅−⋅=∂⋅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅+⋅−⋅⋅=∂⋅ ∫∫ 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅⋅+⋅⋅+⋅
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅+⋅−⋅⋅
=
233
233
2
212
2
12
262
hbebeeh
hbeheheP
F 
 
he << ; be << 
 
)(2 xVPF ==∴ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Centro de cisalhamento (Seções delgadas simétricas) 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
58 
 
 
 O centro de cisalhamento ou centro de torção é o ponto do plano da seção em 
relação ao qual o momento de todas as resultantes das tensões devidas a τ é nulo. É o 
ponto por onde deve passar o plano que contém a resultante de V atuante na seção, para 
que não haja torção. 
 
fτ : tensão de cisalhamento devido à V 
Forças de cisalhamento na seção 
 
∫ ∂⋅⋅= b z
z
ssS
I
VF
01
)( 
2
)( shesS z
⋅⋅= 
42
2
01
bhe
I
Vsshe
I
VF
z
b
z
⋅⋅⋅=∂⋅⋅⋅= ∫ 
Vhbehehe
I
Vsbhesehse
I
VF
z
h
z
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⋅⋅+⋅−⋅⋅=∂⋅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅= ∫ 264222
233
0
2
2 
31 FF = 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅+⋅⋅+⋅=
412
2
12
233 hbebeehI z 
be << ; he << 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
59 
 
 
Condições de equivalência 
VF =1 ; cVM ⋅=0 
cVhF ⋅=⋅1 
V
hFc ⋅= 1 
V
hbeh
I
Vc
z
⋅⋅⋅⋅=
42
 
zI
behc ⋅
⋅⋅=
4
22
; ),,( bhefc = não depende de V. 
212
23 hbeheI z
⋅⋅+⋅= 
 
Obs: 1. se a cortante passar pelo C.C. não haverá momento na seção, pois há 
equivalência entre Vc e M0. 
 2. Se chamarmos de “fluxo de tensões” o produto τ t, podemos imaginar uma 
analogia entre “fluxo de tensões” que percorre a seção e “fluxo de água” que percorreria 
um encanamento com a forma da seção analisada. 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
60 
 
 
 
t
t
t W
M=τ 
 
PV = 
 
)( bcPMM t +⋅== 
 
ft τττ += (tensão de cisalhamento resultante) 
 
eI
SV
W
M
zt
t
⋅
⋅+=τ 
 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
61 
 
Cantoneiras
 
 
Exercícios: 
 
1) Determinar a posição do centro de cisalhamento e calcular as tensões tangenciais. 
Dado: Iz=2806 cm4. 
 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
62 
 
2) Calcular maxτ 
Dado: Iz=895914 cm4. 
 
 
 
3) Determinar as tensões principais no ponto A da seção mais solicitada. 
Dado: Iy=27937 cm4. 
 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
63 
 
Resolução do exercício 3. 
100⋅= FM 
FFz
I
M
y
x 054,01527937
100 −=⋅⋅=⋅=σ 
( ) 433 48,37221,2120151
3
1
3
1 cmthI iiT =⋅++⋅⋅=⋅⋅= ∑ 
3
max
48,37
1
48,37 cm
t
IW TT === 
 
∫ ∂⋅⋅= s ssSIxVF 0 )()( 
2
30
2
301
2
1
ssssS −⋅=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅⋅= 
yy I
Psss
I
PF ⋅=∂⋅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −⋅⋅= ∫ 5,2812230
15
0
2
1 
5,337155,3371512 +⋅=+⋅⋅= ssS 
( )
yy I
Pss
I
PF ⋅=∂⋅+⋅⋅= ∫ 97505,337152002 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
64 
 
 
∑ = 00M 
cPFF ⋅=⋅⋅−⋅⋅ 352152 12 
cP
I
P
I
P
yy
⋅=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅ 5,281270975030 
27937
196875292500 −=c 
cmc 42,3= 
PPcP
W
M
t
t
t ⋅=⋅=+⋅== 49,048,37
42,18
48,37
)15(τ 
PP
eI
SV
z
f ⋅=⋅
⋅=⋅
⋅= 023,0
127937
5,637τ 
PPPft ⋅=⋅+⋅=+= 513,0023,049,0τττ 
( )222,1 22 xyyxyx τσσσσσ +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +±+= 
( )222,1 513,02
0054,0
2
0054,0 PPP +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−±+−=σ 
P487,01 =σ 
P541,02 −=σ 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
65 
 
4 - TEORIA DAS TENSÕES 
 
 
 
 
z
z
A A
F σ=∂
∂
→∂ 0lim → tensão normal 
zy
y
A A
F τ=∂
∂
→∂ 0
lim → tensão tangencial ou tensão de cisalhamento 
zx
x
A A
F τ=∂
∂
→∂ 0lim 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
66 
 
 
→→→ += xzwt z τσ 
22)( τσ += zt 
• Obs: A tensão é definida no ponto. 
 
 
∑ = 00M → 2222 zyxyzx zyyz ∂⋅∂⋅∂⋅⋅=∂⋅∂⋅∂⋅⋅ ττ 
0≠∂⋅∂⋅∂=∂ yzxV 
zyyz ττ = 
Teorema de Cauchy. 
Genericamente jiij ττ = { }zyxji ,,, = 
São seis as tensões no caso tridimensional. 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
67 
 
Caso plano 
 
 
Caso linear 
 
Ensaio de tração: → 
A
F=σ l
lΔ=ε 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
68 
 
Estado simples/ Linear/ Unidimensional de tensão 
 Considere uma barra sem peso, tracionada pela extremidade livre por uma força 
F centrada. Numa seção genérica, aparecerão tensões normais σ1 de modo que se tenha 
o equilíbrio da seção cortada. 
 
A
F=σ 
Equilíbrio de forças. 
• ∑ =− 0yF 
0cos
cos 1
=⋅⋅−⋅ ασα
σ AA 
* ασσ 21 cos⋅= 
• ∑ =− 0xF 
0
cos 1
=⋅⋅−⋅ ασα
τ senAA 
* ααστ cos1 ⋅⋅= sen 
 
 De outra maneira: 
1. 
2
2cos1cos2 αα += → ασσσ 2cos
22
11 ⋅+= 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
69 
 
2. 
2
2sencossen ααα =⋅ → αττ 2sen
2
1 ⋅= 
2
1
2
1 2cos
22
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − ασσσ 
2
12 2sen
2
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅= αττ 
2
12
2
1
22
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − στσσ 
Tensões principais: 
• Tensão máxima: 1σ 
• Tensão mínima: 2σ 
 
Círculo de Mohr: 
 
 
Nos planos principais ( 'α e ''α ) a tensão tangencial vale zero. 
Obs: 1. planos ou direções principais. 
 2. O ponto do gráfico para o qual convergem todos os planos representativos de 
cortes na barra é chamado pólo. 
Convenção de sinais: 
tração⇒> 0σ 
compressão⇒< 0σ 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
70 
 
Estado Plano (duplo, bidimensional) de tensões 
 Considere um elemento infinitesimal com solicitação geral de tensões. 
 
 
Equilíbrio de Forças: 
• ∑ =− 0yF 
ασααταατασσ 22 sencossencossencos ⋅∂⋅+⋅⋅∂⋅+⋅⋅∂⋅+⋅∂⋅=∂⋅−− AAAAA yxyxyxx 
ασαατασσ 22 sencossen2cos ⋅+⋅⋅⋅+⋅=−− yxyxx 
• ∑ =− 0xF 
αασατατααστ cossensencoscossen 22 ⋅⋅∂⋅+⋅∂⋅−⋅∂⋅+⋅⋅∂⋅=∂⋅−− AAAAA xxyxyyxy 
( ) ( )ααταασστ 22 sencoscossen −⋅+⋅⋅−=−− xyxyxy 
Arcos duplos: 
ατασσσσσ 2sen2cos
22
⋅+⋅−++=−− xyyxyxx 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
71 
 
ατασστ 2cos2sen
2
⋅+⋅−=−− xyxyxy 
22
2sen2cos
22 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⋅+⋅−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−−− ατασσσσσ xyyxyxx 
22
2cos2sen
2 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⋅+⋅−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −− ατασστ xyxyxy 
( )2222
22 xy
yx
xy
yx
x τσστσσσ +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +− −−−− 
 
No círculo de Mohr: 
• centro do círculo: ⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
0,
2
yx σσ 
• raio do círculo: ( )22
2 xy
yxR τσσ +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −= 
Ryx ++=
21
σσσ 
R+=maxτ 
Ryx −+=
22
σσσ 
R−=minτ 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
72 
 
 
 
Tensões principais ( )21 ,σσ : 
( )222,1 22 xyyxyx τ
σσσσσ +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−++= 
• 0=−−xyτ 
02cos2sen
2
=⋅+⋅− ατασσ xyxy 
yx
xytg σσ
τα −
⋅= 22 
Direções principais: 'α e ''α 
 
Propriedade 
cteyxyx =+=+=+
−−−−
21 σσσσσσ 
Expressão Matricial das tensões. 
[ ] [ ] [ ]TMM ⋅⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ − σσ 
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−= αα
αα
cossen
sencos
M M: matriz de transformação de coordenadas. 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
73 
 
MT: matriz transposta. 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−−−
−−−−
−
yxy
xyx
στ
τσσ 
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
yxy
xyx
στ
τσσ 
 
Exercícios: 
 
1) Calcular as tensões principais e suas direções, e desenhar o círculo de Mohr. 
160=xσ ; 60=yσ ; 40=xyτ . 
 
2) Calcular as tensões de cisalhamento nos cortes I, II e III. 
2/10 cmkNI =σ ; 0=IIσ ; 2/10 cmkNIII −=σ 
 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
74 
 
3) Calcular as tensões principais e suas direções. 
 
 
4) Calcular as tensões principais e suas direções. 
2/3 cmkNa =σ ; 2/5,1 cmkNb =σ ; 2/5,0 cmkNa =σ 
 
 
5) Calcular as tensões principais e suas direções nos pontos A e B. 
 
 
 
Resolução do exercício 5: 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
75 
 
436167cmI z = 
Reações: kNV a 5,7= , kNV b 5,22= 
cmkNM z ⋅= 500 
kNV 5,12= 
Ponto A: 
kNy
I
M
z
z
x 152,01136167
500 −=⋅=⋅=σ 
0=xyτ 
( )222,1 22 xyyxyx τ
σσσσσ +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−++= 
2
1 /0 cmkN=σ ; 22 /152,0 cmkN−=σ 
Ponto B: 
kNy
I
M
z
z
x 055,0436167
500 +=⋅=⋅=σ 
2/06,0
1036167
17255,12 cmkN
tI
SV
xy −=⋅
⋅−=⋅
⋅=τ 
( )222,1 22 xyyxyx τσσσσσ +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−++= 
2
1 /09,0 cmkN=σ ; 22 /04,0 cmkN−=σ 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
76 
 
5 - TEORIA DAS DEFORMAÇÕES 
 
 
Deformações Normais: 
x
u
x ∂
∂=ε 
y
v
y ∂
∂=ε 
y
utg ∂
∂== 11 γγ x
vtg ∂
∂== 22 γγ 
xyx
v
y
u γγγγ =∂
∂+∂
∂=+= 21 
γ : deformação tangencial ou distorção. 
 
Coeficiente de Poisson: 
 
 
Considerando solicitação apenas na direção x, temos: 
0>−=
y
x
ε
εν 
Em materiais isotrópicos (que têm o mesmo comportamento elástico em todas as 
direções): 5.00 <<ν 
• A lei de Hooke estabelece que a tensão aplicada provoca deformação 
proporcional. 
Pode-se afirmar então que se em todos os pontos de um sólido elástico atua 
tensão σ de direção constante, um comprimento l, sofrerá, na direção da tensão, uma 
variação de comprimento: 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
77 
 
 
E
σ.ll =Δ 
Considerando agora que ocorra solicitação em mais de uma direção, pode-se 
avaliar o efeito de cada tensão isoladamente: 
ll ⋅=Δ ε 
• Tensão apenas na direção x : 
x
x
x
x
x EE
ll ⋅=Δ⇒= σσε 
y
x
y
x
xy EE
ll ⋅=Δ⇒⋅−=⋅−= σσνενε 
z
x
z
x
xz EE
ll ⋅=Δ⇒⋅−=⋅−= σσνενε 
• Tensão apenas na direção y : 
y
y
y
y
y EE
ll ⋅=Δ⇒= σσε 
x
y
x
y
yx EE
ll ⋅=Δ⇒⋅−=⋅−= σσνενε 
z
y
z
y
yz EE
ll ⋅=Δ⇒⋅−=⋅−= σσνενε 
• Tensão apenas na direção z : 
z
z
z
z
z EE
ll ⋅=Δ⇒= σσε 
x
z
x
z
zx EE
ll ⋅=Δ⇒⋅−=⋅−= σσνενε 
y
z
y
z
zy EE
ll ⋅=Δ⇒⋅−=⋅−= σσνενε 
Por superposição de efeitos: xzx
y
x
x
x EEE
llll ⋅⋅−⋅⋅−⋅=Δ σνσνσ 
 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +⋅−=∴
EEE
zyx
x
σσνσε 
 
 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
78 
 
Analogamente, ocorre nas outras direções. 
 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⋅−=
EEE
zxy
y
σσνσε 
 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +⋅−=
EEE
xyz
z
σσνσε 
 Além disso, para a distorção, tem-se: 
 
G
xy
xy
τγ = ; 
G
yz
yz
τγ = ; 
G
xz
xz
τγ = 
 Onde G é o módulo de elasticidade transversal: ( )υ+= 12
EG 
 
Num estado triplo de deformações, temos: zyx εεε ,, , yzxzxy γγγ ,, 
 
Num estado plano de deformações, temos apenas: xyyx γεε ,, 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛⋅−=
EE
yx
x
σνσε 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅−=
EE
xy
y
σνσε 
G
xy
xy
τγ = 
 
 Para calcular a deformação ( xε ) de um plano inclinado de θ em relação ao eixo 
original x , temos: 
 θγθεεεεε 2sin
2
2cos
22
⋅+⋅−++= xyyxyxx 
 θγθεεεεε 2sin
2
2cos
22
⋅−⋅−−+= xyyxyxy 
 θγθεεγ 2cos2sin)( ⋅+⋅−= xyxyyx 
 
 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
79 
 
Deformações principais ( 1ε e 2ε ): 
 
22
1 222 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −++= xyyxyx γεεεεε 
 
22
2 222 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−+= xyyxyx γεεεεε 
Exercícios: 
 
1) Calcular as tensões xσ , yσ e zσ . 
 
2) Calcular xlΔ do sólido I. 
2/1 cmtfz =σ ; P = 80 tf; 2/500 cmtfEI = ; 3,0=Iν ; 2/100 cmtfEE IIIII == ; 
4,0== IIIII νν 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
80 
 
 
 
 
3) Qual o deslocamento total em y e a carga máxima. 
Dados: E = 100 tf/cm2; 4,0=ν 
 
 
 
 
4) Determinar as tensões. 
Dados: 610200 ⋅=aε ; 610300 ⋅=bε ; 2εε =a ; E = 20000 kN/cm2; 3,0=ν 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
81 
 
 
5) Calcular a deformação na direção θ indicada, sabendo que yx εε .5,0−= . 
Dados: 2/1 cmKNx =σ ; 3,0=ν ; θ = 30º 
 
 
 
 
6) Para o tubo de parede fina; calcular Mt e F. 
Dados: 4104,1 −⋅−=aε ; 4108,4 −⋅=bε ; E = 21000 kN/cm2; 3,0=ν 
 
 
 
7) Desenhar o círculode Mohr. 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
82 
 
Dados: 4x 105
−⋅−=ε , 4y 103 −⋅=ε , rad106 2xy −⋅=γ 
 
 
 
 
 
8) No ponto O da viga indicada na figura foram medidas as deformações nas direções A 
e B e encontrados: 51014,7 −⋅=aε , 510.07,16 −=bε . Sabendo-se que essa viga está 
solicitada apenas por M e V, calcular esses valores, dados: 
2/808 cmkNG = ; E = 21000 kN/cm2; 3,0=ν 
 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
83 
 
Resolução do exercício 3. 
Estágio 1 
0=xσ ; 0=zσ ; 400
P
y =σ 
cmx 02,0=Δl 
xxx ll ⋅=Δ ε 
2002,0 ⋅= xε 
001,0=xε 
( )( )zyxx E σσνσε +⋅−⋅= 1 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅−=
400
4,0
100
1001,0 P 
tfP 100= 
( )( )yxzz E σσνσε +⋅−⋅= 1 
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⋅−⋅=
400
1004,0
100
1001,0 
 
 
Estágio 2 
0=zσ ; 400
P
y =σ 
cmz 02,0=Δl 
zzz ll ⋅=Δ ε 
2002,0 ⋅= zε 
001,0=zε 
( )( )yxzz E σσνσε +⋅−⋅= 1 
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅−⋅=
400
4,0
100
1001,0 Pxσ 
 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
84 
 
0=xε 
( )( )zyxx E σσνσε +⋅−⋅= 1 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅−=
400
4,0
100
10 Pxσ 
Px ⋅+⋅−= 001,04,01,0 σ (1) 
Px ⋅+= 001,00 σ (2) 
Resolvendo o sistema: 
2/071,0 cmtfx −=σ 
tfP 43,71= 
Carga Total: 
tfPPPtotal 43,17143,7110021 =+=+= 
( )( )zxyy E σσνσε +⋅−⋅= 1 
( ) 004,00071,04,0
400
43,171
100
1 −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−⋅−−⋅=yε 
Deslocamento total em y. 
cmyyy 12,030004,0 −=⋅−=⋅=Δ ll ε 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
85 
 
6 - ENERGIA DE DEFORMAÇÃO 
 
 Na mecânica, uma força realiza trabalho quando sofre um deslocamento dx na 
mesma direção dela. 
Por exemplo, ao calcular o trabalho realizado por uma força axial aplicada na 
extremidade da barra. 
 
 Como a força N aumenta gradualmente de 0 até P, o deslocamento varia de 0 até 
ΔL. Se o material comportar-se de maneira linear-elástica, a força será diretamente 
proporcional ao deslocamento, ou seja: 
xKN x ⋅= onde K = constante. 
Pela Lei de Hooke: 
( )( )zyxX E1 σσνσε +⋅−⋅= , sendo 0zy == σσ 
E
x
x
σε =∴ 
A
N x
x =σ → lΔ=x 
A
N
x =σ → l
lΔ=xε 
ll Δ⋅
⋅=⋅= AExKN 
xxKxNU x ∂⋅⋅=∂⋅=∂ 
O trabalho realizado será: 
 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
86 
 
∫ ∫ ∂⋅⋅=∂= xxKUU 
∫Δ
Δ
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⋅=∂⋅⋅=
l l
0 0
2
2
xKxxKU 
ll Δ⋅⋅=Δ⋅⋅= NKU
2
1
2
1 2 
lΔ⋅⋅= N
2
1U 
U: energia de deformação (carregamento lento) 
Carregamento lento: carregamento aplicado de zero até o valor final. 
Em caso de carregamentos rápidos (carregamentos instantâneos), temos: 
lΔ⋅= NU , uma vez que o gráfico apresenta-se como um retângulo. 
 
 
Exemplos: 
Carregamento lento: peso próprio da estrutura. 
Carregamento rápido: ação do vento. 
 
- Energia de Deformação: 
 
Energia de deformação é definida como a capacidade de produzir trabalho. A 
energia armazenada em sólidos elásticos devido à deformação dos elementos sob ações 
externas é igual ao trabalho interno. 
 
Objetivos: 
1- Calcular deslocamentos 
2- Calcular incógnitas hiperestáticas. 
 
 
- Métodos de cálculo da energia de deformação: 
• Pelas tensões 
• Pelos esforços solicitantes 
• Pelas cargas 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
87 
 
 
a) Cálculo pelas tensões: 
Seja um elemento no estado triplo de tensões. 
Efeito total = somatório dos efeitos parciais (superposição de efeitos). 
 
Modelo de cálculo 
 
Trabalho = força x deslocamento 
 Se o elemento de volume está submetido à tensão σx: 
zyforça x ∂⋅∂⋅= σ 
xtodeslocamen x ∂⋅= ε 
trabalho = xzy xx ∂⋅⋅∂⋅∂⋅ εσ 
zyx
2
1U xxx ∂⋅∂⋅∂⋅⋅⋅=∂ εσσ e zyxV ∂⋅∂⋅∂=∂ (V = volume) 
dV
2
1U xxx ⋅⋅⋅=∂ εσσ 
Analogamente: 
• para yσ : dV2
1U yyy ⋅⋅⋅=∂ εσσ 
• para zσ : dV2
1U zzz ⋅⋅⋅=∂ εσσ 
Efeito total: izyx UUUU σσσσ ∂=∂+∂+∂ 
zyxzyxzyxU zzyyxxi ∂⋅∂⋅∂⋅⋅⋅+∂⋅∂⋅∂⋅⋅⋅+∂⋅∂⋅∂⋅⋅⋅=∂ εσεσεσσ 2
1
2
1
2
1 
Dividindo ambos os lados por zyx ∂⋅∂⋅∂ 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
88 
 
dV
U
zyx
U
U ii,0
∑∑ ∂=∂⋅∂⋅∂
∂= σσσ 
σ,0U : Energia específica de deformação (só as tensões normais) 
 
 Para um elemento de volume, a tensão de cisalhamento provoca deformação no 
elemento. 
 
 Assim, a energia de deformação armazenada no elemento é: 
zyx
2
1U xzxzxz ∂⋅∂⋅∂⋅⋅⋅=∂ γττ 
zyx
2
1U xyxyxy ∂⋅∂⋅∂⋅⋅⋅=∂ γττ 
zyx
2
1U yzyzyz ∂⋅∂⋅∂⋅⋅⋅=∂ γττ 
Efeito total: ijyzxyxz UUUU ττττ ∂=∂+∂+∂ 
dV
U
zyx
U
U ijij,0
∑∑ ∂=∂⋅∂⋅∂
∂= τττ 
τ,0U : Energia específica de deformação (só as tensões de cisalhamento) 
Efeito global: 
( )∑ ∂+∂= iji UUU τσ 
( )
volume,0,00
UUU ∑ += τσ 
dVUU
volume 0
⋅= ∫ 
Ou seja: ( )∫ ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅= V yzyzxzxzxyxyzzyyxx dV21U γτγτγτεσεσεσ 
b) Cálculo pelos esforços solicitantes 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
89 
 
Considere uma viga: 
 
• y
I
M
A
N
z
zx
x ⋅+=σ e 
z
xy Ib
SV
⋅
⋅=τ 
dVUU
volume 0
⋅= ∫ 
( )xyxyxx0 21U γτεσ ⋅+⋅⋅= 
Pela Lei de Hooke: 
• 
E
x
x
σε = e 
G
xy
xy
τγ = 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +⋅=
GE2
1U
2
xy
2
x
0
τσ 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⋅
⋅⋅+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅+⋅⋅=
22
0 Ib
SV
G
1y
I
M
A
N
E
1
2
1U 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅
⋅⋅+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅= 22
22
2
2
2
2
2
0 Ib
SV
G
1y
I
My
I
M
A
N2
A
N
E
1
2
1U 
xdA
Ib
SV
G
y
I
My
I
M
A
N
A
N
E
U
A
∂⋅⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅
⋅⋅+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= ∫∫ 22 2222222
0
121
2
1l 
 
Resolvendo as integrais de área, temos: 
 
∫ ∂⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅⋅+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +⋅⋅=
l
0
222
2
1
2
1 x
A
Vc
GI
M
A
N
E
U onde c = fator de forma. 
A
IG
SAc 22
2
∂⋅⋅⋅= ∫ 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de CampinasCidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
90 
 
Observação: Torção: t
I
M
w
M
t
t
t
t
xy ⋅==τ 
Ou seja: 
∫ ∂⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⋅⋅+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅⋅+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +⋅⋅=
l
0
2222
22
1
2
1 x
IG
M
A
Vc
GI
M
A
N
E
U
t
t 
estruturat
t dx
GI
Mdx
GA
cVdx
EI
Mdx
EA
NU ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +++= ∫ ∫ ∫ ∫ 2²²²21 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Calcular a energia de deformação para a estrutura da figura. 
Dados: P = 500 kgf; d = 4 cm; c = 1,1 ; E = 2100000 kgf/cm2; G = 800000 kgf/cm2. 
L = 50 cm; e = 20 cm. 
 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
91 
 
c) Cálculo pelas cargas (Teorema de Clapeyron). 
∫ →→ ∂⋅= t
0
tPT onde T = trabalho. 
T = U onde U = energia de deformação. 
 
Observação: Teoria de 1a ordem: pontos Ai e Bi muito próximos. 
→→ ≈ ivt 
ii vP2
1T ⋅⋅= 
ou genericamente: 
∑ ⋅⋅= ii vP21T 
x
IG
M
AG
Vc
IE
M
AE
N
2
1U
0
t
2
t
222
∂⋅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅= ∫
l
 
T = U → Teorema de Clapeyron: conservação de energia 
 
Pode-se, portanto, calcular o deslocamento no ponto e na direção da força ou 
momento aplicado, com esse teorema. A aplicação é bastante limitada, pois apenas uma 
força externa ou momento pode atuar na estrutura. 
 
Exemplo 1: Calcular o deslocamento vertical do ponto A. 
 
Exemplo 2:calcular o giro (φ ) no apoio fixo. 
 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
92 
 
Teorema de Maxwell 
 Trata de uma estrutura elástica com duas cargas Pi e Pk. 
Seja a viga abaixo. Por superposição de efeitos: 
 
Considere a teoria de 1a ordem. 
Observação: ikδ : indica a causa (força no ponto k que causa o deslocamento em i). 
ikKiiii PPv δδ ⋅+⋅= 
kkKkiik PPv δδ ⋅+⋅= 
1a forma de carregamento: ( )P0(P),P0(P kkii →→ ) 
ikkikkkkiiii1 PP1PP2
1PP
2
1T δδδ ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= 
2a forma de carregamento: ( )P0(P),P0(P iikk →→ ) 
kiikiiiikkkk2 PP1PP2
1PP
2
1T δδδ ⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= 
Porém o trabalho realizado é o mesmo: T1 = T2. 
Substituindo os valores, tem-se que kiik δδ = → Teorema de Maxwell. 
 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
93 
 
Observações: 
• se substituirmos as forças Pi e Pk por um grupo de forças, temos o Teorema de 
Betti. 
• o Teorema de Maxwell vale se substituirmos forças por momentos. 
 
- Teorema de Maxwell: “O deslocamento de um ponto i, na direção i
r
, quando se 
aplica uma força no ponto k é igual ao deslocamento de um ponto k, na direção k
r
, 
quando se aplica uma força no ponto i”. 
- Teorema de Castigliano (1873): “A derivada parcial da energia de deformação em 
relação a uma carga Pk é igual ao deslocamento elástico (flecha) vk do ponto de 
aplicação da carga”. 
k
k
v
P
U =∂
∂ 
 
n1nx1xi1i1221111 P...P...P...PPv δδδδδ ⋅++⋅++⋅++⋅+⋅= 
n2nx2xi2i2222112 P...P...P...PPv δδδδδ ⋅++⋅++⋅++⋅+⋅= 
innixxiii2i21i1i P...P...P...PPv δδδδδ ⋅++⋅++⋅++⋅+⋅= 
xnnxxxxii2x21x1x P...P...P...PPv δδδδδ ⋅++⋅++⋅++⋅+⋅= 
nnnnxxnii2n21n1n P...P...P...PPv δδδδδ ⋅++⋅++⋅++⋅+⋅= 
∑
=
⋅⋅=
n
1i
ii vP2
1U 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂⋅+⋅∂
∂⋅=∂
∂ ∑ ∑
= =
n
1i
n
1i k
i
ii
k
i
k P
vPv
P
P
2
1
P
U 
1a derivada → para ki ≠ , 0
P
P
k
i =∂
∂ 
para ki = , 1
P
P
k
i =∂
∂ 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
94 
 
2a derivada → ∑
= ∂
∂n
1i k
i
P
v 
k
k
i
P
vi 11 δ=∂
∂⇒= 
k2
k
i
P
v2i δ=∂
∂⇒= 
ik
k
i
P
vii δ=∂
∂⇒= 
kk
k
i
P
vki δ=∂
∂⇒= 
nk
k
i
P
vni δ=∂
∂⇒= 
 
...P...PP ikik22k11 +⋅++⋅+⋅ δδδ 
 
Pelo Teorema de Maxwell, tem-se kiik δδ = . 
Logo: 
 ( )kk
k
vv
P
U +⋅=∂
∂
2
1 
 k
k
v
P
U =∂
∂∴ 
Como: 
estruturat
t dx
GI
Mdx
GA
cVdx
EI
Mdx
EA
NU ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +++= ∫ ∫ ∫ ∫ 2²²²21 
estruturatk
tt
kkkk
dx
GIP
MMdx
GAP
VcVdx
GIP
MMdx
EAP
NN
P
U ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂=∂
∂ ∫ ∫ ∫ ∫ 1212121221
 
estruturak
t
t
t
kkk
k dxP
M
GI
Mdx
P
V
GA
cVdx
P
M
GI
Mdx
P
N
EA
Nv ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂= ∫ ∫ ∫ ∫ 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
95 
 
 É importante lembrar que ao determinar N, M, V e tM da estrutura, devemos 
deixá-los em função de kP (ela existindo ou não), para só no final dos cálculos (após a 
fase da integração) a substituirmos por seu valor original (seja ele nulo ou não). 
 
 Observação prática: 
 Para facilitar os cálculos, para certos tipos especiais de estrutura, podemos 
desconsiderar certas parcelas da energia, já que são muito menores que as outras. 
 
 - Vigas e pórticos planos: 
 Aqui, o momento fletor é responsável por gerar uma energia muito maior que as 
geradas pela normal, cortante e momento torçor. 
 Portanto, simplificaremos para: 
 
 
estruturak
t
t
t
kkk
k dxP
M
GI
Mdx
P
V
GA
cVdx
P
M
GI
Mdx
P
N
EA
Nv ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂= ∫ ∫ ∫ ∫ 
 ∫ ∂∂=∴ estrutura kk dxP
M
GI
Mv 
 
 - Treliças e tirantes: 
 Neste caso, as barras sofrem somente solicitação normal, ou seja: 
 
estruturatk
k dxGI
dx
GA
dx
GI
dx
P
N
EA
Nv ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +++∂
∂= ∫ ∫ ∫ ∫ 000 
 ∫ ∂∂=∴ estrutura kk dxP
N
GI
Nv 
 Como a força normal nas barras é uma função de grau zero (um valor constante 
na barra toda), podemos dizer que N independe de x, ou seja: 
 lNdxNNdx
l l
⋅=⋅=∫ ∫
0 0
 (onde l é o comprimento da barra) 
 Considerando que o mesmo vale para 
kP
N
∂
∂ , temos: 
0 0 0 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Faculdade de Engenharia Civil 
Universidade Estadual de Campinas 
 
 
 
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021 
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 
96 
 
 ∫ ∑ ∫
= ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂=∂
∂=
treliça
n
i
ibarra
kk
k dxP
N
EA
Ndx
P
N
EA
Nv
1
.
 
 ∑ ⋅∂∂= lPNEANv kk 
 
 Observação: 
 No caso de um pórtico atirantado, devemos usar ∫ ∂∂pórtico k dxP
M
GI
M para calcular a 
energia referente ao pórtico e somar com ∫ ∂∂tirante k dxP
N
GI
N (parcela do tirante). 
 
 Como o teorema de Maxwell vale se substituirmos forças por momentos (e, 
naturalmente, deslocamentos (translação) por giros (rotação), podemos assim 
determinar, ao invés do deslocamento kv de um ponto, o seu giro absoluto kφ : 
 ∫ ∂∂= estrutura kk dxM
M