introdução a Probabilidade - João Gilberto

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Universidade Federal de Pelotas 
Instituto de Física e Matemática 
Departamento de Matemática e Estatística 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introdução à Probabilidade 
 
 
 
 
 
João Gilberto Corrêa da Silva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pelotas, 2004 
 
Prefácio 
 
 Esse texto foi elaborado ao longo dos poucos anos em que lecionei uma disciplina de 
Introdução à Probabilidade para o Curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal 
de Pelotas. De fato, os tópicos abordados nesse curso são os conteúdos dos primeiros quatro 
capítulos e partes dos capítulos 6, 7 e 8. Ao longo desse percurso, tentei desenvolver um texto 
mais completo. O resultado é apresentado nos capítulos 5 a 9. Esses capítulos ainda estão 
inconclusos, principalmente o capítulo 9. Estava programada a preparação de capítulos sobre 
tópicos mais avançados, mas, com a interrupção daquela disciplina, a motivação foi desviada para 
outros temas. 
 
 Ainda não tive condições de fazer uma revisão cuidadosa, mesmo dos capítulos 1 a 4, 
que considero razoavelmente desenvolvidos. Por outro lado, também não tive tempo de fazer uma 
revisão nas referências cruzadas a exercícios, figuras, tabelas, seções, etc. Por essa razão, sei que 
estão presentes inconsistências e erros. 
 
 Apesar dessas restrições e ressalvas, estou disponibilizando o presente texto, na 
esperança de que possa ser útil a estudantes e profissionais interessados na base matemática e nas 
aplicações da Probabilidade. 
 
 
 
 Pelotas, 21 de novembro de 2008 
 
 
 João Gilberto Corrêa da Silva 
 
 
Conteúdo 
 
 Página 
 
1. Introdução .................................................................................................. 1 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito ...................................................... 23 
3. Probabilidade em Espaço Básico Discreto e em Espaço Básico Contínuo ... 105 
4 Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidade Univariadas .................. 165 
5. Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidade Multivariadas .............. 247 
6. Valor Esperado e Características de Distribuição de Probabilidade ............ 337 
7. Distribuições de Probabilidades Discretas Especiais .................................. 419 
8. Distribuições de Probabilidades Contínuas Especiais ................................ 533 
9. Função Geradora de Momentos ................................................................ 589 
Respostas a Exercícios .................................................................................. 633 
Apêndice ...................................................................................................... 645 
 
 
1 Introdução 
Conteúdo 
 
1.1 Origens da Probabilidade ............................................................................................1 
1.2 Interpretações de Probabilidade ..................................................................................5 
1.2.1 Interpretação clássica..............................................................................................6 
1.2.2 Interpretação de probabilidade como freqüência relativa .........................................9 
1.2.3 Interpretação subjetiva de probabilidade ............................................................... 12 
1.2.4 Interpretações objetiva e subjetiva de probabilidade .............................................. 14 
1.2.5 Interpretação abstrata de probabilidade ................................................................. 15 
1.3 Probabilidade, Estatística e Método Científico .......................................................... 15 
1.4 Modelagem Matemática e Teoria Matemática da Probabilidade ................................ 18 
1.5 Bibliografia............................................................................................................... 22 
 
1.1 Origens da Probabilidade 
 Os conceitos de acaso e incerteza são tão antigos como a civilização. As pessoas 
sempre tiveram que enfrentar as incertezas de clima, de suprimento de alimento e de 
outros aspectos de seu ambiente, e que se esforçar para reduzir essas incertezas e seus 
efeitos. A idéia de jogo também tem origem bastante antiga. Cerca de 3.500 anos a.C., 
eram praticados no Egito e em outros lugares jogos de azar com objetos de osso, que 
podem ser considerados percussores do dado. Foram encontrados em tumbas no Egito 
cubos com marcas bastante semelhantes às dos modernos dados que datam de 2.000 
anos a.C. O homem antigo também usava mecanismos de sorte para propósitos de 
predição. Entretanto, surpreendentemente, parece que os gregos, romanos e nações 
medievais da Europa não alcançaram qualquer noção clara das leis do acaso. Assim, 4 
séculos antes de Cristo, Aristóteles define o significado de “uma probabilidade” como 
sendo o que “o homem conhece acontecer ou não acontecer, ser ou não ser, mais 
Introdução à Probabilidade 2 
freqüentemente assim e assim”. Uma idéia semelhante foi mantida até a Renascença. 
Entretanto, o acaso era suficientemente familiar, especialmente em conexão com jogos. 
Idéias primitivas de freqüência relativa já estavam presentes, mas a doutrina do acaso 
demorou a surgir. 
 O conceito científico de probabilidade não teve uma única fonte. Ele resultou da 
confluência, ao longo de vários séculos, de um número de ramificações originadas de 
diferentes regiões. A teoria da probabilidade originou-se de jogos; da coleta de fatos 
estatísticos requeridos pelo estado referentes a soldados e finanças; do seguro marítimo 
para cobertura de riscos referentes à destruição de navios e pirataria; estudos de 
mortalidade decorrente de pragas; e estudos de erros em astronomia. Seu intenso 
desenvolvimento, a partir de meados do século 18, decorreu da extensão de suas 
aplicações, através da estatística, em áreas crescentes do conhecimento, principalmente 
em biologia, agricultura, economia, meteorologia, psicologia e sociologia. 
 O ramo primitivo mais importante da probabilidade é o dos jogos de azar. 
Problemas matemáticos relacionados com jogos de azar foram considerados, embora 
com pouco sucesso, por alguns matemáticos italianos no século 16, entre eles: Lucas 
Pacioli, Geronimo Cardano e Niccolo Tartaglia. Cardamo foi o primeiro a deixar um 
manuscrito em que é exposto o conceito de leis do acaso (“Liber de ludo aleae”) 
(Tratado de jogos de sorte). Galileu deixou um fragmento, do final desse século, que 
mostra que ele compreendia claramente o método de cálculo de chances em jogos de 
dados. Seu trabalho explicita a idéia da regularidade no padrão de eventos casuais 
discretos que podem ser repetidos, tais como o lançamento de um dado. 
 Um outro ramo da probabilidade originou-se do seguro comercial contra riscos, 
que se desenvolveu em cidades italianas, no início da Renascença. As bases teóricas do 
seguro de vida foram estabelecidas mais tarde, no século 17. Em 1662, o estatístico 
inglês John Graunt (“Natural and political observations made upon the bills of 
mortality”), instigado pela informação referente à mortalidade decorrente da grande 
praga que abalara a Inglaterra, chamou a atenção para a regularidade revelada pelas 
séries de dados de registros de mortes. Logo em seguida, o matemático e astrônomo 
inglês Edmund Halley desenvolveu tabelas de mortalidade e um cálculo de anuidades a 
1. Introdução 3 
partir de tais tabelas. Seu trabalho, publicado em 1693, constituiu-se na primeira 
tentativa de relacionar mortalidade e idade em uma população. 
 As bases matemáticas iniciais da probabilidade foram formuladas no século 17, 
pelos matemáticos franceses Blaise Pascal e Pierre de Fermate pelo matemático e físico 
holandês Christian Huygens, inspirados por problemas referentes a jogos de azar. 
Pascal lançou as bases para o cálculo de probabilidades em um tratado de geometria 
publicado em 1653 (“De alea geometriae”) (Sobre a geometria da sorte). Na mesma 
época, Fermat tratava problemas de jogos dentro da teoria geral das combinações. Em 
1654, Pascal e Fermat trocaram uma série de correspondências sobre problemas de 
jogos de azar. Os resultados foram estendidos por Huygens e publicados em sua obra 
“De ratiociniis in ludo aleae” (Sobre o raciocínio em jogos de sorte, 1657). Essa teoria 
foi ulteriormente desenvolvida pelo matemático suíço Jacques Bernoulli, juntamente 
com a teoria das permutações e combinações e o estabelecimento da hoje denominada 
“lei dos grandes números”, que se tornou básica para a teoria da amostragem moderna. 
Bernoulli pode ser considerado o fundador da teoria da probabilidade como um ramo 
da matemática. Sua obra póstuma “Ars conjectandi” (A arte de conjeturar, 1713), é 
percussora da fusão dos métodos a priori da probabilidade combinatória e dos métodos 
a posteriori do início da teoria estatística. A pesquisa em probabilidade efetuada pelos 
matemáticos do século 18 culminou com a imensa obra de Pierre-Simon Laplace, 
consolidada em “Théorie analytique des probabilités”, publicada em 1812, que 
estabeleceu as idéias que dominaram no século 19. 
 Influenciado pelo sucesso da Física Newtoniana, Laplace advogou uma visão do 
universo estritamente determinista, segundo a qual uma inteligência onisciente seria 
capaz de predizer o curso da natureza em detalhes com exatidão infalível. É atribuído a 
ele ter proclamado: "Uma vez se tenha descoberto a lei universal, então, conhecidas as 
posições iniciais e as velocidades de todas as partículas neste mundo, se poderá predizer 
a história futura". Segundo essas idéias, a probabilidade entra na ciência da natureza 
apenas como uma teoria de erros, ou seja, como um estudo sistemático dos desvios de 
uma média que aparece em medidas repetidas de uma quantidade. Essas idéias foram 
Introdução à Probabilidade 4 
desenvolvidas por Laplace, Adrien-Marie Legendre e Carl Friedrich Gauss, até a 
metade do século 19. 
 O cálculo matemático de probabilidade logo forneceu recursos para o tratamento 
de dados estatísticos relativos a finanças públicas, administração da saúde, conduta de 
eleições e outros assuntos sociais, além de seguro. Os franceses Marie Jean Antoine 
Nicolas de Caritat (Marquês de Condorcet) e Adolphe Quetelet desenvolveram as bases 
de uma ciência social baseada na probabilidade. 
 Com Laplace, Condorcet e mais tarde Siméon-Denis Poisson, começa-se a 
encontrar idéias de probabilidade aplicadas a problemas práticos. Por exemplo, Laplace 
(“Exposition du système du monde”, 1796) discutiu a plausibilidade da hipótese 
nebulosa do sistema solar com base na probabilidade das órbitas planetárias situarem-se 
tão próximas de um plano como elas se situavam, Condorcet (“Essai sur l’application 
de l’analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix”, 1785) estava 
interessado com a probabilidade de decisões sob vários sistemas de votação, e Poisson 
(“Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, 
prédédées des règles rénérales du calcul des probabilités”, 1837) estava especificamente 
envolvido com a probabilidade de conclusões corretas a partir de evidências 
imperfeitas. Um famoso ensaio do inglês Thomas Bayes (“An essay towards solving a 
problem in the doctrine of chances”, 1763) abriu horizontes para aplicações de 
probabilidade, com a consideração de probabilidade no raciocínio indutivo, ou seja, o 
uso das probabilidades de eventos observados para comparar a plausibilidade de 
hipóteses que poderiam explicá-las. 
 A abordagem de probabilidade originada para a solução de problemas de jogos 
pressupunha a igual verossimilhança dos resultados alternativos possíveis. A aplicação 
da probabilidade a problemas práticos, onde geralmente não ocorre essa simetria, 
apresentava dificuldades. Surgiram, então, críticas ao conceito clássico de probabilidade 
consolidado por Laplace, que se iniciaram principalmente com o filósofo e economista 
inglês John Stuart Mills e o economista e matemático francês Antoine-Augustin 
Cournot, em meados do século passado. 
1. Introdução 5 
 Uma nova concepção de probabilidade decorreu da observação da regularidade 
das ocorrências de resultados de processos e de eventos naturais. A observação da 
regularidade de eventos causais discretos, tais como o lançamento de um dado e 
observação da face que resulta voltada para cima, já havia sido explicitada no trabalho 
de Galileu. A noção de que medidas em fenômenos naturais devem exibir semelhantes 
regularidades, que podem ser expressas matematicamente, parece ter-se originado em 
astronomia, em conexão com medidas de percursos de astros. Surgiu, então, a 
interpretação de probabilidade baseada nessa propriedade, ou seja, na estabilidade da 
freqüência relativa da ocorrência de resultados de processos e de eventos em uma 
seqüência de repetições ou realizações. Esse enfoque foi primeiramente formulado em 
uma teoria matemática por John Venn, em 1866. Uma versão mais elaborada dessa 
teoria foi apresentada pelo físico alemão Richard von Mises, em 1919. 
 Uma abordagem radicalmente oposta originou-se na terceira década deste século, 
com a concepção da teoria da probabilidade como uma teoria de graus de crença ou de 
certeza. Os matemáticos e filósofos Frank Plumton Ramsey, em 1926, e mais tarde 
Bruno de Finetti, em 1937, fizeram uma tentativa sistemática para basear a teoria 
matemática da probabilidade em noções de crença parcial. Uma abordagem também 
subjetiva foi adotada pelo geofísico Harold Jeffreys e pelo economista John Maynard 
Keynes, com a concepção de probabilidade como uma teoria de graus de crença 
razoável. Segundo essa teoria, formulada em sua forma mais avançada por Jeffrey 
(1939), qualquer proposição tem uma probabilidade numérica mensurável. Essas idéias 
foram ulteriormente seguidas por Leonard Savage, em 1954, que se tornou o fundador 
de uma escola em probabilidade e estatística adepta do subjetivismo. 
1.2 Interpretações de Probabilidade 
 Além das muitas aplicações da teoria da probabilidade, o conceito de 
probabilidade aparece freqüentemente na vida e na conversação diária. São 
freqüentemente utilizadas expressões tais como: “provavelmente choverá amanhã”, “É 
muito provável que o avião chegará atrasado”, “Há boa chance de que nossa equipe 
Introdução à Probabilidade 6 
ganhará o jogo de logo mais”. Todas essas expressões são baseadas no conceito de 
probabilidade, ou verossimilhança, de que algum evento específico ocorrerá. 
 Embora o conceito de probabilidade seja uma parte comum e natural da 
experiência, não há uma interpretação científica única do termo probabilidade aceita 
por todos filósofos, estatísticos e outros cientistas. As várias interpretações de 
probabilidade que têm sido propostas desde as primeiras formulações de sua teoria têm 
sido criticadas. De fato, o significado de probabilidade ainda é um tema controvertido 
em muitas discussões filosóficas. Métodos alternativos foram elaborados para 
fundamentar a matemática da probabilidade, a partir dessas definições. Apesar das 
diversas interpretações de probabilidade, os correspondentes procedimentos de cálculo 
alternativos aproximam-se em uma estrutura lógica comum. Neste texto serão 
abordadas cinco diferentes interpretações de probabilidade muito úteis nas aplicações 
da teoria da probabilidade. 
1.2.1 Interpretação clássica 
 A interpretação clássica da probabilidade emergiu do tratamento matemático de 
jogos de azar,que foi sedimentado na teoria de Laplace. Por exemplo, quando é 
lançada uma moeda, há dois possíveis resultados: cara ou coroa. Se for presumido que 
esses dois resultados têm a mesma possibilidade de ocorrência, então eles são 
igualmente prováveis. Como a soma das probabilidades das duas únicas possibilidades é 
um, as probabilidades de cara e de coroa devem ser ambas iguais a 1 2 . Pelo mesmo 
argumento, a probabilidade de resultar uma face particular no lançamento de um dado é 
1/6; a probabilidade de extrair uma carta particular de um baralho de 52 cartas é 1/52. 
De modo mais geral, se o resultado de algum processo deve ser um de n diferentes 
resultados que têm igual possibilidade de ocorrer, então a probabilidade de cada um 
desses resultados é 1/n. Em todos esses jogos, os resultados a priori possíveis 
constituem um número finito de alternativas supostas perfeitamente simétricas. 
 A pressuposição de igual possibilidade, ou igual verossimilhança, ou 
eqüiprobabilidade, e de mútua exclusividade dos resultados simples possíveis permite 
o cálculo de probabilidades de eventos mais genéricos. Por exemplo, considere-se a 
1. Introdução 7 
probabilidade da ocorrência de face par no lançamento de um dado. Três dos seis 
resultados possíveis têm esse atributo; portanto, a probabilidade de resultar um número 
lançamento de um dado é 3/6 = 1/2. Semelhantemente, a probabilidade de que o 
resultado de um lançamento seja um número maior que 4 é 1/3. 
 Esse argumento pode ser generalizado para um evento genérico como segue: 
Suponha-se que um processo possa ter um número n de resultados mutuamente 
exclusivos e igualmente possíveis e que nA desses n resultados implicam na ocorrência 
de um evento A; os restantes resultam na não ocorrência de A. Os nA resultados são 
ditos favoráveis a A e os demais n-nA, desfavoráveis a A. Então, a probabilidade do 
evento A é o quociente nA/n do número de resultados favoráveis e o número de todos 
os resultados possíveis. 
 Probabilidades determinadas por essa definição clássica são denominadas 
probabilidades a priori. Quando se diz que a probabilidade de obter uma cara é 1/2, se 
chega a esse resultado puramente por raciocínio dedutivo. Esse resultado não requer 
que qualquer moeda seja lançada, nem mesmo que esteja disponível para lançamento. 
Semelhantemente, em outros jogos os resultados a priori possíveis constituem um 
número finito de alternativas supostas perfeitamente simétricas, tais como as 
alternativas representadas pelos seis lados de um dado e as 52 cartas de um baralho. 
 Essa abordagem clássica, a priori, é limitada por algumas dificuldades. A primeira 
delas é que a pressuposição de resultados igualmente possíveis é essencialmente 
baseada no conceito de probabilidade que se quer definir. Ou seja, a proposição de que 
os resultados são igualmente possíveis é o mesmo que a proposição de que os 
resultados têm a mesma probabilidade. Assim, por exemplo, dizer que se uma moeda é 
perfeita (e seu lançamento é isento), a probabilidade de uma cara é 1/2 é dizer a mesma 
cousa de dois modos diferentes. Nada é dito sobre como determinar se uma moeda 
particular é perfeita ou não. Jacques Bernoulli estabeleceu uma regra para as condições 
sob as quais resultados podem ser pronunciados corretamente como igualmente 
possíveis. Esta regra é conhecida como princípio da razão insuficiente, princípio da 
igual distribuição da ignorância, ou princípio da indiferença. Esse princípio 
estabelece que resultados são igualmente prováveis se não há razão para que um ocorra 
Introdução à Probabilidade 8 
em vez do outro. Esse princípio tem alguma plausibilidade em jogos de azar, onde 
usualmente há concordância com respeito à análise correta do processo em resultados 
alternativos simples de igual possibilidade. Em casos que não tenham analogia óbvia 
com jogos de azar, a confiança nesse princípio torna-se dúbia. O uso seguro do 
princípio da eqüiprobabilidade está vinculado à questão de simetria das alternativas 
simples sob consideração. 
 Entretanto, o desenvolvimento de uma teoria de probabilidade sob a 
pressuposição de objetos ideais é perfeitamente aceitável, já que ela é um requerimento 
comum de teorias matemáticas. A geometria, por exemplo, trata de círculos 
conceitualmente perfeitos, linhas com espessura nula, etc., mas é um ramo útil do 
conhecimento que pode ser aplicado a diversos problemas práticos. 
 Outra dificuldade do conceito é a não provisão de método sistemático para a 
assinalação de probabilidades a resultados que não são equiprováveis. Mesmo no 
lançamento de uma moeda, a eqüiprobabilidade dos dois resultados possíveis – cara e 
coroa – fundamenta-se na pressuposição de que a moeda é perfeita. Entretanto, essa 
pressuposição é uma idealização que não tem correspondência exata na prática. Então, 
quais são as probabilidades de cara e coroa se a moeda não é perfeita? Mais importante, 
as alternativas de eventos importantes, particularmente de eventos naturais, usualmente 
não são igualmente possíveis e são desconhecidas. As seguintes questões são 
ilustrativas: qual é a probabilidade de que uma criança nascida em Pelotas seja um 
menino? Qual é a probabilidade de que um homem morra antes dos 55 anos? Qual é a 
probabilidade de que chova no próximo natal? É desejável que questões legítimas e 
importantes como essas sejam abrangidas pela teoria da probabilidade. Entretanto, a 
abordagem clássica da probabilidade não é aplicável nesses casos. A consideração 
desses problemas demanda a extensão ou alteração da definição de probabilidade. 
 Outra limitação da abordagem clássica é sua restrição à situação de número finito 
de resultados possíveis. Em muitas situações, o número dessas alternativas é infinito. 
Assim, por exemplo, qual é a probabilidade de que um número extraído do conjunto 
dos números inteiros positivos seja par, pressupondo-se que todos os números têm a 
mesma possibilidade de ocorrência? Intuitivamente, a resposta a esta questão pode ser 
1. Introdução 9 
obtida pelo seguinte argumento: limitando-se consideração aos 10 primeiros inteiros 
positivos, tem-se 5 números pares, de modo que a razão do número de casos favoráveis 
para o número de casos possíveis é 1/2; se forem considerados os 100 primeiros 
inteiros positivos, tem-se 50 números pares, de modo que a razão é 1/2; de modo geral, 
os primeiros 2n números inteiros positivos incluem n números pares, logo, a razão é 
n/2n =1/2; e, quando n tende para infinito, a razão permanece igual a 1/2. Esse 
argumento é aparentemente plausível, assim como a resposta, mas não é falho: uma 
ordenação diferente dos números inteiros positivos produz um diferente resultado. 
Assim, também se pode ordenar os inteiros positivos como segue: 1, 2, 4; 3, 6, 8, 5, 10, 
12, ..., tomando o primeiro número ímpar, o primeiro par de pares, o segundo número 
ímpar, o segundo par de números pares, e assim sucessivamente. Com essa ordenação, 
poder-se-ia argumentar que a probabilidade de extrair um número par do conjunto dos 
inteiros positivos é 2/3. Também se pode ordenar os números inteiros positivos de 
modo que a razão oscile e nunca se aproxime de qualquer valor definido quando n 
cresce. Assim, abordagem clássica de probabilidade não é aplicável a essas situações. 
1.2.2 Interpretação de probabilidade como freqüência relativa 
 Esse conceito deriva-se da compreensão comum de que a probabilidade de um 
resultado particular de um processo significa a freqüência relativa com que o resultado 
ocorre quando o processo é repetido um certo número de vezes. Em outras palavras, a 
probabilidade de um resultado é a proporção das repetições do processo que conduzem 
a esse resultado. 
 Os primeiros proponentes dessa abordagem “freqüentista” sugeriram a 
probabilidadede um resultado específico de um processo como uma freqüência relativa 
desse resultado “ao final de muitas realizações” do processo. Por exemplo, a 
probabilidade de obter uma cara quando uma moeda é lançada é considerada 1/2 
porque a freqüência relativa da obtenção de cara seria aproximadamente 1/2 quando a 
moeda é lançada um grande número de vezes. Esse conceito vago não é satisfatório. 
Venn foi o primeiro a definir a probabilidade de um evento como o valor limite que sua 
freqüência relativa aproxima quando o número de realizações cresce indefinidamente. 
Introdução à Probabilidade 10 
Uma versão mais elaborada da teoria do limite da freqüência foi apresentada por von 
Mises, que definiu a probabilidade de um evento A resultante de um processo como o 
limite da freqüência nA/n do evento quando o número n de repetições do processo tende 
para infinito, onde nA é o número de ocorrências do evento A quando o evento é 
repetido n vezes. Esse limite é o primeiro axioma da teoria proposta por von Mises. 
Embora essa definição seja aparentemente atrativa, ela é falha em decorrência da 
inexistência, em geral, do referido limite no sentido matemático. 
 As definições de Venn e de von Mises basearam-se em observações empíricas 
referentes à estabilidade de freqüências relativas em longas séries de observações 
aleatórias efetuadas sob condições uniformes, ou seja, na regularidade estatística, que 
constitui a base empírica da teoria estatística. Assim, por exemplo, pode-se observar 
que a variação da freqüência relativa nA/n do evento “cara” em uma seqüência de 
lançamentos de uma moeda varia de modo acentuado para valores pequenos de n, mas 
a amplitude das flutuações gradualmente torna-se menor à medida que n cresce, 
tendendo a estabilizar-se em torno de algum valor ideal definido muito próximo de 1/2. 
 De fato, parece razoável supor que para um experimento com uma moeda há um 
número, seja p, que é a probabilidade da ocorrência de uma “cara”. Agora, se a moeda 
parece bem balanceada, simétrica e seus lançamentos sucessivos são efetuados de modo 
isento e uniforme, pode-se utilizar o conceito clássico e declarar que p é 
aproximadamente igual a 1/2. Estabelecer p igual a 1/2 é apenas uma aproximação, já 
que para uma moeda particular não se pode estar seguro de que as duas alternativas 
possíveis – cara e coroa – são exatamente igualmente possíveis. Mas pelo exame do 
balanço e simetria da moeda e da isenção de seu lançamento, essa pressuposição pode 
parecer muito razoável. Alternativamente, poder-se-ia lançar a moeda um grande 
número de vezes e utilizar a freqüência relativa de uma cara como uma aproximação 
para p. 
 Suponha-se que a moeda não seja balanceada de modo que não se esteja certo, a 
partir de um exame de que dois casos – cara e coroa, sejam igualmente possíveis de 
resultar. Nesses casos, ainda se pode postular a existência de um número p como a 
1. Introdução 11 
probabilidade de que apareça uma cara, mas a definição clássica não é mais aplicável 
para determinar o valor de p. 
 A pesquisa científica usualmente trata de fenômenos que se manifestam com 
semelhante incerteza, que impossibilita a predição exata. Suponha-se, por exemplo, que 
seja desejado predizer se a próxima criança nascida em uma certa localidade seja do 
sexo feminino ou masculino. Esse é um evento individualmente incerto e não pode ser 
predito com exatidão. Entretanto, observa-se a existência de uma certa regularidade ao 
longo de muitos nascimentos semelhante àquela do lançamento de uma moeda. Se, por 
exemplo, encontra-se no exame de registros de nascimentos que cerca de 51 por cento 
dos nascidos são meninos, pode ser razoável postular que a probabilidade de um 
nascimento de menino nesta localidade seja igual a um número p e tomar 0,51 como sua 
aproximação. 
 Essa idéia pode ser generalizada para fenômenos ou processos que podem ser 
repetidos. Pressupõe-se que se pode conduzir uma série de observações, ou 
experimentos, sob condições similares ou uniformes. Ou seja, efetua-se uma observação 
em um experimento aleatório; repete-se o experimento sob condições semelhantes e 
toma-se outra observação; e se procede de modo semelhante em sucessivas repetições 
do experimento. Embora as condições permaneçam semelhantes em todas as repetições, 
ocorre uma variação não controlável que se manifesta ao acaso ou aleatoriamente de 
modo que as observações são individualmente não previsíveis. Em muitas situações as 
observações podem ser classificadas em certas categorias cujas freqüências relativas são 
muito estáveis. Esse fato sugere a postulação de um número p para cada evento 
particular, denominado de probabilidade do evento, e a aproximação de p pela 
freqüência relativa com que as observações repetidas satisfazem o evento. 
 Naturalmente, essa conjetura não pode ser provada nem refutada através de 
experiência, pois não se pode jamais efetuar uma seqüência infinita de experimentos. 
Entretanto, ela é fortemente suportada pela experiência. Ela é a base do conceito 
axiomático de probabilidade e do desenvolvimento da teoria matemática da 
probabilidade. 
Introdução à Probabilidade 12 
 Observe-se que, contrariamente à interpretação clássica, agora a probabilidade 
não é suposta conhecida a priori. Ela é conhecida, aproximadamente, após a realização 
de uma série de observações ou experimentos. Por essa razão, probabilidades 
determinadas por essa abordagem são denominadas probabilidades a posteriori. 
1.2.3 Interpretação subjetiva de probabilidade 
 A abordagem clássica e a abordagem freqüentista (a priori e a posteriori, 
respectivamente) aplicam-se a fenômenos ou processos com o requisito comum de que 
possam ser repetidos, pelo menos conceitualmente, sob condições mais ou menos 
uniformes. Por exemplo, lançamentos sucessivos de uma moeda para o caso a priori, e 
nascimentos sucessivos para o caso a posteriori. Entretanto, muitas situações 
importantes não podem ser concebidas como satisfazendo à estrutura de repetições sob 
condições semelhantes. Por exemplo, pode-se querer responder questões tais como: 
qual é a probabilidade de que eu tenha sucesso em minha entrevista de amanhã? Ou 
qual é a probabilidade de que a situação da economia de nosso país esteja melhor ao fim 
do próximo ano? Ou qual é a probabilidade da existência de vida orgânica em Saturno? 
Problemas como esse não são solucionados pela abordagem clássica e pela abordagem 
freqüentista. Entretanto, são abrangidas pela interpretação subjetiva de probabilidade e 
constituem parte legítima da teoria da probabilidade. 
 Segundo a interpretação subjetiva, ou pessoal, de probabilidade, a probabilidade 
que uma pessoa assinala a um resultado possível de um processo representa seu próprio 
julgamento da verossimilhança de que o resultado seja obtido. Esse julgamento é 
baseado nas crenças da pessoa e na informação sobre o processo. Uma outra pessoa, 
que possa ter diferentes crenças ou diferente informação, pode assinalar uma 
probabilidade diferente ao mesmo resultado. Por essa razão, é apropriado falar de 
probabilidade subjetiva
 pessoal de um resultado, em vez de falar de uma verdadeira 
probabilidade daquele resultado. 
 Suponha-se, por exemplo, que uma moeda deva ser lançada uma vez. Uma 
pessoa sem qualquer informação especial sobre a moeda ou o modo como ela será 
lançada pode considerar uma cara ou uma coroa como resultados igualmente 
1. Introdução 13 
verossímeis. Essa pessoa, então, assinalaria a probabilidade subjetiva 1/2 à possibilidade 
de obter uma cara. Entretanto, uma pessoa que esteja realmente lançando a moeda pode 
sentir que seja muito mais verossímil que seja obtida uma cara do que uma coroa. Para 
que esta pessoa seja capaz de assinalar probabilidadessubjetivas aos resultados, ela 
deve expressar a intensidade de sua crença em termos numéricos. Suponha, por 
exemplo, que ela considera que a verossimilhança de obter uma cara é um terço da de 
obter uma coroa. Ela deve, então, assinalar a probabilidade 1/4 à possibilidade de obter 
uma cara quando a moeda é lançada. 
 Essa interpretação subjetiva de probabilidade pode ser formalizada. Em geral, se 
um julgamento de uma pessoa referente à verossimilhança relativa de várias 
combinações de resultados satisfaz certas condições de consistência, pode ser 
demonstrado que suas probabilidades subjetivas dos diferentes resultados possíveis 
podem ser determinadas de modo único. Entretanto, há duas dificuldades básicas com a 
interpretação subjetiva. Em primeiro lugar, parece ser humanamente inatingível o 
requerimento de que o julgamento de uma pessoa referente às verossimilhanças 
relativas de um número infinito de eventos seja completamente consistente e livre de 
contradições. Em segundo lugar, a interpretação subjetiva não provê base “objetiva” 
para dois ou mais cientistas que trabalham juntos alcançarem uma avaliação comum do 
estado de conhecimento em alguma área científica de interesse comum. 
 Por outro lado, o reconhecimento da interpretação subjetiva de probabilidade tem 
o efeito saudável de enfatizar alguns dos aspectos subjetivos da ciência. Uma avaliação 
particular de um cientista da probabilidade de algum evento incerto deve ser, em última 
instância, sua própria avaliação baseada em toda a evidência que lhe é disponível. Essa 
avaliação pode ser baseada, em parte, na interpretação de probabilidade como 
freqüência relativa, já que o cientista pode levar em conta a freqüência relativa da 
ocorrência do evento em consideração ou de eventos semelhantes no passado. Ela 
também pode ser baseada, em parte, na interpretação clássica de probabilidade, pois o 
cientista pode tomar em consideração o número total de eventos elementares possíveis 
que ele considera igualmente possíveis de ocorrer. Entretanto, a assinalação final de 
probabilidades numéricas é responsabilidade do próprio cientista. 
Introdução à Probabilidade 14 
1.2.4 Interpretações objetiva e subjetiva de probabilidade 
 São freqüentemente contrastadas a concepção objetiva (clássica e freqüentista) e 
a concepção subjetiva de probabilidade. Entretanto, é questionável o estabelecimento 
de um contraste claro entre o objetivismo e o subjetivismo da probabilidade. 
 Os defensores da concepção de freqüência reconhecem que uma análise adequada 
de probabilidade requer a combinação da definição do conceito com a idéia de 
distribuição aleatória de eventos em uma série de ocasiões. Por outro lado, os adeptos 
da concepção clássica têm que recorrer a alguma forma de um princípio de indiferença 
para a determinação da igual possibilidade de certas alternativas elementares. Pode ser 
questionada a possibilidade da casualidade e da igual possibilidade serem levadas em 
conta de modo satisfatório sem referência aos estados de conhecimento ou ignorância. 
Se esse questionamento é correto, deve-se admitir que uma consideração adequada do 
significado da probabilidade não pode ser feita em termos puramente objetivos. 
 Por outro lado, a teoria da crença não implica necessariamente uma identificação 
de probabilidade com crença como um fenômeno psicológico. Pode-se dizer que a 
atitude em opiniões revela estimações subjetivas de probabilidade. Entretanto, a 
derivação das leis da probabilidade no contexto da teoria da crença não lhes confere o 
estado de leis psicológicas de crença. Em vez disso, ela os torna padrão de 
racionalidade ou consistência na distribuição de crenças ou em preferências. Portanto, 
seria uma simplificação exagerada considerar a teoria da crença como uma 
consideração de probabilidade em termos puramente subjetivos, ou seja, psicológicos. 
 Felizmente, pode ser desenvolvida uma teria matemática da probabilidade sem 
referência à controvérsia em torno das diferentes interpretações de probabilidade. Essa 
teoria é correta e pode ser aplicada de modo útil, independentemente da interpretação 
de probabilidade que seja usada em uma situação particular. As teorias que serão 
apresentadas nesse texto têm servido como guias e ferramentas valiosas na pesquisa 
científica. 
1. Introdução 15 
1.2.5 Interpretação abstrata de probabilidade 
 No curso do desenvolvimento das diferentes interpretações de probabilidade, 
foram sugeridas diversas definições de probabilidade. Correspondentemente, foram 
ideados métodos alternativos para basear a construção da matemática da probabilidade 
naquelas definições. Esses procedimentos de cálculo alternativos tomam diferentes 
visões do significado de sua noção fundamental, mas, em geral, eles têm uma estrutura 
lógica comum. 
 Esta observação oferece um ponto de partida para tentativas para a criação de um 
cálculo de probabilidade abstrato. Essa abordagem abstrai dos cálculos segundo as 
várias interpretações de probabilidade sua estrutura comum, ou seja, as propriedades 
formais que são levadas em conta independentemente de qualquer definição de 
probabilidade. 
 Assim, Kolmogorov propôs uma abordagem axiomática em que a probabilidade é 
definida como uma função de conjuntos que satisfaz as propriedades da freqüência 
relativa e estende o conceito de probabilidade a situações mais gerais. Esse conceito e a 
correspondente teoria dele derivada incorpora a matemática da probabilidade na teoria 
geral da medida. 
 Por outro lado, abordagens abstratas de um tipo logístico foram construídas por 
Keynes e por Jeffrey. Nesses sistemas, a probabilidade figura como uma relação lógica 
não definida entre proporções ou atributos. 
1.3 Probabilidade, Estatística e Método Científico 
 A conexão entre a probabilidade clássica e a estatística (no sentido de ciência da 
regularidade em agregados de fenômenos naturais) não ocorreu em um ponto do tempo 
identificável. O ponto crítico deve ter sido a realização de que as probabilidades não 
deveriam ser sempre calculadas a priori, como em jogos de azar, mas eram constantes 
mensuráveis do mundo natural. Na teoria clássica de probabilidade, as probabilidades 
de eventos primitivos ou elementares eram sempre especificadas em base a priori; por 
exemplo, os dados eram supostos perfeitos no sentido de que cada lado tinha uma igual 
Introdução à Probabilidade 16 
chance de cair voltado para cima, as cartas eram baralhadas e distribuídas ao acaso. 
Uma boa parte da teoria da probabilidade era relacionada com a matemática pura de 
derivar probabilidades de eventos complicados a partir desses eventos elementares cujas 
probabilidades eram conhecidas. Entretanto, probabilidades básicas referentes a 
fenômenos naturais não são conhecidas. O conhecimento aproximado dessas 
probabilidades tem que ser obtido através de inferência derivada de realizações 
repetidas dos correspondentes fenômenos. Levou algum tempo para que as implicações 
dessa noção fossem completamente compreendidas. Assim que chegou essa 
compreensão, a estatística adotou a probabilidade e passou a constituir o suporte para o 
imenso desenvolvimento que ocorreu desde a metade do século passado. 
 A idéia da regularidade das ocorrências de eventos casuais discretos, tais como o 
lançamento de um dado e observação da face que resulta voltada para cima, emergiu 
relativamente cedo e é explicitada no trabalho de Galileu. A noção de que medidas em 
fenômenos naturais devem exibir semelhantes regularidades, denominadas 
regularidades estatísticas, que podem ser expressas matematicamente, parece ter-se 
originado em astronomia, em conexão com medidas de percursos de astros. Logo que 
ficou conhecido que as medidas de uma grandeza eram sujeitas a erro, surgiramvárias 
hipóteses referentes ao padrão de tais erros. Simpson (1757) foi o primeiro a considerar 
distribuições contínuas, ou seja, uma distribuição de uma variável que podia tomar 
qualquer valor em um intervalo contínuo. Antes do final do século 18, Laplace e Carl 
Friedrich Gauss tinham considerado diversas distribuições especificadas 
matematicamente e, particularmente, tinham descoberto a mais famosa delas, a 
distribuição normal. 
 Nesses estudos, era presumida a existência de um valor “verdadeiro” da 
distribuição em consideração. Desvios desse valor eram atribuídos a “erros”. No início 
do século 19, ocorreu um avanço considerável com o reconhecimento, especialmente 
por Quetelet, de que seres vivos também exibiam distribuições de freqüência de 
aparência definida. Próximo de 1880, o antropólogo Francis Galton e o matemático 
Karl Pearson mostraram que essas distribuições eram freqüentemente assimétricas, no 
sentido de que a forma da curva de freqüência para valores acima da média não era uma 
1. Introdução 17 
imagem de espelho da curva para valores abaixo da média. Como conseqüência, em 
particular, tornou-se impossível sustentar que os desvios da média eram “erros” ou que 
existia um valor “verdadeiro”. A própria distribuição de freqüência devia ser 
reconhecida como propriedade fundamental do agregado. Padrões semelhantes de 
regularidade foram imediatamente reconhecidos em quase todos os ramos da ciência: 
genética, biologia, meteorologia, economia e sociologia. 
 A moderna teoria estatística teve início em 1890, na Inglaterra. Francis Ysidoro 
Edgeworth, professor de economia, estava chamando a atenção para as regularidades 
estatísticas em resultados de eleições, versos gregos e acasalamento de abelhas, e estava 
para propor uma generalização marcante da lei do erro. Por outro lado, estimulado pelo 
trabalho de Francis Galton em evolução e pelo biologista Walter Weldon, o matemático 
Karl Pearson passou a envolver-se profundamente nas aplicações da estatística a 
problemas biológicos da herança e da evolução. Entre 1893 e 1912, ele escreveu uma 
série de 18 artigos (intitulados “Mathematical contributions to the theory of evolution”) 
que apresentaram métodos que iniciaram a construção da teoria estatística. A estas se 
seguiram as contribuições extraordinárias do matemático inglês Ronald Aylmer Fisher à 
teoria e metodologia estatística, e de matemáticos russos (Andrei Markov, Aleksandr 
Chuprov e Andrey Nikolayevich Kolmogorov), franceses (Émile Borel em Paul Lévy) e 
italianos (Corrado Gini, Bruno di Finetti) 
 A partir de meados do século 19, a probabilidade e a estatística passaram a 
participar da física teórica. Inicialmente, ela apareceu na teoria do calor. Em 1860, o 
físico escocês James Clerk Maxwell, deduziu as leis dos gases com base em argumentos 
referentes às distribuições de posições e velocidades das moléculas, baseados em 
probabilidade. Em 1877, o físico austríaco Ludwig Eduard Boltzmann interpretou a 
impossibilidade de reversão de processos térmicos como uma tendência para uma 
distribuição mais provável das energias das moléculas. Ele mostrou que a segunda lei da 
termodinâmica, referente à troca de energia, podia ser explicada pela aplicação de leis 
da mecânica e da teoria da probabilidade aos movimentos dos átomos, fundando as 
bases da mecânica estatística. Em 1900, surgiu a mecânica quântica, com a teoria da 
radiação posta em uma base de probabilidade pelo físico alemão Max Plank. Com o 
Introdução à Probabilidade 18 
desenvolvimento ulterior da física quântica, a probabilidade invadiu a teoria atômica, 
culminando com o princípio da incerteza, descoberto pelo físico alemão Werner Karl 
Heisenberg, em 1927. Esse princípio estabelece que a posição e a velocidade de um 
objeto não podem ser ambas medidas exatamente, ao mesmo tempo. 
 O princípio da incerteza marcou o final do sonho de Laplace de uma teoria da 
ciência fundamentada em um modelo do universo totalmente determinista. Certamente, 
não se pode predizer os acontecimentos futuros com exatidão, nem sequer se pode 
medir o estado presente do universo de forma exata. Em geral, a mecânica quântica não 
prediz a ocorrência única de um evento. Em seu lugar, prediz um certo número de 
ocorrências alternativas possíveis e provê a probabilidade de cada uma dessas 
ocorrências. Assim, a mecânica quântica introduz na ciência um elemento inevitável de 
incapacidade de predição exata, ou seja, uma casualidade. 
 A visão determinista da natureza foi substituída pela visão probabilista. O 
conceito de probabilidade tornou-se uma das noções fundamentais da ciência moderna e 
da filosofia da natureza. 
1.4 Modelagem Matemática e Teoria Matemática da Probabilidade 
 A modelagem matemática é um procedimento usual do método científico de 
aquisição de conhecimento. Quando o cientista encontra evidência de uma regularidade 
confirmada em alguma classe de fenômenos observáveis, ele tenta formar uma teoria 
matemática referente a essa classe de fenômenos. Então, ele escolhe como ponto de 
partida algumas das características mais essenciais e elementares da regularidade 
evidenciada pelos dados, e as expressa, em uma forma simplificada e idealizada como 
proposições matemáticas que são estabelecidas como os axiomas básicos da teoria. A 
partir dos axiomas, são, então, obtidas várias proposições por deduções puramente 
lógicas, sem qualquer outro recurso à experiência. Dessa forma, é construído em uma 
base axiomática um sistema de proposições logicamente consistente que constitui a 
teoria matemática do cientista. 
1. Introdução 19 
 A geometria e a mecânica teórica são dois exemplos clássicos desse 
procedimento. A geometria, por exemplo, é um sistema de proposições puramente 
matemáticas, destinadas a formar um modelo matemático de uma grande classe de fatos 
empíricos relacionados com a posição e configuração em espaços de vários corpos. Ela 
se suporta em um número de axiomas relativamente pequeno, que são introduzidos sem 
prova. No estabelecimento da base de uma teoria, o matemático tenta imitar, tão 
estritamente quanto possível, a regularidade observada nesses fatos empíricos. Assim, 
ele sabe que certas ações, tais como o uso apropriado de uma régua ou de uma peça de 
giz, podem produzir ousas conhecidas na linguagem comum, tais como pontos, linhas 
retas etc. O estudo empírico das propriedades dessas cousas provê evidência de certas 
regularidades. Ele então postula a existência de correspondentes conceituais dessas 
cousas: os pontos, linhas retas etc. da geometria pura, e estabelece as características 
fundamentais das regularidades observadas, em uma forma idealizada, como os axiomas 
geométricos. Uma vez escolhidos os axiomas, o sistema completo de proposições 
geométricas é obtido a partir deles por deduções puramente lógicas. A escolha dos 
axiomas é guiada pelas regularidades encontradas nos fatores empíricos disponíveis. 
Entretanto, os axiomas podem ser escolhidos de diferentes modos, e, 
correspondentemente, há vários diferentes sistemas de geometria: a geometria 
euclidiana, a geometria de Lobtschewski, etc. Cada uma dessas geometrias é um 
sistema de proposições matemáticas logicamente consistente, fundamentado em seu 
próprio conjunto de axiomas. Semelhantemente, a mecânica teórica é um sistema de 
proposições matemáticas destinado a formar um modelo matemático de fatos 
observados referentes ao equilíbrio e movimento de corpos. 
 Cada proposição de um tal sistema é verdadeira no sentido matemático, desde 
que seja corretamente deduzida dos axiomas. Entretanto, não provê qualquer prova 
sobre os eventos que irão de fato ocorrer. Por exemplo, os pontos, linhas, planos etc. 
considerados em geometria pura não sãocousas perceptíveis que se conhece a partir de 
experiência imediata. Argumentos matemáticos são fundamentalmente incapazes de 
provar fatos físicos. 
Introdução à Probabilidade 20 
 Todavia certas proposições de uma teoria matemática podem ser testadas pela 
experiência. Assim, a proposição euclidiana referente à soma dos ângulos de um 
triângulo pode ser diretamente comparada com medias reais de triângulos concretos. Se 
em testes sistemáticos desse caráter observa-se que as conseqüências verificáveis da 
teoria conformam com exatidão suficiente com fatos empíricos disponíveis, pode-se 
sentir mais ou menos justificado em pensar que há alguma semelhança entre a teoria 
matemática e a estrutura do mundo perceptível. Espera-se, também que a concordância 
entre a teoria e a experiência continuará a ocorrer com eventos futuros e para 
conseqüências da teoria ainda não submetidas à verificação direta. 
 Naturalmente, a confiança na concordância futura entre teoria e experiência se 
tornará mais elevada na medida em que cresça a evidência acumulada de tal 
concordância. O grau de concordância que se pode razoavelmente esperar não é sempre 
o mesmo. Enquanto em alguns casos os instrumentos mais sensíveis não lograram 
descobrir a menor discordância, há outros casos em que a lei científica leva em conta 
apenas certas características dos fatos observados, sendo os desvios interpretados como 
erros ou distúrbios. 
 Em uma situação em que é encontrada evidência de uma concordância mais ou 
menos exata e permanente entre a teoria e os fatos, a teoria matemática adquire um 
valor prático, independentemente de seu interesse puramente matemático. Então, a 
teoria pode ser aplicada para vários propósitos importantes, que podem ser 
classificados em três categorias: descrição, análise e predição. 
 A aplicação de uma teoria para propósitos de descrição pode permitir a redução 
de um grande conjunto de dados empíricos a um pequeno número de características que 
representem, em uma forma condensada, a informação relevante provida pelos dados. 
Assim, o conjunto complicado de observações astronômicas referentes aos movimentos 
dos planetas é resumido, em uma forma condensada, pelo sistema de Copérnico. 
Ademais, os resultados de uma teoria podem ser aplicados como ferramentas para uma 
análise científica do fenômeno sob consideração. Quase todas as pesquisas científicas 
utilizam aplicações dessa categoria. Suponha-se, por exemplo, que se está tentando 
descobrir se a variação de um certo fator tem alguma influência sobre um fenômeno de 
1. Introdução 21 
interesse. Para tal, tenta-se desenvolver uma teoria, segundo a qual tal influência não 
tem lugar, e comparar as conseqüências desta teoria com as observações. A 
manifestação de discordância em algum ponto é indicação de que a teoria deve ser 
alterada de modo a levar em conta a influência do fator em consideração. A teoria 
também pode ser usada para predição de eventos que acontecerão sob dadas 
circunstâncias. Assim, com o auxílio de teoria da geometria e da mecânica, um 
astrônomo é capaz de predizer a data de um eclipse. Esta é uma aplicação direta do 
princípio mencionado anteriormente de que a concordância entre teoria e fatos é 
esperada perdurar para eventos futuros. 
 O desenvolvimento de uma teoria que estabeleça um modelo matemático dos 
fenômenos que evidenciam regularidade estatística é muito útil para esses propósitos. 
Essa teoria deve levar em conta as características dos fatos fundamentais deste modo de 
regularidade. No estabelecimento das bases dessa teoria, deve-se tentar imitar tão 
estritamente quanto possível o processo de construção clássico descrito e ilustrado 
anteriormente com a geometria. No caso da probabilidade, sabe-se que com certas 
ações, ou seja, a realização de seqüências de certos experimentos, pode-se produzir 
conjuntos de números conhecidos como freqüências relativas. O estudo empírico do 
comportamento da freqüência relativa provê evidência de uma certa forma típica de 
regularidade, conhecida como regularidade estatística. No estabelecimento da base de 
uma teoria matemática da probabilidade, o matemático deve levar em conta, tão 
estritamente quanto possível, essa regularidade observada nos fatos empíricos, postular 
a existência de correspondentes conceituais dos fatos básicos da regularidade estatística 
e, então, estabelecer as características fundamentais dessas regularidades observadas, 
em uma forma idealizada, como os axiomas da probabilidade. A teoria matemática mais 
amplamente aceita foi estabelecida por Kolmogorov. A teoria geral da probabilidade 
desenvolvida por Kolmogorov incorpora a matemática da probabilidade no contexto da 
teoria geral de conjuntos de pontos mensuráveis, conhecida como teoria da medida. 
Esse texto aborda uma versão elementar dessa teoria, que é desenvolvida a partir da 
base conceitual axiomática apresentado na Seção 2.9. 
Introdução à Probabilidade 22 
1.5 Bibliografia 
BELL, E.T. Historia de las matemáticas. México: Fondo de Cultura Económica, 
1949. 656p. 
CRAMÉR, H. Mathematical methods of statistics. Princeton, N.J.: Princeton 
University Press, 1946. 
DE GROOT, M.H. Probability and statistics. Menlo Park, California: Addison-
Wesley, 1975. 
KRUSKAL, W.H.; TANUR, J.M. (Editores). International encyclopedia of 
statistics. New York: Macmillan, 1978. v. 2. 1350p. 
The new encyclopaedia Britannica. 30 volumes. 15. ed. Chicago: Encyclopaedia 
Britannica, Inc., 1979. 
 
2 Probabilidade em Espaço Básico Finito 
Conteúdo 
 
2.1 Introdução.................................................................................................................23 
2.2 Experimento Aleatório e Eventos ............................................................................25 
2.3 Modelo Matemático de Probabilidade .....................................................................33 
2.4 Conceito Clássico de Probabilidade.........................................................................36 
2.5 Contagem de Pontos do Espaço Básico ...................................................................45 
2.5.1 Regra da multiplicação.........................................................................................46 
2.5.2 Regras das permutações .......................................................................................54 
2.5.3 Regra dos arranjos................................................................................................60 
2.5.4 Regra das combinações ........................................................................................65 
2.5.5 Contagem automática...........................................................................................72 
2.6 Propriedades da Probabilidade .................................................................................75 
2.7 Probabilidade a Priori...............................................................................................78 
2.8 Conceito Empírico de Probabilidade .......................................................................80 
2.9 Complementos..........................................................................................................87 
2.10 Exercícios de Revisão ..............................................................................................95 
2.11 Bibliografia.............................................................................................................103 
 
2.1 Introdução 
 Em geral, eventos referentes a fenômenos naturais e experimentos não podem ser 
previstos com exatidão. Previsões desses eventos compreendem a atribuição de graus 
de chances de suas ocorrências. O conceito de probabilidade originou-se do interesse 
na previsão de eventos dessa origem.Os diversos conceitos de probabilidade 
distinguem-se, principalmente, pelas pressuposições alternativas que são adotadas 
referentes ao conhecimento prévio referente a essas chances. 
 O desenvolvimento histórico da probabilidade e suas diversas interpretações 
foram descritos, de modo resumido, no Capítulo 1. Essas diversas interpretações 
implicam procedimentos de cálculo alternativos que, entretanto, compreendem 
essencialmente uma mesma base e aproximam-se em uma estrutura lógica comum. 
Introdução à Probabilidade 24 
 Nesse Capítulo e no próximo, são estabelecidos os denominados conceitos 
objetivos de probabilidade, ou seja, o conceito clássico, o conceito empírico e o 
conceito axiomático baseado em propriedades fundamentais da freqüência relativa. 
Historicamente, esses conceitos foram desenvolvidos nessa ordem, na busca de maior 
generalidade. A base conceitual é desenvolvida construtivamente, de modo a deixar 
claro a progressiva extensão de alcance que é lograda, a partir da pressuposição de 
espaço básico finito equiprovável, até a consideração de espaço básico contínuo. 
 No presente Capítulo é introduzida a estrutura conceitual da probabilidade e são 
apresentadas algumas de suas propriedades mais importantes para o cálculo de 
probabilidades na situação mais simples de espaço básico finito. A ampla gama de 
fenômenos e processos para cujo estudo a probabilidade é relevante é definida na 
Seção 2.2; nessa Seção, são estabelecidos os conceitos de experimento aleatório, 
espaço básico e evento. Na Seção 2.3, são abordados aspectos lógicos da derivação de 
um modelo de probabilidade e das abordagens clássica e empírica. Na Seção 2.4, é 
formulado o conceito mais primitivo de probabilidade, originado do estudo de jogos de 
azar. Embora aparentemente bastante restritivo pela pressuposição de espaço básico 
equiprovável, o usualmente denominado "conceito clássico de probabilidade" tem 
aplicações em muitas áreas importantes, particularmente em amostragem. No fim 
dessa Seção, são formuladas as principais propriedades da probabilidade que 
estabelecem os procedimentos do cálculo de probabilidades na situação de espaço 
básico equiprovável. A base matemática do processo de contagem envolvido nesse 
cálculo de probabilidades é revisada na Seção 2.5. A Seção 2.6 enuncia as principais 
propriedades ou regras da probabilidade para espaço básico finito. O conceito empírico 
de probabilidade, originado principalmente a partir das aplicações da probabilidade às 
ciências naturais, e as principais propriedades da probabilidade nesse contexto são 
estabelecidos na Seção 2.8. Por fim, na Seção 2.9, faz-se uma extensão da teoria da 
análise combinatória revisada na Seção 2.5, incluindo os teoremas binomial e 
multinomial, que constituem base matemática referida em diversas oportunidade no 
texto. 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 25 
2.2 Experimento Aleatório e Eventos 
 O conceito de probabilidade é relevante para o estudo de fenômenos aleatórios, 
ou seja, fenômenos cujas realizações não podem ser previstas exatamente. Ele se aplica 
a "experimentos aleatórios" ou seja, experimentos cujos resultados em diversas 
realizações ou repetições são variáveis e, portanto, incertos, mas que, entretanto, 
satisfazem condições básicas que permitem previsão com a atribuição de graus de 
chance de acerto: 
 Um experimento aleatório E é uma ação ou processo de observação e coleta de 
dados referentes a um fenômeno que satisfaz às seguintes propriedades: 
 i) o resultado de uma realização de E não pode ser predito com certeza; 
 ii) a coleção dos resultados possíveis de E é conhecida antes de sua realização; 
 iii) o experimento E pode ser repetido sob, essencialmente, as mesmas 
condições. 
 
 Esse conceito de experimento é mais abrangente do que o de "experimento 
controlado" em pesquisa científica de campo e de laboratório. Ele compreende 
qualquer ação ou processo que implique a observação e coleta de dados referentes a 
fenômenos aleatórios. Em tais experimentos, a variação dos resultados de diferentes 
realizações é inevitável, de modo que o resultado de uma realização particular é 
incerto. Entretanto, a regularidade dessa variação permite a previsão do resultado de 
uma realização particular do experimento com base nas ocorrências de um conjunto 
numeroso de realizações. É sabido, por exemplo, que em uma longa seqüência de 
lançamentos de uma moeda simétrica e balanceada, cerca de metade dos lançamentos 
resultarão em cara. Então, é natural admitir que, em um lançamento particular, a 
"chance" da ocorrência de cara é 1/2. É nessa regularidade previsível de um grande 
conjunto de realizações de jogos de azar que se baseiam casas de jogos e apostadores. 
 Esse mesmo tipo de incerteza e regularidade é muito comum com fenômenos 
naturais e, portanto, muito importante na ciência. Por exemplo, em genética, é incerto 
Introdução à Probabilidade 26 
se um descendente será macho ou fêmea, mas são sabidas, aproximadamente, a 
proporção de machos e a proporção de fêmeas em muitos nascimentos. 
Semelhantemente, um departamento de trânsito não pode prever quais carros se 
acidentarão em um fim de semana particular, mas pode predizer de modo bastante 
satisfatório o número de ocorrências de acidentes de carro. 
 São formulados, a seguir, outros exemplos de experimentos aleatórios, que serão 
utilizados nas ilustrações de conceitos que seguem. 
Exemplo 2.1 
 Considerem-se os seguintes experimentos: 
 a) pôr uma vaca em cria; 
 b) efetuar o plantio de cinco sementes de trigo; 
 c) pôr 100 sementes em uma câmara de germinação; 
 d) examinar individualmente suínos de uma granja, até encontrar o primeiro que 
manifeste uma infecção viral; 
 e) preparar vinho de uva de um vinhedo; e 
 f) administrar um hormônio de crescimento a um bovino de corte para acelerar sua 
preparação para o abate. 
 Cada realização de um desses experimentos terá um resultado particular que se 
diferenciará dos demais resultados possíveis por um número de diferentes características. Em 
um experimento aleatório, entretanto, geralmente há interesse em apenas uma ou poucas 
características. Assim, nesses experimentos pode-se ter o interesse restrito às seguintes 
características: 
 a) sexo do terneiro; 
 b) grau de infeção das folhas pela ferrugem; 
 c) número de sementes que germinam; 
 d) seqüência dos diagnósticos dos animais examinados; 
 e) concentração de açúcar no mosto; e 
 f) peso e ganho de peso doze semanas após a administração do hormônio. 
 A especificação da característica ou das características de interesse deve fazer parte da 
descrição do experimento aleatório. Portanto, as descrições completas dos experimentos 
aleatórios que estão sendo utilizados para ilustração correspondem ao que segue: 
 a) pôr uma vaca em cria e observar o sexo do terneiro; 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 27 
 b) efetuar o plantio de cinco sementes de trigo e observar o grau de infeção de ferrugem 
nas folhas; 
 c) pôr 100 sementes em uma câmara de germinação e observar o número de sementes 
que germinam; 
 d) examinar individualmente suínos de uma granja, até encontrar o primeiro que 
manifeste uma infecção viral, e registrar a seqüência dos diagnósticos dos animais 
examinados; 
 e) preparar vinho de uva de um vinhedo e determinar a concentração de açúcar no 
mosto; e 
 f) administrar um hormônio de crescimento a um bovino de corte para acelerar sua 
preparação para o abate e registrar o peso e o ganho de peso doze semanas após a 
administração do hormônio. 
 Pode-se verificar que esses experimentos são experimentos aleatórios. Por 
exemplo, o resultado da ação de pôr uma vaca em cria e observaro sexo do terneiro 
não pode ser previsto; entretanto, a coleção dos resultados possíveis é conhecida 
antecipadamente: macho e fêmea; ademais, esse experimento pode ser repetido sob as 
mesmas condições essenciais, pela colocação em cria de outras vacas do mesmo 
rebanho sob consideração. 
 O estudo de um experimento aleatório requer o estabelecimento claro da coleção 
de seus resultados possíveis. 
 A coleção de todos os resultados possíveis, ou resultados elementares, de um 
experimento aleatório constitui seu espaço básico 1. 
 
 Assim, o espaço básico de um experimento aleatório é o conjunto cujos 
elementos são os resultados elementares desse experimento. Por essa razão, a 
conceituação, as propriedades e a notação pertinentes a espaço básico e resultados de 
experimento aleatório são análogas àquelas referentes a conjunto. 
 O espaço básico é denotado por S. Cada resultado elementar de um espaço 
básico S é um elemento de S, ou um ponto desse espaço, e é denotado por s. Denota-se 
que s é um elemento do espaço básico S por s∈S, e distinguem-se diferentes elementos 
Introdução à Probabilidade 28 
ou pontos do espaço básico através de subscritos. Assim, por exemplo, os elementos de 
um espaço básico de três resultados elementares podem ser denotados por s1, s2 e s3, e 
o espaço básico por S = {s1, s2, s3}. 
 Cada elemento s do espaço básico S é, também, um subconjunto unitário de S, 
denominado de evento simples ou elementar: 
 Cada resultado elementar de um experimento aleatório constitui um evento 
simples, ou evento elementar, denotado por {s}. 
 
 Observe-se que s representa um resultado elementar de S e {s} o evento 
elementar cujo único resultado possível é s. 
 O espaço básico de um experimento aleatório é especificado por uma lista de 
todos os resultados possíveis do experimento, com o uso de símbolos convenientes 
para identificar esses resultados, ou por uma sentença que caracterize a coleção de 
todos os resultados possíveis. Para ilustração, considere-se os experimentos aleatórios 
do Exemplo 2.1. 
Exemplo 2.1. (continuação) 
 Os espaços básicos dos experimentos aleatórios do Exemplo 2.1 podem ser 
especificados como segue: 
 a) S = {M, F}, onde M e F representam sexo masculino e sexo feminino, 
respectivamente; 
 b) S = {SI, IFr, IM, IFo, IG}, onde SI, IFr, IM, IFo e IG representam ausência de 
infeção e os graus de infeção fraca, média, forte e grave, respectivamente; 
 c) S = {0, 1, 2,..., 100}; 
 d) S = {C, SC, SSC, SSSC,...}, onde S designa sem infecção e C, com infecção, e a 
seqüência SSC, por exemplo, indica que o terceiro animal é o primeiro que manifesta infecção; 
 e) a concentração de açúcar no mosto é expressa pela proporção de açúcar em uma 
unidade de volume do mosto; então, designando a concentração de açúcar no mosto por t, o 
espaço básico pode ser especificado por: S = {t: 0≤ t ≤1, t um número real}, isto é, o conjunto 
dos números reais t compreendidos entre 0 e 1, incluídos 0 e 1; 
 
1 Esse conceito é geralmente designado de "espaço amostral". Nesse texto, adota-se a designação de "espaço básico" 
para evitar confusão que pode decorrer do uso da expressão "espaço amostral", com outro significado, no contexto da 
inferência estatística. 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 29 
 f) o experimento considera duas características: peso e ganho de peso, a primeira 
expressa por uma variável real não negativa e a segunda por uma variável real; então, 
designando peso e ganho de peso por x e y, respectivamente, o espaço básico pode ser 
especificado por: S = {(x, y): x é um número real não negativo e y é um número real}. 
 Esses exemplos salientam que a complexidade do espaço básico depende da 
natureza do experimento aleatório. Por outro lado, para um mesmo experimento 
aleatório pode ser especificado mais de um espaço básico. 
Exemplo 2.2 
 Experimento: Lançamento de um dado e observação da face que resulta voltada para 
cima. 
 O espaço básico desse experimento é: 
 
ou, se há interesse no número de pontos na face: 
S2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
Entretanto, se há interesse apenas em observar se o número de pontos é par ou ímpar, o espaço 
básico reduz-se a: 
S3 = {ímpar, par}. 
 Os dois primeiros espaços básicos provêem mais informação do que o terceiro. De fato, 
se for conhecido o resultado que ocorreu no espaço básico S1 ou no espaço básico S2, pode-se 
determinar o resultado referente ao espaço básico S3; entretanto o conhecimento do resultado 
em S3 não permite a determinação do resultado em S1 ou S2. Freqüentemente, é desejável 
considerar o espaço básico que provê a informação mais detalhada referente aos resultados do 
experimento. Entretanto, o espaço básico resumido pode ser mais conveniente para alguns 
propósitos. 
Exemplo 2.3 
 Experimento: Seleção de três unidades provenientes de uma linha de produção para 
inspeção de qualidade e classificação de cada unidade como não defeituosa ou defeituosa. 
 O espaço básico que provê informação mais detalhada referente aos resultados desse 
experimento é: 
S1 = {NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD}, 
Introdução à Probabilidade 30 
onde N e D representam, respectivamente, unidade sem defeito e unidade defeituosa. Esse 
espaço básico caracteriza a ordem da seleção das unidades e distingue a ausência ou presença 
de defeitos. Um espaço básico alternativo para este experimento é: 
S2 = {"NNN", "NND", "NDD", "DDD"}, 
que distingue apenas as unidades defeituosas e não defeituosas entre as três unidades 
selecionadas para inspeção, ignorando a ordem de seleção das unidades ("NND", por exemplo, 
corresponde aos resultados elementares NND, NDN, e DNN do espaço básico S1). Entretanto, 
se há interesse apenas no número de unidades defeituosas entre as três unidades selecionadas, 
o espaço básico apropriado é: 
S3 = {0, 1, 2, 3}. 
 Observe-se que os espaços básicos S2 e S3 guardam relação um a um, ou seja, a cada 
resultado possível de S2 corresponde um resultado possível de S3, e vice-versa. Portanto, esses 
espaços básicos têm a mesma estrutura. Entretanto, a estrutura do espaço básico S1 é distinta. 
 A compreensão da estrutura do espaço básico e sua especificação podem ser 
auxiliadas por um diagrama. Cada um dos resultados possíveis do experimento é 
representado por um ponto acompanhado do símbolo que o representa. 
Exemplo 2.4 
 Sejam os espaços básicos que podem ser especificados para o experimento "seleção de 
três unidades provenientes de uma linha de produção para inspeção de qualidade e 
classificação de cada unidade como não defeituosa e defeituosa": S1 = {NNN, NND, NDN, 
DNN, NDD, DND, DDN, DDD}, S2 = {"NNN", "NND", "NDD", "DDD"} e S3 = {0, 1, 2, 3} 
(Exemplo 2.3). 
 Os diagramas dos espaços básicos S1, S2 e S3 são apresentados na Figura 2.1. 
 
Figura 2.1. Diagramas dos espaços básicos do experimento do Exemplo 2.3: a) 
S1; b) S2 e S3. 
Exemplo 2.5 
 Duas bolas devem ser retiradas de uma caixa que contém 2 bolas brancas e uma bola 
preta, sem reposição da primeira bola extraída antes da retirada da segunda bola. Especifique 
dois espaços básicos alternativos para esse experimento e os represente graficamente. 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 31 
 Considerando as duas bolas brancas distintamente e denotando essas duas bolas por B1, 
B2 e a bola preta por P, o espaço básico do experimento é: S1 = {B1B2, B1P, B2B1, B2P, PB1, 
PB2}. Alternativamente, se não se distingue as duas bolas brancas, de modo que B1 = B2 = B, o 
espaço básico é simplificado para S2 = {BB, BP, PB}. 
 A primeira especificaçãodetalhada do espaço básico e a segunda mais simples são 
representadas pelos diagramas a) e b), respectivamente, da Figura 2.2. 
 
Figura 2.2. Duas especificações alternativas para o espaço básico do experimento 
de retirada de duas bolas, sem reposição, de uma caixa com duas 
bolas brancas e uma bola preta. 
 Espaços básicos podem ser classificados quanto ao número de seus resultados 
elementares semelhantemente a conjuntos: 
 Um espaço básico cujo número de resultados elementares é menor que algum 
número inteiro positivo é um espaço básico finito; um espaço básico que 
compreende um número de resultados elementares maior que qualquer número 
inteiro positivo é um espaço básico infinito. Um espaço básico infinito cujos 
resultados elementares podem ser enumerados é um espaço básico infinito 
contável, Um espaço básico finito ou infinito contável é um espaço básico discreto. 
Um espaço básico cujos elementos constituem um "continuum", tal como o conjunto 
dos pontos de um segmento de reta, é um espaço básico contínuo. 
 
 Os espaços básicos dos experimentos aleatórios a, b e c são exemplos de espaço 
básico finito. O espaço básico do experimento d é um exemplo de espaço básico 
infinito contável. A variável que exprime a característica considerada no experimento 
aleatório e é uma variável numérica definida no intervalo dos números reais [0; 1]; 
assim, o espaço básico desse experimento é um exemplo de espaço básico contínuo. O 
Introdução à Probabilidade 32 
experimento f ilustra espaço básico contínuo bidimensional, porque considera duas 
características, ambas expressas por variáveis reais, a primeira definida no intervalo (0, 
∞) e a segunda, no intervalo (-∞, ∞). 
 O resultado de uma realização de um experimento aleatório é um e apenas um 
resultado possível ou resultado elementar, ao qual corresponde um e apenas um evento 
simples ou elementar. Em geral, entretanto, pode haver interesse em alguma 
característica ou propriedade comum a vários resultados elementares. A coleção de 
resultados elementares com uma característica ou propriedade comum constitui um 
evento composto. Assim, no Exemplo 2.1 b, pode-se ter interesse nos eventos 
compostos correspondentes à ocorrência de plantas com infeção, ou seja, no evento 
{IFr, IM, IFo, IG}, ou na ocorrência de plantas com grau de infecção abaixo da média, 
ou seja, no evento {SI, IFr}. Eventos simples e eventos compostos são ambos 
subconjuntos do espaço básico, e são designados, genericamente, de eventos: 
 Um subconjunto de resultados elementares do espaço básico com uma 
característica ou propriedade comum é um evento. 
 
 Um evento ocorre em um experimento aleatório quando o resultado do 
experimento é um dos resultados elementares que o constituem. 
 
 Assim, por exemplo, o evento {SI, IFr} ocorre no experimento do Exemplo 2.1 
b se o resultado do experimento é SI ou IFr. 
 Eventos são comumente denotados pelas primeiras letras maiúsculas do alfabeto, 
A, B, C,... Uma exemplificação mais ampla da caracterização e representação de 
eventos é provida a seguir. 
Exemplo 2.1 (continuação) 
 Um evento elementar particular de cada um dos experimentos do Exemplo 2.1. 
 a) evento "terneiro macho": {M}; 
 b) evento "infeção acima da média": {IFo, IG}; 
 c) evento "pelo menos noventa sementes germinam": {90, 91,..., 100}; 
 d) evento "no máximo três animais são examinados": {C, SC, SSC}; 
 e) evento "concentração de açúcar entre 0,4 e 0,6": {t: 0,4≤t≤0,6, t real}; 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 33 
 f) evento "animal com peso acima de 400 kg e com ganho de peso positivo": {(x, y): 
x>400; y>0, x e y reais}. 
2.3 Modelo Matemático de Probabilidade 
 A abordagem científica para a descrição, análise e predição com vistas à 
aquisição de conhecimento referente a fenômenos e processos físicos requer a 
construção de modelos matemáticos. Assim, por exemplo, a segunda lei da cinemática 
de Newton estabelece que um objeto sujeito a uma força desloca-se com uma 
aceleração proporcional à força, o que pode ser expresso por F = ma. Essa expressão é 
um exemplo de modelo matemático de um fenômeno físico, que consiste de símbolos 
que representam características do fenômeno (no caso F, m e a que representam 
números que exprimem as grandezas de força, massa e aceleração) relacionadas por 
uma equação. A lei estabelece que esse modelo matemático pode ser utilizado para 
descrever e prever o fenômeno físico. 
 A prova de que um modelo matemático exprime corretamente a realidade é 
impossível; a correção de um modelo matemático pode ser somente verificada através 
de experimento. Assim, por exemplo, a utilização da equação F = ma permite a 
derivação de uma expressão que provê a distância que um objeto percorrerá em queda 
livre em um dado tempo. A adequabilidade e utilidade do modelo para esse propósito 
somente podem ser evidenciadas pela concordância entre a distância prevista e a 
distância real percorrida por um objeto em queda livre. Quanto mais elevada for essa 
concordância e quanto maior for o número de realizações desse experimento, maior 
será a confiabilidade na lei. 
 Semelhantemente, em geometria são estabelecidos os conceitos matemáticos de 
pontos, linhas, figuras, etc. Esses conceitos, juntamente com um conjunto apropriado 
de axiomas, constituem um modelo matemático. A partir desses axiomas, são 
estabelecidos teoremas que exprimem propriedades da geometria. Esses teoremas 
referem-se a esse modelo matemático, não a pontos, linhas ou figuras físicas. Esse 
modelo revela-se útil para aplicação em situações práticas e por essa razão a geometria 
tornou-se uma parte importante da matemática. 
Introdução à Probabilidade 34 
 Mais comumente, os mecanismos da causa de um fenômeno são tão complexos 
que se torna improdutivo tentar o estabelecimento de um modelo determinista. 
Considere-se, por exemplo, a situação mais simples de um experimento aleatório: 
lançamento de uma moeda. É inviável a determinação analítica de qual das duas faces 
da moeda resultará voltada para cima, a partir da posição inicial e da massa e 
aceleração da moeda, das forças que atuam durante seu deslocamento, e com base nas 
leis do movimento. Entretanto, pode ser assegurado que há apenas dois resultados 
possíveis, se é excluída de consideração a ocorrência (extremamente remota) de 
posição vertical da moeda. Se alguém examina a moeda antes do lançamento, observa 
que ela tem duas faces, uma das quais pode ser identificada como cara e outra como 
coroa, e avalia sua simetria geométrica, concluirá que não há qualquer razão para 
atribuir expectativa mais elevada para a ocorrência de uma das faces do que da outra. 
Por essa razão, indubitavelmente, atribuirá igual possibilidade para as duas faces. Diz-
se, nesse caso, que os dois resultados possíveis são igualmente verossímeis. 
 Constrói-se um modelo matemático para exprimir igual verossimilhança dos 
resultados possíveis de um experimento aleatório pela assinalação de números iguais 
aos resultados igualmente verossímeis. Convencionalmente, esses números são 
atribuídos de modo que sua soma seja 1 e os números assinalados são denominados de 
probabilidades dos resultados do experimento. Assim, para o experimento de 
lançamento de uma moeda, assinala-se 1/2 à cara e 1/2 à coroa. A probabilidade 1/2 
assinalada à cara é a proporção do número de resultados igualmente verossímeis que 
correspondem à cara relativamente ao número total de resultados igualmente 
verossímeis desse experimento. 
 A assinalação do número 1/2 à cara e à coroa constitui um modelo matemático 
para a admissão de igual verossimilhança desses dois resultados possíveis. Observe-se, 
entretanto, que esse modelo é baseadoem considerações a priori. As probabilidades 
assinaladas à cara e à coroa referem-se a uma "moeda conceitual", ou seja, à moeda do 
modelo matemático. A adequabilidade das probabilidades para moedas reais é uma 
questão que apenas pode ser respondida pela experiência. 
 Há situações em um modelo de probabilidade completo não pode ser 
estabelecido por considerações a priori. Por exemplo, seria impossível especificar a 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 35 
probabilidade de que uma máquina produza uma peça defeituosa sem a observação do 
desempenho da máquina. E mesmo com tal observação, é impossível especificar a 
"verdadeira" probabilidade; apenas aproximações para essa probabilidade podem ser 
obtidas por experiência. Entretanto, a postulação da existência de tal probabilidade 
pode ser muito útil e importante para propósitos práticos. Assim, nesse caso, ainda se 
constrói um modelo, mas não se assinalam como probabilidades números específicos 
determinados por considerações a priori, já que não se sabe que números atribuir. A 
experimentação, ou seja, a observação de um conjunto de peças produzidas pela 
máquina pode prover uma orientação para a escolha desses números. Entretanto, deve-
se salientar que dois desses experimentos, ou seja, as observações de dois distintos 
conjuntos de peças produzidas por essa máquina usualmente produzirão resultados 
diferentes. Por exemplo, em um conjunto de 100 lançamentos de uma moeda podem 
ocorrer 49 caras, ou seja, a proporção de caras pode ser 0,49, e em outro conjunto a 
proporção pode ser 0,52. Esse exemplo ilustra a dificuldade da idealização de um 
modelo matemático para probabilidade a partir de considerações a posteriori. 
Entretanto, quando não há base sólida para considerações a priori e a intuição falha, 
não se pode postular as probabilidades reais como conhecidas. A aproximação dessas 
probabilidades através da experimentação pode tornar-se a melhor alternativa. 
 Na próxima Seção, considera-se a definição de probabilidade e o 
estabelecimento de modelos de probabilidade para experimentos aleatórios na situação 
simples em que o conjunto de resultados possíveis é finito e esses resultados podem ser 
considerados igualmente verossímeis por concordância convencional. Não se provará 
que as "probabilidades verdadeiras" são aquelas admitidas por considerações a priori; 
postular-se-á probabilidades baseadas na pressuposição de igual verossimilhança nas 
situações em que a intuição, o senso comum, a simetria do experimento, etc., conduz 
ao consenso de que os resultados são igualmente verossímeis. Deve ser salientado, 
entretanto, que o experimento é sempre o teste final da validade do modelo que se 
admite ou postula. 
Introdução à Probabilidade 36 
2.4 Conceito Clássico de Probabilidade 
 Intuitivamente, a probabilidade de um evento de um experimento aleatório é uma 
medida da chance de sua ocorrência em uma realização do experimento. É natural 
pensar que uma medida da chance de ocorrência de um evento seja provida pela 
proporção de vezes em que se esperaria a ocorrência do evento se o experimento fosse 
repetido sob, essencialmente, as mesmas condições. Assim, a probabilidade depende 
da natureza do experimento e do espaço básico associado. Em algumas situações, a 
proporção de vezes em que é esperada a ocorrência de um evento pode ser determinada 
por derivação lógica, sem a realização efetiva do experimento. Em outras situações, é 
necessário repetir o experimento um número elevado de vezes para obter informação 
sobre essa proporção, através da correspondente freqüência de ocorrências observadas. 
Nesse caso, a verdadeira proporção (probabilidade) é desconhecida e podem ser 
obtidas apenas aproximações. 
 Esse fato suscitou muita polêmica no passado e originou diversos conceitos de 
probabilidade. O conceito mais primitivo é o chamado conceito clássico. Esse conceito 
é aplicável quando uma simetria da estrutura do experimento aleatório assegura que 
todos os resultados elementares têm a mesma chance de ocorrência em uma realização 
particular do experimento, ou seja, que os resultados elementares são igualmente 
verossímeis. 
 Essa propriedade foi inicialmente observada em "jogos de azar", como o 
processo de lançamento de um dado ideal e observação da face que resulta voltada 
para cima. Como o dado tem seis faces e é simétrico e balanceado, é natural esperar-se 
que cada uma das seis faces ocorra em 1/6 das vezes. Por essa razão, atribui-se igual 
probabilidade 1/6 a cada um dos 6 resultados elementares, isto é, a cada uma das 6 
faces. 
 Essa propriedade de eqüiprobabilidade também ocorre em processos de "escolha 
aleatória" de um elemento de um conjunto, em que é assegurada igual chance de 
escolha para todos os elementos do conjunto. Seja, por exemplo, o experimento 
"escolha aleatória de uma garrafa de uma caixa com seis garrafas e identificação da 
garrafa escolhida". Como uma entre as 6 garrafas deve ser escolhida e todas as 6 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 37 
garrafas têm a mesma chance de ser escolhida, conclui-se, logicamente, sem realizar o 
experimento, que é esperado que cada garrafa ocorra em 1/6 das vezes, e atribui-se 
probabilidade 1/6 a cada uma das seis faces. 
 Esses dois experimentos aleatórios têm estruturas análogas. Se as seis faces do 
dado e as seis garrafas são identificadas pelos números 1, 2, 3, 4, 5 e 6, o espaço básico 
comum dos dois experimentos é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Então, pode-se expressar as 
probabilidades dos resultados elementares por: P(s) = 1\6, s∈S. A probabilidade de 
qualquer evento pode ser derivada a partir dessa probabilidade comum dos resultados 
elementares. Considere-se, por exemplo, o evento A: face (ou garrafa) identificada por 
número par, isto é, A = {2, 4, 6}; como a proporção de ocorrências de face par é a 
soma das proporções de ocorrências de cada uma das faces (ou garrafas) identificadas 
pelos números 2, 4 e 6, deve-se ter: 
P(A) = P(2) + P(4) + P(6) = 1 13
6 2
× = . 
 A derivação lógica de probabilidades ilustrada por esses exemplos é generalizada 
para eventos de experimentos aleatórios com espaço básico constituído por resultados 
elementares igualmente verossímeis, ou seja, espaço básico equiprovável, como 
segue: 
 Conceito clássico de probabilidade: Se o espaço básico S de um experimento 
aleatório compreende n(S) resultados elementares igualmente verossímeis, a 
probabilidade de cada um desses resultados possíveis é 1/n(S). Se um evento A 
consiste de n(A) desses n(S) resultados elementares, então: 
 n(A)P(A)
n(S)
= . 
 
 Observe-se que n(S) é o número dos resultados possíveis do experimento e n(A) 
é o número desses resultados que implicam na ocorrência do evento A, isto é, o 
número de resultados favoráveis à ocorrência de A. Assim, a probabilidade de um 
evento A de um espaço básico equiprovável pode ser expressa por: 
número de resultados favoráveis a AP(A) = 
número de resultados possíveis
. 
Introdução à Probabilidade 38 
 Em um experimento aleatório com espaço básico equiprovável todos os pontos 
do espaço básico têm a mesma probabilidade. Por essa razão, diz-se que o 
correspondente modelo de probabilidade é uniforme: 
 O modelo de probabilidade para experimento com espaço básico equiprovável é 
designado modelo de probabilidade uniforme. Uma função P(.) que atribui igual 
probabilidade a todos os resultados elementares de um experimento com espaço 
básico equiprovável é designada função de probabilidade uniforme. 
 
 Apesar de aparentemente bastante restritiva, a condição de eqüiprobabilidade do 
espaço básico é de grande importância prática. Essa condição ocorre na seleção de um 
subconjunto de unidadesde um conjunto de unidades de interesse, ou sob 
consideração, por processo que atribua a todos as unidades a mesma probabilidade de 
constituir a amostra. Tais subconjunto e conjunto são usualmente designados de 
amostra e população, respectivamente, e esse processo de seleção é denominado de 
amostragem aleatória. 
 A aplicação do conceito clássico de probabilidade é ilustrada, a seguir, através de 
exemplos simples. 
Exemplo 2.6. 
 Experimento: Extração aleatória de um saco de sementes de uma pilha com 2 sacos de 
sementes da variedade A e 3 da variedade B. Determine a probabilidade do evento E: saco de 
sementes da variedade A. 
 Há 5 resultados possíveis igualmente prováveis na seleção aleatória de um saco de uma 
pilha de 5 sacos dos quais 2 de sementes da variedade A e 3 de sementes da variedade B. 
Denotando os 2 sacos de sementes da variedade A por A1 e A2 e os 3 sacos de sementes da 
variedade B por B1, B2 e B3, o espaço básico detalhado desse experimento é S = {A1, A2, B1, 
B2, B3}. Por outro lado, E = {A1, A2}, já que os dois resultados possíveis A1 e A2 são 
favoráveis ao evento E. Portanto, em decorrência da eqüiprobabilidade do espaço básico S, 
n(E) 2
P(E) = =
n(S) 5
. 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 39 
Exemplo 2.7 
 Experimento: Extração aleatória de dois sacos de sementes da pilha de 5 sacos 
considerada no Exemplo 2.6, com a reposição do primeiro saco extraído antes da extração do 
segundo saco. Sejam os seguintes eventos: E1: dois sacos da variedade A; E2: dois sacos da 
variedade B; e E3: um saco de cada variedade. 
 Na extração do primeiro saco, qualquer um dos 5 sacos de sementes pode resultar (A1, 
A2, B1, B2, B3). Como o segundo saco extraído é reposto antes da segunda extração, 
novamente, qualquer um dos 5 sacos de sementes pode resultar na segunda extração (A1, A2, 
B1, B2, B3). Portanto, um espaço básico detalhado para esse experimento é: S = {A1A1, A1,A2, 
A1B1, A1B2, A1B3, A2A1, A2,A2, A2B1, A2B2, A2B3, B1A1, B1,A2, B1B1, B1B2, B1B3, B2A1, 
B2,A2, B2B1, B2B2, B2B3, B3A1, B3,A2, B3B1, B3B2, B3B3}, onde B2A1, por exemplo, denota o 
resultado elementar "saco B2 na primeira extração e saco A1 na segunda extração". A extração 
aleatória implica que esse espaço básico é equiprovável. 
 Os resultados de S favoráveis ao evento E1 são os resultados possíveis que 
correspondem a dois sacos da variedade A; logo, E1 = {A1A1, A1,A2, A2A1, A2,A2}. De fato, na 
primeira extração, qualquer dos dois sacos da variedade A (A1 ou A2) é favorável ao evento E1 
se, novamente, um dos dois sacos da variedade A (A1 ou A2) resultar na segunda extração. 
Portanto, 
1
1
n(E ) 4
P(E ) = 
n(S) 25
= . 
 As especificações dos eventos E2 e E3 são: E2 = {B1B1, B1B2, B1B3, B2B1, B2B2, B2B3, 
B3B1, B3B2, B3B3} e E3 = {A1B1, A1B2, A1B3, A2B1, A2B2, A2B3, B1A1, B1,A2, B2A1, B2,A2, 
B3A1, B3,A2}. Logo, 
2
9
P(E ) = 
25
 e 3
12
P(E ) = 
25
. 
 Em geral, o número de resultados possíveis n(S) e o número de resultados 
favoráveis ao evento de interesse n(E) podem ser derivados diretamente ou por 
argumento lógico, de modo que as enumerações do espaço básico S e do evento E se 
tornam desnecessárias. Esse procedimento alternativo é particularmente muito 
conveniente se o tamanho do espaço básico S é considerável. 
Introdução à Probabilidade 40 
Exemplo 2.7 (continuação) 
 Reconsiderem-se as determinações das probabilidades dos eventos E1, E2 e E3 do 
Exemplo 2.7. 
 Pode-se argumentar como segue: qualquer um dos 5 sacos de sementes pode resultar na 
extração do primeiro saco; portanto, há 5 resultados na primeira extração que associados a 
resultados da segunda extração podem constituir resultados possíveis do experimento. Como o 
segundo saco extraído é reposto antes da segunda extração, novamente qualquer dos 5 sacos 
pode resultar na segunda extração. Portanto, há 5×5=25 resultados possíveis na extração de 
dois dos cinco sacos. Por outro lado, na primeira extração, qualquer um dos 2 sacos da 
variedade A será favorável ao evento E1 se, novamente, um dos 2 sacos da variedade A 
resultar na segunda extração. Logo, o número de resultados favoráveis ao evento E1 é 2×2=4. 
Portanto, 
1
2 2 4
P(E ) = 
5 5 25
×
=
× . 
 Pelo mesmo raciocínio, pode-se determinar a probabilidade do evento E2: 
2
3 3 9
P(E ) = 
5 5 25
×
=
×
. 
 O evento E3 ocorre quando resulta um saco da variedade A na primeira extração e um 
saco da variedade B na segunda extração, ou um saco da variedade B na primeira extração e 
um saco da variedade A na segunda extração. Portanto, o número de resultados favoráveis ao 
evento E3 é: 2×3 + 3×2 = 12; logo, 
3
2 3 + 3 2 12
P(E ) = 
5 5 25
× ×
=
×
. 
Exemplo 2.8 
 Mesma situação do experimento do Exemplo 2.7, mas sem reposição do saco que 
resulta na primeira extração. 
 Como na situação anterior, qualquer um dos 5 sacos de sementes pode resultar na 
extração do primeiro saco; portanto, há 5 resultados na extração do primeiro saco (A1, A2, B1, 
B2, B3) que podem associar-se a resultados da extração do segundo saco para constituírem 
resultados possíveis do experimento. Entretanto, como agora o primeiro saco extraído não é 
reposto, qualquer um dos outros 4 sacos pode resultar na segunda extração (um dos sacos A1, 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 41 
A2, B1, B2 ou B3 foi excluído da pilha na primeira extração). Portanto, o número de resultados 
possíveis do experimento é 5×4 = 20. 
 A extração de qualquer um dos dois sacos da variedade A (A1 e A2), seguida da extração 
do restante saco da variedade A (A1 ou A2), é favorável ao evento E1. Portanto, o número de 
resultados favoráveis ao evento E1 é 2×1. Logo, 
1
2 1 1
P(E ) = 
5 4 10
×
=
×
. 
 Por raciocínio análogo, obtém-se: 
2
3 2 3
P(E ) = 
5 4 10
×
=
×
. 
 Um saco de cada uma das variedades ocorre quando se sucedem as extrações de 1 saco 
da variedade A (A1 ou A2) e 1 saco da variedade B (B1, B2 ou B3), ou 1 saco da variedade B e 1 
saco da variedade A. Observe-se que, se é retirado um dos 2 sacos da variedade A na primeira 
extração, os 3 sacos da variedade B continuam na pilha, e, se é retirado um dos 3 sacos da 
variedade B na primeira extração, os 2 sacos da variedade A continuam na pilha. Portanto, 
3
2 3 3 2 3
P(E ) = 
5 4 5
× + ×
=
×
. 
 Esses exemplos ressaltam a importância da condição de eqüiprobabilidade do 
espaço básico para a aplicação do conceito clássico de probabilidade. É importante 
observar que, mesmo na situação de experimento aleatório com estrutura simétrica, a 
eqüiprobabilidade dos resultados possíveis depende da especificação do espaço básico. 
Para ilustração, considere-se o seguinte exemplo de um experimento aleatório simples. 
Exemplo 2.9 
 Experimento: Dois lançamentos sucessivos de uma moeda ideal (ou, equivalentemente, 
um lançamento de duas moedas ideais) e observação das faces que se voltam para cima. 
Considere-se o evento "duas caras". 
 Poder-se-ia argumentar que há 3 resultados possíveis para esse experimento: duas caras, 
duas coroas, e uma cara e uma coroa, que um desses resultados implica no evento sob 
consideração, ou seja, duas caras, e que, portanto, a probabilidade de duas caras seria 1/3. 
Entretanto, esse raciocínio é falho, porque esses três resultados possíveis não são igualmente 
verossímeis: o terceiro resultado – uma cara e uma coroa, pode ocorrer de dois modos 
Introdução à Probabilidade 42 
distintos: cara no primeiro lançamento e coroa no segundo, e coroa no primeiro lançamento e 
cara no segundo. 
 De fato, como será argumentado na Seção 2.5.1, a igual verossimilhança dos dois 
resultados possíveis do lançamento de uma moeda ideal implicaa igual verossimilhança dos 
quatro resultados possíveis de dois lançamentos dessa moeda, que podem ser denotados por 
CC, cc, Cc e cC, onde C e c designam cara e coroa, respectivamente. Apenas o primeiro desses 
resultados possíveis corresponde a duas caras. Portanto, a probabilidade correta de duas caras é 
1/4. 
 Observe-se que nesse exemplo há duas especificações alternativas do espaço básico: S1 
= {CC, cc, Cc, cC} e S2 = {"CC", "cc", "Cc"}, onde na segunda especificação não é levada em 
conta a ordem dos dois lançamentos da moeda, ou seja, "Cc" simboliza uma cara no primeiro 
lançamento e uma coroa no segundo ou uma coroa no primeiro lançamento e uma cara no 
segundo. A condição de eqüiprobabilidade é satisfeita apenas pelo espaço básico mais 
detalhado S1, que, por essa razão, é o mais conveniente para o presente propósito. 
 Em geral, a eqüiprobabilidade do espaço básico que é implicada pela simetria de 
um experimento aplica-se ao espaço básico formulado mais detalhadamente; não a 
espaços básicos simplificados. 
 O exemplo que segue ilustra falha que pode decorrer da enumeração incorreta do 
espaço básico. 
Exemplo 2.10 
 Experimento: Extração aleatória de uma carta de um baralho ideal de 52 cartas. Seja o 
evento "ás ou ouro". 
 Poder-se-ia argumentar que há 4 azes e 13 ouros e que, portanto, há 17 resultados 
possíveis com o atributo em consideração; conseqüentemente, a probabilidade de um ás ou 
ouro seria 17/52. Entretanto, esse argumento é incorreto, porque esses 17 resultados não 
correspondem a 17 dos 52 resultados elementares igualmente verossímeis. De fato o ás de ouro 
é tanto um ás como um ouro, de modo que realmente há 16 resultados elementares favoráveis 
ao evento "às ou ouro"; portanto, a probabilidade correta desse evento é 16/52 = 4/13. 
Exercícios 2.1 
1. Duas bolas devem ser retiradas de uma caixa que contém uma bola branca, uma bola preta 
e uma bola vermelha. Estabeleça duas especificações (uma detalhada e outra mais simples) 
para o espaço básico desse experimento, sob cada uma das duas seguintes situações: a) a 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 43 
primeira bola retirada é reposta na caixa antes da retirada da segunda bola; b) a primeira 
bola retirada não é reposta. Represente cada um desses espaços básicos através de um 
diagrama de pontos. 
2. Reconsidere o exercício anterior supondo, agora, que a caixa contém duas bolas brancas e 
duas bolas pretas. 
3. Especifique um espaço básico para cada um dos seguintes experimentos aleatórios: 
a) extrair uma maçã de uma caixa que contém duas maçãs, uma da cultivar A e outra da 
cultivar B e identificar a maçã resultante; 
b) extrair uma maçã de uma caixa que contém duas maçãs da cultivar A e três da cultivar 
B e identificar a maçã extraída; 
c) extrair duas maçãs da caixa considerada no experimento aleatório do item anterior, 
com a reposição da primeira maçã antes da extração da segunda, e identificar as duas 
maçãs; 
d) extrair duas maçãs da caixa considerada no experimento b), sem reposição da primeira 
maçã extraída, e identificar as duas maçãs; 
e) dar um copo de vinho de cada uma de três cantinas a um provador para degustação e 
registrar o resultado do teste de degustação, identificando com as letras C e I, 
respectivamente, as identificações correta e incorreta de cada origem do vinho; 
f) observar o número de acidentes de trânsito em uma cidade no próximo ano; 
g) lançar uma moeda e um dado simultaneamente e observar a figura da face da moeda e 
o número da face do dado que resultam voltadas para cima; 
h) lançar uma moeda sucessivamente, até o aparecimento de uma cara voltada para cima, 
e registrar o número de lançamentos efetuados; 
i) ligar um aparelho novo de televisão e registrar o número de horas de seu 
funcionamento sem necessidade de reparo; 
j) mensurar a temperatura do solo a 5 cm de profundidade em um local, no próximo dia 5 
de janeiro, em graus Celsius; 
k) determinar a reserva de gás natural em uma área particular e registrar seu volume em 
m3. 
4. Verifique que os experimentos caracterizados no exercício 3 satisfazem as três 
propriedades ou condições de um experimento aleatório. 
5. Identifique os espaços básicos especificados no exercício 3 que são: finitos, infinitos 
contáveis, discretos e contínuos. 
Introdução à Probabilidade 44 
6. Especifique os seguintes eventos dos respectivos experimentos aleatórios de que trata o 
exercício 3: 
a) uma maçã da cultivar A; 
b) uma maçã da cultivar A; 
c) E1: duas maçãs da cultivar A; E2: duas maçãs de uma mesma cultivar; E3: uma maçã de 
cada uma das duas cultivares; 
d) E4: duas maçãs da cultivar A; E5: uma maçã de cada uma das duas cultivares; 
e) A: três identificações corretas; B: uma identificação correta; C: pelo menos uma 
identificação correta; 
f) A: 5 acidentes; B: no máximo 5 acidentes; C: pelo menos 5 acidentes; 
g) A: cara e face 6; B: cara e face maior que 3; C: coroa e face ímpar; 
h) A: cara no quarto lançamento; B: coroa no quarto lançamento; C: cara depois do 
quarto lançamento; 
i) A: pelo menos 1.600 horas; B: entre 1.200 e 2.300 horas; 
j) A: 21°C; B: entre 18 e 27°C; C: pelo menos 15°C; 
k) A: pelo menos 1.500.000 m3; B: menos que 2.000.000 m3. 
7. Três alunos de uma classe de segundo grau constituída de 16 meninos e 14 meninas são 
selecionados aleatoriamente e classificados segundo seu sexo. 
a) Especifique o espaço básico equiprovável desse experimento aleatório, denotando 
menina e menino pelas letras F e M, respectivamente. 
b) Defina um outro espaço básico cujos elementos são os números de meninas 
selecionadas. 
8. Considere o experimento de lançamento não tendencioso de um par de tetraedros 
balanceados, um branco e um vermelho, cada um com as faces numeradas de 1 a 4, e 
observação dos números nas faces que resultam voltadas para cima. 
a) Formule duas especificações alternativas para o espaço básico desse experimento: uma 
levando em conta a distinção de cores dos dois tetraedros e a outra ignorando as cores. 
b) Qual dessas duas especificações constitui um espaço básico equiprovável? 
c) Especifique os seguintes eventos: A = número 3 no tetraedro branco; B: número 3 em 
um dos dois tetraedros; C = número 3 no tetraedro branco e número 4 no vermelho; D: 
soma igual a 4; E: soma menor que 4. 
d) Supondo que os tetraedros são balanceados e lançados de modo isento, determine as 
probabilidades dos eventos especificados no item anterior. 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 45 
9. Um experimento consiste do lançamento de uma moeda e, se ocorrer cara, de um segundo 
lançamento dessa moeda; se ocorrer coroa, então é lançado um dado; é efetuado o registro 
da figura na face da moeda (C: cara, c: coroa) e do número da face do dado (1, 2,..., 6). 
a) Especifique o espaço básico desse experimento aleatório. 
b) Especifique cada um dos seguintes eventos: A: número menor que 4 no dado; B: duas 
caras; C: duas coroas. 
c) Determine as probabilidades dos eventos especificados no item anterior, na suposição 
de que a moeda e o dado sejam balanceados e lançados de modo não tendencioso. 
10. Considere o experimento de perguntar a três mulheres escolhidas aleatoriamente se elas 
usam sabão em pó de uma marca "X" e registrar a resposta de cada uma delas, denotando-a 
por S ou N, respectivamente para sim ou não. 
a) Formule o espaço básico. 
b) Especifique o evento "pelo menos uma mulher usa sabão em pó da marca X". 
c) Descreva os eventos A e B cujas especificações são: A = {NSS, SSN, SNS} e B = 
{NSS, SSN, SNS, SNN, NSN, NNS, NNN}. 
11. Quais dos seguintes eventos são iguais, ou seja, compreendem os mesmos resultados 
elementares: A = {1, 3}, B = {s: s é uma face de umdado}, C = {s: s é o número de caras 
no lançamento de seis moedas}, D = {0, 1, 2,..., 6}, E = {s: s2-4s+3 = 0}? 
12. Determine as probabilidades dos eventos especificados nos itens a), b), c) e d) do exercício 
6, na suposição de extração aleatória. 
13. Supondo que o provador não possui habilidade especial para a identificação da 
procedência do vinho (ou seja, supondo igual probabilidade de identificação correta e 
identificação incorreta da procedência de cada copo de vinho), determine a probabilidade 
de cada um dos eventos especificados no exercício 6 e). 
14. Na suposição de que os tetraedros e a moeda e o dado sejam balanceados e os lançamentos 
sejam efetuados de modo isento, determine as probabilidades dos eventos especificados no 
exercício 8 c) e no exercício 9 b). 
2.5 Contagem de Pontos do Espaço Básico 
 O cálculo da probabilidade na situação de espaço básico equiprovável reduz-se 
às contagens dos números de resultados elementares do espaço básico S e do número 
desses resultados que implicam na ocorrência de eventos de S. 
Introdução à Probabilidade 46 
 Em situações em que a estrutura do experimento é simples e o tamanho do 
espaço básico é pequeno, contagens de resultados elementares são efetuadas sem 
dificuldade. Entretanto, em muitos experimentos, o processo de contagem pode se 
tornar difícil e trabalhoso. Para essas circunstâncias, são convenientes métodos 
sistemáticos de contagem ou enumeração que constituem a parte da matemática 
usualmente designada de "análise combinatória". 
 As regras básicas de contagem são revisadas a seguir. 
2.5.1 Regra da multiplicação 
 A primeira regra de contagem aplica-se à situação em que o experimento 
aleatório E compreende a realização simultânea ou sucessiva de dois experimentos 
mais simples E1 e E2. Nessa situação, cada resultado elementar s do experimento E 
consiste de um par ordenado de resultados parciais s1 e s2, respectivamente dos 
experimentos E1 e E2. 
 Dois resultados parciais s1 e s2 constituem um par ordenado se o par (s1, s2) é 
diferente do par (s2, s1). 
 
 Nesse texto denota-se o par ordenado de resultados parciais (s1, s2) mais 
simplesmente por s1s2. 
Exemplo 2.11 
 Considere-se o experimento de dois lançamentos sucessivos de uma moeda e 
observação das faces que resultam voltadas para cima (Exemplo 2.9). Determine o número de 
resultados elementares do espaço básico desse experimento aleatório. 
 Cada resultado elementar desse experimento é o par ordenado constituído pelo resultado 
parcial de cada um dos dois lançamentos sucessivos da moeda. Assim, se a face observada no 
primeiro lançamento da moeda é par (P) e a face observada no segundo lançamento é ímpar 
(I), o resultado elementar dos dois lançamentos sucessivos é PI; se o primeiro lançamento 
resulta em ímpar e o segundo em par, o resultado é IP. Desse modo, PI e IP são dois resultados 
elementares distintos. O espaço básico é constituído pela associação de cada um dos dois 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 47 
resultados que podem ser obtidos no primeiro lançamento da moeda com cada um dos dois 
resultados que podem ser obtidos no segundo lançamento; portanto, n(S) = 2×2 = 4. 
 O processo de contagem ilustrado por esse exemplo é generalizado pela seguinte 
regra: 
 Regra da multiplicação para pares ordenados: Se o primeiro elemento de um 
par ordenado pode assumir n1 valores distintos e para cada um desses n1 valores o 
segundo elemento do par pode assumir n2 valores distintos, então o número de 
distintos pares ordenados que podem ser constituídos é n1×n2. 
 
 Essa regra da multiplicação aplica-se para a contagem do número de resultados 
possíveis de um experimento que compreende a realização de dois experimentos mais 
simples, como segue: 
 Se um experimento aleatório E compreende a realização de dois experimentos 
E1 e E2 o primeiro dos quais pode ter n1 resultados distintos e para cada um desses 
resultados o segundo experimento pode ter n2 resultados distintos, então o 
experimento combinado E pode ter n1×n2 resultados distintos. 
 
 Cada um dos resultados elementares de qualquer evento do experimento 
E compreende a associação de um resultado elementar do experimento E1 e um 
resultado elementar do experimento E2. Logo, a regra da multiplicação também é 
aplicável à contagem do número de resultados favoráveis a eventos do espaço básico 
S: Se n1(A) e n2(A) são os números dos resultados elementares dos experimentos E1 e 
E2, respectivamente, que associados constituem os resultados do experimento E que 
são favoráveis a um evento A, então, o número dos resultados do experimento 
combinado que são favoráveis a A é n1(A)×n2(A). 
 No presente contexto, interessa a utilização da regra da multiplicação para a 
contagem dos resultados elementares de um experimento E que compreende a 
realização de dois experimentos parciais E1 e E2 cujos resultados elementares são 
Introdução à Probabilidade 48 
equiprováveis. O cálculo de probabilidades de eventos do experimento E fundamenta-
se no seguinte princípio ou propriedade: 
 Se os n1 resultados elementares de um experimento E1 são igualmente 
verossímeis e os n2 resultados de um experimento E2 são igualmente verossímeis , 
então os n1×n2 resultados elementares do experimento composto dos experimentos 
E1 e E2 também são igualmente verossímeis. 
 
 Essa implicação da igual verossimilhança dos resultados de dois experimentos 
parciais e a igual verossimilhança dos resultados do experimento combinado pode ser 
considerada como um axioma ou um teorema, dependendo do sistema lógico adotado. 
Aqui, ela é adotada simplesmente como uma regra testada útil para a construção de 
modelos de probabilidade com essa estrutura. Essa regra é consistente com definições 
e regras subseqüentes referentes à "probabilidade condicionada" (Seção 3.5). 
 Essa regra ressalta a importância de que na listagem e contagem dos resultados 
elementares do experimento combinado E pela regra da multiplicação seja distinguido 
a qual dos dois experimentos E1 e E2 corresponde cada um dos resultados parciais 
associados para constituir um resultado elementar de E, ou um fator do produto n1×n2. 
Assim, no experimento de dois lançamentos sucessivos de uma moeda (Exemplo 2.9), 
pode-se especificar dois espaços básicos alternativos S1 = {CC, cc, Cc, cC} e S2 = 
{"CC", "cc", "Cc"}, onde Cc é denota a ocorrência de cara no primeiro lançamento e 
coroa no segundo, e "Cc" denota a ocorrência de cara e coroa sem levar em conta as 
ordens dos lançamentos em que ocorrem cara e coroa. A aplicação da regra da 
multiplicação gera o espaço básico S1, não o S2 (Exemplo 2.11); portanto, a igual 
verossimilhança dos resultados tanto do experimento E1 como E2 aplica-se aos 
resultados elementares do espaço básico S1, conforme foi antecipado pelo Exemplo 
2.9. 
 O Exemplo 2.7 e o Exemplo 2.8 ilustram o uso da regra da multiplicação. Outra 
ilustração é provida pelo exemplo que segue. 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 49 
Exemplo 2.12 
 Experimento: Escolha por um agricultor de uma cultivar e de uma época de semeadura 
para o cultivo do arroz. São disponíveis para o agricultor duas cultivares de arroz (C1 e C2) 
cada uma das quais pode ser semeada em três épocas (E1, E2 e E3). a) Quantos resultados 
alternativos podem decorrer desse processo de escolha? b) Se o agricultor proceder às 
escolhas da cultivar e da época de semeadura de modo aleatório, qual é a probabilidade de que 
ele escolha semear a cultivar C1 na época E1 ou na época E2? 
 Esse experimento compreende dois experimentos mais simples: escolha de uma cultivar 
e escolha de uma época de semeadura. O primeiro experimento pode ter n1 = 2 resultados: C1 eC2, e para qualquer dessas cultivares que seja escolhida o segundo experimento pode ter n2 = 3 
resultados: E1, E2 e E3. O número de resultados possíveis do experimento combinado, ou seja, 
do processo de escolha de uma cultivar e de uma época de semeadura é, portanto, n1×n2 = 2×3 
= 6. 
 b) Os resultados dos dois experimentos parciais que associados constituem resultados 
favoráveis ao evento A: semeadura da cultivar C1 na época E1 ou na época E2, são, 
respectivamente, C1 e (E1, E2). Logo, o número de resultados favoráveis a esse evento é 1×2 = 
2. Portanto, segundo o conceito clássico de probabilidade: 
2 1
P(A) = =
6 3
. 
 A estrutura do espaço básico de um experimento aleatório em que se aplica a 
regra da multiplicação pode ser representada por um diagrama de árvore. Um 
diagrama de árvore para um conjunto de n1×n2 pares ordenados inicia-se em um ponto 
à esquerda, a partir do qual origina-se um ramo de primeira geração para cada um dos 
n1 distintos valores que o primeiro elemento do par pode assumir. Na extremidade de 
cada um desses n1 ramos de primeira geração, origina-se um ramo de segunda geração 
para cada um dos n2 distintos valores que o segundo elemento do par pode assumir. 
Portanto, o número total de ramos de segunda geração, ou o número de caminhos 
alternativos que podem ser percorridos da origem à extremidade de um ramo de 
segunda geração, é n1×n2. Cada um desses ramos de segunda geração, ou desses 
caminhos, corresponde a um dos n1×n2 possíveis pares ordenados. 
Introdução à Probabilidade 50 
Exemplo 2.12 (continuação) 
 Considere-se a construção de um diagrama de árvore para representar a estrutura do 
espaço básico do experimento aleatório de que trata o Exemplo 2.12. 
 O diagrama de árvore (Figura 2.3) se inicia em um ponto à esquerda, a partir do qual 
originam-se 3 ramos, correspondentes às 3 épocas de semeadura alternativas E1, E2 e E3; na 
extremidade de cada um desses 3 ramos, originam-se 2 novos ramos, correspondentes às 2 
cultivares alternativas C1 e C2. As 3×2 = 6 alternativas possíveis do processo de escolha de 
uma época de plantio e de uma cultivar (E1C1, E1C2, E2C1, E2C2, E3C1, E3C2) são representadas 
pelos 6 caminhos distintos ao longo dos ramos da árvore. 
 
Figura 2.3. Diagrama de árvore que representa o processo de escolha de cultivar 
e época de semeadura para o cultivo de arroz, quando são 
disponíveis duas cultivares que podem ser semeadas em três épocas. 
 A regra da multiplicação estende-se para a situação em que os resultados 
elementares do espaço básico são conjuntos ordenados de mais de dois resultados 
parciais. 
Exemplo 2.13 
 Experimento: Cinco lançamentos sucessivos de uma moeda e observação das cinco 
faces que resultam voltadas para cima. a) Determine: i) o número de resultados possíveis 
desse experimento; ii) o número desses resultados que são favoráveis ao evento E: cara nos 
três primeiros lançamentos. b) Determine a probabilidade desse evento E, na suposição de que 
a moeda é balanceada e que os lançamentos são isentos. 
 a) i) O espaço básico desse experimento é constituído pela associação de cada um 
dos dois resultados que podem ser obtidos no primeiro lançamento da moeda com cada um dos 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 51 
dois resultados que podem ser obtidos no segundo lançamento, com cada um dos dois 
resultados que podem resultar no terceiro lançamento, etc., de modo que n(S) = 2×2×2×2×2 = 
25 = 32. 
 ii) O evento E ocorrerá se todos os 3 primeiros lançamentos da moeda resultarem 
em cara, qualquer que sejam os resultados do quarto e do quinto lançamento. Há apenas uma 
possibilidade de resultarem 3 caras nos 3 primeiros lançamentos, e há dois resultados possíveis 
em cada um dos dois últimos lançamentos. Portanto, o número de resultados favoráveis a 
ocorrência do evento E é: 1×2×2 = 4. 
 b) A probabilidade do evento E é, portanto, 
4 1
P(E) = =
32 8
. 
 O processo de contagem ilustrado por esse exemplo é generalizado pela seguinte 
regra: 
 Regra geral da multiplicação. Se o primeiro elemento de um conjunto 
ordenado de r elementos pode assumir n1 valores distintos, para cada um dos quais o 
segundo elemento do conjunto pode assumir n2 valores distintos, para cada um dos 
quais o terceiro elemento pode assumir n3 valores distintos,..., e para cada um dos nr-
1 valores distintos que o elemento r-1 pode assumir, o r-ésimo elemento pode 
assumir nr valores distintos, então o número de conjuntos ordenados que podem ser 
constituídos é n1×n2×...×nr. 
 
 A estrutura de um espaço básico constituído por conjuntos ordenados de r 
elementos também pode ser representada por um diagrama de árvore. Para essa 
situação, o diagrama é estendido pela adição de ramos de terceira geração, originados 
na extremidade de cada um dos ramos de segunda geração; de ramos de quarta 
geração, originados nas extremidades de cada um dos ramos de terceira geração, e 
assim sucessivamente, até ramos de r-ésima geração, originados nas extremidades de 
cada um dos ramos de geração r-1. 
Exemplo 2.14 
 Considere-se uma extensão do experimento aleatório do Exemplo 2.12 em que o 
agricultor, além da cultivar e da época de semeadura, tem que escolher um de três métodos de 
Introdução à Probabilidade 52 
plantio (M1, M2 e M3) e um fungicida entre os quatro disponíveis no mercado (F1, F2, F3 e F4). 
Quantas alternativas o agricultor tem que considerar para proceder à decisão? 
 Há n1×n2×n3×n4 = 3×2×3×4 = 72 quádruplos da forma (Ci, Ej, Mk, Fl), i = 1, 2, 3, j = 1, 
2, k = 1, 2, 3, l = 1, 2, 3, 4. Assim, há 72 modos de escolha de uma de 3 cultivares, uma de 2 
épocas de plantio, um de 3 métodos de plantio e um de 4 fungicidas. 
Exercícios 2.2 
1. Uma indústria adota um processo de três estágios para a fabricação de um certo tipo de 
equipamento que tem 4 linhas de montagem alternativas para o primeiro estágio, 3 para o 
segundo estágio e 5 para o terceiro estágio. De quantas formas diferentes quanto a linhas 
de montagem esses equipamentos podem ser produzidos por essa indústria? 
2. Uma pessoa que está para escolher uma refeição composta de uma salada, um prato 
quente, uma sobremesa e uma bebida, tem à disposição um cardápio de 6 saladas, 3 pratos 
quentes, 5 sobremesas e 4 bebidas. 
a) Quantas distintas refeições essa pessoa tem disponível para sua escolha? 
b) Suponha que 2 das 6 saladas têm maionese, 1 dos 3 pratos quentes é de galinha, 3 das 
5 sobremesas contém ovo e 2 das 4 bebidas são vinho branco. Entre quantas distintas 
refeições que estão disponíveis no cardápio pode ser escolhida uma constituída de uma 
salada sem maionese, um prato quente de galinha, uma sobremesa sem ovo, e um 
vinho branco? 
c) Se a pessoa efetua sua escolha aleatoriamente, qual é a probabilidade de que seja 
escolhida uma refeição constituída por uma salada sem maionese, um prato quente de 
galinha, uma sobremesa sem ovo e vinho branco? 
3. Um experimento está sendo planejado para pesquisar o rendimento de 4 cultivares de soja 
em 3 espaçamentos de plantio diferentes. 
a) Quantas parcelas são necessárias, se cada combinação de cultivar e rendimento deve 
ser atribuída a uma e apenas uma parcela? 
b) Quantas parcelas são necessárias, se cada uma dessas combinações deve ser atribuída a 
quatro parcelas? 
4. No percurso de sua casa para o local de trabalho, uma pessoa pode utilizar quatro rotas 
alternativas A, B, C e D. Essas mesmas rotas podem ser utilizadas para o retorno para 
casa. 
a) Esquematize, através de um diagrama de árvore, os caminhos alternativos que essa 
pessoa pode utilizar para ir ao trabalho e voltar para casa. Quantos são esses caminhos? 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 53 
b) Supondo quea rota de ida para o trabalho e a de volta para casa sejam escolhidas 
aleatoriamente, qual é a probabilidade de que a pessoa: i) utilize a mesma rota na ida e 
na volta para o trabalho? ii) não utilize a mesma rota na ida e na volta para o trabalho? 
c) Responda questões semelhantes às formuladas nos itens a) e b) sob a condição de que 
a pessoa não utilize a mesma rota na ida e na volta ao trabalho. 
5. Suponha que as rotas B e C consideradas no exercício 4 sejam de um único sentido e que a 
pessoa possa utilizar a rota B somente no percurso de casa para o trabalho e a rota C 
apenas no sentido contrário. Responda às mesmas questões formuladas naquele exercício 
sob estas novas condições. 
6. Nas eleições majoritárias simultâneas para Presidente da República, Governador do Estado 
e Prefeito do Município, há, respectivamente, 6, 4 e 3 candidatos. 
a) De quantos modos um eleitor pode marcar sua cédula para todos esses três cargos? 
b) Quantas escolhas alternativas um eleitor tem para votar, se ele exerce sua opção de não 
votar em: i) Presidente? ii) Governador? iii) Presidente e Governador? 
c) Suponha que um dado eleitor está indeciso e, por essa razão, decide escolher os 
candidatos aleatoriamente. Qual é a probabilidade de que esse eleitor escolha um 
candidato da preferência dos atuais governantes, se são da preferência desses 
governantes 2 dos candidatos a Presidente, 2 dos candidatos a Governador e um dos 
candidatos a Prefeito? 
7. Um sistema compreende seis mecanismos cada um dos quais pode ser conectado em uma 
de quatro posições. 
a) De quantos modos esse sistema pode ser disposto quanto às formas alternativas de 
conexões de seus 6 mecanismos: i) se a ordem de conexão desses mecanismos é 
irrelevante? ii) se essa ordem é importante? 
b) Suponha que os 6 mecanismos sejam instalados em uma ordem preestabelecida. De 
quantos modos o sistema pode ser disposto, se os dois primeiros mecanismos não 
puderem estar conectados em igual posição? 
c) Ainda supondo que os 6 mecanismos sejam instalados em uma determinada ordem, de 
quantos modos o sistema pode ser disposto, se dois sistemas adjacentes não puderem 
estar conectados em igual posição? 
d) Quantas maneiras de disposição são possíveis, se apenas as duas primeiras posições de 
cada um dos 6 mecanismos forem usadas? 
8. Quantos resultados possíveis constituem o espaço básico de cada um dos seguintes 
experimentos aleatórios: a) lançamento de um dado branco e um dado preto e observação 
Introdução à Probabilidade 54 
das faces que se voltam para cima; b) lançamento de uma moeda e um dado e observação 
das faces que se voltam para cima; c) preenchimento de um teste de 12 questões em que 
cada uma delas deve ser respondida com uma de duas respostas alternativas: verdadeiro ou 
falso. 
9. Um teste de múltipla escolha consiste de dez questões, cada uma das quais permite uma 
escolha entre três alternativas. 
a) De quantas maneiras diferentes um estudante pode escolher suas respostas a essas 
questões? 
b) Supondo que apenas uma alternativa de cada questão seja correta e que um estudante 
responda as questões aleatoriamente, qual é a probabilidade de que ele acerte: i) todas 
as questões? ii) as primeiras seis questões? 
10. Uma caixa contém três pedras identificadas pelos números 1, 2 e 3. Considere o 
experimento de 3 extrações sucessivas aleatórias de uma pedra dessa caixa, com a 
reposição da pedra após cada extração, e registro da seqüência de números resultante. 
a) Construa um diagrama de árvore para determinar os resultados possíveis desse 
experimento. 
b) De quantos modos distintos podem resultar: i) três números iguais? ii) três números 
diferentes? iii) exatamente dois números iguais? 
c) Obtenha as probabilidades dos eventos definidos no item anterior. 
11. Um baralho consiste de 52 cartas, das quais 13 são de cada um de 4 naipes diferentes: 
ouros, copas, espadas e paus. O conjunto de cartas de cada naipe é constituído de 9 cartas 
numeradas de 2 a 10, um ás (também carta número 1), um valete, uma dama e um rei. 
Considere a extração aleatória de 3 cartas desse baralho, com reposição. 
a) Determine a probabilidade de que resulte uma carta de ouros, uma de paus e uma de 
copas: i) nesta ordem? ii) em qualquer ordem. 
b) Qual é a probabilidade de que sejam extraídas duas cartas de ouros e, em seguida, uma 
carta de paus ou de espadas? 
12. Reconsidere o exercício 11 sob a condição de que as cartas extraídas não sejam repostas. 
2.5.2 Regras das permutações 
 A regra da multiplicação aplica-se à contagem do número de resultados possíveis 
de um experimento que compreende dois ou mais experimentos mais simples com 
espaços básicos completamente diferentes (seleções de uma cultivar, uma época de 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 55 
semeadura, um método de plantio e um fungicida, Exemplo 2.14), ou com mesmo 
espaço básico (lançamentos sucessivos de uma moeda, Exemplo 2.13). 
 Essa regra aplica-se particularmente à extração sucessiva de elementos de um 
conjunto com reposição do elemento extraído antes da próxima extração (Exemplo 
2.7), ou sem reposição dos elementos extraídos (Exemplo 2.8). Considere-se, agora, a 
seleção sucessiva de todos os elementos de um conjunto sem reposição. Esse processo 
gera uma seqüência ordenada dos elementos do conjunto tal que cada um desses 
elementos aparece uma e apenas uma vez na seqüência. 
 Uma seqüência ordenada de n elementos é denominada uma permutação 
desses n elementos. 
 
 Embora uma seqüência ordenada seja freqüentemente denotada pela listagem de 
seus elementos entre parênteses, é usual denotar uma permutação pela justaposição de 
seus elementos segundo sua ordem na permutação. Assim, acb é uma permutação das 
letras a, b e c. 
 O número de permutações que podem ser formadas com os elementos de um 
conjunto é determinado pela seguinte regra: 
 Regra das permutações. O número de permutações de n elementos distintos, 
denotado por Pn, é: 
 Pn = n×(n-1)×(n-2)×...×2×1. 
 
 Equivalentemente, Pn = 1×2×...×n. Esta expressão é o produto dos n primeiros 
números naturais, que é designado de fatorial de n e denotado por n! Por definição, 0! 
=1; portanto, P0 = 1. 
Exemplo 2.15 
 Liste as permutações das três primeiras letras do alfabeto: a, b e c, e determine o seu 
número. 
 As distintas seqüências ordenadas das 3 letras a, b e c são: abc, acb, bac, bca, cab e cba. 
Portanto, o número de seqüências ordenadas, ou permutações, das 3 letras, é 6, ou seja, P3 = 
3×2×1 = 6. 
Introdução à Probabilidade 56 
 De modo geral, permutar n objetos equivale a colocá-los dentro de uma caixa de 
n compartimentos em dispostos lado a lado, em alguma ordem (Figura 2.4). O número 
de permutações dos n objetos é o número de diferentes configurações que podem 
resultar da disposição dos n objetos na caixa. 
 
Figura 2.4. Ilustração do processo de permutação de n objetos o1, o2,..., on. 
 As permutações distinguem-se pela ordem dos elementos. Assim, a regra das 
permutações pode ser derivada pelo seguinte argumento e a utilização da regra da 
multiplicação: cada um dos n elementos pode ser o primeiro em uma ordenação 
particular dos n elementos; cada um desses n elementos que seja escolhido como 
primeiro pode associar-se com cada um dos n-1 elementos restantes, de modo que, 
pela regra da multiplicação, tem-se n×(n-1) diferentes ordenações possíveis para os 
dois primeiros elementos; cada uma dessas n×(n-1) ordenações pode associar-se com 
cada um dos n-2 elementos restantes, de modo que, segundo a mesma regra, tem-se 
n×(n-1)×(n-2) ordenações distintas até o terceiro elemento; em geral, há n×(n-1)×(n-
2)×...×[n-(r-1)] distintas ordenações dosr primeiros elementos, cada uma das quais 
pode associar-se com cada um dos r-1 restantes elementos; o número de fatores desse 
produto cresce, enquanto os fatores vão decrescendo de uma unidade, até a etapa r=n, 
quando é incluído o n-ésimo elemento da ordenação e o fator torna-se igual a 1. 
Exemplo 2.16 
 Um experimento é conduzido para a comparação de cinco cultivares de feijão A, B, C, 
D e E quanto à produção de grãos. Ao fim do experimento, as cultivares são ordenadas 
segundo as grandezas de suas médias observadas. a) Quantas diferentes listagens das cultivares 
podem resultar, supondo que não podem resultar duas cultivares com mesma produção? b) 
Em quantas dessas listagens as cultivares A e B aparecem nos dois primeiros lugares? c) 
Supondo que as 5 cultivares não diferem quanto à produtividade, qual é a probabilidade de que 
as cultivares A e B se revelem as mais produtivas por mero acaso? 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 57 
 a) Qualquer uma das cinco cultivares pode resultar como mais produtiva. Para cada uma 
delas que resulte mais produtiva, há quatro cultivares restantes que podem resultar com a 
segunda maior produção. Portanto, há 5×4=20 diferentes ordenações das 5 cultivares para os 
dois primeiros lugares em produção. Para cada um desses 20 resultados distintos, há 3 
cultivares restantes qualquer uma das quais pode ter a terceira produção mais elevada; 
portanto, há 5×4×3 = 60 ordenações distintas das 5 cultivares para as 3 primeiras colocações. 
Para cada uma dessas 60 ordenações, há duas cultivares restantes qualquer uma das quais pode 
ter a penúltima produção; logo, há 5×4×3×2 = 120 distintas ordenações para as 4 cultivares de 
maiores produções entre as 5. Como há apenas uma cultivar restante, o número total de 
ordenações ou permutações das 5 cultivares quanto às grandezas de suas médias é 5×4×3×2×1 
= 120. 
 Naturalmente, esse mesmo resultado pode ser obtido pela aplicação direta da regra das 
permutações: o número de diferentes listagens das 5 cultivares que podem resultar é: P5 = 
5×4×3×2×1 = 120. 
 b) Em uma lista em que as cultivares A e B ocupam os dois primeiros lugares, as 3 
cultivares restantes, ou seja, C, D e E, devem ocupar o terceiro, quarto e quinto lugares. O 
número de listas em que A e B aparecem nos dois primeiros lugares é o número de diferentes 
ordenações de C, D e E nas 3 últimas posições, isto é: P3 = 3×2×1 = 6. 
 c) Segundo os resultados obtidos nos itens anteriores, 
6 1
P(A e B sejam as mais produtivas) = =
120 20
. 
Permutações com repetições 
 Essa regra das permutações pressupõe que os n elementos são distintos. Dessa 
forma, essa regra não se aplica a situações em que os n elementos não são todos 
distintos, como ilustrado no exemplo que segue. 
Exemplo 2.17 
 Quantas permutações podem ser obtidas com as letras da palavra “consolo”? 
 Considerando, por um momento, as três repetições da letra "o" como três letras distintas 
(pela aposição de subscritos; por exemplo, “co1nso2lo3”), o número de permutações das 7 
"letras" é P7 = 7! Entretanto, como, de fato, o1, o2 e o3 simbolizam a mesma letra "o", as 
ordenações dessas 7 "letras" em que o1, o2 e o3 ocupam as mesmas 3 posições particulares 
Introdução à Probabilidade 58 
constituem uma mesma permutação. Esse número de ordenações é P3 = 3! Agora, para cada 
ordenação daquelas 7 "letras" há P3 = 3! ordenações que constituem uma mesma permutação. 
Portanto, há apenas P7/P3 = 7!/3! = 7×6×5×4 = 840 permutações (diferentes) das letras da 
palavra “consolo”. 
 Esse argumento pode ser generalizado como segue: 
 Regra das permutações com repetições. O número de permutações de n 
elementos que se classificam em k categorias, com ni elementos iguais na i-ésima 
categoria (n1+n2+...+nk = n) e elementos de diferentes categorias distintos, denotado 
por 
1 2 kn(n ,n ,...,n )
P , é: 
 
!n...!n!n
!nP
k21
)n,...,n,n(n k21 = . 
 
 Para verificar essa expressão, observe-se que n1! das n! permutações dos n 
elementos são idênticas em decorrência da identidade dos n1 elementos da categoria 1. 
Assim, apenas n!/n1! ordenações podem diferir quanto aos elementos das demais 
categorias. Entretanto, n2! dessas ordenações são idênticas, dada a identidade dos n2 
elementos da categoria 2, de modo que apenas n!/n1!n2! ordenações podem diferir 
quanto aos elementos das categorias 3, 4,..., k. Estendendo-se esse raciocínio, conclui-
se que apenas n!/n1! n2!...nk! ordenações dos n elementos são distintas. 
Exemplo 2.17 (continuação) 
 Qual é a probabilidade de que a escolha aleatória de uma das permutações das letras da 
palavra "consolo" resulte em uma "palavra" terminada com a letra "o"? 
 Para responder a essa questão, observe-se que a letra "o" aparece repetida 3 vezes na 
palavra "consolo". Qualquer que seja uma dessas 3 repetições dessa letra, as demais 6 letras 
dessa palavra devem antecedê-la para completar uma "palavra" com todas as sete "letras" da 
palavra "consolo". Logo, considerando, por um momento, as três repetições da letra "o" como 
se fossem 3 letras distintas, tem-se 3×P6 "palavras" terminadas em "o". Então, pelo mesmo 
argumento anterior, segue-se que o número de palavras distintas que podem ser constituídas 
com as 7 letras da palavra "consolo" terminadas em "o" é 6 33×P P = 360 . 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 59 
 Como o número de permutações de letras da palavra "consolo", obtido anteriormente, é 
840, a probabilidade de que uma dessas permutações escolhida aleatoriamente termine em "o" 
é: 360/840 = 3/7. 
Permutações circulares 
 O conceito estabelecido anteriormente de permutação como uma seqüência 
ordenada de elementos distintos supõe a disposição dos elementos em linha. Em 
algumas situações, pode ser de interesse considerar a disposição de elementos em 
círculo. 
 Uma permutação de elementos dispostos em um círculo é designada de 
permutação circular. 
 
 Duas disposições circulares de um mesmo conjunto de elementos distintos 
constituem uma mesma permutação circular se as ordenações dos elementos em torno 
de um círculo são iguais, ou seja, se cada um dos elementos é precedido e seguido nas 
duas disposições pelos mesmos elementos no sentido do deslocamento dos ponteiros 
de um relógio. Em outras palavras, uma permutação circular não se altera se todos os 
elementos se deslocam um mesmo número de posições em um mesmo sentido em 
torno do círculo. Por exemplo, se cinco pessoas estão sentadas em torno de uma mesa, 
não se obtém uma nova permutação circular se elas mudam de lugares mantendo as 
mesmas posições relativas, como ocorre quando todas elas se deslocam para a próxima 
posição à direita. 
Exemplo 2.18 
 Em quantas distintas configurações de vizinhanças em torno de uma mesa podem 
sentar-se cinco pessoas para jogar cartas? 
 Para uma das 5 pessoas em uma posição fixa, as outras quatro pessoas podem sentar-se 
em P4 = 4! disposições diferentes em torno da mesa. Como a fixação dessa pessoa em qualquer 
das outras quatro posições gera a mesma configuração de vizinhança se todas as 5 pessoas 
mantém as mesmas posições relativas, há P4 = 4! = 24 configurações de vizinhanças distintas 
das 5 pessoas em torno da mesa. Em outras palavras, o número de permutações circulares de 5 
pessoas em torno de uma mesa é P4 = 4! = 24. 
 O argumento ilustrado no Exemplo 2.18 é generalizado pela seguinte regra: 
Introdução à Probabilidade 60 
 Regra das permutações circulares. O número de permutações circulares de n 
elementos distintos, designado por PCn, é: 
 PCn = (n-1)(n-2)...2.1, 
ou seja, 
 PCn = (n-1)! = Pn-1. 
 
Exemplo 2.18 (continuação) 
 Se 5 pessoas A, B, C, D e E se sentam em 5 cadeiras em torno de uma mesa demodo 
aleatório, qual é a probabilidade de que, A e B situem-se em posições contíguas? 
 Para o indivíduo A em uma posição fixa e o B na posição contígua à sua direita, os 
indivíduos B, C e D podem dispor-se em P3 = 3! diferentes ordenações nas outras 3 posições 
em torno da mesa. Semelhantemente, para B em uma posição fixa e A na posição imediata à 
direita de B, os demais 3 indivíduos podem dispor-se em P3 = 3! diferentes ordenações nas 
outras 3 posições. Se A ou B mudam de posição em torno da mesa com todos os 5 indivíduos 
mantendo as mesmas posições relativas, a configuração de vizinhança das 5 pessoas não se 
altera. Portanto, o número de disposições das 5 pessoas em torno de uma mesa com A e B em 
posições contíguas é: 2× P3 = 2×3! = 12. 
 Como o número de configurações de vizinhanças distintas das 5 pessoas em torno da 
mesa, determinado anteriormente, é 24, segue-se que a probabilidade de que A e B situem-se 
em posições contíguas é 12/24 = 1/2. 
2.5.3 Regra dos arranjos 
 A regra das permutações aplica-se à extração sucessiva de todos os elementos de 
um conjunto sem reposição do elemento extraído antes da próxima extração. 
Considere-se, agora, a seleção sucessiva de parte dos elementos de um conjunto sem 
reposição dos elementos. 
 Uma seqüência ordenada de r elementos tomados de um conjunto de n 
elementos (r≤n) é denominada um arranjo de tamanho r desses n elementos. 
 
 Adota-se para arranjo a mesma notação de permutação. Assim, ac é um arranjo 
das letras a e c. 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 61 
 Observe-se que um arranjo com r=n é uma permutação. Logo, a regra dos 
arranjos que segue é uma generalização da regra das permutações: 
 Regra dos arranjos. O número de arranjos de r elementos tomados de um 
conjunto de n elementos distintos, denotado por A n
r , é: 
 A n
r = n(n-1)(n-2)...(n-r+1) (r fatores). 
 
 Outras notações também são usadas para denotar o número de arranjos de r 
elementos selecionados de um conjunto de n elementos: A(n, r), Anr, nAr, e (n)r. 
 A partir das expressões das regras das permutações e dos arranjos e tendo em 
conta que, por definição, 0! = 1, pode-se derivar a seguinte relação: 
n
r n!A =
(n - r)!
, ou seja: r nn
n-r
PA =
P
. 
Exemplo 2.19 
 Enumere os arranjos de duas letras tomadas do conjunto das três primeiras letras do 
alfabeto: a, b e c, e obtenha e o seu número. 
 As distintas seqüências ordenadas que podem ser constituídas com duas das três letras a, 
b e c são: ab, ac, ba, bc, ca e cb. Logo, o número de seqüências ordenadas, ou arranjos, de 2 
dessas 3 letras é 6, isto é, 23A = 3×2 = 6. 
 De modo geral, arranjar r objetos de um conjunto de n objetos equivale a colocar 
um subconjunto de r dos n objetos dentro de uma caixa de r compartimentos dispostos 
lado a lado, em alguma ordem (Figura 2.5). O número de arranjos de r dos n objetos é 
o número de configurações que podem resultar da disposição dos objetos na caixa que 
diferem quanto à composição de objetos e à sua ordem. 
 
Figura 2.5.Ilustração do processo de arranjo de r objetos tomados de um 
conjunto de n objetos o1, o2,..., on. 
Introdução à Probabilidade 62 
Exemplo 2.20 
 Três integrantes de uma turma de 24 estudantes do Curso de Matemática devem ser 
escolhidos para constituir uma comissão representativa da turma, composta de presidente, 
secretário e tesoureiro. a) Quantas composições alternativas podem ser consideradas para a 
escolha da comissão? b) Quantas dessas comissões são integradas por 5 dos 24 estudantes 
cujo primeiro nome tem inicial A? c) Se a escolha da comissão for procedida por processo 
aleatório, qual é a probabilidade de que seja escolhida uma comissão constituída por 
estudantes com primeiro nome iniciado pela letra A? 
 a) O número de comissões de 3 estudantes com funções distintas (presidente, 
secretário e tesoureiro) que podem ser formadas com integrantes de uma turma de 24 
estudantes é o número de arranjos de 3 estudantes tomados desse conjunto de 24 
estudantes, ou seja: 324A = 24×23×22=12.144 . 
 b) Uma comissão de 3 estudantes com primeiro nome iniciado pela A terá que ser 
constituída de 3 dos 5 estudantes cujo primeiro nome tem inicial A. Logo, o número dessas 
comissões é: 35A = 5×4×3 = 60 . 
 c) Logo, a probabilidade da escolha aleatória de uma comissão integrada por 3 
estudantes com primeiro nome iniciado pela letra A é: 60/12.144 = 5/1.012. 
Exemplo 2.21 
 Cada um de três antibióticos A, B e C deve ser aplicado a um animal diferente de um 
subconjunto de três animais selecionados aleatoriamente de um conjunto de doze animais. a) 
Quantas assinalações dos antibióticos que diferem quanto à relação entre antibióticos e animais 
são possíveis? b) Se 6 dos 12 animais são sadios e os demais apresentam a infecção para cujo 
controle destina-se a aplicação dos antibióticos, qual é a probabilidade de que esses 
antibióticos sejam aplicados a animais sadios, que, portanto, não manifestarão resposta ao 
antibiótico? 
 a) O número de assinalações dos 3 antibióticos A, B e C a 3 dos 12 animais que diferem 
quanto aos animais e à atribuição dos animais é igual ao número de arranjos de 3 dos 12 
animais, ou seja, 312A = 12×11×10 = 1.320 . 
 Naturalmente, esse resultado pode ser derivado sem o recurso à regra dos arranjos. 
Considerem-se as assinalações dos antibióticos A, B e C como três etapas de um experimento. 
Qualquer um dos 12 animais disponíveis pode ser escolhido para a aplicação do antibiótico A. 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 63 
Para qualquer escolha de um animal para A, há 11 animais restantes, qualquer um dos quais 
pode ser escolhido para a assinalação do antibiótico B. Assim, quanto à assinalação dos 
antibióticos A e B, o número de escolhas possíveis, de acordo com a regra do produto, é 12×11 
= 132. Por sua vez, após qualquer uma destas 132 diferentes assinalações dos antibióticos A e 
B, há 10 animais restantes a qualquer um dos quais pode ser assinalado o antibiótico C. Logo, 
o número total das possíveis assinalações dos três antibióticos é 12×11×10 = 1.320. 
 b) Os 3 antibióticos serão assinalados a 3 animais sadios se esses animais forem 
selecionados do subconjunto de 6 animais sadios. Logo, o número de assinalações dos 
antibióticos a animais sadios é: 36A = 6×5×4 = 120 . Portanto, a probabilidade de que os 3 
antibióticos sejam aplicados a animais sadios é: 120/1320 = 1/11. 
Exercícios 2.3 
1. No processo de inspeção de qualidade de um produto fabricado por seis máquinas, o 
engenheiro supervisor inspeciona as seis máquinas diariamente. Para evitar que os 
operários saibam quando ele os irá inspecionar, a ordem de inspeção varia e é determinada 
para cada dia. Entre quantas distintas ordenações, o engenheiro deve escolher aquela a ser 
adotada em um dia particular? 
2. Seis pessoas encaminham-se para formar uma fila para tomar um ônibus. a) De quantos 
modos essas seis pessoas podem formar a fila? b) Em quantas disposições essas pessoas 
podem colocar-se na fila de modo que duas delas particulares ocupem o primeiro e o 
último lugar? c) Em quantas disposições essas pessoas podem colocar-se na fila se duas 
delas se recusam a se situarem em posições contíguas? d) Se essas pessoas se dispõem na 
fila em ordem aleatória, qual é a probabilidade de que: i) as duas pessoas consideradas no 
item b) ocupem os extremos da fila? ii) as duas pessoas referidas no item c) se situem em 
posições contíguas? 
3. Cinco homens e quatro mulheres devem sentar-se em uma fila de cadeiras numeradas de 1 
a 9. a) Em quantas disposições distintas essas pessoas podem ocupar as 9 cadeiras? b) Se 
a disposição das 9 pessoas nas 9 cadeiras é escolhida aleatoriamente,qual é a 
probabilidade de que as mulheres ocupem os lugares pares? 
4. Determine o número de "palavras" distintas que podem ser formadas com as letras da 
palavra: a) "problema"; b) "concordo". 
5. Cinco bolas vermelhas e uma bola branca são colocadas nos seis compartimentos de uma 
caixa dispostos em linha. a) Em quantas disposições diferentes essas bolas podem ser 
Introdução à Probabilidade 64 
colocadas na caixa se as bolas vermelhas distinguem-se pelos tamanhos? b) Em quantas 
disposições diferentes essas bolas podem ser colocadas na caixa se não se distinguem as 
bolas vermelhas? c) Em quantas dessas disposições: i) a bola branca situa-se em um 
compartimento extremo da caixa? ii) as bolas vermelhas situam-se em posições contíguas? 
d) Qual é a probabilidade de que: i) a bola branca se situe em um compartimento extremo 
da caixa? ii) as bolas vermelhas situem-se em posições contíguas? 
6. De quantos modos diferentes pode-se plantar 2 pinheiros, 3 carvalhos e 4 eucaliptos em 
uma linha, se não se distingue entre árvores de uma mesma espécie? Se o plantio é 
efetuado aleatoriamente, qual é a probabilidade de que os 2 pinheiros, 3 carvalhos e 4 
eucaliptos sejam plantados nessa ordem? 
7. Em um painel luminoso podem ser dispostas seis lâmpadas em uma linha horizontal. a) 
Quantos sinais diferentes podem ser formados nesse painel, cada um constituído de seis 
lâmpadas acesas simultaneamente, das quais 3 são azuis, 2 verdes e uma vermelha? b) Em 
quantos desses sinais as 2 lâmpadas azuis situam-se nos extremos do painel? c) Se as 6 
lâmpadas são dispostas no painel de modo aleatório, qual é a probabilidade de que as 2 
lâmpadas azuis se situem nos extremos do painel? 
8. Os membros de uma família de seis pessoas devem sentar-se em torno de uma mesa para a 
refeição. 
a) De quantos modos diferentes as seis pessoas podem dispor-se em torno da mesa 
quanto a suas posições relativamente a uma janela em uma das quatro paredes da sala? 
b) De quantos modos diferentes as seis pessoas podem dispor-se em torno da mesa 
quanto a suas posições relativas? 
c) De quantos modos diferentes as seis pessoas podem dispor-se em torno da mesa 
levando em conta apenas os vizinhos imediatos de cada um? 
9. Um mecanismo compreende doze componentes diferentes conectados em linha que podem 
ser montados em qualquer ordem. a) De quantos modos distintos esses componentes 
podem ser dispostos para formar o mecanismo? b) De quantos modos podem falhar três 
componentes desse mecanismo? 
10. Quatro homens e seis mulheres entram em uma sala de espera que tem um banco de 4 
lugares. a) De quantos modos distintos essas dez pessoas podem sentar-se nesse banco? 
b) Em quantas dessas disposições das 10 pessoas no banco há: i) apenas homens? ii) 
apenas mulheres? iii) 2 homens e 2 mulheres? c) Se as 10 pessoas sentam-se no banco de 
modo aleatório, qual é a probabilidade de que o banco seja ocupado: i) apenas por 
homens? ii) apenas por mulheres? iii) por 2 homens e 2 mulheres? 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 65 
11. Quatro pneus devem ser colocados nas quatro rodas de um carro. a) Em quantos modos 
diferentes os quatro pneus podem ser colocados: i) se os quatro pneus podem ser 
colocados em quaisquer das quatro rodas? ii) se dois dos quatro pneus são mais novos e 
devem ser colocados nas rodas dianteiras? b) Se os pneus são colocados nas 4 rodas de 
modo aleatório, qual é a probabilidade de que os 2 pneus mais novos sejam colocados nas 
rodas dianteiras? 
12. O controle de qualidade de uma indústria classifica os defeitos que podem resultar em uma 
peça em defeitos menores e em defeitos maiores, os quais compreendem 8 e 6 tipos, 
respectivamente. De quantas maneiras podem ocorrer: a) um defeito menor e um defeito 
maior? b) dois defeitos de cada uma das duas categorias? c) dois defeitos distintos de 
cada uma das duas categorias? 
2.5.4 Regra das combinações 
 A regra dos arranjos trata da enumeração das seqüências ordenadas de r 
elementos tomados de um conjunto de n elementos distintos. Em algumas situações, há 
interesse no número de subconjuntos de r elementos que podem ser selecionados de 
um conjunto de n elementos distintos, não importando a ordem da seleção dos 
elementos. Por exemplo, na formação de uma comissão representativa de um conjunto 
de pessoas, a ordem dos membros na lista da comissão é usualmente irrelevante. 
 Um subconjunto de r elementos tomados de um conjunto de n elementos 
distintos é denominado uma combinação de tamanho r desses n elementos. 
 
 Embora uma combinação seja um subconjunto, não se adota para combinação a 
notação de conjunto; é usual denotar uma combinação pela justaposição de seus 
elementos, de modo semelhante às notações de permutação e arranjo. Assim, ac é uma 
combinação das letras a e c. Observe-se que os 2 arranjos ac e ca constituem a mesma 
combinação ac (ou ca). 
 Como combinação significa o mesmo que subconjunto, determinar o número de 
combinações de r elementos tomados de um conjunto de n elementos é o mesmo que 
determinar o número de subconjuntos de r elementos que podem ser constituídos com 
esses n elementos. Esse número é determinado pela regra que segue: 
Introdução à Probabilidade 66 
 Regra das combinações. O número de combinações de r elementos tomados de 
um conjunto de n elementos distintos, denotado por Cn
r , é: 
 
r
n
n
r
r AC
P
= 
 n(n 1)(n 2)...(n r 1)
r(r 1)(r 2)...2.1
− − − +=
− −
. 
 
 Outras notações também são utilizadas para denotar o número de combinações 
de r elementos tomados de um conjunto de n elementos: C(n, r), Cn, r, nCr e ( )nr . 
Exemplo 2.22 
 Enumere as combinações de duas letras tomadas do conjunto das três primeiras letras do 
alfabeto: a, b e c, e determine o seu número. 
 Os subconjuntos de duas letras que podem ser formados com as letras a, b e c são: {a, 
b}, {a, c} e {b, c}. Logo as combinações de duas letras tomadas do conjunto das 3 letras a, b e 
c são: ab, ac e bc. Portanto, o número de combinações dessas 3 letras é 3, ou seja, 
2
3C = 3×2 2 =3. 
 De modo geral, combinar r objetos de um conjunto de n objetos equivale a 
colocar um subconjunto de r dos n objetos dentro de uma caixa (Figura 2.6). O 
número de combinações de r dos n objetos é o número de configurações que diferem 
quanto à composição de objetos. 
 
Figura 2.6. Ilustração do processo de combinação de r objetos tomados de 
um conjunto de n objetos o1, o2,..., on. 
 Se r<n, o número de combinações de tamanho r de elementos de um conjunto de 
n elementos é menor que o número de arranjos de tamanho r desses mesmos 
elementos. 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 67 
Exemplo 2.23 
 Considere-se o conjunto das cinco primeiras letras do alfabeto: {a, b, c, d, e}. O número 
de arranjos de tamanho 3 dessas 5 letras é 5!/(5-3)! = 60. Observe-se, por exemplo, que há 3! = 
6 arranjos de tamanho 3 constituídas das 3 letras a, b e c, já que essas 3 letras podem ser 
ordenadas de 3×2×1 = 6 modos: abc, acb, bac, bca, cab e cba. Entretanto, esses 6 arranjos 
constituem uma mesma combinação, ou seja, o subconjunto {a, b, c}. Semelhantemente, a 
qualquer outra combinação de tamanho 3 das 5 letras correspondem 3! arranjos, cada um 
originado de uma diferente ordenação das mesmas 3 letras. Dessa forma: 
3 3
5 5=A C ×3! ; 
donde: 
3
3 5
5
A
3!
C = 10= . 
Essas 10 combinações são os subconjuntos: {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, e}, {a, c, d}, {a, c, e}, 
{a, d, e}, {b, c, d}, {b, c, e}, {b, d, e}, {c, d, e}. 
 O argumento utilizado nesse exemplo pode ser generalizado para a justificação 
da regra das combinações pela aplicação da regra da multiplicação a um processo deduas etapas, da seguinte forma: a coleção dos arranjos de r elementos tomados de um 
conjunto de n elementos pode ser obtida pela seleção dos rnC subconjuntos de r 
elementos tomados desse conjunto, seguida das Pr permutações dos r elementos de 
cada um desses subconjuntos. Segue-se, portanto, que: 
r
r
n
r
n PCA ×= ; 
donde: 
r
n
n
r
r AC
P
= . 
 Propriedades das combinações: Se n é um número inteiro positivo e r é um 
número inteiro não negativo tal que r ≤ n, então: 
 1) Cn
r = n!
r!(n r)!−
; 
 2) Cn
1 = n; 
 3) Cn
n = 1; 
Introdução à Probabilidade 68 
 4) Cn
0 = 1; 
 5) r n rn nC C
−= . 
 Essas propriedades são derivadas diretamente da regra das combinações. Por 
exemplo, a primeira e a última propriedade podem ser provadas como segue: 
r
n
n
r
r A n(n 1)(n 2)...(n r 1)C
P r!
− − − += = 
 n(n 1)(n 2)...(n r 1) (n r)!
r! (n r)!
− − − + −=
−
n!
r!(n r)!
=
−
; 
e 
n r
n
n!C
(n r)! [n (n r)]!
− =
− − −
 
 rn
n! n! C
(n r)! r! r! (n r)!
= = =
− −
. 
A propriedade 5 também pode ser provada com o argumento de que quando se 
seleciona um subconjunto de r elementos de um conjunto de n elementos distintos, 
deixa-se um subconjunto de n-r elementos e, assim, há tantos modos de selecionar r 
elementos quanto são os modos de (deixar de) selecionar n-r elementos. 
Exemplo 2.24 
 O Departamento de Matemática e Estatística tem que escolher uma comissão de 5 
membros que devem ser escolhidos aleatoriamente de seu corpo docente constituído de 12 
matemáticos e os 8 estatísticos. a) Quantas distintas comissões devem ser consideradas para 
escolha? b) Qual é a probabilidade de que a comissão seja constituída de 3 matemáticos e 2 
estatísticos? 
 a) O número de subconjuntos de 5 docentes que podem ser escolhidos entre os 12 
matemáticos é: 
5
20
20×19×18 17 16C = =15.504
5 4 3×2
× ×
× ×
. 
 b) O número de subconjuntos de 3 docentes que podem ser escolhidos do conjunto dos 
12 matemáticos é 312
12×11×10C = = 220
3×2
 e o número de subconjuntos de 2 docentes que pode 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 69 
ser formado do conjunto de 8 é 28
8×7C = = 28
2
. Então, pela regra da multiplicação, o número de 
comissões a serem consideradas para escolha é 220×28 = 6.160. Logo, a probabilidade de que 
a comissão seja constituída de 3 matemáticos e 2 estatísticos é: 6.160/15.504 = 0,397. 
Exemplo 2.25 
 Uma mão de bridge é um subconjunto de 13 cartas extraídas de um baralho de 52 cartas, 
sem consideração da ordem de extração. Qual é a probabilidade de um jogador de bridge obter 
uma mão de cartas apenas de copas e ouros? Qual é a probabilidade de obter uma mão de 
cartas apenas de dois naipes? 
 De um baralho de 52 cartas podem ser extraídos 1352
52!C =
13! 39!
 = 635.013.559.600 
subconjuntos de 13 cartas; portanto, n(S) = 635.013.559.600. Por outro lado, sejam: 
A: mão constituída apenas de copas e ouros, e 
B: mão constituída apenas de dois naipes. 
Como há 13 cartas de cada naipe, tem-se: 
13
26
26!n(A) = C = 10.400.597
13!13!
= ; 
e como há 24C =6 combinações de dois naipes, uma das quais é constituída por copas e ouros, 
2 13
4 26n(B) = C ×C =6×10.400.597 = 62.403.582. 
Portanto, 
13
26
13
52
Cn(A) 10.400.597P(A) = = = 0,000016379
n(S) C 635.013.559.600
= ; e 
2 13
4 26
13
52
C Cn(B) 62.403.582P(B) = = = = 0,00009827
n(S) C 635.013.559.600
× . 
Exemplo 2.26 
 Doze provadores de vinho são disponíveis dos quais 8 são mais experientes (designados 
M1, M2,..., M8) e 4 são menos experientes (m1, m2, m3, m4). Três desses 12 provadores devem 
ser selecionados para uso em um experimento de degustação. a) Considerando importante a 
ordem de seleção, quantos grupos de 3 provadores distintos podem ser selecionados? b) 
Quantos grupos de 3 provadores distintos podem ser selecionados com os dois primeiros 
provadores mais experientes e o último menos experiente? c) Se os 3 provadores forem 
Introdução à Probabilidade 70 
selecionados aleatoriamente (por processo que atribua a todos os provadores restantes após 
cada seleção a mesma probabilidade de serem selecionados), qual é a probabilidade de que os 
dois primeiros provadores sejam mais experientes e o último menos experiente? 
 a) Há 12 provadores distintos dos quais 3 devem ser selecionados, um após o outro (sem 
repetição). O número desses grupos de 3 provadores que podem resultar desse processo de 
seleção que se distinguem pela composição de provadores e pela ordem de seleção é: 312A = 
12×11×10 = 1.320. 
 b) O número de modos em que os dois primeiros provadores mais experientes podem 
ser selecionados, com a consideração da ordem de seleção, é o número de arranjos de 2 
provadores do grupo de 8 provadores mais experientes: M1, M2,...,M8, ou seja: 28A = 8×7 = 56. 
O número de modos em que o terceiro provador selecionado pode resultar menos experiente 
quando os dois primeiros são mais experientes é o número de modos em que pode ser 
selecionado um dos provadores m1, m2, m3 e m4, ou seja, 14A = 4. Logo, pela regra da 
multiplicação, o número de modos em que podem resultar os dois primeiros provadores mais 
experientes e o terceiro menos experiente é: 28A ×
1
4A = 56×4 = 224 . 
 c) A escolha aleatória de um grupo ordenado de 3 dos 12 provadores assegura que todos 
os 312A =1.320 distintos grupos ordenados de 3 dos 12 provadores são igualmente prováveis. O 
evento A: os dois primeiros provadores mais experientes e o terceiro menos experiente, 
consiste de 14
2
8 AA × grupos ordenados. Portanto, a probabilidade deste evento pode ser obtida 
pelo modelo de probabilidade uniforme: 
2 1
8 4
3
12
A A 224 28
165A 1.320
P(A) = 
× = = . 
Exemplo 2.27 
 Considere-se a situação do exemplo anterior, mas suponha-se, agora, que a ordem de 
seleção dos três provadores é irrelevante (o que corresponde à seleção simultânea dos três 
provadores). a) Quantos distintos grupos são possíveis? b) Em quantos desses grupos dois 
provadores são mais experientes e um menos experiente? c) Se os 3 provadores são 
selecionados aleatoriamente (de modo que cada grupo de 3 provadores tenha igual chance de 
ser selecionado), qual é a probabilidade de que resultem dois provadores mais experientes e 
um menos experiente? 
 a) O número de grupos não ordenados de 3 dos 12 provadores é: 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 71 
==
××
××
13
1011123
12C 2
220. 
 b) O número de combinações de 2 provadores tomados dos 8 provadores mais 
experientes é: ==
×
×
12
782
8C 28, e o número de combinações de 1 provador tomado dos 4 
provadores menos experientes é: 14C = 4. Então, pela regra da multiplicação, o número de 
escolhas possíveis que satisfazem às condições especificadas é: =× 14
2
8 CC 28×4 = 112. 
 c) Segundo o processo de seleção, os 220 grupos distintos de 3 dos 12 provadores 
disponíveis são todos igualmente prováveis. O número de grupos com exatamente dois 
provadores mais experientes e 1 menos experiente é 112. Logo, pelo conceito de probabilidade 
em espaço básico finito equiprovável, a probabilidade do evento A: dois provadores mais 
experientes e um provador menos experiente, é: 
2 1
8 4
3
12
C C 112 28
P(A) = 
C 220 55
×
= = . 
Exemplo 2.28 
 Em uma região, há 15 agricultores associados a uma cooperativa dos quais 9 são 
favoráveis, 4 são desfavoráveis e 2 são indiferentes à adoção de uma nova tecnologia. Três 
desses agricultores devem ser selecionados, aleatoriamente, para entrevista em uma pesquisa 
de opinião sobre a adoção da referida tecnologia. a) Qual é a probabilidade de que pelo menos 
dois dos agricultores selecionados sejamfavoráveis à adoção da nova tecnologia? b) Qual é a 
probabilidade de que os dois primeiros agricultores selecionados sejam favoráveis e o terceiro 
desfavorável à adoção da tecnologia? 
 a) O evento de interesse não envolve a ordem das pessoas no processo de amostragem. 
O número de diferentes grupos de 3 pessoas que podem ser selecionados de um conjunto de 15 
pessoas é 315C = 455. Em um processo de seleção aleatória esses 455 grupos podem ocorrer 
com uma mesma probabilidade. O evento A: pelo menos dois agricultores favoráveis, ocorre 
se e somente se um dos dois seguintes eventos ocorre: A1: dois agricultores favoráveis, e A2: 
três agricultores favoráveis; ademais, A1 e A2 não têm resultados elementares em comum. 
Logo, 
n(A) = n(A1) + n(A2), 
onde n(A) é o número de resultados elementares que implicam na ocorrência de A. 
Introdução à Probabilidade 72 
 Para calcular n(A1), observe-se que o evento A1 significa, de fato, dois agricultores 
favoráveis e um não favorável (ou seja, desfavorável ou indiferente). Como 9 dos 15 
agricultores são favoráveis, o número de grupos de 2 agricultores favoráveis que podem ser 
escolhidos é =
×
×
=
12
89C29 36. Da mesma forma, 1 agricultor não favorável ocorre se qualquer 
um dos 6 agricultores desfavoráveis ou indiferentes é selecionado. Logo, 
n(A1) = 16
2
9 CC × = 36×6 = 216. 
Por semelhante raciocínio, obtém-se: 
n(A2) = 3 09 6
9 8 7
C C 1
3 2 1
× ×
× = ×
× ×
= 84. 
Portanto, 
n(A) = 216 + 84 = 300. 
 Então, segundo o modelo de probabilidade uniforme, obtém-se: 
P(A) = 
n(A)
n(S)
 = 
300 60
455 91
= . 
 b) Esta questão envolve a consideração da ordem das pessoas no processo de seleção. 
Portanto, deve ser empregada a regra dos arranjos. O número de grupos ordenados de 3 
pessoas de um conjunto de 15 é 315A = 15×14×13 = 2.730. Por outro lado, as duas primeiras 
pessoas serão favoráveis se provirem das 9 favoráveis e a terceira será desfavorável se provir 
das 4 desfavoráveis. Logo, o número de grupos de 3 agricultores os dois primeiros dos quais 
são favoráveis e o terceiro é desfavorável é: 14
2
9 AA × = (9×8) ×4 = 288. Portanto, P(dois 
primeiros favoráveis e terceiro desfavorável) = 14
2
9 AA × / 315A = 395
48
. 
2.5.5 Contagem automática 
 A aplicação dessas regras de contagem pode torna-se trabalhosa para valores de 
n razoavelmente elevados. O programa Excel do Microsoft Office provê facilidades 
para o cálculo automático de números de permutações (fatoriais) e de combinações. 
Essas facilidades são acessadas através do botão "ƒx" da barra de ferramentas da janela 
do Excel. Para tal, pressiona-se o botão "ƒx" e, em seguida, na janela "Colar função" 
que se abre, seleciona-se a categoria de função "Matemática e trigonométrica". Então, 
tem-se disponíveis, em "Nome de função", as funções "FATORIAL" e "COMBIN". 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 73 
 A seleção de uma dessas funções abre a janela correspondente, onde devem ser 
preenchidos os valores apropriados dos "argumentos". A função FATORIAL retorna o 
fatorial de um número inteiro não negativo. É definida como "FATORIAL(num)", 
onde o único argumento "num" é o número cujo fatorial é desejado calcular, ou seja, 
num=n em n! Por exemplo, preenchendo núm=10, obtém-se o resultado: 4.628.800. 
 A função COMBIN retorna o número de combinações de r elementos tomados 
de um conjunto de n elementos, ou seja rnC . É definida como "COMBIN(núm; 
núm_escolhido)", onde os argumentos "núm" e "núm_escolhido" correspondem, 
respectivamente, a n e r em rnC . Por exemplo, preenchendo núm=20 e 
núm_escolhido=4, é retornado o resultado 4.845. 
 Os outros procedimentos de contagem, como aqueles para cálculos de número de 
arranjos rnA e de número de permutações com repetições 1 2 kn(n ,n ,...,n )P , podem ser 
automatizados através do uso reiterado da função FATORIAL (por exemplo, rnA = 
n!/(n-r)!) O número de permutações com repetições pode ser obtido mais diretamente 
através da função MULTINOMIAL. 
Exercícios 2.4 
1. Quantas amostras distintas de três domicílios podem ser escolhidas para uma pesquisa 
referente a um conjunto residencial de 30 domicílios? 
2. O preço de uma excursão à Europa inclui cinco paradas a serem selecionadas de um 
conjunto de dez cidades. De quantos modos uma pessoa pode planejar sua excursão: a) se 
a ordem das paradas é importante? b) se a ordem das paradas não é importante? 
3. Suponha que são disponíveis 10 ingredientes para preparar pizza. 
a) Quantos tipos diferentes de pizza podem ser preparados com: i) exatamente um 
ingrediente? ii) exatamente dois ingredientes? iii) no máximo três ingredientes? 
b) Quantas pizzas diferentes podem ser preparadas com duas metades diferentes, cada 
uma com exatamente um ingrediente? 
4. Um mecânico sabe que duas das seis velas de um carro estão com mau funcionamento. Se 
ele retira aleatoriamente duas delas para substituição, qual é a probabilidade de que ele 
efetue a substituição correta das duas velas defeituosas? 
Introdução à Probabilidade 74 
5. Um pesquisador em tecnologia de alimentos tem disponíveis 10 voluntários para avaliação 
organolética em um experimento e deseja extrair uma amostra aleatória de 5 desses 
voluntários. Para tal, ele decide escrever todas as combinações de 5 nomes em cartões e, 
então, extrair um dos cartões ao acaso. a) Quantos cartões ele deve utilizar? b) Se 6 
desses 10 voluntários são experientes, qual é a probabilidade de que: i) todos os 
escolhidos sejam experientes? ii) sejam escolhidos 3 experientes e 2 inexperientes? 
6. O Departamento de Matemática, Estatística e Computação da UFPEL tem 27 docentes, 
sendo 12 de Matemática, 6 de Estatística e 9 de Informática. Uma comissão representativa 
do Departamento deve ser constituída de 9 docentes: 4 de Matemática, 2 de Estatística e 3 
de Informática. a) Quantas distintas formações podem ser consideradas para compor a 
comissão com essa constituição? b) Se a comissão for escolhida aleatoriamente, qual é a 
probabilidade de que ela resulte com essa constituição? 
7. Cada uma de cinco pessoas recebe para degustação uma colher de sorvete de baunilha de 
cada uma de duas diferentes origens A e B. Se todas as cinco pessoas respondem 
aleatoriamente, qual é a probabilidade de que: a) todas elas identifiquem corretamente as 
origens dos sorvetes? b) pelo menos quatro delas identifiquem as origens corretamente? 
8. Um teste compreende 10 questões cada uma das quais deve ser marcada como verdadeira 
ou falsa. 
a) De quantos modos diferentes o teste pode ser respondido? 
b) Se para cada questão apenas uma das duas respostas alternativas é correta, de quantos 
modos diferentes as questões podem ser respondidas de modo que: i) a metade das 
questões seja correta; ii) 7 sejam corretas e 3 incorretas? iii) pelo menos 7 sejam 
corretas? 
c) Qual é a probabilidade de que um estudante que escolhe a resposta de cada questão 
aleatoriamente acerte pelo menos 70% das respostas? 
9. Uma equipe de futebol joga dez partidas em uma competição. 
a) De quantos modos essa equipe pode terminar a competição com cinco vitórias, três 
derrotas e dois empates? 
b) Suponha que as probabilidades de vitória, empate e derrota em cada uma das 10 
partidas sejam iguais. i) Qual é a probabilidade de que essa equipe termine a 
competição com 5 vitórias, 3 derrotas e 2 empates? ii) Qual é a probabilidade de que 
ela termine a competição com pelo menos 5 vitórias? 
10. Uma mão de bridge consiste de um conjunto de 13 cartas selecionadas de um baralho de 
52 cartas (exercício 11, Exercícios 2.2). 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 75 
a) Quantas diferentes mãos de bridge podem ser extraídas de um baralho?b) Quantas dessas mãos podem ser constituídas de: i) apenas de cartas de ouros? ii) 
apenas cartas de ouros e copas? 
c) Supondo que as cartas são distribuídas aleatoriamente, qual é a probabilidade de que 
um jogador: i) receba uma mão constituída apenas de cartas de ouros e copas? ii) 
receba uma mão constituída de cartas de apenas dois naipes? 
2.6 Propriedades da Probabilidade 
 O conceito clássico de probabilidade implica quatro propriedades ou condições 
essenciais do cálculo de probabilidades para experimentos aleatórios com espaço 
básico equiprovável: 
 1) A probabilidade de um evento elementar é igual a 1/n(S): P({s}) = 1/n(S), 
para todo s∈S. 
 2) A probabilidade de um evento é um número racional não negativo, ou seja, 
P(A)≥0 para qualquer evento A. 
 3) A probabilidade do espaço básico é igual a um: P(S) = 1. 
 4) A probabilidade de um evento é a soma das probabilidades dos resultados 
elementares que implicam na sua realização: 
s A
P(A) = P(s)
∈
∑ . 
 Essas propriedades seguem imediatamente da expressão de definição da 
probabilidade estabelecida pelo conceito clássico: 
 1) Por definição, 
n({s}) 1P({s}) = = 
n(S) n(S)
, para todo s∈S. 
dado que n({s}) = 1. 
 2) Se S é um espaço básico equiprovável, P(A) = n(A)/n(S). Mas n(A) e n(S) são 
números inteiros não negativos e, ademais, n(S)>0; logo, o quociente n(A)/n(S), ou 
seja, P(A), é um número racional não negativo. 
 3) Por definição, P(S) = n(S)/n(S) = 1. 
 4) Como n(A) é o número de resultados elementares do evento A: 
Introdução à Probabilidade 76 
n(A) 1 1 1P(A) = ... (n(A) termos)
n(S) n(S) n(S) n(S)
= + + + 
 
s A s A
1= = P(s)
n(S)∈ ∈
∑ ∑ . 
 Observe-se que o espaço básico é o evento que compreende todos os resultados 
possíveis. Portanto, o espaço básico ocorre em todas as realizações do experimento. 
Por essa razão, ele é denominado "evento certo". 
 A partir dessas propriedades ou condições básicas podem ser derivadas outras 
propriedades cujo emprego torna mais simples o cálculo de probabilidades para espaço 
básico equiprovável. O emprego dessas propriedades é conveniente quando se pode 
estabelecer alguma relação do evento A de interesse com eventos cujas probabilidades 
são mais facilmente determinadas. As principais dessas propriedades são listadas a 
seguir. Um conjunto mais completo de propriedades da probabilidade é formulado no 
contexto mais geral de espaço básico discreto, na Seção 3.4. 
 5) Se A e B são eventos que não têm resultado elementar em comum, então: 
 a) a probabilidade da ocorrência de pelo menos um desses eventos, ou seja, do 
evento "A ou B", é a soma das probabilidades desses eventos: 
P(A ou B) = P(A) + P(B); 
 b) a probabilidade da ocorrência simultânea desses eventos, ou seja, do evento 
"A e B", é nula: 
P(A e B) = 0. 
 Observe-se que, se os eventos A e B não têm resultado elementar em comum, 
então eles não podem ocorrer simultaneamente. Por essa razão, diz-se que nessas 
circunstâncias o evento "A e B" é um "evento impossível". 
 6) Se A e B são eventos que têm um subconjunto de resultados elementares em 
comum, então: 
 a) a probabilidade da ocorrência de pelo menos um desses eventos é a soma das 
probabilidades desses eventos menos a probabilidade de sua ocorrência simultânea: 
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B); 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 77 
 b) a probabilidade da ocorrência simultânea dos eventos A e B é a soma das 
probabilidades dos resultados elementares comuns a A e B, ou seja, é a probabilidade 
do evento constituído pelos resultados elementares comuns a A e B. 
 7) Se A e B são dois eventos tais que todo resultado possível de S que não 
implica na ocorrência de A implica na ocorrência de B e A e B não podem ocorrer 
simultaneamente, então: 
P(B) = 1 – P(A). 
 Observe-se que nessa situação "A ou B" = S e "A e B" é um evento impossível. 
Dois eventos com essa propriedade são denominados "eventos contrários". 
 Essas propriedades podem ser derivadas a partir das quatro primeiras 
propriedades. Para ilustração, considere-se a propriedade 5a. Pelas propriedades 3 e 4, 
s Aou B
1P(A ou B) = 
n(S)∈
∑ 
 
s A s B
1 1= 
n(S) n(S)∈ ∈
+∑ ∑ , 
já que, como A e B não têm resultado elementar em comum, qualquer resultado 
elementar do evento "A ou B" é um resultado elementar do evento A ou do evento B, 
mas não de ambos; logo, 
P(A ou B) = P(A) P(B)+ . 
 O exemplo que segue ilustra o uso dessas regras. Ilustração mais ampla é provida 
por exemplos da próxima Seção. 
Exemplo 2.29 
 Reconsidere-se a determinação de probabilidades de eventos do experimento aleatório 
do Exemplo 2.7: "extração aleatória de dois sacos de sementes de uma pilha de 5 sacos dos 
quais 2 são de sementes da variedade A e 3 da variedade B, com a reposição do primeiro saco 
extraído antes da extração do segundo saco". 
 O evento E3: um saco de cada variedade pode ser expresso como: 
E3 = "AB ou BA", 
onde AB e BA são os eventos "saco da variedade A na primeira extração e saco da variedade B 
na segunda extração" e "saco da variedade B na primeira extração e saco da variedade A na 
Introdução à Probabilidade 78 
segunda extração", respectivamente. Como AB e BA são eventos que não têm resultado 
elementar em comum, segundo a propriedade 5, tem-se: 
P(E3) = P(AB) + P(BA) 
 
2 3 3 2 6 6 12
5 5 5 5 25 25 25
× ×
= + = + =
× ×
. 
 Observe-se que a probabilidade desse evento E3 também pode ser obtida a partir das 
probabilidades dos eventos E1: dois sacos da variedade A, e E2: dois sacos da variedade B. De 
fato, como os eventos "E1 ou E2" e E3 são eventos contrários, e os eventos E1 e E2 não têm 
resultado elementar em comum, pelas propriedades 7 e 5, tem-se: 
P(E3) = 1 - P(E1 ou E2); 
 = 1 – [P(E1) + P(E2)] 
 = 
4 9 12
1
25 25 25
− + =
    . 
2.7 Probabilidade a Priori 
 A propriedade 1 da probabilidade determinada pelo conceito clássico (Seção 2.6) 
é conseqüência imediata da condição de igual verossimilhança dos resultados 
elementares do espaço básico. Foi observado anteriormente que, mesmo quando a 
igual verossimilhança dos resultados elementares é implicada por propriedades de 
simetria do experimento aleatório, essa igual verossimilhança aplica-se aos resultados 
elementares do espaço básico especificado de modo detalhado, não a "resultados 
elementares" de espaços básicos simplificados (Exemplo 2.9). Observe-se, entretanto, 
que resultados elementares de um espaço básico simplificado S2 são agregados de 
resultados elementares do espaço básico equiprovável S1. Portanto, probabilidades de 
resultados elementares do espaço básico S2 podem ser determinadas a partir das 
probabilidades conhecidas dos resultados elementares do espaço básico equiprovável 
S1 pela aplicação das propriedades 1 e 4. 
 Pode-se verificar, com base nas relações entre as estruturas dos espaços básicos 
S2 e S1 e entre as probabilidades dos resultados elementares de S2 e S1, que a atribuição 
de probabilidades a eventos do espaço básico não equiprovável S2 satisfaz às seguintes 
propriedades básicas: 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 79 
 1) A probabilidade de um evento é um número real não negativo, ou seja, 
P(A)≥0 para qualquer evento A. 
 2) A probabilidade do espaço básico é igual a um: P(S) = 1. 
 3) A probabilidade de um evento é a soma das probabilidades dos resultados 
elementares que implicam na sua realização: 
s A
P(A) = P(s)
∈
∑ . 
 A partir dessas propriedades ou princípios básicos pode ser derivado um 
conjunto de propriedades, análogas àquelas implicadas pelo conceito clássico, que 
estabelecem os procedimentos para o cálculo de probabilidades para espaçobásico 
finito geral cujas probabilidades dos resultados elementares são conhecidas. 
Probabilidades determinadas por esses procedimentos são usualmente denominadas 
probabilidades a priori. 
Exercícios 2.5 
(Responda os exercícios que seguem com o emprego de propriedades da probabilidade.) 
1. Obtenha a probabilidade dos seguintes eventos do experimento de lançamento de um dado 
balanceado e observação do número de pontos na face que se volta para cima: a) A: 
número 2; b) B: número par; c) C: número igual a 3 ou 5; d) "B ou C"; e) "A e B"; f) "A 
ou B"; g) D: número ímpar. 
2. Um estudante tem que fazer um teste de dez questões cada uma com duas respostas 
alternativas uma das quais é correta, e cuja aprovação requer o acerto de pelo menos 8 
questões. Se ele responde cada uma das questões aleatoriamente, qual é a probabilidade de 
que ele seja aprovado? 
3. Quatro lâmpadas são extraídas aleatoriamente de uma caixa que contém 30 lâmpadas boas 
e 10 queimadas. Qual é a probabilidade de que no máximo uma dessas quatro lâmpadas 
seja queimada? 
4. Qual é a probabilidade de que a pessoa de que trata o exercício 2 dos Exercícios 2.2 não 
escolha uma refeição constituída de uma salada sem maionese, um prato quente de galinha, 
uma sobremesa sem ovo e vinho branco? 
5. Considere o exercício 7 dos Exercícios 2.4. Qual é a probabilidade de que pelo menos 
uma das cinco pessoas não identifique corretamente as origens dos sorvetes? 
6. Três bolas são extraídas aleatoriamente, com reposição, de uma caixa que contém 6 bolas 
brancas e 3 bolas pretas. Determine a probabilidade de que: a) a primeira e a última bola 
Introdução à Probabilidade 80 
sejam brancas; b) pelo menos uma dessas duas bolas seja branca c); a primeira e a última 
bola sejam de cores diferentes. 
7. Responda as mesmas questões formuladas no exercício 6, se as três bolas forem extraídas 
sem reposição. 
8. Segundo as regras de controle de qualidade de uma indústria um lote de 100 artigos que 
ela produz é aceito se em uma amostra aleatória de 5 desses artigos pelo menos 4 são 
perfeitos. Qual é a probabilidade de que um lote que tem 10 artigos defeituosos seja 
aceito? 
9. Três cartas vermelhas e três brancas são misturadas e apresentadas a uma pessoa para 
identificação. a) Qual é a probabilidade de que essa pessoa identifique corretamente todas 
as 6 cartas, tendo o conhecimento de que a metade delas é de cada uma das duas cores? b) 
Qual é a probabilidade de que ela identifique corretamente: i) exatamente 4 cartas? ii) 
exatamente 5 cartas? iii) pelo menos 4 cartas? 
10. Prove as propriedades da probabilidade 5b, 6 e 7 listadas na Seção 2.6. 
2.8 Conceito Empírico de Probabilidade 
 A determinação de probabilidades de eventos de espaço básico equiprovável ou 
de espaço básico finito mais geral, considerada nas Seções anteriores, pressupõe o 
conhecimento das probabilidades dos resultados elementares do experimento. Por essa 
razão, essas probabilidades são denominadas probabilidades a priori. 
 Em muitos experimentos, é impossível especificar o espaço básico de modo que 
os resultados elementares possam ser considerados igualmente verossímeis, ou derivar 
as probabilidades de resultados elementares de espaço básico mais simplificado a 
partir do conhecimento das probabilidades de um espaço básico equiprovável mais 
detalhado. Assim, por exemplo, quando é lançado um dado não balanceado, não se 
pode considerar as faces como igualmente verossímeis. Nessas circunstâncias, as 
probabilidades dos resultados elementares não são conhecidas a priori e não se pode 
determinar probabilidades de eventos baseadas nessa pressuposição. Semelhantemente, 
essa abordagem não se aplica para a resposta a questões como: Qual é a probabilidade 
de que uma criança nascida no Estado do Rio Grande do Sul seja uma menina? Qual é 
a probabilidade de que uma pessoa nascida nesse Estado complete 60 anos? Qual é a 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 81 
probabilidade de que uma lata de compota produzida por uma indústria com 
capacidade nominal de 1 kg tenha um peso líquido entre 990 e 1010 g? Qual é a 
probabilidade de que ocorra chuva na primeira quinzena do próximo mês de janeiro? 
Questões como essas são importantes e é desejável que possam ser abrangidas pela 
teoria da probabilidade. Entretanto, nessas situações, probabilidades de eventos não 
podem ser obtidas por derivação lógica, usando propriedade de simetria do 
experimento e a conseqüente pressuposição de eqüiprobabilidade do espaço básico, ou 
a partir dessa pressuposição. Para a solução de problemas semelhantes a esses é 
necessário alterar ou estender o conceito de probabilidade. Esse conceito mais 
abrangente é baseado na freqüência relativa da ocorrência do evento quando o 
experimento é repetido sob as mesmas condições essenciais. Por essa razão, as 
probabilidades que permite determinar são denominadas probabilidades a posteriori. 
 Quando um experimento é repetido n vezes, define-se a freqüência relativa de 
um evento A como a proporção de vezes em que o evento A ocorreu: 
 A freqüência relativa de um evento A em n realizações de um experimento 
aleatório é a proporção de ocorrências de A: 
 n
n(A)f (A) =
n
, 
onde n(A) é o número de vezes em que o evento A ocorre. 
 
Exemplo 2.30 
 Em um experimento de 100 lançamentos sucessivos de uma moeda aparentemente 
simétrica e balanceada foi observada a face voltada para cima em cada um dos lançamentos. A 
Tabela 2.1 apresenta as freqüências relativas da ocorrência de "cara" determinadas a cada um 
dos 100 lançamentos. Pode-se observar que essa freqüência relativa nos 100 lançamentos é 
52/100 = 0,52. Ademais, a variação das freqüências relativas de "cara" mostrada na Figura 2.7 
indica que ela tende a estabilizar-se em torno de um número próximo de 1/2. Esse resultado é 
esperado, já que, sendo a moeda simétrica e balanceada, pode ser antecipado que em um 
conjunto numeroso de lançamentos ocorra cara em cerca da metade das vezes. Isso sugere que 
se pode utilizar a freqüência relativa 0,52 como uma aproximação para a probabilidade da 
ocorrência de cara em um lançamento particular da moeda em consideração. Alternativamente, 
como a moeda parece ser simétrica e balanceada, pode-se usar o conceito clássico de 
Introdução à Probabilidade 82 
probabilidade e estabelecer que a probabilidade de cara é igual a 1/2. Observe-se, entretanto, 
que essa pressuposição é apenas uma aproximação para a verdadeira probabilidade, já que para 
uma moeda particular não se pode ter certeza absoluta de que os dois resultados possíveis – 
cara e coroa, sejam exatamente igualmente verossímeis. 
Tabela 2.1. Resultados parciais de 100 lançamentos sucessivos de uma moeda e 
correspondentes freqüências relativas do evento "cara". 
 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ... 100 
 C x x x x x x x x 
 c x x x x x x x x x 
 fn(C) 0 
2
1
 
3
2
 
4
3
 
5
3
 
6
3
 
7
3
 
8
4
 
9
5
 
10
6
 
11
6
 
12
6
 
13
6
 
14
7
 
15
7
 
16
7
 ... 
100
52
 
 
 
Figura 2.7. Representação gráfica da variação da freqüência relativa de "cara" 
em 100 lançamentos sucessivos de uma moeda. 
 
 Suponha-se, agora, que a moeda não é balanceada, de modo que se pode estar seguro de 
que os dois resultados – cara e coroa, não são igualmente verossímeis. Nesse caso, ainda se 
pode postular que a probabilidade da ocorrência de "cara" é um número P(cara), cujo valor, 
entretanto, não pode ser fundamentado no conceito clássico de probabilidade. Nessa 
circunstância, se tem que recorrer à abordagem de freqüência relativa. 
 Essa situação ocorre em muitas pesquisascientíficas. Considere-se o caso 
simples da previsão do sexo do terneiro da próxima parição de uma vaca do rebanho 
de uma região. Em um conjunto de nascimentos, observa-se a existência de uma 
regularidade semelhante à regularidade da freqüência relativa da ocorrência de "cara" 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 83 
no lançamento de uma moeda. Assim, se o exame de um conjunto numeroso de 
registros de nascimentos de terneiros nessas fazendas revela que cerca de 54% dos 
nascimentos são de fêmeas, pode-se utilizar 0,54 como uma aproximação para a 
probabilidade do nascimento de uma fêmea. 
 A freqüência relativa de um evento de um experimento aleatório flutua quando 
varia o número n de repetições do experimento. Ela também varia com diferentes 
seqüências de n repetições do experimento. Entretanto, a experiência comum com um 
grande número de experimentos aleatórios, em muitos campos, indica que, se o 
experimento é repetido sob condições razoavelmente uniformes, a freqüência relativa 
de um evento tende a estabilizar-se em torno de um número único, quando o número 
de repetições cresce indefinidamente. Isso significa que, embora a ocorrência de um 
evento de um experimento aleatório em uma realização individual do experimento não 
seja previsível, a freqüência relativa do evento é previsível. 
 Esse fato sugere que se postule que, para um evento A de um experimento 
aleatório, existe um número P(A) em torno do qual tende a estabilizar-se a freqüência 
relativa de A, e que se tome esse número como a probabilidade do evento A. Esse 
conceito empírico de probabilidade é formulado a seguir: 
 A probabilidade de um evento A é o número real P(A) em torno do qual tende 
a estabilizar-se a freqüência relativa fn(A) quando o número n de realizações do 
experimento cresce indefinidamente: 
 n
nf (A) P(A)↑→ . 
 
 Em geral, esse número P(A) é desconhecido e se pode obter apenas uma 
aproximação para ele através da freqüência relativa fn(A) de um número 
convenientemente grande de realizações do experimento. A derivação dessas 
aproximações ou "estimativas" para probabilidades é do âmbito da inferência 
estatística. Uma vez obtidas essas estimativas, elas são tratadas como se fossem as 
verdadeiras probabilidades. Entretanto, deve-se ter sempre em mente que se tratam 
apenas de aproximações para probabilidades desconhecidas. 
Introdução à Probabilidade 84 
Propriedades da probabilidade 
 A freqüência relativa tem propriedades análogas às propriedades da 
probabilidade para espaço básico equiprovável, fundamentadas no conceito clássico 
(Seção 2.6). Particularmente, ela satisfaz às seguintes propriedades básicas (exercício 
12, Exercícios 2.6): 
 a) A freqüência relativa de um evento é um número racional não negativo: f(A) ≥ 
0, para qualquer evento A; 
 b) a freqüência relativa do espaço básico é igual a 1: f(S) = 1; e 
 b) a freqüência relativa de um evento é a soma das freqüências relativas dos 
resultados elementares: f(A) = 
i
i
s A
f(s )
∈
∑ . 
 É natural admitir que essas propriedades se estendam para a probabilidade 
definida pelo conceito empírico. A relação harmoniosa entre as propriedades da 
probabilidade derivadas nos contextos do conceito clássico e do conceito empírico 
justifica o desenvolvimento de uma teoria da probabilidade fundamentada nas três 
propriedades básicas da probabilidade comuns para esses dois contextos. Admitindo 
essas três propriedades como princípios básicos, ou axiomas, pode-se derivar as 
propriedades ou regras do cálculo de probabilidades para espaço básico finito geral. 
Essa mesma abordagem pode ser imediatamente estendida para espaço básico infinito 
contável e, portanto, para espaço básico discreto. Por essa razão, não se formulará aqui 
o conceito axiomático e as correspondentes propriedades da probabilidade para espaço 
básico finito. Essa base conceitual e metodológica será estabelecida no contexto mais 
geral de espaço básico discreto, no próximo Capítulo. 
Exercícios 2.6 
1. Segure uma moeda em cima de uma superfície plana com o dedo indicador de uma mão e 
a golpeie com o indicador da outra mão de modo que ela gire rapidamente até deitar com 
uma das duas faces voltada para cima. Repita isso 50 vezes, desconsiderando qualquer 
repetição em que a moeda não gire por vários segundos ou em que ela bata em algum 
obstáculo, e registre o número de caras. 
a) Qual é a freqüência relativa do número de caras? 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 85 
b) Qual é a sua estimativa da probabilidade de obter uma cara nesse experimento 
aleatório? 
2. Considere o experimento aleatório de lançamento de uma moeda. A experiência mostra 
que a probabilidade (freqüência relativa de uma longa série de lançamentos) de cara é 
próxima de 1/2. Suponha que você lança a moeda repetidamente até obter uma cara. Repita 
esse experimento 50 vezes, registrando para cada repetição o resultado do primeiro 
lançamento e o número de lançamentos necessário para obter uma cara. 
a) Com base nos resultados registrados, estime a probabilidade de uma cara no primeiro 
lançamento. Que valor deve ser esperado para essa probabilidade? 
b) Use seus resultados empíricos para estimar a probabilidade de que a primeira cara 
apareça em um lançamento de número ímpar (ou seja, no lançamento 1, 3, 5,...). 
3. Lance um par de dados 100 vezes e registre a soma dos pontos nas faces voltadas para 
cima em cada lançamento. 
a) Qual é a freqüência relativa da ocorrência de soma igual a nove nesses 100 
lançamentos? 
b) Com base nesse experimento, estime a probabilidade de obter soma igual a 9 em um 
lançamento particular desse par de dados. 
4. A probabilidade é uma medida da verossimilhança da ocorrência de um evento. Assinale 
um dos números 0, 0,01, 0,3, 0,5, 0,6 ou 0,99 como a probabilidade de cada um dos 
eventos caracterizados a seguir: 
a) evento impossível; nunca pode ocorre; 
b) evento certo; ocorrerá em cada realização do experimento; 
c) evento muito inverossímil, mas que ocorre de vez em quando em uma longa série de 
repetições do experimento; 
d) evento cuja freqüência de ocorrência é pouco maior do que de não ocorrência; 
e) evento cuja freqüência de ocorrência é igual à de não ocorrência. 
5. São listados, a seguir, quatro modelos diferentes de atribuições de probabilidades aos 
resultados do experimento de lançamento de um dado particular. Pode-se saber se alguma 
dessas atribuições é correta apenas por um experimento de lançamento do dado um grande 
número de vezes. Entretanto, alguns dos modelos não são atribuições legítimas de 
probabilidade. Distinga entre esses modelos quais são legítimos e quais não são legítimos, 
justificando sua resposta. 
Introdução à Probabilidade 86 
 
6. Faça uma assinalação de probabilidades aos resultados possíveis de cada um dos seguintes 
experimentos aleatórios: 
a) Lançamento de uma moeda balanceada, com igual verossimilhança para cara e coroa. 
b) Um lançamento da moeda considerada no exercício 1 do modo indicado naquele 
exercício. 
c) Lançamento de duas moedas com os quatro resultados possíveis: (cara, cara), (cara, 
coroa), (coroa, cara) e (coroa, coroa). Muitos modelos legítimos podem ser construídos 
para esse experimento. Atribua probabilidades aproximadamente corretas com base em 
um experimento. 
7. Use o conceito empírico de probabilidade para explicar porque qualquer modelo legítimo 
de probabilidade deve satisfazer a seguinte propriedade: “A probabilidade de que um 
evento não ocorra é igual a um menos a probabilidade de que o evento ocorra”. 
8. Suponha que você está jogando com uma moeda perfeita, de modo que a probabilidade de 
obter cara em cada lançamento é 1/2. É permitidoque você baseie sua aposta em um 
experimento de lançamento da moeda 10 vezes ou 100 vezes. Para cada uma das situações 
caracterizadas a seguir, qual desses números de lançamentos da moeda você escolheria 
para basear sua aposta? Justifique as respostas. 
a) Você vence se a freqüência relativa de caras situa-se entre 0,4 e 0,6. 
b) Você vence se exatamente a metade dos lançamentos resulta em caras. 
9. Suponha que uma tabela de "números aleatórios" de um dígito foi construída através de 
um mecanismo de sorteio que extrai sucessivamente números do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 
6, 7, 8, 9}, com a reposição imediata de cada número extraído. Considere o experimento de 
extração aleatória de um número de um dígito dessa tabela. 
a) Especifique um espaço básico para esse experimento. 
b) Esse espaço básico é equiprovável? Justifique a resposta. 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 87 
c) Repita esse experimento 100 vezes e determine as freqüências relativas de cada um 
dos números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10. Os resultados obtidos suportam a 
postulação de eqüiprobabilidade do espaço básico? 
10. Suponha que no experimento de extração aleatória de um número de um dígito da tabela 
de números aleatórios considerada no exercício 9 os resultados de interesse são s1: número 
menor que 4, s2: número entre 4 e 6 inclusive, e s3: número maior que 6. Responda as 
mesmas questões formuladas naquele exercício. 
a) Especifique um espaço básico para esse experimento. 
b) Esse espaço básico é equiprovável? Justifique a resposta. 
c) Atribua probabilidades aos resultados elementares do espaço básico. 
d) Repita 100 vezes o experimento de extração de um número de um dígito dessa tabela e 
determine as freqüências relativas de cada um dos resultados elementares s1, s2 e s3 do 
espaço básico S. Os resultados obtidos suportam sua atribuição de probabilidades? 
11. Se você acompanhasse a variação da flutuação de uma bolsa de valores por um intervalo 
de tempo, você esperaria que a freqüência relativa de altas fosse próxima da freqüência 
relativa de baixas? Seria possível que, acontecendo isso, o mercado de ações subisse 
constantemente em um intervalo de um ano? 
12. Mostre que a freqüência relativa satisfaz às seguintes propriedades: 1) a freqüência 
relativa de qualquer evento é um número racional não negativo; 2) a freqüência relativa de 
um evento é a soma das freqüências relativas dos resultados elementares que implicam em 
sua ocorrência; e 3) a freqüência relativa do espaço básico é igual a 1. 
2.9 Complementos 
1) Teorema binomial 
a) Os números rnC são freqüentemente denominados coeficientes binomiais, 
porque são os coeficientes da expressão desenvolvida da n-ésima potência do binômio 
a+b, ou seja, de (a+b)n. 
 Se n é um número inteiro positivo, (a+b)n = (a+b)×(a+b)× ...×(a+b) (n fatores). 
Para as primeiras potências, tem-se: 
(a+b)2 = (a+b) (a+b) 
 = a.a + a.b + b.a + b.b 
 = a2 + 2ab + b2; 
Introdução à Probabilidade 88 
(a+b)3 = (a+b) (a+b) (a+b) 
 = a.a.a + a.a.b + a.b.a + a.b.b + b.a.a + b.a.b + b.b.a + b.b.b 
 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3; 
(a+b)4 = (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) 
 = a.a.a.a + a.a.a.b + a.a.b.a + a.a.b.b. + a.b.a.a + a.b.a.b 
 + a.b.b.a + a.b.b.b + b.a.a.a + b.a.a.b + b.a.b.a + b.a.b.b 
 + b.b.a.a + b.b.a.b + b.b.b.a + b.b.b.b 
 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4. 
 Os termos dessas expressões são produtos de potências de a e b multiplicados 
por coeficientes. Assim, na expansão de (a+b)4, os termos são da forma a4, a3b, a2b2, 
ab3 e b4 e seus coeficientes são, respectivamente, 1, 4, 6, 4 e 1. Pode-se observar que o 
coeficiente de a3b é 4 porque há 14C = 4 modos de selecionar 1 dos 4 fatores a+b que 
proveja o b (e os restantes que provejam o a); o coeficiente de a2b2 é 6 porque há 24C = 
6 modos de selecionar 2 dos 4 fatores a+b que provejam o b (e os outros dois o a). Por 
semelhante razão os coeficientes de a4, ab3 e b4 são 04C = 1, 
3
4C = 4 e 
4
4C = 1, 
respectivamente. 
 De modo mais geral, se n é inteiro positivo, os termos da expansão de (a+b)n são 
da forma an-r br, r = 0, 1, 2,..., n, e seus correspondentes coeficientes são rnC , r = 0, 1, 2, 
..., n. 
 Teorema binomial: Se n é um número inteiro positivo, 
 (a+b)n = 0nC a
nb0 + 1nC a
n-1b1 + 2nC a
n-2b2 + ... 
 + 2nnC
− a2bn-2 + 1nnC
− a1bn-1 + nnC a
0bn 
 = ∑
=
−
n
0r
rrnr
n baC . 
 
 Essa expansão da n-ésima potência do binômio a+b é atribuível à Sir Isaac 
Newton. Por essa razão, ela é usualmente denominada expansão binomial de Newton. 
 Segundo essa expressão e a propriedade 5 das combinações estabelecida na 
Seção 2.5.4, observa-se que os coeficientes dos termos de ordens r e n-r da expansão 
de (a+b)n, respectivamente an-rbr e arbn-r, são iguais. 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 89 
b) Demonstre o teorema binomial por indução matemática, a partir da verificação 
de sua validade para n = 1, 2, 3 e 4. 
c) A seguinte expressão é um caso particular do teorema binomial: 
∑
=
=+
n
0r
rr
n
n bC)b1( , para qualquer inteiro positivo n. 
2) Propriedades dos coeficientes binomiais 
 Cálculos referentes a coeficientes binomiais podem ser facilitados pelo uso das 
propriedades que seguem: 
a) Se n e r são inteiros positivos e r < n, então r r r 1n n 1 n 1C C C
−
− −
= + . 
 Esta é uma fórmula de recorrência muito útil: ela permite a determinação do 
número de combinações de n elementos a partir do conhecimento do número de 
combinações de n-1 elementos. 
 Esta propriedade pode ser provada pela substituição de a=1 em (a + b)n e 
exprimindo-o na forma: 
(1+b)n = (1+b) (1+b)n-1 
 = (1+b)n-1 + b(1+b)n-1. 
e igualando os coeficientes de br das expansões dos dois membros dessa igualdade. 
Como o coeficiente de br no primeiro membro é rnC e o coeficiente de b
r no segundo 
membro é a soma do coeficiente de br em (1+b)n-1, ou seja, r 1nC − , e do coeficiente de 
br-1 em (1+b)n-1, isto é, 1r 1nC
−
−
, obtém-se: 1r 1n
r
1n
r
n CCC
−
−−
+= . 
b) Se n e r são inteiros positivos e se define 0Crn = quando r > n, então 
k
r k r k
m n m n
r 0
C C C− +
=
=∑ . 
 Empregando a mesma técnica utilizada na demonstração da propriedade anterior, 
igualem-se os coeficientes de bk das expressões nos dois membros da equação: 
(1+b)m+n = (1+b)m (1+b)n. 
O coeficiente de bk na expansão do primeiro membro é k nmC + e o coeficiente de b
k na 
expansão do segundo membro, ou seja, em 
(1+b)m (1+b)n = [ mmm
1
m
0
m bC...bCC +++ ]×[
nn
n
1
n
0
n bC...bCC +++ ], 
Introdução à Probabilidade 90 
é a soma dos produtos que se obtém multiplicando o termo independente de b do 
primeiro fator pelo coeficiente de bk do segundo fator, o coeficiente de b do primeiro 
fator pelo coeficiente de bk-1 do segundo fator e assim sucessivamente, até o 
coeficiente de bk do primeiro fator pelo termo independente de b do segundo fator: 
0
n
k
m
1k
n
2
m
1k
n
1
m
k
n
0
m CC...CCCCCC ++++
−+ = ∑
=
−
k
0r
rk
n
r
mCC . 
Portanto, 
rk
n
k
0r
r
m
k
nm CCC
−
=
+ ∑= . 
c) Número de subconjuntos de um conjunto de n elementos: 
 Um conjunto de n elementos compreende 2n subconjuntos. 
 
 De fato, qualquer conjunto U de n elementos compreende como subconjuntos o 
conjunto vazio ∅, a coleção de todos os conjuntos de um elemento de U (conjuntos 
elementares), a coleção de todos os conjuntos de dois elementos de U, a coleção de 
todos os conjuntos de três elementos de U,..., a coleção de todos os conjuntos de n-1 
elementos de U e, finalmente, o conjunto de todos os elementos de U (o próprio 
conjunto U). Os númerosde conjuntos nessas coleções sucessivas de subconjuntos de 
U são, respectivamente, 1, Cn
1 , Cn
2 , Cn
3 , ..., Cn
n−1 e 1, cuja soma é: 
Cn
0 + Cn
1 + Cn
2 + Cn
3 +...+ Cn
n−1+ Cn
n = (1+1)n = 2n, 
já que essa soma é um caso particular da expansão de (a + b)n, com a = b = 1. 
d) Prove a propriedade b dos coeficientes binomiais através da expressão de todos 
os coeficientes binomiais em termos de fatoriais e, então, de simplificação algébrica. 
e) Através da expressão dos coeficientes binomiais em termos de fatoriais e 
simplificação algébrica, mostre que: 
 i) r r 1n n 1rC nC
−
−
= ; ii) 1rn
r
n Cr
r1nC −+−= ; iii) 1rn
r
1n C)1r(Cn
+
−
+= ; 
 iv) r r 1 rn n nn C (r 1)C r C
+
= + + ; v) r rn n 1
nC C
n r −
=
−
. 
f) Utilizando valores particulares para a e b na expressão do teorema binomial, 
mostre que: 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 91 
 i) 
n
r r n
n
r 0
(a 1) C a
=
− =∑ ; ii) 0C)1( rn
n
0r
r
=−∑
=
. 
g) Pela aplicação repetida da propriedade a) dos coeficientes binomiais, mostre 
que: 
∑
+
=
+−
−
=
1r
1i
1ir
in
r
n CC . 
h) Com o uso da propriedade b) dos coeficientes binomiais, mostre que: 
 i) 
n
r 2 n
n 2n
r 0
(C ) C
=
=∑ ; ii) m n m r m nn r n m
r 0
C C 2 C−
−
=
=∑ . 
i) Propriedades dos coeficientes binomiais são importantes na teoria da 
probabilidade. Assim, na Seção 7.1.3, 9), a) é derivada uma relação de coeficientes 
binomiais a partir da qual pode ser obtida a seguinte propriedade: 
r+1
r i-1 r-i+1
n i+k-2 n-i-k+1
i=1
C = C C∑ . 
A propriedade g) é um caso especial dessa relação. 
3) Triângulo de Pascal 
a) Disponham-se os coeficientes das expansões das primeiras potências do 
binômio a + b (apresentadas em 1) em forma de um triângulo como segue: 
Expansão de Coeficientes 
 (a+b)0 1 
 (a+b)1 1 1 
 (a+b)2 1 2 1 
 (a+b)3 1 3 3 1 
 (a+b)4 1 4 6 4 1 
 Cada linha do triângulo dos coeficientes das expansões binomiais inicia e 
termina com o número 1 e cada outro coeficiente maior que 1 é a soma dos dois 
coeficientes que lhe são adjacentes na linha acima. 
 Essa disposição dos coeficientes de uma expansão binomial, denominada 
triângulo de Pascal, é útil para a construção dos coeficientes quando não é disponível 
uma tabela de coeficientes. 
Introdução à Probabilidade 92 
 Uma forma alternativa do triângulo de Pascal é obtida pela expressão dos 
coeficientes na forma de combinações: 
Expansão de Coeficientes 
 (a+b)0 00C 
 (a+b)1 01C 
1
1C
 
 (a+b)2 02C 
1
2C 
2
2C 
 (a+b)3 03C 
1
3C 
2
3C 
3
3C 
 (a+b)4 04C 
1
4C 
2
4C 
3
4C 
4
4C 
Pode-se observar, agora, que o subscrito do símbolo que denota combinação é o 
expoente do binômio e o superescrito é a ordem do termo da expansão. 
b) Construa as próximas duas linhas do triângulo e escreva as expansões de (a+b)5 
e (a+b)6. 
c) Mostre, com esse método de construção, que o r-ésimo coeficiente da n-ésima 
linha é o coeficiente binomial 1rnC
− . (Utilize indução matemática e a propriedade a dos 
coeficientes binomiais.) 
4) Expansões binomiais com expoentes negativos ou fracionários 
a) O símbolo de combinação rnC pode ser generalizado de um inteiro positivo n 
para qualquer número real t, pela seguinte definição: 
r
t
t(t 1)(t 2)...(t r 1)C
r!
− − − += , r = 1, 2,... e rtC = 1 para r=0. 
b) r nC− = (-1)
n r 1rnC −+ para n > 0. 
 De fato, 
r
n
( n)( n 1)( n 2)...( n r 1)C
r!−
− − − − − − − += 
 = (-1)r n(n 1)(n 2)...(n r 1)
r!
+ + + − 
 = (-1)r r 1rnC −+ . 
c) Mostre que r r1C ( 1)− = − . 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 93 
d) Se n > 0, a expansão binomial de (a+b)-n, para a+b≠0, derivada com as mesmas 
regras conhecidas da expansão binomial de (a+b)n, provê a série infinita: 
(a+b)-n = 0nC a
-nb0+ 1nC a
-n-1b1+ 2nC a
-n-2b2+...+ rnC a
-n-rbr+... 
 Esta expressão tem aparência semelhante à da expansão binomial de (a+b)n, n > 
0. Entretanto, há uma considerável distinção entre as duas expressões. A expansão de 
(a+b)n compreende exatamente n+1 termos, um termo para cada potência de a, 
enquanto a expansão de (a+b)-n tem os termos iniciais semelhantes aos dessa expansão, 
mas não tem um último termo; ela compreende infinitos termos, um para cada 
expoente negativo de a menor ou igual a –n. 
e) Admitindo que os termos da expansão infinita de (a+b)-n, a+b≠0, podem ser 
divididos por a-n (a≠0), à semelhança do que é permitido com uma soma de número 
finito de termos, obtém-se: 
(a+b)-n = a-n[ 0nC b
0+ 1nC a
-1b1+ 2nC a
-2b2+...+ rnC a
-rbr+...]. 
Como 
(a+b)-n = a-n 
n
a
b1
−



+ , a≠0, 
substituindo p = b/a, obtém-se: 
(1+p)-n = ...pC...pCpCpC1 rrx
33
n
22
n
1
n ++++++ 
 = r rn
r 0
C p
∞
=
∑ , p≠-1. 
f) No caso especial n=1, essa última expressão provê o desenvolvimento em série 
de (1+p)-1: 
(1+p)-1 = 1 - p +p2 –p3 + (-1)rpr + ... r
r=0
(-p)
∞
= ∑ . 
 Observação: A expressão da expansão binomial de (a+b)-n foi gerada por uma 
expansão formal segundo as regras previamente provadas para a expansão binomial 
com expoente positivo. Não foi estabelecida garantia ou condições de que a expressão 
obtida em d) e, conseqüentemente, as que lhe seguem, tenham comportamento 
semelhante ao que é conhecido para expansões binomiais com expoente inteiro 
Introdução à Probabilidade 94 
positivo. De fato, pode-se observar que substituindo p=1 na expressão da expansão de 
(1+p)-1, resulta: 
=
2
1 1 – 1 + 1 – 1 + ..., 
expressão que não tem sentido. Isso evidencia que aquela expressão não é válida para 
todo p≠-1. De fato, pode-se provar com tratamento matemático mais avançado que 
aquele desenvolvimento em série de (1+p)-1 é válido apenas para –1<p<1 (Seção 7;13, 
3), d)). 
5) Regra das permutações com repetições 
 A regra das permutações com repetições pode ser derivada como segue: O 
número de permutações de n elementos em k subconjuntos com n1 elementos no 
primeiro subconjunto, n2 no segundo subconjunto,..., nk elementos no k-ésimo 
subconjunto, é: 
1 2 kn(n ,n ,...,n )
1 2 k
n!P
n !n !...n !
= . 
 Observe-se que há 1nnC modos de formar o primeiro subconjunto. Para cada um 
dessas permutações, há 2
1
n
nnC − modos de formar o segundo conjunto; para cada um dos 
primeiro e segundo subconjuntos, há 3
21
n
nnnC −− modos de formar o terceiro 
subconjunto, e assim por diante. Portanto, segundo a regra da multiplicação, tem-se: 
)n,...,n,n(n k21P = 
1n
nC 2 1
n
nnC − 3 21
n
nnnC −− ... k 1k21
n
n...nnnC
−
−−−−
 
 = 
1 1
n!
n !(n n )!−
. 1
2 1 2
(n n )!
n !(n n n )!
−
− −
... 1 2 k 1
k
(n n n ... n )!
n !0!
−− − − − 
 = 
!n!...n!n
!n
k21
. 
 Observe-se que essa expressão é uma generalização da expressão que provê o 
número de combinações de r elementos tomados de um conjunto de n elementos 
distintos, ou seja: 
 n
r n!C
r!(n r)!
=
−
. 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 95 
Portanto, 1 2 kn ,n ,...,nnC é uma notação alternativa sugestiva para )n,...,n,n(n k21P . 
6) Teorema multinomial 
a) O teorema binomial pode ser generalizado para a expansão da n-ésima potência 
de um multinômio, como segue: Se n é um número inteiro positivo, 
n
k
1j
ja 


∑
=
 = ∑ ∏
∏= =
=
k
1j
k
1i
n
ik
1i
i
ia
!n!n . 
onde a soma no segundo membro é sobre todos inteiros não negativos n1, n2,..., nk tais 
que n1 + n2 + ... + nk = n. Por essa razão, o número de permutações com repetições: 
)n,...,n,n(n k21P = !n!...n!n
!n
k21
. 
também é referido como coeficiente multinomial. 
b) A expressão particular do teorema multinomial para n=2 provê uma fórmula 
importante em algumas aplicações: 






=


 ∑∑∑
===
k
1j
j
k
1i
i
2
k
1j
j aaa = ∑∑
= =
k
1i
k
1j
jiaa . 
2.10 Exercícios de Revisão 
1. Especifique um espaço básico e o correspondente espaço de eventos para cada um dos 
seguintes experimentos aleatórios: 
a) plantio de uma semente e observação do resultado da germinação; 
b) plantio de duas sementes e observação do resultado da germinação. 
2. Especifique um espaço básico para cada um dos seguintes experimentos aleatórios: 
a) escolha aleatória de duas sementes de um pacote contendo 5 sementes de idêntica 
aparência, sendo que 2 são de plantas de flores brancas e 3 de plantas de flores azuis, e 
observação das cores das flores das plantas resultantes; 
b) escolha aleatória de uma entre seis garrafas de vinho tinto das cultivares C1, C2, C3, C4, 
C5 e C6 e registro da identificação do rótulo da garrafa escolhida; 
c) escolha aleatória de uma entre seis garrafas de vinho tinto das cultivares C1, C2, C3, C4, 
C5 e C6 de cada uma de duas caixas, uma com rótulos brancos e a outra com rótulos 
verdes, e registro da identificação dos rótulos das duas garrafas escolhidas; 
Introdução à Probabilidade 96 
d) aplicação de um hormônio de crescimento a 100 animais de um rebanho e observação 
do número de animais que revelam resposta positiva; 
e) pesagem dos animais de um rebanho de 50 bovinos da raça Hereford e determinação 
do número de animais com peso superior a 300 kg; 
f) levantamento referente ao consumo de vinho no Rio Grande do Sul em que 1.000 
pessoas são solicitadas a responder "sim" ou "não" à questão: "você bebeu vinho na 
semana passada?" e consideração do número de respostas positivas; 
g) degustação de compota de pêssego de cada uma das cultivares C1, C2, C3 e C4 por um 
provador, com omissão da identificação das cultivares para o provador, e classificação 
quanto à preferência com respeito a uma propriedade organolética; 
h) observação do número de mortes em acidentes de trânsito na cidade de Pelotas no 
próximo ano; 
i) registro da temperatura no próximo dia 29 de março às 9 horas no Posto Meteorológico 
da UFPEL; 
j) determinação do número de ovos nas fezes e do número de helmintos nas vísceras de 
um bovino da raça Ibagé, após um período de dois meses em uma pastagem infectada. 
3. Especifique os seguintes eventos para o experimento aleatório do exercício 1 b): A: duas 
sementes germinam; B: pelo menos uma semente germina; e C: nenhuma semente 
germina. 
4. Especifique os seguintes eventos para os experimentos aleatórios do exercício 2: 
a) A: primeira semente de planta de flor branca; B: duas sementes de plantas de flores da 
mesma cor: C: duas sementes de plantas com flores de cores diferentes; 
b) A: garrafa de vinho de cultivar identificada com número par; B: garrafa de vinho de 
cultivar identificada com número menor que 4, C: complemento de B; 
c) A: ambas garrafas com vinho da cultivar C3, B: garrafas cuja soma das identificações 
das cultivares é 5, C: garrafa cuja soma das identificações é no mínimo 10; 
d) mais de 30 animais reagem à aplicação do hormônio; 
e) pelo menos 45 animais com peso superior a 300 kg; 
f) pelo menos 850 pessoas respondem "sim"; 
g) cultivares C3 e C4 nos dois primeiros lugares; 
h) menos de 120 mortes; 
i) temperatura acima de 21°C; 
j) pelo menos 5.000 ovos e mais de 500 helmintos. 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 97 
5. Em um experimento aleatório de plantio de quatro sementes, especifique os seguintes 
eventos: A: duas sementes germinam; B: pelo menos uma semente germina; C: nenhuma 
semente germina. 
6. Uma caixa contém três pedras identificadas pelos números 1, 2 e 3. Considere o 
experimento de 3 extrações aleatórias sucessivas de uma pedra dessa caixa, com a 
reposição da pedra após cada extração, e registrar a seqüência de números resultante. a) 
Construa um diagrama de árvore para determinar os resultados possíveis desse 
experimento. b) De quantas diferentes formas podem resultar: i) três números iguais? ii) 
três números distintos? c) dois números iguais? 
7. Três atletas A, B e C competem em uma corrida de 800 metros. Suponha que esses atletas 
têm a mesma habilidade e que não pode ocorrer empate. a) Qual é a probabilidade de que 
o A termine a corrida na frente de B? b) Qual é a probabilidade de que A termine a corrida 
na frente de ambos B e C? 
8. Suponha que 15 carros deverão correr na próxima competição de fórmula 1. Quantas 
diferentes formações de três pilotos poderão subir ao pódio como os três primeiros 
colocados na competição? 
9. Considere a formação de "palavras" de três letras com as letras a, b, c, d, e, f. Quantas 
dessas palavras podem ser formadas: a) sem repetição de letras? b) com repetição de 
letras? c) com uma ou mais letras repetidas? 
10. Dez estudantes de um colégio são selecionados para formar a equipe de basquete para uma 
competição. a) Entre quantas diferentes composições deverá ser escolhida a equipe para 
entrar em cancha no primeiro jogo? b) Quantas dessas composições incluem um estudante 
cujo nome é Afonso? 
11. Quantas linhas são necessárias para conectar todos os possíveis pares de 15 pontos em um 
plano? 
12. Uma caixa contém 2 lâmpadas de 25 watts, 3 de 40 watts e 4 de 100 watts. a) Em quantos 
modos diferentes podem ser selecionadas 3 lâmpadas dessa caixa? b) Quantas dessas 
seleções de 3 lâmpadas incluiriam as duas lâmpadas de 25 watts? c) Quantas incluiriam 
nenhuma lâmpada de 25 watts? d) Quantas seleções de lâmpadas incluiriam exatamente 
uma de cada uma dessas três diferentes potências elétricas? 
13. Suponha que 6 bolas de uma urna que contém 4 bolas pretas e 2 brancas são retiradas 
aleatoriamente, uma por uma, e dispostas em uma fila. Qual é a probabilidade de que: a) as 
duas bolas nos extremos da fila sejam brancas? b) as duas bolas extremas não sejam 
brancas? c) as duas bolas brancas situem-se em posições contíguas? 
Introdução à Probabilidade 98 
14. Determine as probabilidades dos eventos especificados no exercício 4 a), b), c). 
15. Um lote de dezesseis unidades de um certo artigo consiste de 10 unidades perfeitas, 4 com 
defeitos menores e 2 com defeitos graves. Uma unidade desse artigo é escolhida ao acaso. 
Determine a probabilidade de que: a) a unidade não tenha defeitos; b) a unidade não tenha 
defeitos graves; c) a unidade seja perfeita ou tenha defeitos menores. 
16. Considere o mesmo lote de unidades de um artigo do exercício anterior. Duas unidades são 
escolhidas ao acaso, repondo-se a primeira extraída antes da extração da segunda. 
Determine a probabilidade de que: a) ambos as unidades sejam perfeitas; b) ambas 
tenham defeitos graves; c) pelo menos uma seja perfeita; d) no máximo uma seja perfeita; 
e) exatamente uma seja perfeita; f) nenhuma tenha defeitos graves; g) nenhuma seja 
perfeita. 
17. Suponha que um lote de dezesseis unidades do artigo considerado no exercício 15 seja 
aceito para despacho se três unidades escolhidas ao acaso são perfeitas. Qual é a 
probabilidade de que aquele lote particular seja aceito? 
18. O Departamento de Estatística de uma universidade oferece duas disciplinas de Estatística 
designadas de "Estatística I" e "Estatística II". No primeiro semestre letivo, são oferecidas 
4 turmas de Estatística I e nosegundo semestre, 3 turmas de Estatística II. 
a) Se um estudante deseja fazer essas duas disciplinas em um mesmo ano letivo, quantas 
diferentes escolhas de turmas são possíveis? 
b) Se forem admitidos para cada turma dessas disciplinas no máximo 40 estudantes, qual 
é o número máximo de estudantes que podem se matricular nessas disciplinas em um 
ano letivo? 
c) Se forem oferecidas no turno da manhã 2 turmas de Estatística I e 3 de Estatística II, 
qual é a probabilidade de que um estudante resulte matriculado em turmas da manhã 
nessas duas disciplinas se matricula aleatoriamente nas turmas oferecidas? 
d) O professor José Antônio deve lecionar 2 turmas de Estatística I e 1 de Estatística II. 
Qual é a probabilidade de que um estudante que se matricula aleatoriamente venha a 
ter esse professor: i) em ambos semestres? ii) em nenhum dos dois semestres? 
19. Um saco contém 1.500 batatas das quais 1.100 são classificadas como de primeira e 400 
como de segunda. Extraindo-se uma amostra de três batatas, determine a probabilidade de 
que: a) as três batatas sejam de primeira; b) pelo menos uma batata seja de segunda. 
20. Um geneticista que pesquisa gado leiteiro tem quatro touros e oito vacas que podem ser 
usados em um experimento. Quantos diferentes pares constituídos de um macho e uma 
fêmea ele pode constituir? 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 99 
21. Uma pessoa afirma que tem habilidade para distinguir entre café percolado e café 
instantâneo. Em um experimento para testar esta afirmada habilidade, o indivíduo deve 
provar 10 xícaras de café, cinco com cada um dos dois tipos de café. Para melhoria do 
experimento, são usados xícaras iguais e o café das duas origens é preparado 
simultaneamente. Então, as dez xícaras de café são oferecidas ao indivíduo, sem 
identificação de seu conteúdo, para prova e indicação das cinco que contém café 
percolado. 
a) De quantas formas ele pode selecionar 5 entre as dez xícaras de café? 
b) De quantas formas ele pode selecionar as 5 xícaras de café percolado? 
c) Qual é a probabilidade de que selecione corretamente as cinco xícaras com café 
percolado por palpite em vez de por habilidade sensorial? 
22. Em um experimento, foram semeados com trigo quatro conjuntos (blocos) de cinco talhões 
(parcelas) - um talhão com cada uma das cinco cultivares A, B, C, D e E. Em todos os 
blocos a cultivar C foi a mais produtiva. Qual é a probabilidade de que esse resultado tenha 
decorrido exclusivamente por acaso? 
23. Em um experimento semelhante ao do exercício anterior, a cultivar C teve a produção 
mais elevada em três dos quatro blocos e a segunda produção mais elevada no bloco 
restante. Qual é a probabilidade de ela se ter destacado tanto ou mais do que neste 
experimento exclusivamente por acaso? 
24. Em um experimento de vinte parcelas, instalam-se quatro repetições de cada uma de cinco 
cultivares (A, B, C, D e E) atribuídas às parcelas completamente ao acaso. Na ordenação 
dos resultados das vinte parcelas, as parcelas com o tratamento C ficaram nos quatro 
primeiros lugares. Qual é a probabilidade de que isto tenha decorrido por mero acaso? 
25. Quatro provadores (sejam 1, 2, 3 e 4) deverão ordenar três diferentes marcas de vinho 
(sejam A, B e C) quanto à preferência, sem conhecimento das marcas que lhes são dadas 
para degustar. Cada provador classifica como 1 a marca que mais lhe agrada, como 2 a 
segunda e como 3 a que menos lhe agrada, e então são somados os pontos atribuídos para 
cada marca de vinho. Suponha que os provadores realmente não podem discriminar entre 
as marcas, de modo que cada um está atribuindo sua ordenação ao acaso. Determine a 
probabilidade de que: a) a marca A receba o total de pontos igual a 4; b) alguma marca 
receba o total de pontos igual a 4; c) alguma marca receba uma soma de pontos de 5 ou 
menos. 
26. Em herança mendeliana simples, um caráter físico de uma planta ou animal é determinado 
por um par simples de genes. O caráter "cor" da ervilha é um exemplo. Ele é determinado 
Introdução à Probabilidade 100 
por um par de genes A e V que representam, respectivamente, as cores amarela e verde. O 
gene A é dominante, de modo que plantas com o genótipo (par de genes) VV terão ervilhas 
verdes e aquelas com os genótipos AA e AV terão ervilhas amarelas. Os descendentes 
(progênie) recebem um gene de cada pai com igual probabilidade para cada gene de cada 
pai. 
a) Determine a probabilidade de que do cruzamento de ervilhas de coloração amarela 
resulte uma planta com ervilhas: i) amarelas; ii) verdes. 
b) Em um cruzamento entre ervilhas AV e AV, qual é a proporção da progênie que terá 
grãos amarelos? Qual é a proporção de ervilhas amarelas que terão o genótipo AA? 
27. Um outro caráter mendeliano simples é a rugosidade. As ervilhas podem ser lisas ou 
rugosas. Esse caráter é determinado por um par de genes L e R, respectivamente para as 
alternativas lisa e rugosa. O caráter liso é dominante, de modo que ervilhas LL e LR são 
lisas, enquanto que ervilhas RR são rugosas. 
a) Se ervilhas AV - LR são cruzadas com ervilhas VV - RR, quais são os resultados 
possíveis? Quais são suas correspondentes probabilidades? 
b) Responda semelhantes questões para cruzamentos entre ervilhas AV - LR e VV- LR. 
c) Responda semelhantes questões para cruzamentos entre ervilhas AV - LR e AV - LR. 
28. Suponha que um estudante responde cada uma das 12 questões do teste de múltipla 
escolha de que trata o exercício 9 dos Exercícios 2.2 , escolhendo aleatoriamente uma 
das correspondentes três alternativas, e que uma e apenas uma dessas alternativas é correta. 
a) Qual é a probabilidade de que ele acerte todas as questões? 
b) Qual é a probabilidade de que ele erre todas as questões? 
c) Qual é a probabilidade de que ele acerte a metade das questões? 
d) Qual é a probabilidade de que ele acerte pelo menos a metade das questões? 
29. Há evidência de que entre as formas inferiores de vida animal podem ser transmitidas 
características de um animal para outro junto com a transferência da substância química 
conhecida como RNA. Em um experimento referente a esse comportamento de 
transferência, oito salamandras são distribuídas aleatoriamente em dois grupos de quatro 
animais. Um grupo constituirá o grupo experimental e ou outro o grupo controle. 
a) Mostre que os dois grupos podem se formados com 70 diferentes constituições. 
b) Qual é a probabilidade de que as quatro salamandras mais ágeis resultem em um 
mesmo grupo? 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 101 
c) Qual é a probabilidade de que três das quatro salamandras mais ágeis situem-se no 
mesmo grupo? 
d) Todas as salamandras do grupo experimental recebem RNA de uma salamandra que 
foi treinada para maior agilidade. As salamandras do outro grupo (o grupo controle) 
recebem RNA de uma salamandra não treinada. O pesquisador está disposto a acreditar 
que o comportamento é transferido com o RNA se seu experimento revelar um número 
de animais x mais rápidos no grupo experimental tal que a probabilidade de um 
número de salamandras mais rápidas nesse grupo igual ou superior a x sob a hipótese 
de que o comportamento não é transferido com o RNA se revelar inferior a 0,05. Qual 
deve ser o número x de animais mais rápidos no grupo experimental para que o 
pesquisador possa acreditar que o comportamento sob consideração é transferido com 
o RNA? 
30. Em um exame para admissão de laboratoristas, os candidatos são solicitados a efetuar 
cinco análises químicas e redigir o relatório de seus resultados. Para diminuir o trabalho de 
avaliação, os examinadores decidem avaliar apenas uma amostra aleatória de dois dos 
cinco relatórios redigidos por cada candidato. Com base nos resultadosda avaliação, os 
candidatos são classificados em três categorias: A, se seus dois relatórios estão corretos; 
B, se um relatório está correto e o outro incorreto; e C, se os dois relatórios contém 
incorreções. 
a) Qual é a probabilidade de um candidato receber o grau A quando ele submeteu cinco 
relatórios corretos? 
b) Qual é a probabilidade de um candidato receber o grau C quando ele submeteu: i) 
cinco relatórios corretos? ii) quatro relatórios corretos? iii) dois relatórios corretos? 
iv) um relatório correto? v) nenhum relatório correto? 
31. Decida se cada uma das seguintes sentenças é verdadeira ou falsa, indicando com as letras 
V ou F entre parênteses, respectivamente. Se a sentença for falsa, explique porque. 
( ) O conceito de probabilidade é útil para o estudo de fenômenos que podem ser 
previstos exatamente. 
( ) Um experimento aleatório é um processo de observação e coleta de dados relevantes 
referentes a um fenômeno aleatório. 
( ) Um processo de observação e coleta de dados relevantes referentes a um fenômeno 
aleatório é um experimento aleatório. 
( ) Um experimento aleatório pode ser repetido sob condições essencialmente 
semelhantes. 
Introdução à Probabilidade 102 
( ) A observação e o registro da hora do nascer do sol em um próximo determinado dia é 
um exemplo de experimento aleatório. 
( ) A observação e o registro do número de frutos de um determinado pessegueiro na 
próxima safra é um exemplo de experimento aleatório. 
( ) O espaço básico de um experimento aleatório é o conjunto dos resultados possíveis 
desse experimento. 
( ) O espaço básico de um experimento aleatório é único. 
( ) Um evento unitário de um experimento aleatório é um resultado possível desse 
experimento. 
( ) O espaço básico de um experimento aleatório é discreto se e somente se o conjunto 
dos resultados elementares desse experimento é finito. 
( ) Um espaço básico contínuo não é enumerável. 
( ) Um evento de um experimento aleatório é um subconjunto de seu espaço básico. 
( ) O conceito clássico de probabilidade é aplicável em amostragem aleatória. 
( ) Um espaço básico equiprovável é finito. 
( ) Como um dado tem 6 faces, então a probabilidade de qualquer de duas faces é 1/6. 
( ) O conceito clássico de probabilidade é aplicável a experimentos cujas probabilidades 
dos resultados elementares são desconhecidas. 
( ) A regra da multiplicação é útil para a contagem do número de composições de 
resultados parciais de experimentos aleatórios que compreendem duas ou mais etapas. 
( ) A regra das permutações é uma aplicação da regra da multiplicação para a contagem 
do número de diferentes modos de extração de n elementos de um conjunto com 
reposição de cada elemento antes da extração do seguinte. 
( ) A regra dos arranjos permite o cálculo das distintas ordenações de a elementos de um 
conjuntos de n elementos. 
( ) O número de permutações de n elementos dispostos em linha é a n-ésima parte do 
número de permutações de n elementos dispostos em círculo. 
( ) O número de combinações de r elementos tomados de um conjunto de n elementos é 
menor do que o número de correspondentes arranjos, porque combinações de mesmos 
elementos não se distinguem. 
( ) abc e cba são duas combinações distintas de 3 das letras a, b, c, d, e, mas constituem 
um mesmo arranjo. 
( ) A freqüência relativa de um evento A que ocorre em nA das n realizações de um 
experimento aleatório é a razão nA/n. 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 103 
( ) O conceito empírico de probabilidade estabelece que a probabilidade de um evento A 
é o limite da freqüência relativa fA desse evento quando o número de realizações do 
experimento tende a infinito. 
( ) A probabilidade de um evento A de um espaço básico equiprovável é a soma das 
probabilidades dos resultados elementares que implicam na ocorrência de A. 
( ) Se dois eventos A e B não têm resultado elementar em comum, então o evento "A e 
B" é um evento impossível. 
( ) A probabilidade da ocorrência do evento "A ou B" é a soma das probabilidades 
desses eventos. 
( ) A probabilidade de um evento elementar de um espaço básico finito pode ser nula. 
( ) Se A e B são dois eventos tais que todo resultado possível de A é, também, um 
resultado possível de B, então P(A)≤P(B). 
( ) A soma das probabilidades de dois eventos que não podem ocorrer simultaneamente 
pode ser maior do que 1. 
( ) O número de eventos de um espaço básico de n resultados elementares é 2n. 
2.11 Bibliografia 
BATTACHARYYA, G.K.; JOHNSON, R.A. Statistical concepts and methods. New 
York: John Wiley, 1977. 639p. 
DEVORE, J.L. Probability and statistics for engineering and the sciences. 
Monterey, California: Brooks/Cole, 1982. 640p. 
GOLDBERG, S. Probability, an introduction. Englewood Cliffs, New Jersey: 
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2 Probabilidade em Espaço Básico Finito 
Conteúdo 
 
2.1 Introdução.................................................................................................................23 
2.2 Experimento Aleatório e Eventos ............................................................................25 
2.3 Modelo Matemático de Probabilidade .....................................................................33 
2.4 Conceito Clássico de Probabilidade.........................................................................36 
2.5 Contagem de Pontos do Espaço Básico ...................................................................45 
2.5.1 Regra da multiplicação.........................................................................................46 
2.5.2 Regras das permutações .......................................................................................54 
2.5.3 Regra dos arranjos................................................................................................60 
2.5.4 Regra das combinações ........................................................................................65 
2.5.5 Contagem automática...........................................................................................72 
2.6 Propriedades da Probabilidade .................................................................................75 
2.7 Probabilidade a Priori...............................................................................................78 
2.8 Conceito Empírico de Probabilidade .......................................................................80 
2.9 Complementos..........................................................................................................87 
2.10 Exercícios de Revisão ..............................................................................................95 
2.11 Bibliografia.............................................................................................................103 
 
2.1 Introdução 
 Em geral, eventosreferentes a fenômenos naturais e experimentos não podem ser 
previstos com exatidão. Previsões desses eventos compreendem a atribuição de graus 
de chances de suas ocorrências. O conceito de probabilidade originou-se do interesse 
na previsão de eventos dessa origem. Os diversos conceitos de probabilidade 
distinguem-se, principalmente, pelas pressuposições alternativas que são adotadas 
referentes ao conhecimento prévio referente a essas chances. 
 O desenvolvimento histórico da probabilidade e suas diversas interpretações 
foram descritos, de modo resumido, no Capítulo 1. Essas diversas interpretações 
implicam procedimentos de cálculo alternativos que, entretanto, compreendem 
essencialmente uma mesma base e aproximam-se em uma estrutura lógica comum. 
Introdução à Probabilidade 24 
 Nesse Capítulo e no próximo, são estabelecidos os denominados conceitos 
objetivos de probabilidade, ou seja, o conceito clássico, o conceito empírico e o 
conceito axiomático baseado em propriedades fundamentais da freqüência relativa. 
Historicamente, esses conceitos foram desenvolvidos nessa ordem, na busca de maior 
generalidade. A base conceitual é desenvolvida construtivamente, de modo a deixar 
claro a progressiva extensão de alcance que é lograda, a partir da pressuposição de 
espaço básico finito equiprovável, até a consideração de espaço básico contínuo. 
 No presente Capítulo é introduzida a estrutura conceitual da probabilidade e são 
apresentadas algumas de suas propriedades mais importantes para o cálculo de 
probabilidades na situação mais simples de espaço básico finito. A ampla gama de 
fenômenos e processos para cujo estudo a probabilidade é relevante é definida na 
Seção 2.2; nessa Seção, são estabelecidos os conceitos de experimento aleatório, 
espaço básico e evento. Na Seção 2.3, são abordados aspectos lógicos da derivação de 
um modelo de probabilidade e das abordagens clássica e empírica. Na Seção 2.4, é 
formulado o conceito mais primitivo de probabilidade, originado do estudo de jogos de 
azar. Embora aparentemente bastante restritivo pela pressuposição de espaço básico 
equiprovável, o usualmente denominado "conceito clássico de probabilidade" tem 
aplicações em muitas áreas importantes, particularmente em amostragem. No fim 
dessa Seção, são formuladas as principais propriedades da probabilidade que 
estabelecem os procedimentos do cálculo de probabilidades na situação de espaço 
básico equiprovável. A base matemática do processo de contagem envolvido nesse 
cálculo de probabilidades é revisada na Seção 2.5. A Seção 2.6 enuncia as principais 
propriedades ou regras da probabilidade para espaço básico finito. O conceito empírico 
de probabilidade, originado principalmente a partir das aplicações da probabilidade às 
ciências naturais, e as principais propriedades da probabilidade nesse contexto são 
estabelecidos na Seção 2.8. Por fim, na Seção 2.9, faz-se uma extensão da teoria da 
análise combinatória revisada na Seção 2.5, incluindo os teoremas binomial e 
multinomial, que constituem base matemática referida em diversas oportunidade no 
texto. 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 25 
2.2 Experimento Aleatório e Eventos 
 O conceito de probabilidade é relevante para o estudo de fenômenos aleatórios, 
ou seja, fenômenos cujas realizações não podem ser previstas exatamente. Ele se aplica 
a "experimentos aleatórios" ou seja, experimentos cujos resultados em diversas 
realizações ou repetições são variáveis e, portanto, incertos, mas que, entretanto, 
satisfazem condições básicas que permitem previsão com a atribuição de graus de 
chance de acerto: 
 Um experimento aleatório E é uma ação ou processo de observação e coleta de 
dados referentes a um fenômeno que satisfaz às seguintes propriedades: 
 i) o resultado de uma realização de E não pode ser predito com certeza; 
 ii) a coleção dos resultados possíveis de E é conhecida antes de sua realização; 
 iii) o experimento E pode ser repetido sob, essencialmente, as mesmas 
condições. 
 
 Esse conceito de experimento é mais abrangente do que o de "experimento 
controlado" em pesquisa científica de campo e de laboratório. Ele compreende 
qualquer ação ou processo que implique a observação e coleta de dados referentes a 
fenômenos aleatórios. Em tais experimentos, a variação dos resultados de diferentes 
realizações é inevitável, de modo que o resultado de uma realização particular é 
incerto. Entretanto, a regularidade dessa variação permite a previsão do resultado de 
uma realização particular do experimento com base nas ocorrências de um conjunto 
numeroso de realizações. É sabido, por exemplo, que em uma longa seqüência de 
lançamentos de uma moeda simétrica e balanceada, cerca de metade dos lançamentos 
resultarão em cara. Então, é natural admitir que, em um lançamento particular, a 
"chance" da ocorrência de cara é 1/2. É nessa regularidade previsível de um grande 
conjunto de realizações de jogos de azar que se baseiam casas de jogos e apostadores. 
 Esse mesmo tipo de incerteza e regularidade é muito comum com fenômenos 
naturais e, portanto, muito importante na ciência. Por exemplo, em genética, é incerto 
Introdução à Probabilidade 26 
se um descendente será macho ou fêmea, mas são sabidas, aproximadamente, a 
proporção de machos e a proporção de fêmeas em muitos nascimentos. 
Semelhantemente, um departamento de trânsito não pode prever quais carros se 
acidentarão em um fim de semana particular, mas pode predizer de modo bastante 
satisfatório o número de ocorrências de acidentes de carro. 
 São formulados, a seguir, outros exemplos de experimentos aleatórios, que serão 
utilizados nas ilustrações de conceitos que seguem. 
Exemplo 2.1 
 Considerem-se os seguintes experimentos: 
 a) pôr uma vaca em cria; 
 b) efetuar o plantio de cinco sementes de trigo; 
 c) pôr 100 sementes em uma câmara de germinação; 
 d) examinar individualmente suínos de uma granja, até encontrar o primeiro que 
manifeste uma infecção viral; 
 e) preparar vinho de uva de um vinhedo; e 
 f) administrar um hormônio de crescimento a um bovino de corte para acelerar sua 
preparação para o abate. 
 Cada realização de um desses experimentos terá um resultado particular que se 
diferenciará dos demais resultados possíveis por um número de diferentes características. Em 
um experimento aleatório, entretanto, geralmente há interesse em apenas uma ou poucas 
características. Assim, nesses experimentos pode-se ter o interesse restrito às seguintes 
características: 
 a) sexo do terneiro; 
 b) grau de infeção das folhas pela ferrugem; 
 c) número de sementes que germinam; 
 d) seqüência dos diagnósticos dos animais examinados; 
 e) concentração de açúcar no mosto; e 
 f) peso e ganho de peso doze semanas após a administração do hormônio. 
 A especificação da característica ou das características de interesse deve fazer parte da 
descrição do experimento aleatório. Portanto, as descrições completas dos experimentos 
aleatórios que estão sendo utilizados para ilustração correspondem ao que segue: 
 a) pôr uma vaca em cria e observar o sexo do terneiro; 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 27 
 b) efetuar o plantio de cinco sementes de trigo e observar o grau de infeção de ferrugem 
nas folhas; 
 c) pôr 100 sementes em uma câmara de germinação e observar o número de sementes 
que germinam; 
 d) examinar individualmente suínos de uma granja, até encontrar o primeiro que 
manifeste uma infecção viral, e registrar a seqüência dos diagnósticos dos animais 
examinados; 
 e) preparar vinho de uva de um vinhedo e determinar a concentração de açúcar no 
mosto; e 
 f) administrar um hormônio de crescimento a um bovino de corte paraacelerar sua 
preparação para o abate e registrar o peso e o ganho de peso doze semanas após a 
administração do hormônio. 
 Pode-se verificar que esses experimentos são experimentos aleatórios. Por 
exemplo, o resultado da ação de pôr uma vaca em cria e observar o sexo do terneiro 
não pode ser previsto; entretanto, a coleção dos resultados possíveis é conhecida 
antecipadamente: macho e fêmea; ademais, esse experimento pode ser repetido sob as 
mesmas condições essenciais, pela colocação em cria de outras vacas do mesmo 
rebanho sob consideração. 
 O estudo de um experimento aleatório requer o estabelecimento claro da coleção 
de seus resultados possíveis. 
 A coleção de todos os resultados possíveis, ou resultados elementares, de um 
experimento aleatório constitui seu espaço básico 1. 
 
 Assim, o espaço básico de um experimento aleatório é o conjunto cujos 
elementos são os resultados elementares desse experimento. Por essa razão, a 
conceituação, as propriedades e a notação pertinentes a espaço básico e resultados de 
experimento aleatório são análogas àquelas referentes a conjunto. 
 O espaço básico é denotado por S. Cada resultado elementar de um espaço 
básico S é um elemento de S, ou um ponto desse espaço, e é denotado por s. Denota-se 
que s é um elemento do espaço básico S por s∈S, e distinguem-se diferentes elementos 
Introdução à Probabilidade 28 
ou pontos do espaço básico através de subscritos. Assim, por exemplo, os elementos de 
um espaço básico de três resultados elementares podem ser denotados por s1, s2 e s3, e 
o espaço básico por S = {s1, s2, s3}. 
 Cada elemento s do espaço básico S é, também, um subconjunto unitário de S, 
denominado de evento simples ou elementar: 
 Cada resultado elementar de um experimento aleatório constitui um evento 
simples, ou evento elementar, denotado por {s}. 
 
 Observe-se que s representa um resultado elementar de S e {s} o evento 
elementar cujo único resultado possível é s. 
 O espaço básico de um experimento aleatório é especificado por uma lista de 
todos os resultados possíveis do experimento, com o uso de símbolos convenientes 
para identificar esses resultados, ou por uma sentença que caracterize a coleção de 
todos os resultados possíveis. Para ilustração, considere-se os experimentos aleatórios 
do Exemplo 2.1. 
Exemplo 2.1. (continuação) 
 Os espaços básicos dos experimentos aleatórios do Exemplo 2.1 podem ser 
especificados como segue: 
 a) S = {M, F}, onde M e F representam sexo masculino e sexo feminino, 
respectivamente; 
 b) S = {SI, IFr, IM, IFo, IG}, onde SI, IFr, IM, IFo e IG representam ausência de 
infeção e os graus de infeção fraca, média, forte e grave, respectivamente; 
 c) S = {0, 1, 2,..., 100}; 
 d) S = {C, SC, SSC, SSSC,...}, onde S designa sem infecção e C, com infecção, e a 
seqüência SSC, por exemplo, indica que o terceiro animal é o primeiro que manifesta infecção; 
 e) a concentração de açúcar no mosto é expressa pela proporção de açúcar em uma 
unidade de volume do mosto; então, designando a concentração de açúcar no mosto por t, o 
espaço básico pode ser especificado por: S = {t: 0≤ t ≤1, t um número real}, isto é, o conjunto 
dos números reais t compreendidos entre 0 e 1, incluídos 0 e 1; 
 
1 Esse conceito é geralmente designado de "espaço amostral". Nesse texto, adota-se a designação de "espaço básico" 
para evitar confusão que pode decorrer do uso da expressão "espaço amostral", com outro significado, no contexto da 
inferência estatística. 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 29 
 f) o experimento considera duas características: peso e ganho de peso, a primeira 
expressa por uma variável real não negativa e a segunda por uma variável real; então, 
designando peso e ganho de peso por x e y, respectivamente, o espaço básico pode ser 
especificado por: S = {(x, y): x é um número real não negativo e y é um número real}. 
 Esses exemplos salientam que a complexidade do espaço básico depende da 
natureza do experimento aleatório. Por outro lado, para um mesmo experimento 
aleatório pode ser especificado mais de um espaço básico. 
Exemplo 2.2 
 Experimento: Lançamento de um dado e observação da face que resulta voltada para 
cima. 
 O espaço básico desse experimento é: 
 
ou, se há interesse no número de pontos na face: 
S2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
Entretanto, se há interesse apenas em observar se o número de pontos é par ou ímpar, o espaço 
básico reduz-se a: 
S3 = {ímpar, par}. 
 Os dois primeiros espaços básicos provêem mais informação do que o terceiro. De fato, 
se for conhecido o resultado que ocorreu no espaço básico S1 ou no espaço básico S2, pode-se 
determinar o resultado referente ao espaço básico S3; entretanto o conhecimento do resultado 
em S3 não permite a determinação do resultado em S1 ou S2. Freqüentemente, é desejável 
considerar o espaço básico que provê a informação mais detalhada referente aos resultados do 
experimento. Entretanto, o espaço básico resumido pode ser mais conveniente para alguns 
propósitos. 
Exemplo 2.3 
 Experimento: Seleção de três unidades provenientes de uma linha de produção para 
inspeção de qualidade e classificação de cada unidade como não defeituosa ou defeituosa. 
 O espaço básico que provê informação mais detalhada referente aos resultados desse 
experimento é: 
S1 = {NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD}, 
Introdução à Probabilidade 30 
onde N e D representam, respectivamente, unidade sem defeito e unidade defeituosa. Esse 
espaço básico caracteriza a ordem da seleção das unidades e distingue a ausência ou presença 
de defeitos. Um espaço básico alternativo para este experimento é: 
S2 = {"NNN", "NND", "NDD", "DDD"}, 
que distingue apenas as unidades defeituosas e não defeituosas entre as três unidades 
selecionadas para inspeção, ignorando a ordem de seleção das unidades ("NND", por exemplo, 
corresponde aos resultados elementares NND, NDN, e DNN do espaço básico S1). Entretanto, 
se há interesse apenas no número de unidades defeituosas entre as três unidades selecionadas, 
o espaço básico apropriado é: 
S3 = {0, 1, 2, 3}. 
 Observe-se que os espaços básicos S2 e S3 guardam relação um a um, ou seja, a cada 
resultado possível de S2 corresponde um resultado possível de S3, e vice-versa. Portanto, esses 
espaços básicos têm a mesma estrutura. Entretanto, a estrutura do espaço básico S1 é distinta. 
 A compreensão da estrutura do espaço básico e sua especificação podem ser 
auxiliadas por um diagrama. Cada um dos resultados possíveis do experimento é 
representado por um ponto acompanhado do símbolo que o representa. 
Exemplo 2.4 
 Sejam os espaços básicos que podem ser especificados para o experimento "seleção de 
três unidades provenientes de uma linha de produção para inspeção de qualidade e 
classificação de cada unidade como não defeituosa e defeituosa": S1 = {NNN, NND, NDN, 
DNN, NDD, DND, DDN, DDD}, S2 = {"NNN", "NND", "NDD", "DDD"} e S3 = {0, 1, 2, 3} 
(Exemplo 2.3). 
 Os diagramas dos espaços básicos S1, S2 e S3 são apresentados na Figura 2.1. 
 
Figura 2.1. Diagramas dos espaços básicos do experimento do Exemplo 2.3: a) 
S1; b) S2 e S3. 
Exemplo 2.5 
 Duas bolas devem ser retiradas de uma caixa que contém 2 bolas brancas e uma bola 
preta, sem reposição da primeira bola extraída antes da retirada da segunda bola. Especifique 
dois espaços básicos alternativos para esse experimento e os represente graficamente. 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 31 
 Considerando as duas bolas brancas distintamente e denotando essas duas bolaspor B1, 
B2 e a bola preta por P, o espaço básico do experimento é: S1 = {B1B2, B1P, B2B1, B2P, PB1, 
PB2}. Alternativamente, se não se distingue as duas bolas brancas, de modo que B1 = B2 = B, o 
espaço básico é simplificado para S2 = {BB, BP, PB}. 
 A primeira especificação detalhada do espaço básico e a segunda mais simples são 
representadas pelos diagramas a) e b), respectivamente, da Figura 2.2. 
 
Figura 2.2. Duas especificações alternativas para o espaço básico do experimento 
de retirada de duas bolas, sem reposição, de uma caixa com duas 
bolas brancas e uma bola preta. 
 Espaços básicos podem ser classificados quanto ao número de seus resultados 
elementares semelhantemente a conjuntos: 
 Um espaço básico cujo número de resultados elementares é menor que algum 
número inteiro positivo é um espaço básico finito; um espaço básico que 
compreende um número de resultados elementares maior que qualquer número 
inteiro positivo é um espaço básico infinito. Um espaço básico infinito cujos 
resultados elementares podem ser enumerados é um espaço básico infinito 
contável, Um espaço básico finito ou infinito contável é um espaço básico discreto. 
Um espaço básico cujos elementos constituem um "continuum", tal como o conjunto 
dos pontos de um segmento de reta, é um espaço básico contínuo. 
 
 Os espaços básicos dos experimentos aleatórios a, b e c são exemplos de espaço 
básico finito. O espaço básico do experimento d é um exemplo de espaço básico 
infinito contável. A variável que exprime a característica considerada no experimento 
aleatório e é uma variável numérica definida no intervalo dos números reais [0; 1]; 
assim, o espaço básico desse experimento é um exemplo de espaço básico contínuo. O 
Introdução à Probabilidade 32 
experimento f ilustra espaço básico contínuo bidimensional, porque considera duas 
características, ambas expressas por variáveis reais, a primeira definida no intervalo (0, 
∞) e a segunda, no intervalo (-∞, ∞). 
 O resultado de uma realização de um experimento aleatório é um e apenas um 
resultado possível ou resultado elementar, ao qual corresponde um e apenas um evento 
simples ou elementar. Em geral, entretanto, pode haver interesse em alguma 
característica ou propriedade comum a vários resultados elementares. A coleção de 
resultados elementares com uma característica ou propriedade comum constitui um 
evento composto. Assim, no Exemplo 2.1 b, pode-se ter interesse nos eventos 
compostos correspondentes à ocorrência de plantas com infeção, ou seja, no evento 
{IFr, IM, IFo, IG}, ou na ocorrência de plantas com grau de infecção abaixo da média, 
ou seja, no evento {SI, IFr}. Eventos simples e eventos compostos são ambos 
subconjuntos do espaço básico, e são designados, genericamente, de eventos: 
 Um subconjunto de resultados elementares do espaço básico com uma 
característica ou propriedade comum é um evento. 
 
 Um evento ocorre em um experimento aleatório quando o resultado do 
experimento é um dos resultados elementares que o constituem. 
 
 Assim, por exemplo, o evento {SI, IFr} ocorre no experimento do Exemplo 2.1 
b se o resultado do experimento é SI ou IFr. 
 Eventos são comumente denotados pelas primeiras letras maiúsculas do alfabeto, 
A, B, C,... Uma exemplificação mais ampla da caracterização e representação de 
eventos é provida a seguir. 
Exemplo 2.1 (continuação) 
 Um evento elementar particular de cada um dos experimentos do Exemplo 2.1. 
 a) evento "terneiro macho": {M}; 
 b) evento "infeção acima da média": {IFo, IG}; 
 c) evento "pelo menos noventa sementes germinam": {90, 91,..., 100}; 
 d) evento "no máximo três animais são examinados": {C, SC, SSC}; 
 e) evento "concentração de açúcar entre 0,4 e 0,6": {t: 0,4≤t≤0,6, t real}; 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 33 
 f) evento "animal com peso acima de 400 kg e com ganho de peso positivo": {(x, y): 
x>400; y>0, x e y reais}. 
2.3 Modelo Matemático de Probabilidade 
 A abordagem científica para a descrição, análise e predição com vistas à 
aquisição de conhecimento referente a fenômenos e processos físicos requer a 
construção de modelos matemáticos. Assim, por exemplo, a segunda lei da cinemática 
de Newton estabelece que um objeto sujeito a uma força desloca-se com uma 
aceleração proporcional à força, o que pode ser expresso por F = ma. Essa expressão é 
um exemplo de modelo matemático de um fenômeno físico, que consiste de símbolos 
que representam características do fenômeno (no caso F, m e a que representam 
números que exprimem as grandezas de força, massa e aceleração) relacionadas por 
uma equação. A lei estabelece que esse modelo matemático pode ser utilizado para 
descrever e prever o fenômeno físico. 
 A prova de que um modelo matemático exprime corretamente a realidade é 
impossível; a correção de um modelo matemático pode ser somente verificada através 
de experimento. Assim, por exemplo, a utilização da equação F = ma permite a 
derivação de uma expressão que provê a distância que um objeto percorrerá em queda 
livre em um dado tempo. A adequabilidade e utilidade do modelo para esse propósito 
somente podem ser evidenciadas pela concordância entre a distância prevista e a 
distância real percorrida por um objeto em queda livre. Quanto mais elevada for essa 
concordância e quanto maior for o número de realizações desse experimento, maior 
será a confiabilidade na lei. 
 Semelhantemente, em geometria são estabelecidos os conceitos matemáticos de 
pontos, linhas, figuras, etc. Esses conceitos, juntamente com um conjunto apropriado 
de axiomas, constituem um modelo matemático. A partir desses axiomas, são 
estabelecidos teoremas que exprimem propriedades da geometria. Esses teoremas 
referem-se a esse modelo matemático, não a pontos, linhas ou figuras físicas. Esse 
modelo revela-se útil para aplicação em situações práticas e por essa razão a geometria 
tornou-se uma parte importante da matemática. 
Introdução à Probabilidade 34 
 Mais comumente, os mecanismos da causa de um fenômeno são tão complexos 
que se torna improdutivo tentar o estabelecimento de um modelo determinista. 
Considere-se, por exemplo, a situação mais simples de um experimento aleatório: 
lançamento de uma moeda. É inviável a determinação analítica de qual das duas faces 
da moeda resultará voltada para cima, a partir da posição inicial e da massa e 
aceleração da moeda, das forças que atuam durante seu deslocamento, e com base nas 
leis do movimento. Entretanto, pode ser assegurado que há apenas dois resultados 
possíveis, se é excluída de consideração a ocorrência (extremamente remota) de 
posição vertical da moeda. Se alguém examina a moeda antes do lançamento, observa 
que ela tem duas faces, uma das quais pode ser identificada como cara e outra como 
coroa, e avalia sua simetria geométrica, concluirá que não há qualquer razão para 
atribuir expectativa mais elevada para a ocorrência de uma das faces do que da outra. 
Por essa razão, indubitavelmente, atribuirá igual possibilidade para as duas faces. Diz-
se, nesse caso, que os dois resultados possíveis são igualmente verossímeis. 
 Constrói-se um modelo matemático para exprimir igual verossimilhança dos 
resultados possíveis de um experimento aleatório pela assinalação de números iguais 
aos resultados igualmente verossímeis. Convencionalmente, esses números são 
atribuídos de modo que sua soma seja 1 e os números assinalados são denominados de 
probabilidades dos resultados do experimento. Assim, para o experimento de 
lançamento de uma moeda, assinala-se 1/2 à cara e 1/2 à coroa. A probabilidade 1/2 
assinalada à cara é a proporção do número de resultados igualmente verossímeis que 
correspondem à cara relativamenteao número total de resultados igualmente 
verossímeis desse experimento. 
 A assinalação do número 1/2 à cara e à coroa constitui um modelo matemático 
para a admissão de igual verossimilhança desses dois resultados possíveis. Observe-se, 
entretanto, que esse modelo é baseado em considerações a priori. As probabilidades 
assinaladas à cara e à coroa referem-se a uma "moeda conceitual", ou seja, à moeda do 
modelo matemático. A adequabilidade das probabilidades para moedas reais é uma 
questão que apenas pode ser respondida pela experiência. 
 Há situações em um modelo de probabilidade completo não pode ser 
estabelecido por considerações a priori. Por exemplo, seria impossível especificar a 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 35 
probabilidade de que uma máquina produza uma peça defeituosa sem a observação do 
desempenho da máquina. E mesmo com tal observação, é impossível especificar a 
"verdadeira" probabilidade; apenas aproximações para essa probabilidade podem ser 
obtidas por experiência. Entretanto, a postulação da existência de tal probabilidade 
pode ser muito útil e importante para propósitos práticos. Assim, nesse caso, ainda se 
constrói um modelo, mas não se assinalam como probabilidades números específicos 
determinados por considerações a priori, já que não se sabe que números atribuir. A 
experimentação, ou seja, a observação de um conjunto de peças produzidas pela 
máquina pode prover uma orientação para a escolha desses números. Entretanto, deve-
se salientar que dois desses experimentos, ou seja, as observações de dois distintos 
conjuntos de peças produzidas por essa máquina usualmente produzirão resultados 
diferentes. Por exemplo, em um conjunto de 100 lançamentos de uma moeda podem 
ocorrer 49 caras, ou seja, a proporção de caras pode ser 0,49, e em outro conjunto a 
proporção pode ser 0,52. Esse exemplo ilustra a dificuldade da idealização de um 
modelo matemático para probabilidade a partir de considerações a posteriori. 
Entretanto, quando não há base sólida para considerações a priori e a intuição falha, 
não se pode postular as probabilidades reais como conhecidas. A aproximação dessas 
probabilidades através da experimentação pode tornar-se a melhor alternativa. 
 Na próxima Seção, considera-se a definição de probabilidade e o 
estabelecimento de modelos de probabilidade para experimentos aleatórios na situação 
simples em que o conjunto de resultados possíveis é finito e esses resultados podem ser 
considerados igualmente verossímeis por concordância convencional. Não se provará 
que as "probabilidades verdadeiras" são aquelas admitidas por considerações a priori; 
postular-se-á probabilidades baseadas na pressuposição de igual verossimilhança nas 
situações em que a intuição, o senso comum, a simetria do experimento, etc., conduz 
ao consenso de que os resultados são igualmente verossímeis. Deve ser salientado, 
entretanto, que o experimento é sempre o teste final da validade do modelo que se 
admite ou postula. 
Introdução à Probabilidade 36 
2.4 Conceito Clássico de Probabilidade 
 Intuitivamente, a probabilidade de um evento de um experimento aleatório é uma 
medida da chance de sua ocorrência em uma realização do experimento. É natural 
pensar que uma medida da chance de ocorrência de um evento seja provida pela 
proporção de vezes em que se esperaria a ocorrência do evento se o experimento fosse 
repetido sob, essencialmente, as mesmas condições. Assim, a probabilidade depende 
da natureza do experimento e do espaço básico associado. Em algumas situações, a 
proporção de vezes em que é esperada a ocorrência de um evento pode ser determinada 
por derivação lógica, sem a realização efetiva do experimento. Em outras situações, é 
necessário repetir o experimento um número elevado de vezes para obter informação 
sobre essa proporção, através da correspondente freqüência de ocorrências observadas. 
Nesse caso, a verdadeira proporção (probabilidade) é desconhecida e podem ser 
obtidas apenas aproximações. 
 Esse fato suscitou muita polêmica no passado e originou diversos conceitos de 
probabilidade. O conceito mais primitivo é o chamado conceito clássico. Esse conceito 
é aplicável quando uma simetria da estrutura do experimento aleatório assegura que 
todos os resultados elementares têm a mesma chance de ocorrência em uma realização 
particular do experimento, ou seja, que os resultados elementares são igualmente 
verossímeis. 
 Essa propriedade foi inicialmente observada em "jogos de azar", como o 
processo de lançamento de um dado ideal e observação da face que resulta voltada 
para cima. Como o dado tem seis faces e é simétrico e balanceado, é natural esperar-se 
que cada uma das seis faces ocorra em 1/6 das vezes. Por essa razão, atribui-se igual 
probabilidade 1/6 a cada um dos 6 resultados elementares, isto é, a cada uma das 6 
faces. 
 Essa propriedade de eqüiprobabilidade também ocorre em processos de "escolha 
aleatória" de um elemento de um conjunto, em que é assegurada igual chance de 
escolha para todos os elementos do conjunto. Seja, por exemplo, o experimento 
"escolha aleatória de uma garrafa de uma caixa com seis garrafas e identificação da 
garrafa escolhida". Como uma entre as 6 garrafas deve ser escolhida e todas as 6 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 37 
garrafas têm a mesma chance de ser escolhida, conclui-se, logicamente, sem realizar o 
experimento, que é esperado que cada garrafa ocorra em 1/6 das vezes, e atribui-se 
probabilidade 1/6 a cada uma das seis faces. 
 Esses dois experimentos aleatórios têm estruturas análogas. Se as seis faces do 
dado e as seis garrafas são identificadas pelos números 1, 2, 3, 4, 5 e 6, o espaço básico 
comum dos dois experimentos é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Então, pode-se expressar as 
probabilidades dos resultados elementares por: P(s) = 1\6, s∈S. A probabilidade de 
qualquer evento pode ser derivada a partir dessa probabilidade comum dos resultados 
elementares. Considere-se, por exemplo, o evento A: face (ou garrafa) identificada por 
número par, isto é, A = {2, 4, 6}; como a proporção de ocorrências de face par é a 
soma das proporções de ocorrências de cada uma das faces (ou garrafas) identificadas 
pelos números 2, 4 e 6, deve-se ter: 
P(A) = P(2) + P(4) + P(6) = 1 13
6 2
× = . 
 A derivação lógica de probabilidades ilustrada por esses exemplos é generalizada 
para eventos de experimentos aleatórios com espaço básico constituído por resultados 
elementares igualmente verossímeis, ou seja, espaço básico equiprovável, como 
segue: 
 Conceito clássico de probabilidade: Se o espaço básico S de um experimento 
aleatório compreende n(S) resultados elementares igualmente verossímeis, a 
probabilidade de cada um desses resultados possíveis é 1/n(S). Se um evento A 
consiste de n(A) desses n(S) resultados elementares, então: 
 n(A)P(A)
n(S)
= . 
 
 Observe-se que n(S) é o número dos resultados possíveis do experimento e n(A) 
é o número desses resultados que implicam na ocorrência do evento A, isto é, o 
número de resultados favoráveis à ocorrência de A. Assim, a probabilidade de um 
evento A de um espaço básico equiprovável pode ser expressa por: 
número de resultados favoráveis a AP(A) = 
número de resultados possíveis
. 
Introdução à Probabilidade 38 
 Em um experimento aleatório com espaço básico equiprovável todos os pontos 
do espaço básico têm a mesma probabilidade. Por essa razão, diz-se que o 
correspondente modelo de probabilidade é uniforme: 
 O modelo de probabilidade para experimento com espaço básico equiprovável é 
designado modelo de probabilidade uniforme. Uma função P(.) que atribui igual 
probabilidade a todos os resultados elementares de um experimentocom espaço 
básico equiprovável é designada função de probabilidade uniforme. 
 
 Apesar de aparentemente bastante restritiva, a condição de eqüiprobabilidade do 
espaço básico é de grande importância prática. Essa condição ocorre na seleção de um 
subconjunto de unidades de um conjunto de unidades de interesse, ou sob 
consideração, por processo que atribua a todos as unidades a mesma probabilidade de 
constituir a amostra. Tais subconjunto e conjunto são usualmente designados de 
amostra e população, respectivamente, e esse processo de seleção é denominado de 
amostragem aleatória. 
 A aplicação do conceito clássico de probabilidade é ilustrada, a seguir, através de 
exemplos simples. 
Exemplo 2.6. 
 Experimento: Extração aleatória de um saco de sementes de uma pilha com 2 sacos de 
sementes da variedade A e 3 da variedade B. Determine a probabilidade do evento E: saco de 
sementes da variedade A. 
 Há 5 resultados possíveis igualmente prováveis na seleção aleatória de um saco de uma 
pilha de 5 sacos dos quais 2 de sementes da variedade A e 3 de sementes da variedade B. 
Denotando os 2 sacos de sementes da variedade A por A1 e A2 e os 3 sacos de sementes da 
variedade B por B1, B2 e B3, o espaço básico detalhado desse experimento é S = {A1, A2, B1, 
B2, B3}. Por outro lado, E = {A1, A2}, já que os dois resultados possíveis A1 e A2 são 
favoráveis ao evento E. Portanto, em decorrência da eqüiprobabilidade do espaço básico S, 
n(E) 2
P(E) = =
n(S) 5
. 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 39 
Exemplo 2.7 
 Experimento: Extração aleatória de dois sacos de sementes da pilha de 5 sacos 
considerada no Exemplo 2.6, com a reposição do primeiro saco extraído antes da extração do 
segundo saco. Sejam os seguintes eventos: E1: dois sacos da variedade A; E2: dois sacos da 
variedade B; e E3: um saco de cada variedade. 
 Na extração do primeiro saco, qualquer um dos 5 sacos de sementes pode resultar (A1, 
A2, B1, B2, B3). Como o segundo saco extraído é reposto antes da segunda extração, 
novamente, qualquer um dos 5 sacos de sementes pode resultar na segunda extração (A1, A2, 
B1, B2, B3). Portanto, um espaço básico detalhado para esse experimento é: S = {A1A1, A1,A2, 
A1B1, A1B2, A1B3, A2A1, A2,A2, A2B1, A2B2, A2B3, B1A1, B1,A2, B1B1, B1B2, B1B3, B2A1, 
B2,A2, B2B1, B2B2, B2B3, B3A1, B3,A2, B3B1, B3B2, B3B3}, onde B2A1, por exemplo, denota o 
resultado elementar "saco B2 na primeira extração e saco A1 na segunda extração". A extração 
aleatória implica que esse espaço básico é equiprovável. 
 Os resultados de S favoráveis ao evento E1 são os resultados possíveis que 
correspondem a dois sacos da variedade A; logo, E1 = {A1A1, A1,A2, A2A1, A2,A2}. De fato, na 
primeira extração, qualquer dos dois sacos da variedade A (A1 ou A2) é favorável ao evento E1 
se, novamente, um dos dois sacos da variedade A (A1 ou A2) resultar na segunda extração. 
Portanto, 
1
1
n(E ) 4
P(E ) = 
n(S) 25
= . 
 As especificações dos eventos E2 e E3 são: E2 = {B1B1, B1B2, B1B3, B2B1, B2B2, B2B3, 
B3B1, B3B2, B3B3} e E3 = {A1B1, A1B2, A1B3, A2B1, A2B2, A2B3, B1A1, B1,A2, B2A1, B2,A2, 
B3A1, B3,A2}. Logo, 
2
9
P(E ) = 
25
 e 3
12
P(E ) = 
25
. 
 Em geral, o número de resultados possíveis n(S) e o número de resultados 
favoráveis ao evento de interesse n(E) podem ser derivados diretamente ou por 
argumento lógico, de modo que as enumerações do espaço básico S e do evento E se 
tornam desnecessárias. Esse procedimento alternativo é particularmente muito 
conveniente se o tamanho do espaço básico S é considerável. 
Introdução à Probabilidade 40 
Exemplo 2.7 (continuação) 
 Reconsiderem-se as determinações das probabilidades dos eventos E1, E2 e E3 do 
Exemplo 2.7. 
 Pode-se argumentar como segue: qualquer um dos 5 sacos de sementes pode resultar na 
extração do primeiro saco; portanto, há 5 resultados na primeira extração que associados a 
resultados da segunda extração podem constituir resultados possíveis do experimento. Como o 
segundo saco extraído é reposto antes da segunda extração, novamente qualquer dos 5 sacos 
pode resultar na segunda extração. Portanto, há 5×5=25 resultados possíveis na extração de 
dois dos cinco sacos. Por outro lado, na primeira extração, qualquer um dos 2 sacos da 
variedade A será favorável ao evento E1 se, novamente, um dos 2 sacos da variedade A 
resultar na segunda extração. Logo, o número de resultados favoráveis ao evento E1 é 2×2=4. 
Portanto, 
1
2 2 4
P(E ) = 
5 5 25
×
=
× . 
 Pelo mesmo raciocínio, pode-se determinar a probabilidade do evento E2: 
2
3 3 9
P(E ) = 
5 5 25
×
=
×
. 
 O evento E3 ocorre quando resulta um saco da variedade A na primeira extração e um 
saco da variedade B na segunda extração, ou um saco da variedade B na primeira extração e 
um saco da variedade A na segunda extração. Portanto, o número de resultados favoráveis ao 
evento E3 é: 2×3 + 3×2 = 12; logo, 
3
2 3 + 3 2 12
P(E ) = 
5 5 25
× ×
=
×
. 
Exemplo 2.8 
 Mesma situação do experimento do Exemplo 2.7, mas sem reposição do saco que 
resulta na primeira extração. 
 Como na situação anterior, qualquer um dos 5 sacos de sementes pode resultar na 
extração do primeiro saco; portanto, há 5 resultados na extração do primeiro saco (A1, A2, B1, 
B2, B3) que podem associar-se a resultados da extração do segundo saco para constituírem 
resultados possíveis do experimento. Entretanto, como agora o primeiro saco extraído não é 
reposto, qualquer um dos outros 4 sacos pode resultar na segunda extração (um dos sacos A1, 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 41 
A2, B1, B2 ou B3 foi excluído da pilha na primeira extração). Portanto, o número de resultados 
possíveis do experimento é 5×4 = 20. 
 A extração de qualquer um dos dois sacos da variedade A (A1 e A2), seguida da extração 
do restante saco da variedade A (A1 ou A2), é favorável ao evento E1. Portanto, o número de 
resultados favoráveis ao evento E1 é 2×1. Logo, 
1
2 1 1
P(E ) = 
5 4 10
×
=
×
. 
 Por raciocínio análogo, obtém-se: 
2
3 2 3
P(E ) = 
5 4 10
×
=
×
. 
 Um saco de cada uma das variedades ocorre quando se sucedem as extrações de 1 saco 
da variedade A (A1 ou A2) e 1 saco da variedade B (B1, B2 ou B3), ou 1 saco da variedade B e 1 
saco da variedade A. Observe-se que, se é retirado um dos 2 sacos da variedade A na primeira 
extração, os 3 sacos da variedade B continuam na pilha, e, se é retirado um dos 3 sacos da 
variedade B na primeira extração, os 2 sacos da variedade A continuam na pilha. Portanto, 
3
2 3 3 2 3
P(E ) = 
5 4 5
× + ×
=
×
. 
 Esses exemplos ressaltam a importância da condição de eqüiprobabilidade do 
espaço básico para a aplicação do conceito clássico de probabilidade. É importante 
observar que, mesmo na situação de experimento aleatório com estrutura simétrica, a 
eqüiprobabilidade dos resultados possíveis depende da especificação do espaço básico. 
Para ilustração, considere-se o seguinte exemplo de um experimento aleatório simples. 
Exemplo 2.9 
 Experimento: Dois lançamentos sucessivos de uma moeda ideal (ou, equivalentemente, 
um lançamento de duas moedas ideais) e observação das faces que se voltam para cima. 
Considere-se o evento "duas caras". 
 Poder-se-ia argumentar que há 3 resultados possíveis para esse experimento: duas caras, 
duas coroas, e uma cara e uma coroa, que um desses resultados implica no evento sob 
consideração, ou seja, duas caras, e que, portanto, a probabilidade de duas caras seria 1/3. 
Entretanto, esse raciocínio é falho, porque esses três resultados possíveis não são igualmente 
verossímeis: o terceiro resultado – uma cara e uma coroa, pode ocorrer de dois modos 
Introduçãoà Probabilidade 42 
distintos: cara no primeiro lançamento e coroa no segundo, e coroa no primeiro lançamento e 
cara no segundo. 
 De fato, como será argumentado na Seção 2.5.1, a igual verossimilhança dos dois 
resultados possíveis do lançamento de uma moeda ideal implica a igual verossimilhança dos 
quatro resultados possíveis de dois lançamentos dessa moeda, que podem ser denotados por 
CC, cc, Cc e cC, onde C e c designam cara e coroa, respectivamente. Apenas o primeiro desses 
resultados possíveis corresponde a duas caras. Portanto, a probabilidade correta de duas caras é 
1/4. 
 Observe-se que nesse exemplo há duas especificações alternativas do espaço básico: S1 
= {CC, cc, Cc, cC} e S2 = {"CC", "cc", "Cc"}, onde na segunda especificação não é levada em 
conta a ordem dos dois lançamentos da moeda, ou seja, "Cc" simboliza uma cara no primeiro 
lançamento e uma coroa no segundo ou uma coroa no primeiro lançamento e uma cara no 
segundo. A condição de eqüiprobabilidade é satisfeita apenas pelo espaço básico mais 
detalhado S1, que, por essa razão, é o mais conveniente para o presente propósito. 
 Em geral, a eqüiprobabilidade do espaço básico que é implicada pela simetria de 
um experimento aplica-se ao espaço básico formulado mais detalhadamente; não a 
espaços básicos simplificados. 
 O exemplo que segue ilustra falha que pode decorrer da enumeração incorreta do 
espaço básico. 
Exemplo 2.10 
 Experimento: Extração aleatória de uma carta de um baralho ideal de 52 cartas. Seja o 
evento "ás ou ouro". 
 Poder-se-ia argumentar que há 4 azes e 13 ouros e que, portanto, há 17 resultados 
possíveis com o atributo em consideração; conseqüentemente, a probabilidade de um ás ou 
ouro seria 17/52. Entretanto, esse argumento é incorreto, porque esses 17 resultados não 
correspondem a 17 dos 52 resultados elementares igualmente verossímeis. De fato o ás de ouro 
é tanto um ás como um ouro, de modo que realmente há 16 resultados elementares favoráveis 
ao evento "às ou ouro"; portanto, a probabilidade correta desse evento é 16/52 = 4/13. 
Exercícios 2.1 
1. Duas bolas devem ser retiradas de uma caixa que contém uma bola branca, uma bola preta 
e uma bola vermelha. Estabeleça duas especificações (uma detalhada e outra mais simples) 
para o espaço básico desse experimento, sob cada uma das duas seguintes situações: a) a 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 43 
primeira bola retirada é reposta na caixa antes da retirada da segunda bola; b) a primeira 
bola retirada não é reposta. Represente cada um desses espaços básicos através de um 
diagrama de pontos. 
2. Reconsidere o exercício anterior supondo, agora, que a caixa contém duas bolas brancas e 
duas bolas pretas. 
3. Especifique um espaço básico para cada um dos seguintes experimentos aleatórios: 
a) extrair uma maçã de uma caixa que contém duas maçãs, uma da cultivar A e outra da 
cultivar B e identificar a maçã resultante; 
b) extrair uma maçã de uma caixa que contém duas maçãs da cultivar A e três da cultivar 
B e identificar a maçã extraída; 
c) extrair duas maçãs da caixa considerada no experimento aleatório do item anterior, 
com a reposição da primeira maçã antes da extração da segunda, e identificar as duas 
maçãs; 
d) extrair duas maçãs da caixa considerada no experimento b), sem reposição da primeira 
maçã extraída, e identificar as duas maçãs; 
e) dar um copo de vinho de cada uma de três cantinas a um provador para degustação e 
registrar o resultado do teste de degustação, identificando com as letras C e I, 
respectivamente, as identificações correta e incorreta de cada origem do vinho; 
f) observar o número de acidentes de trânsito em uma cidade no próximo ano; 
g) lançar uma moeda e um dado simultaneamente e observar a figura da face da moeda e 
o número da face do dado que resultam voltadas para cima; 
h) lançar uma moeda sucessivamente, até o aparecimento de uma cara voltada para cima, 
e registrar o número de lançamentos efetuados; 
i) ligar um aparelho novo de televisão e registrar o número de horas de seu 
funcionamento sem necessidade de reparo; 
j) mensurar a temperatura do solo a 5 cm de profundidade em um local, no próximo dia 5 
de janeiro, em graus Celsius; 
k) determinar a reserva de gás natural em uma área particular e registrar seu volume em 
m3. 
4. Verifique que os experimentos caracterizados no exercício 3 satisfazem as três 
propriedades ou condições de um experimento aleatório. 
5. Identifique os espaços básicos especificados no exercício 3 que são: finitos, infinitos 
contáveis, discretos e contínuos. 
Introdução à Probabilidade 44 
6. Especifique os seguintes eventos dos respectivos experimentos aleatórios de que trata o 
exercício 3: 
a) uma maçã da cultivar A; 
b) uma maçã da cultivar A; 
c) E1: duas maçãs da cultivar A; E2: duas maçãs de uma mesma cultivar; E3: uma maçã de 
cada uma das duas cultivares; 
d) E4: duas maçãs da cultivar A; E5: uma maçã de cada uma das duas cultivares; 
e) A: três identificações corretas; B: uma identificação correta; C: pelo menos uma 
identificação correta; 
f) A: 5 acidentes; B: no máximo 5 acidentes; C: pelo menos 5 acidentes; 
g) A: cara e face 6; B: cara e face maior que 3; C: coroa e face ímpar; 
h) A: cara no quarto lançamento; B: coroa no quarto lançamento; C: cara depois do 
quarto lançamento; 
i) A: pelo menos 1.600 horas; B: entre 1.200 e 2.300 horas; 
j) A: 21°C; B: entre 18 e 27°C; C: pelo menos 15°C; 
k) A: pelo menos 1.500.000 m3; B: menos que 2.000.000 m3. 
7. Três alunos de uma classe de segundo grau constituída de 16 meninos e 14 meninas são 
selecionados aleatoriamente e classificados segundo seu sexo. 
a) Especifique o espaço básico equiprovável desse experimento aleatório, denotando 
menina e menino pelas letras F e M, respectivamente. 
b) Defina um outro espaço básico cujos elementos são os números de meninas 
selecionadas. 
8. Considere o experimento de lançamento não tendencioso de um par de tetraedros 
balanceados, um branco e um vermelho, cada um com as faces numeradas de 1 a 4, e 
observação dos números nas faces que resultam voltadas para cima. 
a) Formule duas especificações alternativas para o espaço básico desse experimento: uma 
levando em conta a distinção de cores dos dois tetraedros e a outra ignorando as cores. 
b) Qual dessas duas especificações constitui um espaço básico equiprovável? 
c) Especifique os seguintes eventos: A = número 3 no tetraedro branco; B: número 3 em 
um dos dois tetraedros; C = número 3 no tetraedro branco e número 4 no vermelho; D: 
soma igual a 4; E: soma menor que 4. 
d) Supondo que os tetraedros são balanceados e lançados de modo isento, determine as 
probabilidades dos eventos especificados no item anterior. 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 45 
9. Um experimento consiste do lançamento de uma moeda e, se ocorrer cara, de um segundo 
lançamento dessa moeda; se ocorrer coroa, então é lançado um dado; é efetuado o registro 
da figura na face da moeda (C: cara, c: coroa) e do número da face do dado (1, 2,..., 6). 
a) Especifique o espaço básico desse experimento aleatório. 
b) Especifique cada um dos seguintes eventos: A: número menor que 4 no dado; B: duas 
caras; C: duas coroas. 
c) Determine as probabilidades dos eventos especificados no item anterior, na suposição 
de que a moeda e o dado sejam balanceados e lançados de modo não tendencioso. 
10. Considere o experimento de perguntar a três mulheres escolhidas aleatoriamente se elas 
usam sabão em pó de uma marca "X" e registrar a resposta de cada uma delas, denotando-a 
por S ou N, respectivamente para sim ou não. 
a) Formule o espaço básico. 
b) Especifique o evento "pelo menos uma mulher usa sabão em póda marca X". 
c) Descreva os eventos A e B cujas especificações são: A = {NSS, SSN, SNS} e B = 
{NSS, SSN, SNS, SNN, NSN, NNS, NNN}. 
11. Quais dos seguintes eventos são iguais, ou seja, compreendem os mesmos resultados 
elementares: A = {1, 3}, B = {s: s é uma face de um dado}, C = {s: s é o número de caras 
no lançamento de seis moedas}, D = {0, 1, 2,..., 6}, E = {s: s2-4s+3 = 0}? 
12. Determine as probabilidades dos eventos especificados nos itens a), b), c) e d) do exercício 
6, na suposição de extração aleatória. 
13. Supondo que o provador não possui habilidade especial para a identificação da 
procedência do vinho (ou seja, supondo igual probabilidade de identificação correta e 
identificação incorreta da procedência de cada copo de vinho), determine a probabilidade 
de cada um dos eventos especificados no exercício 6 e). 
14. Na suposição de que os tetraedros e a moeda e o dado sejam balanceados e os lançamentos 
sejam efetuados de modo isento, determine as probabilidades dos eventos especificados no 
exercício 8 c) e no exercício 9 b). 
2.5 Contagem de Pontos do Espaço Básico 
 O cálculo da probabilidade na situação de espaço básico equiprovável reduz-se 
às contagens dos números de resultados elementares do espaço básico S e do número 
desses resultados que implicam na ocorrência de eventos de S. 
Introdução à Probabilidade 46 
 Em situações em que a estrutura do experimento é simples e o tamanho do 
espaço básico é pequeno, contagens de resultados elementares são efetuadas sem 
dificuldade. Entretanto, em muitos experimentos, o processo de contagem pode se 
tornar difícil e trabalhoso. Para essas circunstâncias, são convenientes métodos 
sistemáticos de contagem ou enumeração que constituem a parte da matemática 
usualmente designada de "análise combinatória". 
 As regras básicas de contagem são revisadas a seguir. 
2.5.1 Regra da multiplicação 
 A primeira regra de contagem aplica-se à situação em que o experimento 
aleatório E compreende a realização simultânea ou sucessiva de dois experimentos 
mais simples E1 e E2. Nessa situação, cada resultado elementar s do experimento E 
consiste de um par ordenado de resultados parciais s1 e s2, respectivamente dos 
experimentos E1 e E2. 
 Dois resultados parciais s1 e s2 constituem um par ordenado se o par (s1, s2) é 
diferente do par (s2, s1). 
 
 Nesse texto denota-se o par ordenado de resultados parciais (s1, s2) mais 
simplesmente por s1s2. 
Exemplo 2.11 
 Considere-se o experimento de dois lançamentos sucessivos de uma moeda e 
observação das faces que resultam voltadas para cima (Exemplo 2.9). Determine o número de 
resultados elementares do espaço básico desse experimento aleatório. 
 Cada resultado elementar desse experimento é o par ordenado constituído pelo resultado 
parcial de cada um dos dois lançamentos sucessivos da moeda. Assim, se a face observada no 
primeiro lançamento da moeda é par (P) e a face observada no segundo lançamento é ímpar 
(I), o resultado elementar dos dois lançamentos sucessivos é PI; se o primeiro lançamento 
resulta em ímpar e o segundo em par, o resultado é IP. Desse modo, PI e IP são dois resultados 
elementares distintos. O espaço básico é constituído pela associação de cada um dos dois 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 47 
resultados que podem ser obtidos no primeiro lançamento da moeda com cada um dos dois 
resultados que podem ser obtidos no segundo lançamento; portanto, n(S) = 2×2 = 4. 
 O processo de contagem ilustrado por esse exemplo é generalizado pela seguinte 
regra: 
 Regra da multiplicação para pares ordenados: Se o primeiro elemento de um 
par ordenado pode assumir n1 valores distintos e para cada um desses n1 valores o 
segundo elemento do par pode assumir n2 valores distintos, então o número de 
distintos pares ordenados que podem ser constituídos é n1×n2. 
 
 Essa regra da multiplicação aplica-se para a contagem do número de resultados 
possíveis de um experimento que compreende a realização de dois experimentos mais 
simples, como segue: 
 Se um experimento aleatório E compreende a realização de dois experimentos 
E1 e E2 o primeiro dos quais pode ter n1 resultados distintos e para cada um desses 
resultados o segundo experimento pode ter n2 resultados distintos, então o 
experimento combinado E pode ter n1×n2 resultados distintos. 
 
 Cada um dos resultados elementares de qualquer evento do experimento 
E compreende a associação de um resultado elementar do experimento E1 e um 
resultado elementar do experimento E2. Logo, a regra da multiplicação também é 
aplicável à contagem do número de resultados favoráveis a eventos do espaço básico 
S: Se n1(A) e n2(A) são os números dos resultados elementares dos experimentos E1 e 
E2, respectivamente, que associados constituem os resultados do experimento E que 
são favoráveis a um evento A, então, o número dos resultados do experimento 
combinado que são favoráveis a A é n1(A)×n2(A). 
 No presente contexto, interessa a utilização da regra da multiplicação para a 
contagem dos resultados elementares de um experimento E que compreende a 
realização de dois experimentos parciais E1 e E2 cujos resultados elementares são 
Introdução à Probabilidade 48 
equiprováveis. O cálculo de probabilidades de eventos do experimento E fundamenta-
se no seguinte princípio ou propriedade: 
 Se os n1 resultados elementares de um experimento E1 são igualmente 
verossímeis e os n2 resultados de um experimento E2 são igualmente verossímeis , 
então os n1×n2 resultados elementares do experimento composto dos experimentos 
E1 e E2 também são igualmente verossímeis. 
 
 Essa implicação da igual verossimilhança dos resultados de dois experimentos 
parciais e a igual verossimilhança dos resultados do experimento combinado pode ser 
considerada como um axioma ou um teorema, dependendo do sistema lógico adotado. 
Aqui, ela é adotada simplesmente como uma regra testada útil para a construção de 
modelos de probabilidade com essa estrutura. Essa regra é consistente com definições 
e regras subseqüentes referentes à "probabilidade condicionada" (Seção 3.5). 
 Essa regra ressalta a importância de que na listagem e contagem dos resultados 
elementares do experimento combinado E pela regra da multiplicação seja distinguido 
a qual dos dois experimentos E1 e E2 corresponde cada um dos resultados parciais 
associados para constituir um resultado elementar de E, ou um fator do produto n1×n2. 
Assim, no experimento de dois lançamentos sucessivos de uma moeda (Exemplo 2.9), 
pode-se especificar dois espaços básicos alternativos S1 = {CC, cc, Cc, cC} e S2 = 
{"CC", "cc", "Cc"}, onde Cc é denota a ocorrência de cara no primeiro lançamento e 
coroa no segundo, e "Cc" denota a ocorrência de cara e coroa sem levar em conta as 
ordens dos lançamentos em que ocorrem cara e coroa. A aplicação da regra da 
multiplicação gera o espaço básico S1, não o S2 (Exemplo 2.11); portanto, a igual 
verossimilhança dos resultados tanto do experimento E1 como E2 aplica-se aos 
resultados elementares do espaço básico S1, conforme foi antecipado pelo Exemplo 
2.9. 
 O Exemplo 2.7 e o Exemplo 2.8 ilustram o uso da regra da multiplicação. Outra 
ilustração é provida pelo exemplo que segue. 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 49 
Exemplo 2.12 
 Experimento: Escolha por um agricultor de uma cultivar e de uma época de semeadura 
para o cultivo do arroz. São disponíveis para o agricultor duas cultivares de arroz (C1 e C2) 
cada uma das quais pode ser semeada em três épocas (E1, E2 e E3). a) Quantos resultados 
alternativos podem decorrer desse processo de escolha? b) Se o agricultor proceder às 
escolhas da cultivar e da época de semeadura de modo aleatório,qual é a probabilidade de que 
ele escolha semear a cultivar C1 na época E1 ou na época E2? 
 Esse experimento compreende dois experimentos mais simples: escolha de uma cultivar 
e escolha de uma época de semeadura. O primeiro experimento pode ter n1 = 2 resultados: C1 e 
C2, e para qualquer dessas cultivares que seja escolhida o segundo experimento pode ter n2 = 3 
resultados: E1, E2 e E3. O número de resultados possíveis do experimento combinado, ou seja, 
do processo de escolha de uma cultivar e de uma época de semeadura é, portanto, n1×n2 = 2×3 
= 6. 
 b) Os resultados dos dois experimentos parciais que associados constituem resultados 
favoráveis ao evento A: semeadura da cultivar C1 na época E1 ou na época E2, são, 
respectivamente, C1 e (E1, E2). Logo, o número de resultados favoráveis a esse evento é 1×2 = 
2. Portanto, segundo o conceito clássico de probabilidade: 
2 1
P(A) = =
6 3
. 
 A estrutura do espaço básico de um experimento aleatório em que se aplica a 
regra da multiplicação pode ser representada por um diagrama de árvore. Um 
diagrama de árvore para um conjunto de n1×n2 pares ordenados inicia-se em um ponto 
à esquerda, a partir do qual origina-se um ramo de primeira geração para cada um dos 
n1 distintos valores que o primeiro elemento do par pode assumir. Na extremidade de 
cada um desses n1 ramos de primeira geração, origina-se um ramo de segunda geração 
para cada um dos n2 distintos valores que o segundo elemento do par pode assumir. 
Portanto, o número total de ramos de segunda geração, ou o número de caminhos 
alternativos que podem ser percorridos da origem à extremidade de um ramo de 
segunda geração, é n1×n2. Cada um desses ramos de segunda geração, ou desses 
caminhos, corresponde a um dos n1×n2 possíveis pares ordenados. 
Introdução à Probabilidade 50 
Exemplo 2.12 (continuação) 
 Considere-se a construção de um diagrama de árvore para representar a estrutura do 
espaço básico do experimento aleatório de que trata o Exemplo 2.12. 
 O diagrama de árvore (Figura 2.3) se inicia em um ponto à esquerda, a partir do qual 
originam-se 3 ramos, correspondentes às 3 épocas de semeadura alternativas E1, E2 e E3; na 
extremidade de cada um desses 3 ramos, originam-se 2 novos ramos, correspondentes às 2 
cultivares alternativas C1 e C2. As 3×2 = 6 alternativas possíveis do processo de escolha de 
uma época de plantio e de uma cultivar (E1C1, E1C2, E2C1, E2C2, E3C1, E3C2) são representadas 
pelos 6 caminhos distintos ao longo dos ramos da árvore. 
 
Figura 2.3. Diagrama de árvore que representa o processo de escolha de cultivar 
e época de semeadura para o cultivo de arroz, quando são 
disponíveis duas cultivares que podem ser semeadas em três épocas. 
 A regra da multiplicação estende-se para a situação em que os resultados 
elementares do espaço básico são conjuntos ordenados de mais de dois resultados 
parciais. 
Exemplo 2.13 
 Experimento: Cinco lançamentos sucessivos de uma moeda e observação das cinco 
faces que resultam voltadas para cima. a) Determine: i) o número de resultados possíveis 
desse experimento; ii) o número desses resultados que são favoráveis ao evento E: cara nos 
três primeiros lançamentos. b) Determine a probabilidade desse evento E, na suposição de que 
a moeda é balanceada e que os lançamentos são isentos. 
 a) i) O espaço básico desse experimento é constituído pela associação de cada um 
dos dois resultados que podem ser obtidos no primeiro lançamento da moeda com cada um dos 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 51 
dois resultados que podem ser obtidos no segundo lançamento, com cada um dos dois 
resultados que podem resultar no terceiro lançamento, etc., de modo que n(S) = 2×2×2×2×2 = 
25 = 32. 
 ii) O evento E ocorrerá se todos os 3 primeiros lançamentos da moeda resultarem 
em cara, qualquer que sejam os resultados do quarto e do quinto lançamento. Há apenas uma 
possibilidade de resultarem 3 caras nos 3 primeiros lançamentos, e há dois resultados possíveis 
em cada um dos dois últimos lançamentos. Portanto, o número de resultados favoráveis a 
ocorrência do evento E é: 1×2×2 = 4. 
 b) A probabilidade do evento E é, portanto, 
4 1
P(E) = =
32 8
. 
 O processo de contagem ilustrado por esse exemplo é generalizado pela seguinte 
regra: 
 Regra geral da multiplicação. Se o primeiro elemento de um conjunto 
ordenado de r elementos pode assumir n1 valores distintos, para cada um dos quais o 
segundo elemento do conjunto pode assumir n2 valores distintos, para cada um dos 
quais o terceiro elemento pode assumir n3 valores distintos,..., e para cada um dos nr-
1 valores distintos que o elemento r-1 pode assumir, o r-ésimo elemento pode 
assumir nr valores distintos, então o número de conjuntos ordenados que podem ser 
constituídos é n1×n2×...×nr. 
 
 A estrutura de um espaço básico constituído por conjuntos ordenados de r 
elementos também pode ser representada por um diagrama de árvore. Para essa 
situação, o diagrama é estendido pela adição de ramos de terceira geração, originados 
na extremidade de cada um dos ramos de segunda geração; de ramos de quarta 
geração, originados nas extremidades de cada um dos ramos de terceira geração, e 
assim sucessivamente, até ramos de r-ésima geração, originados nas extremidades de 
cada um dos ramos de geração r-1. 
Exemplo 2.14 
 Considere-se uma extensão do experimento aleatório do Exemplo 2.12 em que o 
agricultor, além da cultivar e da época de semeadura, tem que escolher um de três métodos de 
Introdução à Probabilidade 52 
plantio (M1, M2 e M3) e um fungicida entre os quatro disponíveis no mercado (F1, F2, F3 e F4). 
Quantas alternativas o agricultor tem que considerar para proceder à decisão? 
 Há n1×n2×n3×n4 = 3×2×3×4 = 72 quádruplos da forma (Ci, Ej, Mk, Fl), i = 1, 2, 3, j = 1, 
2, k = 1, 2, 3, l = 1, 2, 3, 4. Assim, há 72 modos de escolha de uma de 3 cultivares, uma de 2 
épocas de plantio, um de 3 métodos de plantio e um de 4 fungicidas. 
Exercícios 2.2 
1. Uma indústria adota um processo de três estágios para a fabricação de um certo tipo de 
equipamento que tem 4 linhas de montagem alternativas para o primeiro estágio, 3 para o 
segundo estágio e 5 para o terceiro estágio. De quantas formas diferentes quanto a linhas 
de montagem esses equipamentos podem ser produzidos por essa indústria? 
2. Uma pessoa que está para escolher uma refeição composta de uma salada, um prato 
quente, uma sobremesa e uma bebida, tem à disposição um cardápio de 6 saladas, 3 pratos 
quentes, 5 sobremesas e 4 bebidas. 
a) Quantas distintas refeições essa pessoa tem disponível para sua escolha? 
b) Suponha que 2 das 6 saladas têm maionese, 1 dos 3 pratos quentes é de galinha, 3 das 
5 sobremesas contém ovo e 2 das 4 bebidas são vinho branco. Entre quantas distintas 
refeições que estão disponíveis no cardápio pode ser escolhida uma constituída de uma 
salada sem maionese, um prato quente de galinha, uma sobremesa sem ovo, e um 
vinho branco? 
c) Se a pessoa efetua sua escolha aleatoriamente, qual é a probabilidade de que seja 
escolhida uma refeição constituída por uma salada sem maionese, um prato quente de 
galinha, uma sobremesa sem ovo e vinho branco? 
3. Um experimento está sendo planejado para pesquisar o rendimento de 4 cultivares de soja 
em 3 espaçamentos de plantio diferentes. 
a) Quantas parcelas são necessárias, se cada combinação de cultivar e rendimento deve 
ser atribuída a uma e apenas uma parcela? 
b) Quantas parcelas são necessárias, se cada uma dessas combinações deve ser atribuída a 
quatro parcelas? 
4. No percurso de sua casa para o local de trabalho, uma pessoa pode utilizar quatro rotas 
alternativas A, B, C e D. Essas mesmas rotas podem ser utilizadaspara o retorno para 
casa. 
a) Esquematize, através de um diagrama de árvore, os caminhos alternativos que essa 
pessoa pode utilizar para ir ao trabalho e voltar para casa. Quantos são esses caminhos? 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 53 
b) Supondo que a rota de ida para o trabalho e a de volta para casa sejam escolhidas 
aleatoriamente, qual é a probabilidade de que a pessoa: i) utilize a mesma rota na ida e 
na volta para o trabalho? ii) não utilize a mesma rota na ida e na volta para o trabalho? 
c) Responda questões semelhantes às formuladas nos itens a) e b) sob a condição de que 
a pessoa não utilize a mesma rota na ida e na volta ao trabalho. 
5. Suponha que as rotas B e C consideradas no exercício 4 sejam de um único sentido e que a 
pessoa possa utilizar a rota B somente no percurso de casa para o trabalho e a rota C 
apenas no sentido contrário. Responda às mesmas questões formuladas naquele exercício 
sob estas novas condições. 
6. Nas eleições majoritárias simultâneas para Presidente da República, Governador do Estado 
e Prefeito do Município, há, respectivamente, 6, 4 e 3 candidatos. 
a) De quantos modos um eleitor pode marcar sua cédula para todos esses três cargos? 
b) Quantas escolhas alternativas um eleitor tem para votar, se ele exerce sua opção de não 
votar em: i) Presidente? ii) Governador? iii) Presidente e Governador? 
c) Suponha que um dado eleitor está indeciso e, por essa razão, decide escolher os 
candidatos aleatoriamente. Qual é a probabilidade de que esse eleitor escolha um 
candidato da preferência dos atuais governantes, se são da preferência desses 
governantes 2 dos candidatos a Presidente, 2 dos candidatos a Governador e um dos 
candidatos a Prefeito? 
7. Um sistema compreende seis mecanismos cada um dos quais pode ser conectado em uma 
de quatro posições. 
a) De quantos modos esse sistema pode ser disposto quanto às formas alternativas de 
conexões de seus 6 mecanismos: i) se a ordem de conexão desses mecanismos é 
irrelevante? ii) se essa ordem é importante? 
b) Suponha que os 6 mecanismos sejam instalados em uma ordem preestabelecida. De 
quantos modos o sistema pode ser disposto, se os dois primeiros mecanismos não 
puderem estar conectados em igual posição? 
c) Ainda supondo que os 6 mecanismos sejam instalados em uma determinada ordem, de 
quantos modos o sistema pode ser disposto, se dois sistemas adjacentes não puderem 
estar conectados em igual posição? 
d) Quantas maneiras de disposição são possíveis, se apenas as duas primeiras posições de 
cada um dos 6 mecanismos forem usadas? 
8. Quantos resultados possíveis constituem o espaço básico de cada um dos seguintes 
experimentos aleatórios: a) lançamento de um dado branco e um dado preto e observação 
Introdução à Probabilidade 54 
das faces que se voltam para cima; b) lançamento de uma moeda e um dado e observação 
das faces que se voltam para cima; c) preenchimento de um teste de 12 questões em que 
cada uma delas deve ser respondida com uma de duas respostas alternativas: verdadeiro ou 
falso. 
9. Um teste de múltipla escolha consiste de dez questões, cada uma das quais permite uma 
escolha entre três alternativas. 
a) De quantas maneiras diferentes um estudante pode escolher suas respostas a essas 
questões? 
b) Supondo que apenas uma alternativa de cada questão seja correta e que um estudante 
responda as questões aleatoriamente, qual é a probabilidade de que ele acerte: i) todas 
as questões? ii) as primeiras seis questões? 
10. Uma caixa contém três pedras identificadas pelos números 1, 2 e 3. Considere o 
experimento de 3 extrações sucessivas aleatórias de uma pedra dessa caixa, com a 
reposição da pedra após cada extração, e registro da seqüência de números resultante. 
a) Construa um diagrama de árvore para determinar os resultados possíveis desse 
experimento. 
b) De quantos modos distintos podem resultar: i) três números iguais? ii) três números 
diferentes? iii) exatamente dois números iguais? 
c) Obtenha as probabilidades dos eventos definidos no item anterior. 
11. Um baralho consiste de 52 cartas, das quais 13 são de cada um de 4 naipes diferentes: 
ouros, copas, espadas e paus. O conjunto de cartas de cada naipe é constituído de 9 cartas 
numeradas de 2 a 10, um ás (também carta número 1), um valete, uma dama e um rei. 
Considere a extração aleatória de 3 cartas desse baralho, com reposição. 
a) Determine a probabilidade de que resulte uma carta de ouros, uma de paus e uma de 
copas: i) nesta ordem? ii) em qualquer ordem. 
b) Qual é a probabilidade de que sejam extraídas duas cartas de ouros e, em seguida, uma 
carta de paus ou de espadas? 
12. Reconsidere o exercício 11 sob a condição de que as cartas extraídas não sejam repostas. 
2.5.2 Regras das permutações 
 A regra da multiplicação aplica-se à contagem do número de resultados possíveis 
de um experimento que compreende dois ou mais experimentos mais simples com 
espaços básicos completamente diferentes (seleções de uma cultivar, uma época de 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 55 
semeadura, um método de plantio e um fungicida, Exemplo 2.14), ou com mesmo 
espaço básico (lançamentos sucessivos de uma moeda, Exemplo 2.13). 
 Essa regra aplica-se particularmente à extração sucessiva de elementos de um 
conjunto com reposição do elemento extraído antes da próxima extração (Exemplo 
2.7), ou sem reposição dos elementos extraídos (Exemplo 2.8). Considere-se, agora, a 
seleção sucessiva de todos os elementos de um conjunto sem reposição. Esse processo 
gera uma seqüência ordenada dos elementos do conjunto tal que cada um desses 
elementos aparece uma e apenas uma vez na seqüência. 
 Uma seqüência ordenada de n elementos é denominada uma permutação 
desses n elementos. 
 
 Embora uma seqüência ordenada seja freqüentemente denotada pela listagem de 
seus elementos entre parênteses, é usual denotar uma permutação pela justaposição de 
seus elementos segundo sua ordem na permutação. Assim, acb é uma permutação das 
letras a, b e c. 
 O número de permutações que podem ser formadas com os elementos de um 
conjunto é determinado pela seguinte regra: 
 Regra das permutações. O número de permutações de n elementos distintos, 
denotado por Pn, é: 
 Pn = n×(n-1)×(n-2)×...×2×1. 
 
 Equivalentemente, Pn = 1×2×...×n. Esta expressão é o produto dos n primeiros 
números naturais, que é designado de fatorial de n e denotado por n! Por definição, 0! 
=1; portanto, P0 = 1. 
Exemplo 2.15 
 Liste as permutações das três primeiras letras do alfabeto: a, b e c, e determine o seu 
número. 
 As distintas seqüências ordenadas das 3 letras a, b e c são: abc, acb, bac, bca, cab e cba. 
Portanto, o número de seqüências ordenadas, ou permutações, das 3 letras, é 6, ou seja, P3 = 
3×2×1 = 6. 
Introdução à Probabilidade 56 
 De modo geral, permutar n objetos equivale a colocá-los dentro de uma caixa de 
n compartimentos em dispostos lado a lado, em alguma ordem (Figura 2.4). O número 
de permutações dos n objetos é o número de diferentes configurações que podem 
resultar da disposição dos n objetos na caixa. 
 
Figura 2.4. Ilustração do processo de permutação de n objetos o1, o2,..., on. 
 As permutações distinguem-se pela ordem dos elementos. Assim, a regra das 
permutações pode ser derivada pelo seguinte argumento e a utilização da regra da 
multiplicação: cada um dos n elementos pode ser o primeiro em uma ordenação 
particular dos n elementos; cada um desses n elementos que seja escolhido como 
primeiro pode associar-se com cada um dos n-1 elementos restantes, de modo que, 
pela regra da multiplicação, tem-se n×(n-1) diferentes ordenações possíveis para os 
dois primeiros elementos;cada uma dessas n×(n-1) ordenações pode associar-se com 
cada um dos n-2 elementos restantes, de modo que, segundo a mesma regra, tem-se 
n×(n-1)×(n-2) ordenações distintas até o terceiro elemento; em geral, há n×(n-1)×(n-
2)×...×[n-(r-1)] distintas ordenações dos r primeiros elementos, cada uma das quais 
pode associar-se com cada um dos r-1 restantes elementos; o número de fatores desse 
produto cresce, enquanto os fatores vão decrescendo de uma unidade, até a etapa r=n, 
quando é incluído o n-ésimo elemento da ordenação e o fator torna-se igual a 1. 
Exemplo 2.16 
 Um experimento é conduzido para a comparação de cinco cultivares de feijão A, B, C, 
D e E quanto à produção de grãos. Ao fim do experimento, as cultivares são ordenadas 
segundo as grandezas de suas médias observadas. a) Quantas diferentes listagens das cultivares 
podem resultar, supondo que não podem resultar duas cultivares com mesma produção? b) 
Em quantas dessas listagens as cultivares A e B aparecem nos dois primeiros lugares? c) 
Supondo que as 5 cultivares não diferem quanto à produtividade, qual é a probabilidade de que 
as cultivares A e B se revelem as mais produtivas por mero acaso? 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 57 
 a) Qualquer uma das cinco cultivares pode resultar como mais produtiva. Para cada uma 
delas que resulte mais produtiva, há quatro cultivares restantes que podem resultar com a 
segunda maior produção. Portanto, há 5×4=20 diferentes ordenações das 5 cultivares para os 
dois primeiros lugares em produção. Para cada um desses 20 resultados distintos, há 3 
cultivares restantes qualquer uma das quais pode ter a terceira produção mais elevada; 
portanto, há 5×4×3 = 60 ordenações distintas das 5 cultivares para as 3 primeiras colocações. 
Para cada uma dessas 60 ordenações, há duas cultivares restantes qualquer uma das quais pode 
ter a penúltima produção; logo, há 5×4×3×2 = 120 distintas ordenações para as 4 cultivares de 
maiores produções entre as 5. Como há apenas uma cultivar restante, o número total de 
ordenações ou permutações das 5 cultivares quanto às grandezas de suas médias é 5×4×3×2×1 
= 120. 
 Naturalmente, esse mesmo resultado pode ser obtido pela aplicação direta da regra das 
permutações: o número de diferentes listagens das 5 cultivares que podem resultar é: P5 = 
5×4×3×2×1 = 120. 
 b) Em uma lista em que as cultivares A e B ocupam os dois primeiros lugares, as 3 
cultivares restantes, ou seja, C, D e E, devem ocupar o terceiro, quarto e quinto lugares. O 
número de listas em que A e B aparecem nos dois primeiros lugares é o número de diferentes 
ordenações de C, D e E nas 3 últimas posições, isto é: P3 = 3×2×1 = 6. 
 c) Segundo os resultados obtidos nos itens anteriores, 
6 1
P(A e B sejam as mais produtivas) = =
120 20
. 
Permutações com repetições 
 Essa regra das permutações pressupõe que os n elementos são distintos. Dessa 
forma, essa regra não se aplica a situações em que os n elementos não são todos 
distintos, como ilustrado no exemplo que segue. 
Exemplo 2.17 
 Quantas permutações podem ser obtidas com as letras da palavra “consolo”? 
 Considerando, por um momento, as três repetições da letra "o" como três letras distintas 
(pela aposição de subscritos; por exemplo, “co1nso2lo3”), o número de permutações das 7 
"letras" é P7 = 7! Entretanto, como, de fato, o1, o2 e o3 simbolizam a mesma letra "o", as 
ordenações dessas 7 "letras" em que o1, o2 e o3 ocupam as mesmas 3 posições particulares 
Introdução à Probabilidade 58 
constituem uma mesma permutação. Esse número de ordenações é P3 = 3! Agora, para cada 
ordenação daquelas 7 "letras" há P3 = 3! ordenações que constituem uma mesma permutação. 
Portanto, há apenas P7/P3 = 7!/3! = 7×6×5×4 = 840 permutações (diferentes) das letras da 
palavra “consolo”. 
 Esse argumento pode ser generalizado como segue: 
 Regra das permutações com repetições. O número de permutações de n 
elementos que se classificam em k categorias, com ni elementos iguais na i-ésima 
categoria (n1+n2+...+nk = n) e elementos de diferentes categorias distintos, denotado 
por 
1 2 kn(n ,n ,...,n )
P , é: 
 
!n...!n!n
!nP
k21
)n,...,n,n(n k21 = . 
 
 Para verificar essa expressão, observe-se que n1! das n! permutações dos n 
elementos são idênticas em decorrência da identidade dos n1 elementos da categoria 1. 
Assim, apenas n!/n1! ordenações podem diferir quanto aos elementos das demais 
categorias. Entretanto, n2! dessas ordenações são idênticas, dada a identidade dos n2 
elementos da categoria 2, de modo que apenas n!/n1!n2! ordenações podem diferir 
quanto aos elementos das categorias 3, 4,..., k. Estendendo-se esse raciocínio, conclui-
se que apenas n!/n1! n2!...nk! ordenações dos n elementos são distintas. 
Exemplo 2.17 (continuação) 
 Qual é a probabilidade de que a escolha aleatória de uma das permutações das letras da 
palavra "consolo" resulte em uma "palavra" terminada com a letra "o"? 
 Para responder a essa questão, observe-se que a letra "o" aparece repetida 3 vezes na 
palavra "consolo". Qualquer que seja uma dessas 3 repetições dessa letra, as demais 6 letras 
dessa palavra devem antecedê-la para completar uma "palavra" com todas as sete "letras" da 
palavra "consolo". Logo, considerando, por um momento, as três repetições da letra "o" como 
se fossem 3 letras distintas, tem-se 3×P6 "palavras" terminadas em "o". Então, pelo mesmo 
argumento anterior, segue-se que o número de palavras distintas que podem ser constituídas 
com as 7 letras da palavra "consolo" terminadas em "o" é 6 33×P P = 360 . 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 59 
 Como o número de permutações de letras da palavra "consolo", obtido anteriormente, é 
840, a probabilidade de que uma dessas permutações escolhida aleatoriamente termine em "o" 
é: 360/840 = 3/7. 
Permutações circulares 
 O conceito estabelecido anteriormente de permutação como uma seqüência 
ordenada de elementos distintos supõe a disposição dos elementos em linha. Em 
algumas situações, pode ser de interesse considerar a disposição de elementos em 
círculo. 
 Uma permutação de elementos dispostos em um círculo é designada de 
permutação circular. 
 
 Duas disposições circulares de um mesmo conjunto de elementos distintos 
constituem uma mesma permutação circular se as ordenações dos elementos em torno 
de um círculo são iguais, ou seja, se cada um dos elementos é precedido e seguido nas 
duas disposições pelos mesmos elementos no sentido do deslocamento dos ponteiros 
de um relógio. Em outras palavras, uma permutação circular não se altera se todos os 
elementos se deslocam um mesmo número de posições em um mesmo sentido em 
torno do círculo. Por exemplo, se cinco pessoas estão sentadas em torno de uma mesa, 
não se obtém uma nova permutação circular se elas mudam de lugares mantendo as 
mesmas posições relativas, como ocorre quando todas elas se deslocam para a próxima 
posição à direita. 
Exemplo 2.18 
 Em quantas distintas configurações de vizinhanças em torno de uma mesa podem 
sentar-se cinco pessoas para jogar cartas? 
 Para uma das 5 pessoas em uma posição fixa, as outras quatro pessoas podem sentar-se 
em P4 = 4! disposições diferentes em torno da mesa. Como a fixação dessa pessoa em qualquer 
das outras quatro posições gera a mesma configuração de vizinhança se todas as 5 pessoas 
mantém as mesmas posições relativas, há P4 = 4! = 24 configurações de vizinhanças distintas 
das 5 pessoas em torno da mesa. Em outras palavras, o número de permutações circulares de 5 
pessoas em torno de uma mesa é P4 = 4! = 24. 
 O argumento ilustrado no Exemplo 2.18 é generalizado pela seguinte regra: 
Introdução à Probabilidade 60 
 Regra das permutações circulares.O número de permutações circulares de n 
elementos distintos, designado por PCn, é: 
 PCn = (n-1)(n-2)...2.1, 
ou seja, 
 PCn = (n-1)! = Pn-1. 
 
Exemplo 2.18 (continuação) 
 Se 5 pessoas A, B, C, D e E se sentam em 5 cadeiras em torno de uma mesa de modo 
aleatório, qual é a probabilidade de que, A e B situem-se em posições contíguas? 
 Para o indivíduo A em uma posição fixa e o B na posição contígua à sua direita, os 
indivíduos B, C e D podem dispor-se em P3 = 3! diferentes ordenações nas outras 3 posições 
em torno da mesa. Semelhantemente, para B em uma posição fixa e A na posição imediata à 
direita de B, os demais 3 indivíduos podem dispor-se em P3 = 3! diferentes ordenações nas 
outras 3 posições. Se A ou B mudam de posição em torno da mesa com todos os 5 indivíduos 
mantendo as mesmas posições relativas, a configuração de vizinhança das 5 pessoas não se 
altera. Portanto, o número de disposições das 5 pessoas em torno de uma mesa com A e B em 
posições contíguas é: 2× P3 = 2×3! = 12. 
 Como o número de configurações de vizinhanças distintas das 5 pessoas em torno da 
mesa, determinado anteriormente, é 24, segue-se que a probabilidade de que A e B situem-se 
em posições contíguas é 12/24 = 1/2. 
2.5.3 Regra dos arranjos 
 A regra das permutações aplica-se à extração sucessiva de todos os elementos de 
um conjunto sem reposição do elemento extraído antes da próxima extração. 
Considere-se, agora, a seleção sucessiva de parte dos elementos de um conjunto sem 
reposição dos elementos. 
 Uma seqüência ordenada de r elementos tomados de um conjunto de n 
elementos (r≤n) é denominada um arranjo de tamanho r desses n elementos. 
 
 Adota-se para arranjo a mesma notação de permutação. Assim, ac é um arranjo 
das letras a e c. 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 61 
 Observe-se que um arranjo com r=n é uma permutação. Logo, a regra dos 
arranjos que segue é uma generalização da regra das permutações: 
 Regra dos arranjos. O número de arranjos de r elementos tomados de um 
conjunto de n elementos distintos, denotado por A n
r , é: 
 A n
r = n(n-1)(n-2)...(n-r+1) (r fatores). 
 
 Outras notações também são usadas para denotar o número de arranjos de r 
elementos selecionados de um conjunto de n elementos: A(n, r), Anr, nAr, e (n)r. 
 A partir das expressões das regras das permutações e dos arranjos e tendo em 
conta que, por definição, 0! = 1, pode-se derivar a seguinte relação: 
n
r n!A =
(n - r)!
, ou seja: r nn
n-r
PA =
P
. 
Exemplo 2.19 
 Enumere os arranjos de duas letras tomadas do conjunto das três primeiras letras do 
alfabeto: a, b e c, e obtenha e o seu número. 
 As distintas seqüências ordenadas que podem ser constituídas com duas das três letras a, 
b e c são: ab, ac, ba, bc, ca e cb. Logo, o número de seqüências ordenadas, ou arranjos, de 2 
dessas 3 letras é 6, isto é, 23A = 3×2 = 6. 
 De modo geral, arranjar r objetos de um conjunto de n objetos equivale a colocar 
um subconjunto de r dos n objetos dentro de uma caixa de r compartimentos dispostos 
lado a lado, em alguma ordem (Figura 2.5). O número de arranjos de r dos n objetos é 
o número de configurações que podem resultar da disposição dos objetos na caixa que 
diferem quanto à composição de objetos e à sua ordem. 
 
Figura 2.5.Ilustração do processo de arranjo de r objetos tomados de um 
conjunto de n objetos o1, o2,..., on. 
Introdução à Probabilidade 62 
Exemplo 2.20 
 Três integrantes de uma turma de 24 estudantes do Curso de Matemática devem ser 
escolhidos para constituir uma comissão representativa da turma, composta de presidente, 
secretário e tesoureiro. a) Quantas composições alternativas podem ser consideradas para a 
escolha da comissão? b) Quantas dessas comissões são integradas por 5 dos 24 estudantes 
cujo primeiro nome tem inicial A? c) Se a escolha da comissão for procedida por processo 
aleatório, qual é a probabilidade de que seja escolhida uma comissão constituída por 
estudantes com primeiro nome iniciado pela letra A? 
 a) O número de comissões de 3 estudantes com funções distintas (presidente, 
secretário e tesoureiro) que podem ser formadas com integrantes de uma turma de 24 
estudantes é o número de arranjos de 3 estudantes tomados desse conjunto de 24 
estudantes, ou seja: 324A = 24×23×22=12.144 . 
 b) Uma comissão de 3 estudantes com primeiro nome iniciado pela A terá que ser 
constituída de 3 dos 5 estudantes cujo primeiro nome tem inicial A. Logo, o número dessas 
comissões é: 35A = 5×4×3 = 60 . 
 c) Logo, a probabilidade da escolha aleatória de uma comissão integrada por 3 
estudantes com primeiro nome iniciado pela letra A é: 60/12.144 = 5/1.012. 
Exemplo 2.21 
 Cada um de três antibióticos A, B e C deve ser aplicado a um animal diferente de um 
subconjunto de três animais selecionados aleatoriamente de um conjunto de doze animais. a) 
Quantas assinalações dos antibióticos que diferem quanto à relação entre antibióticos e animais 
são possíveis? b) Se 6 dos 12 animais são sadios e os demais apresentam a infecção para cujo 
controle destina-se a aplicação dos antibióticos, qual é a probabilidade de que esses 
antibióticos sejam aplicados a animais sadios, que, portanto, não manifestarão resposta ao 
antibiótico? 
 a) O número de assinalações dos 3 antibióticos A, B e C a 3 dos 12 animais que diferem 
quanto aos animais e à atribuição dos animais é igual ao número de arranjos de 3 dos 12 
animais, ou seja, 312A = 12×11×10 = 1.320 . 
 Naturalmente, esse resultado pode ser derivado sem o recurso à regra dos arranjos. 
Considerem-se as assinalações dos antibióticos A, B e C como três etapas de um experimento. 
Qualquer um dos 12 animais disponíveis pode ser escolhido para a aplicação do antibiótico A. 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 63 
Para qualquer escolha de um animal para A, há 11 animais restantes, qualquer um dos quais 
pode ser escolhido para a assinalação do antibiótico B. Assim, quanto à assinalação dos 
antibióticos A e B, o número de escolhas possíveis, de acordo com a regra do produto, é 12×11 
= 132. Por sua vez, após qualquer uma destas 132 diferentes assinalações dos antibióticos A e 
B, há 10 animais restantes a qualquer um dos quais pode ser assinalado o antibiótico C. Logo, 
o número total das possíveis assinalações dos três antibióticos é 12×11×10 = 1.320. 
 b) Os 3 antibióticos serão assinalados a 3 animais sadios se esses animais forem 
selecionados do subconjunto de 6 animais sadios. Logo, o número de assinalações dos 
antibióticos a animais sadios é: 36A = 6×5×4 = 120 . Portanto, a probabilidade de que os 3 
antibióticos sejam aplicados a animais sadios é: 120/1320 = 1/11. 
Exercícios 2.3 
1. No processo de inspeção de qualidade de um produto fabricado por seis máquinas, o 
engenheiro supervisor inspeciona as seis máquinas diariamente. Para evitar que os 
operários saibam quando ele os irá inspecionar, a ordem de inspeção varia e é determinada 
para cada dia. Entre quantas distintas ordenações, o engenheiro deve escolher aquela a ser 
adotada em um dia particular? 
2. Seis pessoas encaminham-se para formar uma fila para tomar um ônibus. a) De quantos 
modos essas seis pessoas podem formar a fila? b) Em quantas disposições essas pessoas 
podem colocar-se na fila de modo que duas delas particulares ocupem o primeiro e o 
último lugar? c) Em quantas disposições essas pessoas podem colocar-se na fila se duas 
delas se recusam a se situarem em posições contíguas? d) Se essas pessoas se dispõem na 
fila em ordem aleatória, qual é a probabilidade de que: i) as duas pessoas consideradas no 
item b) ocupem os extremos da fila? ii) as duas pessoas referidas no item c) se situem em 
posiçõescontíguas? 
3. Cinco homens e quatro mulheres devem sentar-se em uma fila de cadeiras numeradas de 1 
a 9. a) Em quantas disposições distintas essas pessoas podem ocupar as 9 cadeiras? b) Se 
a disposição das 9 pessoas nas 9 cadeiras é escolhida aleatoriamente, qual é a 
probabilidade de que as mulheres ocupem os lugares pares? 
4. Determine o número de "palavras" distintas que podem ser formadas com as letras da 
palavra: a) "problema"; b) "concordo". 
5. Cinco bolas vermelhas e uma bola branca são colocadas nos seis compartimentos de uma 
caixa dispostos em linha. a) Em quantas disposições diferentes essas bolas podem ser 
Introdução à Probabilidade 64 
colocadas na caixa se as bolas vermelhas distinguem-se pelos tamanhos? b) Em quantas 
disposições diferentes essas bolas podem ser colocadas na caixa se não se distinguem as 
bolas vermelhas? c) Em quantas dessas disposições: i) a bola branca situa-se em um 
compartimento extremo da caixa? ii) as bolas vermelhas situam-se em posições contíguas? 
d) Qual é a probabilidade de que: i) a bola branca se situe em um compartimento extremo 
da caixa? ii) as bolas vermelhas situem-se em posições contíguas? 
6. De quantos modos diferentes pode-se plantar 2 pinheiros, 3 carvalhos e 4 eucaliptos em 
uma linha, se não se distingue entre árvores de uma mesma espécie? Se o plantio é 
efetuado aleatoriamente, qual é a probabilidade de que os 2 pinheiros, 3 carvalhos e 4 
eucaliptos sejam plantados nessa ordem? 
7. Em um painel luminoso podem ser dispostas seis lâmpadas em uma linha horizontal. a) 
Quantos sinais diferentes podem ser formados nesse painel, cada um constituído de seis 
lâmpadas acesas simultaneamente, das quais 3 são azuis, 2 verdes e uma vermelha? b) Em 
quantos desses sinais as 2 lâmpadas azuis situam-se nos extremos do painel? c) Se as 6 
lâmpadas são dispostas no painel de modo aleatório, qual é a probabilidade de que as 2 
lâmpadas azuis se situem nos extremos do painel? 
8. Os membros de uma família de seis pessoas devem sentar-se em torno de uma mesa para a 
refeição. 
a) De quantos modos diferentes as seis pessoas podem dispor-se em torno da mesa 
quanto a suas posições relativamente a uma janela em uma das quatro paredes da sala? 
b) De quantos modos diferentes as seis pessoas podem dispor-se em torno da mesa 
quanto a suas posições relativas? 
c) De quantos modos diferentes as seis pessoas podem dispor-se em torno da mesa 
levando em conta apenas os vizinhos imediatos de cada um? 
9. Um mecanismo compreende doze componentes diferentes conectados em linha que podem 
ser montados em qualquer ordem. a) De quantos modos distintos esses componentes 
podem ser dispostos para formar o mecanismo? b) De quantos modos podem falhar três 
componentes desse mecanismo? 
10. Quatro homens e seis mulheres entram em uma sala de espera que tem um banco de 4 
lugares. a) De quantos modos distintos essas dez pessoas podem sentar-se nesse banco? 
b) Em quantas dessas disposições das 10 pessoas no banco há: i) apenas homens? ii) 
apenas mulheres? iii) 2 homens e 2 mulheres? c) Se as 10 pessoas sentam-se no banco de 
modo aleatório, qual é a probabilidade de que o banco seja ocupado: i) apenas por 
homens? ii) apenas por mulheres? iii) por 2 homens e 2 mulheres? 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 65 
11. Quatro pneus devem ser colocados nas quatro rodas de um carro. a) Em quantos modos 
diferentes os quatro pneus podem ser colocados: i) se os quatro pneus podem ser 
colocados em quaisquer das quatro rodas? ii) se dois dos quatro pneus são mais novos e 
devem ser colocados nas rodas dianteiras? b) Se os pneus são colocados nas 4 rodas de 
modo aleatório, qual é a probabilidade de que os 2 pneus mais novos sejam colocados nas 
rodas dianteiras? 
12. O controle de qualidade de uma indústria classifica os defeitos que podem resultar em uma 
peça em defeitos menores e em defeitos maiores, os quais compreendem 8 e 6 tipos, 
respectivamente. De quantas maneiras podem ocorrer: a) um defeito menor e um defeito 
maior? b) dois defeitos de cada uma das duas categorias? c) dois defeitos distintos de 
cada uma das duas categorias? 
2.5.4 Regra das combinações 
 A regra dos arranjos trata da enumeração das seqüências ordenadas de r 
elementos tomados de um conjunto de n elementos distintos. Em algumas situações, há 
interesse no número de subconjuntos de r elementos que podem ser selecionados de 
um conjunto de n elementos distintos, não importando a ordem da seleção dos 
elementos. Por exemplo, na formação de uma comissão representativa de um conjunto 
de pessoas, a ordem dos membros na lista da comissão é usualmente irrelevante. 
 Um subconjunto de r elementos tomados de um conjunto de n elementos 
distintos é denominado uma combinação de tamanho r desses n elementos. 
 
 Embora uma combinação seja um subconjunto, não se adota para combinação a 
notação de conjunto; é usual denotar uma combinação pela justaposição de seus 
elementos, de modo semelhante às notações de permutação e arranjo. Assim, ac é uma 
combinação das letras a e c. Observe-se que os 2 arranjos ac e ca constituem a mesma 
combinação ac (ou ca). 
 Como combinação significa o mesmo que subconjunto, determinar o número de 
combinações de r elementos tomados de um conjunto de n elementos é o mesmo que 
determinar o número de subconjuntos de r elementos que podem ser constituídos com 
esses n elementos. Esse número é determinado pela regra que segue: 
Introdução à Probabilidade 66 
 Regra das combinações. O número de combinações de r elementos tomados de 
um conjunto de n elementos distintos, denotado por Cn
r , é: 
 
r
n
n
r
r AC
P
= 
 n(n 1)(n 2)...(n r 1)
r(r 1)(r 2)...2.1
− − − +=
− −
. 
 
 Outras notações também são utilizadas para denotar o número de combinações 
de r elementos tomados de um conjunto de n elementos: C(n, r), Cn, r, nCr e ( )nr . 
Exemplo 2.22 
 Enumere as combinações de duas letras tomadas do conjunto das três primeiras letras do 
alfabeto: a, b e c, e determine o seu número. 
 Os subconjuntos de duas letras que podem ser formados com as letras a, b e c são: {a, 
b}, {a, c} e {b, c}. Logo as combinações de duas letras tomadas do conjunto das 3 letras a, b e 
c são: ab, ac e bc. Portanto, o número de combinações dessas 3 letras é 3, ou seja, 
2
3C = 3×2 2 =3. 
 De modo geral, combinar r objetos de um conjunto de n objetos equivale a 
colocar um subconjunto de r dos n objetos dentro de uma caixa (Figura 2.6). O 
número de combinações de r dos n objetos é o número de configurações que diferem 
quanto à composição de objetos. 
 
Figura 2.6. Ilustração do processo de combinação de r objetos tomados de 
um conjunto de n objetos o1, o2,..., on. 
 Se r<n, o número de combinações de tamanho r de elementos de um conjunto de 
n elementos é menor que o número de arranjos de tamanho r desses mesmos 
elementos. 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 67 
Exemplo 2.23 
 Considere-se o conjunto das cinco primeiras letras do alfabeto: {a, b, c, d, e}. O número 
de arranjos de tamanho 3 dessas 5 letras é 5!/(5-3)! = 60. Observe-se, por exemplo, que há 3! = 
6 arranjos de tamanho 3 constituídas das 3 letras a, b e c, já que essas 3 letras podem ser 
ordenadas de 3×2×1 = 6 modos: abc, acb, bac, bca, cab e cba. Entretanto, esses 6 arranjos 
constituem uma mesma combinação, ou seja, o subconjunto {a, b, c}. Semelhantemente, a 
qualquer outra combinação de tamanho 3 das 5 letras correspondem 3! arranjos, cada um 
originado de uma diferente ordenação das mesmas 3 letras. Dessa forma: 
3 3
5 5=A C ×3! ; 
donde: 
3
3 5
5
A
3!
C = 10= . 
Essas 10 combinações são os subconjuntos: {a, b, c}, {a,b, d}, {a, b, e}, {a, c, d}, {a, c, e}, 
{a, d, e}, {b, c, d}, {b, c, e}, {b, d, e}, {c, d, e}. 
 O argumento utilizado nesse exemplo pode ser generalizado para a justificação 
da regra das combinações pela aplicação da regra da multiplicação a um processo de 
duas etapas, da seguinte forma: a coleção dos arranjos de r elementos tomados de um 
conjunto de n elementos pode ser obtida pela seleção dos rnC subconjuntos de r 
elementos tomados desse conjunto, seguida das Pr permutações dos r elementos de 
cada um desses subconjuntos. Segue-se, portanto, que: 
r
r
n
r
n PCA ×= ; 
donde: 
r
n
n
r
r AC
P
= . 
 Propriedades das combinações: Se n é um número inteiro positivo e r é um 
número inteiro não negativo tal que r ≤ n, então: 
 1) Cn
r = n!
r!(n r)!−
; 
 2) Cn
1 = n; 
 3) Cn
n = 1; 
Introdução à Probabilidade 68 
 4) Cn
0 = 1; 
 5) r n rn nC C
−= . 
 Essas propriedades são derivadas diretamente da regra das combinações. Por 
exemplo, a primeira e a última propriedade podem ser provadas como segue: 
r
n
n
r
r A n(n 1)(n 2)...(n r 1)C
P r!
− − − += = 
 n(n 1)(n 2)...(n r 1) (n r)!
r! (n r)!
− − − + −=
−
n!
r!(n r)!
=
−
; 
e 
n r
n
n!C
(n r)! [n (n r)]!
− =
− − −
 
 rn
n! n! C
(n r)! r! r! (n r)!
= = =
− −
. 
A propriedade 5 também pode ser provada com o argumento de que quando se 
seleciona um subconjunto de r elementos de um conjunto de n elementos distintos, 
deixa-se um subconjunto de n-r elementos e, assim, há tantos modos de selecionar r 
elementos quanto são os modos de (deixar de) selecionar n-r elementos. 
Exemplo 2.24 
 O Departamento de Matemática e Estatística tem que escolher uma comissão de 5 
membros que devem ser escolhidos aleatoriamente de seu corpo docente constituído de 12 
matemáticos e os 8 estatísticos. a) Quantas distintas comissões devem ser consideradas para 
escolha? b) Qual é a probabilidade de que a comissão seja constituída de 3 matemáticos e 2 
estatísticos? 
 a) O número de subconjuntos de 5 docentes que podem ser escolhidos entre os 12 
matemáticos é: 
5
20
20×19×18 17 16C = =15.504
5 4 3×2
× ×
× ×
. 
 b) O número de subconjuntos de 3 docentes que podem ser escolhidos do conjunto dos 
12 matemáticos é 312
12×11×10C = = 220
3×2
 e o número de subconjuntos de 2 docentes que pode 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 69 
ser formado do conjunto de 8 é 28
8×7C = = 28
2
. Então, pela regra da multiplicação, o número de 
comissões a serem consideradas para escolha é 220×28 = 6.160. Logo, a probabilidade de que 
a comissão seja constituída de 3 matemáticos e 2 estatísticos é: 6.160/15.504 = 0,397. 
Exemplo 2.25 
 Uma mão de bridge é um subconjunto de 13 cartas extraídas de um baralho de 52 cartas, 
sem consideração da ordem de extração. Qual é a probabilidade de um jogador de bridge obter 
uma mão de cartas apenas de copas e ouros? Qual é a probabilidade de obter uma mão de 
cartas apenas de dois naipes? 
 De um baralho de 52 cartas podem ser extraídos 1352
52!C =
13! 39!
 = 635.013.559.600 
subconjuntos de 13 cartas; portanto, n(S) = 635.013.559.600. Por outro lado, sejam: 
A: mão constituída apenas de copas e ouros, e 
B: mão constituída apenas de dois naipes. 
Como há 13 cartas de cada naipe, tem-se: 
13
26
26!n(A) = C = 10.400.597
13!13!
= ; 
e como há 24C =6 combinações de dois naipes, uma das quais é constituída por copas e ouros, 
2 13
4 26n(B) = C ×C =6×10.400.597 = 62.403.582. 
Portanto, 
13
26
13
52
Cn(A) 10.400.597P(A) = = = 0,000016379
n(S) C 635.013.559.600
= ; e 
2 13
4 26
13
52
C Cn(B) 62.403.582P(B) = = = = 0,00009827
n(S) C 635.013.559.600
× . 
Exemplo 2.26 
 Doze provadores de vinho são disponíveis dos quais 8 são mais experientes (designados 
M1, M2,..., M8) e 4 são menos experientes (m1, m2, m3, m4). Três desses 12 provadores devem 
ser selecionados para uso em um experimento de degustação. a) Considerando importante a 
ordem de seleção, quantos grupos de 3 provadores distintos podem ser selecionados? b) 
Quantos grupos de 3 provadores distintos podem ser selecionados com os dois primeiros 
provadores mais experientes e o último menos experiente? c) Se os 3 provadores forem 
Introdução à Probabilidade 70 
selecionados aleatoriamente (por processo que atribua a todos os provadores restantes após 
cada seleção a mesma probabilidade de serem selecionados), qual é a probabilidade de que os 
dois primeiros provadores sejam mais experientes e o último menos experiente? 
 a) Há 12 provadores distintos dos quais 3 devem ser selecionados, um após o outro (sem 
repetição). O número desses grupos de 3 provadores que podem resultar desse processo de 
seleção que se distinguem pela composição de provadores e pela ordem de seleção é: 312A = 
12×11×10 = 1.320. 
 b) O número de modos em que os dois primeiros provadores mais experientes podem 
ser selecionados, com a consideração da ordem de seleção, é o número de arranjos de 2 
provadores do grupo de 8 provadores mais experientes: M1, M2,...,M8, ou seja: 28A = 8×7 = 56. 
O número de modos em que o terceiro provador selecionado pode resultar menos experiente 
quando os dois primeiros são mais experientes é o número de modos em que pode ser 
selecionado um dos provadores m1, m2, m3 e m4, ou seja, 14A = 4. Logo, pela regra da 
multiplicação, o número de modos em que podem resultar os dois primeiros provadores mais 
experientes e o terceiro menos experiente é: 28A ×
1
4A = 56×4 = 224 . 
 c) A escolha aleatória de um grupo ordenado de 3 dos 12 provadores assegura que todos 
os 312A =1.320 distintos grupos ordenados de 3 dos 12 provadores são igualmente prováveis. O 
evento A: os dois primeiros provadores mais experientes e o terceiro menos experiente, 
consiste de 14
2
8 AA × grupos ordenados. Portanto, a probabilidade deste evento pode ser obtida 
pelo modelo de probabilidade uniforme: 
2 1
8 4
3
12
A A 224 28
165A 1.320
P(A) = 
× = = . 
Exemplo 2.27 
 Considere-se a situação do exemplo anterior, mas suponha-se, agora, que a ordem de 
seleção dos três provadores é irrelevante (o que corresponde à seleção simultânea dos três 
provadores). a) Quantos distintos grupos são possíveis? b) Em quantos desses grupos dois 
provadores são mais experientes e um menos experiente? c) Se os 3 provadores são 
selecionados aleatoriamente (de modo que cada grupo de 3 provadores tenha igual chance de 
ser selecionado), qual é a probabilidade de que resultem dois provadores mais experientes e 
um menos experiente? 
 a) O número de grupos não ordenados de 3 dos 12 provadores é: 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 71 
==
××
××
13
1011123
12C 2
220. 
 b) O número de combinações de 2 provadores tomados dos 8 provadores mais 
experientes é: ==
×
×
12
782
8C 28, e o número de combinações de 1 provador tomado dos 4 
provadores menos experientes é: 14C = 4. Então, pela regra da multiplicação, o número de 
escolhas possíveis que satisfazem às condições especificadas é: =× 14
2
8 CC 28×4 = 112. 
 c) Segundo o processo de seleção, os 220 grupos distintos de 3 dos 12 provadores 
disponíveis são todos igualmente prováveis. O número de grupos com exatamente dois 
provadores mais experientes e 1 menos experiente é 112. Logo, pelo conceito de probabilidade 
em espaço básico finito equiprovável, a probabilidade do evento A: dois provadores mais 
experientes e um provador menos experiente, é: 
2 1
8 4
3
12
C C 112 28
P(A) = 
C 220 55
×
= = . 
Exemplo 2.28 
 Em uma região, há 15 agricultores associados a uma cooperativa dos quais 9 são 
favoráveis, 4 são desfavoráveis e 2 são indiferentes à adoçãode uma nova tecnologia. Três 
desses agricultores devem ser selecionados, aleatoriamente, para entrevista em uma pesquisa 
de opinião sobre a adoção da referida tecnologia. a) Qual é a probabilidade de que pelo menos 
dois dos agricultores selecionados sejam favoráveis à adoção da nova tecnologia? b) Qual é a 
probabilidade de que os dois primeiros agricultores selecionados sejam favoráveis e o terceiro 
desfavorável à adoção da tecnologia? 
 a) O evento de interesse não envolve a ordem das pessoas no processo de amostragem. 
O número de diferentes grupos de 3 pessoas que podem ser selecionados de um conjunto de 15 
pessoas é 315C = 455. Em um processo de seleção aleatória esses 455 grupos podem ocorrer 
com uma mesma probabilidade. O evento A: pelo menos dois agricultores favoráveis, ocorre 
se e somente se um dos dois seguintes eventos ocorre: A1: dois agricultores favoráveis, e A2: 
três agricultores favoráveis; ademais, A1 e A2 não têm resultados elementares em comum. 
Logo, 
n(A) = n(A1) + n(A2), 
onde n(A) é o número de resultados elementares que implicam na ocorrência de A. 
Introdução à Probabilidade 72 
 Para calcular n(A1), observe-se que o evento A1 significa, de fato, dois agricultores 
favoráveis e um não favorável (ou seja, desfavorável ou indiferente). Como 9 dos 15 
agricultores são favoráveis, o número de grupos de 2 agricultores favoráveis que podem ser 
escolhidos é =
×
×
=
12
89C29 36. Da mesma forma, 1 agricultor não favorável ocorre se qualquer 
um dos 6 agricultores desfavoráveis ou indiferentes é selecionado. Logo, 
n(A1) = 16
2
9 CC × = 36×6 = 216. 
Por semelhante raciocínio, obtém-se: 
n(A2) = 3 09 6
9 8 7
C C 1
3 2 1
× ×
× = ×
× ×
= 84. 
Portanto, 
n(A) = 216 + 84 = 300. 
 Então, segundo o modelo de probabilidade uniforme, obtém-se: 
P(A) = 
n(A)
n(S)
 = 
300 60
455 91
= . 
 b) Esta questão envolve a consideração da ordem das pessoas no processo de seleção. 
Portanto, deve ser empregada a regra dos arranjos. O número de grupos ordenados de 3 
pessoas de um conjunto de 15 é 315A = 15×14×13 = 2.730. Por outro lado, as duas primeiras 
pessoas serão favoráveis se provirem das 9 favoráveis e a terceira será desfavorável se provir 
das 4 desfavoráveis. Logo, o número de grupos de 3 agricultores os dois primeiros dos quais 
são favoráveis e o terceiro é desfavorável é: 14
2
9 AA × = (9×8) ×4 = 288. Portanto, P(dois 
primeiros favoráveis e terceiro desfavorável) = 14
2
9 AA × / 315A = 395
48
. 
2.5.5 Contagem automática 
 A aplicação dessas regras de contagem pode torna-se trabalhosa para valores de 
n razoavelmente elevados. O programa Excel do Microsoft Office provê facilidades 
para o cálculo automático de números de permutações (fatoriais) e de combinações. 
Essas facilidades são acessadas através do botão "ƒx" da barra de ferramentas da janela 
do Excel. Para tal, pressiona-se o botão "ƒx" e, em seguida, na janela "Colar função" 
que se abre, seleciona-se a categoria de função "Matemática e trigonométrica". Então, 
tem-se disponíveis, em "Nome de função", as funções "FATORIAL" e "COMBIN". 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 73 
 A seleção de uma dessas funções abre a janela correspondente, onde devem ser 
preenchidos os valores apropriados dos "argumentos". A função FATORIAL retorna o 
fatorial de um número inteiro não negativo. É definida como "FATORIAL(num)", 
onde o único argumento "num" é o número cujo fatorial é desejado calcular, ou seja, 
num=n em n! Por exemplo, preenchendo núm=10, obtém-se o resultado: 4.628.800. 
 A função COMBIN retorna o número de combinações de r elementos tomados 
de um conjunto de n elementos, ou seja rnC . É definida como "COMBIN(núm; 
núm_escolhido)", onde os argumentos "núm" e "núm_escolhido" correspondem, 
respectivamente, a n e r em rnC . Por exemplo, preenchendo núm=20 e 
núm_escolhido=4, é retornado o resultado 4.845. 
 Os outros procedimentos de contagem, como aqueles para cálculos de número de 
arranjos rnA e de número de permutações com repetições 1 2 kn(n ,n ,...,n )P , podem ser 
automatizados através do uso reiterado da função FATORIAL (por exemplo, rnA = 
n!/(n-r)!) O número de permutações com repetições pode ser obtido mais diretamente 
através da função MULTINOMIAL. 
Exercícios 2.4 
1. Quantas amostras distintas de três domicílios podem ser escolhidas para uma pesquisa 
referente a um conjunto residencial de 30 domicílios? 
2. O preço de uma excursão à Europa inclui cinco paradas a serem selecionadas de um 
conjunto de dez cidades. De quantos modos uma pessoa pode planejar sua excursão: a) se 
a ordem das paradas é importante? b) se a ordem das paradas não é importante? 
3. Suponha que são disponíveis 10 ingredientes para preparar pizza. 
a) Quantos tipos diferentes de pizza podem ser preparados com: i) exatamente um 
ingrediente? ii) exatamente dois ingredientes? iii) no máximo três ingredientes? 
b) Quantas pizzas diferentes podem ser preparadas com duas metades diferentes, cada 
uma com exatamente um ingrediente? 
4. Um mecânico sabe que duas das seis velas de um carro estão com mau funcionamento. Se 
ele retira aleatoriamente duas delas para substituição, qual é a probabilidade de que ele 
efetue a substituição correta das duas velas defeituosas? 
Introdução à Probabilidade 74 
5. Um pesquisador em tecnologia de alimentos tem disponíveis 10 voluntários para avaliação 
organolética em um experimento e deseja extrair uma amostra aleatória de 5 desses 
voluntários. Para tal, ele decide escrever todas as combinações de 5 nomes em cartões e, 
então, extrair um dos cartões ao acaso. a) Quantos cartões ele deve utilizar? b) Se 6 
desses 10 voluntários são experientes, qual é a probabilidade de que: i) todos os 
escolhidos sejam experientes? ii) sejam escolhidos 3 experientes e 2 inexperientes? 
6. O Departamento de Matemática, Estatística e Computação da UFPEL tem 27 docentes, 
sendo 12 de Matemática, 6 de Estatística e 9 de Informática. Uma comissão representativa 
do Departamento deve ser constituída de 9 docentes: 4 de Matemática, 2 de Estatística e 3 
de Informática. a) Quantas distintas formações podem ser consideradas para compor a 
comissão com essa constituição? b) Se a comissão for escolhida aleatoriamente, qual é a 
probabilidade de que ela resulte com essa constituição? 
7. Cada uma de cinco pessoas recebe para degustação uma colher de sorvete de baunilha de 
cada uma de duas diferentes origens A e B. Se todas as cinco pessoas respondem 
aleatoriamente, qual é a probabilidade de que: a) todas elas identifiquem corretamente as 
origens dos sorvetes? b) pelo menos quatro delas identifiquem as origens corretamente? 
8. Um teste compreende 10 questões cada uma das quais deve ser marcada como verdadeira 
ou falsa. 
a) De quantos modos diferentes o teste pode ser respondido? 
b) Se para cada questão apenas uma das duas respostas alternativas é correta, de quantos 
modos diferentes as questões podem ser respondidas de modo que: i) a metade das 
questões seja correta; ii) 7 sejam corretas e 3 incorretas? iii) pelo menos 7 sejam 
corretas? 
c) Qual é a probabilidade de que um estudante que escolhe a resposta de cada questão 
aleatoriamente acerte pelo menos 70% das respostas? 
9. Uma equipe de futebol joga dez partidas em uma competição. 
a) De quantos modos essa equipe pode terminar a competição com cinco vitórias, três 
derrotas e dois empates? 
b) Suponha que as probabilidades de vitória, empate e derrota em cada uma das 10 
partidas sejam iguais. i) Qual é a probabilidade de que essa equipe termine a 
competição com 5 vitórias, 3 derrotas e 2 empates? ii) Qual é a probabilidade de que 
ela termine a competição com pelo menos 5 vitórias?10. Uma mão de bridge consiste de um conjunto de 13 cartas selecionadas de um baralho de 
52 cartas (exercício 11, Exercícios 2.2). 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 75 
a) Quantas diferentes mãos de bridge podem ser extraídas de um baralho? 
b) Quantas dessas mãos podem ser constituídas de: i) apenas de cartas de ouros? ii) 
apenas cartas de ouros e copas? 
c) Supondo que as cartas são distribuídas aleatoriamente, qual é a probabilidade de que 
um jogador: i) receba uma mão constituída apenas de cartas de ouros e copas? ii) 
receba uma mão constituída de cartas de apenas dois naipes? 
2.6 Propriedades da Probabilidade 
 O conceito clássico de probabilidade implica quatro propriedades ou condições 
essenciais do cálculo de probabilidades para experimentos aleatórios com espaço 
básico equiprovável: 
 1) A probabilidade de um evento elementar é igual a 1/n(S): P({s}) = 1/n(S), 
para todo s∈S. 
 2) A probabilidade de um evento é um número racional não negativo, ou seja, 
P(A)≥0 para qualquer evento A. 
 3) A probabilidade do espaço básico é igual a um: P(S) = 1. 
 4) A probabilidade de um evento é a soma das probabilidades dos resultados 
elementares que implicam na sua realização: 
s A
P(A) = P(s)
∈
∑ . 
 Essas propriedades seguem imediatamente da expressão de definição da 
probabilidade estabelecida pelo conceito clássico: 
 1) Por definição, 
n({s}) 1P({s}) = = 
n(S) n(S)
, para todo s∈S. 
dado que n({s}) = 1. 
 2) Se S é um espaço básico equiprovável, P(A) = n(A)/n(S). Mas n(A) e n(S) são 
números inteiros não negativos e, ademais, n(S)>0; logo, o quociente n(A)/n(S), ou 
seja, P(A), é um número racional não negativo. 
 3) Por definição, P(S) = n(S)/n(S) = 1. 
 4) Como n(A) é o número de resultados elementares do evento A: 
Introdução à Probabilidade 76 
n(A) 1 1 1P(A) = ... (n(A) termos)
n(S) n(S) n(S) n(S)
= + + + 
 
s A s A
1= = P(s)
n(S)∈ ∈
∑ ∑ . 
 Observe-se que o espaço básico é o evento que compreende todos os resultados 
possíveis. Portanto, o espaço básico ocorre em todas as realizações do experimento. 
Por essa razão, ele é denominado "evento certo". 
 A partir dessas propriedades ou condições básicas podem ser derivadas outras 
propriedades cujo emprego torna mais simples o cálculo de probabilidades para espaço 
básico equiprovável. O emprego dessas propriedades é conveniente quando se pode 
estabelecer alguma relação do evento A de interesse com eventos cujas probabilidades 
são mais facilmente determinadas. As principais dessas propriedades são listadas a 
seguir. Um conjunto mais completo de propriedades da probabilidade é formulado no 
contexto mais geral de espaço básico discreto, na Seção 3.4. 
 5) Se A e B são eventos que não têm resultado elementar em comum, então: 
 a) a probabilidade da ocorrência de pelo menos um desses eventos, ou seja, do 
evento "A ou B", é a soma das probabilidades desses eventos: 
P(A ou B) = P(A) + P(B); 
 b) a probabilidade da ocorrência simultânea desses eventos, ou seja, do evento 
"A e B", é nula: 
P(A e B) = 0. 
 Observe-se que, se os eventos A e B não têm resultado elementar em comum, 
então eles não podem ocorrer simultaneamente. Por essa razão, diz-se que nessas 
circunstâncias o evento "A e B" é um "evento impossível". 
 6) Se A e B são eventos que têm um subconjunto de resultados elementares em 
comum, então: 
 a) a probabilidade da ocorrência de pelo menos um desses eventos é a soma das 
probabilidades desses eventos menos a probabilidade de sua ocorrência simultânea: 
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B); 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 77 
 b) a probabilidade da ocorrência simultânea dos eventos A e B é a soma das 
probabilidades dos resultados elementares comuns a A e B, ou seja, é a probabilidade 
do evento constituído pelos resultados elementares comuns a A e B. 
 7) Se A e B são dois eventos tais que todo resultado possível de S que não 
implica na ocorrência de A implica na ocorrência de B e A e B não podem ocorrer 
simultaneamente, então: 
P(B) = 1 – P(A). 
 Observe-se que nessa situação "A ou B" = S e "A e B" é um evento impossível. 
Dois eventos com essa propriedade são denominados "eventos contrários". 
 Essas propriedades podem ser derivadas a partir das quatro primeiras 
propriedades. Para ilustração, considere-se a propriedade 5a. Pelas propriedades 3 e 4, 
s Aou B
1P(A ou B) = 
n(S)∈
∑ 
 
s A s B
1 1= 
n(S) n(S)∈ ∈
+∑ ∑ , 
já que, como A e B não têm resultado elementar em comum, qualquer resultado 
elementar do evento "A ou B" é um resultado elementar do evento A ou do evento B, 
mas não de ambos; logo, 
P(A ou B) = P(A) P(B)+ . 
 O exemplo que segue ilustra o uso dessas regras. Ilustração mais ampla é provida 
por exemplos da próxima Seção. 
Exemplo 2.29 
 Reconsidere-se a determinação de probabilidades de eventos do experimento aleatório 
do Exemplo 2.7: "extração aleatória de dois sacos de sementes de uma pilha de 5 sacos dos 
quais 2 são de sementes da variedade A e 3 da variedade B, com a reposição do primeiro saco 
extraído antes da extração do segundo saco". 
 O evento E3: um saco de cada variedade pode ser expresso como: 
E3 = "AB ou BA", 
onde AB e BA são os eventos "saco da variedade A na primeira extração e saco da variedade B 
na segunda extração" e "saco da variedade B na primeira extração e saco da variedade A na 
Introdução à Probabilidade 78 
segunda extração", respectivamente. Como AB e BA são eventos que não têm resultado 
elementar em comum, segundo a propriedade 5, tem-se: 
P(E3) = P(AB) + P(BA) 
 
2 3 3 2 6 6 12
5 5 5 5 25 25 25
× ×
= + = + =
× ×
. 
 Observe-se que a probabilidade desse evento E3 também pode ser obtida a partir das 
probabilidades dos eventos E1: dois sacos da variedade A, e E2: dois sacos da variedade B. De 
fato, como os eventos "E1 ou E2" e E3 são eventos contrários, e os eventos E1 e E2 não têm 
resultado elementar em comum, pelas propriedades 7 e 5, tem-se: 
P(E3) = 1 - P(E1 ou E2); 
 = 1 – [P(E1) + P(E2)] 
 = 
4 9 12
1
25 25 25
− + =
    . 
2.7 Probabilidade a Priori 
 A propriedade 1 da probabilidade determinada pelo conceito clássico (Seção 2.6) 
é conseqüência imediata da condição de igual verossimilhança dos resultados 
elementares do espaço básico. Foi observado anteriormente que, mesmo quando a 
igual verossimilhança dos resultados elementares é implicada por propriedades de 
simetria do experimento aleatório, essa igual verossimilhança aplica-se aos resultados 
elementares do espaço básico especificado de modo detalhado, não a "resultados 
elementares" de espaços básicos simplificados (Exemplo 2.9). Observe-se, entretanto, 
que resultados elementares de um espaço básico simplificado S2 são agregados de 
resultados elementares do espaço básico equiprovável S1. Portanto, probabilidades de 
resultados elementares do espaço básico S2 podem ser determinadas a partir das 
probabilidades conhecidas dos resultados elementares do espaço básico equiprovável 
S1 pela aplicação das propriedades 1 e 4. 
 Pode-se verificar, com base nas relações entre as estruturas dos espaços básicos 
S2 e S1 e entre as probabilidades dos resultados elementares de S2 e S1, que a atribuição 
de probabilidades a eventos do espaço básico não equiprovável S2 satisfaz às seguintes 
propriedades básicas: 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 79 
 1) A probabilidade de um evento é um número real não negativo, ou seja, 
P(A)≥0 para qualquer evento A. 
 2) A probabilidade do espaço básico é igual a um: P(S) = 1. 
 3) A probabilidade de um evento é a soma das probabilidades dos resultados 
elementares que implicam na sua realização:s A
P(A) = P(s)
∈
∑ . 
 A partir dessas propriedades ou princípios básicos pode ser derivado um 
conjunto de propriedades, análogas àquelas implicadas pelo conceito clássico, que 
estabelecem os procedimentos para o cálculo de probabilidades para espaço básico 
finito geral cujas probabilidades dos resultados elementares são conhecidas. 
Probabilidades determinadas por esses procedimentos são usualmente denominadas 
probabilidades a priori. 
Exercícios 2.5 
(Responda os exercícios que seguem com o emprego de propriedades da probabilidade.) 
1. Obtenha a probabilidade dos seguintes eventos do experimento de lançamento de um dado 
balanceado e observação do número de pontos na face que se volta para cima: a) A: 
número 2; b) B: número par; c) C: número igual a 3 ou 5; d) "B ou C"; e) "A e B"; f) "A 
ou B"; g) D: número ímpar. 
2. Um estudante tem que fazer um teste de dez questões cada uma com duas respostas 
alternativas uma das quais é correta, e cuja aprovação requer o acerto de pelo menos 8 
questões. Se ele responde cada uma das questões aleatoriamente, qual é a probabilidade de 
que ele seja aprovado? 
3. Quatro lâmpadas são extraídas aleatoriamente de uma caixa que contém 30 lâmpadas boas 
e 10 queimadas. Qual é a probabilidade de que no máximo uma dessas quatro lâmpadas 
seja queimada? 
4. Qual é a probabilidade de que a pessoa de que trata o exercício 2 dos Exercícios 2.2 não 
escolha uma refeição constituída de uma salada sem maionese, um prato quente de galinha, 
uma sobremesa sem ovo e vinho branco? 
5. Considere o exercício 7 dos Exercícios 2.4. Qual é a probabilidade de que pelo menos 
uma das cinco pessoas não identifique corretamente as origens dos sorvetes? 
6. Três bolas são extraídas aleatoriamente, com reposição, de uma caixa que contém 6 bolas 
brancas e 3 bolas pretas. Determine a probabilidade de que: a) a primeira e a última bola 
Introdução à Probabilidade 80 
sejam brancas; b) pelo menos uma dessas duas bolas seja branca c); a primeira e a última 
bola sejam de cores diferentes. 
7. Responda as mesmas questões formuladas no exercício 6, se as três bolas forem extraídas 
sem reposição. 
8. Segundo as regras de controle de qualidade de uma indústria um lote de 100 artigos que 
ela produz é aceito se em uma amostra aleatória de 5 desses artigos pelo menos 4 são 
perfeitos. Qual é a probabilidade de que um lote que tem 10 artigos defeituosos seja 
aceito? 
9. Três cartas vermelhas e três brancas são misturadas e apresentadas a uma pessoa para 
identificação. a) Qual é a probabilidade de que essa pessoa identifique corretamente todas 
as 6 cartas, tendo o conhecimento de que a metade delas é de cada uma das duas cores? b) 
Qual é a probabilidade de que ela identifique corretamente: i) exatamente 4 cartas? ii) 
exatamente 5 cartas? iii) pelo menos 4 cartas? 
10. Prove as propriedades da probabilidade 5b, 6 e 7 listadas na Seção 2.6. 
2.8 Conceito Empírico de Probabilidade 
 A determinação de probabilidades de eventos de espaço básico equiprovável ou 
de espaço básico finito mais geral, considerada nas Seções anteriores, pressupõe o 
conhecimento das probabilidades dos resultados elementares do experimento. Por essa 
razão, essas probabilidades são denominadas probabilidades a priori. 
 Em muitos experimentos, é impossível especificar o espaço básico de modo que 
os resultados elementares possam ser considerados igualmente verossímeis, ou derivar 
as probabilidades de resultados elementares de espaço básico mais simplificado a 
partir do conhecimento das probabilidades de um espaço básico equiprovável mais 
detalhado. Assim, por exemplo, quando é lançado um dado não balanceado, não se 
pode considerar as faces como igualmente verossímeis. Nessas circunstâncias, as 
probabilidades dos resultados elementares não são conhecidas a priori e não se pode 
determinar probabilidades de eventos baseadas nessa pressuposição. Semelhantemente, 
essa abordagem não se aplica para a resposta a questões como: Qual é a probabilidade 
de que uma criança nascida no Estado do Rio Grande do Sul seja uma menina? Qual é 
a probabilidade de que uma pessoa nascida nesse Estado complete 60 anos? Qual é a 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 81 
probabilidade de que uma lata de compota produzida por uma indústria com 
capacidade nominal de 1 kg tenha um peso líquido entre 990 e 1010 g? Qual é a 
probabilidade de que ocorra chuva na primeira quinzena do próximo mês de janeiro? 
Questões como essas são importantes e é desejável que possam ser abrangidas pela 
teoria da probabilidade. Entretanto, nessas situações, probabilidades de eventos não 
podem ser obtidas por derivação lógica, usando propriedade de simetria do 
experimento e a conseqüente pressuposição de eqüiprobabilidade do espaço básico, ou 
a partir dessa pressuposição. Para a solução de problemas semelhantes a esses é 
necessário alterar ou estender o conceito de probabilidade. Esse conceito mais 
abrangente é baseado na freqüência relativa da ocorrência do evento quando o 
experimento é repetido sob as mesmas condições essenciais. Por essa razão, as 
probabilidades que permite determinar são denominadas probabilidades a posteriori. 
 Quando um experimento é repetido n vezes, define-se a freqüência relativa de 
um evento A como a proporção de vezes em que o evento A ocorreu: 
 A freqüência relativa de um evento A em n realizações de um experimento 
aleatório é a proporção de ocorrências de A: 
 n
n(A)f (A) =
n
, 
onde n(A) é o número de vezes em que o evento A ocorre. 
 
Exemplo 2.30 
 Em um experimento de 100 lançamentos sucessivos de uma moeda aparentemente 
simétrica e balanceada foi observada a face voltada para cima em cada um dos lançamentos. A 
Tabela 2.1 apresenta as freqüências relativas da ocorrência de "cara" determinadas a cada um 
dos 100 lançamentos. Pode-se observar que essa freqüência relativa nos 100 lançamentos é 
52/100 = 0,52. Ademais, a variação das freqüências relativas de "cara" mostrada na Figura 2.7 
indica que ela tende a estabilizar-se em torno de um número próximo de 1/2. Esse resultado é 
esperado, já que, sendo a moeda simétrica e balanceada, pode ser antecipado que em um 
conjunto numeroso de lançamentos ocorra cara em cerca da metade das vezes. Isso sugere que 
se pode utilizar a freqüência relativa 0,52 como uma aproximação para a probabilidade da 
ocorrência de cara em um lançamento particular da moeda em consideração. Alternativamente, 
como a moeda parece ser simétrica e balanceada, pode-se usar o conceito clássico de 
Introdução à Probabilidade 82 
probabilidade e estabelecer que a probabilidade de cara é igual a 1/2. Observe-se, entretanto, 
que essa pressuposição é apenas uma aproximação para a verdadeira probabilidade, já que para 
uma moeda particular não se pode ter certeza absoluta de que os dois resultados possíveis – 
cara e coroa, sejam exatamente igualmente verossímeis. 
Tabela 2.1. Resultados parciais de 100 lançamentos sucessivos de uma moeda e 
correspondentes freqüências relativas do evento "cara". 
 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ... 100 
 C x x x x x x x x 
 c x x x x x x x x x 
 fn(C) 0 
2
1
 
3
2
 
4
3
 
5
3
 
6
3
 
7
3
 
8
4
 
9
5
 
10
6
 
11
6
 
12
6
 
13
6
 
14
7
 
15
7
 
16
7
 ... 
100
52
 
 
 
Figura 2.7. Representação gráfica da variação da freqüência relativa de "cara" 
em 100 lançamentos sucessivos de uma moeda. 
 
 Suponha-se, agora, que a moeda não é balanceada, de modo que se pode estar seguro de 
que os dois resultados – cara e coroa, não são igualmente verossímeis. Nesse caso, ainda se 
pode postular que a probabilidadeda ocorrência de "cara" é um número P(cara), cujo valor, 
entretanto, não pode ser fundamentado no conceito clássico de probabilidade. Nessa 
circunstância, se tem que recorrer à abordagem de freqüência relativa. 
 Essa situação ocorre em muitas pesquisas científicas. Considere-se o caso 
simples da previsão do sexo do terneiro da próxima parição de uma vaca do rebanho 
de uma região. Em um conjunto de nascimentos, observa-se a existência de uma 
regularidade semelhante à regularidade da freqüência relativa da ocorrência de "cara" 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 83 
no lançamento de uma moeda. Assim, se o exame de um conjunto numeroso de 
registros de nascimentos de terneiros nessas fazendas revela que cerca de 54% dos 
nascimentos são de fêmeas, pode-se utilizar 0,54 como uma aproximação para a 
probabilidade do nascimento de uma fêmea. 
 A freqüência relativa de um evento de um experimento aleatório flutua quando 
varia o número n de repetições do experimento. Ela também varia com diferentes 
seqüências de n repetições do experimento. Entretanto, a experiência comum com um 
grande número de experimentos aleatórios, em muitos campos, indica que, se o 
experimento é repetido sob condições razoavelmente uniformes, a freqüência relativa 
de um evento tende a estabilizar-se em torno de um número único, quando o número 
de repetições cresce indefinidamente. Isso significa que, embora a ocorrência de um 
evento de um experimento aleatório em uma realização individual do experimento não 
seja previsível, a freqüência relativa do evento é previsível. 
 Esse fato sugere que se postule que, para um evento A de um experimento 
aleatório, existe um número P(A) em torno do qual tende a estabilizar-se a freqüência 
relativa de A, e que se tome esse número como a probabilidade do evento A. Esse 
conceito empírico de probabilidade é formulado a seguir: 
 A probabilidade de um evento A é o número real P(A) em torno do qual tende 
a estabilizar-se a freqüência relativa fn(A) quando o número n de realizações do 
experimento cresce indefinidamente: 
 n
nf (A) P(A)↑→ . 
 
 Em geral, esse número P(A) é desconhecido e se pode obter apenas uma 
aproximação para ele através da freqüência relativa fn(A) de um número 
convenientemente grande de realizações do experimento. A derivação dessas 
aproximações ou "estimativas" para probabilidades é do âmbito da inferência 
estatística. Uma vez obtidas essas estimativas, elas são tratadas como se fossem as 
verdadeiras probabilidades. Entretanto, deve-se ter sempre em mente que se tratam 
apenas de aproximações para probabilidades desconhecidas. 
Introdução à Probabilidade 84 
Propriedades da probabilidade 
 A freqüência relativa tem propriedades análogas às propriedades da 
probabilidade para espaço básico equiprovável, fundamentadas no conceito clássico 
(Seção 2.6). Particularmente, ela satisfaz às seguintes propriedades básicas (exercício 
12, Exercícios 2.6): 
 a) A freqüência relativa de um evento é um número racional não negativo: f(A) ≥ 
0, para qualquer evento A; 
 b) a freqüência relativa do espaço básico é igual a 1: f(S) = 1; e 
 b) a freqüência relativa de um evento é a soma das freqüências relativas dos 
resultados elementares: f(A) = 
i
i
s A
f(s )
∈
∑ . 
 É natural admitir que essas propriedades se estendam para a probabilidade 
definida pelo conceito empírico. A relação harmoniosa entre as propriedades da 
probabilidade derivadas nos contextos do conceito clássico e do conceito empírico 
justifica o desenvolvimento de uma teoria da probabilidade fundamentada nas três 
propriedades básicas da probabilidade comuns para esses dois contextos. Admitindo 
essas três propriedades como princípios básicos, ou axiomas, pode-se derivar as 
propriedades ou regras do cálculo de probabilidades para espaço básico finito geral. 
Essa mesma abordagem pode ser imediatamente estendida para espaço básico infinito 
contável e, portanto, para espaço básico discreto. Por essa razão, não se formulará aqui 
o conceito axiomático e as correspondentes propriedades da probabilidade para espaço 
básico finito. Essa base conceitual e metodológica será estabelecida no contexto mais 
geral de espaço básico discreto, no próximo Capítulo. 
Exercícios 2.6 
1. Segure uma moeda em cima de uma superfície plana com o dedo indicador de uma mão e 
a golpeie com o indicador da outra mão de modo que ela gire rapidamente até deitar com 
uma das duas faces voltada para cima. Repita isso 50 vezes, desconsiderando qualquer 
repetição em que a moeda não gire por vários segundos ou em que ela bata em algum 
obstáculo, e registre o número de caras. 
a) Qual é a freqüência relativa do número de caras? 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 85 
b) Qual é a sua estimativa da probabilidade de obter uma cara nesse experimento 
aleatório? 
2. Considere o experimento aleatório de lançamento de uma moeda. A experiência mostra 
que a probabilidade (freqüência relativa de uma longa série de lançamentos) de cara é 
próxima de 1/2. Suponha que você lança a moeda repetidamente até obter uma cara. Repita 
esse experimento 50 vezes, registrando para cada repetição o resultado do primeiro 
lançamento e o número de lançamentos necessário para obter uma cara. 
a) Com base nos resultados registrados, estime a probabilidade de uma cara no primeiro 
lançamento. Que valor deve ser esperado para essa probabilidade? 
b) Use seus resultados empíricos para estimar a probabilidade de que a primeira cara 
apareça em um lançamento de número ímpar (ou seja, no lançamento 1, 3, 5,...). 
3. Lance um par de dados 100 vezes e registre a soma dos pontos nas faces voltadas para 
cima em cada lançamento. 
a) Qual é a freqüência relativa da ocorrência de soma igual a nove nesses 100 
lançamentos? 
b) Com base nesse experimento, estime a probabilidade de obter soma igual a 9 em um 
lançamento particular desse par de dados. 
4. A probabilidade é uma medida da verossimilhança da ocorrência de um evento. Assinale 
um dos números 0, 0,01, 0,3, 0,5, 0,6 ou 0,99 como a probabilidade de cada um dos 
eventos caracterizados a seguir: 
a) evento impossível; nunca pode ocorre; 
b) evento certo; ocorrerá em cada realização do experimento; 
c) evento muito inverossímil, mas que ocorre de vez em quando em uma longa série de 
repetições do experimento; 
d) evento cuja freqüência de ocorrência é pouco maior do que de não ocorrência; 
e) evento cuja freqüência de ocorrência é igual à de não ocorrência. 
5. São listados, a seguir, quatro modelos diferentes de atribuições de probabilidades aos 
resultados do experimento de lançamento de um dado particular. Pode-se saber se alguma 
dessas atribuições é correta apenas por um experimento de lançamento do dado um grande 
número de vezes. Entretanto, alguns dos modelos não são atribuições legítimas de 
probabilidade. Distinga entre esses modelos quais são legítimos e quais não são legítimos, 
justificando sua resposta. 
Introdução à Probabilidade 86 
 
6. Faça uma assinalação de probabilidades aos resultados possíveis de cada um dos seguintes 
experimentos aleatórios: 
a) Lançamento de uma moeda balanceada, com igual verossimilhança para cara e coroa. 
b) Um lançamento da moeda considerada no exercício 1 do modo indicado naquele 
exercício. 
c) Lançamento de duas moedas com os quatro resultados possíveis: (cara, cara), (cara, 
coroa), (coroa, cara) e (coroa, coroa). Muitos modelos legítimos podem ser construídos 
para esse experimento. Atribua probabilidades aproximadamente corretas com base em 
um experimento. 
7. Use o conceito empírico de probabilidade para explicar porque qualquer modelo legítimo 
de probabilidade deve satisfazer a seguintepropriedade: “A probabilidade de que um 
evento não ocorra é igual a um menos a probabilidade de que o evento ocorra”. 
8. Suponha que você está jogando com uma moeda perfeita, de modo que a probabilidade de 
obter cara em cada lançamento é 1/2. É permitido que você baseie sua aposta em um 
experimento de lançamento da moeda 10 vezes ou 100 vezes. Para cada uma das situações 
caracterizadas a seguir, qual desses números de lançamentos da moeda você escolheria 
para basear sua aposta? Justifique as respostas. 
a) Você vence se a freqüência relativa de caras situa-se entre 0,4 e 0,6. 
b) Você vence se exatamente a metade dos lançamentos resulta em caras. 
9. Suponha que uma tabela de "números aleatórios" de um dígito foi construída através de 
um mecanismo de sorteio que extrai sucessivamente números do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 
6, 7, 8, 9}, com a reposição imediata de cada número extraído. Considere o experimento de 
extração aleatória de um número de um dígito dessa tabela. 
a) Especifique um espaço básico para esse experimento. 
b) Esse espaço básico é equiprovável? Justifique a resposta. 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 87 
c) Repita esse experimento 100 vezes e determine as freqüências relativas de cada um 
dos números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10. Os resultados obtidos suportam a 
postulação de eqüiprobabilidade do espaço básico? 
10. Suponha que no experimento de extração aleatória de um número de um dígito da tabela 
de números aleatórios considerada no exercício 9 os resultados de interesse são s1: número 
menor que 4, s2: número entre 4 e 6 inclusive, e s3: número maior que 6. Responda as 
mesmas questões formuladas naquele exercício. 
a) Especifique um espaço básico para esse experimento. 
b) Esse espaço básico é equiprovável? Justifique a resposta. 
c) Atribua probabilidades aos resultados elementares do espaço básico. 
d) Repita 100 vezes o experimento de extração de um número de um dígito dessa tabela e 
determine as freqüências relativas de cada um dos resultados elementares s1, s2 e s3 do 
espaço básico S. Os resultados obtidos suportam sua atribuição de probabilidades? 
11. Se você acompanhasse a variação da flutuação de uma bolsa de valores por um intervalo 
de tempo, você esperaria que a freqüência relativa de altas fosse próxima da freqüência 
relativa de baixas? Seria possível que, acontecendo isso, o mercado de ações subisse 
constantemente em um intervalo de um ano? 
12. Mostre que a freqüência relativa satisfaz às seguintes propriedades: 1) a freqüência 
relativa de qualquer evento é um número racional não negativo; 2) a freqüência relativa de 
um evento é a soma das freqüências relativas dos resultados elementares que implicam em 
sua ocorrência; e 3) a freqüência relativa do espaço básico é igual a 1. 
2.9 Complementos 
1) Teorema binomial 
a) Os números rnC são freqüentemente denominados coeficientes binomiais, 
porque são os coeficientes da expressão desenvolvida da n-ésima potência do binômio 
a+b, ou seja, de (a+b)n. 
 Se n é um número inteiro positivo, (a+b)n = (a+b)×(a+b)× ...×(a+b) (n fatores). 
Para as primeiras potências, tem-se: 
(a+b)2 = (a+b) (a+b) 
 = a.a + a.b + b.a + b.b 
 = a2 + 2ab + b2; 
Introdução à Probabilidade 88 
(a+b)3 = (a+b) (a+b) (a+b) 
 = a.a.a + a.a.b + a.b.a + a.b.b + b.a.a + b.a.b + b.b.a + b.b.b 
 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3; 
(a+b)4 = (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) 
 = a.a.a.a + a.a.a.b + a.a.b.a + a.a.b.b. + a.b.a.a + a.b.a.b 
 + a.b.b.a + a.b.b.b + b.a.a.a + b.a.a.b + b.a.b.a + b.a.b.b 
 + b.b.a.a + b.b.a.b + b.b.b.a + b.b.b.b 
 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4. 
 Os termos dessas expressões são produtos de potências de a e b multiplicados 
por coeficientes. Assim, na expansão de (a+b)4, os termos são da forma a4, a3b, a2b2, 
ab3 e b4 e seus coeficientes são, respectivamente, 1, 4, 6, 4 e 1. Pode-se observar que o 
coeficiente de a3b é 4 porque há 14C = 4 modos de selecionar 1 dos 4 fatores a+b que 
proveja o b (e os restantes que provejam o a); o coeficiente de a2b2 é 6 porque há 24C = 
6 modos de selecionar 2 dos 4 fatores a+b que provejam o b (e os outros dois o a). Por 
semelhante razão os coeficientes de a4, ab3 e b4 são 04C = 1, 
3
4C = 4 e 
4
4C = 1, 
respectivamente. 
 De modo mais geral, se n é inteiro positivo, os termos da expansão de (a+b)n são 
da forma an-r br, r = 0, 1, 2,..., n, e seus correspondentes coeficientes são rnC , r = 0, 1, 2, 
..., n. 
 Teorema binomial: Se n é um número inteiro positivo, 
 (a+b)n = 0nC a
nb0 + 1nC a
n-1b1 + 2nC a
n-2b2 + ... 
 + 2nnC
− a2bn-2 + 1nnC
− a1bn-1 + nnC a
0bn 
 = ∑
=
−
n
0r
rrnr
n baC . 
 
 Essa expansão da n-ésima potência do binômio a+b é atribuível à Sir Isaac 
Newton. Por essa razão, ela é usualmente denominada expansão binomial de Newton. 
 Segundo essa expressão e a propriedade 5 das combinações estabelecida na 
Seção 2.5.4, observa-se que os coeficientes dos termos de ordens r e n-r da expansão 
de (a+b)n, respectivamente an-rbr e arbn-r, são iguais. 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 89 
b) Demonstre o teorema binomial por indução matemática, a partir da verificação 
de sua validade para n = 1, 2, 3 e 4. 
c) A seguinte expressão é um caso particular do teorema binomial: 
∑
=
=+
n
0r
rr
n
n bC)b1( , para qualquer inteiro positivo n. 
2) Propriedades dos coeficientes binomiais 
 Cálculos referentes a coeficientes binomiais podem ser facilitados pelo uso das 
propriedades que seguem: 
a) Se n e r são inteiros positivos e r < n, então r r r 1n n 1 n 1C C C
−
− −
= + . 
 Esta é uma fórmula de recorrência muito útil: ela permite a determinação do 
número de combinações de n elementos a partir do conhecimento do número de 
combinações de n-1 elementos. 
 Esta propriedade pode ser provada pela substituição de a=1 em (a + b)n e 
exprimindo-o na forma: 
(1+b)n = (1+b) (1+b)n-1 
 = (1+b)n-1 + b(1+b)n-1. 
e igualando os coeficientes de br das expansões dos dois membros dessa igualdade. 
Como o coeficiente de br no primeiro membro é rnC e o coeficiente de b
r no segundo 
membro é a soma do coeficiente de br em (1+b)n-1, ou seja, r 1nC − , e do coeficiente de 
br-1 em (1+b)n-1, isto é, 1r 1nC
−
−
, obtém-se: 1r 1n
r
1n
r
n CCC
−
−−
+= . 
b) Se n e r são inteiros positivos e se define 0Crn = quando r > n, então 
k
r k r k
m n m n
r 0
C C C− +
=
=∑ . 
 Empregando a mesma técnica utilizada na demonstração da propriedade anterior, 
igualem-se os coeficientes de bk das expressões nos dois membros da equação: 
(1+b)m+n = (1+b)m (1+b)n. 
O coeficiente de bk na expansão do primeiro membro é k nmC + e o coeficiente de b
k na 
expansão do segundo membro, ou seja, em 
(1+b)m (1+b)n = [ mmm
1
m
0
m bC...bCC +++ ]×[
nn
n
1
n
0
n bC...bCC +++ ], 
Introdução à Probabilidade 90 
é a soma dos produtos que se obtém multiplicando o termo independente de b do 
primeiro fator pelo coeficiente de bk do segundo fator, o coeficiente de b do primeiro 
fator pelo coeficiente de bk-1 do segundo fator e assim sucessivamente, até o 
coeficiente de bk do primeiro fator pelo termo independente de b do segundo fator: 
0
n
k
m
1k
n
2
m
1k
n
1
m
k
n
0
m CC...CCCCCC ++++
−+ = ∑
=
−
k
0r
rk
n
r
mCC . 
Portanto, 
rk
n
k
0r
r
m
k
nm CCC
−
=
+ ∑= . 
c) Número de subconjuntos de um conjunto de n elementos: 
 Um conjunto de n elementos compreende 2n subconjuntos. 
 
 De fato, qualquer conjunto U de n elementos compreende como subconjuntos o 
conjunto vazio ∅, a coleção de todos os conjuntos de um elemento de U (conjuntos 
elementares),a coleção de todos os conjuntos de dois elementos de U, a coleção de 
todos os conjuntos de três elementos de U,..., a coleção de todos os conjuntos de n-1 
elementos de U e, finalmente, o conjunto de todos os elementos de U (o próprio 
conjunto U). Os números de conjuntos nessas coleções sucessivas de subconjuntos de 
U são, respectivamente, 1, Cn
1 , Cn
2 , Cn
3 , ..., Cn
n−1 e 1, cuja soma é: 
Cn
0 + Cn
1 + Cn
2 + Cn
3 +...+ Cn
n−1+ Cn
n = (1+1)n = 2n, 
já que essa soma é um caso particular da expansão de (a + b)n, com a = b = 1. 
d) Prove a propriedade b dos coeficientes binomiais através da expressão de todos 
os coeficientes binomiais em termos de fatoriais e, então, de simplificação algébrica. 
e) Através da expressão dos coeficientes binomiais em termos de fatoriais e 
simplificação algébrica, mostre que: 
 i) r r 1n n 1rC nC
−
−
= ; ii) 1rn
r
n Cr
r1nC −+−= ; iii) 1rn
r
1n C)1r(Cn
+
−
+= ; 
 iv) r r 1 rn n nn C (r 1)C r C
+
= + + ; v) r rn n 1
nC C
n r −
=
−
. 
f) Utilizando valores particulares para a e b na expressão do teorema binomial, 
mostre que: 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 91 
 i) 
n
r r n
n
r 0
(a 1) C a
=
− =∑ ; ii) 0C)1( rn
n
0r
r
=−∑
=
. 
g) Pela aplicação repetida da propriedade a) dos coeficientes binomiais, mostre 
que: 
∑
+
=
+−
−
=
1r
1i
1ir
in
r
n CC . 
h) Com o uso da propriedade b) dos coeficientes binomiais, mostre que: 
 i) 
n
r 2 n
n 2n
r 0
(C ) C
=
=∑ ; ii) m n m r m nn r n m
r 0
C C 2 C−
−
=
=∑ . 
i) Propriedades dos coeficientes binomiais são importantes na teoria da 
probabilidade. Assim, na Seção 7.1.3, 9), a) é derivada uma relação de coeficientes 
binomiais a partir da qual pode ser obtida a seguinte propriedade: 
r+1
r i-1 r-i+1
n i+k-2 n-i-k+1
i=1
C = C C∑ . 
A propriedade g) é um caso especial dessa relação. 
3) Triângulo de Pascal 
a) Disponham-se os coeficientes das expansões das primeiras potências do 
binômio a + b (apresentadas em 1) em forma de um triângulo como segue: 
Expansão de Coeficientes 
 (a+b)0 1 
 (a+b)1 1 1 
 (a+b)2 1 2 1 
 (a+b)3 1 3 3 1 
 (a+b)4 1 4 6 4 1 
 Cada linha do triângulo dos coeficientes das expansões binomiais inicia e 
termina com o número 1 e cada outro coeficiente maior que 1 é a soma dos dois 
coeficientes que lhe são adjacentes na linha acima. 
 Essa disposição dos coeficientes de uma expansão binomial, denominada 
triângulo de Pascal, é útil para a construção dos coeficientes quando não é disponível 
uma tabela de coeficientes. 
Introdução à Probabilidade 92 
 Uma forma alternativa do triângulo de Pascal é obtida pela expressão dos 
coeficientes na forma de combinações: 
Expansão de Coeficientes 
 (a+b)0 00C 
 (a+b)1 01C 
1
1C
 
 (a+b)2 02C 
1
2C 
2
2C 
 (a+b)3 03C 
1
3C 
2
3C 
3
3C 
 (a+b)4 04C 
1
4C 
2
4C 
3
4C 
4
4C 
Pode-se observar, agora, que o subscrito do símbolo que denota combinação é o 
expoente do binômio e o superescrito é a ordem do termo da expansão. 
b) Construa as próximas duas linhas do triângulo e escreva as expansões de (a+b)5 
e (a+b)6. 
c) Mostre, com esse método de construção, que o r-ésimo coeficiente da n-ésima 
linha é o coeficiente binomial 1rnC
− . (Utilize indução matemática e a propriedade a dos 
coeficientes binomiais.) 
4) Expansões binomiais com expoentes negativos ou fracionários 
a) O símbolo de combinação rnC pode ser generalizado de um inteiro positivo n 
para qualquer número real t, pela seguinte definição: 
r
t
t(t 1)(t 2)...(t r 1)C
r!
− − − += , r = 1, 2,... e rtC = 1 para r=0. 
b) r nC− = (-1)
n r 1rnC −+ para n > 0. 
 De fato, 
r
n
( n)( n 1)( n 2)...( n r 1)C
r!−
− − − − − − − += 
 = (-1)r n(n 1)(n 2)...(n r 1)
r!
+ + + − 
 = (-1)r r 1rnC −+ . 
c) Mostre que r r1C ( 1)− = − . 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 93 
d) Se n > 0, a expansão binomial de (a+b)-n, para a+b≠0, derivada com as mesmas 
regras conhecidas da expansão binomial de (a+b)n, provê a série infinita: 
(a+b)-n = 0nC a
-nb0+ 1nC a
-n-1b1+ 2nC a
-n-2b2+...+ rnC a
-n-rbr+... 
 Esta expressão tem aparência semelhante à da expansão binomial de (a+b)n, n > 
0. Entretanto, há uma considerável distinção entre as duas expressões. A expansão de 
(a+b)n compreende exatamente n+1 termos, um termo para cada potência de a, 
enquanto a expansão de (a+b)-n tem os termos iniciais semelhantes aos dessa expansão, 
mas não tem um último termo; ela compreende infinitos termos, um para cada 
expoente negativo de a menor ou igual a –n. 
e) Admitindo que os termos da expansão infinita de (a+b)-n, a+b≠0, podem ser 
divididos por a-n (a≠0), à semelhança do que é permitido com uma soma de número 
finito de termos, obtém-se: 
(a+b)-n = a-n[ 0nC b
0+ 1nC a
-1b1+ 2nC a
-2b2+...+ rnC a
-rbr+...]. 
Como 
(a+b)-n = a-n 
n
a
b1
−



+ , a≠0, 
substituindo p = b/a, obtém-se: 
(1+p)-n = ...pC...pCpCpC1 rrx
33
n
22
n
1
n ++++++ 
 = r rn
r 0
C p
∞
=
∑ , p≠-1. 
f) No caso especial n=1, essa última expressão provê o desenvolvimento em série 
de (1+p)-1: 
(1+p)-1 = 1 - p +p2 –p3 + (-1)rpr + ... r
r=0
(-p)
∞
= ∑ . 
 Observação: A expressão da expansão binomial de (a+b)-n foi gerada por uma 
expansão formal segundo as regras previamente provadas para a expansão binomial 
com expoente positivo. Não foi estabelecida garantia ou condições de que a expressão 
obtida em d) e, conseqüentemente, as que lhe seguem, tenham comportamento 
semelhante ao que é conhecido para expansões binomiais com expoente inteiro 
Introdução à Probabilidade 94 
positivo. De fato, pode-se observar que substituindo p=1 na expressão da expansão de 
(1+p)-1, resulta: 
=
2
1 1 – 1 + 1 – 1 + ..., 
expressão que não tem sentido. Isso evidencia que aquela expressão não é válida para 
todo p≠-1. De fato, pode-se provar com tratamento matemático mais avançado que 
aquele desenvolvimento em série de (1+p)-1 é válido apenas para –1<p<1 (Seção 7;13, 
3), d)). 
5) Regra das permutações com repetições 
 A regra das permutações com repetições pode ser derivada como segue: O 
número de permutações de n elementos em k subconjuntos com n1 elementos no 
primeiro subconjunto, n2 no segundo subconjunto,..., nk elementos no k-ésimo 
subconjunto, é: 
1 2 kn(n ,n ,...,n )
1 2 k
n!P
n !n !...n !
= . 
 Observe-se que há 1nnC modos de formar o primeiro subconjunto. Para cada um 
dessas permutações, há 2
1
n
nnC − modos de formar o segundo conjunto; para cada um dos 
primeiro e segundo subconjuntos, há 3
21
n
nnnC −− modos de formar o terceiro 
subconjunto, e assim por diante. Portanto, segundo a regra da multiplicação, tem-se: 
)n,...,n,n(n k21P = 
1n
nC 2 1
n
nnC − 3 21
n
nnnC −− ... k 1k21
n
n...nnnC
−
−−−−
 
 = 
1 1
n!
n !(n n )!−
. 1
2 1 2
(n n )!
n !(n n n )!
−
− −
... 1 2 k 1
k
(n n n ... n )!
n !0!
−− − − − 
 = 
!n!...n!n
!n
k21
. 
 Observe-se que essa expressão é uma generalização da expressão que provê o 
número de combinações de r elementos tomados de um conjunto de n elementos 
distintos, ou seja: 
 n
r n!C
r!(n r)!
=
−
. 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 95 
Portanto, 1 2 kn ,n ,...,nnC é uma notação alternativa sugestiva para )n,...,n,n(n k21P . 
6) Teorema multinomiala) O teorema binomial pode ser generalizado para a expansão da n-ésima potência 
de um multinômio, como segue: Se n é um número inteiro positivo, 
n
k
1j
ja 


∑
=
 = ∑ ∏
∏= =
=
k
1j
k
1i
n
ik
1i
i
ia
!n
!n . 
onde a soma no segundo membro é sobre todos inteiros não negativos n1, n2,..., nk tais 
que n1 + n2 + ... + nk = n. Por essa razão, o número de permutações com repetições: 
)n,...,n,n(n k21P = !n!...n!n
!n
k21
. 
também é referido como coeficiente multinomial. 
b) A expressão particular do teorema multinomial para n=2 provê uma fórmula 
importante em algumas aplicações: 






=


 ∑∑∑
===
k
1j
j
k
1i
i
2
k
1j
j aaa = ∑∑
= =
k
1i
k
1j
jiaa . 
2.10 Exercícios de Revisão 
1. Especifique um espaço básico e o correspondente espaço de eventos para cada um dos 
seguintes experimentos aleatórios: 
a) plantio de uma semente e observação do resultado da germinação; 
b) plantio de duas sementes e observação do resultado da germinação. 
2. Especifique um espaço básico para cada um dos seguintes experimentos aleatórios: 
a) escolha aleatória de duas sementes de um pacote contendo 5 sementes de idêntica 
aparência, sendo que 2 são de plantas de flores brancas e 3 de plantas de flores azuis, e 
observação das cores das flores das plantas resultantes; 
b) escolha aleatória de uma entre seis garrafas de vinho tinto das cultivares C1, C2, C3, C4, 
C5 e C6 e registro da identificação do rótulo da garrafa escolhida; 
c) escolha aleatória de uma entre seis garrafas de vinho tinto das cultivares C1, C2, C3, C4, 
C5 e C6 de cada uma de duas caixas, uma com rótulos brancos e a outra com rótulos 
verdes, e registro da identificação dos rótulos das duas garrafas escolhidas; 
Introdução à Probabilidade 96 
d) aplicação de um hormônio de crescimento a 100 animais de um rebanho e observação 
do número de animais que revelam resposta positiva; 
e) pesagem dos animais de um rebanho de 50 bovinos da raça Hereford e determinação 
do número de animais com peso superior a 300 kg; 
f) levantamento referente ao consumo de vinho no Rio Grande do Sul em que 1.000 
pessoas são solicitadas a responder "sim" ou "não" à questão: "você bebeu vinho na 
semana passada?" e consideração do número de respostas positivas; 
g) degustação de compota de pêssego de cada uma das cultivares C1, C2, C3 e C4 por um 
provador, com omissão da identificação das cultivares para o provador, e classificação 
quanto à preferência com respeito a uma propriedade organolética; 
h) observação do número de mortes em acidentes de trânsito na cidade de Pelotas no 
próximo ano; 
i) registro da temperatura no próximo dia 29 de março às 9 horas no Posto Meteorológico 
da UFPEL; 
j) determinação do número de ovos nas fezes e do número de helmintos nas vísceras de 
um bovino da raça Ibagé, após um período de dois meses em uma pastagem infectada. 
3. Especifique os seguintes eventos para o experimento aleatório do exercício 1 b): A: duas 
sementes germinam; B: pelo menos uma semente germina; e C: nenhuma semente 
germina. 
4. Especifique os seguintes eventos para os experimentos aleatórios do exercício 2: 
a) A: primeira semente de planta de flor branca; B: duas sementes de plantas de flores da 
mesma cor: C: duas sementes de plantas com flores de cores diferentes; 
b) A: garrafa de vinho de cultivar identificada com número par; B: garrafa de vinho de 
cultivar identificada com número menor que 4, C: complemento de B; 
c) A: ambas garrafas com vinho da cultivar C3, B: garrafas cuja soma das identificações 
das cultivares é 5, C: garrafa cuja soma das identificações é no mínimo 10; 
d) mais de 30 animais reagem à aplicação do hormônio; 
e) pelo menos 45 animais com peso superior a 300 kg; 
f) pelo menos 850 pessoas respondem "sim"; 
g) cultivares C3 e C4 nos dois primeiros lugares; 
h) menos de 120 mortes; 
i) temperatura acima de 21°C; 
j) pelo menos 5.000 ovos e mais de 500 helmintos. 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 97 
5. Em um experimento aleatório de plantio de quatro sementes, especifique os seguintes 
eventos: A: duas sementes germinam; B: pelo menos uma semente germina; C: nenhuma 
semente germina. 
6. Uma caixa contém três pedras identificadas pelos números 1, 2 e 3. Considere o 
experimento de 3 extrações aleatórias sucessivas de uma pedra dessa caixa, com a 
reposição da pedra após cada extração, e registrar a seqüência de números resultante. a) 
Construa um diagrama de árvore para determinar os resultados possíveis desse 
experimento. b) De quantas diferentes formas podem resultar: i) três números iguais? ii) 
três números distintos? c) dois números iguais? 
7. Três atletas A, B e C competem em uma corrida de 800 metros. Suponha que esses atletas 
têm a mesma habilidade e que não pode ocorrer empate. a) Qual é a probabilidade de que 
o A termine a corrida na frente de B? b) Qual é a probabilidade de que A termine a corrida 
na frente de ambos B e C? 
8. Suponha que 15 carros deverão correr na próxima competição de fórmula 1. Quantas 
diferentes formações de três pilotos poderão subir ao pódio como os três primeiros 
colocados na competição? 
9. Considere a formação de "palavras" de três letras com as letras a, b, c, d, e, f. Quantas 
dessas palavras podem ser formadas: a) sem repetição de letras? b) com repetição de 
letras? c) com uma ou mais letras repetidas? 
10. Dez estudantes de um colégio são selecionados para formar a equipe de basquete para uma 
competição. a) Entre quantas diferentes composições deverá ser escolhida a equipe para 
entrar em cancha no primeiro jogo? b) Quantas dessas composições incluem um estudante 
cujo nome é Afonso? 
11. Quantas linhas são necessárias para conectar todos os possíveis pares de 15 pontos em um 
plano? 
12. Uma caixa contém 2 lâmpadas de 25 watts, 3 de 40 watts e 4 de 100 watts. a) Em quantos 
modos diferentes podem ser selecionadas 3 lâmpadas dessa caixa? b) Quantas dessas 
seleções de 3 lâmpadas incluiriam as duas lâmpadas de 25 watts? c) Quantas incluiriam 
nenhuma lâmpada de 25 watts? d) Quantas seleções de lâmpadas incluiriam exatamente 
uma de cada uma dessas três diferentes potências elétricas? 
13. Suponha que 6 bolas de uma urna que contém 4 bolas pretas e 2 brancas são retiradas 
aleatoriamente, uma por uma, e dispostas em uma fila. Qual é a probabilidade de que: a) as 
duas bolas nos extremos da fila sejam brancas? b) as duas bolas extremas não sejam 
brancas? c) as duas bolas brancas situem-se em posições contíguas? 
Introdução à Probabilidade 98 
14. Determine as probabilidades dos eventos especificados no exercício 4 a), b), c). 
15. Um lote de dezesseis unidades de um certo artigo consiste de 10 unidades perfeitas, 4 com 
defeitos menores e 2 com defeitos graves. Uma unidade desse artigo é escolhida ao acaso. 
Determine a probabilidade de que: a) a unidade não tenha defeitos; b) a unidade não tenha 
defeitos graves; c) a unidade seja perfeita ou tenha defeitos menores. 
16. Considere o mesmo lote de unidades de um artigo do exercício anterior. Duas unidades são 
escolhidas ao acaso, repondo-se a primeira extraída antes da extração da segunda. 
Determine a probabilidade de que: a) ambos as unidades sejam perfeitas; b) ambas 
tenham defeitos graves; c) pelo menos uma seja perfeita; d) no máximo uma seja perfeita; 
e) exatamente uma seja perfeita; f) nenhuma tenha defeitos graves; g) nenhuma seja 
perfeita. 
17. Suponha que um lote de dezesseis unidades do artigo considerado no exercício 15 seja 
aceito para despacho se três unidades escolhidas ao acaso são perfeitas. Qual é a 
probabilidade de que aquelelote particular seja aceito? 
18. O Departamento de Estatística de uma universidade oferece duas disciplinas de Estatística 
designadas de "Estatística I" e "Estatística II". No primeiro semestre letivo, são oferecidas 
4 turmas de Estatística I e no segundo semestre, 3 turmas de Estatística II. 
a) Se um estudante deseja fazer essas duas disciplinas em um mesmo ano letivo, quantas 
diferentes escolhas de turmas são possíveis? 
b) Se forem admitidos para cada turma dessas disciplinas no máximo 40 estudantes, qual 
é o número máximo de estudantes que podem se matricular nessas disciplinas em um 
ano letivo? 
c) Se forem oferecidas no turno da manhã 2 turmas de Estatística I e 3 de Estatística II, 
qual é a probabilidade de que um estudante resulte matriculado em turmas da manhã 
nessas duas disciplinas se matricula aleatoriamente nas turmas oferecidas? 
d) O professor José Antônio deve lecionar 2 turmas de Estatística I e 1 de Estatística II. 
Qual é a probabilidade de que um estudante que se matricula aleatoriamente venha a 
ter esse professor: i) em ambos semestres? ii) em nenhum dos dois semestres? 
19. Um saco contém 1.500 batatas das quais 1.100 são classificadas como de primeira e 400 
como de segunda. Extraindo-se uma amostra de três batatas, determine a probabilidade de 
que: a) as três batatas sejam de primeira; b) pelo menos uma batata seja de segunda. 
20. Um geneticista que pesquisa gado leiteiro tem quatro touros e oito vacas que podem ser 
usados em um experimento. Quantos diferentes pares constituídos de um macho e uma 
fêmea ele pode constituir? 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 99 
21. Uma pessoa afirma que tem habilidade para distinguir entre café percolado e café 
instantâneo. Em um experimento para testar esta afirmada habilidade, o indivíduo deve 
provar 10 xícaras de café, cinco com cada um dos dois tipos de café. Para melhoria do 
experimento, são usados xícaras iguais e o café das duas origens é preparado 
simultaneamente. Então, as dez xícaras de café são oferecidas ao indivíduo, sem 
identificação de seu conteúdo, para prova e indicação das cinco que contém café 
percolado. 
a) De quantas formas ele pode selecionar 5 entre as dez xícaras de café? 
b) De quantas formas ele pode selecionar as 5 xícaras de café percolado? 
c) Qual é a probabilidade de que selecione corretamente as cinco xícaras com café 
percolado por palpite em vez de por habilidade sensorial? 
22. Em um experimento, foram semeados com trigo quatro conjuntos (blocos) de cinco talhões 
(parcelas) - um talhão com cada uma das cinco cultivares A, B, C, D e E. Em todos os 
blocos a cultivar C foi a mais produtiva. Qual é a probabilidade de que esse resultado tenha 
decorrido exclusivamente por acaso? 
23. Em um experimento semelhante ao do exercício anterior, a cultivar C teve a produção 
mais elevada em três dos quatro blocos e a segunda produção mais elevada no bloco 
restante. Qual é a probabilidade de ela se ter destacado tanto ou mais do que neste 
experimento exclusivamente por acaso? 
24. Em um experimento de vinte parcelas, instalam-se quatro repetições de cada uma de cinco 
cultivares (A, B, C, D e E) atribuídas às parcelas completamente ao acaso. Na ordenação 
dos resultados das vinte parcelas, as parcelas com o tratamento C ficaram nos quatro 
primeiros lugares. Qual é a probabilidade de que isto tenha decorrido por mero acaso? 
25. Quatro provadores (sejam 1, 2, 3 e 4) deverão ordenar três diferentes marcas de vinho 
(sejam A, B e C) quanto à preferência, sem conhecimento das marcas que lhes são dadas 
para degustar. Cada provador classifica como 1 a marca que mais lhe agrada, como 2 a 
segunda e como 3 a que menos lhe agrada, e então são somados os pontos atribuídos para 
cada marca de vinho. Suponha que os provadores realmente não podem discriminar entre 
as marcas, de modo que cada um está atribuindo sua ordenação ao acaso. Determine a 
probabilidade de que: a) a marca A receba o total de pontos igual a 4; b) alguma marca 
receba o total de pontos igual a 4; c) alguma marca receba uma soma de pontos de 5 ou 
menos. 
26. Em herança mendeliana simples, um caráter físico de uma planta ou animal é determinado 
por um par simples de genes. O caráter "cor" da ervilha é um exemplo. Ele é determinado 
Introdução à Probabilidade 100 
por um par de genes A e V que representam, respectivamente, as cores amarela e verde. O 
gene A é dominante, de modo que plantas com o genótipo (par de genes) VV terão ervilhas 
verdes e aquelas com os genótipos AA e AV terão ervilhas amarelas. Os descendentes 
(progênie) recebem um gene de cada pai com igual probabilidade para cada gene de cada 
pai. 
a) Determine a probabilidade de que do cruzamento de ervilhas de coloração amarela 
resulte uma planta com ervilhas: i) amarelas; ii) verdes. 
b) Em um cruzamento entre ervilhas AV e AV, qual é a proporção da progênie que terá 
grãos amarelos? Qual é a proporção de ervilhas amarelas que terão o genótipo AA? 
27. Um outro caráter mendeliano simples é a rugosidade. As ervilhas podem ser lisas ou 
rugosas. Esse caráter é determinado por um par de genes L e R, respectivamente para as 
alternativas lisa e rugosa. O caráter liso é dominante, de modo que ervilhas LL e LR são 
lisas, enquanto que ervilhas RR são rugosas. 
a) Se ervilhas AV - LR são cruzadas com ervilhas VV - RR, quais são os resultados 
possíveis? Quais são suas correspondentes probabilidades? 
b) Responda semelhantes questões para cruzamentos entre ervilhas AV - LR e VV- LR. 
c) Responda semelhantes questões para cruzamentos entre ervilhas AV - LR e AV - LR. 
28. Suponha que um estudante responde cada uma das 12 questões do teste de múltipla 
escolha de que trata o exercício 9 dos Exercícios 2.2 , escolhendo aleatoriamente uma 
das correspondentes três alternativas, e que uma e apenas uma dessas alternativas é correta. 
a) Qual é a probabilidade de que ele acerte todas as questões? 
b) Qual é a probabilidade de que ele erre todas as questões? 
c) Qual é a probabilidade de que ele acerte a metade das questões? 
d) Qual é a probabilidade de que ele acerte pelo menos a metade das questões? 
29. Há evidência de que entre as formas inferiores de vida animal podem ser transmitidas 
características de um animal para outro junto com a transferência da substância química 
conhecida como RNA. Em um experimento referente a esse comportamento de 
transferência, oito salamandras são distribuídas aleatoriamente em dois grupos de quatro 
animais. Um grupo constituirá o grupo experimental e ou outro o grupo controle. 
a) Mostre que os dois grupos podem se formados com 70 diferentes constituições. 
b) Qual é a probabilidade de que as quatro salamandras mais ágeis resultem em um 
mesmo grupo? 
2. Probabilidade em Espaço Básico Finito 101 
c) Qual é a probabilidade de que três das quatro salamandras mais ágeis situem-se no 
mesmo grupo? 
d) Todas as salamandras do grupo experimental recebem RNA de uma salamandra que 
foi treinada para maior agilidade. As salamandras do outro grupo (o grupo controle) 
recebem RNA de uma salamandra não treinada. O pesquisador está disposto a acreditar 
que o comportamento é transferido com o RNA se seu experimento revelar um número 
de animais x mais rápidos no grupo experimental tal que a probabilidade de um 
número de salamandras mais rápidas nesse grupo igual ou superior a x sob a hipótese 
de que o comportamento não é transferido com o RNA se revelar inferior a 0,05. Qual 
deve ser o número x de animais mais rápidos no grupo experimental para que o 
pesquisador possa acreditar que o comportamento sob consideração é transferido com 
o RNA? 
30. Em um exame para admissão de laboratoristas, os candidatos são solicitados a efetuar