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1Números reais
Nesse capítulo, revisamos alguns conceitos fundamentais da aritmética e álgebra, com
Antes de ler o capítulo
Sugerimos ao leitor que revise
• as quatro operações aritméti-
cas elementares: soma, sub-
tração, multiplicação e divi-
são;
• os números negativos;
• a representação decimal dos
números.
o propósito preparar o leitor para os capítulos que estão por vir. Os tópicos aqui
abordados são aqueles indispensáveis para que se possa compreender a matemática
cotidiana, ou seja, aquela que usamos quando vamos ao supermercado ou ao banco,
ou quando lemos um jornal, por exemplo.
A aritmética elementar é o ramo da matemática que trata dos números e de suas
operações. Por ser a base sobre a qual são erguidos os demais ramos, seu conheci-
mento é imprescindível para a compreensão da maioria dos tópicos da matemática.
Já na álgebra elementar, uma parte dos números é representada por outros símbolos,
geralmente letras do alfabeto romano ou grego.
É provável que você já domine grande parte dos conceitos aritméticos e algébricos
aqui apresentados. Ainda que seja esse o caso, não deixe de fazer uma leitura rápida
das seções, para refrescar sua memória. Ao final da revisão, você deve estar preparado
para trabalhar com números reais, frações, potências e raízes.
1.1 Conjuntos de números
Os números usados rotineiramente em nossas vidas são chamados números reais.
Esses números são divididos em diversos conjuntos, cada qual com uma origem e um
emprego específico.Deixamos para o próximo capítulo a
apresentação dos principais conceitos
associados a conjuntos. Por hora, é
suficiente conhecer os principais con-
juntos numéricos.
Ao homo sapiens de épocas remotas, por exemplo, os números serviam apenas
para contar aquilo que era caçado, ou coletado como alimento. Assim, para esse
homem rudimentar, bastavam os números naturais:
1; 2; 3; 4; 5; . . .
Você sabia?
Em muitas culturas antigas, só
os números 1, 2 e 3 possuíam
nomes específicos. Qualquer
quantidade acima de três era
tratada genericamente como
“muitos”. Mas os egípcios, há
milhares de anos, já possuíam
hieroglifos particulares para re-
presentar números entre 1 e
9.999.999 na forma decimal.
Os números naturais também estão associados ao conceito de números ordinais,
que denotam ordem ou posição (primeiro, segundo, terceiro, ...).
O conjunto dos números naturais é representado pelo símbolo N.
Um membro de um conjunto de números é chamado elemento do conjunto. Di-
zemos, portanto, que o número 27 é um elemento do conjunto de números naturais.
A Tabela 1.1 fornece a notação usada para indicar a relação de pertinência entre um
número a qualquer e um conjunto numérico S.
Alguns autores consideram o zero um número natural, enquanto outros preferem
não incluí-lo nesse conjunto. Esse livro segue a segunda vertente, considerando que
0 ∉ N.
Quando aplicadas a números naturais, algumas operações geram números natu-
rais. Assim, por exemplo, quando somamos ou multiplicamos dois números naturais,
2 Capítulo 1. Números reais
Tabela 1.1: Notação de pertinência a conjunto.
Notação Significado Exemplos
a ∈ S a é um elemento de S. 132 ∈ N
a pertence a S. 9756431210874 ∈ N
a ∉ S a não é um elemento de S. 12,5 ∉ N
a não pertence a S. −1 ∉ N
sempre obtemos outro número natural. Entretanto, o mesmo não ocorre quando sub-
traímos 100 de 50. Ou seja, para que a subtração sempre possa ser feita, precisamos
dos números negativos e do zero.
Na prática, o zero costuma ser usado como um valor de referência, e os números
negativos representam valores inferiores a essa referência. Quando usamos, por exem-
plo, a escala Celsius para indicar a temperatura, o zero representa a temperatura de
congelamento da água, e os números negativos correspondem a temperaturas ainda
mais frias.
Considerando todos os números que podem ser gerados pela subtração de números
naturais, obtemos o conjunto dos números inteiros
. . . ; −5; −4; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; . . .
O conjunto dos números inteiros é representado pelo símbolo Z.
Note que todo número natural é também um número inteiro, mas o contrário não
é verdade.
Apesar de serem suficientes para que efetuemos a subtração de números naturais,
os números inteiros ainda não permitem que definamos outras operações, como a
divisão. Para que mais essa operação seja feita com quaisquer números inteiros,
definimos outro conjunto, composto pelos números racionais.
O termo “racional” deriva da palavra “razão” que, em matemática, denota o quo-
ciente entre dois números. Assim, todo número racional pode ser representado pela
divisão de dois números inteiros, ou seja, por uma fração na qual o numerador e o
denominador são inteiros. Alguns números racionais são dados a seguir.Observe que todo número inteiro é
também racional, pois pode ser es-
crito como uma fração na qual o de-
nominador é igual a 1.
Se você não está familiarizado com a
manipulação de frações, não se pre-
ocupe, pois retornaremos ao assunto
ainda nesse capítulo.
1
5
= 0,2 − 3
10
= −0,3 6
1
= 6
4
3
= 1,333... −3
8
= −0,375 1
7
= 0,142857142857...
Os exemplos acima ilustram outra característica dos números racionais: a possibi-
lidade de representá-los na forma decimal, que pode ser finita – como observamos para
1
5 , − 310 , 61 e − 38 – ou periódica – como exibido para 43 e 17 . O termo periódico indica que,
apesar de haver um número infinito de algarismos depois da vírgula, estes aparecem
em grupos que se repetem, como o 3 em 1,333..., ou 142857 em 0,142857142857...
O conjunto dos números racionais é representado pelo símbolo Q.
Atenção
Lembre-se de que a divisão de
um número por zero não está
definida, de modo que não po-
demos escrever 50 , por exemplo.
Infelizmente, os números racionais ainda não são suficientes para representar al-
guns números com os quais trabalhamos com frequência, como
√
2 ou pi. Números
como esses são chamados irracionais, pois não podem ser escritos como a razão de
dois números inteiros.
A forma decimal dos irracionais é infinita e não é periódica, ou seja, ela inclui
um número infinito de algarismos, mas esses não formam grupos que se repetem.
Assim, não é possível representar exatamente um número irracional na forma decimal,
embora seja possível apresentar valores aproximados, que são indicados nesse livro
pelo símbolo “≈”. Assim, são igualmente válidas as expressões
pi ≈ 3,1416 e pi ≈ 3,1415926536.
Seção 1.1. Conjuntos de números 3
Números irracionais populares, acompanhados de algumas de suas aproximações
decimais, são apresentados abaixo.Trataremos com maior detalhe as raí-
zes – como
√
2 e
√
3 – na Seção 1.9. √
2 ≈ 1,4142136 √3 ≈ 1,7320508
log2(3) ≈ 1,5849625 e ≈ 2,7182818
Exemplo 1. O número pi
Quando dividimos o comprimento de uma circunferência pela medida de seu diâ-
metro, obtemos um número constante (ou seja, um valor que não depende da circun-
ferência em questão), representado pela letra grega pi (lê-se “pi”).
No computador
O Wolfram Alpha (disponível
em www.wolframalpha.com) é
um mecanismo gratuito que fa-
cilita a resolução de problemas
matemáticos.
Usando o Alpha, podemos
determinar uma aproximação
para pi com qualquer precisão
(finita). Por exemplo, a apro-
ximação com 100 algarismos é
3,1415926535897932384626433
832795028841971693993751058
209749445923078164062862089
98628034825342117068.
pi = comprimento da circunferência
diâmetro da circunferência
.
Figura 1.1: Uma circunferência e seu diâmetro.
Exemplo 2. Diagonal de um quadrado de lado inteiro
Suponha que um quadrado tenha lados com 1 m de comprimento. Nesse caso, sua
diagonal mede
√
2 m, um número irracional. Além disso, como veremos posterior-
mente, todo quadrado com lado inteiro tem diagonal de medida irracional (a medida
da diagonal será sempre o produto do lado por
√
2).
Figura 1.2:

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