Pré Cálculo IME

a parcelas
+ 1
n
+ 1
n
+ 1
n
+⋯ + 1
n´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶
b parcelas
= (a + b) ( 1
n
) = a + b
n
.
16 Capítulo 1. Números reais
O problema abaixo ilustra o que acontece quando precisamos calcular a diferença
entre duas frações com um mesmo denominador.
Problema 1. Frações de um bolo
Uma confeitaria dividiu um bolo de chocolate em 8 fatias iguais. Em um determi-
nado momento do dia, restavam 5/8 do bolo (ou seja, 5 fatias), como mostra a Figura
1.10a. Até o final do dia, foram servidos mais 3/8 do bolo (ou seja, outras três fatias),
como ilustrado na Figura 1.10b. Que fração do bolo sobrou ao final do dia?
(a) Fração disponível. (b) Fração consumida. (c) Fração restante.
Figura 1.10: Frações de um bolo dividido em 8 pedaços iguais.
Solução.
Para obtermos a fração restante, devemos efetuar a subtração
5
8
− 3
8
= 5 ⋅ (1
8
) − 3 ⋅ (1
8
)
= (5 − 3) ⋅ (1
8
)
= 2
8
.
Assim, sobraram 2/8 do bolo, como apresentado na Figura 1.10c.
Como observamos, a estratégia usada para o cálculo da diferença entre duas frações
é similar àquela empregada na soma.
Soma e diferença de frações com o mesmo denominador
Sejam a, b e n números reais tais que n ≠ 0. Nessa caso,
a
n
+ b
n
= a + b
n
e a
n
− b
n
= a − b
n
.
Exemplo 4. Soma e subtração de frações com denominadores comuns
a) 1
7
+ 3
7
= 4
7
b) 5
9
+ 13
9
= 18
9
= 2
c) 3
5
+ 4
5
= 7
5
d) 2
15
+ 4
15
+ 8
15
= 14
15
e) 3
7
− 1
7
= 2
7
f) 4
9
− 5
9
= −1
9
Seção 1.3. Divisão e frações 17
g) 2
5
− 2
5
= 0
5
= 0 h) 12
17
− 46
17
= −34
17
= −2
∎ Multiplicação de frações
Passemos, agora, ao cálculo de produtos que envolvem frações. Comecemos com um
problema simples.
Problema 2. Cobras peçonhentas
Em um grupo de 108 cobras, 34 são peçonhentas. Quantas cobras venenosas há no
grupo?
Solução.
O número de cobras peçonhentas – ou venenosas – é dado pelo produto
108 ⋅ 3
4
,
que pode ser calculado em duas etapas. Inicialmente, dividimos 108 em quatro grupos,Também podemos efetuar as opera-
ções em ordem inversa, calculando
primeiramente o produto 108⋅3 = 324,
e depois a divisão 324/4 = 81.
cada qual contendo 1084 = 27 cobras. Em seguida, tomamos 3 desses grupos, o que
corresponde a 27 ⋅ 3 = 81. Assim, há 81 cobras venenosas.
Agora, tente o exercício 2.
Agora, vamos usar a definição de produto para multiplicar a fração 3/26 por 5.
5 ⋅ ( 3
26
) = 3
26
+ 3
26
+ 3
26
+ 3
26
+ 3
26
= 3 + 3 + 3 + 3 + 3
26
= 3 ⋅ 5
26
= 15
26
.
Essa ideia pode ser generalizada para qualquer fração a/b e qualquer número c
natural:
c ⋅ (a
b
) = a
b
+ a
b
+ a
b
+⋯ + a
b
+ a
b´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶
c parcelas
=
c parcelasucurlyleftudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymoducurlymidudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymoducurlyright
a + a + a +⋯ + a + a
b
= c ⋅ a
b
.
Lembrete
Não se esqueça de que, se c é
um número natural, então
c ⋅ d = d + d + d +⋯ + d + d´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶
c parcelas
.
De fato, a regra acima pode ser aplicada mesmo quando c é um número real, de
modo que, para calcular o produto de a/b por c, usamos a fórmula
c ⋅ (a
b
) = c ⋅ a
b
.
18 Capítulo 1. Números reais
Problema 3. Exploradores