Pré Cálculo IME

e exploradoras
Um grupo de pesquisadores partiu em uma excursão exploratória. Sabe-se que
os pesquisadores homens, que são 27, formam 3/7 do grupo. Quantos exploradores
partiram na excursão e qual é a fração do grupo composta por mulheres?
Solução.
(a) Os 27 homens.
(b) Divisão do grupo em sete parcelas, cada qual com 9 pessoas.
(c) O grupo de 63 exploradores, dos quais 3/7 são homens e 4/7 são mulheres.
Figura 1.11: Figuras do Problema 3.
A Figura 1.11a ilustra os 27 homens que formam o grupo de pesquisadores. Como
sabemos que os homens correspondem a 3/7 do grupo, podemos dividi-los em 3 grupos,
cada qual com
27/3 = 9 pessoas.
Assim, cada grupo de 9 pessoas corresponde a 1/7 do número total de exploradores,
como mostrado na Figura 1.11b. Portanto, o grupo como um todo possui
9 × 7 = 63 pessoas.
Para descobrir a que fração do grupo as mulheres correspondem, devemos lembrar
que grupo completo equivale a 1, ou à fração 7/7, de modo que as mulheres são
1 − 3
7
= 7 − 3
7
= 4
7
dos pesquisadores.
Agora, tente o exercício 5.
Investiguemos, agora, como calcular o produto de duas frações com numerador
igual a 1.
Seção 1.3. Divisão e frações 19
Problema 4. Bolinhas de gude
Minha coleção de bolinhas de gude é composta por 120 bolinhas, das quais 1/3
são verdes. Se 1/5 das bolinhas verdes têm cor clara, quantas bolinhas verde-claras
eu possuo? Que fração da minha coleção é verde-clara?
Solução.
O número de bolinhas verdes da minha coleção é dado por
120 ⋅ (1
3
) = 120
3
= 40.
Das 40 bolinhas verdes, as claras correspondem a
40 ⋅ (1
5
) = 40 ⋅ 1
5
= 40
5
= 8 bolinhas.
Observe que obtivemos o valor 8 calculando a seguinte expressão:
120 ⋅ (1
3
)´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶
bol. verdes
⋅ (1
5
)
´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶
bolinhas verde-claras
Assim, do total de bolinhas, (1/3) ⋅(1/5) são verde-claras. Para descobrir quanto vele
esse produto, vamos analisar a Figura 1.12.
(a) 1/3 das bolinhas são verdes. (b) 1/5 das bolinhas verdes são cla-
ras.
Figura 1.12: Minha coleção de bolinhas de gude.
Na Figura 1.12a, dividimos o conjunto de bolinhas em três partes, das quais uma
era composta apenas por bolas verdes. Já na Figura 1.12b, cada terça parte do
conjunto foi dividida em 5 grupos. Como se observa, o conjunto total das bolinhas
foi dividido em 15 grupos, dos quais apenas um corresponde às bolinhas verde-claras.
Logo, as 8 bolinhas correspondem a 1/15 do total.
No problema acima, para obter a fração correspondente às bolinhas verde-claras,
dividimos a coleção por 3 ⋅ 5, e ou seja,
1
15
= (1
3
) ⋅ (1
5
) = 1
3 ⋅ 5 .
De uma forma geral, podemos dizer que, se a ≠ 0 e b ≠ 0, então
1
a
⋅ 1
b
= 1
a ⋅ b .
20 Capítulo 1. Números reais
A partir desse resultado, é fácil estabelecer uma regra para o cálculo do produto
de duas frações.
Produto de frações
Dadas as frações a/b e c/d, em que b ≠ 0 e d ≠ 0,
a
b
⋅ c
d
= ac
bd
.
A demonstração desse resultado é trivial:
a
b
⋅ c
d
= a ⋅ (1
b
) ⋅ c ⋅ (1
d
) Frações na forma de produto.
= (a ⋅ c) ⋅ (1
b
⋅ 1
d
) Propriedade comutativa da multiplicação.
= (a ⋅ c) ⋅ ( 1
b ⋅ d) Produto de frações com numerador 1.= a ⋅ c
b ⋅ d . Volta à forma fracionária.
Exemplo 5. Produto de frações
a) 2
9
⋅ 5
7
= 2 ⋅ 5
9 ⋅ 7 = 1063
b) 3
4
⋅ 5
4
= 3 ⋅ 5
4 ⋅ 5 = 1516
c) 11(−8) ⋅ 215 = 11 ⋅ 21(−8) ⋅ 5 = 231−40 = − 23140
d) (−2x)
7
⋅ 4(−3) = (−2x) ⋅ 47 ⋅ (−3) = −8x−21 = 8x21
Agora, tente o exercício 12.
∎ Divisão de frações
Problema 5. Divisão de uma garrafa de refrigerante
Uma determinada garrafa PET contém 2 litros de refrigerante. Se um copo com-
porta 15 de litro, quantos copos podemos encher com o refrigerante da garrafa?
Solução.
Para descobrir quantos copos de refrigerante a garrafa contém, devemos dividir o
conteúdo da garrafa pelo conteúdo do copo, ou seja, calcular
2
1
5
.
Como não sabemos como efetuar essa conta diretamente, vamos converter a ex-Resolvendo o problema de outra
forma, podemos considerar que,
como cada copo comporta 15 litros,
cada litro corresponde a 5 copos.
Portanto, 2 litros correspondem a
2 ⋅ 5 = 10 copos.
pressão em uma fração equivalente, multiplicando-a por 55 (ou seja, multiplicando-a
por 1):
2
1
5
= 21
5
⋅5
5
= 2⋅51
5 ⋅5 = 1055 = 101 = 10.
Assim, a garrafa de 2 litros rende 10 copos.
Seção 1.3. Divisão e frações 21
Observe que a escolha do número 5 não foi casual. Como 5 é o inverso de 15 ,
ao multiplicarmos 15 por 5, o denominador é convertido no número 1, de modo que
podemos desprezá-lo.
Problema 6. Divisão das ações de uma companhia
Um dos sócios de uma indústria possuía 23 das ações da companhia. Após sua
morte, as ações foram distribuídas igualmente por seus 4 filhos. Que fração das ações
da empresa coube a cada filho?
Solução.
A fração herdada por cada um dos filhos do empresário é dada por
2
3
4
.
Para efetuar a divisão, eliminamos o denominador multiplicando a fração por 1/41/4 :
2
3
4
= 23
4
⋅ 141
4
= 2⋅13⋅44⋅1
4
= 212
1
= 2
12
.
Logo, cada filho recebeu 2/12 das ações.
Observe que, mais uma vez, a eliminação do denominador foi obtida multiplicando-
o pelo seu inverso.
Problema 7. Divisão de frações
Na cidade de Quiproquó dos Guaianases, 89 da população adulta está empregada.
Além disso, 25 de toda a população adulta trabalha na indústria. Que fração da
população empregada trabalha na indústria?
Solução.
Para resolver o problema, devemos dividir a população que trabalha na indústria pela
população total empregada, ou seja, devemos calcular
2
5
8
9
.
Mais uma vez, para efetuar a divisão, devemos eliminar o denominador. Para
tanto, multiplicamos a fração por 9/89/8 :
2
5
8
9
= 258
9
⋅ 989
8
= 2⋅95⋅88⋅9
9⋅8 =
18
40
1
1
= 18
40
.
Logo, 1840 da população adulta empregada trabalha na indústria.
Também nesse problema, eliminamos
o termo 89 multiplicando o numera-
dor e o denominador pelo inverso
dessa fração.
Dos problemas resolvidos nessa subseção, podemos concluir que a melhor forma
de dividir frações consiste em multiplicar o numerador e o denominador pelo inverso
do denominador, como mostrado abaixo.
a
b
c
d
= abc
d
⋅ dc
d
c
= a⋅db⋅c
c⋅d
d⋅c =
ad
bc
1
1
= ad
bc
.
Em outras palavras, o quociente de uma fração por outra fração é igual ao produto
da fração do numerador pelo inverso da fração do denominador.
22 Capítulo 1. Números reais
Divisão