Pré Cálculo IME

de frações
Se a, b, c e d são números inteiros, com b ≠ 0, c ≠ 0 e d ≠ 0, então
a
b
c
d
= a
b
⋅ d
c
= ad
bc
.
Exemplo 6. Quocientes com frações
a) 35
7
= 3 ⋅ 7
5
= 3 ⋅ 7
5
= 21
5
.
b) − 611
5
= −6 ⋅ 5
11
= −6 ⋅ 5
11
= −30
11
.
c)
7
9
4
= 7
9
⋅ 1
4
= 7
9 ⋅ 4 = 736 .Note que 4 = 41 , de modo que seu in-verso é 14 .
d) − 43
5
= −4
3
⋅ 1
5
= − 4
3 ⋅ 5 = − 415 .Note que o inverso de 5 (ou 51 ) é 15 .
e)
1
2
1
3
= 1
2
⋅ 3
1
= 1 ⋅ 3
2 ⋅ 1 = 32 .
f)
5
2
11
7
= 5
2
⋅ 7
11
= 5 ⋅ 7
2 ⋅ 11 = 3522 .
g) − 10716
3
= −10
7
⋅ 3
16
= −10 ⋅ 3
7 ⋅ 16 = − 30112 .
Agora, tente o exercício 14.
∎ Frações equivalentes
Duas frações são ditas equivalentes se representam o mesmo número real. Observe,
por exemplo, que 2/5 e 4/10 representam o mesmo número, que é escrito 0,4 na forma
decimal. Para entender porque essas frações são equivalentes, basta lembrar que o
número 1 é o elemento neutro da multiplicação, de modo que n ⋅ 1 = n. Observe:
2
5
= 2
5
⋅ 1 = 2
5
⋅ 2
2
= 2 ⋅ 2
5 ⋅ 2 = 410 .
Multiplicando o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo nú-
mero, obtemos uma fração equivalente, como mostram os exemplos abaixo:
2
5
= 4
10
= 8
20
= 800
2000
×2
×2
×2
×2
×100
×100
−3
5
= − 9
15
= −18
30
= −450
750
×3
×3
×2
×2
×25
×25
Seção 1.3. Divisão e frações 23
Exemplo 7. Divisão de uma pizza
Se você tiver dividido uma pizza em dois pedaços e comido um deles, ou se a tiver
dividido em quatro partes iguais e comido duas dessas partes, ou ainda se a tiver
repartido em 6 fatias iguais e comido três fatias, não importa: você terá comido meia
pizza, como mostra a Figura 1.13.
(a) 1/2 da pizza. (b) 2/4 da pizza. (c) 3/6 da pizza.
Figura 1.13: Frações equivalentes de uma pizza.
Agora, tente o exercício 8.
∎ Soma e subtração de frações com denominadores diferentes
Suponha que uma fazenda retangular tenha parte de sua área usada na agricultura, e
que outra parte seja reservada à preservação ambiental, como mostra a Figura 1.14.
Qual será a fração da área total destinada a essas duas finalidades? E qual será a
fração não ocupada da fazenda?
Figura 1.14: Divisão de uma fazenda retangular.
Para responder essas perguntas, precisamos, em primeiro lugar, determinar as
frações do terreno destinadas a cada tipo de uso.
Dividindo a fazenda em 4 partes iguais, observamos que a reserva ambiental ocupa
1/4 da área total. Por outro lado, dividindo a fazenda em 5 retângulos de mesmas
dimensões, percebemos que a agricultura consome 3/5 da área. A Figura 1.15 ilustra
essas frações do terreno.
Assim, para determinar a fração ocupada da área da fazenda, precisamos calcular
a soma
1
4
+ 3
5
,
que envolve frações com denominadores diferentes.
A dificuldade em efetuar essa soma está relacionada ao fato de trabalharmos com
porções diferentes de terra: para definir a região destinada à preservação ambien-
tal, a fazenda foi dividida em quatro pedaços, enquanto a área cultivada foi obtida
dividindo-se a terra em cinco partes.
24 Capítulo 1. Números reais
(a) Fração destinada à preservação
ambiental.
(b) Fração destinada à agricultura.
Figura 1.15: Frações da fazenda com alguma destinação.
O cálculo da fração ocupada do terreno seria enormemente facilitado se as duas
regiões de interesse fossem divididas em módulos que possuíssem a mesma área, pois,
nesse caso, as regiões seriam descritas por frações que têm o mesmo denominador.
Observando a Figura 1.16, notamos que isso pode ser obtido dividindo-se cada
parcela correspondente a 1/4 do terreno em 5 partes iguais ou, de forma equivalente,
dividindo-se cada fração correspondente a 1/5 do terreno em 4 partes de mesma área.
Nesse caso, a fazenda é dividida em 4×5 = 20 partes iguais, das quais 5 correspon-
dem à reserva ambiental, e 12 são usadas para cultivo. Repare que o valor obtido, 20,
é o produto dos denominadores das frações que queremos somar.
Figura 1.16: A fazenda dividida em porções correspondentes a 1/20 da área total.
A reserva ambiental ocupa 5 dos 20
quadradinhos nos quais a fazenda da
Figura 1.16 foi dividida. Assim, a
fração reservada à proteção ambien-
tal corresponde a 5/20 da área to-
tal. Por sua vez, a agricultura ocupa
12 dos 20 quadradinhos, ou 12/20 da
área total.
Agora que sabemos que a reserva ambiental corresponde a 5/20 e a área cultivável
a 12/20 da área total da fazenda, podemos efetuar a soma
5
20
+ 12
20
= 5 + 12
20
= 17
20
.
Desse modo, a porção ocupada da fazenda corresponde a 17/20 da área total. De forma
semelhante, calculamos a porção não ocupada subtraindo de 20/20 (que corresponde
à área total da fazenda) a fração já ocupada:
20
20
− 17
20
= 20 − 17
20
= 3
20
.
Ou seja, apenas 3/20 da fazenda não foram ocupados. Esse exemplo ilustra a ideia
de que
A soma ou a diferença de duas frações com denominadores diferentes a e b pode
ser facilmente efetuada convertendo-as em frações equivalentes com o denominador
comum a ⋅ b.
E como converter, na prática, 3/5 em uma fração equivalente na qual o denomi-
nador é 20? Nada mais simples! Lembrando que 20 é o produto do denominador 5
pelo número 4, podemos fazer
Seção 1.3. Divisão e frações 25
3
5
= 3
5
⋅ 1 O número 1 é o elemento neutro da multiplicação. Logo, a ⋅ 1 = a.
= 3
5
⋅ 4
4
Como o denominador da outra fração é 4, substituímos 1 por 4/4.
= 3⋅4
5⋅4 Cálculo do produto das frações.
= 12
20
Fração equivalente, com denominador igual a 20.
Um procedimento análogo pode ser usado para converter 1/4 em uma fração cujo
denominador é 20:
1
4
= 1
4
⋅1 = 1
4
⋅5
5
= 1⋅5
4⋅5 = 520 .
Assim, resumimos a estratégia usada na obtenção da área ocupada da fazenda
escrevendo
1
4
+ 3
5
= 1
4
⋅5
5
+ 3
5
⋅4
4
= 5
20
+ 12
20
= 17
20
.
Não é difícil perceber que essa ideia pode ser estendida para a soma de quaisquer
frações, pois
a
b
+ c
d
= a
b
⋅d
d
+ c
d
⋅b
b
= ad
bd
+ cb
bd
= ad + cb
bd
.
O quadro abaixo fornece um roteiro para a soma e a subtração de frações.
Soma e diferença de frações com denominadores diferentes
Sejam a, b, c e d números tais que b ≠ 0 e d ≠ 0. Nessa caso,
a
b
+ c
d
= ad + cb
bd
e a
b
− c
d
= ad − cb
bd
.
Exemplo 8. Soma e subtração de frações com denominadores diferentes
a) 4
5
+ 3
7
= 4 ⋅ 7 + 3 ⋅ 5
5 ⋅ 7 = 4335 .
b) 3
2
+ 5
9
= 3 ⋅ 9 + 5 ⋅ 2
2 ⋅ 9 = 3718 .
c) 4
5
− 3
7
= 4 ⋅ 7 − 3 ⋅ 5
5 ⋅ 7 = 1335 .
d) 3
2
− 5
9
= 3 ⋅ 9 − 5 ⋅ 2
2 ⋅ 9 = 1718 .
Agora, tente o exercício 11.
∎ Resumo
O quadro abaixo resume as principais propriedades das frações.
26 Capítulo 1. Números reais
Propriedades das frações
Suponha que a, b, c e d sejam números reais, com b ≠ 0 e d ≠ 0.
Propriedade Exemplo
1. a
b
+ c
b
= a + c
b
2
3
+ 5
3
= 7
3
2. a
b
− c
b
= a − c
b
7
5
− 4
5
= 3
5
3. a
b
+ c
d
= ad + cb
bd
2
3
+ 5
7
= 2 ⋅ 7 + 5 ⋅ 3
3 ⋅ 7 = 2921
4. a
b
− c
d
= ad − cb
bd
5
4
− 3
8
= 5 ⋅ 8 − 3 ⋅ 4
4 ⋅ 8 = 2832
5. ad
bd
= a
b
7 ⋅ 4
8 ⋅ 4 = 78
6. a
b
⋅ c
d
= ac
bd
2
3
⋅ 4
5
= 8
15
7. a
b
÷ c
d
= a
b
⋅ d
c
= ad
bc
(c ≠ 0) 3
5
÷ 8
11
= 3
5
⋅ 11
8
= 33
40
Exercícios 1.3
1. Escreva por extenso as frações abaixo.
a) 15
b) 38
c) 720
d) 913
e) 5100
f) 1251000
g) 10001001
2. Calcule
a) 18 de 92. b)
4
5 de 65. c)
9
7 de 63.
3. Um colecionador possui 320 selos, dos quais 4/5 são
brasileiros. Quantos selos brasileiros há em sua cole-
ção?
4. Um aquário possui 12 peixes, dos quais 8 são amarelos
e 4 são azuis. Indique que fração do total o número de
peixes azuis representa. Faça o mesmo