Pré Cálculo IME

com o grupo de
peixes amarelos.
5. Dos alunos de um curso, 104 são destros. Se 1/9 dos
alunos são canhotos, quantos estudantes tem o curso?
6. Se 5/6 de um número equivalem a 350, a que valor cor-
respondem 4/7 desse número?
7. Converta os números abaixo em frações.
a) 3 e 47 b) 5 e
3
4 c) 2 e
9
12
8. Escreva duas frações equivalentes a cada fração abaixo.
a) 1/3. b) 2/5. c) −5/4.
9. Escreva os números do Exercício 8 na forma decimal.
10. Complete as tabelas abaixo, escrevendo 1/x na forma
decimal. Em cada caso, diga o que acontece com 1/x à
medida em que x cresce.
x 1 2 100 1000
1/x
x 1 0,5 0,1 0,01
1/x
11. Calcule as expressões abaixo.
a) 12 + 32
b) 65 − 25
c) 34 + 1
d) 2 − 23
e) 73 − 57
f) 45 + 54
g) 23 − 12
h) 25 − 34
i) − 16 + 35
j) − 57 − 52
k) 12 + 13 + 15
l) 23 − 14 − 15
12. Efetue os produtos.
a) 12 ⋅ 15
b) 74 ⋅ 56
c) 23 ⋅ 13
d) 4 ⋅ 719
e) 87 ⋅ 5
f) 112 ⋅ (− 53)
g) (− 32) ⋅ 95
h) (− 16) ⋅ (− 73)
i) 16 ⋅ 23 ⋅ 45
13. Calcule as expressões. Dica: não use a propriedade dis-
tributiva.
a) 13 ⋅ ( 35 + 12)
b) 52 ⋅ ( 43 − 34) c) (3 +
1
4) (1 − 45)
d) ( 12 − 13) ( 12 + 13)
Seção 1.4. Simplificação de frações 27
14. Calcule as expressões abaixo.
a)
2
3
5
b)
9
4
4
c) 32
7
d) 83
4
e)
2
5
5
6
f)
1
4
1
5
g)
7
8(− 23 )
h) (− 59 )11
2
i) (− 25 )(− 16 )
j) − 375
8
k)
1
12
1
8− 19
l) 22
3
− 232
m) 1− 132− 13
15. Aplique a propriedade distributiva às expressões.
a) 34 (x + 52)
b) − 25 ( 34 − x3 )
c) 17 ( 23 − 2x)
d) ( 8x3 − 12) ⋅ 52
e) x3 (2y + 16)
f) 45 (3x + y + 23)
16. Reescreva as expressões abaixo colocando algum termo
em evidência.
a) x3 + 23 b) 3x2 − 3 c) 85 − 2x5
17. Você fez 3/4 dos exercícios de MA091 em 42 minutos.
Mantendo esse ritmo, quanto tempo gastará para fa-
zer os exercícios que faltam? Ao terminar o trabalho,
quanto tempo você terá consumido para fazer toda a
lista?
18. Dos eleitores de Piraporinha, 1/3 deve votar em João
Valente para prefeito e 3/5 devem votar em Luís Car-
doso. Que fração dos eleitores não votará em um desses
dois candidatos?
19. Roberto e Marina juntaram dinheiro para comprar um
videogame. Roberto pagou por 5/8 do preço e Marina
contribuiu com R$ 45,00. Quanto custou o videogame?
Respostas dos Exercícios 1.3
1. a) Um quinto.
b) Três oitavos.
c) Sete vinte avos.
d) Nove treze avos.
e) Cinco centésimos.
f) Cento e vinte e cinco milésimos.
g) Mil mil e um avos.
2. a) 232 b) 52 c) 81
3. 256.
4. Azuis: 1/3. Amarelos: 2/3.
5. 117
6. 240
7. a) 25/7 b) 23/4 c) 33/12
8. a) Por exemplo, 2/6 e 3/9.
b) Por exemplo, 4/10 e 8/20.
c) Por exemplo, −125/100 e −25/20.
9. a) 0,33... b) 0,4 c) 1,25
10. Para x positivo, 1/x decresce à medida que
x cresce.
11. a) 2
b) 45
c) 74
d) 43
e) 3421
f) 4120
g) 16
h) − 720
i) 1330
j) − 4514
k) 3130
l) 1360
12. a) 110
b) 3524
c) 29
d) 2819
e) 407
f) − 556
g) − 2710
h) 718
i) 890
13. a) 1130 b)
35
24 c)
13
20 d)
5
36
14. a) 215
b) 916
c) 212
d) 323
e) 1225
f) 54
g) − 2116
h) − 1099
i) 125
j) − 2435
k) 6
l) 3212 = 83
m) 25
15. a) 3x4 + 158
b) − 620 + 2x15
c) 221 − 2x7
d) 40x6 − 54
e) 2xy3 + x18
f) 12x5 + 4y5 + 815
16. a) 13 (x + 2)
b) 3( x2 − 1) c)
2
5 (4 − x)
17. A lista toda terá consumido 56 minutos,
dos quais 14 minutos terão sido gastos para
fazer os exercícios que faltam.
18. 1/15
19. R$ 120,00
1.4 Simplificação de frações
Suponha que a fração a/b tenha numerador a e denominador b naturais. O processo
de divisão de a e b por um número natural para a obtenção de uma fração equivalente,
mas com um denominador menor, é chamado simplificação da fração.
Exemplo 1. Simplificação de uma fração por divisões sucessivas
A fração 6342 pode ser simplificada dividindo seus dois termos por 3:
63
42
= 63/3
42/3 = 2114 .
Para entender porque essas frações são equivalentes, vamos usar mais uma vez o fato
de o número 1 ser o elemento neutro da multiplicação:
63
42
= 63
42
⋅ 1 = 63
42
⋅ 1/3
1/3 = 63/342/3 = 2114 .
Observando, agora, que 21 = 7 × 3 e 14 = 7 × 2, podemos obter uma fração ainda
mais simples dividindo o numerador e o denominador por 7:
21
14
= 21/7
14/7 = 32 .
28 Capítulo 1. Números reais
Como não é possível obter uma nova fração dividindo 3 e 2 por um mesmo número
natural diferente de 1, a representação mais simples de 6342 é
3
2 .
Agora, tente os exercícios 2 e 3.
Geralmente, simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador,
recursivamente, por números pequenos. Para simplificar, por exemplo, a fração 8401560 ,
podemos dividir o numerador e o denominador, sucessivamente, por 10, 2, 2 e 3, como
mostrado abaixo.
840
1560
= 84
156
Dividindo por 10.
= 42
78
Dividindo por 2.
= 21
39
Dividindo por 2.
= 7
13
. Dividindo por 3.
Embora a estratégia acima seja bastante prática, também é possível simplificar
uma fração em um único passo. Entretanto, isso exige o cálculo do máximo divisor
comum entre o numerador e o denominador, como mostraremos abaixo, logo após
uma revisão sobre divisores, múltiplos e números primos.
∎ Divisores, múltiplos e números primos
Divisor
Um número natural c é divisor de um número natural a se o resto da divisão
de a por c é zero (ou seja, se a é divisível por c).
Assim, por exemplo,
• os divisores de 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12;Experimente dividir 12 por 1, 2, 3, 4,
5, 6 e 12, para constatar que a divisão
realmente fornece 0 como resto. • os divisores de 70 são 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35 e 70.
Imagine que alguém lhe diga que “Lúcia é filha de Joana”. Essa afirmação simples
torna implícita uma segunda informação: “Joana é mãe de Lúcia”. De forma análoga,
o fato de 14 ser um divisor de 70 implica em 70 ser um múltiplo de 14, conforme a
definição abaixo.
Múltiplo
Um número natural c é múltiplo de outro número natural a se existe um
número natural b tal que
c = a × b.
Dito de outra forma, um número natural c é múltiplo de outro número natural a
se a é divisor de c. Assim, 15 é múltiplo de 5, pois 5×3 = 15 ou, de forma equivalente,
15/5 = 3.
Lembrete
Um número natural divisível
por 2 é chamado par. Os nú-
meros pares são aqueles termi-
nados em 0, 2, 4, 6 e 8. Existem
regras simples para determinar
se um número é múltiplo de 3
ou de 5. Essas regras são dadas
nos Exercícios 4 e 5.
Para encontrar os múltiplos naturais de um número, basta multiplicá-lo pelos
números naturais 1,2,3,4, . . .. Logo,
• os múltiplos de 2 são 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22, . . .
Seção 1.4. Simplificação de frações 29
• os múltiplos de 5 são 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55, . . .
• os múltiplos de 14 são 14,28,42,56,70,84,98,112,126,140,154, . . .
Números naturais com apenas dois divisores são particularmente importantes na
matemática, motivo pelo qual recebem uma denominação específica: números primos.
Número primo
Um número natural maior que 1 é dito primo se só tem como divisores natu-
rais ele mesmo e o número 1.
Exemplo 2. Números primos menores que 10
Para descobrir se um número natural a é primo, basta calcular o resto da divisão
de a pelos números primos menores que ele. Se alguma dessas divisões tiver resto
zero, a não é primo. Caso contrário, o número é primo.Observe que o número 1 não é consi-
derado primo. Seguindo esse raciocínio, 2 é primo, já que não há número primo menor que ele.
O número 3 é primo, pois não é divisível por 2, o único primo menor que ele.
O número 4 é par (ou seja, é divisível por 2), de forma que não é primo. O mesmo
acontece com os números 6 e 8.
O número 5 é primo, pois não é divisível por 2 ou 3. O número 7 também é primo,
pois não é divisível por 2, 3 ou 5. Já o número 9 não é primo, pois é divisível por 3.
Em resumo, os números primos menores que 10 são: 2, 3, 5 e 7.
Exemplo 3. O