Aula 3 - Arranjos Atômicos

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Ciências de Materiais I
Prof. Nilson C. Cruz
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Aula 3
Arranjos Atômicos 
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Ordem de curto alcance 
&
ordem de longo alcance
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Ordem de curto alcance:
Organização apenas até átomos vizinhos
(
c
)
 
2
0
0
3
 
B
r
o
o
k
s
/
C
o
l
e
 
P
u
b
l
i
s
h
i
n
g
 
/
 
T
h
o
m
s
o
n
 
L
e
a
r
n
i
n
g
™
Materiais Amorfos
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Ordem de longo alcance:
Arranjo especial de átomos que se estende 
por longas distâncias (~>100nm)
Materiais 
cristalinos
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Materiais Cristalinos...
Arranjos 3D periódicos
- metais
- muitas cerâmicas
- alguns polímeros
SiO2 cristalino
A
d
a
p
t
a
d
o
C
a
l
l
i
s
t
e
r
7
e
.
SiO2 amorfo
Si O
Materiais Amorfos...
Sem estrutura periódica
- estruturas complexas
- resfriamento rápido (quenching) 
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• Denso, ordenado
Energia
r
Distância interatômica
Energia
de ligação
• Aleatório
r
Distância interatômica
Energia
Energia
de ligação
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Estrutura cristalina é a maneira que os 
átomos, íons ou moléculas estão distribuídos.
Modelo da esfera rígida: átomos vizinhos são 
esferas que se tocam.
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Células Unitárias são pequenos 
grupos de átomos que formam 
padrões repetitivos
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Células Unitárias são paralelepípedos 
ou prismas cujos vértices coincidem 
com o centro dos átomos.
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Estrutura cristalina de metais
Ligação metálica: não-direcional.
Ligação metálica: sem restrições sobre número 
e posição dos vizinhos mais próximos.
Ligação metálica ⇒ empacotamento denso!
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Estrutura cristalina de metais
Três tipos mais comuns:
Cúbica de Face Centrada (CFC)
Cúbica de Corpo Centrado (CCC)
Hexagonal Compacta (HC)
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Estrutura cristalina de metais
Cúbica de Face Centrada (CFC)
ex: Al, Cu, Au, Pb, Ni, Pt, Ag
6 faces x 1/2 átomo + 8 vértices x 1/8 átomo = 4 átomos / célula unitária
a
a
a
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Estrutura CFC
Átomos se tocam ao longo da diagonal das faces
4R2 = a2 +a2
a = 2R√2
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Número de Coordenação
Número de vizinhos mais próximos
CFC = 12
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Fator de Empacotamento Atômico 
(FEA)
Volume de átomos em uma célula unitária
Volume total da célula unitária
FEA =
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onde a = 2R√2
Exemplo
Calcule o fator de empacotamento para uma célula CFC.
Solução: 
Como em uma célula CFC existem 4 átomos,
3
3
4(4 átomos/célula)( )
3FEA = 
R
a
pi
FEA = 
16
3
3Rpi
3(2R√2) = 0,74
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Estrutura Cúbica de Corpo Centrado 
(CCC)
# Coordenação = 8, FEA = 0,68
ex: Cr, W, Fe (α), Ta, Mo
1 átomo central + 8 vértices x 1/8 átomo = 2 átomos/célula unitária
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Estrutura Cúbica de Corpo Centrado 
(CCC)
Átomos tocam-se ao longo da diagonal do cubo
aR
a
a√3
3
4R
a =
a
a√2
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Estrutura Hexagonal Compacta
(HC)
# Coordenação = 12, FEA = 0,74
ex: Zn, Cd, Mg, Ti
12 átomos vértice x 1/6 átomo + 2 faces x 1/2 átomo
+ 3 átomos centrais = 6 átomos/célula unitária
c
a
c/a = 1,633
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Densidade
O conhecimento da estrutura cristalina 
possibilita a determinação da 
densidade verdadeira ρ do sólido:
ρ= nA
VCNA
n = nº átomos em cada célula unitária
A = peso atômico
Vc = volume da célula unitária
NA = nº de Avogadro 
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Densidade
Exemplo
O cobre possui raio atômico de 0,128 nm, 
estrutura CFC e peso atômico de 63,5 g/mol. Calcule sua 
densidade.
Solução:
Como a estrutura é CFC, o cobre tem 4 átomos por célula 
unitária. Além disso, o volume da célula CFC é Vc = a3 = (2R√2)3
Desta forma,
ρ = (2 x 0,128.10-7cm x √2)3/célula x 6,02.1023 átomos/mol
(4 átomos / célula) (63,5 g/mol)
= 8,89 g/cm3
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Polimorfismo = existência de mais de uma estrutura cristalina 
para um mesmo material dependendo da temperatura e da 
pressão.
Alotropia = polimorfismo em elementos puros. Ex. grafite e 
diamante
CCC
CFC
CCC
1538 ºC
1394 ºC
912 ºC
δδδδ-Fe
γγγγ-Fe
αααα-Fe
líquido
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A geometria da célula unitária é definida por três arestas 
a, b, c e três ângulos α, β, γ, os parâmetros de rede.
Sistemas Cristalinos
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Existem cristais com sete combinações 
diferentes de a, b, c, α, β, γ.
Sistemas Cristalinos
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Cúbico
Hexagonal
Tetragonal
Sistemas Cristalinos
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Romboédrico
Ortorrômbico
Monoclínico
Triclínico
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Direções Cristalográficas
Uma direção cristalográfica é definida por um vetor 
passando pela origem
z
x
y
a
b
c
a,b,0=1,1,0
a,0,c=1,0,1
a,b,c=1,1,1
a/2,b/2,c/2=½, ½, ½
Pontos Coordenados
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1. Desenhe um vetor passando pela origem.
1, 0, ½
2, 0, 1
[ 201 ]
-1, 1, 1
z
x
onde a barra indica um índice negativo[ 111 ]⇒
y
Direções Cristalográficas 
e Índices de Miller
2. Determine as projeções em termos de a, b e c
3. Ajuste para os menores valores inteiros
4. Coloque na forma [uvw]
⇐Índices de Miller
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Índices de Miller
z
x
yb
c
1,1,0=[110]
1,0,1=[101]
1,1,1=[111]
½, ½, ½ =[111]
Índices de Miller
Obs. -1,-1,-1 = [111]- - -
a
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Exemplo
Determine os índices da direção mostrada na figura abaixo
b
a/2
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Direções Equivalentes
Certos grupos de direções são equivalentes.
Ex. em um sistema cúbico [100]=[010]
(c) 2003 Brooks/Cole Publishing / 
Thomson Learning™
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Direções Equivalentes
Grupos de direções são equivalentes formam uma família, que 
é indicada por <uvw>.
Ex. Família <110> em um sistema cúbico
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Direções Cristalográficas em 
Cristais Hexagonais
Simetria hexagonal:
Direções equivalentes não irão possuir mesmo conjuntos de índices.
Sistema Coordenado de Miller-Bravais [uvtw]
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Sistema Coordenado de Miller-Bravais [uvtw]
Direções Cristalográficas em 
Cristais Hexagonais
u = 1/3 (2u’- v’)
v = 1/3 (2v’ – u’)
t = -1/3 (u’+v’)
w = w’ -a3
a1
a2
z
Ex. [010] = [1210]- -
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Planos Cristalográficos
z
x
y
a b
c
4. Índices de Miller (110)
1. Interseção 1 1 ∞
2. Recíprocos 1/1 1/1 1/∞
1 1 0
3. Redução 1 1 0
exemplo a b c
Índices de Miller
Menores inteiros obtidos a partir dos recíprocos dos 
pontos de interseção do plano com os eixos.
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exemplo a b c z
x
y
a b
c
4. Índices de Miller (100)
1. Interseção 1/2 ∞ ∞
2. Recíprocos 1/½ 1/∞ 1/∞
2 0 0
3. Redução 1 0 0
Planos Cristalográficos
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z
x
y
a b
c
•
•
•
4. Índices de Miller (634)
1. Interseção 1/2 1 3/4
a b c
2. Recíprocos 1/½ 1/1 1/¾
2 1 4/3
3. Redução 6 3 4
Planos Cristalográficos
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a1 a2 a3 c
1. Interseção 1 ∞ -1 1
2. Recíprocos 1 1/∞
1 0 
-1
-1
1
1
3. Redução 1 0 -1 1
4. Índices de Miller-Bravais (1011)
a2
Planos Cristalográficos e 
Células Hexagonais
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Outros planos
equivalentes
(001)(001)
Outros planos
equivalentes
(111)
(110)
Outros planos
equivalentes
Famílias de Planos
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(001)(010),
Família de Planos {hkl}
(100), (010),(001),Ex: {100} = (100),
Famílias de Planos
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Arranjos Atômicos 
A distribuição dos átomos em um plano cristalográfico 
depende da estrutura cristalina
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Materiais Monocristalinos
• Arranjo periódico se estende por 
todo o material sem interrupção.
• As células unitárias se ligam da 
mesma maneira e possuem a 
mesma orientação.
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Materiais Policristalinos
• Formado por muitos cristais 
pequenos, os grãos.
• A orientação cristalográfica 
varia de grão para grão, 
formando os contornos de 
grão.
•Textura é uma orientação 
preferencial dos grãos.
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Anisotropia
•Quando as propriedades físicas 
dependem da direção cristalográfica.
•O grau de anisotropia depende da 
simetria da estrutura cristalina.
•Estruturas triclínicas são altamente 
anisotrópicas.
•Materiais policristalinos são, em 
geral, isotrópicos.
Metal
Al
Cu
Fe
W
Módulo de elasticidade (GPa)
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Difração é o espalhamento de ondas por obstáculos com dimensões 
comparáveis ao comprimento de onda, λ.
Difração de Raios X 
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Difração de Raios X 
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Difração de Raios X 
Interferência Construtiva
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Difração de Raios X 
Interferência Destrutiva
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dhkl
dhklsen θ dhklsen θ
Difração de Raios X 
Diferença de fase = 2dhkl sen θ
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Difração de Raios X 
Lei de Bragg
2 dhkl sen θ = nλ ⇒ interferência construtiva
n = 1,2,3...
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Difração de Raios X 
Lei de Bragg
Como, para estruturas cúbicas,
dhkl = (TAREFA!)
a difração de raios X permite determinar o 
parâmetro de rede a.
√h2+k2+l2
a
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Difração de Raios X 
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Difração de Raios X 
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(110)
(200)
(211)
z
x
y
a b
c
z
x
y
a b
c
z
x
y
a b
c
Ângulo de difração (◦)
I
n
t
e
n
s
i
d
a
d
e
 
(
r
e
l
a
t
i
v
a
)
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Exemplo
O primeiro pico do espectro de difração de raios X, com 
comprimento de onda de 0,1542 nm, do níquel, aparece em um 
ângulo de difração 2θ = 44,53°. Sabendo que o Ni tem estrutura
CFC e raio atômico 0,1246, determine o conjunto de planos
cristalinos responsáveis pelo pico observado.
a)
b)
c)
d) Tentativa e erro ⇒ (111)