PORTFÓLIO CÁLCULO 1 semana 2

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SEMANA 2 - VIDEO AULA 5 - EXERCÍCIO 1 
 
1.Seja a função f(x) = cos (1/x). 
 
a.Mostre que ∄𝒍𝒊𝒎𝒇(𝒙): 
 𝒙 → 𝟎 
Se −1 ≤ 𝑐𝑜𝑠
1
𝑥
≤ 1 
lim
𝑥→1+
𝑐𝑜𝑠
1
𝑥
= 𝑐𝑜𝑠
1
1
= 1 𝑒 
lim
𝑥→1−
𝑐𝑜𝑠
1
𝑥
= 𝑐𝑜𝑠
1
−1
= −1 
 
 
 
O limxa f(x) existe somente se: limx→a
-f(x)= L = limx→a
+f(x) E o limite da função 
varia entre -1 e 1. E a aproximação de 0 pelos dois lados da função não são 
iguais conforme gráfico e tabela: 
 
x f(1/x) 
1 0,540302 
0,5 -0,41615 
0,333333 -0,98999 
0,25 -0,65364 
0,2 0,283662 
0,1666667 0,96017 
0,142857 0,753902 
0,125 -0,1455 
0,111111 -0,91113 
b.Seja g(x)=x e f(x)=x cos(1/x). Mostre pela definição de limite que limx0g(x)=0: 
O limxag(x) existe somente se: limx→a
-g(x)= L = limx→a
+g(x) 
Isto é a aproximação de 0 pelos dois lados da função forem com valores iguais. O 
que é observado pelo gráfico e pelos valores obtidos no calculo: 
 
 
 
x x cos (1/x) 
1 0,540302306 
0,5 -0,203073418 
0,3333320,25 -0,329997499 
0,2 -0,163410905 
0,16666667 0,036732437 
0,1428571 0,160028381 
0,125 0,107700322 
0,111111 -0,018187304 
0,1 -0,101236696 
0,01 -0,083907153 
0,001 0,008623189 
0,0001 0,000,62379 
0,000001 -0,000095216 
0,00000001 -0,000009994 
0,0000000001 0,000000937 
 
Então existe: 𝒍𝒊𝒎 𝒙 𝒄𝒐𝒔 (
𝟏
𝒙
) = 𝟎 com x→0 
VIDEO AULA 6 
4.Encontre as assíntotas verticais e horizontais da função: 
f(x)=
√𝟒𝒙𝟐+𝟏
𝒙+𝟏
 = 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
√𝟒𝒙𝟐 + 𝟏
𝒙 + 𝟏
= 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
√𝟒 +
𝟏
𝒙𝟐
𝟏 +
𝟏
𝒙
= 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
√𝟒 +
𝟏
𝒙𝟐
𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
𝟏 +
𝟏
𝒙
= 
√ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
𝟒 + 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
𝟏
𝒙𝟐
𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
𝟏 + 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
𝟏
𝒙
= 
√𝟒 + 𝟎
𝟏 + 𝟎
= 
√𝟒 = ±𝟐 
Assíntotas horizontais: y=±𝟐 
Assíntota Vertical: x=-1 
𝒇(𝒙) =
√𝟒𝒙𝟐 + 𝟏
𝒙 + 𝟏
 
𝒙 + 𝟏 = 𝟎 
𝒙 = −𝟏 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→±𝟏
√𝟒𝒙𝟐 + 𝟏
𝒙 + 𝟏
= ±∞ 
Quando x se aproxima de -1 pela esquerda f(x)= +∞. 
E quando x se aproxima de -1 pela direita f(x)= -∞ . 
 
 
VIDEO AULA 7 – EXERCÍCIO 3 
 
 
1. Calcule o limite limx+∞𝒍𝒏(√𝒙
𝟐 + 𝟏)
𝟏
𝒙
 
limx+∞
𝒍𝒏𝒙
𝒙
= 𝟎 
Dividindo por x : 𝟎 <=
𝒇(𝒙)
𝒙
<=
𝒍𝒏𝒙
𝒙
= 𝟎 
Então: 
 𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞
𝒇(𝒙)
𝒙
≤ 𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞
𝒍𝒏𝒙
𝒙
= 𝟎 
 𝐏𝐨𝐫𝐭𝐚𝐧𝐭𝐨: 
limx+∞
𝒍𝒏(√𝒙𝟐+𝟏)
𝟏
𝒙
𝒙
= 𝟎 
 
 
 
EXERCÍCIO 2 – VIDEO – AULA 8 
 
 
2.a Calcule o limite 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ (
𝒏𝟐𝒄𝒐𝒔 𝒏
𝒏𝟐+𝟏
) 
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒏𝟐 𝐜𝐨𝐬 (𝒏)
𝒏𝟐 + 𝟏
=
𝒏𝟐 𝐜𝐨𝐬 (𝒏)
𝒏𝟐(𝟏 +
𝟏
𝒏𝟐
)
= 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝐜𝐨𝐬 (𝒏)
(𝟏 +
𝟏
𝒏𝟐
)
= 
 
=
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝐜𝐨𝐬 (𝒏)
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝟏 + 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝟏
𝒏𝟐
= 
±𝟏
𝟏 + 𝟎
= ±𝟏 
 
 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞+
𝒏𝟐 𝐜𝐨𝐬 (𝒏)
𝒏𝟐+𝟏
= 𝟏 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞−
𝒏𝟐 𝐜𝐨𝐬 (𝒏)
𝒏𝟐+𝟏
= −𝟏 
 
 
 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ (
𝒏𝟐𝒄𝒐𝒔 𝒏
𝒏𝟐+𝟏
) 
 
 
2.b Encontre o limite da sequência: (√𝟐, √𝟐√𝟐, √𝟐√𝟐√𝟐, … ) = 
 
= 𝟐(
𝟏
𝟐
); 𝟐(
𝟏
𝟐
) ∗ 𝟐(
𝟏
𝟒
); 𝟐(
𝟏
𝟐
) ∗ 𝟐(
𝟏
𝟒
) ∗ 𝟐(
𝟏
𝟖
); … = 
 
=𝟐(
𝟏
𝟐
); 𝟐(
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟒
); 𝟐(
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟒
+
𝟏
𝟖
); …= 
 
=𝟐
∑
𝟏
(𝟐)𝒏
∞
𝟏 
 
Resolvendo a somatória do expoente: 
 
∑
𝟏
(𝟐)𝒏
∞
𝟏
 
 
∑ 𝑷𝑮∞𝟏 =
𝒂𝟏
𝟏−𝒒
 = 
𝟏
𝟐
𝟏−(
𝟏
𝟐
)
= 𝟏 
 
Devolvendo o expoente a sua base: 𝟐𝟏=2 
Portanto: O limite de sequencia (√𝟐, √𝟐√𝟐, √𝟐√𝟐√𝟐, … ) é 2.