PORTFÓLIO CÁLCULO 1 semana 3

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SEMANA 3 - VIDEO AULA 9 - EXERCÍCIO 1 
 
1. Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, 
calcule a soma. 
 
a. 
𝑆 = ∑(
1
√𝑛)
−
1
√𝑛 + 1
)
∞
𝑛=1
 
 
 𝑆(1) = 1 − (
1
√2
)  converge 
 
𝑆(1) = 1 − (
1
√2
)+(
1
√2
−
1
√3
)=(1 −
1
√3
)  converge 
 
𝑆(1) = 1 − (
1
√2
)+(
1
√2
−
1
√3
)+(
1
√3
−
1
√4
) = (1 −
1
√4
) converge 
 
𝑆(𝑛) = 1 − (
1
√2
)+(
1
√2
−
1
√3
)+(
1
√3
−
1
√4
) + ⋯+ (−
1
√𝑛
) + (
1
√𝑛)
−
1
√𝑛+1
) = 
1 −
1
√𝑛+1
 converge para 1 quando n tende para o infinito. 
Então: 
lim𝑛→∞ 𝑆𝑛 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
 1 −
1
√𝑛+1
=1-0=1 Portanto é uma série que converge e o valor de 
sua soma é 1. 
 
b. 
𝑆 = ∑ 𝑙𝑛 (
𝑛2 + 1
2𝑛2 + 1
)
∞
𝑛=1
 
𝑆 = ∑ 𝑙𝑛 (
𝑛2+1
2𝑛2+1
)∞𝑛=1 = ∑ [ln(𝑛
2 + 1) − ln (2𝑛2 + 1)]∞𝑛=1 
 
𝑆𝑛 = [𝑙𝑛(2) − 𝑙 𝑛(3)]+[𝑙𝑛(5) − 𝑙 𝑛(9)]+...+[ln(𝑛
2 + 1) − ln (2𝑛2 + 1)] 
 
𝑆 = ∑ 𝑙𝑛 (
𝑛2+1
2𝑛2+1
)∞𝑛=1 é divergente pois não é possível encontrar Sn. 
 
 
SEMANA 3 - VIDEO AULA 10 - EXERCÍCIO 3 
 
3. Mostre pela definição, usando 𝜖 − 𝛿, que a função: 
𝑓(𝑥) = {
1
𝑥
, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0
0, 𝑠𝑒 𝑥 = 0
 
Não é contínua em x=0 
 
𝜖 > 0 𝑒 𝛿 > 0 
|𝑥 − 0| < 𝛿  |x2 − 0| < ϵ 
|𝑥2| < 𝜖  |𝑥| < √𝜖 = 𝛿 
Atribuindo 𝜖 = 0,001 
𝛿 ≤ √0,001 = 0,1 
𝑥 ∈ (−0,1,0,1) 
f(x) ∈ (0,01; 0,01) 
 
 
VIDEO AULA 11 
EXERCÍCIO 1 
𝑙𝑛𝑥 = 𝑒−𝑥𝑒𝑚 𝑢𝑚 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝐼 = (𝑎, 𝑏). 
b-a = 1 
𝑙𝑛𝑥 = 𝑒−𝑥𝑒𝑚 𝑢𝑚 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝐼 = (2,4). 
Atribuindo valores: 
𝑓(𝑎) = 𝑙𝑛(2) = 𝑒−2 =
1
𝑒2
≅ 0,14 
𝑓(𝑏) = 𝑙𝑛(4) = 𝑒−4 =
1
𝑒4
≅ 0,018 
𝑓(𝑐) = 𝑙𝑛(3) = 𝑒−3 =
1
𝑒3
≅ 0,050 
Então f(a)<f(c)<f(b) 
lim𝑥→3 𝑒
−𝑥 = 𝑒−3 a raíz é única. 
 
 
VIDEO AULA 12 
EXERCÍCIO 1 
Calcule pela definição, a derivada da função 𝑓(𝑥) =
1
√𝑥+2
, x>-2. 
𝑓′(𝑥) limℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
  𝑓′(𝑥) =
1
√𝑥+ℎ+2
−
1
√𝑥+2
ℎ
= 
√𝑥+2−√𝑥+ℎ+2
√𝑥+2−√𝑥+ℎ+2
ℎ
=(
 
 
1
√(𝑥+ℎ+2)(√𝑥+2)
ℎ
)
 
 
√𝑥+2+√𝑥+2+ℎ
=
1
√(𝑥+ℎ+2)(√𝑥+2)
ℎ(√𝑥+2+√𝑥+2+ℎ)
((√𝑥+2−√(𝑥+2+ℎ))((√𝑥+2+√(𝑥+2+ℎ))
=
1
√(𝑥+ℎ+2)(√𝑥+2)
ℎ(√𝑥+2+√𝑥+2+ℎ)
(𝑥+2)−(𝑥+2+ℎ)
=
1
√(𝑥+ℎ+2)(√𝑥+2)
ℎ(√𝑥+2+√𝑥+2+ℎ)
−ℎ
=
1
√𝑥+2+ℎ∗√𝑥+2
∗
−ℎ
ℎ√𝑥+2+√𝑥+2+ℎ
= −
1
(√𝑥+2)
2
2√𝑥+2
=−
1
2(𝑥+2)
(
3
2)