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UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná DAMAT – Departamento Acadêmico de Matemática Cálculo Diferencial e Integral 4 (MA64A) SÉRIES - TRANSFORMADAS NOTAS DE AULA Rudimar Luiz Nós 2o semestre/2011 2 3 Não é paradoxo dizer que nos nossos momentos de inspiração mais teórica podemos estar o mais próximo possível de nossas aplicações mais práticas. A. N. Whitehead (1861-1947) rudimarnos@gmail.com http://pessoal.utfpr.edu.br/rudimarnos 4 5 SUMÁRIO 1. SÉRIES.................................................................................................................................................................................9 1.1 – SEQUÊNCIAS INFINITAS .................................................................................................................................................9 1.2 – SÉRIES INFINITAS ..........................................................................................................................................................9 1.3 – CONVERGÊNCIA DE SÉRIES..........................................................................................................................................10 1.3.1 – A série geométrica..............................................................................................................................................10 1.3.2 – Condição necessária à convergência.................................................................................................................11 1.3.3 – Teste da divergência...........................................................................................................................................11 1.3.4 – Série de termos positivos: o teste da integral.....................................................................................................11 1.3.5 – Convergência absoluta e condicional ................................................................................................................12 1.3.6 – Convergência uniforme (série de funções).........................................................................................................12 1.3.7 – Teste M de Weierstrass ......................................................................................................................................13 2. A SÉRIE DE FOURIER....................................................................................................................................................17 2.1 – FUNÇÕES PERIÓDICAS .................................................................................................................................................17 2.2 – SÉRIES TRIGONOMÉTRICAS..........................................................................................................................................18 2.3 – SÉRIE DE FOURIER.......................................................................................................................................................22 2.3.1 – Definição............................................................................................................................................................22 2.3.2 – Coeficientes ........................................................................................................................................................22 2.3.3 – Continuidade seccional ou por partes................................................................................................................25 2.3.4 – Convergência: condições de Dirichlet ...............................................................................................................25 2.4 – SÉRIE DE FOURIER DE UMA FUNÇÃO PERIÓDICA DADA ................................................................................................27 2.5 – FUNÇÕES PARES E FUNÇÕES ÍMPARES..........................................................................................................................35 2.6 – SÉRIE DE FOURIER DE COSSENOS.................................................................................................................................39 2.7 – SÉRIE DE FOURIER DE SENOS.......................................................................................................................................40 2.8 – O FENÔMENO DE GIBBS...............................................................................................................................................44 2.9 – A IDENTIDADE DE PARSEVAL PARA SÉRIES DE FOURIER..............................................................................................45 2.10 – CONVERGÊNCIA DE SÉRIES NUMÉRICAS ATRAVÉS DA SÉRIE DE FOURIER ..................................................................47 2.11 – DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO DA SÉRIE DE FOURIER....................................................................................................48 2.12 – A FORMA EXPONENCIAL (OU COMPLEXA) DA SÉRIE DE FOURIER...............................................................................50 2.13 – APLICAÇÕES DA SÉRIE DE FOURIER NA SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS .........................................55 2.13.1 – Equações diferenciais ......................................................................................................................................55 2.13.2 – Equação do calor .............................................................................................................................................56 2.13.3 – Equação da onda..............................................................................................................................................59 2.13.4 – Equação de Laplace .........................................................................................................................................61 2.14 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ..........................................................................................................................................65 2.15 – EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ................................................................................................................................77 3. A INTEGRAL DE FOURIER / TRANSFORMADAS DE FOURIER .........................................................................91 3.1 – A INTEGRAL DE FOURIER ............................................................................................................................................92 3.2 – CONVERGÊNCIA DA INTEGRAL DE FOURIER ................................................................................................................92 3.2.1 – Convergência absoluta e condicional ................................................................................................................93 3.3 – A INTEGRAL COSSENO DE FOURIER .............................................................................................................................933.4 – A INTEGRAL SENO DE FOURIER ...................................................................................................................................94 3.5 – FORMAS EQUIVALENTES DA INTEGRAL DE FOURIER....................................................................................................95 3.6 – DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA DE FOURIER E DA TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER ........................................97 3.7 – TRANSFORMADA COSSENO DE FOURIER E TRANSFORMADA COSSENO DE FOURIER INVERSA ......................................99 3.8 – TRANSFORMADA SENO DE FOURIER E TRANSFORMADA SENO DE FOURIER INVERSA.................................................100 3.9 – FUNÇÃO DE HEAVISIDE .............................................................................................................................................102 3.10 – ESPECTRO, AMPLITUDE E FASE DA TRANSFORMADA DE FOURIER............................................................................104 3.11 – PROPRIEDADES OPERACIONAIS DAS TRANSFORMADAS DE FOURIER ........................................................................106 3.11.1 – Comportamento de F(α) quando |α|→∞ ........................................................................................................107 3.11.2 – Linearidade ....................................................................................................................................................108 3.11.3 – Simetria (ou dualidade)..................................................................................................................................108 3.11.4 – Conjugado......................................................................................................................................................109 3.11.5 – Translação (no tempo) ...................................................................................................................................109 3.11.6 – Translação (na frequência) ............................................................................................................................110 6 3.11.7 – Similaridade (ou mudança de escala) e inversão de tempo ...........................................................................110 3.11.8 – Convolução ....................................................................................................................................................111 3.11.9 – Multiplicação (Convolução na frequência)....................................................................................................114 3.11.10 – Transformada de Fourier de derivadas .......................................................................................................115 3.11.11 – Derivadas de transformadas de Fourier ......................................................................................................116 3.12 – RESUMO: PROPRIEDADES OPERACIONAIS DAS TRANSFORMADAS DE FOURIER ........................................................119 3.13 – DELTA DE DIRAC.....................................................................................................................................................120 3.13.1 – Propriedades do delta de Dirac .....................................................................................................................121 3.13.2 – Transformada de Fourier do delta de Dirac ..................................................................................................122 3.14 – MÉTODOS PARA OBTER A TRANSFORMADA DE FOURIER .........................................................................................122 3.14.1 – Uso da definição.............................................................................................................................................122 3.14.2 – Uso de equações diferenciais .........................................................................................................................126 3.14.3 – Decomposição em frações parciais................................................................................................................128 3.15 – TRANSFORMADA DE FOURIER DE ALGUMAS FUNÇÕES ............................................................................................130 3.15.1 – A função constante unitária ...........................................................................................................................130 3.15.2 – A função sinal.................................................................................................................................................131 3.15.3 – A função degrau .............................................................................................................................................132 3.15.4 – Exponencial....................................................................................................................................................132 3.15.5 – Função cosseno..............................................................................................................................................133 3.16 – RESUMO: TRANSFORMADAS DE FOURIER DE ALGUMAS FUNÇÕES ...........................................................................134 3.17 – IDENTIDADE DE PARSEVAL PARA AS INTEGRAIS DE FOURIER ..................................................................................135 3.18 – CÁLCULO DE INTEGRAIS IMPRÓPRIAS ......................................................................................................................137 3.19 – SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ...................................................................................................................141 3.19.1 – Equações diferenciais ordinárias...................................................................................................................141 3.19.2 – Equações diferenciais parciais ......................................................................................................................142 Derivação sob o sinal de integração – Regra de Leibniz .................................................................................................................. 142 3.19.2.1 – Equação do calor (EDP parabólica).................................................................................................................................. 144 3.19.2.2 – Equação da onda (EDP hiperbólica) ................................................................................................................................. 146 3.19.2.3 – Equação de Laplace (EDP elíptica) .................................................................................................................................. 148 3.20 – SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INTEGRAIS E DE EQUAÇÕES ÍNTEGRO-DIFERENCIAIS.........................................................151 3.21 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................................................154 3.22 – EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ..............................................................................................................................157 4. TRANSFORMADAS DE LAPLACE ............................................................................................................................165 4.1 – DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE ...........................................................................................................165 4.1.1 – Motivação.........................................................................................................................................................165 4.1.2 – Função de Heaviside........................................................................................................................................166 4.1.2.1- Generalização........................................................................................................................................................................ 167 4.1.3 – Transformada de Laplace ................................................................................................................................168 4.2 – FUNÇÕES DE ORDEM EXPONENCIAL...........................................................................................................................171 4.3 – CONVERGÊNCIA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL ..............................................................................174 4.3.1 – Convergência absoluta e condicional ..............................................................................................................174 4.3.2 – Condições suficientes para a convergência .....................................................................................................174 4.4 – TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL DAS FUNÇÕES ELEMENTARES ...............................................................175 4.4.1 – f(t) = tn..............................................................................................................................................................175 4.4.2 – f(t) = eat ............................................................................................................................................................177 4.4.3 – Transformada de algumas funções elementares ..............................................................................................177 4.5 – PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL................................................................................178 4.5.1 – Comportamento da transformada de Laplace F(s) quando s→∞ ....................................................................178 4.5.2 – Linearidade ......................................................................................................................................................178 4.5.3 – Primeira propriedade de translação ou deslocamento ....................................................................................181 4.5.4 – Segunda propriedade de translação ou deslocamento.....................................................................................181 4.5.5 – Similaridade (ou mudança de escala) ..............................................................................................................182 4.5.6 – Transformada de Laplace unilateral de derivadas ..........................................................................................183 4.5.7 – Transformada de Laplace unilateral de integrais............................................................................................185 4.5.8 – Derivadas de transformadas de Laplace unilaterais (multiplicação por tn) ....................................................186 4.5.9 – Integrais de transformadas de Laplace unilaterais (divisão por t) ..................................................................187 4.5.10 – Convolução ....................................................................................................................................................189 4.5.11 – Valor inicial ...................................................................................................................................................190 4.5.12 – Valor final ......................................................................................................................................................191 4.6 – TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL DE FUNÇÕES PERIÓDICAS......................................................................192 7 4.7 – CÁLCULO DE INTEGRAIS IMPRÓPRIAS........................................................................................................................194 4.8 – MÉTODOS PARA DETERMINAR A TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL ...........................................................196 4.8.1 – Uso da definição...............................................................................................................................................196 4.8.2 – Expansão em série de potências.......................................................................................................................196 4.8.3 – Uso de equações diferenciais ...........................................................................................................................200 4.8.4 – Outros métodos ................................................................................................................................................200 4.8.5 – Uso de tabelas de transformadas .....................................................................................................................200 4.9 – TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL DE ALGUMAS FUNÇÕES.........................................................................200 4.9.1 – Função nula .....................................................................................................................................................200 4.9.2 – Função degrau unitário ...................................................................................................................................200 4.9.3 – Função impulso unitário ..................................................................................................................................201 4.9.4 – Algumas funções periódicas.............................................................................................................................202 4.10 – MÉTODOS PARA DETERMINAR A TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL INVERSA...........................................204 4.10.1 – Completando quadrados ................................................................................................................................204 4.10.2 – Decomposição em frações parciais................................................................................................................204 4.10.3 – Expansão em série de potências.....................................................................................................................209 4.10.4 – Uso de tabelas de transformadas de Laplace.................................................................................................211 4.10.5 – A fórmula de Heaviside ..................................................................................................................................211 4.10.6 – A fórmula geral (ou complexa) de inversão ...................................................................................................212 4.11 – SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ...................................................................................................................213 4.11.1 – Equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes......................................................................213 4.11.2 – Equações diferenciais ordinárias com coeficientes variáveis........................................................................219 4.11.3 – Equações diferenciais ordinárias simultâneas...............................................................................................221 4.11.4 – Equações diferenciais parciais ......................................................................................................................223 4.12 – SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES ÍNTEGRO-DIFERENCIAIS ....................................................................................................229 4.13 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................................................232 4.14 – EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ..............................................................................................................................2405. TRANSFORMADAS ZZZZ ...................................................................................................................................................251 5.1 – DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA Z UNILATERAL .......................................................................................................252 5.2 – TRANSFORMADA Z UNILATERAL DE ALGUMAS SEQUÊNCIAS.....................................................................................253 5.2.1 – Versão discreta da função delta de Dirac........................................................................................................253 5.2.2 – Sequência unitária ou passo discreto unitário .................................................................................................253 5.2.3 – Exponencial......................................................................................................................................................254 5.2.4 – Potência............................................................................................................................................................255 5.3 – SÉRIES DE POTÊNCIAS: DEFINIÇÃO, RAIO DE CONVERGÊNCIA ....................................................................................256 5.4 – EXISTÊNCIA E DOMÍNIO DE DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA Z UNILATERAL .............................................................258 5.5 – PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA Z UNILATERAL .................................................................................................260 5.5.1 – Linearidade ......................................................................................................................................................260 5.5.2 – Translação (ou deslocamento) .........................................................................................................................264 5.5.3 – Similaridade .....................................................................................................................................................265 5.5.4 – Convolução ......................................................................................................................................................266 5.5.5 – Diferenciação da transformada de uma sequência ..........................................................................................267 5.5.6 – Integração da transformada de uma sequência ...............................................................................................269 5.5.7 – Valor inicial .....................................................................................................................................................270 5.5.8 – Valor final ........................................................................................................................................................271 5.6 – RESUMO: TRANSFORMADA Z UNILATERAL DAS FUNÇÕES DISCRETAS ELEMENTARES ...............................................272 5.7 – TRANSFORMADA Z UNILATERAL INVERSA ................................................................................................................272 5.8 – MÉTODOS PARA DETERMINAR A TRANSFORMADA Z UNILATERAL INVERSA ..............................................................273 5.8.1 – Uso da transformada Z unilateral e de suas propriedades..............................................................................273 5.8.2 – Decomposição em frações parciais..................................................................................................................274 5.8.3 – Expansão em série de potências.......................................................................................................................277 5.8.4 – Estratégia geral de inversão ............................................................................................................................279 5.9 – TRANSFORMADA Z BILATERAL .................................................................................................................................280 5.9.1 - Série de Laurent................................................................................................................................................280 5.8.1.1 - Singularidades ....................................................................................................................................................................... 280 5.9.2 – Definição..........................................................................................................................................................282 5.10 – EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS .....................................................................................................................................286 5.10.1 – Definição........................................................................................................................................................286 5.10.2 – Equações de diferenças lineares ....................................................................................................................287 8 5.10.3 – Solução de equações de diferenças lineares ..................................................................................................287 5.11 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................................................294 5.12 – EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ..............................................................................................................................301 6. FORMULÁRIO ...............................................................................................................................................................307 REFERÊNCIAS...................................................................................................................................................................317 9 1. SÉRIES 1.1 – Sequências infinitas Uma sequência infinita é uma função discreta cujo domínio é { }0\N . Notação: { } { } ( )nfa ,0\Nn ,a nn =∈ Exemplos 1o) { } ( ) { } , 14 25 , 11 16 , 8 9 , 5 4 , 2 1 a 1n3 n1a n 2 1n n −−=⇒ − −= + L 2o) A sequência { } 1n2 n a n + = é convergente ou divergente? { } , 3n2 1n , 1n2 n ,, 11 5 , 9 4 , 7 3 , 5 2 , 3 1 a n + + + = KL Se n n alim ∞→ existe, então { } a n é convergente. Caso contrário, { } a n é divergente. Como 2 1 n 12 1lim 1n2 nlim nn = + = + ∞→∞→ , { } a n é convergente. 1.2 – Séries infinitas Uma série infinita é definida como sendo a soma dos termos de uma sequência infinita. Notação: LL +++++=∑ ∞ = n321 1n n aaaaa Somas parciais: n321n 3213 212 11 aaaaS aaaS aaS aS ++++= ++= += = L M Se SSlim n n = ∞→ , então a série infinita é convergente. Se o limite S não existe, então a série infinita é divergente. Exemplo ( ) ( ) LL +++++++=+∑ ∞ = 1nn 1 5.4 1 4.3 1 3.2 1 2.1 1 1nn 1 1n 10 ( ) 1 1n nlimSlim 1n n 1n 11S 1n 1 n 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 11aaaaS 1n 1 n 1 1nn 1 a n n n n n321n n = + = + = + −= + −++ −+ −+ −=++++= + −= + = ∞→∞→ LL Logo, a série infinita é convergente. 1.3 – Convergência de séries Diferenciar: • Condições necessárias à convergência; • Condições suficientes à convergência; • Condições necessárias e suficientes à convergência. 1.3.1 – A série geométrica Teorema: A série geométrica K++++=∑ ∞ = 32 1n 1-n arararar a , com a≠0, (i) converge, e tem por soma r1 a − , se ( )1r1 1r <<−< ; (ii) diverge, se ( )1rou -1r 1r ≥≤≥ . Exemplos 1o) 2 2 11 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 11 2 1 1n432 1n 1n = − =+++++++= − ∞ = − ∑ LL 2o) 9 5 10 9 10 5 10 11 10 5 10000 5 1000 5 100 5 10 55555,05,0 == − =++++== KK 11 1.3.2 – Condição necessária à convergência Teorema: Se a série infinita ∑ ∞ =1n na é convergente, então 0alim n n = ∞→ . A recíproca não é sempre verdadeira. 1.3.3 – Teste da divergência Se n n alim ∞→ não existir ou 0alim n n ≠ ∞→ , então a série infinita ∑ ∞ =1n na é divergente. 1.3.4 – Série de termos positivos: o teste da integral Teorema: Se f é uma função contínua, decrescente e de valores positivos para todo 1x ≥ , então a série infinita ( ) ( ) ( ) ( ) LL ++++=∑ ∞ = nf2f1fnf 1n (i) converge se a integral imprópria ( )∫ ∞ 1 dx xf converge; (ii) diverge se a integral imprópria ( )∫ ∞ 1 dx xf diverge. Exemplo A série harmônica L+++++=∑ ∞ = 5 1 4 1 3 1 2 11 n 1 1n é divergente. 0 n 1lim n = ∞→ (condição necessária, porém não suficiente) ( )[ ] ( )[ ] ∞=−=== ∞→∞→∞→ ∞ ∫∫ 0blnlimxlnlimdxx 1 limdx x 1 b b 1b b 1 b 1 Como a integral diverge, a série harmônica diverge. 12 1.3.5 – Convergência absoluta e condicional A série∑ ∞ =1n na é dita absolutamente convergente se K+++=∑ ∞ = 321 1n n aaaa convergir. Se ∑ ∞ =1n na convergir mas ∑ ∞ =1n na divergir, então ∑ ∞ =1n na é dita condicionalmente convergente. Teorema: Se ∑ ∞ =1n na converge, então ∑ ∞ =1n na também converge. Exemplo A série L+−−++−−+ 2222222 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 11 é absolutamente convergente, uma vez que 6n 1 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 11 2 1n 22222222 pi ==++++++++ ∑ ∞ = L (provaremos usando a série de Fourier). 1.3.6 – Convergência uniforme (série de funções) Série de números reais K+++=∑ ∞ = 321 1n n aaaa Exemplo: Série de funções ( ) ( ) ( ) ( ) K+++=∑ ∞ = xuxuxuxu 321 1n n Exemplo: K+++++=∑ ∞ = !5 32 !4 16 !3 8 !2 42 !n 2 1n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K++++=∑ ∞ = !4 x4sen !3 x3sen !2 x2sen xsen !n nxsen 1n 13 A série de Fourier ∑ ∞ = + + 1n nn 0 L xn senb L xn cosa 2 a pipi é uma série de funções trigonomé- ricas. Sejam a série ( )∑ ∞ =1n n xu , onde ( ){ }xu n , K,3,2,1n = é uma sequência de funções definidas em [a,b], ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xuxuxuxuxS n321n ++++= L a soma parcial da série e ( ) ( )xSxSlim n n = ∞→ . A série converge para ( )xS em [ ]b,a se para cada 0>ε e cada [ ]b,ax ∈ existe um 0N > tal que ( ) ( ) ε<− xSxSn para todo Nn > . O número N depende geralmente de ε e x . Se N depende somente deε , então a série converge uniformemente ou é uniformemente convergente em [ ]b,a . Teorema 1: Se cada termo da série ( )∑ ∞ =1n n xu é uma função contínua em [a,b] e a série é uniformemente convergente para S(x) em [a,b], então a série pode ser integrada termo a termo, isto é, ( ) ( )∑ ∫∫ ∑ ∞ = ∞ = = 1n b a n b a 1n n dxxu dxxu . Teorema 2: Se cada termo da série ( )∑ ∞ =1n n xu é uma função contínua com derivada contínua em [a,b] e se ( )∑ ∞ =1n n xu converge para S(x) enquanto ( )∑ ∞ =1n ' n xu converge uniformemente em [a,b], então a série pode ser diferenciada termo a termo em [a,b], isto é, ( ) ( )∑∑ ∞ = ∞ = = 1n n 1n n xudx d xu dx d . 1.3.7 – Teste M de Weierstrass Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897): matemático alemão. Se existe uma sequência de constantes ,1,2,3,n ,M n K= tal que para todo x em um intervalo (a) ( ) nn Mxu ≤ e (b) ∑ ∞ =1n nM converge, então ( )∑ ∞ =1n n xu converge uniforme e absolutamente no intervalo. 14 Observações: 1a) O teste fornece condições suficientes, porém não necessárias. 2a) Séries uniformemente convergentes não são necessariamente absolutamente convergentes ou vice- versa. Exemplo ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∞ = ++++= 1n 2222 4 x4cos 3 x3cos 2 x2cos xcos n nxcos L é uniforme e absolutamente convergente em [0,2pi] (ou em qualquer intervalo), uma vez que ( ) 22 n 1 n nxcos ≤ e 6n 1 2 1n 2 pi =∑ ∞ = . Exercícios 01. Mostre que a série ∑ ∞ = + 1n 2 2 4n5 n diverge. R.: Use o teste da divergência. 02. Mostre que a série ( )( )∑ ∞ = +− 1n 1n21n2 1 converge e determine sua soma. R.: 2 1 03. Determine se as séries infinitas a seguir são convergentes ou divergentes. a) ∑ ∞ = + 1n 2 1n n R.: A série é divergente: ∞= +∫ ∞ 1 2 dx1x x . b) ( )∑ ∞ =1n 3n nln R.: A série é convergente: ( ) 4 1dx x xln 1 3 =∫ ∞ . 15 c) ∑ ∞ = − 1n nne R.: A série é convergente: e 2dxxe 1 x =∫ ∞ − . d) ( )∑ ∞ =2n nlnn 1 R.: A série é divergente: ( ) ∞=∫ ∞ 2 xlnx dx . 04. Verifique se as séries de funções seguintes são uniformemente convergentes para todo x . a) ( )∑ ∞ =1n n2 nxcos R.: A série é uniformemente convergente para todo x . b) ∑ ∞ = + 1n 22 xn 1 R.: A série é uniformemente convergente para todo x . c) ( )∑ ∞ = − 1n n 2 12 nxsen R.: A série é uniformemente convergente para todo x . 05. Seja ( ) ( )∑ ∞ = = 1n 3n nxsen xf . Prove que ( ) ( )∑∫ ∞ = − = 1n 4 0 1n2 12dxxf pi . R.: Use ( ) 33 n 1 n nxsen ≤ , o teste M de Weierstrass (prove que ∑ ∞ =1n 3n 1 converge usando o teste da integral) e o fato de que uma série uniformemente convergente pode ser integrada termo a termo. Observação: Mostraremos futuramente que ( ) 961n2 1 4 1n 4 pi = − ∑ ∞ = . Assim, ( ) 48 dx n nxsen 4 0 1n 3 pi =∫ ∑ pi ∞ = . 06. Prove que ( ) ( ) ( ) 0dx 7.5x6cos 5.3 x4cos 3.1 x2cos 0 = +++∫ pi L . 16 17 2. A SÉRIE DE FOURIER Jean-Baptiste Joseph Fourier (1766-1830): físico, matemático e engenheiro francês. Principais contribuições: teoria da condução do calor, séries trigonométricas. Por que aproximar uma função por uma função dada por senos e cossenos? Para facilitar o tratamento matemático do modelo, uma vez que as funções trigonométricas seno e cosseno são periódicas de período fundamental pi2 , contínuas, limitadas e de classe ∞C , ou seja, são infinitamente diferenciáveis. 2.1 – Funções periódicas Uma função RR:f → é periódica de período fundamental P se ( ) ( ) 0P x, xfPxf >∀=+ . Exemplos (a) (b) (c) (d) Figura 1: (a) ( ) ( )xsenxf = , função de período fundamental pi2P = ; (b) ( ) ( )xcosxf = , função de período fundamental pi2P = ; (c) ( ) 5xf = , função de período fundamental 0k ,kP >= ; (d) função onda triangular, de período fundamental 2P = . 18 Como as funções ( )xsen e ( )xcos são 2pi-periódicas, temos que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L L =+=+=+= =+=+=+= pipipi pipipi 6xcos4xcos2xcosxcos 6xsen4xsen2xsenxsen . Funções periódicas surgem em uma grande variedade de problemas físicos, tais como as vibrações de uma corda, o movimento dos planetas em torno do sol, a rotação da terra em torno do seu eixo, o movimento de um pêndulo, a corrente alternada em circuitos elétricos, as marés e os movimentos ondulatórios em geral. 2.2 – Séries trigonométricas Denomina-se série trigonométrica a uma série da forma ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L+++++++ x3senbx3cosax2senbx2cosaxsenbxcosa 2 a 332211 0 ou ( ) ( )[ ]∑ ∞ = ++ 1n nn 0 nxsenbnxcosa 2 a (2.2.1) ou ∑ ∞ = + + 1n nn 0 L xn senb L xn cosa 2 a pipi . (2.2.2) Obtém-se a forma (2.2.2) através de uma transformação linear que leva um intervalo de amplitude L2 em um intervalo de amplitude pi2 . Em (2.2.1) ou (2.2.2), para cada n temos um harmônico da série e 0a , na e nb são os coeficientes da série. 0a : constante ( )nfa n = e ( )nfbn = : sequências infinitas Exemplo ( ) ( ) { } −−−=⇒ − == K, 5 2 , 2 1 , 3 2 , 1 , 2 a n 12 ncos n 2 a n n n pipipipipipi pi pi A série trigonométrica (2) também pode ser escrita na forma 19 ∑ ∞ = φ+pi+ 1n nn 0 nsenA 2 a L x , (2.2.3) onde 2n 2 nn baA += , ( )nnn senAa φ= e ( )nnn cosAb φ= . A forma (2.2.3) é obtida multiplicando-se e dividindo-se a forma (2.2.2) por 2n2n ba + . ∑ ∞ = + + pi + pi + + + 1n 2 n 2 n 2 n 2 n nn2 n 2 n 2 n 2 n0 ba ban senbncosa ba ba 2 a L x L x ∑ ∞ = pi + + pi + ++ 1n 2 n 2 n n 2 n 2 n n2 n 2 n 0 nsen ba bn cos ba aba 2 a L x L x Considerando n 2 n 2 n Aba =+ , ( )n n n sen A a φ= e ( )n n n cos A b φ= , temos que: ( ) ( )∑ ∞ = piφ+ piφ+ 1n nnn 0 nsencos n cossenA 2 a L x L x ∑ ∞ = φ+pi+ 1n nn 0 nsenA 2 a L x Em (2.2.3), o termo φ+pi nn nsenA L x é chamado harmônico de ordem n e pode ser caracterizado somente pela amplitude nA e pelo ângulo de fase nφ . Questões 01. Dada uma função f(x) 2L-periódica, quais as condições que f(x) deve satisfazer para que exista uma série trigonométrica convergente para ela? 02. Sendo Nn,m ∈ , mostre que: (a) 0n ,0dx L xn cos L L ≠= ∫ − pi 20 du n Ldx dx L ndu L xn u pi pipi === ( ) ( )[ ] 0nsennsen n L L xn sen n Ldx L xn cos L L L L =pi−−pi pi = pi pi = pi −− ∫ [ ] ( ) L2LLxdx dx L xn cos0n LL L L L L =−−=== pi ⇒= − −− ∫∫ (b) 0dx L xn sen L L = ∫ − pi ( ( ) pi = L xn senxf é ímpar no intervalo [ ]L,L− ) du n Ldx dx L ndu L xn u pi pipi === ( ) ( )[ ] 0ncosncos n L L xn cos n Ldx L xn sen L L L L =pi−−pi pi −= pi pi −= pi −− ∫ 00dx dx L xn sen0n L L L L == pi ⇒= ∫∫ −− (c) ≠= ≠ = ∫ − 0nm se L, nm se 0, dx L xn cos L xm cos L L pipi ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) nm se 0dx L xn-m cos L xnm cos 2 1dx L xn cos L xm cos vucosvucos 2 1 vcosucos : que Lembrando L L L L ≠= + + = −++= ∫∫ −− pipipipi [ ] Lx 2 1dx 2 1dx1 L xn2 cos 2 1dx L xn cos0nm LL L L L L L L 2 === + pi = pi ⇒≠= − −−− ∫∫∫ [ ] L2xdx2 2 1dx L xn cos L xm cos0nm LL L L L L === pi pi ⇒== − −− ∫∫ (d) ≠= ≠ = ∫ − 0nm se L, nm se 0, dx L xn sen L xm sen L L pipi (o produto de duas funções ímpares é par) 21 ( ) ( ) ( ) ( )[ ]vucosvucos 2 1 vsenusen : que Lembrando +−−= ( ) ( ) nm se 0dx L xnm cos L xn-m cos 2 1dx L xn sen L xm sen L L L L ≠= pi+ − pi = pi pi ∫∫ −− [ ] Lx 2 1dx 2 1dx L xn2 cos1 2 1dx L xn sen0nm LL L L L L L L 2 === pi −= pi ⇒≠= − −−− ∫∫∫ 0dx0 2 1dx L xn sen L xm sen0nm L L L L == pi pi ⇒== ∫∫ −− (e) 0dx L xn sen L xm cos L L = ∫ − pipi (o produto de uma função par por uma ímpar é ímpar) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 0dx L xm-n sen L xmn sen 2 1dx L xn cos L xm sen vusenvusen 2 1 vcosusen : que Lembrando L L L L ∫∫ −− = + + = −++= pipipipi Observações: 1a) Os resultados encontrados anteriormente continuam válidos quando os limites de integração –L e L são substituídos por c e c + 2L, respectivamente, com Rc ∈ . 2a) Funções ortogonais Definição 1: O produto interno ou produto escalar de duas funções ( )xf e ( )xg em um intervalo [a,b] é o número ( ) ( ) ( )∫= b a dx xgxf g|f . Definição 2: Duas funções f e g são ortogonais em um intervalo [ ]b,a se ( ) ( ) ( ) 0dx xgxf g|f b a == ∫ . Assim, as funções ( ) = L xn senxf pi e ( ) = L xn cosxg pi são ortogonais no intervalo ( )L,L− . 22 2.3 – Série de Fourier 2.3.1 – Definição Seja a função f(x) definida no intervalo ( )L,L− e fora desse intervalo definida como ( ) ( )xfL2xf =+ , ou seja, ( )xf é 2L-periódica. A série de Fourier ou a expansão de Fourier correspondente a f(x) é dada por ∑ ∞ = + + 1n nn 0 L xn senb L xn cosa 2 a pipi sendo que os coeficientes de Fourier nn0 b e a ,a são dados pelas expressões a seguir. ( )∫ − = L L 0 dxxf L 1 a ( )∫ − = L L n dxL xn cosxf L 1 a pi ( )∫ − pi = L L n dxL xn sen xf L 1b 2.3.2 – Coeficientes Se a série ∑ ∞ = + + 1n nn L xn senb L xn cosaA pipi converge uniformemente para ( )xf em ( )L,L− , mostre que, para K,3,2,1n = , 1. ( )∫ − = L L n dxL xn cosxf L 1 a pi ; 2. ( )∫ − pi = L L n dxL xn sen xf L 1b ; 3. 2 aA 0= . 23 1. Multiplicando ( ) ∑ ∞ = + += 1n nn L xn senb L xn cosaAxf pipi por L xm cos pi e integrando de –L a L, obtemos: ( ) ∑ ∫∫ ∫∫ ∞ = = −− −− pi pi + pi pi + + pi = pi 1n m,,1,2,3,n II L L n L L n I L L L L dx L xn sen L xm cosbdx L xn cos L xm cosa dx L xm cosAdx L xm cosxf 4444444444444 34444444444444 21 444 3444 21 KK Considerando 0≠m em I e mn = em II: ( ) Ladx L xm cosxf m L L = pi∫ − ( )∫ − pi = L L m dxL xm cosxf L 1 a ou ( )∫ − pi = L L n dxL xn cosxf L 1 a Para 0n = , ( )∫ − = L L 0 dxxf L 1 a . (2.3.2.1) 2. Multiplicando ( ) ∑ ∞ = + += 1n nn L xn senb L xn cosaAxf pipi por L xm sen pi e integrando de –L a L, obtemos: ( ) ∑ ∫∫ ∫∫ ∞ = = −− −− pi pi + pi pi + + pi = pi 1n m,,1,2,3,n I L L n L L n L L L L dx L xn sen L xm senbdx L xn cos L xm sena dx L xm senAdx L xm sen xf 4444444444444 34444444444444 21 KK Considerando mn = em I: 24 ( ) Lbdx L xm sen xf m L L = pi∫ − ( )∫ − pi = L L m dxL xm sen xf L 1b ou ( )∫ − pi = L L n dxL xn sen xf L 1b 3. Integrando ( ) ∑ ∞ = + += 1n nn L xn senb L xn cosaAxf pipi de –L a L, obtemos: ( ) ∑ ∫∫∫∫ ∞ = −−−− + += 1n L L n L L n L L L L dx L xn senbdx L xn cosadx Adxxf pipi Para ,,3,2,1n K= obtemos: ( ) AL2dxxf L L =∫ − ( ) dxxf L2 1A L L ∫−= (2.3.2.2) Comparando (2.3.2.1) e (2.3.2.2), concluímos que 2 aAAL2La 00 =⇒= . Observação: Os resultados encontrados continuam válidos quando os limites de integração –L e L são substituídos por c e c + 2L, respectivamente, com Rc ∈ . Teorema 1: Se ( )∑ ∞ =1n n xu e ( )∑ ∞ =1n n xv são uniformemente convergentes em bxa ≤≤ e se ( )xh é contínua em bxa ≤≤ , então as séries ( ) ( )[ ]∑ ∞ = + 1n nn xvxu , ( ) ( )[ ]∑ ∞ = − 1n nn xvxu , ( ) ( )[ ]∑ ∞ =1 n n xuxh e ( ) ( )[ ]∑ ∞ =1n n xv xh são uniformemente convergentes em bxa ≤≤ . Demonstração: KAPLAN, W. Cálculo avançado. Vol 2. Página 393. 25 Teorema 2: Toda série trigonométrica uniformemente convergente é uma série de Fourier. Mais precisamente, se a série ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L+++++++ x3senbx3cosax2senbx2cosaxsenbxcosa 2 a 332211 0 converge uniformemente a ( )xf para todo x , então ( )xf é contínua para todo x , ( )xf tem período pi2 e a série trigonométrica é a série de Fourier de ( )xf . 2.3.3 – Continuidade seccional ou por partes Uma função é seccionalmente contínua ou contínua por partes em um intervalo βα ≤≤ t se este intervalo pode ser subdividido em um número finito de intervalos em cada um dos quais a função é contínua e tem limites, à direita e à esquerda, finitos. Exemplo Figura 2: Função seccionalmente contínua – [13]. 2.3.4 – Convergência: condições de Dirichlet Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859): matemático alemão. Suponha que: (1) ( )xf é definida em ( )L,L− , exceto em um número finito de pontos; (2) ( )xf é 2L-periódica fora de ( )L,L− ; (3) ( )xf e ( )xf ' são seccionalmentecontínuas em ( )L,L− . Então, a série ∑ ∞ = + + 1n nn 0 L xn senb L xn cosa 2 a pipi , 26 com coeficientes de Fourier, converge para: (a) f(x), se x é um ponto de continuidade; (b) ( ) ( ) 2 xfxf −+ + , se x é um ponto de descontinuidade. Observações: 1a) ( )+xf e ( )−xf representam os limites laterais de f(x), à direita e à esquerda, respectivamente. ( ) ( )hxflimxf 0h += +→ + e ( ) ( )hxflimxf 0h −= +→− 2a) As condições (1), (2) e (3) impostas a f(x) são suficientes para a convergência, porém não necessárias. Demonstração: SPIEGEL, M.R.; WREDE, R.C. Cálculo avançado. 2a ed. Porto Alegre: Bookman. Teorema fundamental: Seja ( )xf uma função definida e muito lisa por partes no intervalo pi≤≤pi− x e seja ( )xf definida fora desse intervalo de tal modo que tenha período pi2 . Então a série de Fourier de ( )xf converge uniformemente a ( )xf em todo intervalo fechado que não contenha descontinuidades de ( )xf . Em cada descontinuidade 0x , a série converge para ( ) ( ) + −→+→ xflimxflim 2 1 00 xxxx . Demonstração: KAPLAN, W. Cálculo avançado. Vol 2. Página 461. Observação: Uma função contínua por partes é lisa por partes se em cada subintervalo tem derivada primeira contínua; é muito lisa por partes se em cada subintervalo tem derivada segunda contínua. Teorema da unicidade: Sejam ( )xf1 e ( )xf2 funções seccionalmente contínuas no intervalo pi≤≤pi− x , de modo que ambas tenham os mesmos coeficientes de Fourier. Então, ( ) ( )xfxf 21 = , exceto talvez nos pontos de descontinuidade. Demonstração: KAPLAN, W. Cálculo avançado. Vol 2. Página 456. 27 2.4 – Série de Fourier de uma função periódica dada Exemplo 1 Seja ( ) << << = 5x0 se 3, 0x5- se ,0 xf , ( ) ( )10xfxf += . a) Construa o gráfico de f(x). Figura 3: Gráfico de ( ) << << = 5x0 se 3, 0x5- se ,0 xf , ( ) ( )10xfxf += . b) f(x) satisfaz às condições de Dirichlet? • ( )xf é definida em ( )5,5− , exceto em 0x = (há um número finito de descontinuidades no intervalo); • ( )xf é periódica de período fundamental 10P = , isto é, ( ) ( )10xfxf += ; • ( )xf e ( )xf ' são seccionalmente contínuas em ( )5,5− . Assim, a série de Fourier converge para ( )xf nos pontos de continuidade e para 2 3 (média dos limites laterais) nos pontos de descontinuidade. c) Determine a série de Fourier correspondente a f(x). 5L10L2P =⇒== ( ) [ ] ( ) 305 5 3 x 5 3dx3 dx0 5 1dxxf L 1 a 5 0 5 0 0 5 L L 0 =−== +== ∫∫∫ −− 3a 0 = 28 ( ) pi + pi = pi = ∫∫∫ −− 5 0 0 5 L L n dx5 xn cos3dx 5 xn cos0 5 1dx L xn cosxf L 1 a ( ) ( )[ ] 00sennsen n 3 5 xn sen n 5 5 3 a 5 0 n =−pi pi = pi pi = 0a n = ( ) pi + pi = pi = ∫∫∫ −− 5 0 0 5 L L n dx5 xn sen3dx 5 xn sen0 5 1dx L xn senxf L 1b ( ) ( )[ ] ( )[ ]pi− pi =−pi pi −= pi pi −= ncos1 n 30cosncos n 3 5 xn cos n 5 5 3b 5 0 n ( )[ ] ( )[ ]11 n 311 n 3b 1nnn +− pi =−− pi = + ( )[ ]11 n 3b 1nn +− pi = + Série de Fourier de ( )xf : ( ) ( )∑ ∞ = + pi+− pi += 1n 1n 5 x n sen n 113 2 3 xf ( ) + pi + pi + pi + pi pi += K 5 x7 sen 7 2 5 x5 sen 5 2 5 x3 sen 3 2 5 x sen 1 23 2 3 xf ( ) + pi + pi + pi + pi pi += K 5 x7 sen 7 1 5 x5 sen 5 1 5 x3 sen 3 1 5 x sen 6 2 3 xf ( ) ( )∑ ∞ = pi− −pi += 1n 5 x1n2 sen 1n2 16 2 3 xf 29 (a) (b) Figura 4: (a) Expansão de f(x) em série de Fourier com 19n = ; (b) expansão de f(x) em série de Fourier com 49n = . d) Redefina f(x) para que a série de Fourier venha a convergir para f(x) em 5x5 ≤≤− . ( ) = << = << = = 5 x,23 5x0 3, 0 x,23 0x5- 0, -5 x,23 xf Exemplo 2 Seja ( ) pi2x0 ,xxf 2 <<= , ( ) ( )pi+= 2xfxf . a) Esboce o gráfico de f(x). Figura 5: Gráfico de ( ) pi2x0 ,xxf 2 <<= , ( ) ( )pi+= 2xfxf . 30 b) Expanda f(x) em uma série de Fourier. pi=⇒pi== L2L2P Lembre-se de que a função está definida em ( )L2,0 , e não em ( )L,L− . ( ) ( ) 3 808 3 1 3 x1dx x1dxxf L 1 a 2 3 2 0 3 2 0 2 L2c c 0 pi =−pi pi = pi = pi == pipi+ ∫∫ 3 8 a 2 0 pi = ( ) ( )∫∫ pi+ pi = pi = 2 0 2 L2c c n dxnxcos x 1dx L xn cosxf L 1 a (2.4.1) Usando integração por partes, temos que: ∫∫ −= vduuvudv ( ) ( ) n nxsen v,dxnxcosdv 2xdx,du ,xu 2 ==== ( ) ( ) ( )∫ ∫−= dxnxsen xn 2 n nxsenxdxnxcosx 2 2 ( ) ( ) n nxcos v,dxnxsendv dx,du ,xu −==== ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ +−−= dxnxcos n 1 n nxcosx n 2 n nxsenxdxnxcosx 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )∫ +−+= Cn nxsen2 n nxcosx2 n nxsenxdxnxcosx 32 2 2 Voltando a (2.4.1), obtemos: ( ) ( ) ( ) ( ) pipi −+ pi = pi = ∫ 2 0 32 2 2 0 2 n n nxsen2 n nxcosx2 n nxsenx1dxnxcos x1a 31 22n n 40 n 41 a = − pi pi = 2n n 4 a = ( ) ( )∫∫ pi+ pi = pi = 2 0 2 L2c c n dxnxsenx 1dx L xn senxf L 1b (2.4.2) Usando integração por partes, temos que: ( ) ( ) n nxcos v,dxnxsendv 2xdx,du ,xu 2 −==== ( ) ( ) ( )∫ ∫+−= dxnxcos xn 2 n nxcosxdxnxsenx 2 2 ( ) ( ) n nxsen v,dxnxcosdv dx,du ,xu ==== ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ −+−= dxnxsen n 1 n nxsen x n 2 n nxcosxdxnxsenx 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )∫ +++−= Cn nxcos2 n nxsen x2 n nxcosxdxnxsenx 32 2 2 Voltando a (2.4.2), obtemos: ( ) ( ) ( ) ( ) pipi ++− pi = pi = ∫ 2 0 32 2 2 0 2 n n nxcos2 n nxsen x2 n nxcosx1dxnxsen x1b n 4 n 2 n 2 n 41b 33 2 n pi −= −+ pi − pi = n 4bn pi −= 32 Série de Fourier de ( )xf : ( ) ( ) ( )∑ ∞ = pi −+ pi = 1n 2 2 n nxsen n nxcos4 3 4 xf (2.4.3) Em 0x = , (2.4.3) converge para a média dos limites laterais, ou seja 2 2 2 2 04 pi= +pi . Figura 6: (a) Expansão de f(x) em série de Fourier com 10n = ; (b) expansão de f(x) em série de Fourier com 20n = . c) Usando a série de Fourier de f(x), prove que 64 1 3 1 2 11 n 1 2 222 1n 2 pi =++++=∑ ∞ = L . Considerando 0x = em (3), temos que: ∑ ∞ = + pi =pi 1n 2 2 2 n 14 3 42 3 2 3 42 n 14 22 2 1n 2 pi = pi −pi=∑ ∞ = 33 ( ) > ≤≤+− <+ = 3x , x 1 3x1 ,4x 1x ,2x xf 2 6n 1 2 1n 2 pi =∑ ∞ = Observações: 1a) Comando do winplot para uma função definida por várias sentenças:: joinx( ) Exemplo joinx +−+ x 1 ,3|4x,1|2x 2 2a) Comando do winplot para uma soma: sum(f(n,x),n,a,b): soma de ( )x,nf de an = até bn = Exemplo ( ) ( )∑ ∞ = + pi = 1n nx2sen n 14 xf (4/pi)+sum((1/n)*sin(2*n*x),n,1,100) 34 Exercícios 01. Seja ( ) pi+= xxf , pipi <<− x , uma função pi2 -periódica. a) Verifique se ( )xf satisfaz às condições de Dirichlet. b) Expanda ( )xf em uma série de Fourier. R.: ( ) ( ) ( )∑ ∞ = + − += 1n 1n nxsen n 12xf pi c) Mostre que ( ) 412 1 1 1 pi = − − ∑ ∞ = + n n n . d) Como ( )xf deveria ser definida em pi−=x e pi=x para que a série de Fourier convergisse para ( )xf em pipi ≤≤− x ? e) Plote simultaneamente o gráfico de ( )xf e da série de Fourier que converge para ela. 02. Calcule a série de Fourier do sinal periódico representado no gráfico (a) da figura abaixo. (a) (b) Figura 7: (a) Sinal; (b) Série de Fourier do sinal com 5n = . R.: ( ) ∑ ∞ = − += 1n 22 2 xn cos n 2 n cos1 8 2 1 xf pi pi pi 35 03. Seja o sinal representado no gráfico abaixo. −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y Figura 8: Sinal. a) Determine a série de Fourier correspondente ao sinal. R.: ( ) ( ) ( )∑ ∞ = + pi +− pi += 1n 1n xnsen n 1141xf b) Para quanto converge a série de Fourier do sinal em 1x = ? E em 2x = ? R.: 1 c) Use a série de Fourier determinada em (a) para calcular para quanto converge a série numérica ∑ ∞ =1n 2n 1 . R.: 6 2pi d) Plote simultaneamente os gráficos de ( )xf e da série de Fourier de ( )xf . 2.5 – Funções pares e funções ímpares Uma função f(x) é par se ( ) ( )xfxf =− . Assim, ( ) 21 xxf = , ( ) 5x4x2xf 262 +−= , ( ) ( )xcosxf3 = e ( ) xx4 eexf −+= são funções pares. 36 Figura 9: Gráfico da função ( ) xx eexf −+= . Uma função f(x) é ímpar se ( ) ( )xfxf −=− . Assim, ( ) 31 xxf = , ( ) x2x3xxf 352 +−= , ( ) ( )xsenxf3 = e ( ) ( )x3tgxf 4 = são funções ímpares. Figura 10: Gráfico da função ( ) x2x3xxf 35 +−= . Teorema – Propriedades das funções pares e ímpares (a) O produto de duas funções pares é par. (b) O produto de duas funções ímpares é par. (c) O produto de uma função par e uma função ímpar é ímpar. (d) A soma (ou diferença) de duas funções pares é par. 37 (e) A soma (ou diferença) de duas funções ímpares é ímpar. (f) Se f é par, então ( ) ( )∫∫ = − a 0 a a dxxf 2dxxf . (g) Se f é ímpar, então ( ) 0dxxf a a =∫ − . Demonstração Seja ( ) ( ) ( )xg xfxF = . (a) Suponhamos f(x) e g(x) funções pares. Assim: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) par é xF xFxg xfx-g xfxF xgx-g ,xfxf ∴ ==−=− ==− b) Suponhamos f(x) e g(x) funções ímpares. Logo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) par é xF xFxg xf xg-xfx-g xfxF xgx-g ,xfxf ∴ ==−=−=− −=−=− (c) Suponhamos f(x) par e g(x) ímpar. Então: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ímpar é xF xFxg xf xg-xfx-g xfxF xgx-g ,xfxf ∴ −=−==−=− −==− Seja ( ) ( ) ( )xg xfxF ±= . (d) Suponhamos f(x) e g(x) funções pares. Dessa forma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) par é xF xF xgxfx-g xfxF xgx-g ,xfxf ∴ =±=±−=− ==− (e) Suponhamos f(x) e g(x) funções ímpares. Assim: 38 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ímpar é xF xFxgxf xgxfx-g xfxF ímpar é xF xFxgxf xgxfx-g xfxF xgx-g ,xfxf ∴ −=−−=+−=−−=− ∴ −=+−=−−=+−=− −=−=− (f) f(x) é par ( ) ( )xfxf =−⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫ =+=+= =−=−−= −− − a 0 a 0 a 0 a 0 0 a a a a 0 a 0 0 a 0 a dxxf 2dxxf dxxf dxxf dxxf dxxf dxxf dxxf dxxf dxxf(g) f(x) é ímpar ( ) ( )xfxf −=−⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dxxf dxxf dxxf dxxf dxxf dxxf dxxf dxxf dxxf a 0 a 0 a 0 0 a a a a 0 a 0 0 a 0 a =+−=+= −=−=−−= ∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫ −− − Exemplo ( ) ( ) ( ) ] [∞∞∈= ,- x,x3senx2cosxxf 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )xf x3senx2cosx x3senx2cos-x x3senx2cosxxf 5 5 5 = = −= −−−=− ( )xf é função par Exercícios Verifique a paridade das seguintes funções: 01. ( ) ( ) ( )x4cosxsenxf = , ] [∞∞−∈ ,x 02. ( ) ( ) ( )x5cosx2cosxf = , ] [∞∞−∈ ,x 03. ( ) ( ) ( )xsenx3senxf = , ] [∞∞−∈ ,x 04. ( ) ( ) ( ) ( )x2senxcosx5senxf = , ] [∞∞−∈ ,x 39 05. ( ) ( )x2senxxf 4= , ] [∞∞−∈ ,x 06. ( ) ( )x3cosxxf 2= , ] [∞∞−∈ ,x 07. ( ) ( ) ( )x4senxcosxxf 7= , ] [∞∞−∈ ,x 08. ( ) ( ) ( )x2cos2xxf += , ] [∞∞−∈ ,x 09. ( ) ( )xsenexf x= , ] [∞∞−∈ ,x 10. ( ) ( ) ( ) ( )xsenx3coseexf xx −+= , ] [∞∞−∈ ,x 11. ( ) xexxf += , ] [∞∞−∈ ,x 12. ( ) x 1 xf = , ] [ ] [∞∪∞−∈ ,00,x 13. ( ) ( ) ( ) ( )x8cosx10senee x 1 xf xx2 −+= , ] [ ] [∞∪∞−∈ ,00,x 14. ( ) ( ) ( ) ( )x3senxcoseexf xx −−= , ] [∞∞−∈ ,x 2.6 – Série de Fourier de cossenos Se f(x) é uma função par em ( )L,L− , então temos que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dx L xn senxf L 1b dx L xn cosxf L 2 xd L xn cosxf L 1 a dxxf L 2dxxf L 1 a L L ímpar função n L 0 L L par função n L 0 L L 0 = = = = == ∫ ∫∫ ∫∫ − − − 44 344 21 44 344 21 pi pipi Série de Fourier de cossenos: ( ) ∑ ∞ = += 1n n 0 L xn cosa 2 a xf pi Exemplos 01. Expanda ( ) << <<− = 2x0 se x, 0x2- se ,x xf , ( ) ( )4xfxf += , em uma série de Fourier de cossenos. 40 R.: ( ) ( )∑ ∞ = −− += 1n 2 n 2 2 xn cos n 1141xf pi pi −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y Figura 11: Gráfico da função ( ) << <<− = 2x0 se x, 0x2- se ,x xf , 22 <<− x , ( ) ( )4xfxf += , expandida em série de Fourier de cossenos com 5n = e 100n = . 02. Mostre que ( )∑ ∞ = = − 1n 2 2 81n2 1 pi . 03. Determine para quanto converge a soma ( )∑ ∞ =1n 2 n2 1 . R.: 24 2pi 2.7 – Série de Fourier de senos Se f(x) é uma função ímpar em ( )L,L− , então temos que: ( ) ( ) 0 xd L xn cosxf L 1 a 0dxxf L 1 a L L ímpar função n L L 0 = = == ∫ ∫ − − 44 344 21 pi 41 ( ) ( )∫∫ == − L 0 L L par função n dxL xn senxf L 2dx L xn senxf L 1b pipi 44 344 21 Série de Fourier de senos: ( ) ∑ ∞ = = 1n n L xn senbxf pi Exemplo Expanda ( ) 2x2- ,xxf <<= , ( ) ( )4xfxf += , em uma série de Fourier de senos. R.: ( ) ( )∑ ∞ = + − = 1n 1n 2 xn sen n 14 xf pi pi −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y Figura 12: Gráfico da função ( ) xxf = , 22 <<− x , ( ) ( )4xfxf += , expandida em série de Fourier de senos com 10n = e 100n = . Exercícios 01. Seja ( ) 3x3- ,x2xf <≤= , ( ) ( )6xfxf += . a) Desenvolva f(x) em uma série de Fourier. R.: ( ) ( )∑ ∞ = + − = 1n 1n 3 xn sen n 112 xf pi pi 42 b) Determine para quanto converge a série ( )∑ ∞ = + − − 1n 1n 1n2 1 . R.: 4pi 02. Calcule a série de Fourier do sinal periódico representado no gráfico (a) da figura abaixo. (a) (b) Figura 13: (a) Sinal; (b) Série de Fourier do sinal com cinco harmônicos. R.: ( ) ∑ ∞ = − += 1n 22 2 xn cos n 1 2 n cos 8 2 3 xf pi pi pi 03. Calcule a série de Fourier do sinal periódico representado no gráfico (a) da figura abaixo. (a) (b) Figura 14: (a) Sinal; (b) Série de Fourier do sinal com vinte harmônicos. 43 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 −3 −2 −1 1 2 3 x y R.: ( ) ( ) ∑ ∞ = −− = 1n n 2 xn sen n 2 n sen n 21 6 xf pi pi pi pi 04. Seja ( ) <≤ ≤≤ ≤≤ ≤< = 4x2 4, 2x0 2,-3x 0x2- 2,-3x- -2x4- ,4 xf , ( ) ( )8xfxf += . Determine a série de Fourier de ( )xf . R.: ( ) ∑ ∞ = − += 1n 22 4 xn cos n 1 2 n cos 24 2 5 xf pi pi pi 05. Seja ( ) ( ) ( ) ( )xf2xf ,x- ,x2sen xxf =pi+pi<<pi= , representada graficamente abaixo. Figura 15: Gráfico de ( ) ( ) ( ) ( )xf2xf ,x- ,x2sen xxf =pi+pi<<pi= . a) Determine a série de Fourier de ( )xf . R.: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∞ = + − − −−+−= 3n 2 1n nxcos 4n 14x2cos 4 1 xcos 3 4 2 1 xf b) Empregando (a), calcule para quanto converge a série numérica ( ) ( ) K+−+−+−=+ −∑ ∞ = + 10.6 1 9.5 1 8.4 1 7.3 1 6.2 1 5.1 1 4nn 1 1n 1n . R.: 48 7 44 06. Seja ( ) ( ) ( ) ( )xf2xf ,x- ,x3cosxxf/RR:f =pi+pi<<pi=→ . a) Calcule a série de Fourier de ( )xf . R.: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )∑ ∞ = +− − +−−= 4n n nxsen 3n3n 1n2x3sen 6 1 x2sen 5 4 xsen 4 1 xf b) Determine para quanto converge a série numérica ( ) ( ) ( ) K+−+−+−=+ +−∑ ∞ = + 9.6 15 8.5 13 7.4 11 6.3 9 5.2 7 4.1 5 3nn 3n21 1n 1n . R.: 6 5 2.8 – O fenômeno de Gibbs Josiah Willard Gibbs (1839-1903): matemático e físico teórico norte americano. Principais contribuições: análise vetorial e mecânica estatística. O fenômeno de Gibbs descreve a maneira peculiar como a série de Fourier truncada de uma função ( )xf periódica e seccionalmente contínua se
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