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CALCULO NUMERICO – AULA 3 
 
1. 
 
 
Considere a função f(x) = ex - 10 e o intervalo (0, 3). Utilizando o método de Newton 
Raphson, com uma única iteração, determine aproximadamente a raiz real da equação f(x) 
=0 no intervalo considerado. 
Dados: x0 = 2 / e2 = 7,3875 
 
 
 
2,354 
 
 
 
Explicação: 
f(x) = ex - 10 / f '(x) = ex 
f(2) = e2 - 10 = -2,6124 / f '(2) = e2 = 7,3875 
x1 = x0 - f(x0)/f '(x0) 
x1 = 2 - (-2,6124)/(7,3875) = 2,354 
 
 
 
 
2. 
 
 
Utilize o Método de Newton para encontrar a sua raiz aproximada x2 na função f(x) = 2 - 
3ln(x) dado x0=0,5. 
 
 
 
1,77 
 
 
 
Explicação: 
xn+1 = xn - [ f(xn) / f' (xn) ] 
x1 = x0 - [f(x0) / f"(x0)] 
( obs para os cálculos : ln x = 2,3.log x ; se y = lnx então y ' = 1/x .) 
então f(x0) = f(0,5) = 2 - 3ln0,5 = 2 - 3.(-0,69) = 2 + 2,07) = 4,07 e f '(x0) = - 3 .1/x0 = -3 /0,5 = - 
6. 
daí : x1 = 0,5 - (4,07) / (-6) = 0,5 + 0,678 = 1,178 
x2 = x1 - [f(x1) / f"(x1)] 
onde f(x1) = 2 - 3 ln 1,178 = 2 - 3. (0,163 ) = 2 - 0,489 = 1,511 e f '(x1) = - 3.1/x1= -3 / 1.178 = - 
2,546 
daí x2 = 1,178 - (1,511) / (-2,546) = 1,178 + 0,593 = 1,771 
 
 
 
 
3. 
 
 
Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções 
reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DE NEWTON-
RAPHSON: 
 
 
 
 
 
 
 
Explicação: 
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para a raiz usando a derivada da função . Devido à 
interpretação gráfica da derivada da função como a tangente , é também conhecido como Método das Tangentes , 
exemplificado na segunda figura. 
 
 
 
4. 
 
 
O método de Newton-Raphson utiliza a derivada f´(x) da função f(x) para o cálculo da raiz 
desejada. No entanto, existe um requisito a ser atendido: 
 
 
 
A derivada da função não deve ser nula em nenhuma iteração intermediária. 
 
 
 
Explicação: 
Como no Método de Newton as aproximações para a raiz são obtidas por xn+1 = xn - [ f(xn) / f' (xn) ] em que f' 
(x) está no denominador , então f' (x) não pode ser zero . 
 
 
 
 
5. 
 
 
Qual método procura a aproximação para o valor da raiz usando a derivada da função? 
 
 
 
 
Newton Raphson 
 
 
 
Explicação: 
Pelo método de Newton Raphson escolhe-se uma aproximação inicial para a raiz e após isso calcula-se a função da 
reta tangente aplicando a derivada da função nesse ponto e a interseção dela com o eixo das abcissas, 
buscando encontrar uma aproximação para a raiz. Repete-se o processo, em um método iterativo, para 
encontrar a raiz da função . 
 
 
 
6. 
 
 
Considere a descrição do seguinte método iterativo para a resolução de equações. " a 
partir de um valor arbitrário inicial x0 determina-se o próximo ponto traçando-se uma 
tangente pelo ponto (x0, f(x0)) e encontrando o valor x1 em que esta reta intercepta o 
eixo das abscissas." Esse método é conhecido como: 
 
 
 
Método de Newton-Raphson 
 
 
 
Explicação: 
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para a raiz usando a derivada da função . Devido à 
interpretação gráfica da derivada como tangente , é também conhecido como Método das Tangentes . 
 
 
7. 
 
 
Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções 
reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DO PONTO FIXO: 
 
 
 
 
 
 
 
Explicação: 
Como exemplificado no gráfico da quarta figura, no método do ponto fixo a raiz da função g(x) mostrada é 
encontrada através da raiz de uma outra função próxima y =x , que podemos resolver, ao invés da g(x) . 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Uma equação f(x) = 0 é resolvida por um método iterativo. Dois valores consecutivos, a 
quinta e sexta iterações, valem, respectivamente 1,257 e 1,254. Considerando como 
critério de parada o erro absoluto igual a 0,01, marque a afirmativa correta. 
 
 
 
O valor 1,254 pode ser escolhido para ser a raiz aproximada da equação f(x) = 0, uma vez que 1,257 
- 1,254 = 0,003 < 0,01. 
 
 
 
Explicação: 
Se o critério de parada é o erro, devemos sempre que encontrarmos uma nova solução aproximada comparar com 
a anterior e avaliar se é menor que o critério. No exercício, x5 = 1,257 e x6 = 1,254. Assim, como módulo (1,257 
- 1,254) = 0,003 é menor que o erro (0,01), 1,254 é uma raiz aproximada de f(x) = 0. 
 
1. 
 
 
Considere a função polinomial f(x) = 4x3 - 5x. Existem vários métodos iterativos para se 
determinar as raízes reais, dentre eles, Método de Newton Raphson - Método das 
Tangentes. Se tomarmos como ponto inicial x0= 1, a próxima iteração (x1) será: 
 
 
 
1,143 
 Explicação: 
Newton_Raphson: 
x1 = x0 - f(x0)/ f'(x0) 
x0 = 1 
f(x) = 4x3 - 5x 
f'´(x) = 12x2 - 5 
Para x0 = 1 
f(1) = 4.13 - 5.1 = -1 
f'´(1) = 12.12 - 5 = 7 
Assim, x1 = x0 - f(x0)/ f'(x0) = x1 = 1 - (-1)/ 7 = 1,1428 = 1,143 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
No cálculo numérico podemos alcançar a solução para determinado problema utilizando 
os métodos iterativos ou os métodos diretos. É uma diferença entre estes métodos. 
 
 
 
o método direto apresenta resposta exata enquanto o método iterativo pode não conseguir. 
 
 
 
Explicação: 
Os métodos iterativos são aqueles em que determinamos a solução, aproximada ou exata, a partir de um 
determinado valor. São feitas iterações por meio de relações matemáticas e novos valores vão sendo alcançados, 
até que estejamos próximo da solução (estima-se um critério de parada). Já nos métodos diretos, existem relações 
matemáticas que determinam diretamente o valor da solução. 
 
 
 
3. 
 
 
Determine, utilizando o método de newton-raphson, qual a raiz da equação 
f(x) = 3x4-x-3 utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações do método e indique a 
raiz encontrada. (Utilize quatro casas decimais para as iterações) 
 
 
 
 
1.0800 
 
 
 
Explicação: 
f(x) = 3x4-x-3 , utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações para a raiz . 
xn+1 = xn - [ f(xn) / f' (xn) ] 
x1 = x0 - [f(x0) / f"(x0)] 
f '(x) = 12x3 - 1 
f(x0) = f(1) = 3.14- 1 - 3 = -1 ... f '(x0 ) = 12.13 - 1 = 11 
daí : x1 = 1 - (-1) / 11 = 12/11 = 1,0909 
x2 = x1 - [f(x1) / f"(x1)] 
 f(x1) = 3. 1,09094 - 1,0909 - 3 = 0,1578 ... f '(x1 ) = 12.(1,0909) 3 - 1 = 14,578 
daí x2 = 1,0909 - ( 0,1578 ) / 14,578 = 1,0909 - 0,0108 = 1,0801 
 
 
 
 
4. 
 
 
Abaixo tem-se a figura de uma função e várias tangentes ao longo da curva. 
 
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido como: 
 
 
 
 
Newton Raphson 
 
 
 
Explicação: 
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para a raiz usando a derivada da função . Devido à 
interpretação gráfica da derivada como tangente , é também conhecido como Método das Tangentes . 
 
 
5. 
 
 
Considere a equação x3 - 3x2 + 3x - 3 = 0. É possível afirmar que existe uma raiz real 
desta equação em que intervalo? 
 
 
 
(2, 3) 
 
 
 
Explicação: 
Determinação dos valores numéricos do polinômio P(x) para os extremos de cada intervalo: 
P(-2) = (-2)3 - 3.(-2)2 + 3.(-2) - 3 = - 29 
P(-1) = (-1)3 - 3.(-1)2 + 3.(-1) - 3 = - 10 
P(0) = (0)3 - 3.(0)2 + 3.(0) - 3 = - 3 
P(1) = (1)3 - 3.(1)2 + 3.(1) - 3 = - 2 
P(2) = (2)3 - 3.(2)2 + 3.(2) - 3 = - 1 
P(3) = (3)3 - 3.(3)2 + 3.(3) - 3 = 6 
Como P(2) x P(3) = -6 < 0, o teorema de Bolzano afirma que existe um número ímpar de raízes reais no intervalo 
considerado,isto é, (2, 3) 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
O método do ponto fixo, é um método que permite encontrar as raízes de uma equação 
f(X) através de: 
 
 
 
Uma expressão fi(x) baseada em f(x). 
 
 
 
Explicação: A raiz da equação é encontrada através da raiz de uma função fi(x) que podemos resolver ao invés da 
f(x). Assim o valor x é chamado um ponto fixo da segunda equação. 
 
7. 
 
 
Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x2 - 3 utilizando o Método de Newton-Raphson. 
Realize 1 iteração. Além disso, temos x0=1 e f'(x)= 2x. Após a realização da iteração diga o valor encontrado 
para x1. 
 
 
 
2 
 
 
 
Explicação: 
Como f'(x)= 2x. e x0 =1 , temos após a realização dessa iteração : x1 = 2x = 2x0 = 2 .1 = 2 .