Notas de aulas parte 14 (Mec. Solos I)

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Notas de aulas de Mecânica dos Solos I (parte 14) 
 
 
 
 
Helio Marcos Fernandes Viana 
 
 
 
 
Tema: 
 
Percolação e fluxo bidimensional 
 
 
 
Conteúdo da parte 14 
 
1 Equação geral do fluxo bidimensional 
 
2 Resolução da equação geral do fluxo bidimensional ou equação de Laplace 
 
3 Redes de fluxo 
 
4 Propriedades da linha freática (ou da linha de fluxo freática) 
 
5 Considerações finais 
 
 
 
 
 
 
 2 
1 Equação geral do fluxo bidimensional 
 
1.1 Introdução 
 
 
Î Normalmente, o problema do fluxo (ou percolação) de água pelo solo é tratado no 
plano (ou em duas dimensões), como acontece na maioria dos problemas práticos 
da mecânica dos solos. 
 
Î O estudo do fluxo (ou percolação) de água pelos maciços terrosos é importante 
para: 
 
a) Para quantificar a vazão de água que percola pelos maciços terrosos; e 
b) Para evitar os efeitos nocivos da percolação da água; Por exemplo: o “piping” ou 
erosão da barragem de terra causada pela água percolada. 
 
Î Para determinar a quantidade de água percolada pelos maciços terrosos é 
necessário solucionar a equação geral do fluxo bidimensional. 
 
OBS(s). 
a) Percolação é a movimentação da água pelo solo; Contudo, a percolação pode se 
dá em forma de fluxo em uma (x), duas (x, z) ou três (x, y, z) dimensões do maciço 
de solo; 
b) Fluxo é o escoamento de um fluido com trajetória ou curso definido; e 
c) Maciço é uma grade massa sólida e espessa. 
 
 
1.2 Apresentação da equação geral do fluxo bidimensional 
 
i) Hipóteses assumidas (ou obedecidas) para dedução da equação do fluxo 
bidimensional 
 
 Para dedução da equação do fluxo bidimensional são assumidas (ou 
obedecidas) as seguintes hipóteses: 
 
a) O solo é considerado saturado, ou seja, o solo possui todos os seus vazios 
preenchidos pela água; 
b) Existe a ocorrência de fluxo de água no interior do solo saturado; 
c) As partículas sólidas do solo, e a água são considerados incompressíveis; e 
d) A estrutura do solo não é alterada pelo fluxo de água. 
 
ii) Dedução da equação do fluxo bidimensional 
 
Î Seja o elemento (ou pequena parte) do solo sujeito ao fluxo (ou percolação) da 
água nas direções X e Z, como mostra a Figura 1.1. 
 
Î Na Figura 1.1, tem-se que: 
dx = espessura do elemento de solo na direção X; 
dz = espessura do elemento de solo na direção Z; 
VX = velocidade da água, que entra no elemento de solo na direção X; 
VZ = velocidade da água, que entra no elemento de solo na direção Z; 
 3
(∂VX/∂x).dx = acréscimo de velocidade da água, após atravessar o elemento de solo 
na direção X; 
(∂VZ/∂z).dz = acréscimo de velocidade da água, após atravessar o elemento de solo 
na direção Z; 
VX+(∂VX/∂x).dx = velocidade da água, após atravessar o elemento de solo na direção 
X; e 
VZ+(∂VZ/∂z).dz = velocidade da água, após atravessar o elemento de solo na direção 
Z. 
 
 
 
Figura 1.1 - Elemento (ou pequena parte) de solo sujeito ao fluxo de água 
bidimensional 
 
 
OBS(s). 
a) O símbolo ∂ tem pronúncia “d´round”, e indica derivada parcial para funções de 
várias variáveis, em relação a uma ou mais variáveis da função. Por exemplo: 
 
 ∂VX/∂x, indica a derivada parcial da função velocidade da água na direção X, 
em relação à variável X. 
 
b) O símbolo da derivada parcial ∂VX/∂x é lido como d´round de VX por d´round de X. 
 
Î Determinação da vazão bidimensional que entra no elemento de solo, da 
Figura 1.1, nas direções X e Z 
 
 A vazão bidimensional que entra no elemento de solo, da Figura 1.1, 
submetido ao fluxo bidimensional de água corresponde à seguinte equação: 
 
 (1.1) 
 
em que: 
QE = vazão bidimensional que entra no elemento (ou pequena parte) de solo; 
VX = velocidade da água na direção X, que entra no elemento de solo; 
VZ = velocidade da água na direção Z, que entra no elemento de solo; 
dx = espessura do elemento de solo na direção X; e 
dz = espessura do elemento de solo na direção Z. 
dx.Vdz.VQ ZXE +=
 4 
OBS. Para encontrar a vazão tridimensional, que entra no elemento de solo da 
Figura 1.1 é necessário multiplicar a vazão bidimensional que entra no elemento de 
solo (QE), nas direções X e Z, pela espessura do elemento de solo na direção Y, que 
é ortogonal ou (perpendicular) a Figura 1.1. 
 
Î Determinação da vazão bidimensional que sai do elemento de solo, da 
Figura 1.1, nas direções X e Z 
 
 A vazão bidimensional que sai no elemento de solo, da Figura 1.1, 
submetido ao fluxo bidimensional de água corresponde à seguinte equação: 
 
 
 (1.2) 
 
em que: 
QS = vazão bidimensional que sai do elemento (ou pequena parte) de solo; 
VX = velocidade da água na direção X, que entra no elemento de solo; 
VZ = velocidade da água na direção Z, que entra no elemento de solo; 
dx = espessura do elemento de solo na direção X; 
dz = espessura do elemento de solo na direção Z; 
(∂VX/∂x).dx = acréscimo de velocidade da água, após atravessar o elemento de solo 
na direção X; e 
(∂VZ/∂z).dz = acréscimo de velocidade da água, após atravessar o elemento de solo 
na direção Z. 
 
OBS. Para encontrar a vazão tridimensional, que sai do elemento de solo da Figura 
1.1 é necessário multiplicar a vazão bidimensional que sai do elemento de solo (QS), 
nas direções X e Z, pela espessura do elemento de solo na direção Y, que é 
ortogonal ou (perpendicular) a Figura 1.1. 
 
 Obtenção da equação da continuidade: 
 
Î Como a vazão que entra no elemento de solo (QE) é igual à vazão que sai do 
elemento de solo (QS), tem-se a seguinte equação: 
 
 (1.3) 
 
em que: 
 QE = vazão que entra no elemento de solo; e 
 QS = vazão que sai do elemento de solo. 
 
Î Desenvolvendo, a eq. (1.3), anterior, tem-se que: 
 
 (1.4) 
 
em que: 
 QE = vazão que entra no elemento de solo; e 
 QS = vazão que sai do elemento de solo. 
 
 
 
dx.dz.
z
VVdz.dx.
x
VVQ ZZXXS ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+=
SE QQ =
0QQ SE =−
 5
Î Substituindo a eq,(1.1) e a eq.(1.2) na eq.(1.4), e desenvolvendo, tem-se que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Î Como resultado dos cálculos anteriores, foi obtida a equação da continuidade que 
é representada pela seguinte fórmula: 
 
 
 (1.5) 
 
em que: 
∂VX/∂x = variação da velocidade da água na direção X; e 
∂VZ/∂z = Variação da velocidade da água na direção Y. 
 
Î Pela lei de Darcy, apresentada em aulas anteriores, são válidas a eq.(1.6) e a 
eq.(1.7), que são apresentadas a seguir: 
 
a) Velocidade da água percolada no elemento de solo na direção X 
 
 
 (1.6) 
 
em que: 
VX = velocidade da água na direção X, que entra no elemento de solo; 
KX = coeficiente de permeabilidade do solo na direção X; e 
∂h/∂x = variação da carga (ou energia) da água na direção X. 
 
b) Velocidade da água percolada no elemento de solo na direção Z 
 
 
 (1.7) 
 
em que: 
VZ = velocidade da água na direção Z, que entra no elemento de solo; 
KZ = coeficiente de permeabilidade do solo na direção Z; e 
∂h/∂z = variação da carga (ou energia) da água na direçãoZ. 
 
 
 
 
 
 
 
0V
x
V
0
z
V
x
V.dz.dx
0dz.dx.
z
Vdx.Vdz.dx.
x
Vdz.Vdx.Vdz.V
Z
ZX
zX
Z
Z
X
XZX
=∂
∂+∂
∂
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂−
=∂
∂−−∂
∂−−+
0
z
V
x
V ZX =∂
∂+∂
∂
x
h.KV XX ∂
∂=
z
h.KV ZZ ∂
∂=
 6 
Î Substituindo a eq.(1.6) e a eq.(1.7) na eq.(1.5), que é a equação da continuidade, 
tem-se que: 
 
 (1.8) 
 
em que: 
∂2h / ∂x2 = derivada parcial de segunda ordem da carga de água (h) em relação a X; 
∂2h / ∂z2 = derivada parcial de segunda ordem da carga de água (h) em relação a Z; 
e 
KX e KZ = já definidos anteriormente. 
 
Î Considerando-se o solo como material isotrópico, pode-se fazer KX = KZ na 
eq.(1.8); Assim, tem-se que: 
 
 
 (1.9) 
 
Î Finalmente, a partir da eq.(1.9) chega-se à equação geral do fluxo bidimensional 
ou equação de Laplace, que tem a seguinte fórmula: 
 
 
 (1.10) 
em que: 
∂2h/∂x2 = derivada parcial de segunda ordem da carga de água em relação a X; e 
∂2h/∂z2 = derivada parcial de segunda ordem da carga de água em relação a Z. 
 
OBS. Material isotrópico é um material (ou solo), que apresenta as mesmas 
propriedades físicas em todos os seus planos ou direções; Por exemplo, em um 
material isotrópico, tem-se que: 
 
 KX = KY = KZ 
 
em que: 
KX = coeficiente de permeabilidade do solo na direção X; 
KY = coeficiente de permeabilidade do solo na direção Y; e 
KZ = coeficiente de permeabilidade do solo na direção Z. 
 
 
2 Resolução da equação geral do fluxo bidimensional ou equação de Laplace 
 
2.1 Introdução 
 
 
Î Existem várias formas para resolver a equação geral do fluxo bidimensional, e 
assim resolver os problemas que envolvem a percolação (ou fluxo) de água pelos 
maciços de solos. 
 
OBS. Como exemplo de um problema relacionado à percolação de água por um 
maciço de solo, tem-se a determinação da vazão de água que percolada por um 
maciço de uma barragem de terra (ou solo). 
0
z
h.K
x
h.K 2
2
Z2
2
X =∂
∂+∂
∂
0
z
h
x
h.K 2
2
2
2
X =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂
0
z
h
x
h
2
2
2
2
=∂
∂+∂
∂
 7
Î Para resolução da equação geral do fluxo bidimensional são usados vários 
métodos, tais como: 
 
a) A integração direta da equação do fluxo bidimensional (tal solução oferece grande 
complexidade); 
b) O método numérico das diferenças finitas; 
c) O método numérico dos elementos finitos; 
d) O método gráfico (ou representativo) das redes de fluxo; e 
e) Etc. 
 
 
2.2 Funções usadas no traçado das redes de fluxo 
 
i) Apresentação das funções usadas para resolução do problema do fluxo 
bidimensional, através das REDES DE FLUXO 
 
Î A equação geral do fluxo bidimensional de água, através de um maciço de solo, é 
satisfeita (ou solucionada) graficamente por duas famílias de curvas, que são dadas 
(ou obtidas ou geradas) pelas seguintes funções: 
 
a) Função φ, chamada de função carga hidráulica; e 
b) Função Ψ, chamada de função fluxo. 
 
Î As funções φ e Ψ atuam no plano bidimensional XZ, onde ocorre o fluxo de água. 
 
OBS(s). 
a) O símbolo φ é a letra grega “fi”; e 
b) O símbolo Ψ é a letra grega “psi”. 
 
ii) Características básicas da função carga hidráulica (φ) e da função fluxo (Ψ) 
 
a) As funções carga hidráulica (φ) e fluxo (Ψ) podem ser interpretadas fisicamente 
dentro da região onde se desenvolve o fluxo de água; 
b) A função carga hidráulica (φ) gera curvas (ou linhas) na região do fluxo de água, 
sendo que cada curva (ou linha) gerada é uma constante; 
c) A função fluxo (Ψ) gera curvas (ou linhas) na região do fluxo de água, sendo que 
cada curva (ou linha) gerada é uma constante; e 
d) As curvas (ou linhas) geradas na região do fluxo de água pelas funções carga 
hidráulica (φ) e fluxo (Ψ) têm significado físico diferentes. 
 
OBS. Uma curva (ou linha) é uma constante, quando não sofre variações; Por 
exemplo: a curva (ou linha) é uma constante, quando não sofre variação de posição 
no plano em que ela é traçada. 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
iii) Curvas (ou linhas) geradas pela função carga hidráulica (φ), na região 
bidimensional onde ocorre o fluxo de água 
 
Î As curvas (ou linhas) geradas (ou determinadas) pela função carga hidráulica (φ), 
são geradas no plano XZ, na região onde ocorre o fluxo de água. 
 
Î As curvas (ou linhas) geradas (ou determinadas) pela função carga hidráulica (φ), 
são chamadas LINHAS EQUIPOTENCIAIS. 
 
Î As LINHAS EQUIPOTENCIAIS representam curvas que possuem a mesma carga 
hidráulica h. 
 
Î Em uma região onde ocorre o fluxo de água existem várias LINHAS 
EQUIPOTÊCIAIS geradas pela função carga hidráulica (φ). 
 
Î Cada LINHA EQUIPOTENCIAL gerada (ou determinada) na região do fluxo de 
água possui uma carga de água (h) específica e constante associada (ou 
relacionada) a ela. 
 
iv) Curvas (ou linhas) geradas pela função fluxo (Ψ), na região bidimensional 
onde ocorre o fluxo de água 
 
Î As curvas (ou linhas) geradas (ou determinadas) pela função fluxo (Ψ), são 
geradas no plano XZ, na região onde ocorre o fluxo de água. 
 
Î As curvas (ou linhas) geradas (ou determinadas) pela função fluxo (Ψ), são 
chamadas LINHAS DE FLUXO. 
 
Î As LINHAS DE FLUXO são curvas que indicam a trajetória da água (ou das 
moléculas de água) na região onde ocorre o fluxo da água. 
 
Î Na região onde ocorre o fluxo de água existem várias LINHAS DE FLUXO 
geradas pela função fluxo (Ψ). 
 
Î Cada LINHA DE FLUXO, gerada pela função fluxo (Ψ) na região do fluxo de 
água, representa (ou indica) uma trajetória específica e constante da água (ou das 
moléculas de água). 
 
 A Figura 2.1 apresenta um modelo físico reduzido de água represada, que é 
constituído de uma caixa com areia, com água represada e com tubos de corante, 
que servem para ilustrar as LINHAS DE FLUXO da água. Observe, na Figura 2.1, 
que: 
 
a) A água, que percola pela areia, se mistura com o corante de cada tubo e segue 
uma trajetória específica e constante, o que prova a real existência das LINHAS DE 
FLUXO da água; e 
b) Os piezômetros instalados na região do fluxo de água mostram que na região 
onde ocorre o fluxo de água, a carga (ou energia) hidráulica é diferente em vários 
pontos. Este fato se relaciona as LINHAS EQUIPOTENCIAIS, que passam pelos 
pontos onde os piezômetros foram instalados. 
 
 9
OBS (s). 
a) Linhas equipotenciais são linhas (ou curvas) com a mesma carga (ou energia) 
hidráulica (h), ou seja, ao longo de uma linha equipotencial se forem instalados 
piezômetros eles indicarão a mesma carga hidráulica (h); e 
b) Piezômetro é um aparelho tubular para determinar a pressão atuante na água. 
 
 
 
 
Figura 2.1 - Modelo físico reduzido de água represada, que é constituído de 
uma caixa com areia, com água represada e com tubos de 
corante, que servem para ilustrar as LINHAS DE FLUXO da água 
 
 
v) Importantes características das LINHAS DE FLUXO e das LINHAS 
EQUIPOTENCIAIS 
 
Î A vazão de água entre duas linhas de fluxo é constante. 
 
OBS. A região entre duas linhas de fluxo é chamada de canal de fluxo. 
 
Î Na região onde ocorre o fluxo de água, as curvas da função carga hidráulica (φ) 
interceptam as curvas da função fluxo (Ψ) em ângulos retos (ou de 90º). Em outras 
palavras, na região do fluxo de água, as LINHAS EQUIPOTENCIAIS cruzam (ou 
interceptam) as LINHAS DE FLUXO em ângulos retos (ou de 90º). 
 
OBS(s). Maiores detalhes da função carga hidráulica (φ) e da função fluxo (Ψ) 
consulte:a) Bueno e Vilar (2002); e/ou 
 b) Craig (2007). 
 
 
 
 
 10 
3 Redes de fluxo 
 
3.1 Introdução 
 
 
Î Como já mencionado anteriormente, as redes de fluxo constitui uma solução 
gráfica para a equação geral do fluxo bidimensional. 
 
Î As redes de fluxo são traçadas manualmente pelo engenheiro em um plano 
bidimensional na região onde ocorre o fluxo de água. 
 
 
3.2 Canal de fluxo e vazão em um canal de fluxo 
 
i) Canal de fluxo 
 
 Denomina-se canal de fluxo à região situada entre duas linhas de fluxo. 
 
ii) Vazão em um canal de fluxo 
 
 Na Figura 3.1(a) é mostrado um canal de fluxo de espessura unitária = d; Já 
na Figura 3.1(b) é mostrado o detalhamento da seção do canal de fluxo com as 
linhas de fluxo e as linhas equipotenciais. 
 
 Observe na Figura 3.1(b) que as linhas equipotenciais cruzam as linhas de 
fluxo do canal de fluxo em ângulos retos (ou de 90º). 
 
 
 
 
Figura 3.1 - Canal de fluxo de espessura unitária = d, e o detalhamento da 
seção do canal de fluxo com as linhas de fluxo e as linhas 
equipotenciais 
 
 11
Î Pela lei de Darcy, a vazão tridimensional (Q) de água no canal de fluxo da Figura 
3.1(a), mostrada anteriormente, é dada pela seguinte equação: 
 
 
 (3.1) 
 
 
em que: 
Q = vazão tridimensional de água no canal de fluxo, na direção do fluxo de água; 
K = coeficiente de permeabilidade do solo; 
i = ∆h/L = gradiente hidráulico atuante no solo; 
∆h = perda de carga devido à percolação da água; 
L = distância percorrida pela água percolada; Neste caso, a distância entre duas 
linhas equipotenciais; 
A = b.d = área normal à direita do escoamento, ou seção transversal do canal de 
fluxo da Figura 3.1(a); 
b = distância entre duas linhas de fluxo; e 
d = espessura do canal de fluxo. 
 
Î Normalmente, o problema do fluxo é tratado no plano (ou em duas dimensões); 
Assim sendo, a vazão por unidade de espessura do canal ou vazão bidimensional 
de água no canal de fluxo, na direção do fluxo de água, será: 
 
 
 (3.2) 
 
em que: 
q = vazão bidimensional de água no canal de fluxo, na direção do fluxo da água, ou 
vazão por unidade de espessura do canal de fluxo (cm3/s.cm) (ou cm2/s); 
Q = vazão tridimensional no canal de fluxo, na direção do fluxo de água (cm3/s); 
K = coeficiente de permeabilidade do solo; 
∆h = perda de carga devido à percolação da água; 
L = distância percorrida pela água percolada; Neste caso, a distância entre duas 
linhas equipotenciais; 
b = distância entre duas linhas de fluxo; e 
d = espessura do canal de fluxo. 
 
OBS(s). 
a) Para obter a vazão tridimensional no canal de fluxo, na direção do fluxo de água, 
basta multiplicar a vazão bidimensional no canal de fluxo (q) pela espessura do 
canal de fluxo (d); 
b) As linhas de fluxo são linhas que indicam a trajetória da água (ou das moléculas 
da água) percolada; e 
c) Linhas equipotenciais são linhas que possuem a mesma carga (ou energia) 
hidráulica; Ou seja, se forem instalados piezômetros ao longo de uma linha 
equipotencial os piezômetros indicarão a mesma carga (ou altura) de água. 
 
 
 
 
 
A.i.KQ =
L
b.h.K
d
d.b.
L
h.K
d
Qq ∆=∆==
 12 
3.3 Introdução ao traçado da rede de fluxo 
 
i) Quem traça, e onde é traçada a rede de fluxo? 
 
 A rede de fluxo é traçada manualmente pelo engenheiro na região onde 
ocorre o fluxo de água no solo. 
 
ii) Observações quanto ao traçado das redes de fluxo 
 
 No traçado das redes de fluxo, pode-se observar o que se segue: 
 
a) As linhas equipotenciais são perpendiculares ou ortogonais às linhas de fluxo, ou 
seja, quando as linhas se cruzam elas formam entre si um ângulo de 90º. 
 
b) No traçado de uma rede de fluxo, costuma-se fazer b ≅ L, ou seja, fá-se a 
distância entre duas linhas de fluxo (b) aproximadamente igual à distância entre 
duas linhas equipotenciais (L), como indica a Figura 3.2. 
 
OBS. O símbolo ≅ significa aproximadamente igual. 
 
 
 
 
Figura 3.2 - Relação, no traçado de uma rede de fluxo, entre a distância entre 
as linhas de fluxo (b), e a distância entre as linhas equipotenciais 
(L) 
 
c) No traçado de uma rede de fluxo, ao fazer b ≅ L, ou seja, ao fazer a distância 
entre duas linhas de fluxo (b) aproximadamente igual à distância entre duas linhas 
equipotenciais (L), resulta que como as linhas equipotenciais são perpendiculares às 
linhas de fluxo; Então, ocorre a formação de um “quadrado”, o qual pode ser 
ligeiramente curvo como ilustra Figura 3.3. 
 
 
 13
 
 
Figura 3.3 - Formação de “quadrado” durante o traçado de uma rede de fluxo 
 
 
d) O traçado de uma rede de fluxo consiste, basicamente, no traçado de “quadrados” 
ligeiramente curvos na região do fluxo de água, os quais são formados pelas linhas 
equipotenciais e pelas linhas de fluxo. 
 
e) O primeiro passo no traçado de uma rede de fluxo consiste em estabelecer as 
condições de contorno, ou as condições limites do problema; Por exemplo, 
estabelecer: 
 
 -> A linha equipotencial de carga máxima; 
 -> A linha equipotencial de carga mínima; 
 -> A maior linha de fluxo; e 
 -> A menor linha de fluxo. 
 
f) A rede de fluxo é traçada manualmente pelo engenheiro em um plano 
bidimensional, na região onde ocorre o fluxo (ou percolação) de água. 
 
OBS. Em uma rede de fluxo, a perda de carga (ou de energia) entre duas linhas 
equipotenciais é constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 14 
3.3.1 Redes de fluxo no caso de fluxo confinado 
 
3.3.1.1 Conceito de fluxo confinado 
 
 
 O fluxo de água em uma região é dito fluxo confinado, quando as condições 
de contorno (ou limites) do problema são totalmente determinadas à priori (ou 
inicialmente); ou seja, são determinados: 
 
 -> A linha equipotencial de carga máxima; 
 -> A linha equipotencial de carga mínima; 
 -> A maior linha de fluxo; e 
 -> A menor linha de fluxo. 
 
 
3.3.1.2 Exposição de princípios relacionados às redes de fluxo 
 
 
 A Figura 3.4 mostra uma cortina de estaca prancha, que é um problema 
clássico de percolação de água com fluxo confinado; Assim sendo, baseado na 
Figura 3.4 serão expostos os princípios das redes de fluxo. 
 
 Observe, na Figura 3.4, que são indicadas as condições de contorno, ou as 
condições limites do problema do fluxo de água pela fundação da cortina de estacas 
prancha. 
 
 
 
 
Figura 3.4 - Percolação de água pela fundação de uma cortina de estaca 
prancha, que é um problema clássico de percolação de água com 
fluxo confinado 
 
 
 
 
 
 15
Î Pode-se observar na Figura 3.4, anterior, que as condições de contorno (ou 
limites) do problema estão bem definidas, as quais são: 
 
 -> A linha equipotencial de carga máxima; 
 -> A linha equipotencial de carga mínima; 
 -> A maior linha de fluxo; e 
 -> A menor linha de fluxo. 
 
Î Pode-se observar na Figura 3.4, anterior, que a água percola da esquerda para 
direita em função da altura carga total de água (H). 
 
ii) Princípios relacionados à perda de carga e as vazões em uma rede de fluxo 
 
Î A Figura 3.5, mostrada a seguir, representa uma rede de fluxo traçada para 
solucionar o problema do fluxo de água, através da fundação permeável de uma 
cortina de estacas prancha. 
 
Î Observa-se, na Figura 3.5, que a rede de fluxo é constituída de uma malha de 
“quadrados” formada pelas linhas equipotenciais e pelas linhas de fluxo; Além disso, 
a rede de fluxo apresenta: 
 
a) 6 (seis) linhas de fluxo (LF); 
b) 11 (onze) linhas equipotenciais (LE); 
c) 5 (cinco) canais de fluxo (nf); Onde 1 (um) canal de fluxo é a distância entre duas 
linhas de fluxo; ed) 10 (dez) quedas de potencial (neq); Onde uma queda de potencial é a distância 
entre duas linhas equipotenciais. 
 
 
 
Figura 3.5 - Rede de fluxo traçada para solucionar o problema do fluxo de 
água, através da fundação permeável de uma cortina de estacas 
prancha 
 16 
Î Bem, as duas propriedades características das redes de fluxo são: 
 
a) Em um canal de fluxo, tem-se que as perdas de carga da água são iguais entre os 
vários “quadrados” da rede de fluxo; e 
b) As vazões através os vários canais de fluxo são iguais. 
 
OBS. Denomina-se canal de fluxo à região situada entre duas linhas de fluxo. 
 
 
3.3.1.3 Cálculo da vazão de água que escoa através do solo de fundação da 
cortina de estacas prancha 
 
 
Î Inicialmente, para o cálculo da vazão de água que escoa pela fundação da 
cortina de estacas prancha da Figura 3.5, mostrada anteriormente, é necessário 
considerar: 
 
a) O número de canais de fluxo (nf), que é igual ao número de linhas de fluxo da 
rede de fluxo menos 1 (um); e 
b) O número de quedas de potencial (neq), que é igual ao número de linhas 
equipotenciais da rede de fluxo menos 1 (um). 
 
Î Sabe-se que: a vazão bidimensional de água, que escoa na por 1 (um) canal de 
fluxo da rede de fluxo, ou vazão por unidade de espessura em 1 (um) canal de fluxo 
é dada pela seguinte equação: 
 
 
 (3.3) 
 
em que: 
q = vazão bidimensional de água em 1 (um) canal de fluxo, na direção do fluxo da 
água, ou vazão por unidade de espessura em 1 (um) canal de fluxo (cm3/s.cm) (ou 
cm2/s); 
K = coeficiente de permeabilidade do solo (cm/s); 
∆h = perda de carga devido à percolação de água entre duas linhas equipotenciais 
(cm); 
L = distância percorrida pela água percolada, ou distância entre duas linhas 
equipotenciais (cm); e 
b = distância entre duas linhas de fluxo (cm). 
 
OBS. Para encontrar a vazão tridimensional que escoa por 1 (um) canal de fluxo, 
basta multiplicar a vazão bidimensional (q) pela espessura (d) do canal de fluxo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b.
L
h.Kq ∆=
 17
Î Sabe-se que: para construir os “quadrados” da rede de fluxo fá-se b = L, ou seja, 
fá-se a distância entre duas linhas de fluxo (b) igual à distância entre duas linhas 
equipotenciais (L). Bem, como b = L na rede de fluxo, então a vazão bidimensional 
em 1 (um) canal de fluxo (q) da rede de fluxo será: 
 
 
 (3.4) 
 
em que: 
q = vazão bidimensional de água em 1 (um) canal de fluxo, na direção do fluxo da 
água, ou vazão por unidade de espessura em 1 (um) canal de fluxo (cm3/s.cm) (ou 
cm2/s); 
K = coeficiente de permeabilidade do solo (cm/s); 
∆h = perda de carga devido à percolação de água entre duas linhas equipotenciais 
(cm); 
L = distância percorrida pela água percolada, ou distância entre duas linhas 
equipotenciais (cm); e 
b = distância entre duas linhas de fluxo (cm). 
 
Î Diante do exposto, a vazão total bidimensional de água, que escoa através do 
solo de fundação da cortina de estaca prancha da Figura 3.5 é dada pela seguinte 
equação: 
 
 
 (3.5) 
 
em que: 
QF = vazão total bidimensional de água, que escoa na direção do fluxo, através do 
solo de fundação da cortina de estacas prancha (cm3/s.cm) (ou cm2/s); 
q = vazão bidimensional de água em 1 (um) canal de fluxo, na direção do fluxo da 
água, ou vazão por unidade de espessura em 1 (um) canal de fluxo (cm3/s.cm) (ou 
cm2/s); 
nf = número de canais de fluxo da rede de fluxo, que corresponde ao número de 
linhas de fluxo da rede de fluxo menos 1 (um); 
K = coeficiente de permeabilidade do solo (cm/s); e 
∆h = perda de carga devido à percolação de água entre duas linhas equipotenciais 
(cm). 
 
Î Sendo que: a perda de carga entre duas linhas equipotenciais (∆h) é dada pela 
seguinte equação: 
 
 (3.6) 
 
em que: 
∆h = perda de carga devido à percolação de água entre duas linhas equipotenciais 
(cm); 
H = carga total disponível, que é dissipada devido à percolação da água; e 
neq = número de quedas de potencial, que é igual ao número de linhas 
equipotenciais da rede de fluxo menos 1 (um). 
h.Kb.
b
h.Kb.
L
h.Kq ∆=∆=∆=
nf.h.Knf.qQF ∆==
neq
Hh =∆
 18 
Î Finalmente, substituindo-se a eq.(3.6) na eq.(3.5), se obtém equação para o 
cálculo da vazão total bidimensional de água (QF), que escoa pelo solo de fundação 
da cortina de estacas prancha, a qual corresponde à seguinte equação: 
 
 
 (3.7) 
 
em que: 
QF = vazão total bidimensional de água, que escoa na direção do fluxo, através do 
solo de fundação da cortina de estacas prancha (cm3/s.cm) (ou cm2/s); 
K = coeficiente de permeabilidade do solo (cm/s); 
H = carga total disponível, que é dissipada devido à percolação da água (cm); 
nf = número de canais de fluxo da rede de fluxo, que corresponde ao número de 
linhas de fluxo da rede de fluxo menos 1 (um); e 
neq = número de quedas de potencial, que é igual ao número de linhas 
equipotenciais da rede de fluxo menos 1 (um). 
 
OBS(s). 
a) No caso de um solo isotrópico, para se obter a vazão total tridimensional de água 
(QT) ao longo do solo da fundação da cortina de estacas prancha; Basta multiplicar a 
vazão total bidimensional de água (QF), que escoa através do solo de fundação da 
cortina de estacas prancha, eq.(3.7), pelo comprimento (LC) da cortina de estacas 
prancha; 
 
b) Solo isotrópico é um solo que apresenta as mesmas propriedades físicas em 
todos os planos ou direções. Em um solo isotrópico, tem-se que: 
 
 KX = KY = KZ 
em que: 
 KX = coeficiente de permeabilidade do solo na direção X; 
 KY = coeficiente de permeabilidade do solo na direção Y; e 
 KZ = coeficiente de permeabilidade do solo na direção Z. 
 
c) Na rede de fluxo, a carga total de água disponível (H) é totalmente dissipada ao 
longo das quedas de potencial (neq) da rede de fluxo; Onde uma queda de potencial 
é a distância entre duas linhas equipotenciais. 
 
 
3.3.2 Redes de fluxo no caso de fluxo não confinado 
 
 
Î O fluxo de água é dito não confinado, quando pelo menos uma das condições de 
contorno (ou limites) do problema não está definida à priori (ou inicialmente). 
 
Î O fluxo de água através do maciço de barragens de terra se enquadra no caso de 
fluxo não confinado, pois a linha de fluxo que corresponde à linha freática não é 
determinada à priori (ou inicialmente). 
 
 
 
 
neq
nf.H.KQF =
 19
OBS(s). 
a) Linha freática é uma linha de fluxo, que limita o fluxo de água na parte superior da 
barragem de terra. A linha freática pode ser determinada (ou traçada) pelo uso do 
método gráfico da Parábola de Kozeny, quando é traçada a rede de fluxo de uma 
barragem de terra; e 
b) Uma das situações práticas onde ocorre o maior emprego das redes de fluxo é no 
caso das barragens de terra. 
 
 
3.3.2.1 Condições de contorno (ou condições limites) do fluxo de água através 
do maciço compactado de uma barragem de terra, que possui fundação 
impermeável 
 
 
Î A Figura 3.6 mostra o fluxo de água não confinado, através de uma barragem de 
terra de fundação impermeável; Além disso, são indicadas, na Figura 3.6, as 3 (três) 
condições de contorno (ou condições limites) do problema de fluxo de água pelo 
maciço da barragem, que são conhecidas à priori (ou antecipadamente). 
 
Î Destaca-se, que a linha de fluxo correspondente à linhafreática, que corresponde 
a uma condição de contorno, não é definida à priori (ou previamente) para 
resolução do problema do fluxo de água pela barragem de terra. 
 
 
 
 
Figura 3.6 - Fluxo de água não confinado, através de uma barragem de terra de 
fundação impermeável, e as 3 (três) condições de contorno (ou 
condições limites) do problema de fluxo de água pelo maciço da 
barragem, que são conhecidas à priori (ou antecipadamente) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20 
3.3.2.2 Linha freática das barragens de terra 
 
 
Î Como já comentado a linha freática é uma linha de fluxo, que limita o fluxo de 
água na parte superior da barragem de terra. 
 
Î Na linha freática atua a pressão atmosférica; Assim sendo, na linha freática a 
pressão piezométrica é nula. 
 
OBS. Piezômetro é um aparelho tubular para determinar a pressão atuante na água. 
Com uso do piezômetro é possível determinar a carga (ou altura) da água em um 
ponto qualquer da barragem. 
 
Î No estudo do fluxo de água através de barragens de terra, a linha freática pode 
ser determinada pelo uso do método gráfico da parábola de Kozeny, quando é 
traçada a rede de fluxo. 
 
 
4 Propriedades da linha freática (ou da linha de fluxo freática) 
 
4.1 Introdução ao estudo da linha freática 
 
 
Î A linha freática apresenta uma série de propriedades e particularidades; 
 
Î A determinação da linha freática constitui o primeiro passo para o traçado da rede 
de fluxo em problemas de fluxo não confinado, o qual ocorre em barragens de terra. 
 
Î A determinação (ou o traçado) da linha de fluxo correspondente à linha freática 
em barragens de terra pode ser feito pelo método gráfico da parábola de Kozeny. 
 
 
4.2 Condições de entrada da linha freática no maciço de terra 
 
 
 A Figura 4.1 ilustra algumas condições de entrada da linha freática no 
maciço de terra, observa-se que a condição de entrada da linha freática no maciço 
de terra depende do ângulo ω (ômega). 
 
OBS(s). 
a) ω é o ângulo entre a face do talude de montante do maciço de terra e o plano da 
base do talude de montante; 
b) Talude de montante é o talude em contato direto com a água represada; 
c) Talude é um maciço de terra ou rocha inclinado em relação ao plano que passa 
pela sua base; 
d) Maciço é uma grade massa sólida e espessa; e 
e) O símbolo ω é a letra grega “ômega”. 
 
 
 
 
 21
 
 
Figura 4.1 - Condições de entrada da linha freática no maciço de terra, 
observa-se que a condição de entrada da linha freática no 
maciço de terra depende do ângulo ω (ômega) 
 
 
4.3 Condições de saída da linha freática do maciço de terra 
 
 
 A Figura 4.2 ilustra algumas condições de saída da linha freática do maciço 
de terra, observa-se que a condição de saída da linha freática do maciço de terra 
depende do ângulo η (eta). 
 
OBS(s). 
a) η é o ângulo entre a face do talude de jusante do maciço de terra e o plano da 
base do talude de jusante; 
b) Talude de jusante é o talude que não tem contato direto com a água represada; 
c) Talude é um maciço de terra ou rocha inclinado em relação ao plano que passa 
pela sua base; e 
d) O símbolo η é a letra grega “eta”. 
 
 Na Figura 4.2, a distância entre o pé do talude de jusante e o ponto de saída 
da linha freática corresponde à distância D. 
 
 
 A Figura 4.3 mostra a condição de saída da linha freática do maciço de terra, 
quando há um filtro no interior do talude de jusante do maciço de terra. Observa-se 
que, neste caso, a linha freática é uma parábola, e a saída da linha freática do 
maciço de terra ocorre perpendicular (ou a 90º) em relação ao plano da face do filtro, 
e a uma distância AK do início do filtro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22 
 
 
Figura 4.2 - Condições de saída da linha freática do maciço de terra, observa-
se que a condição de saída da linha freática do maciço de terra 
depende do ângulo η (eta) 
 
 
 
 
Figura 4.3 - Condição de saída da linha freática do maciço de terra, quando há 
um filtro no interior do talude de jusante do maciço de terra 
 
 
4.4 Condições de carga na linha freática e traçado da rede de fluxo em 
barragens de terra 
 
 
 A seguir são descritas algumas condições de carga da linha freática, e 
alguns procedimentos para o traçado da rede de fluxo em barragens de terra. 
 
i) Na linha freática atua, apenas, a pressão atmosférica; Então a pressão 
piezométrica na linha freática é nula; Assim sendo, a carga que a linha freática 
possui corresponde, apenas, à carga altimétrica ou de posição; 
 
ii) Como a linha freática possui, apenas, carga altimétrica; Então, a perda de carga 
entre duas linhas equipotenciais consecutivas (∆h), que cruzam a linha freática 
corresponde, apenas, à perda de carga altimétrica; 
 23
iii) A linha freática em uma barragem de terra pode ser determinada (ou traçada) 
pelo método gráfico da parábola de Kozeny; 
 
iv) Uma vez determinada a linha freática; Então, o próximo passo é dividir a perda de 
carga total da linha freática (h) em cotas (partes) iguais (∆h), o que fornecerá os 
pontos de interseção da linha freática com as linhas equipotenciais da rede de fluxo 
da barragem de terra; Como ilustra a Figura 4.4 a seguir; 
 
v) De posse dos pontos de intercessão entre as linhas equipotenciais e a linha 
freática; Então, são traçadas as linhas equipotenciais da rede de fluxo da barragem; 
Como ilustra a Figura 4.4 a seguir; 
 
vi) Após o traçado da linha freática e das linhas equipotenciais; Então, são traçadas 
as linhas de fluxo restantes da rede de fluxo da barragem, de modo que sejam 
obtidos de 3 a 5 canais de fluxo; Como ilustra a Figura 4.4 a seguir; e 
 
vii) Finalmente, destaca-se que, na rede de fluxo, as linhas equipotenciais são 
ortogonais (ou perpendiculares) às linhas de fluxo; e que no traçado da rede de fluxo 
são formados “quadrados” ligeiramente curvos. 
 
 A Figura 4.4 ilustra uma rede de fluxo de uma barragem de terra de 
fundação impermeável, a qual foi traçada a partir da linha freática e da divisão da 
perda de carga total da linha freática (h) em cotas (ou partes) iguais (∆h). 
 
OBS. A linha freática é uma linha de fluxo. 
 
 Observa-se, na Figura 4.4, que a rede de fluxo da barragem de terra possui 
4 (quatro) canais de fluxo; Além disso, a partir da divisão da perda de carga total da 
linha de freática (h) em partes iguais (∆h) é possível definir (ou determinar) as linhas 
equipotenciais da rede de fluxo. 
 
 
Figura 4.4 - Rede de fluxo da barragem de terra de fundação impermeável 
 24 
OBS(s). 
a) A vazão total bidimensional de água (QF), que escoa através do maciço da 
barragem de terra, de fundação impermeável, pode ser obtida pela seguinte 
equação: 
 
 
 (4.1) 
 
em que: 
QF = vazão total bidimensional de água, que escoa na direção do fluxo, através do 
solo do maciço da barragem de terra (cm3/s.cm) (ou cm2/s); 
K = coeficiente de permeabilidade do solo (cm/s); 
H = h = carga total disponível, que é dissipada devido à percolação da água (cm); 
nf = número de canais de fluxo da rede de fluxo, que corresponde ao número de 
linhas de fluxo da rede de fluxo menos 1 (um); e 
neq = número de quedas de potencial, que é igual ao número de linhas 
equipotenciais da rede de fluxo menos 1 (um). 
 
b) No caso de um solo isotrópico, para se obter a vazão total tridimensional de água 
(QT) ao longo do maciço da barragem de terra de fundação impermeável; Î Basta 
multiplicar a vazão total bidimensional de água (QF), que escoa através do maciço 
da barragem de terra de fundação impermeável, eq.(4.1), pelo comprimento (LB) da 
barragem; 
c) Solo isotrópico é um solo que apresenta as mesmas propriedades físicas em 
todos os planos ou direções. Em um solo isotrópico, tem-se que: 
 
 KX = KY = KZ 
em que:KX = coeficiente de permeabilidade do solo na direção X; 
 KY = coeficiente de permeabilidade do solo na direção Y; e 
 KZ = coeficiente de permeabilidade do solo na direção Z. 
 
d) Para definir a altura da barragem de terra é importante atentar para o fenômeno 
da CAPILARIDADE do solo, que pode causar a saturação do solo um pouco acima 
do lençol freático. 
 
 
5 Considerações finais 
 
 
 Maiores detalhes sobre percolação, fluxo bidimensional e redes de fluxo 
consulte: 
 
a) Lambe e Whitman (1979) “Soil mechanics, Si Version”; 
b) Bueno e Vilar (2002) “Mecânica dos solos - volume II”; 
c) Pinto (2006) “Curso básico de mecânica dos solos”; e/ou 
d) Craig (2007) “Mecânica dos solos”. 
 
 
 
neq
nf.H.KQF =
 25
 Para estudar o fenômeno da CAPILARIDADE nos solos, recomenda-se 
consultar: 
 
a) Bueno e Vilar (1980) “Mecânica dos solos”; 
b) Pinto (2006) “Curso básico de mecânica dos solos”; e/ou 
c) Caputo (2007), volume 1, ”Mecânica dos solos e suas aplicações”. 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
 
BUENO, B. S.; VILAR, O. M. Mecânica dos Solos. Apostila 69. Viçosa - MG: 
Universidade Federal de Viçosa, 1980. 131p. 
 
BUENO, B. S.; VILAR, O. M. Mecânica dos Solos - Volume II. São Carlos - SP: 
Escola de Engenharia de São Carlos - USP, 2002. 219p. (Bibliografia Principal) 
 
CAPUTO, H. P. Mecânica dos Solos e suas aplicações (fundamentos). Vol. 1. 6. 
ed., Rio de Janeiro - RJ: Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 2007. 234p. 
 
CRAIG, R. F. Mecânica dos Solos. 7. ed., Rio de Janeiro - RJ: LTC - Livros 
Técnicos e Científicos Editora S. A., 2007. 365p. 
 
FERREIRA, A. B. H. Novo dicionário da língua portuguesa. Rio de Janeiro - RJ: 
Nova fronteira S.A., 1986. 1838p. 
 
LAMBE, T. W.; WHITMAN, R. V. Soil mechanics, SI version. New York: John Wiley 
& Sons, 1979. 553p. 
 
MUNEM, M. A.; FOULIS, D. J. Cálculo. Vol. 2. Rio de Janeiro - RJ: Guanabara dois, 
1978. 
 
PINTO, C. S. Curso básico de Mecânica dos Solos. 3. ed., São Paulo - SP: 
Oficina de Textos, 2006. 355p.