lista de integrais indefinidas

Prévia do material em texto

DISCIPLINA: CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
PROFESSOR: GISLAN SILVEIRA SANTOS
CURSO: SEMESTRE: 2015-1
ALUNO (a):
1ª Lista de Exerc´ıcios
1. Calcule a integral e, em seguida, derive as respostas para conferir os resultados.
(a)
∫
y3(2y2 − 3)dy
(b)
∫ (
2
x2
+
3
x3
+ 5
)
dx
(c)
∫
2 cot2(θ)− 3tg 2(θ)dθ
(d)
∫
ax4 + bx3 + 3cdx
(e)
∫
dx
sen 2(x)
(f)
∫
cos (θ)tg (θ)dθ.
2. Calcule as seguintes integrais:
(a)
∫
2x7 dx
(b)
∫
dx
x3
(c)
∫
(3x4 − 5x3 + 4) dx
(d)
∫
6t2
3
√
tdt
(e)
∫
x4(5− x2) dx
(f)
∫ (√
x− 1√
x
)
dx
(g)
∫ (
2
x3
+
3
x2
+ 5
)
dx
(h)
∫
y4 + 2y2 − 1√
y
dy
(i)
∫
(5 cos (x)− 4 sen (x)) dx
(j)
∫
sen (x)
cos 2(x)
dx
(k)
∫
(4 csc(x) · cot(x) + 2sec 2(x)) dx
(l)
∫
sec 2(x)[ cos 3(x) + 1] dx
(m)
∫
(3 csc2(t)− 5sec (t) · tg (t)) dt
(n)
∫
dx
(ax)2 + a2
; a 6= 0.
3. Determine a func¸a˜o f(x) tal que
∫
f(x)dx = x3 +
1
3
· cos (2x) + c.
4. Determine a func¸a˜o f(x) tal que
∫
f(x)dx = x2 +
1
2
· cos (2x) + c.
5. Encontrar uma func¸a˜o f(x) tal que
1
2
f ′(x)− e2x = 0 e f(0) = 1.
6. Calcule as seguintes integrais, usando as substituic¸o˜es dadas:
(a)
∫
dx
x
√
x2 − 2 , use x =
√
2 sec t
(b)
∫
dx
ex + 1
, use x = −ln(t)
(c)
∫
xdx√
x+ 1
, use t =
√
x+ 1
(d)
∫
xdx√
1− x2 , use x = sen t
(e)
∫
dx
1 +
√
x
, use z = 1 +
√
x
(f)
∫
dx√
1 + x
1
3
, use z = 1 + 3
√
x
7. A inclinac¸a˜o f ′(x) em cada ponto (x, y) de uma curva y = f(x) e´ dada, juntamente com um ponto
(a, b) sobre a curva. Use essa informac¸a˜o para determinar f(x), sabendo que f ′(x) = xe4−x
2
; (−2, 1).
8. Utilizando o me´todo da substituic¸a˜o, calcule as seguintes integrais:
(a)
∫
x
5
√
x2 − 1 dx
(b)
∫
sen 2(x) cos (x) dx
(c)
∫
tg (x)sec 2(x) dx
(d)
∫
6x2 sen (x3) dx
(e)
∫
x2(x3 − 1)10 dx
(f)
∫
(x+ sec 2(3x)) dx
(g)
∫
arcsen (y)
2
√
1− y2 dy
(h)
∫
x2 + 2x√
x3 + 3x2 + 1
dx
(i)
∫
1
2
t cos (4t2) dt
(j)
∫
(tg (2x) + cot(2x))2 dx
(k)
∫
(e2x + 2)5e2x dx
(l)
∫
sen (θ)dθ
[5− cos (θ)]3
(m)
∫ √
1− 4ydy
(n)
∫
x2(x3 − 1)10dx
(o)
∫
6x2 sen (x3)dx
(p)
∫ √
1 +
1
3x
dx
x2
(q)
∫
(x3 − 2)1/7x2dx
(r)
∫ √
x2 + 2x4dx
(s)
∫
e1/x + 2
x2
dx
(t)
∫
xe3x
2
dx
(u)
∫
cos (x)
3− sen (x)dx
9. Calcule as seguintes integrais usando o me´todo de integrac¸a˜o por partes:
(a)
∫
xex dx
(b)
∫
x2 sen(x) dx
(c)
∫
xex
(1 + x)
2 dx
(d)
∫
e−t cos(pit) dt
(e)
∫
sen(ln(x)) dx
(f)
∫
arccos(2x) dx
(g)
∫
3x cos(x) dx
(h)
∫
x arctg(x) dx
(i)
∫
sec3(x) dx
(j)
∫
(x− 1) e−x dx
(k)
∫
e
1
x
x3
dx
(l)
∫
x3√
1− x2 dx
(m)
∫
x cossec2(x) dx
(n)
∫
x sec(x)tg(x) dx
(o)
∫
x3 sen(5x) dx
(p)
∫
x4 cos(2x) dx
(q)
∫
x4ex dx
(r)
∫ (
x5 − x3 + x) e−x dx
(s)
∫
x2senh(x) dx
(t)
∫ √
x ln(x) dx
(u)
∫
x arcsen(x)√
1− x2 dx
10. Calcule as seguintes integrais:
(a)
∫
sen2(x)
cos4(x)
dx
(b)
∫
tg 5(x) sec3(x) dx
(c)
∫
sen2(x) cos2(x) dx
(d)
∫
sen5(x)√
cos(x)
dx
(e)
∫
sen(x)
tg 2(x)
dx
(f)
∫ (
cotg 2(2x) cotg 4(2x)
)
dx
(g)
∫
cos4(x)
sen6(x)
dx
(h)
∫
sen4(ax) dx
(i)
∫
sen3(y) cos4(y) dy
(j)
∫
sen4(x)
cos6(x)
dx
(k)
∫
sen3(
√
x)√
x
dx
(l)
∫
sen2(pix) cos5(pix) dx
(m)
∫
cossec4(x) cotg 6(x) dx
(n)
∫
cos(x) + sen(x)
sen(2x)
dx
(o)
∫
1− tg 2(x)
sec2(x)
dx
(p)
∫
t sec2
(
t2
)
tg 4
(
t2
)
dt
11. Calcule
∫
senx cosx dx por quatro me´todos:
(a) a substituic¸a˜o u = cosx,
(b) a substituic¸a˜o u = senx,
(c) a identidade sen2x = 2 senx cosx,
(d) integrac¸a˜o por partes.
12. Calcule:
(a)
∫
sen(ln(x))
x
dx
(b)
∫
e arcsen(x)√
1− x2 dx
(c)
∫
extg 2(ex) dx
(d)
∫
sen4(ln(x))
x
dx
(e)
∫
extg 4(ex) dx
(f)
∫
tg 3(lnx) sec6(lnx)
x
dx
13. Calcule
∫
ln(tg(x))
sen(x) cos(x)
dx .
14. Calcule
∫
sen(x) cos(x)
1 + sen4(x)
dx .
15. Calcule
∫
x arctg(x) ln
(
x2 + 1
)
dx .
16. Uma part´ıcula se move em linha reta com func¸a˜o velocidade v(t) = sen (ωt) cos 2(ωt). Encontre sua
func¸a˜o posic¸a˜o s = f(t) se f(0) = 0.
17. Calcule a integral usando a substituic¸a˜o trigonome´trica indicada. Esboce e coloque legendas no triaˆngulo
retaˆngulo associado.
(a)
∫
1
x2
√
x2 − 9 dx ; x = 3secθ
(b)
∫
x3
√
9− x2 dx ; x = 3 senθ
(c)
∫
x3√
x2 + 9
dx ; x = 3tgθ
18. Calcule as seguintes integrais:
(a)
∫
x3
√
1− x2 dx
(b)
∫
1
t3
√
t2 − 1 dt
(c)
∫
x√
36− x2 dx
(d)
∫
dx
(a2 + x2)
3/2
; a > 0
(e)
∫
x2
√
a2 − x2 dx ; a > 0
(f)
∫
dx
x5
√
9x2 − 1
(g)
∫ [
(ax)
2 − b2
]−3/2
dx
(h)
∫
x2√
9− 25x2 dx
(i)
∫ √
x2 + 1 dx
(j)
∫ √
5 + 4x− x2 dx
(k)
∫
dx
(1− x2)√1 + x2
(l)
∫
7x3
(4x2 + 9)
3/2
dx
(m)
∫
dx√−3 + 8x− 4x2
(n)
∫
5x+ 3√
4x2 + 3x+ 1
dx
(o)
∫
1− 2x√
2x− x2 + 3 dx
19. Usando primeiramente o me´todo de substituic¸a˜o simples, seguido do me´todo de substituic¸a˜o trigonome´trica,
calcule as seguintes integrais:
(a)
∫
senx
(25− cos2x)3/2
dx (b)
∫
dx
x
(
(lnx)
2 − 4
)3/2 (c) ∫ cosx√
4 + sen2x
dx
20. Seja f uma func¸a˜o definida por f(x) =
1√
x2 + a2
.
(a) Use substituic¸a˜o trigonome´trica para mostrar que∫
f(x) dx = ln
(
x+
√
x2 + a2
)
+ C
(b) Use a substituic¸a˜o hiperbo´lica x = a senh t para mostrar que∫
f(x) dx = senh−1
(x
a
)
+ C
(c) Mostre que os resultados dos itens (a) e (b) sa˜o equivalentes.
21. Calcule ∫
x2
(x2 + a2)
3/2
dx
(a) por substituic¸a˜o trigonome´trica.
(b) por substituic¸a˜o hiperbo´lica x = a senh t.
22. Sejam a1, a2, . . . , an nu´meros reais distintos. Seja
1
(x− a1) . . . (x− an) =
c1
x− a1 + . . .+
cn
x− an .
Seja f(x) = (x− a1) . . . (x− an). Mostrar que c1 = 1/f ′(a1).
23. Se f e´ uma func¸a˜o, definamos L(f) = f ′/f . Se f, g sa˜o func¸o˜es, mostrar que
L(fg) = L(f) + L(g) , L(cf) = L(f) e L(1/f) = −L(f)
se c e´ um nu´mero real. Calcular L(f) para as seguintes func¸o˜es:
(a) (x− 1) (x− 2)
(b) (x− 1) (x− 2) (x− 3)
(c)
(
x2 + 5
) (
x3 − 1)
(d)
(
x2 − 1) / (x2 + 1)
24. Calcule as seguintes integrais:
(a)
∫
x2
x+ 1
dx
(b)
∫
y
y + 2
dy
(c)
∫
x− 9
(x+ 5) (x− 2) dx
(d)
∫
1
(t+ 4) (t− 1) dt
(e)
∫
dx
x4 + x2
(f)
∫
x3 + x− 1
(x2 + 1)
2 dx
(g)
∫
x4 + 8x3 − x2 + 2x+ 1
(x2 + x) (x3 + 1)
dx
(h)
∫
dx
x3 (x2 + 1)
(i)
∫
x3 + 4
x2 + 4
dx
(j)
∫
4x
x4 − 1 dx
(k)
∫
x3 + 1
(x2 − 4x+ 5)2 dx
(l)
∫
2x− 5
x (x2 − 4) (x− 1) dx
(m)
∫
x
(x− 1) (x2 − 9) (x2 − 4) dx
(n)
∫
x2 − 4x− 4
(x− 2) (x2 − 4) dx
(o)
∫
10
(x− 1) (x2 + 9) dx
(p)
∫
3x2 + x+ 4
x4 + 3x2 + 2
dx
(q)
∫
5x3 − 3x2 + 2x− 1
x4 + 9x2
dx
(r)
∫
x5 + 4x3 + 3x2 − x+ 2
x5 + 4x3 + 4x
dx
(s)
∫
dx
e−x + 3 + 2ex
(t)
∫
dx
x3 + 3x2 + 7x+ 5
(u)
∫
x2 − 3x+ 2
x3 + 6x2 + 5x
dx
(v)
∫
3x3 + x2 + x− 1
x4 − 1 dx
(w)
∫
x2 − 3x+ 7
(x2 − 4x+ 6)2 dx
(x)
∫
x3 + 2x2 + 3x− 2
(x2 + 2x+ 2)
2 dx
25. Calcule:
(a)
∫
1
x
√
x+ 1
dx
(b)
∫
dx
2
√
x+ 3 + x
(c)
∫ √
x
x− 4 dx
(d)
∫
1
1 + 3
√
x
dx
(e)
∫
x3
x 3
√
x2 + 1
dx
(f)
∫ √
x
x2 + x
dx
(g)
∫
1√
x− 3√x dx
(h)
∫ √
1 +
√
x
x
dx
(i)∫
ex√
e2x − 1 dx
(j)
∫
x√
4− x2 dx
(k)
∫
x√
(x2 + 4)
5
dx
(l)
∫
dx
(x2 + 9)
√
x2 + 4
26. Use integrac¸a˜o por partes, juntamente com as te´cnicas de frac¸o˜es parciais, para calcular as integrais abaixo:
(a)
∫
ln
(
x2 − x+ 2) dx (b) ∫ x tg−1x dx
27. Calcule as integrais abaixo completando quadrados:
(a)
∫
1
x2 − 2x dx (b)
∫
2x+ 1
4x2 + 12x− 7 dx
28. Um me´todo de retardar o crescimento de uma populac¸a˜o de insetos sem usar pesticidas e´ introduzir na
populac¸a˜o um nu´mero de machos este´reis que cruzam com feˆmeas fe´rteis, mas na˜o produzem filhotes. Se
P representa o nu´mero de feˆmeas na populac¸a˜o de insetos, S, o nu´mero de machos este´reis introduzidos a
cada gerac¸a˜o e r, a taxa de crescimento populacional natural, enta˜o a populac¸a˜o de feˆmeas esta´ relacionada
com o instante t por
t =
∫
P + S
P [(r − 1)P − S] dP
Suponha que uma populac¸a˜o de insetos com 10 000 feˆmeas cresc¸a a uma taxa de r = 0, 10 e que 900
machos este´reis sejam adicionados. Calcule a integral para dar uma equac¸a˜o relacionando a populac¸a˜o de
feˆmeas com o tempo. (Observe que a equac¸a˜o resultante na˜o pode ser resolvida explicitamente para P .)
29. Fatore x4 + 1 como uma diferenc¸a de quadrados adicionando e subtraindo a mesma quantidade. Use
essa fatorac¸a˜o para calcular
∫
1/
(
x4 + 1
)
dx.
30. Se f e´ uma func¸a˜o quadra´tica tal que f(0) = 1 e∫
f(x)
x2 (x+ 1)
3 dx
e´ uma func¸a˜o racional, encontre o valor de f ′(0).