Gabarito_Terceira_avaliacao_CalculoII_T01

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO
CAMPUS NOVA IGUAC¸U
INSTITUTO MULTIDISCIPLINAR
DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIAS E LINGUAGENS
Gabarito da 3a Avaliac¸a˜o IM404 – Ca´lculo II (T01)
20 Semestre/2012
Professor: Ronaldo Malheiros Grego´rio
Curso: Licenciatura em Matema´tica/Bacharelado em Matema´tica Aplicada e Computa-
cional da Computac¸a˜o e Bacharelado em Cieˆncia da Computac¸a˜o
1a Questa˜o (2,0 pontos). Seja d : Rn × Rn → R definida por
d(x, y) =
√∑
(xi − yi)2.
Mostre que d e´ uma distaˆncia em Rn.
Soluc¸a˜o. De fato, Sejam x, y ∈ Rn.
(i) Como r =
n∑
i=1
(xi − yi)2 e´ uma soma de quadrados, e portanto na˜o-negativo, isto implica que
d(x, y) =
√
r esta´ bem definida e d(x, y) ≥ 0. Por outro lado, r = 0 se, e somente se xi = yi,
i = 1, · · · , n. Segue portanto que d(x, y) = 0⇔ x = y.
(ii) Note que
d(x, y) =
√
n∑
i=1
(xi − yi)2 =
√
n∑
i=1
[(−1) · (yi − xi)]2 =
√
n∑
i=1
(−1)2 · (yi − xi)2
=
√
n∑
i=1
(yi − xi)2 = d(y, x).
(iii) Devemos mostrar que d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), isto e´,
√
n∑
i=1
(xi − yi)2 ≤
√
n∑
i=1
(xi − zi)2 +√
n∑
i=1
(zi − yi)2. Elevando ambos os membros da igualdade ao quadrado, isto equivale a
mostrar que
n∑
i=1
(xi − yi)2 ≤
n∑
i=1
(xi − zi)2 +
n∑
i=1
(zi − yi)2 + 2 ·
√√√√ n∑
i=1
(xi − zi)2 ·
√√√√ n∑
i=1
(zi − yi)2.
Por outro lado (xi − yi)2 = (xi − zi + zi − yi)2 = (xi − zi)2 + (zi − yi)2 + 2(xi − zi)(zi − yi).
Donde segue que
n∑
i=1
(xi − yi)2 =
n∑
i=1
(xi − zi)2 +
n∑
i=1
(zi − yi)2 + 2
n∑
i=1
(xi − zi)(zi − yi).
Das desigualdade e igualdade anteriores, conclui-se que devemos motrar que
n∑
i=1
(xi − zi)(zi − yi) ≤
√√√√ n∑
i=1
(xi − zi)2 ·
√√√√ n∑
i=1
(zi − yi)2,
ou ainda que [
n∑
i=1
(xi − zi)(zi − yi)
]2
≤
n∑
i=1
(xi − zi)2 ·
n∑
i=1
(zi − yi)2.
Para mostrar a u´ltima desigualdade, fac¸amos ai = (xi − zi) e bi = (zi − yi). Note que se
n∑
i=1
b2i = 0, enta˜o bi = 0, i = 1, · · · , n. Portanto,
n∑
i=1
aib
2
i = 0 =
[
n∑
i=1
a2i
]
·
[
n∑
i=1
b2i
]
.
Se
n∑
i=1
b2i > 0, considere o polinoˆmio
p(λ) =
[
n∑
i=1
b2i
]
λ2 + 2
[
n∑
i=1
aibi
]
λ+
n∑
i=1
a2i =
n∑
i=1
(ai + λ · bi)2 ≥ 0.
Segue que ou p possui uma u´nica raiz ou p na˜o possui raiz real. Donde se conclui que
∆ = 4
[
n∑
i=1
aibi
]2
− 4
[
n∑
i=1
b2i
][
n∑
i=1
a2i
]
≤ 0. Isto e´ o suficiente para se ter a desigualdade
[
n∑
i=1
(xi − zi)(zi − yi)
]2
≤
n∑
i=1
(xi − zi)2 ·
n∑
i=1
(zi − yi)2.
2a Questa˜o (4,0 pontos). Sejam f : R2 → R definida por
f(x, y) =
√
4− (x− 1)2 − 4(y − 1)2.
a) Determine o domı´nio e a imagem de f e represente graficamente o domı´nio.
Soluc¸a˜o. Note que f esta´ definida apenas para pontos (x, y) ∈ R2 que satisfazem
4− (x− 1)2 − 4(y − 1)2 ≥ 0.
2
Adicionando (x − 1)2 + 4(y − 1)2 a ambos os membros da desigualdade e multiplicando a
desigualdade resultante por
1
4
, segue que
(x− 1)2
4
+ (y − 1)2 ≤ 1.
Donde resulta que o domı´nio de f e´ a el´ıpse com centro em (1, 1), semi-eixo maior paralelo ao
eixo-x, medindo 2u.c. e semi-eixo menor paralelo ao eixo-y, medindo 1u.c. e seu interior. E´
fa´cil ver que f(x, y) ≥ 0. Sobre a el´ıpse, f(x, y) = 0. Por outro lado, f assume valor ma´ximo
quando (x, y) = (1, 1). Logo, o ma´ximo valor de f e´ 2 e Im(f) = [0, 2].
b) Identifique as curvas de n´ıvel de f e fac¸a um esboc¸o.
Soluc¸a˜o. Para 0 ≤ α ≤ 2, a curva de n´ıvel α (Sα) e´ definida por Sα = {(x, y) ∈ R2|f(x, y) =
α}. Se α = 2, segue que √4− (x− 1)2 − 4(y − 1)2 = 2, ou ainda, que −(x−1)2−4(y−1)2 =
0 ⇔ x = y = 1. Donde se conclui que a curva de n´ıvel 2 conte´m apenas o ponto (1, 1). Se
α ∈ [0, 2), enta˜o √4− (x− 1)2 − 4(y − 1)2 = α, ou ainda, que (x−1)2 +4(y−1)2 = (4−α2).
Donde resulta que
(x− 1)2
(4− α2) +
(y − 1)2
(4−α2)
4
= 1.
Nesse caso, a curva de n´ıvel α e´ uma el´ıpse com centro em (1, 1), semi-eixo maior paralelo ao
eixo-x, medindo 4− α2 e semi-eixo menor paralelo ao eixo-y, medindo (4− α
2)
4
.
c) Esboce o gra´fico de f .
Soluc¸a˜o. O gra´fico de f e´ o hemisfe´rio superior do elipso´ide de centro em (1, 1) obtido atrave´s
da rotac¸a˜o da el´ıpse
(x− 1)2
4
+ (y − 1)2 = 1
em torno da reta y = 1.
3a Questa˜o (2,0 pontos). Mostre que
lim
(x,y)→(0,0)
[
y · cos
(
1
x2 + y2
)]
= 0.
Soluc¸a˜o. Note que
1
x2 + y2
tende para +∞ quando (x, y)→ (0, 0). No entanto,
−1 ≤ cos
(
1
x2 + y2
)
≤ 1.
Logo,
−y ≤ y · cos
(
1
x2 + y2
)
≤ y
Segue, portanto, que quando (x, y)→ (0, 0), y → 0 e, consequentemente,
lim
(x,y)→(0,0)
[
y · cos
(
1
x2 + y2
)]
= 0.
3
4a Questa˜o (2,0 pontos). Mostre que
f(x, y) =
1
xy
, se x 6= 0 e y 6= 0,
0, se x = 0 ou y = 0.
na˜o e´ cont´ınua em (0, 0).
Soluc¸a˜o. Para mostrar que f na˜o e´ cont´ınua em (0, 0) vamos analisar o comportamento de f sobre
as retas y = x e y = −x, com x 6= 0. No primeiro caso, temos que f(x, x) = g(x) = 1
x2
. E´ fa´cil
ver que quando x → 0, f(x, x) → +∞. No segundo caso, temos que f(x,−x) = h(x) = − 1
x2
.
Nesse caso, f(x,−x) → −∞ quando x → 0. Logo, 6 ∃ lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) e, consequentemente, f na˜o
e´ cont´ınua em (0, 0).
Boa Sorte!
4