Apostila_Integral104

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Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 4 
 
 
 
 
Autores1: 
Ledina Lentz Pereira 
Cleide Regina Lentz 
Elisa Netto Zanette 
Evânio Ramos Nicoleit 
Sandra Regina da Silva Fabris 
 
SUMÁRIO 
� INTRODUÇÃO .................................................................................................................................................................................................................. 5 
� 1 O CÁLCULO INTEGRAL ............................................................................................................................................................................................ 7 
1.1 O cálculo Integral: alguns fatos históricos ......................................................................................................................................................... 7 
1.3 Redução ao absurdo ................................................................................................................................................................................................. 10 
1.4 O que é integração? ................................................................................................................................................................................................. 12 
� 2 INTEGRAL INDEFINIDA ....................................................................................................................................................................................... 12 
2.1 Primitiva ....................................................................................................................................................................................................................... 12 
2.2 Integral Indefinida .................................................................................................................................................................................................... 13 
2.3 Propriedades da Integral Indefinida.................................................................................................................................................................... 14 
2.4 Integrais Imediatas (Tabela de Integrais) ........................................................................................................................................................ 15 
Lista 1 de Atividades - Integral Indefinida ............................................................................................................................................... 18 
2.5 Integral por substituição ......................................................................................................................................................................................... 18 
Lista 2 de Atividades - Integral Indefinida ............................................................................................................................................... 26 
2.6 Integral por partes ................................................................................................................................................................................................... 27 
Lista 3 de Atividades - Integral Indefinida por partes ........................................................................................................................... 31 
Lista 4 de Atividades ..................................................................................................................................................................................... 32 
 
1
 Grupo de Pesquisa CNPq/Unesc em Educação a Distância na Graduação. Material didático em desenvolvimento e disponível no site www.ead.unesc.net/sitecalculo 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 5 
2.7 Integrais Trigonométricas ...................................................................................................................................................................................... 33 
2.7.1 Integração por transformação trigonométrica .............................................................................................................................. 33 
2.7.2 Integração por substituição trigonométrica ................................................................................................................................... 37 
Lista 5 de Atividades ..................................................................................................................................................................................... 41 
2.8 Integração de funções racionais por frações parciais ................................................................................................................................... 42 
Lista 6 de Atividades - Integração por frações parciais ......................................................................................................................... 53 
2.9 Integrais - Expressões cbxax ++2 ..................................................................................................................................................................... 54 
Lista 7 de Atividades - Completar Quadrado do Trinômio ..................................................................................................................... 58 
� 3 INTERGRAL DEFINIDA .......................................................................................................................................................................................... 60 
3.1 Introdução ................................................................................................................................................................................................................... 60 
3.2 Propriedades da integral definida: ...................................................................................................................................................................... 64 
Lista 8 de Atividades - Integral Definida .................................................................................................................................................. 64 
� 4 APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA ........................................................................................................................................................ 65 
4.1 Cálculo da área de uma figura plana .................................................................................................................................................................. 65 
Lista 9 de Atividades - Área de figuras planas ........................................................................................................................................ 70 
4.2 Cálculo do volume .................................................................................................................................................................................................... 72 
Lista 10 de Atividades - Volume ................................................................................................................................................................. 77 
4.3 Área da superfície de revolução ........................................................................................................................................................................... 78 
Lista 11 de Atividades - A área de superfície de revolução .................................................................................................................. 85 
4.4 Comprimento de arco ..............................................................................................................................................................................................85 
Lista 12 de Atividades: Comprimento de arco ......................................................................................................................................... 89 
4.5 Trabalho W .................................................................................................................................................................................................................. 89 
5.5.1 Trabalho com força variável ............................................................................................................................................................. 89 
Lista 13 de Atividades .................................................................................................................................................................................. 91 
4.6 Pressão hidrostática e força .................................................................................................................................................................................. 92 
4.7 Momentos e Centros de Massa ............................................................................................................................................................................. 94 
Lista 14 de Atividades .................................................................................................................................................................................. 96 
 
INTRODUÇÃO 
 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 6 
Para ANTON et.al (2006, p.1), um dos temas mais importantes do Cálculo é a análise das relações entre as quantidades físicas ou matemáticas. Estas 
relações podem ser descritas por gráficos, fórmulas, dados numéricos ou palavras. Estas relações matemáticas e físicas são definidas em sua maioria por 
funções – termo formalizado por Leibniz (1673) para indicar a dependência de uma quantidade em relação à outra. 
A idéia de função originou-se na resposta matemática a pergunta do tipo: É possível estar em dois lugares ao mesmo tempo? Desenvolveu-se com os 
estudos do italiano Galileu Galilei, no final do século XVI, a respeito do movimento dos corpos. Em qualquer movimento, seja de uma bola jogada que cai 
de um avião, de um animal no campo, ocorre uma relação especial entre dois conjuntos numéricos: de tempo e de espaço. A cada instante do primeiro 
conjunto vai corresponder uma, e somente uma posição de um determinado corpo em movimento. A partir desta idéia, o conceito de função foi sendo 
aplicado a todos os movimentos numéricos em que essa relação especial acontece. 
O desenvolvimento do Cálculo nos séculos XVII e XVIII foi motivado pela necessidade de entender os fenômenos físicos como as marés, as fases da Lua, 
a natureza da luz e a gravidade. Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem a forma como uma quantidade depende da outra. 
Quando o homem percebeu que na natureza tudo se transforma e se move, a representação matemática do movimento se tornou um problema para ser 
resolvido pelos matemáticos. 
Enquanto alguns procuraram desenvolver a representação numérica e algébrica, outros buscaram a representação geométrica. Algumas funções mais 
comuns: constante, polinomiais (1º grau, quadrática, cúbica,...), definida por várias sentenças, modular, exponencial, logarítmica, trigonométrica e, 
outras funções elementares (y=1/x,...). 
O estudo do cálculo baseia-se essencialmente no estudo de funções em determinados intervalos. 
São muitas, as situações vivenciadas no nosso cotidiano que são quantificadas por um intervalo numérico e não por um número apenas. Por exemplo, 
em muitas ruas das cidades brasileiras, a velocidade máxima permitida aos automóveis é de 50 km/h e está indicado em placas de sinalizações. Isto 
significa que eles podem se deslocar com velocidades que variam num intervalo entre 0 e 50 km/h. 
Estas situações podem ter várias alternativas. Responder com apenas um número não está errado, mas também não é totalmente correto. Para 
encontrar todas as possíveis soluções para esse tipo de problema, utiliza-se de intervalos numéricos. A partir disso, os matemáticos criaram as 
inequações. Surgem os conceitos de desigualdade (a<b; b>a;...). 
O estudo dos limites de uma função seja ela, contínua ou descontínua, permite ampliar nosso conhecimento sobre seu comportamento e pode nos 
revelar quais serão os limites dessa função, ou seja, quais são os valores da variável f(x) quando x se aproxima de um determinado número à direita e a 
esquerda. Para algumas funções o limite não existe quando x tende ao número a, mas para aquelas que existem, o limite é único quando x tende ao 
número a, ou seja, quando x tende ao número a, a função não poderá ter dois limites diferentes. 
Um exemplo de situação limite, citada por ANTON et.al (2006, p.101): A resistência do ar impede que a velocidade de um pára-quedista aumente 
indefinidamente. A velocidade tende a uma velocidade limite, chamada de “velocidade terminal”. 
As contribuições dos matemáticos para o nascimento do Cálculo são inúmeras. Muitos deles, mesmo que de forma imprecisa ou não rigorosa, já 
utilizavam conceitos do Cálculo para resolver vários problemas - por exemplo, Cavalieri, Barrow, Fermat e Kepler. Nesse tempo ainda não havia uma 
sistematização, no sentido de uma construção logicamente estruturada. 
A união das partes conhecidas e utilizadas até então, aliada ao desenvolvimento e aperfeiçoamento das técnicas, aconteceu com Newton e Leibniz que 
deram origem aos fundamentos mais importantes do Cálculo: as Derivadas e as Integrais. 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 7 
Muitas das idéias básicas do Cálculo originaram de dois problemas geométricos: o problema da reta tangente a um gráfico de uma função f em um 
ponto P; e o problema da área entre o gráfico de uma função f num intervalo [a.b] no eixo x. Para ANTON et.al (2006, p.101), tradicionalmente, a 
parte do Cálculo que se originou do problema da reta tangente é denominada Cálculo Diferencial e a que foi originada do problema de área é 
denominada Cálculo Integral. Entretanto, os dois problemas estão estreitamente relacionados e a distinção entre estas duas partes é artificial. 
O conceito de derivada está relacionado, geometricamente, com o conceito da reta tangente a uma curva. A noção de tangência é importante no 
cotidiano porque tem muitas aplicações. 
Muitos fenômenos físicos envolvem grandezas que variam como a velocidade de um foguete, a inflação de uma moeda, o número de bactérias em uma 
cultura, a intensidade do tremor de um terremoto, a voltagem de um sinal elétrico, etc. 
Um exemplo de aplicação, do ponto de vista da Dinâmica, é o conceito da velocidade escalar (instantânea). A velocidade escalar é uma derivada e a 
aceleração também é. Note que, tanto na velocidade escalar quanto na aceleração, a derivada é vista como uma taxa de variação, ou seja, é a medida 
da evolução de uma grandeza, quando uma outra, da qual ela depende, varia. A velocidade, por exemplo, é a taxa de variação do espaço percorrido por 
um objeto com relação ao tempo. 
A derivada é a ferramenta matemática utilizada para estudar a taxa de variação, ou seja, a taxa segundo a qual varia uma quantidade em relação a 
outra. O estudo de taxas de variação está bastante relacionado ao conceito geométrico de uma reta tangente a uma curva o que nos leva a encontrar a 
equação geral da reta tangente e a inclinação da reta. 
Matematicamente, afirmamos que a derivada da função f(x) no ponto da abscissa 0x , é o limite, se existir, da razão 
x
xfxxf
∆
−∆+ )()( 00 quando ∆x 
tende a zero e indicamos por: 
f′ ( 0x ) =0
lim
→∆x x
xfxxf
∆
−∆+ )()( 00 . Ou, f′ ( 0x ) = 
0
lim
xx→
0
0 )()(
xx
xfxf
−
−
. 
E, o valor f´(x0) encontrado é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função f(x) em estudo no ponto x0. Algumas notações de derivada de 
y ou f(x) em relação à x: Dxf(x) , Dxy , f′ (x) ou 
dy
dx
. 
A Integral nos permite resolver problemas de área de regiões planas com contornos curvilíneos que podem ser a área da função em relação ao eixo x, 
num determinado intervalo. O Teorema Fundamental do Cálculo relaciona os problemas de encontrar retas tangentes e áreas. Por exemplo, se 
conhecemos a velocidade de um carro de corrida durante um intervalo de tempo, podemos encontrar a distância percorrida neste intervalo. 
Vamos conhecer um pouco sobre a história da Integral! 
 
 
1 O CÁLCULO INTEGRAL 
 
1.1 O cálculo Integral: alguns fatos históricos 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 8 
Historicamente, foi a necessidade de calcular áreas de figuras planas com contornos curvos, que provocou o 
desenvolvimento da integral. Assim, no Cálculo, a integral de uma função foi criada, originalmente, para 
determinar a área de curvas. 
As primeiras idéias de integral, também conhecida como antiderivada, surgiram a partir da concepção 
geométrica de cálculo de áreas de figuras com o método da exaustão atribuído a Eudoxo (406-355 a.C.), 
desenvolvido e aperfeiçoado por Arquimedes (287-212 a.C.). 
A primeira tentativa de uma conceituação precisa foi feita por volta de 1820, pelo matemático francês Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Apesar de os 
estudos de Cauchy terem sido incompletos, foram muito importantes, porque deram início à investigação sobre os fundamentos do Cálculo Integral, 
levando ao desenvolvimento da Análise Matemática e da teoria das funções. 
Mais tarde, o conceito de integral foi sistematizado por Isaac Newton (1642-1727) e Wilhelm Leibniz (1646-1716) a partir das idéias e dos métodos 
desses cientistas, surgidos principalmente ao longo dos séculos XVI e XVII sendo os primórdios da chamada era da Ciência Moderna, que teve início com 
a Teoria heliocêntrica de Copérnico (1473-1543). 
Por volta de 1854, o matemático alemão Bernhard Riemann (1826-1866) realizou um estudo bem mais aprofundado sobre a integral e, em sua 
homenagem, a integral estudada por ele passou a receber o nome de Integral de Riemann. Posteriormente, outras integrais foram introduzidas no 
cálculo, como por exemplo, a Integral de Lebesgue. 
A forma mais utilizada para introduzir o conceito de Integral de Riemann nos cursos de Cálculo é a versão originária de Cauchy, por ser mais simples de 
compreensão. 
Nos cursos de Análise Matemática normalmente, utiliza-se o conceito da Integral de Darboux-Riemann, uma versão mais aprofundada do conceito. Neste 
caso, são trabalhados os conceitos de: soma inferior, soma superior, integral inferior e integral superior, que correspondem ao método de exaustão 
usando, respectivamente, polígonos inscritos e polígonos circunscritos. 
Hoje em dia o Cálculo Integral é largamente utilizado em várias áreas do conhecimento humano e aplicado para a solução de problemas não só de 
Matemática, mas de Física, Astronomia, Economia, Engenharia, Medicina, Química, por exemplo. 
Os conceitos e a aplicação de integral são importantes na resolução de diversos problemas, como de Física, por exemplo. Aplicamos o conceito de 
integral na determinação da posição em todos os instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade nestes instantes. 
Conhecendo um pouco mais da História da Integral2 
Os primeiros problemas que apareceram na História relacionados com as integrais são os problemas de quadratura. Um dos problemas mais antigos 
enfrentados pelos gregos foi o da medição de superfícies a fim de encontrar suas áreas. 
Quando os antigos geômetras começaram a estudar as áreas de figuras planas, eles as relacionavam com a área do quadrado, por ser essa a figura 
plana mais simples. Assim, buscavam encontrar um quadrado que tivesse área igual à da figura em questão. 
 
2
 Referência: Matemática Essencial. Disponível em: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/calculo/integral/integral.htm Acesso em: Nov 2008. 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 9 
A palavra quadratura é um termo antigo que se tornou sinônimo do processo de determinar áreas. Quadraturas que fascinavam os geômetras eram as 
de figuras curvilíneas, como o círculo, ou figuras limitadas por arcos de outras curvas. As lúnulas - regiões que se assemelham com a lua no seu quarto-
crescente - foram estudadas por Hipócrates de Chios, 440 a.C., que realizou as primeiras quadraturas da História. 
Antifon, por volta de 430 a.C., procurou encontrar a quadratura do círculo através de uma seqüência infinita de polígonos regulares inscritos: primeiro 
um quadrado, depois um octógono, em seguida um hexadecágono, e assim por diante. Havia, entretanto, um problema: essa seqüência nunca poderia 
ser concluída. Apesar disso, essa foi uma idéia genial que deu origem ao método da exaustão. 
A idéia básica do conceito de integral iniciou com o método da exaustão atribuído a Eudoxo (406-355 a.C.), desenvolvido e aperfeiçoado por 
Arquimedes (287-212 a.C.), grande matemático da escola de Alexandria. Em síntese, esse conceito representava a possibilidade de 
obter-se a área de uma figura plana irregular ou conseguir calcular o volume de um sólido com o formato de um barril. 
O método da exaustão consiste encontrar a área "exaurindo" a figura dada, por meio de outras figuras de áreas e volumes 
conhecidos. O caso mais conhecido é o famoso problema da quadratura do círculo. 
 
Neste problema, o objetivo é encontrar a área do círculo trabalhando com polígonos regulares inscritos, cuja área, conhecemos. Assim, parte-se do 
objetivo de encontrar um quadrado com a mesma área de um círculo de raio r dado. 
A primeira aproximação para a área do círculo é obtida pela área do quadrado inscrito no círculo. Acrescentando quatro triângulos isósceles a partir dos 
lados do quadrado inscrito de forma conveniente, obtemos o octógono regular inscrito no círculo, com uma área mais aproximada da à área do círculo 
que o quadrado inscrito. 
Acrescentando novos triângulos a cada lado que se forma, temos um polígono regular de 16 lados. Do ponto de vista geométrico, já nesta fase, 
temos a impressão do círculo estar exaurido. Entretanto, há pequenas áreas que não foram cobertas, ainda. 
Assim, de forma sucessiva, repetimos o processo dos novos triângulos até obter aproximações cada vez melhores para a área do círculo, por meio de 
polígonos regulares inscritos de 2n lados. 
Usando um procedimento similar ao método da exaustão, com polígonos inscritos e circunscritos, Arquimedes calculou a área do círculo de raio unitário 
(r=1) mostrando que a área A (=Pi) está compreendida entre 3 +10/71 = 3,140845 < A < 3 + 1/7 = 3,142857. 
O inconveniente do método de exaustão de Arquimedes é que, para cada novo problema, havia a necessidade de um 
tipo particular de aproximação. Mas, se constituiu numa das maiores contribuições gregas para o Cálculo e surgiu 
por volta do ano 225 a.C. Trata-se de um teorema de Arquimedes para a quadratura da parábola. 
Para obter a área de uma região localizada sob um segmento de parábola ACB, Arquimedes usou, como primeira 
aproximação, o triângulo ABC. Neste caso, C foi tomado de modo que a reta tangente à parábola que passa pelo ponto C 
seja paralela à reta AB. 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais10 
 
De modo semelhante, são escolhidos, o ponto D e o ponto E, e construídos os triângulos ACD e BCE. 
 
 
Na seqüência, foram construídos mais triângulos com as mesmas propriedades que os outros obtidos nos passos anteriores. 
 
Note que os triângulos inscritos estão exaurindo a área da região parabólica. 
Historicamente, as experiências desses pesquisadores foram importantes nas definições e conceitos dos elementos matemáticos. 
Outras "integrações" foram realizadas por Arquimedes a fim de encontrar o volume da esfera e a área da superfície esférica, o volume do cone e a área 
da superfície cônica, a área da região limitada por uma elipse, o volume de um parabolóide de revolução e o volume de um hiperbolóide de revolução. 
Em seus cálculos, Arquimedes encontrava somas com um número infinito de parcelas. O argumento utilizado era a dupla reductio ad absurdum para 
"escapar" da situação incômoda. Basicamente, se não podia ser nem maior, nem menor, tinha que ser igual. 
 
1.3 Redução ao absurdo 
A contribuição seguinte para o Cálculo Integral apareceu somente ao final do século XVI quando a Mecânica levou vários matemáticos a examinar 
problemas relacionados com o centro de gravidade. Em 1606, em Roma, Luca Valerio publicou “De quadratura parábola” e onde utilizou o mesmo 
método grego para resolver problemas de cálculo de áreas desse tipo. 
Os próximos matemáticos que tiveram grande contribuição para o nascimento do Cálculo Integral foram Fermat e Cavalieri. Em sua obra mais conhecida, 
Geometria indivisibilibus continuorum nova, Cavalieri desenvolveu a idéia de Kepler sobre quantidades infinitamente pequenas. 
Aparentemente, Cavalieri pensou na área como uma soma infinita de componentes ou segmentos "indivisíveis". Ele mostrou, usando os seus métodos, o 
que hoje em dia escrevemos: 
c
n
xdxx
n
n +
+
=
+
∫ 1
1
. 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 11 
Todo o processo geométrico desenvolvido por Cavalieri foi então aritmetizado por Wallis. Em 1655, em seu trabalho Arithmetica infinitorum, Wallis 
desenvolveu princípios de indução e interpolação que o levaram a encontrar diversos resultados importantes, entre eles, a antecipação de parte do 
trabalho de Euler dobre a função gamma. 
O problema do movimento estava sendo estudado desde a época de Galileo. Tanto Torricelli como Barrow consideraram o problema do movimento com 
velocidades variadas. Embora Barrow nunca tenha enunciado formalmente o Teorema Fundamental do Cálculo, estava trabalhando em direção a esse 
resultado; foi Newton, entretanto, quem, continuando na mesma direção, formulou o teorema. 
 
 que permitiu a passagem do método de exaustão para o conceito de integral foi a percepção que, em certos casos, a área da região pode ser 
calculada sempre com o mesmo tipo de aproximação por retângulos. 
 
Esta foi uma descoberta conceitual importante, mas, em termos práticos, a descoberta fundamental foi a possibilidade de exprimir a integral de uma 
função em termos de uma primitiva da função dada e esse fato é conhecido pelo nome de Teorema Fundamental do Cálculo. 
Newton continuou o trabalho de Barrow e Galileo sobre o estudo do movimento dos corpos e desenvolveu o Cálculo aproximadamente dez anos antes de 
Leibniz. Ele desenvolveu os métodos das fluxions - derivação - e fluents - integração - e utilizou-os na construção da mecânica clássica. 
Para Newton, a integração consistia em achar fluents para um dado fluxion considerando, desta maneira, a integração como inversa da derivação. Com 
efeito, Newton sabia que a derivada da velocidade, por exemplo, era a aceleração e a integral da aceleração era a velocidade. 
Newton representava as integrais por um acento grave acima da letra em questão, por exemplo, a integral de y era representada por y´. 
Leibniz, diferentemente de Newton, usava a integração como uma soma, de uma maneira bastante parecida à de Cavalieri. Daí vem o símbolo ∫ - um 
's' longo - para representar summa. 
Segundo ele, "represento a área de uma figura pela soma das áreas de todos os retângulos infinitesimais definidos pelas ordenadas e pelas diferenças 
entre as abscissas... e, portanto eu represento em meu cálculo a área da figura por ∫ dxy. ". 
Os trabalhos de Leibniz sobre o Cálculo Integral foram publicados em 1684 e em 1686 sob o nome Calculus Summatorius. O nome Cálculo Integral foi 
criado por Johann Bernoulli e publicado pela primeira vez por seu irmão mais velho Jacques Bernoulli em 1690. 
O
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 12 
Principalmente como conseqüência do Teorema Fundamental do Cálculo de Newton, as integrais foram simplesmente vistas como derivadas "reversas". 
Na mesma época da publicação das tabelas de integrais de Newton, Johann Bernoulli descobriu processos sistemáticos para integrar todas as funções 
racionais, que é chamado método das frações parciais. Essas idéias foram resumidas por Leonard Euler, na sua obra sobre integrais. 
Após o estabelecimento do Cálculo, Euler daria continuidade ao estudo de funções - ainda prematuro na época - juntamente com Cauchy, Gauss e 
Riemann. Foi Euler, entretanto, quem reuniu todo o conhecimento até então desenvolvido e criou os fundamentos da Análise. 
 
1.4 O que é integração? 
 processo do cálculo da integral de uma função é chamado de integração. Existem várias definições para a integração. Assim, o conceito de 
integral pode ser introduzido de várias formas, todas elas tendo em comum a mesma idéia geométrica, mas que se diferenciam pelo rigor 
matemático utilizado. Em algumas áreas do conhecimento, como a Análise Matemática, esse conceito é apresentado em grau maior de 
complexidade. No Cálculo, em geral, o conceito é apresentado de forma menos rigorosa ou formal com o objetivo de simplificar e ampliar a sua 
compreensão. 
Independente da forma como o conceito de integral é apresentado, todos apresentam a mesma resposta para o resultado final de uma integração e 
objetivam resolver alguns problemas conceituais relacionadas a limites, continuidade e existência de certos processos utilizados na definição. 
Vamos, inicialmente, trabalhar como uma definição, também conhecida como integral indefinida. 
 
2 INTEGRAL INDEFINIDA 
amos conhecer alguns conceitos associados a integral indefinida. 
2.1 Primitiva 
 
Conceito Uma função P(x) é chamada primitiva de uma função ( )xfy = num intervalo I, se para todo x ∈ I temos P′ (x) = f(x). 
Observe o seguinte problema: 
 
1º exemplo: 
Dada à função ( ) 2xxf = , encontre uma função P(x) tal que P′(x) = f(x). 
Resolução: 
Para resolver este problema, devemos encontrar uma função cuja derivada é f(x) = x2. 
O
V 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 13 
Assim, ( ) 3
3
1
x
xP = é uma função que satisfaz o problema, pois: 
� ( ) ( )xfxxxP ==
′






=
′ 2
3
1 3 ; 
� ( ) 1
3
3
2 +=
x
xP também satisfaz pois, ( ) ( )xfxxxP ==
′






+=′ 2
3
2 13
 
Observe que outras funções, também satisfazem o problema: 
� ( ) 33
3
3 −=
x
xP 
� ( ) 3
2
3
3
4 −=
x
xP 
� 1000
3
3
5 +=
xP 
Em geral: ( ) cxxP += 3
3
, onde c é uma constante, satisfaz o problema, pois ( ) ( )xfxcxxP ==
′






+=′ 2
3
3
. 
Resposta: ( ) cxxPi += 3
3
 são primitivas da função f(x) = 
2xy = . 
Note que: Este exemplo mostra que uma função pode ter muitas primitivas. De fato, se P(x) é uma primitiva de f(x)e C é uma constante, então P(x) 
+C também é primitiva de f(x), pois: [ ] ).(0)('')( xfxPCxP =+=+ 
 
2.2 Integral Indefinida 
 
 
Conceito Seja ( )xfy = uma função e ( )xP tal que ( ) ( )xfxP =′ , uma primitiva de ( )xf . 
Definimos a integral indefinida de ( )xfy = , denotado por ∫ dxxf )( , por: 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 14 
( ) ( ) cxPdxxf +=∫ 
Ou: 
Se P(x) é uma função primitiva de f(x) + C se chama Integral Indefinida desta função e é denotada por: ∫ += cxPdxxf )()( . Onde c é uma constante e 
P’(x) = f (x). Lê: se: a integral indefinida de f(x) é P(x) + c, onde c é constante e P(x) é uma primitiva de f(x). 
 
De acordo com essa notação ∫ (forma de um S alongado) é chamado sinal da integração. 
Da definição de integral indefinida segue que: 
a) ∫ += CxFdxxf ).()( se e somente se F’(x)=f(x). 
b) ∫ dxxf )( representa uma família de funções: a família de todas as primitivas da função integrando. 
c) [ ]')(∫ dxxf = f(x). 
d) [ ]∫ dxxf )( = f(x)dx. 
2º exemplo 
(a) Se f(x) = ex então a integral indefinida de f(x) é (ex + c) e indicamos por cedxe xx +=∫ porque a derivada de ex é a própria ex. (eu)´=eu. u´ 
(b) Se f(x) =x3 então a integral indefinida de f(x) é (
4
4
x
+ c) e indicamos por ∫ += c
xdxx
4
4
3
 
(c) ∫ dxx)(cos = sen x + C porque (sen x)’ = cos x. 
2.3 Propriedades da Integral Indefinida 
 
As propriedades são ferramentas importantes no cálculo das integrais pois simplificam nosso trabalho. Vamos conhecer duas dessas propriedades! 
 
(a) Integral da soma de funções 
 
( ) ( )( ) ( ) ( )dxxgdxxfdxxgxf ∫∫∫ +=+ 
A integral de uma soma é a soma das integrais 
 
3º exemplo Se f(x) = ex + x2 então, 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 15 
( )∫ + 2xex 2312 3 cxcedxxdxedx xx +++=+= ∫∫ ( )21
3
3
cc
x
ex +++= c
x
ex ++=
3
3
 →→→→ Observe que c1 + c2 é também uma constante, então fazemos c1 + c2 = c. 
 
 
(b) Integral do produto de uma constante por uma função 
 
( ) ( )∫ ∫= dxxfcdxxfc 
A integral indefinida do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela integral indefinida da função. 
 
4º exemplo 
(a) Se f(x) = 2 ex então, ( ) cececedxedxe xxxx +=+=+== ∫∫ 222222 112 
(b) Se f(x) = -5 x2 então, 
c
x
c
x
c
xdxxdxx +=−=





+−=−=− ∫∫ 3
5
33
555
3
1
3
1
3
22 
2.4 Integrais Imediatas (Tabela de Integrais) 
 
Das propriedades definidas decorrem fórmulas de integração de várias funções que são, em geral, organizadas em tabelas, conhecidas como tabela de 
integrais. Estas tabelas são muito úteis e práticas e você irá utilizar com freqüência na resolução de problemas que envolvem as integrais. 
(1) ∫ += cxdx 
(2) c
n
xdxx
n
n +
+
=
+
∫ 1
1
, se 1−≠n 
(3) cedxe xx +=∫ 
(4) c
a
adxa
x
x +=∫ ln
 
(5) cx
x
dx
+=∫ ln 
 
Vamos aplicar as fórmulas da tabela, nos exemplos a seguir. 
 
5º exemplo 
Calcule as Integrais indefinidas, das funções: 
a) f(x) = x + 2 
Resolução: 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 16 
( ) =+∫ dxx 2 → aplicamos a propriedade da soma; 
∫ ∫ =+ dxxdx 2 → aplicamos a propriedade do produto por uma constante; 
∫ ∫ =+ dxxdx 2 → aplicamos as fórmulas da tabela (Fórmulas 2 e 1); 
 
cx
x
++ 2
2
2
 → resultado. 
b) f(x) = (x2 + 1)2 
Resolução: 
( ) =+∫ dxx 22 1 → desenvolvemos o quadrado da soma; 
( )dxxx∫ ++ 12 24 → aplicamos a propriedade da soma; 
∫∫∫ ++ dxdxxdxx
24 2 → produto pela constante; 
∫∫∫ ++ dxdxxdxx
24 2 → aplicamos as fórmulas da tabela; 
cx
xx
+++
3
2
5
35
 → resultado. 
c) f(x) = (
xx
x
12
3 +− ) 
Resolução: 
dx
xx
x∫ 




+−
12
3 → aplicamos a propriedade da soma; 
∫∫∫ +− x
dxdx
x
dxx 3
2
→ transformamos a raiz do 1º termo em potência. No 2º termo, escrevemos a potência com expoente fracionário. 
∫∫ ∫ +−=
−
x
dxdxxdxx 32
1
2 → aplicamos as fórmulas da tabela; 
cx
xx
++−=
−
ln
2
2
2
3
22
3
= cx
x
x +++ ln1
3
2
2
3 => resultado. 
d) dxxx2∫ 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 17 
Resolução: 
dxxx2∫ = dxxx 2
1
2
.∫ → aplicamos a propriedade de potência→ bases iguais 
dxx∫
+
2
12
= dxx∫ 2
5
⇒ aplicamos fórmula 2 de nossa tabela. 
= c
x
+
2
7
2
7
 = cx +2
7
.
7
2
 ou cx +7.
7
2
 ou cxx +3.
7
2
 => resposta final. 
e) dxxx3∫ 
Resolução: 
dxxx3∫ = dxxx 3
1
.∫ = dxx∫ 3
4
⇒ aplicamos a fórmula 2 da tabela. 
= c
x
+
3
7
3
7
= cx +3
7
.
7
3
 => reposta final. 
 
f) 
( )
∫
++
x
dx2xx2
 
Resolução: ( )
∫
++
x
dx2xx2
 => aplicando a propriedade da soma de funções e após do produto do 3º termo da expressão. 
= ∫ ∫∫ ++ dxx
dx
x
xdx
x
x 22
= ∫ ∫∫ ++
−
x
dxdxdxxx 21.. 12 = 
= ∫ ∫∫ ++ x
dxdxdxx 2. ⇒ aplicando as fórmulas (2,1,5) da tabela. 
= cxx
x
+++ ln2
2
2
. => resposta final. 
 
 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 18 
Lista 1 de Atividades - Integral Indefinida 
 
Calcule a integral indefinida, consultando a tabela de integrais imediatas e as propriedades: 
 
(1) ∫ xdx5 
(2) dxx∫−
2 
(3) dxx∫ 
(4) dxx∫ 32 
(5) ∫ 2x
dx
 
(6) dx
x∫
2
 
(7) dxx∫5 
(8) dxe x∫ ⋅5 
(9) ( )dxxx∫ +− 12 
(10) ( ) dxx∫ − 21 
(11) ∫ 





 +++ dx
x
xxx 135
 
(12) dxx∫ 3
3
 
(13) dxx
x
x∫ 





+− 32 42 
(14) ( ) ( )dxxx 12 2 +−∫ 
(15) dxx
x
e
x
∫ 





+− 5
3
 
(16) ( )( )dxxx 21 23 +−∫ 
(17) dxx
x
x∫ 





+− 23
3 43 
(18) dx
x
xx
∫ 4 3
3
 
(19) dx
x
x
x
x∫ 






++− 343 24
2 
(20) ( )( ) dxxxx 22 14 −−∫ 
 
Vamos conhecer os métodos de integração! 
2.5 Integral por substituição 
 
O cálculo da integral indefinida nem sempre é possível com a aplicação da tabela de integrais imediatas. Porém este cálculo, às vezes se torna possível, 
através de uma substituição conveniente da variável inicial. 
 
Sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F’(x) = f(x). Suponhamos que g seja outra função derivável tal que a imagem de g esteja contida no domínio de 
F. Podemos considerar a função composta Fog. 
Pela regra da cadeia: 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 19 
[ ] ='))(( xgF )('))(()('))((' xgxgfxgxgF ×=× , isto é, ))(( xgF é uma primitiva de ).('))(( xgxgf × Temos, então: 
 ∫ +=× .))(()('))(( cxgFdxxgxgf 
Fazendo u= g(x); du= g’(x) dx e substituindo: 
 ∫ ∫ +==× .)()()('))(( cuFduufdxxgxgf 
Na prática, devemos definir uma função u = g(x) conveniente, de tal forma que a integral obtida seja a mais simples possível. 
 
Vamos conhecer alguns exemplos! 
 
6º exemplo 
Calcule ∫ +1x
dx
. 
Resolução: 
O primeiro passo é definir qual dos termos será a nossa função u. Neste caso escolhemos o termo (x + 1) como u. Para encontrar du é só derivar a 
função u. Assim, fazemos: 
1+=xu e temos 
( )dxxuud ′= = dx1 
Então, 
∫∫ =+ u
du
x
dx
1
 => agora é só aplicar a fórmula da tabela que se aplica a resolução dessa equação (fórmula 5) e temos: 
∫ u
du
 cu += ln => próximo passo é substituir u pelo valor inicial de x ou seja, retornamos à variável inicial x e obtemos: 
cx
x
dx
++=
+∫
1ln
1
=> resposta final. 
 
 
 
 
 
 
 
 
7º exemplo: Calcule as Integrais: 
Observação importante: Como cx
x
dx
+=∫ ln , então toda integral 
que puder ser reduzida a esta forma (o numerador é a derivada do 
denominador) se calculará a integral como segue. 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 20 
a) ∫
− x
dx
1
 
Resolução: Fazendo u= (1-x) e udu ′= temos 
du = (0 – 1) dx= -dx. Então dx=-du 
Substituindo na integral obtemos: 
∫ ∫ +−=−=
−
cu
u
du
x
dx ln
1
= cx +−− 1ln => resposta final. 
b) ∫
− 4x
dx
. 
Resolução: Fazendo tx =− 4 , temos dtdx = 
 
Substituindo na integral obtemos: 
 
∫ ∫ +==
−
ct
t
dt
x
dx ln
4
= cx +− 4ln => resposta final. 
c) ∫
−
21 x
xdx
. 
Resolução: 
Fazendo 21 xu −= temos 
xdxdxxdu 2)20( −=−= . Se xdxdu 2−= então duxdx
2
1−
= . 
Substituindo na integral obtemos: 
 
∫∫∫
−
=
−
=
−
u
du
u
du
x
xdx
2
1
2
1
1 2
= cu +
− ln
2
1
= cx +−
− 21ln
2
1
=> resposta final. 
 
8º exemplo 
Calcule as derivadas: 
(a) dxe x∫
+3 
Resolução: Fazendo 3+= xu e 1=′u então dxdu = . 
Substituindo na integral obtemos: 
 
ceduedxe uux +== ∫∫
+3 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 21 
Voltando a variável inicial obtém-se: cedxe xx += ++∫
33 => resposta final. 
 
(b) dxex x 32
3 +
∫ 
Resolução: Fazendo 33 += xu e udu ′= então 
dxxdu 23= . Assim, dxxdu 2
3
= 
Substituindo na integral obtemos: 
=
+
∫ dxex
x 32 3
=∫
+ dxxex 23)( 3 ceduedue uuu +==⋅ ∫∫ 3
1
3
1
3
 
Voltando a variável inicial: dxex x 32
3 +
∫ = ce
x ++3
3
3
1
=> resposta final. 
 
(c) dx
xx
x
∫ 





+
+
2
12
 
Resolução: Fazendo xxu += 2 então 
( )dxxdu 12 += . 
Substituindo na integral obtemos: 
 
=





+
+
∫ dxxx
x
2
12
cu
u
du
+=∫ ln 
Voltando à variável inicial: ∫ ++=





+
+
cxxdx
xx
x 2
2 ln
12
=> resposta final. 
 
(d) ∫ =+ dxxxx ³)5³2²(cos 
Resolução: => Inicialmente, multiplicamos x2 por cada termo da expressão. Após, aplicamos a propriedade da soma e do produto e obtemos: 
∫ ∫ =+ dxxxdxxx ²³.5²³.2cos ∫ ∫ =+ dxxdxxx
55²³).2(cos => Note que, integramos por substituição o 1º termo somente. No 2º termo, integramos aplicando a 
fórmula 5 da tabela de fórmulas. Assim, fazemos: 
u = 2x³ e temos du = 6x2. Portanto dxxdu ²
6
= ; 
Substituindo na integral obtemos: 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 22 
 
∫ ∫+ dxxduu
55)(cos
6
1
= 
∫ ∫+ dxxduu
55)(cos
6
1
 → como (sen x)´= cos x dx então ∫ += csenxxdxcos c
x
usen ++
6
5)(
6
1 6
= cxusen ++ 6
6
5)(
6
1
=> substituindo u pelo seu valor; 
.
6
5
³)2(
6
1 6 cxxsen ++ => resposta. 
 
 
(e) ∫ +
+ dx
xx
x
4
1³
4 => Resolução: => fazendo u= x
4 +4x obtemos 
du = 4x3 + 4 = 4(x3+1). Logo dxxdu )1³(
4
+= ; 
Substituindo na integral obtemos: 
∫ =u
du
4
∫ =u
dx
4
1
∫ u
du
4
1
 =>substituímos pela fórmula 5 da tabela; 
=+ culn
4
1
 => substituindo u pelo seu valor; 
.4ln
4
1 4 cxx ++ => resposta. 
(f) ∫ =
−
− dx
x
x
²1
35
 
Resolução: => Iniciamos com a separação dos termos da expressão transformando em subtração de duas frações; 
∫ =
−
−
−
dx
xx
x )
²1
3
²1
5( ∫ ∫
−
−
− ²1
3
²1
5
x
dx
x
xdx
=> 
Vamos integrar os termos separados e depois agrupamos: 
1º termo: Fazemos 21 xu −= e obtemos du = (0 – 2x) dx = -2xdx e, então: 
 xdxdu =−
2
. 
Substituindo na integral do 1º termo, obtemos: 
∫
− ²1
5
x
xdx
= ∫
−
u
du
2
15 = ∫
−
u
du
2
5
= cu +
− ln
2
5
=> substituindo u pelo seu valor, obtemos cx +−
− 21ln
2
5
 Resposta parcial (1) 
 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 23 
2º termo: Para encontrar a integral deste termo, necessitamos de aplicação de nova formula de integração. 
∫ +
−
+
=
−
c
ua
ua
aua
du ln
2
1
22 
Assim, fazemos 1 = a2 então a= 1 = 1 e se 
 x2=u2 então u = x. Assim, se 
dx=du temos (1-x2) = (a2-u2). 
=> fazendo as substituições de u e du encontramos: 
 
∫
−
−
²1
3
x
dx
= ∫
−
−
²
3 2 ua
du
=> aplicando a fórmula acima em destaque, temos: 
∫
−
−
²
3 2 ua
du
 = c
ua
ua
a
+
−
+
− ln
2
13 => substituindo u e a pelos seus valores, encontramos: c
x
x
+
−
+
−
1
1ln
2
3
 Resposta parcial (2) 
Resposta: Rp (1) + Rp (2) => ∫ =
−
− dx
x
x
²1
35
 
21ln
2
5
x−
−
c
x
x
+
−
+
−
1
1ln
2
3
 
 
(g) ∫
−
66
²7
x
dxx
 
Resolução: 
=> Aplicando a propriedade do produto encontramos ∫
−
66
²7
x
dxx
. 
Fazendo u2 = x6 temos u = 
6x = x3. Assim, se 
u = x3, du= 3x2dx e dxxdu 2
3
= 
a2 = 6 então a = 6 
 
=> Substituindo os termos encontrados na integral, obtemos: 
∫ =
−
66
²7
x
dxx
 ∫
−
22
37
ua
du
= ∫
−
223
17
ua
du
= ∫
−
223
7
ua
du
 
 
=> Aplicamos a fórmula da integral ∫ +
−
+
=
−
c
ua
ua
aua
du ln
2
1
22 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 24 
 
=>Obtemos ∫ =
− ²²3
7
ua
du
c
ua
ua
a
+
−
+ln
2
1
3
7
 => substituir os valores de a e u; 
 
∫
−
66
²7
x
dxx
= .
³6
³6ln
66
7
c
x
x
+
−
+
 => resultado. 
 
(h) ∫ =++ 136² xx
dx
 
Resolução: => para resolver está integral utilizamos o artifício de encontrar o quadrado de uma soma de dois termos no denominador. Para isso, 
completamos adequadamente o quadrado do denominador; 
 
=> x²+6x+13 = x²+2.3x+9–9+13 = (x2+2.3x+9)-9+13=(x+3)2+4 
 
Portanto, 
∫ =++ 136² xx
dx
 ∫ ++
.
4)²3(x
dx
 
 
Fazendo u2 = (x + 3)2 temos u = x+3 e du=dx. 
Fazendo a2 = 4 temos a = 2. 
 
=> Substituindo os termos encontrados na integral, obtemos: 
 
∫ ++ 4)²3(x
dx
= ∫ + ²² au
du
 
=> Aplicamos a fórmula da integral ∫ +=+
− c
a
u
tg
aua
du 1
22
1
 
 
=> Obtemos c
a
u
tg
a
+−1
1
. Substituindo os valores de a e u¸ encontramos: 
c
x
tg ++−
2
3
2
1 1 . Como tg-1 representa arc tg, nossa resposta é: 
 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 25 
∫ =++ 136² xx
dx
.
2
3
2
1
c
x
arctg ++ 
 
Você pode desenvolver a integral de forma mais simplificada, ou seja: 
∫ =++136² xx
dx
∫ ++ 4)²3(x
dx
= ∫ + ²² au
du
= c
a
u
tg
a
+−1
1
= .2
3
2
1
c
x
arctg ++ 
=> resposta 
 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 26 
 
Vimos no desenvolvimento dos exemplos, mais fórmulas de integrais. Vamos atualizar nossa tabela! 
 
(1) ∫ += cxdx ou ∫ += cudu 
(2) c
n
xdxx
n
n +
+
=
+
∫ 1
1
, se 1−≠n ou 
c
u
uduu
n
n +
+
=
+
∫ 1
1
 
(3) cedxe xx +=∫ ou cedne nn +=∫ 
(4) c
a
adxa
x
x +=∫ ln
 ou c
a
adua
n
n +=∫ ln 
(5) cx
x
dx
+=∫ ln ou cuu
du
+=∫ ln 
 
 
(6) cuduusen +−=∫ )cos()( 
(7) cusenduu +=∫ )()cos( 
(8) ∫ +
−
+
=
−
c
ua
ua
aua
du ln
2
1
22 
(9) ∫ +=+
− c
a
u
tg
aua
du 1
22
1
 ou 
 
(9) ∫ +=+ ca
u
arctg
aua
du 1
22 
 
Lista 2 de Atividades - Integral Indefinida 
1. Calcule as integrais abaixo, utilizando o método da substituição. 
1) dx
x
x
∫ + 21
2
 
2) xdxx cos.sen 2∫ 
3) ∫
−
8)53( x
dx
 
4) dxxx )3sec( 2∫ + 
5) ∫ =+− )44²( xx
dx
 
 
 
6) dxxxx )12()322( 102 +−+∫ 
7) dxxx 27
1
3 )2(∫ − 
8) ∫
−
5 2 )1(x
xdx
 
9) dxxx∫ − 2345 
10) dxxx∫ + 42 2 
 
 
 
 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 27 
Vamos ver o próximo método de integração: a Integral por Partes. 
2.6 Integral por partes 
 
A integração por partes é um processo que utiliza a fórmula da derivada do produto de duas funções ( ) uxu = e ( ) vxv = . 
Como ( ) vduudvvud +=⋅ , isolando udv , temos: 
 ( ) vduuvdudv −= 
Integrando membro a membro, obtemos: 
∫ ∫−= vduuvudv 
 
Esta é a fórmula do método de Integral por Partes →→→→ ∫ ∫−= vduuvudv . 
 
É aplicada para integrar algumas funções do tipo udv , isto é, aquelas onde é possível reconhecer o produto de uma função ( )xu pela diferencial de 
outra função dv (facilmente integrável). 
 
Vamos identificar essa aplicação no exemplo a seguir! 
 
Exemplo 1 
Determine a integral da função f(x) = x ln x, ou seja, calcule ∫ xdxx ln . 
Resolução: Atribuído para u o valor de ln x e para dv o valor de xdx, calculamos o valor de du (derivando o u) e o valor de v (integrando dv). 
Assim, considerando
{ {
dvu
xdxx ⋅∫ ln temos: 






==⇒=
=⇒=
∫ 2
ln
2x
xdxvxdxdv
x
dxduxu
Lembre-se que (ln x)´= dx
x
1
 
Aplicando a fórmula: 
∫ ∫ ⋅−⋅= duvvuudv ⇒ obtemos, 
{ {
dvu
xdxx ⋅∫ ln = x
dxx
x
x
∫− 2ln2
22
⇒ simplificando o integrando temos: 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 28 
 ∫−= xdxx
x
2
1ln
2
2
 ⇒ resolvendo à integral, temos; 
 
c
x
x
x
xdxx +−=⋅∫ 2
.
2
1ln
2
ln
22
 ⇒simplificando 
c
x
x
x
xdxx +−=⋅∫ 4
ln
2
ln
22
⇒resultado 
 
Exemplo 2 
Determine a integral indefinida da função dxex x∫
−
⋅
2 . 
Resolvendo: Fazendo u = x e dv= dxe x2− , calculamos o valor de du, derivando u, isto é: 
dxduxu =⇒= 
 Para calcular o v é necessário integrarmos por substituição o dv, observe: 
∫
−
−
=
=
dxev
dxedv
x
x
2
2
 => faça y = -2x, 
Derivando y=-2x 
temos: 
dxdy
dxdy
xy
=
−
−=
−=
2
2
2
 
Logo nosso v será: 
 
∫∫ −=
−
= dyedyev yy
2
1
2 => 
xy eev 2
2
1
2
1
−
−=⋅−=
 
Agora que temos nosso u, du, v e dv; podemos aplicar a fórmula da integração por partes: 
∫ ∫ ⋅−⋅=⋅
− duvvudxex x2 = 
∫ ∫
−−−
⋅





−−⋅





−⋅=⋅





−⋅ dxeexdxex xxx 222
2
1
2
1
2
1
= => aplicando a propriedade do produto; 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 29 
∫ ∫
−−−






−−⋅





−⋅=⋅ dxeexdxex xxx 222
2
1
2
1
= => calculando a integral; 
∫ +⋅





−+⋅−=⋅ −−− Ceexdxex xxx 222
2
1
2
1
2
1
 => simplificando a expressão; 
∫ +−⋅−=⋅
−−− Ceexdxex xxx 222
4
1
2
1
 => resultado. 
 
Exemplo 3 
Determine a integral indefinida da função ∫ =dxxx
26 )(ln . 
 
Resolvendo: Fazendo u =lnx e dv= dxx6 , calculamos o valor de du, derivando u, isto é: 
 dx
x
duxu 1ln =⇒= 
Para calcular o v é necessário integrarmos por substituição o dv, observe: 
∫ ==
=
dxxv
dxxdv
6
6
 
Logo nosso v será: 
∫∫ =+
==
+16
6
16
xdxxv
 => 7
7x
v =
 
Agora que temos nosso u, du, v e dv; podemos aplicar a fórmula da integração por partes: 
∫ ∫ ⋅−⋅= duvvudxxx )²(ln6 = 
= ∫ =− dxx
xx
x
1
.
77
.ln
77
 => resolvendo à integral; 
= ∫ =− dxxxx
x )(ln
7
2)².(ln
7
6
7
 => simplificando o integrando temos; 
= =





−− ∫ dxx
xx
xx
x 1
.
77
).(ln
7
2)²(ln
7
777
 => aplicar novamente u e dv; 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 30 
= =+





−− c
xx
xx
x
7
.
7
1
7
)(ln
7
2)²(ln
7
777
 => simplificando; 
= .
497
)(ln
7
2)²(ln
7
777
c
xx
xx
x
+





−− => resposta. 
 
Exemplo 4 
Determine a integral indefinida da função ∫ =− xdxx ²seccos)1( . 
Resolvendo: Fazendo u =x-1 e dv= xdx²seccos , calculamos o valor de du derivando u, isto é: 
dxduxu =⇒−= 1 
Para calcular o v é necessário integrarmos por substituição o dv, observe: 
∫ ==
=
xdxv
xdxdv
²seccos
²seccos
 
Logo nosso v será: .cot gxv −= 
Agora que temos nosso u, du, v e dv; podemos aplicar a fórmula da integração por partes: 
∫ ∫ ⋅−⋅=− duvvudxxx ²seccos)1( = 
= ∫ =−−−− dxgxgxx .cotcot).1( => simplificando à integral; 
= ∫ =+−− gxdxgxx cotcot).1( => resolvendo; 
= .lncot).1( csenxgxx ++−− => resposta. 
 
Exemplo 5 
Determine a integral indefinida da função ∫ =dxx
x5² . 
Resolvendo: Fazendo u =x 2 e dv=5 dxx , calculamos o valor de du derivando u, isto é: 
xdxduxu 2² =⇒= 
Para calcular o v é necessário integrarmos por substituição o dv, observe: 
∫ ==
=
dxv
dxdv
x
x
5
5
 
Logo nosso v será: 
5ln
5x
v = 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 31 
Agora que temos nosso u, du, v e dv; podemos aplicar a fórmula da integração por partes: 
∫ ∫ ⋅−⋅= duvvudxx
x5² = 
= ∫ =− xdxx
xx
2.
5ln
5
5ln
5
². 
=> simplificando à integral; 
= ∫ =− dx
x x
x
5
5ln
2
5ln
5.2
 => resolvendo; 
= =





−− ∫ dx
xx xxx
5ln
5
5ln
5.
5ln
2
5ln
52
 => integrar por partes novamente; 
= =





−−
5ln
5
.
5ln
1
5ln
5.
5ln
2
5ln
52 xxx xx
 => resolvendo aintegral; 
= .)³5(ln
5.2
)²5(ln
52
5ln
52
c
xx xxx
++− 
=> resposta. 
 
Lista 3 de Atividades - Integral Indefinida por partes 
1 Calcule as integrais 
 
(a) dxex x∫ ⋅ (b) dxex
x
∫
−
⋅ 
(c) dxex x∫ ⋅
2 (d) ( ) dxxex 21+∫ 
 
2 Encontre as integrais 
(a) ∫ =xsenxdx (b) ∫ =dxxe
ax 
(c) ∫ =dxxe
x2 (d) 
∫ =+ xdxxx 2cos)1( 
(e) ∫ =xdxln (f) ∫ + xx 1 dx = 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 32 
(g) ∫ =+ dxxe
x )²1( (h) ∫ x ln xdx = 
(i) ∫ =xdx
3cos (j) ∫ =xdxx 2cos 
Lista 4 de Atividades 
 
a) Integre, consultando a tabela de integrais imediatas: 
1- dxxcos5∫ = 
2- dxxsec2∫ = 
3- ∫ =dxx
x
seccos
²sec
= 
4- ( )∫ − dxxcos5xsen2 = 
5- ∫
+ x1
dx
= 
6- ∫
−
2x44
dx
= 
7- ∫
+
−
2x33
dx
= 
8- ∫
−
−
2x99
dx
 
9- ∫
+ 2x55
dx
= 
10- ( )∫ + 2x14 dx = 
 
b) Calcule as integrais usando o método da substituição: 
1- ∫ =+ dxxsen )7( 
2- ∫ =
−+
+ dx
xx
xx
4
57
57
46
 
3- ∫ =
−
dx
x
x
4)2³(
²4
 
4- ∫ =dx
x
3
2cos1
 
5- ∫ =+
dx
bx
ax
44 
6- ∫ =+ dxee
xx 262 )2( 
 
c) Aplicando o método de integração por partes, calcule as integrais: 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 33 
1- ∫ =xcoxdx 
2- ∫ =arctgxdx 
3- ∫ =senxdxx
2 
4- ∫ =xdxe
x cos 
5- ∫ =xdx
2cos 
6- ∫ =xdx
3sec 
 
 
2.7 Integrais Trigonométricas 
 
 
Existem algumas integrais que devem ser conduzidas a integrais imediatas com simples transformações trigométricas: 
 
Lembrete: Sabendo que... 
xsen² = ( 1- cos²x) 
cos² x = ( 1- sen² x) 
tg² x = ( sec² x-1) 
sec² x = (tg² x+1) 
cotg² x = (cossec² x-1) 
cossec² x = (cotg² x+1) 
 
2.7.1 Integração por transformação trigonométrica 
 
 
Então, verificamos como aplicar as seguintes integrais aplicando as transformações trigométricas, veja os exemplos: 
 
(I): ∫ uduusen
nm cos 
=> quando m ou n é inteiro positivo ímpar não importando o que o outro possa ser. 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 34 
Transformando o integrando usaremos ∫ ++
=
+
C
n
vdvv
n
n
1
1
. 
Se m é impar, escrevemos ( 1−msen u). sen u. Como (m-1) é par o primeiro fator ( 1−msen u) é uma potência de sen² u e pode ser substituído por sen² u= 
1-cos² u. 
Se n é impar, escrevemos uun cos.cos 1− e usamos .1²cos 2usenu −= 
 
Exemplo 1: ∫ xdxxsen
5cos.² = => ∫ xdxxxsen cos.cos.²
4 = 
∫ − xdxxsenxsen cos)²²1(² = => ∫ +− xdxxsenxsenxsen cos)²21(² 4 = 
∫ xdxxsen cos.² ∫ ∫ =+− xdxxsenxdxxsen cos.cos.2
64 
 
 u= senx => du= cosx dx 
∫ ∫ ∫+− duuduuduu
642² = => cuuu ++−
75
2
3
³
75
= 
 => resposta. 
 
Exemplo2: dxxsen∫ ³ = ∫ senxdxxsen .² = ∫ − senxdxx)²cos1( = ∫ ∫− xsenxdxsenxdx ²cos = 
∫ −−− )²(cos duux = c
u
x ++−
3
³
cos = 
 u= cosx => du= -senx 
c
x
x ++−
3
³cos
cos => resposta. 
 
Exemplo II: ∫ udutg
n ou ∫ udug
ncot ====> o método consiste, principalmente em usar as igualdades )1²(sec² 22 −== −− uutguutgtgutg nnn ou 
).1²sec(coscot²cot.cotcot 22 −== −− uugugugug nnn 
 
Exemplo 1: xdxtg 4 = ∫ =xdxxtgtg ²² ∫ − dxxxtg )1²(sec² = ∫ ∫− xdxtgxdxxtg ²²sec² = 
∫ ∫ −− dxxxxtg )1²(sec²sec² = ∫ ∫ ∫+− dxxdxxdxxtg ²sec²sec² = 
 u= tgx ⇒ du=sec²xdx 
c
xsenxsenxsen
+++
75
2
3
³
75
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 35 
∫ ++− cxtgxduu² = cxtgx
u
++−
3
3
= cxtgxxtg ++−
3
³
. ⇒ resposta. 
 
Exemplo2: ∫ =xdxtg
5 ∫ =xtgxtg ².³ ∫ =− dxxxtg )1²(sec³ ∫ ∫ =− xdxtgxdxxtg ³²sec³ 
∫ ∫ =− xdxtgtgxxdxxtg ².²sec³ ∫ xdxxtg ²sec³ - ∫ =− dxxtgx )1²(sec 
∫ xdxxtg ²sec³ - ∫ ∫ =− tgxdxxdxtgx ²sec ∫ ∫ ∫ =−− tgxdxududuu³ =++− cx
uu
cosln
2
²
4
4
 
u= tgx ⇒ du=sec²xdx 
cx
xtgxtg
++− cosln
24
24
 ==> resposta. 
 
Exemplo III: ∫ udu
nsec ou ∫ udu
nseccos ====> quando n é um inteiro positivo par, o primeiro passo é escrever: 
uutguuu
n
nn
²sec)1²(²secsecsec 2
2
2
−
− +== ou .²seccos)1²(cot²seccos.seccosseccos 2
2
2 uuguuu
n
nn
−
− +== 
Se n for ímpar trabalhar integral por partes. 
 
Exemplo1: ∫ =xdx
6sec ∫ =xdxx
24 sec.sec ∫ =+ xdxxtg ²sec)².1²( 
∫ =++ xdxxtgxtg ²sec).1²2( 4 ∫ ∫ ∫ =++ xdxxdxxtgxdxxtg ²sec²sec.²2²sec4 
 u= tgx ⇒ du=sec²xdx 
∫ ∫ ∫ =++ xdxduuduu ²sec2
24 =+++ ctgxuu
3
2
5
35
 .
3
2
5
3
5
ctgxxtgxtg +++ 
Exemplo2: ∫ =xdx
4sec ∫ =xdxx ²sec.²sec ∫ =+ xdxxtg ²sec)1²( ∫ ∫ =+ xdxxdxxtg ²sec²sec.² ∫ ∫ =+ xdx
u
²sec
2
²
 ctgxu ++
3
³
= 
.
3
³
ctgxxtg ++ 
 
Exemplo IV: ∫ uduutg
nm sec. ou ∫ uduug
nm seccos.cot ====> quando n é inteiro positivo par procedemos como no exemplo: 
 
Exemplo1: ∫∫ ∫ =+== dxxtgxxtgxdxxxtgxdxxtg )1²(sec²sec.²secsec 26646 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 36 
∫ ∫ ∫ ++=++=+ c
xtgxtg
c
uu
xdxxtgxdxxtg
7979
²sec²sec
7979
68 . 
 u= tgx ⇒ du=sec²xdx 
 
Quando m é ímpar podemos proceder como no exemplo seguinte: 
 
Exemplo2: ∫ =xdxxtg ³sec.
5 ∫ dxxtgxxxtg )sec.(²sec.4 = ∫ − dxxtgxxx )sec..(²sec)²1²(sec = 
∫ +− dxxtgxxxx )sec.(²sec)1²sec2(sec4 ∫ ∫ ∫+− xdxtgxxxdxtgxxxdxxtgx sec..²secsec..sec2sec.sec 46 = 
u= secx ⇒ du= secx.tgx dx 
∫ ∫ ∫+− duuduuduu ²2
46 = c
uuu
++−
35
2
7
357
= .
3
³sec
sec
5
2
7
sec 5
7
c
x
x
x
++− 
 
 
Exemplo V: ∫ uduusen
nm cos , por meio de ângulos múltiplos. 
 Quando m ou n é um inteiro positivo par, o meio mais simples é do exemplo 1. Quando m e n são simultaneamente inteiros positivos 
pares, fazemos substituições trigométricas envolvendo senos e cossenos de ângulos múltiplos. Para isso usaremos as fórmulas: 
 
 
sen u. cos u = usen2
2
1
 sen² u= u2cos
2
1
2
1
− cos²u= u2cos
2
1
2
1
+ 
 
 
 Desse modo, vejamos os exemplos aseguir: 
Exemplo1: ∫ =xdx²cos ∫ 





+ dxx2cos
2
1
2
1
= ∫ ∫+ xdxdx 2cos2
1
2
1
= .2
4
1
2
cxsen
x
++ 
 
Exemplo2: ∫ ∫ ∫ =





== dxxsendxxsenxxdxxsen
2
2
2
1)²cos.(²cos.² ∫ =




 dxxsen 2
4
1 2 
∫ +−=





− .4
32
1
8
4cos
2
1
2
1
4
1
cxsen
xdxx 
 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 37 
Exemplo VI: ∫ nxdxsenmx cos. ou ∫ sennxdxsenmx. ou ∫ nxdxmx cos.cos , quando m ≠ n. Usaremos as fórmulas: 
 
)(
2
1)(
2
1
cos. yxsenyxsenysenx ++−= 
)cos(
2
1)cos(
2
1
. yxyxsenysenx +−−= 
)cos(
2
1)cos(
2
1
cos.cos yxyxyx ++−= 
 
 A seguir exemplo de como utilizar a fórmula: 
Exemplo1: =xdxxsen 4cos.2 =



++−∫ dxxxsenxxsen )42(2
1)42(
2
1
 
∫ ∫ =+− dxxsendxxsen )6(2
1)2(
2
1
 ∫ ∫ =+− dxxsendxxsen )6(2
1)2(
2
1
 
u= -2x⇒ dxdu =−
2
 dxduxu =⇒=
6
6 
∫ ∫ =+




 −
senudusenudu
6
1
.
2
1
2
1
2
1
 .6cos
12
1)2(
4
1
cxxcox +−− 
 
 
2.7.2 Integração por substituição trigonométrica 
 
 
 
 Freqüentemente, substituições trigométricas convenientes levam a solução de uma integral. E se no integrando existir expressões como: 
22
ua − 22 ua + 22 au − 
 Onde a > 0, podemos fazer uma substituição trigométrica apropriada, como nas figuras abaixo: 
 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 38 
 
 
Lembrete: 
 
.
.
hip
opcat
sen =θ 
..
.
cos
opcat
hip
=θ 
.
..
cos
hip
adjcat
=θ 
..
.
sec
adjcat
hip
=θ 
..
..
adjcat
opcat
tg =θ 
..
..
cot
opcat
adjcatg =θ 
 
 
 
a) a função integrando envolve: 22 ua − . 
 Neste caso usamos u= a senθ ⇒ du= a cosθ . Supondo que 
22
piθpi ≤≤− , temos: 
θ22222 senaaua −=− = θ22 1( sena − = θ22 cosa = θcosa . 
 
b) a função integrando envolve: 22 ua + . 
 Neste caso, usamos u= θatg ⇒ du= .sec2 θθda Supondo que 
22
piθpi ≤≤− , temos: 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 39 
22
ua + = θ222 tgaa = )1( 22 θtga + = θ22 seca = θseca . 
 
c) a função integrando envolve: 22 au − . 
 Neste caso, usamos u = θseca ⇒ du= θseca . θtg θd . Supondo θ tal que 0 
2
piθ ≤≤ ou, temos: 
=−
22
au 222 sec aa −θ = θ22tga = a θtg . 
 
Exemplo1: ∫ =
+ 32 )2(x
dx
 ∫
+ 322 )( au
du
= 
Resolvendo: 
22 xu = → xu = au = tg z →du= a sec 2 z dz. 
22 =a → a = 2 
∫
+
3
222
2sec
atgu
zdza
= => substituindo; 
∫ + zu
zdza
33
2
sec
sec
= => simplificando; 
∫ z
dz
a sec
1
2 = ∫ =zdza
cos
1
2 .
1
2 csenza
+ 
 
 
 u= a tgz a= senz= 
22 ua
u
+
 
 tg z=
a
u
 
→ c
ua
u
a
+
+ 22
2
1
= .
22
1
2
c
x
x
+
+
 
 
Exemplo2: ∫ =
− 42
2
x
dxx
 ∫
−
22
2
au
duu
= 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 40 
Resolvendo: 
u
2
= x
2
 → xu = u= a sec z → du= a secz tgz 
a
2
= 4 → a = 2 
 
∫
−
222
22
sec
.sec.sec
aza
tgzdzzaza
 = => substituindo; 
∫ tgza
tgzdzza
.
.sec33
= => simplificando; 
∫ =zdza
32 sec ∫ =dzzza )sec.(sec22 [ ]=− ∫ zdzztgtgzza sec..sec 22 [ ]=−− ∫ zdzztgzza sec)1(sec.sec 22 [ ]=−− ∫ ∫ zdzzdztgzza secsec.sec 32 
∫ ∫ =+ zdzzdza
332 secsec a 2 secz.tgz-a 2 ln (secz + tgz)+c = 
ctgzzatgzza ++− )ln(sec.sec 22 = ctgzz
a
a
ztgza
a
++
+
−
+
)ln(sec.)1(sec)1(
1
2
2
2
2 = 
 u= a sec z tg z = 
a
au 22 −
 
 secz= 
a
u
 
 
→ c
a
au
a
u
a
au
a
u
+
















−
+−
−
2222
ln4
5
1
= .
2
4
2
ln4
4
4
5
1 22
c
xxxx
+
















−
+−
−
 
Exemplo 3: ∫ =
−
2
3
2 )5( x
dx
 ∫ =
−
22 ua
du
 
Resolvendo: 
u
2
= x
2
 → xu = asenzu = → du= a cosz dz 
52 =a → a= 5 
∫ =
−
3
222
cos
zsenaa
zdza
 => substituindo; 
∫ =za
zdza
33 cos
cos
 => simplificando; 
 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 41 
∫ ∫ +== ctgza
zdz
az
dz
a 2
2
222
1
sec
1
cos
1
 => resolvendo a substituição trigométrica; 
 
tg = 
22 ua
u
−
 
 
 
 
→ c
x
x
a
+
−
22 5
1
= .
55
1
2
c
x
x
+
−
 
 
Lista 5 de Atividades 
 
PARTE I – Integrais Trigonométricas 
 
Calcular as integrais trigométricas: 
 
1- ∫ =x
xdxsen
5
3
cos
 2- ∫ =xdxtg 2
4 
3- ∫ =xdx3seccos
6 4- ∫ =xdxxtg 2
3
5 sec 
5- ∫ =xdx3cos
4 6- ∫ =xdxxsen cos.5 
7- ∫ =xdxxsen
34cos 8- ∫ =xdxtg
3 
9- ∫ =xdx4seccos
4 10- ∫ =xdxxsensen 23 
11- ∫
=
3
3
4cos
4
x
xdxsen
 12- ∫ =+ xdxxtg 2)13( 23 
13- ∫ =− xdxx )1(sec 24 14- ∫ =xdxxtg 3
5
3 sec 
 
PARTE II – Atividades de integração por substituição trigonométrica 
 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 42 
Calcular as integrais usando o método de substituição trigométrica: 
 
1- ∫ =
+
+
29
)3(
x
dxx
 2- =
−
∫ dxx
x
2
281
 
3- ∫ =
−
+ dx
x
x
16
)1(
2
 4- ∫ =
−
32 )3( x
dx
 
5- ∫ =
−
2
3
22 )( ua
du6- ∫ =
+ 2
3
2 )2(x
dx
 
7- ∫ =
−
+
9
)1(
2x
dxx
 8- ∫ =
−
225 xx
dx
 
9- ∫ =
− 722 xx
dx
 10- ∫ =
+ xx
dx
42
 
 
2.8 Integração de funções racionais por frações parciais 
 
 
O método das Frações Parciais consiste em decompor funções racionais em soma de funções racionais mais simples, objetivando processos 
mais simples de integração. 
 A idéia básica é escrever a função racional dada como uma soma de frações mais simples. Para tanto, usaremos uns resultados importantes da 
álgebra, que revisaremos a seguir. 
 Se p(x) é um polinômio com coeficientes reais, p(x) pode ser expresso como um produto de fatores lineares e/ou quadráticos todos com 
coeficientes reais. 
 Veremos alguns exemplos práticos para entender melhor este método. 
a) O polinômio ( ) 232 +−= xxxq pode ser escrito como o produto dos fatores lineares 2−x e 1−x , ou seja, ( ) ( )( )12 −−= xxxq . 
 Explicando: se você realizar a multiplicação dos termos 2−x e 1−x irá chegar ao termo 232 +− xx . 
 
b) O polinômio ( ) 123 −+−= xxxxq pode ser escrito como o produto do fator linear 1−x pelo fator quadrático irredutível 22 +x , isto é: 
( ) ( )( )122 −+= xxxq 
Explicando: se você realizar a multiplicação dos termos 22 +x e 1−x irá chegar ao termo 123 −+− xxx . 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 43 
c) O polinômio ( ) ( ) ( )431
3
13 22 ++−





+= xxxxxp é a decomposição do polinômio ( ) 4716243 2345 ++−−+= xxxxxxp . 
Explicando: se você multiplicar os fatores do polinômio, o obterá na sua forma estendida. 
 
 A decomposição da função racional ( ) ( )( )xq
xp
xf = em frações mais simples é subordinada ao modo como o denominador ( )xq se decompõe nos 
fatores lineares e/ou quadráticos irredutíveis. Em nossos exemplos, vamos considerar os vários casos separadamente. As formas das respectivas frações 
parciais são asseguradas por resultados de Álgebra e não serão demonstradas. 
 Para o desenvolvimento do método, podemos considerar que o coeficiente do termo de mais alto grau do polinômio do denominador ( )xq é 1. 
Caso isso não ocorra, dividimos o numerador e o denominador da função racional ( )xf por esse coeficiente. 
 Iremos supor também, que o grau de ( )xp é menor que o grau de ( )xq . Se isso não acontecer, devemos efetuar a divisão de ( )xp por ( )xq . 
 As diversas situações serão exploradas nos exemplos a seguir. 
 
Caso 1: Os fatores de ( )xq são lineares e distintos. 
 Nesse caso, pode-se escrever ( )xq na forma: ( ) ( )( ) ( )naxaxaxxq −−−= ...21 onde os ia , 1=i ...,n, são distintos dois a dois. 
 A decomposição da função racional ( ) ( )( )xq
xp
xf = em frações mais simples é dada por: ( )
n
n
ax
A
ax
A
ax
A
xf
−
++
−
+
−
= ...
2
2
1
1 , onde nAAA ,...,, 21 são 
constantes que devem ser determinadas. 
 
 Vamos ver um exemplo prático? 
 
Exemplo 1: Calcular: dx
xxx
xI ∫ +−−
−
=
33
2
23 . 
 
 Resolvendo: Vamos decompor o denominador: 
 
33
2
23 +−−
−
xxx
x
 = ( )( )( )311
2
−+−
−
xxx
x
 = ( ) ( ) ( )311
321
−
+
+
+
− x
A
x
A
x
A
 
 
Vamos determinar os valores de A. Para tanto vamos reduzir tudo ao mesmo denominador: 
 
( )( )( )311
2
−+−
−
xxx
x
 = 
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )311
113131 321
−+−
+−+−−+−+
xxx
AxxAxxAxx
 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 44 
 
Aqui multiplicamos os termos de cada coeficiente. 
 
( )( )( )311
2
−+−
−
xxx
x
 = 
( ) ( ) ( )
( )( )( )311
13432 3
2
2
2
1
2
−+−
−++−+−−
xxx
AxAxxAxx
 
 
Agora realizaremos a multiplicação de cada termo por seu coeficiente, e depois vamos colocar em evidência o que existe de comum nos 
temos que se originarem dessa multiplicação. O resultado será esse: 
 
( )( )( )311
2
−+−
−
xxx
x
 = 
( ) ( ) ( )
( )( )( )311
3342 32121
2
321
−+−
−+−+−−+++
xxx
AAAxAAxAAA
 
 
Agora eliminamos os denominadores, e igualamos os coeficientes correspondentes (das mesmas potências de x), ficando assim: 
 
( ) ( ) ( )321212321 33422 AAAxAAxAAAx −+−+−−+++=− 





−=−+−
=−−
=++
233
142
0
321
21
321
AAA
AA
AAA
 
 
Por meio do sistema de equações, vamos obter: 
8
3
 ,
4
1
21
−
== AA e 
8
1
3 =A 
 
Portanto, a decomposição em frações parciais é dada por: 
( )( )( )311
2
−+−
−
xxx
x
 = 
3
8
1
1
8
3
1
4
1
−
+
+
−
+
− xxx
 = 
3
1
.
8
1
1
1
.
8
3
1
1
.
4
1
−
+
+
−
− xxx
 
Então, 
 dx
xxx
xI ∫ +−−
−
=
33
2
23 = ∫ 





−
+
+
−
−
dx
xxx 3
1
.
8
1
1
1
.
8
3
1
1
.
4
1
 => aplicamos as propriedades da integral que já conhecemos. 
∫∫∫
−
+
+
−
− 3
.
8
1
1
.
8
3
1
.
4
1
x
dx
x
dx
x
dx
 = ∫∫∫
−
+
+
−
− 38
1
18
3
14
1
x
dx
x
dx
x
dx
 => resolvendo. 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 45 
Cxxx +−++−− 3ln
8
11ln
8
31ln.
4
1
 => resultado. 
 
Exemplo 2: Calcular: dx
xxx
xI ∫ +−+
−
=
122
4
23
3
 
 
 Resolvendo: para resolver esse exemplo, devemos começar preparando o integrando. Podemos observar que o grau de ( )xp é igual ao grau de 
( )xq , ao efetuarmos a divisão de polinômios, obtemos o seguinte resultado. 
122
4
23
3
+−+
−
xxx
x
 = 
122
2422 23
2
+−+
−−
+−
xxx
xx
 
 Logo nossa integral fica da seguinte forma: 
dx
xxx
xI ∫ +−+
−
=
122
4
23
3
 = ∫∫ +−+
−−
+− dx
xxx
xxdx
122
2422 23
2
 = 12 I+− 
Onde: ∫ +−+
−−
= dx
xxx
xxI
122
242
23
2
1 . 
 
Para resolver 1I , existe ainda a necessidade de preparar o integrando. Dividindo o numerador e o denominador da função integrando por 2, 
obtemos. 
 ( )
( )∫ +−+
−−
= dx
xxx
xx
I
1222
1
2422
1
23
2
1 = ∫






+−+
−− dx
xxx
xx
2
1
2
1
12
23
2
 
Podemos observar que as raízes obtidas são: 1=x , 2
1
−=x e 1−=x . Logo 






+−+
−−
2
1
2
1
12
23
2
xxx
xx
 = ( ) ( ) ( )1211
321
+
+
+
+
− x
A
x
A
x
A
. 
Eliminando os denominadores, vamos obter: 
 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 3212 2111112112 AxxAxxAxxxx +−++−+++=−− 
 Cálculo Diferencial e Integral – Integrais 46 
Substituindo x, pelos valores: 1=x , 2
1
−=x e 1−=x . Temos: 
1=x => 1.2.2
32 A=− => 
3
2
1
−
=A 
2
1
−=x => 2.2
1
.
2
3
4
1 A−= => 
3
1
2
−
=A 
1−=x => 3.2
1
.22 A−−= => 23 =A 
Substituindo na função. 






+−+
−−
2
1
2
1
12
23
2
xxx
xx
 = 
1
1
.2
2
1
1
.
3
1
1
1
.
3
2
+
+
+
−
−
−
xxx
 daí: 
dx
xxx
I ∫ 







+
+
+
−
−
−=
1
1
.2
2
1
1
.
3
1
1
1
.
3
2
1