Erros e medidas

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Centro Universitário 
Maurício de Nassau 
 
 
Básico das Engenharias Turno: 
Professor Turma: 
Disciplina: Física Geral e 
Experimental 
 
O Sistema Internacional de Unidades/ As Unidades das Grandezas 
Medidas 
 
Medir é comparar duas grandezas sendo uma delas previamente definida como 
PADRÃO e a outra desconhecida. 
O sistema padrão de unidades adotado atualmente na maioria dos países é o 
SISTEMA INTERNACIONAL OU SI. O início desta mudança para um sistema 
único de medidas (MKS metro, quilograma, segundo) começou na França após a 
revolução de 1789 com a introdução do Metro (m) como unidade de comprimento, do 
Quilograma (kg) como unidade de massa e do segundo (s) como unidade de tempo 
tendo, naquela época, uma forte colaboração de Lavoisier. O Brasil adotou o sistema 
MKS em 1862 com o imperador Pedro II. Já os Estados Unidos mesmo tendo adotado o 
sistema MKS em 1959 ainda continuam fortes as antigas unidades inglesas 
principalmente em seu comércio interno. 
Muitas grandezas tais como velocidade, momento, força, trabalho, energia e potência, 
podem ser expressas em função de apenas três grandezas fundamentais: de 
comprimento o metro (m), de massa o quilograma (kg) e de tempo o segundo (s). 
As três grandezas fundamentais são: 
Comprimento - metro (m); Massa - quilograma (kg); Tempo segundo (s); Temperatura 
(K); Mol (mol); Ampère (A); Candela (cd). 
Estas sete unidades fundamentais formam o SISTEMA INTERNACIONAL DE 
UNIDADES ou as unidades SI. 
Medir é Comparar duas Grandezas. 
Medir é o processo de comparação de uma quantidade de uma determinada 
grandeza (comprimento, massa, tempo, temperatura etc.) com uma outra quantidade 
da mesma grandeza adotada como unidade padrão. Este processo de comparação é 
feito utilizando-se um instrumento de medida apropriado. 
Como medir? 
Você sabe usar uma régua? É claro que conhecemos e sabemos utilizar uma 
régua e, para nossas necessidades diárias, nos saímos muito bem quando a utilizamos. 
Para medir precisamos, antes de tudo, saber usar o instrumento de medida, pois toda 
 2 
operação de medida exige de quem mede conhecimento no manuseio do instrumento. 
Se realmente sabemos usar uma régua então como responder as seguintes questões: 
1- Quantos algarismos significativos têm uma medida com uma régua? 
2- Qual a incerteza (ou o erro) nessa medida? 
3- Qual a incerteza na medida do volume de um cubo? 
Veja, na Figura 1, a medida ou no caso a “comparação” entre os comprimentos de 
objetos (clipes) com as divisões de uma régua calibrada em unidades padrão de 
comprimento (m ou suas subdivisões cm e mm). O número obtido vai nos informar 
quantas unidades de comprimento padrão têm cada um dos clipes. A leitura de um 
mesmo clipe em qualquer outro lugar por outra pessoa utilizando uma régua com a 
mesma calibração (mm) deve obter uma medida bem próxima desse valor. 
 
As três questões acima e muitas outras que surgirão serão respondidas nos capítulos que 
se seguem. Veremos então que não basta, por exemplo, determinar o comprimento de 
uma barra ou de um clipe com uma régua, é preciso saber expressar essa medida com o 
número correto de algarismos significativos e avaliar corretamente a sua incerteza. 
Muitas vezes, para se obter um valor mais fiel de uma grandeza, efetuam-se 
diversas medidas dessa mesma grandeza e, neste caso, a melhor maneira de expressar o 
valor dessa grandeza será através do valor médio dos valores obtidos. A incerteza ou o 
erro associado com estas medidas será determinado através de um tratamento 
estatístico elementar. 
 Há ainda grandezas que nem sempre podem ser obtidas diretamente, como área, 
volume, densidade, etc. Assim sendo, realizam-se várias medições e através de fórmulas 
matemáticas ou físicas determina-se a grandeza desejada. É claro que, em geral, cada 
0 1 2 3 4 5 6 7 
cm 
 Na Figura temos uma pequena régua 
milimetrada (menor divisão da escala) 
com indicação de cm em cm. 
 O clipe maior tem um comprimento 
entre 3 e 3,5 cm quando comparamos 
com a escala da régua, e o clipe menor 
um comprimento entre 1,5 e 2 cm (note 
que a origem dessa medida foi em 4cm). 
 
 Esses valores quando colocamos a 
régua sobre os clipes podem ser 
estimados em 3,34cm ou 33,4mm (ver 
detalhe ampliado) e 1,90cm ou 19,0mm 
para o clipe azul. 
 
Figura 1 
0 1 2 3 4 5 6 7 
cm 
3 4 
 
 3 
termo da fórmula está afetado de uma incerteza e que todas elas interferirão no valor 
final da grandeza. O processo para obtenção das incertezas chama-se cálculo de 
propagação das incertezas. 
 Pretendemos aqui dar ao aluno alguns conceitos e procedimentos básicos para 
que ele possa expressar corretamente as medidas e resultados de suas experiências, 
assim como analisá-los com um mínimo de correção e rigor tanto do ponto de vista 
numérico como conceitual. 
Medidas, Erros e Desvios. Toda medida tem um erro! 
 Como vimos antes: medir é comparar duas grandezas. Assim, mesmo que o 
operador tenha bastante habilidade com o instrumento de medida e por mais preciso que 
seja este instrumento de medida sempre vai existir um erro ou em outras palavras: 
NÃO EXISTE UMA MEDIDA EXATA! 
Quando medimos as dimensões da nossa sala, por exemplo, não estamos preocupados 
se uma das dimensões é 5,66m ou 5,665m, não faz muita diferença para os nossos 
propósitos de determinar a sua área. Porém, em alguns casos, é extremamente 
importante que se tenha o valor mais próximo possível do valor exato. Vejamos os 
exemplos: 
 Um paciente não pode tomar um comprimido de 2g se foi medicado um de 
1,5g, ou se aplicar uma injeção de 20ml ao invés de 10ml. 
 O cabo de aço de um elevador de 1,50cm de diâmetro não pode ser 
substituído por outro de 1,40cm do mesmo material. 
 A rosca das porcas que apertam as rodas de um carro não pode ser muito 
maior ou muito menor que um valor predeterminado pelo fabricante para 
garantir a segurança do carro e dos passageiros. 
Em outros casos as medidas não precisam ser fornecidas com muita precisão 
porem é aceitável uma tolerância maior e, em outros casos, as medias não atingem os 
seus propósitos vejamos os exemplos: 
 Uma geladeira de 0,75m de largura não vai caber em um vão de 0,74m, como 
também não vai passar numa porta de largura menor. 
 O fabricante de copos de um determinado liquidificador tem que ter suas 
dimensões dentro de certa faixa de precisão para que ele possa ser introduzido no 
bocal da base. 
 Você não gostaria de comprar 1 kg de arroz com menos de 1000g ou tomar um 
refrigerante de 330ml com 300ml apenas. 
 Se você calça 39 não vai comprar um tênis de numero 37 só porque é bonito. 
 Se o fusível do rádio do carro é de 10A não deve ser substituído por um de 5A 
nem tão pouco por um de 15A ou maior. Você com certeza perderia a sua carteira 
de habilitação se o velocímetro do seu carro marcasse 80km/h e na realidade o 
carro estivesse a 120km/h. 
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 Já imaginou um dentista fazer uma prótese para um dente mais alto do que os 
dentes vizinhos? Ou o oculista receitar uma lente com o grau maior ou menor do 
que o necessário? 
 Se for recomendado um fio de bitola 3,0mm (diâmetro do fio) no mínimo para 
instalação do condicionador de ar não devemos usar um de 2,5mm, porém não vai 
fazer nenhuma diferença se a bitola for 3,05mm ou 2,95mm devido às flutuações 
da bitola no processo de fabricação. 
Como podemos notar, diariamente lidamos com medidas que tem seus valores dentro de 
certos limites e por NÃO SER POSSÍVEL REALIZAR UMA MEDIDA EXATA 
temos que admitir certa tolerância nos valores medidos ou fornecidos. Em outras 
palavras, sempre existe uma incertezana definição do resultado de uma medida. Assim 
podemos dizer que a medida de uma grandeza m é dada por: 
 m = M ± M (1-1) 
onde 
 m é o resultado da medida 
 M é o valor medido 
e M é o erro associado à medida. 
 
M é uma quantidade positiva que nos informa o intervalo de validade da medida de M. 
Vejamos o exemplo do clipe vermelho da figura 1. Se lcv é o comprimento do 
clipe vermelho, podemos escrever que: 
 Lcv = Lcv  Lcv 
Vimos que Lcv = 3,34cm queremos agora estimar L. Como temos certeza dos 
dois primeiros algarismos, isto é, lcv = 3,3Xcm queremos estimar a incerteza no valor 
0,04cm. Como veremos mais adiante a estimativa do erro numa régua milimetrada é a 
metade da menor divisão da régua, no caso Lcv = 1mm/2 = 0,5mm = 0,05cm, portanto, 
 lcv = Lcv  Lcv = 3,34  0,05 cm 
 
assim qualquer valor de lcv compreendido entre 3,34 + 0,05cm e 3,34 – 0,05cm é 
aceitável como medida do valor de lcv. Note também que se quisermos medir o clipe 
com um erro menor teremos que usar um outro equipamento de medida com maior 
precisão como por exemplo um paquímetro ou micrômetro. 
 
Exemplo 1.1: 
 O resultado da medida do comprimento do clipe azul seria: 
lca = Lca  Lca = 1,90  0,05 cm 
observe que o algarismo zero de 1,90cm é o algarismo duvidoso e deve ser escrito 
mesmo sendo zero. Note também que não devemos ter nenhum algarismo após o 
algarismo duvidoso cuja posição decimal é a mesmo do erro. No nosso caso a posição 
do erro e do algarismo duvidoso é a casa dos centésimos de cm ou 0,0Xcm. 
 
 5 
Caso o valor de uma medida tenha um número de algarismos significativos que vai 
alem da posição decimal do erro devemos arredondar este número na posição decimal 
do erro. Por exemplo; se 
m= 33,275523 ± 0,02g 
devemos escrever como: 
m= 33,28±0,02g, 
pois o erro de 0,02g indica que não se tem nenhuma certeza sobre os algarismos que se 
seguem ao 7. Observe que no processo de arredondamento foi acrescentado uma 
unidade ao algarismo truncado. 
 
OBS: Adotaremos a norma ABNT para os arredondamentos: 
 Quando o 1º algarismo a ser desprezado for inferior a 5 mantêm-se os 
anteriores sem alteração; 
Exemplo 1.2: 
a) L = 1,6745±0,08 m L= 1,67±0,08 m 
b) M= 2,45533±0,003 kg M=2,455±0,003 kg 
c) V = 0,05701±0,001 volts V= 0,057±0,001 volts 
d) I = 2451,23±3 mA I = 2451±3 mA 
 
 Quando o 1º algarismo desprezado for maior do que 5 ou for 5 seguido por 
algum algarismo diferente de zero acrescenta-se uma unidade ao algarismo 
anterior (algarismo duvidoso); 
Exemplo 1.3: 
d) L = 1,6755±0,08 m L = 1,68±0,08 m 
e) M = 2,455501±0,003 kg M = 2,456±0,003 kg 
f) V = 0,050509±0,001 volts V = 0,051±0,001 volts 
g) I = 2451,73±3 mA I = 2452±3 mA 
 
 Quando o 1º algarismo desprezado for 5 seguidos de zeros acrescenta-se uma 
unidade se o algarismo anterior for impar e permanece inalterado se for par; 
Exemplo 1.4: 
d) L = 1,67500±0,08 m L = 1,68±0,08 m 
e) M = 2,45650±0,003 kg M = 2,456±0,003 kg 
f) V = 0,050500±0,001 volts V = 0,050±0,001 volts 
g) I = 2451,50±3 mA I = 2452±3 mA 
 
 
 
 
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Classificação dos erros 
 
a - Erros Sistemáticos 
Os erros sistemáticos podem ter diversas origens como as citadas a seguir: 
 Instrumentais: São aqueles provenientes do próprio instrumento, quando este 
apresenta algum erro de calibração ou alguma alteração na própria escala. Por 
exemplo, se utilizarmos uma régua graduada para trabalhar a 10° C e 
trabalharmos com ela a 40° C, a dilatação, sofrida por sua escala, acarretará um 
erro sistemático por toda a experiência. Um outro exemplo muito comum é a 
utilização de instrumentos com escalas não zeradas com mostra a Figura 2. Uma 
característica dos erros sistemáticos instrumentais é que eles influem sempre no 
mesmo sentido: sempre para mais ou sempre para menos do valor verdadeiro. 
 Teóricos: Tem origem no uso de fórmulas aproximadas ou no modelo associado ao 
fenômeno físico estudado. Em muitos experimentos utilizamos fórmulas onde 
desprezamos, por exemplo, a viscosidade do ar, o atrito de rolamento etc. ou 
utilizamos constantes com valores aproximados. 
 Ambientais: As condições ambientais onde realizamos as nossas medidas podem 
alterar os nossos resultados sejam pelo uso de valores incorretos para a região, 
como por exemplo: a aceleração da gravidade, a pressão atmosférica, ou a 
temperatura ambiente, etc. ou por não considerá-los ou desprezá-los como, por 
exemplo: a umidade do ar; o campo magnético da terra; as ondas eletromagnéticas 
de rádios e dos fios das instalações elétricas; as oscilações da luz ambiente 
(120Hz das lâmpadas fluorescentes). No final os nossos resultados são alterados e 
os erros encontrados, podem ser maiores ou menores do que deveriam ser. 
 Observacionais: São erros provenientes do observador e dos procedimentos de 
medições utilizados, podendo, em alguns casos, ser minimizados. Por exemplo: 
para acionar um botão o ser humano leva um tempo da ordem de 1/10 de 
segundos entre o estímulo e o acionamento. Se o acionamento do botão faz parte 
da medida do tempo de um experimento, teremos um erro sistemático dessa 
ordem de grandeza no resultado final, podendo alterar os resultados do 
experimento para mais ou para menos. Este tipo de erro é difícil de ser corrigido e 
em alguns casos pode ser mini minimizado. Por exemplo: na medição do período 
de um pêndulo, podemos medir o tempo total de n períodos consecutivos com um 
cronômetro e, no final, dividirmos o tempo total por n para achar o valor de um 
período. Veja que, neste caso acionamos o cronômetro apenas duas vezes, no 
início e no final de n período, reduzindo a influência do erro entre cada período. 
Neste caso o erro ficou diluído nas n medidas. Portanto quanto maior o número de 
medidas n menor a influência do erro de acionamento. O erro de paralaxe nos 
instrumentos de ponteiros (analógicos) é um erro sistemático comum, podendo 
facilmente ser corrigido, bastando para isto que o observador se localize 
frontalmente ao ponteiro. Veja, na Figura 3, a leitura da corrente feita num 
amperímetro analógico e como acontece o erro de paralaxe. 
 7 
b - Erros Acidentais 
 São aqueles que ocorrem durante a realização das medidas por diversas razões, 
por exemplo: o erro do experimentador ao decidir qual a melhor leitura quando ele terá 
que fazê-la a olho, estimando um valor como nós fizemos para o caso do clipe 
vermelho. 
Quanto mais experiência o experimentador adquire, menos e menores erros 
deste tipo ele cometerá, mas, ainda assim, toda vez que ele realizar medidas, estará 
cometendo erros. 
Uma característica dos erros acidentais é que eles influem aleatoriamente nos 
dois sentidos, para mais ou para menos do valor verdadeiro. 
 
c - Erros Grosseiros 
 Estes são causados, como o próprio nome sugere, por inexperiência do 
experimentador. Ele comete esses erros quando lê 10ml e a leitura certa seria 1,00ml, ou 
então, quando a unidade certa seria kg, ele a lê em g. 
Por displicência do experimentador esses erros passam despercebidos pois ele 
não tem idéia da ordem de grandeza do que mede. O erro grosseiro pode decorrer 
também da inabilidade no manuseio do instrumento de medida, engano de leitura, 
cálculos errados, etc. Em princípio, os resultados com erros grosseiros são devidos a 
falha do experimentador ou utilização de técnica deficiente, e devem ser eliminados. 
 
d - Erros Estatísticos (aleatórios ou casuais) 
Mesmo com equipamentos precisos e com o controle completo de um 
determinado experimento, as medidas realizadas estão sujeitas as variações aleatórias 
que fogem do nossocontrole. Essas variações são responsáveis pelos erros estatísticos 
que em alguns casos são desprezíveis se comparados com os erros sistemáticos. 
Vejamos a diferença entre o erro sistemático e estatístico: Consideremos uma grandeza 
V medida n vezes com valores Vi onde Vv é o valor verdadeiro, teremos então os 
seguintes casos: 
 Para o erro sistemático - todos os n valores medidos Vi seriam iguais e a 
diferença para o valor Vv seria uma constante V. 
 Para o erro estatístico - todos os n valores medidos Vi seriam diferentes e 
distribuídos em torno do valor médio (Vmédio) dessas n medidas onde Vmédio tenderia 
para Vv no limite de n  . 
 Em muitos experimentos estes dois erros ocorrem simultaneamente sendo o erro 
total a soma dos dois. Vejamos os exemplos mostrados nas figuras 4 e 5. Foram feitas n 
(40) medidas de uma mesma grandeza L em cm e o primeiro conjunto de medidas foi 
colocado no gráfico da figura 4. 
No gráfico observamos que os pontos oscilam em torno do valor médio Vm 
representado pela reta azul. A dupla seta azul, na figura, indica a amplitude máxima de 
variação dos valores medidos em torno do valor médio. Supondo que o valor verdadeiro 
Vv dessa medida é conhecido e indicado seu valor na figura pela linha vermelha, 
 8 
podemos observar que o valor médio Vm das medidas está muito distante de Vv. Esta é 
uma indicação forte de que o erro sistemático é grande no processo de medida utilizado. 
 O segundo conjunto de medidas obtido por outro processo foi colocado no 
gráfico da figura 5. No gráfico podemos observar que o valor médio Vm das medidas 
está bem próximo do valor verdadeiro Vv como indicam as setas vermelhas, esta é uma 
indicação de que o erro sistemático é pequeno. No entanto, observando a dispersão dos 
pontos em torno do valor médio vemos que ele é bem maior que o anterior indicando 
que o erro estatístico é grande. 
A partir dos resultados analisados nos gráficos 4 e 5 podemos concluir que: se o 
erro sistemático é pequeno o valor mais provável da medida de uma grandeza é a média 
de um número grande de medidas. 
Chamamos de desvio a diferença entre uma medida Vi e o valor médio Vm das n 
medidas realizadas, isto é: 
i = Vm – Vi (DESVIO) (1-2) 
o desvio vai ser importante para se avaliar a dispersão das medidas quando estudarmos 
o tratamento estatístico das medidas. 
Observação: Os erros podem ser reduzidos com técnicas mais aperfeiçoadas e 
melhores instrumentos, mas nunca serão totalmente eliminados. 
 Quando um experimentador determina o valor de uma grandeza, três situações são 
possíveis: 
a) O valor da grandeza já é conhecido com exatidão. 
Ve = valor exato 
Existe um valor conhecido e exato Ve para a grandeza. 
Exemplos: A soma dos ângulos internos de um triângulo; a relação entre o comprimento 
e o diâmetro de uma circunferência, a velocidade da luz no vácuo, etc. 
b) O valor da grandeza não é conhecido exatamente, mas há um valor adotado como 
"melhor". 
Va = valor adotado 
A grandeza foi medida por processos mais precisos e esse valor Va foi adotado como 
melhor. 
Exemplos: A aceleração da gravidade em um determinado local, a carga do elétron, a 
densidade de uma substância, etc. 
c) O valor da grandeza não é conhecido. 
 V(grandeza) = Valor medido 
São as grandezas que fazem parte do nosso experimento, por exemplo, e que 
queremos medir com os instrumentos disponíveis. 
Exemplos: O comprimento de uma barra; o volume de uma esfera; a corrente 
em um circuito elétrico; o consumo de gasolina de um carro; o nível de ruído de 
um liquidificador, etc. 
Como o valor de uma grandeza física nem sempre é possível de ser medida 
com certeza absoluta, vamos admitir que exista este valor verdadeiro que 
denominamos de Vv. 
 9 
 Vv = Valor verdadeiro de uma medida 
Para o caso de grandezas com valores exatos devemos ter: 
Valor verdadeiro = Valor exato ou Vv = Ve 
Por exemplo à soma dos ângulos internos (Sângulos) de um triângulo qualquer 
Sângulos = 180
o
 = Vv = Ve 
 Quando uma grandeza tem um valor medido V este valor pode diferir de seu valor 
exato Ve, ou pode deferir do seu valor adotado Va ou do seu valor verdadeiro Vv, 
dizemos, em qualquer um dos casos, que ele está afetado de um erro. 
 Erro =  = módulo (valor medido – Vx) 
  = | V – Vx | (1-3) 
onde Vx é um dos valores Ve, Va ou Vv. A expressão acima mostra que, se a grandeza 
medida tem o seu valor verdadeiro desconhecido (é lógico que não se sabe também nem 
Ve nem Va) o erro também é desconhecido. Podemos definir ainda o erro relativo: 
 Erro relativo = rel = | ( Vmedido – Vx ) / Vx | = | (V – Vx) / Vx | 
 rel = | Erro / Vx | (1-4) 
Como também o erro percentual: 
 Erro percentual = % = [ rel ]  100 % 
Ou  % = [ rel ]  100 % (1-5) 
 
Exemplo 1.5: 
 Ao determinar a aceleração da gravidade em um local onde o valor adotado é 
Va=9,80m/s
2
, um experimentador obteve V=10,04m/s
2
. Determinar o erro, o erro 
relativo e o erro percentual. 
  =| (V – Vx) | = | 10,04 - 9,80 | = 0,24 m/s2 
  relativo = |  / Vx | = 0,24 / 9,80 = 0,024 (sem unidades) 
  percentual =  % = [ rel ]  100 % = [ 0,024  100 ] % = 2,4% (sem 
unidades) 
 
 Observe que, em termos de avaliação dos resultados, o Erro percentual nos dá a 
informação mais objetiva. O valor medido acima pode ser escrito da seguinte maneira: 
gmedido = 10,04 (10,042,4%) =10,04 (0,24096) = 10,04 0,2 =10,0 0,2 m/s
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 10 
Algarismos Significativos 
Quando realizamos uma medida devemos sempre nos preocupar em apresentar o 
resultado com o número correto de algarismos significativos. Surge então a seguinte 
pergunta: 
Quantos são os algarismos significativos de uma medida? 
Vejamos alguns exemplos: 
Exemplo 1.4-1 
Na figura 6 temos diversos êmbolos que estão sendo medidos com duas réguas 
diferentes, uma milimetrada (B) e a outra (A) com divisões de 0,5cm. Em (A) podemos 
dizer que D5 é um pouco maior que 11cm e os dois algarismos são exatos, isto é, não 
temos nenhuma dúvida de seus valores. Poderíamos, ainda, fazer uma estimativa do 
valor que excede a divisão 11 e dizer que ele vale 0,1cm então: 
D5 = 11,1cm (A) (1-6) 
Isto é, os dois primeiros algarismos são exatos e o último, que foi feito uma estimativa, 
é o duvidoso. 
 Em B o valor de D5 seria: 
 D5 = 110mm (A) (1-7) 
onde os três algarismos seriam exatos. Uma aproximação para o algarismo seguinte 
seria 0,8mm, então poderíamos escrever: 
 D5 = 110,8mm (régua B) (1-8) 
Portanto os algarismos 1,1 e 0 seriam exatos e o algarismo 8 o duvidoso. 
 O valor de D3 em A seria: 
D3 = 5,5cm (régua A) (1-9) 
com os dois algarismos exatos e a estimativa para o restante seria 0,1cm portanto: 
D3 = 5,5 + 0,1 = 5,6cm (1-10) 
onde ao algarismo exato (0,5) foi somado um duvidoso (0,1), assim o algarismo 
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 mm 
 B 
D1 D2 D3 D4 D5
 
 A 
D1 D2 D3 D4 D5
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 cm 
Figura 6 
Medindo os diâmetros dos êmbolos com duas réguas diferentes. 
Em A está sendo utilizado uma régua com divisões de 0,5cm e 
em B uma outra régua com divisões de 1mm.11 
resultante na posição decimal do algarismo duvidoso fica sendo duvidoso. Note que em 
(1-9) tínhamos dois algarismos exatos e em (1-10) temos apenas um. Com a régua B 
temos: 
 D3 = 56,3 mm 
Onde os dois primeiros algarismos são exatos e o último o duvidoso. 
 
Exemplo 1.4-2 
 Na figura 7 o cilindro A tem 
comprimento (medido na horizontal) 
LA=36,30 cm 
e diâmetro (medido na vertical) 
DA = 1,25 cm. 
Com relação aos valores lidos acima 
temos as seguintes dúvidas: 
 
 Estão corretos esses valores? 
 Em que casa decimal está o algarismo duvidoso? 
 
Como determinar os ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS (A.S.) de uma medida? 
 
OS ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS DE UMA MEDIDA SÃO 
OS ALGARISMOS EXATOS 
ACRESCIDOS DO ÚLTIMO, QUE É O DUVIDOSO. 
 (Obs. Alguns autores consideram o número de algarismos significativos apenas os 
números exatos de uma medida) 
 
Da figura 6 (A) do exemplo 1.5 temos: 
D5 = 11,1cm 1 e 1 são exatos 1 é duvidoso  3 Algarismos 
Significativos 
e da figura 6 (B) temos: 
D5 = 110,8mm 1, 1 e 0 são exatos 8 é duvidoso  4 Algarismos 
Significativos 
Para o diâmetro D3 da figura 6 temos: 
 D3 = 5,6cm = 56mm em A  2 Algarismos Significativos 
 e D3 = 56,3mm em B  3 Algarismos Significativos 
 
Podemos concluir que: 
 O número de algarismos significativos de uma medida depende do instrumento 
utilizado. Nas medidas dos diâmetros D5 e D3 dos êmbolos da figura 6 obtemos: 
Com a régua A: D5 3 AS e D3 2 AS 
Com a régua B: D5 4 AS e D3 3 AS 
Nas duas medidas realizadas com a régua milimetrada (B) obtivemos mais 
Algarismos Significativos do que a régua (A). 
Figura 7 
25 (cm) 30 35 40 
LA 
A A 
DA 
 12 
 O valor do algarismo duvidoso depende do operador variando, portanto de pessoa 
para pessoa, e o melhor valor depende também da habilidade do operador no 
manuseio do instrumento. O valor, por exemplo, de D5 11,1cm=111mm obtido com 
a régua A e 110,8mm obtido com a régua B, mostra que a avaliação do algarismo 
duvidoso em 11,1cm foi boa, pois está bem próxima de 11,08cm obtida com a régua 
B mais precisa. 
 
Como determinar a INCERTEZA ou o ERRO associado a uma medida? 
 
Para determinarmos a incerteza de uma medida devemos considerar os fatores 
que influem na sua avaliação: 
 a habilidade do experimentador; 
 as condições em que a medida foi realizada; 
 o próprio objeto a ser medido e 
 o instrumento utilizado. 
Quando realizamos uma medida e queremos expressar o resultado devemos 
informar também a incerteza associada à medida e, para que isso seja possível e de 
fácil aplicação adotaremos os seguintes critérios: 
 Os erros sistemáticos serão sempre expressos com apenas um algarismo 
 significativo (1 A.S.) 
 Se o instrumento NÃO PERMITIR A AVALIAÇÃO DO ALGARISMO 
DUVIDOSO entre duas divisões, este será considerado como sendo o último 
algarismo obtido na leitura com o instrumento. Se P é a menor divisão (ou a 
precisão) do instrumento, neste caso, a incerteza estimada, ou o erro  associado 
à medida, será: 
 (medida) = A MENOR DIVISÃO DA ESCALA DO INSTRUMENTO 
  = P 
 
Exemplo 1.4-3 
Na figura 1 a medida do clipe vermelho não permite avaliar diretamente o valor 
do último algarismo significativo entre as divisões do milímetro. Esse valor só foi 
possível ser estimado com a ampliação da imagem. Portanto na medida direta podemos 
dizer que o erro na medida de AB é:  = P = (AB) = 1mm (1 AS) então: 
Lcv = 33±1 mm (2 AS) 
Exemplo 1.4-4 
Nos instrumentos digitais (com mostrador numérico) normalmente o erro é igual 
a menor variação da medida. No caso da balança da figura 2 temos  = m = 0,01 g 
então a massa medida, corrigindo o valor indicado, seria: m= 460,42 ± 0,01 g (5 AS) 
 
 13 
 Se o instrumento PERMITIR A AVALIAÇÃO DO ALGARISMO DUVIDOSO 
e  é a menor divisão (ou a precisão) do instrumento a incerteza estimada (erro 
associado à medida) será: 
 
(medida) = A METADE DA MENOR DIVISÃO DA ESCALA DO 
INSTRUMENTO 
  = P/2 
 
Exemplo 1.4-5 
Na figura 6, utilizando a régua A cuja menor divisão foi um 0,5cm, avaliamos o 
diâmetro de D5 em 11,1cm. Como foi possível avaliar o algarismo 1, a incerteza da 
medida será: 
  = D5 = /2 = (0,5)/2 cm = 0,25 cm (metade da menor divisão da escala da 
régua) ou AB = 0,3 cm (o erro deve ter apenas um algarismo significativo) 
Conseqüentemente, devemos expressar o valor da medida do diâmetro de D5 como 
sendo: 
 D5 = (11,1 ± 0,3) cm (3 AS) 
ou D5 = (111 ± 3) mm (3 AS) 
 
Nota: a mudança das unidades de cm para mm ou qualquer outra unidade de 
comprimento não altera o número de algarismos significativos do resultado. 
 
Exemplo 1.4-6 
 Uma análise análoga ao exemplo anterior aplicada à figura 6, utilizando a 
régua B, daria para a medida do comprimento D5 o valor: D5 = (110,8 ± 0,5) 
mm 
 
Exemplo 1.4-7 
Na figura 7 podemos avaliar uma medida entre duas divisões da régua, portanto o erro 
na obtenção de LA será: LA = (0,25cm) / 2 = 0,125 cm 
como adotamos o erro com apenas um algarismo significativo temos: 
 LA = 0,1 cm 
portanto se LA = 36,30cm e DA = 1,25cm temos: 
LA = (36,3 ± 0,1) cm (3 AS) e DA = (1,3± 0,1) cm (2 AS) 
 
 
 
 
 
 14 
Regras práticas de operações com Algarismos Significativos 
 
Vimos que toda medida está acompanhada de uma incerteza. Podemos 
representar esse valor medido explicitamente com a incerteza ou sem a incerteza 
ficando essa incerteza implícita ao número escrito, 
 
Exemplo 1.4-8 
Os valores medidos de vários comprimentos foram: 
L1 =12,34 m (4 AS); L2 = 5,7340 cm (5 AS); L3 = 0,00345m (3 AS) 
L4 = 3422,10 mm (6 AS) e L5 = 98cm (2 AS) 
cujos valores das incertezas não foram explicitamente fornecidas como também não foi 
indicado o tipo de equipamento utilizado em cada uma das medidas. Adotaremos, 
nesses casos, as incertezas associadas às medidas como sendo o valor unitário da última 
posição decimal do número que corresponde ao algarismo duvidoso. 
Assim teremos: 
L1 = 0,01 m; L2 = 0,0001 cm; L3 = 0,00001 m; 
L4 = 0,01 mm e L5 = 1 cm 
logo 
L1 = 12,34 ± 0,01 m, L2 = 5,7340 ± 0,0001 cm, L3= 0,00345 ± 0,00001 m 
L4 = 3422,10 ± 0,01 mm e L5 = 98 ± 1 cm 
 
 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 
 
Considere que se quer adicionar os resultados dos comprimentos do exemplo 1.12 
acima. Devemos, inicialmente, passar todas as parcelas para a mesma unidade, no caso 
metro. No nosso caso temos: 
L1 =12,34 m; L2 = 0,057340 m; L3 = 0,00345 m; 
L4 = 3,42210 m e L5 = 0,98 m 
Em seguida colocamos as parcelas, como mostramos abaixo, e somamos normalmente 
(a sua calculadora faz isto muito bem). 
L1 12,34x 
 L2 0,057341 
 L3 0,00345 
 L4 3,42510 
 L5 0,98x 
 16,805891 
Devemos agora verificar entre as parcelas aquela que possui o algarismo 
duvidoso na posição decimal mais elevada ou a parcela que possui o menor número de 
casas decimais (sua calculadora não faz isto). 
No nosso caso verificamos que os algarismos 4 de L1 e 8 de L5 possuem a 
posição decimal mais elevada (centésimo) como também possuem apenas duas casas 
decimais. 
 15 
Note que, além dos algarismos duvidosos 4 de L1 e 8 de L5 onde colocamos um 
x, não foi possível obter precisão com o instrumento utilizado nessas medidas, porém 
outras medidas, como por exemplo L2 foi possível ler valores até 10
-5
 (0,057341)com 
precisão sendo a posição do 1 duvidoso. 
O nosso resultado deverá, portanto ser arredondado na posição anterior ao x ou, 
como mostra o resultado acima, na posição do algarismo 0. Como o algarismo depois 
do 0 (zero) é 5, devemos somar uma unidade ao algarismo 0 (zero). 
Portanto o resultado da soma é: 
L = 16,81 m. 
Esta regra é aplicada também para o caso de subtrações. 
 
 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 
 
Vamos supor que queremos medir o volume do cilindro da figura 7 (exemplo 1.11), isto 
é, 
V = A  h = (1/4)  (DA ) 
2 LA 
Onde DA = 1,3 cm e LA = 36,3 cm, assim 
V = (1/4)  (DA ) 
2 LA = (1/4)    (1,3)
2
  36,3 = 48,181777 cm3 
com relação a essa resposta temos as seguintes questões: 
 
1 – Quantos AS tem ¼? 
 2 – Quantos AS deve ter ? 
 3 – E quantos AS deve ter V ? 
 
Essas questões têm as respostas nas seguintes regras que adotaremos: 
 Os números 1 e 4 de ¼ não foram obtidos através de nenhuma medida realizada 
e não devem ser considerados na determinação do número de AS na operação 
pois são constantes exatas com um número infinito de AS. 
 Uma constante como , caso não seja indicado no problema o número de AS, 
deve ser utilizada com um número de AS maior que o número de menor AS na 
operação. Assim analisando a expressão 
V = (1/4)  (DA ) 
2 LA = (1/4)    (1,3)
2
  36,3 = 48,181777 cm3 
vemos que 1,3 tem 2AS podemos utilizar  nos nossos cálculos com 3AS ou maior por 
exemplo:  = 3,14159 (a calculadora fornece  com bastantes AS) 
 O resultado de uma multiplicação (ou divisão) deve ter tantos algarismos 
significativos quanto forem aqueles do número de menor AS entre os dois 
números utilizados na operação. 
Vejamos, na operação 
V = (1/4)  (DA ) 
2 LA = (1/4)  3,14159  (1,3)
2
  36,3 = 48,181777 cm3 
 
 16 
temos a parcela 1,3 com apenas 2AS assim o resultado da operação no cálculo do 
volume do cilindro será: 
V = 48 cm
3
 (2 A.S. que vem de 1,3) 
 Obs. As regras estabelecidas acima, mesmo não sendo tão rígidas, deverão ser 
utilizadas nas experiências para um melhor entendimento das medidas realizadas e dos 
resultados obtidos, evitando também o uso de algarismos significativos desnecessários e 
inúteis que só fazem tomar tempo nas operações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 17 
Alguns Instrumentos de Medidas 
O Micrômetro 
Apresentamos na figura 1 uma ilustração simplificada de um Micrômetro. Esse 
instrumento é, essencialmente, um parafuso micrométrico que gira e desloca-se ao 
longo do seu próprio eixo, indicando em duas escalas, o deslocamento entre suas duas 
bases. Esse parafuso tem passo de 0,5mm correspondendo, assim, a um deslocamento 
de igual valor em cada volta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A escala horizontal (ou fixa) tem divisões de 0,5mm indicadas por traços verticais 
alternados com relação a uma linha horizontal, como mostra a figura 1. 
Na parte superior ficam as divisões dos milímetros inteiros e na inferior os meios 
milímetros. Essa linha horizontal serve também referência para medida da escala 
vertical (ou móvel) como indicado na figura 1 pela seta azul. 
A escala móvel é cilíndrica e dividida em 50 partes ficando na extremidade 
esquerda da manga. 
Essa linha limite a esquerda da escala móvel serve de referência para medida da 
escala horizontal, como mostra a seta vermelha vertical. 
Quando giramos a manga de uma divisão da escala móvel deslocamos a base 
móvel de uma distância: 
d= (1/50) x 0,5mm = 0,01mm 
que corresponde a precisão do instrumento. 
Na figura podemos ver que a medida do diâmetro da esfera é; 
D = Dfixa + Dmóvel (valores lidos nas escalas fixa e móvel) 
Dfixa = 11,500mm (valor exato) 
Dmóvel = 0,47X mm 
0 5 10 15 
Espera 
Fixa 
Espera 
Móvel 
Manga 
Catraca 
Escala 
Horizontal 
ou fixa 
Escala 
Vertical 
ou móvel 
FIGURA 1 – O MICRÔMETRO 
Leitura D = 11,978 mm 
Erro D =  0,005 mm 
SEGURE-O AQUI 
 18 
onde X é o algarismo que pode ser estimado na escala móvel e portanto duvidoso. O valor de X pode ser 
avaliado através da direção da linha horizontal sobre a escala móvel onde obtemos X8, assim: 
 Dmóvel = 0,478 mm 
logo D = 11,5 + 0,478 = 11,978mm 
e o erro será: 
 D = 0,01 / 2 = 0,005 mm 
Portanto, podemos escrever: 
 D = 11,978  0,005 mm 
 Na figura 2 temos um desenho simplificado de uma segunda medição feita com o micrômetro onde 
foi obtido um comprimento 
 L = 16,032  0,005 mm 
Confira o resultado! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 
 
Leitura 16,000 + 0,083 = 16,083mm 
Erro L =  0,005 mm 
 
0 5 10 15 
 19 
Outros exemplos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Leituras 
 
L = 16,000 + 0,032 = 16,032mm 
 
 
Erro L =  0,005 mm (para todas) 
 
 
 
L = 14,500 + 0,483 = 14,983mm 
 
 
 
 
 
 
L = 13,500 + 0,431 = 13,931mm 
 
 
 
 
 
L = 16,500 + 0,029 = 16,529mm 
 
0 5 10 15 
0 5 10 15 
0 5 10 15 
0 5 10 15 
 20 
O Paquímetro 
 
Na Figura 1, apresentamos uma ilustração de um Paquímetro. Esse 
instrumento é utilizado para medir pequenas dimensões (o nosso de 6’ mede 
até 15cm) sendo, no entanto, sua maior aplicação em medidas de diâmetros 
internos e externos comprimentos de objetos profundida de um furo ou de uma 
depressão etc. Todos esses tipos de medidas podem ser lidas em duas 
escalas diferentes: uma inferior, em centímetro, e a outra superior, em 
polegadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para ter uma precisão melhor do que 1mm, numa escala milimetrada, o 
paquímetro faz uso de uma escala auxiliar denominada de NÔNIO ou 
VERNIER que pode fornecer uma precisão melhor do que 0,1mm. Vejamos 
como funciona essa escala auxiliar que facilita a leitura de frações da escala 
principal: 
Considere que o VERNIER tem n divisões de amplitude u. O comprimento 
do VERNIER será então nu. Construindo a escala do VERNIER de forma que 
ela tenha um número inteiro N de divisões da escala principal de unidade U, 
temos: 
 NU=nu (1) 
Na figura 2 escolhemos, por exemplo, N=9 e n=10, veja que 10u=9U como 
pode ser verificado no confronto das duas escalas. Na figura 3 estamos 
colocando uma esfera de diâmetro D para ser medida. Note que, como 
indicado pela posição 0 (zero) da escala do VERNIER, seu diâmetro é maior do 
que 2U (duas unidades da escala principal), isto é: 
D = 2U + (fração de 1U) (2) 
 
O que queremos, agora, é encontrar essa fração de 1U. 
 
 
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 
Trava 
Manter sempre 
Destravada. 
Mandíbulas 
 para Medida 
Interna 
Mandíbulas 
para 
 Medida 
Externa 
Mede 
Profundidade 
A Escala Superior, em 
Polegadas, não foi desenhada. 
Pressione o polegar aqui para 
mover o cursor 
 
Figura 01. Ilustração simplificada 
do paquímetro. 
0 1 23 4 5 6 7 8 9 1 0 
 21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Normalmente, 1U é maior que 1u, como mostrado no exemplo da figura 
2. Além disso, a diferença entre 1U e 1u é pequena e se, por exemplo, 
escolhermos n=10 então essa diferença seria d=1U/n onde 1U foi a divisão da 
escala principal escolhida para ser estimada em n partes. Note que, na figura 2, 
o pedacinho que falta para que 1u seja igual a 1U é exatamente 1U/n ou 0,1U. 
Em alguns casos, podemos escolher 2U para ser estimado em n partes, onde 
2U>u e a diferença entre 2U e 1u é 2U/n. Assim, para incluir casos como esses 
vamos considerar que: 
 d = mU – u 
onde m é um inteiro que, dependendo das duas escalas, pode ser 1, 2 etc. 
Então: 
 d = mU – U N/n = U(m – N/n) = U(mn-N)/n (3) 
onde, na equação acima, substituímos u pelo valor obtido a partir da equação (1). Para o 
nosso exemplo da figura 2, tem-se: 
 
 d = U(1x10 – 9) /10 = 0,1U (4) 
 
Consideremos os seguintes pontos: 
 p a posição da escala principal 
que fica à esquerda do ponto 0 
(zero) da escala do VERNIER 
 q a posição do VERNIER que 
está alinhada com uma posição 
qualquer da escala principal. 
 p a diferença entre o zero do 
VERNIER e o ponto p a sua esquerda. 
 
 
Na figura 3, por exemplo, teríamos p=2 (em unidades U) e q=4 (em unidades u). O 
valor de p está indicado pelas duas setas. 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 u (unidade) 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 U (unidade) 
Figura 3. 
Montagem simplificada de um Paquímetro com a 
Escala Principal e o VERNIER e a medição do 
diâmetro de uma esfera. 
 D 
p 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 u (unidade) 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 U (unidade) 
Figura 2. 
Escala Principal e VERNIER. Veja que NU=nu onde 
N=9 e n=10, U e u são as unidades de cada escala. 
 22 
Na figura 4, mostramos o caso em que o VERNIER tem sua posição zero (onde 
se lê na escala o valor medido de um comprimento) entre as posições p=1 e p=2 da 
escala principal. A posição q=1 coincide com a posição p=2 da escala principal. 
Então a diferença p entre a posição p=1 e o zero da escala do VERNIER será 
exatamente d; assim podemos escrever: 
 
 p = (q) d = d (5) 
 
como mostra a figura 4. No nosso exemplo, caso estejamos medindo um comprimento 
L, devemos ter: 
 L = p + p = p + d =1U + 0,1U = 1,1 U (6) 
Na figura 5, mostramos um caso semelhante ao anterior, porem com uma 
diferença: é a posição q=2 que coincide com uma das posições da escala 
principal no caso p=3. 
A diferença entre a posição p=1 e o zero da escala do VERNIER, como mostra 
a figura 5 nas subdivisões da escala principal é exatamente 2d, logo: 
 p = (q) d=2d (7) 
O valor do comprimento L medido seria: 
 L = p + p = 1U + 2d = 1U + 0,2U = 1,2U (8) 
 
Podemos, então, dizer que: se a posição da 
escala do VERNIER q coincide com uma 
das posições (p qualquer) da escala 
principal, então a diferença entre a posição 0 
(zero) do VERNIER e a posição p da 
ESCALA PRINCIPAL a sua esquerda é: 
 
 p = (q) d (9) 
Portanto, o valor L de uma grandeza medida será a soma do valor da escala principal p 
(a esquerda do zero do VERNIER) mais p, isto 
é: 
 L = p(U) + p = pU + (q) d = pU + 
qU(mn-N)/n = U[ p + q (mn-N)/n] (10) 
Utilizando os valores do exemplo da figura 3, 
temos: 
 p=2; valor da divisão da ESCALA 
PRINCIPAL a esquerda do zero do 
VERNIER 
 q=4; valor da escala do VERNIER que coincide com uma das divisões da 
ESCALA PRINCIPAL. 
 N=9 número de divisões da escala principal cuja comprimento NU=nu. 
 0 q=1 q=2 q=3 VERNIER 
 p=1 p=2 p=3 p=4 U 
p = d 
 Figura 4 Note que dividimos a 
unidade U em 10 partes como obtido 
pela eq. (4) onde d=0,1U. 
 0 q=1 q=2 q=3 VERNIER 
 p=1 p=2 p=3 p=4 U(unidade) 
p = 2d 
 
Figura 5 - 
A posição q=2 coincide agora com p=3U 
indicando p = 2d = 0,2U como pode ser 
visto nas subdivisões de U. 
 23 
 n=10 número de divisões do VERNIER. 
 m=1 Observe, na figura 3, que U>u e d=U – u assume um valor mínimo. 
Portanto, o diâmetro da esfera é; 
 D = U[ p + q (mn-N)/n] = U[2+4(1x10-9)/10]=U[2+0,4] 
 D = 2,4U 
Observe que, para esses valores de N e n, podemos escrever: 
 D = (p + q/10) U 
logo D = (2+0,4) U = 2,4 U isto é, a escala do VERNIER já está em décimos de 
milímetros. 
 Na figura 6, mostramos parte de paquímetro com um VERNIER de 10 divisões, 
isto é: n=10 e N=9 como no exemplo da figura 2. Agora temos como menor unidade ou 
divisão da escala principal o milímetro, logo U=1mm. Na figura 6, obtemos p=87(mm) 
e q=8 (que coincide com p=95 na escala principal). Substituindo esses valores na 
equação 10 temos: 
 L = [ 87 + 8 (1x109) /10 ] mm= (87+0,8) mm 
L = 87,8 mm 
E o erro cometido na leitura de L? Veja que a menor variação que temos na medida de L 
é L= 0,1mm e não temos como avaliar um valor menor. Portanto, esse é o erro 
cometido na leitura de L, portanto: 
 L = 87,8  0,1 mm 
Na figura 7, temos um VERNIER de 20 
divisões ou n=20 e N=19. Da escala 
principal temos U=1mm e da figura 
obtemos p=76(mm) e q=17 (que coincide 
com p=93 na escala principal). Da 
equação 10, obtemos: 
 L = [76+17(1x2019)/20] = (76+17/2) = (76 + 0,85)mm 
 L = 76,85 mm 
Observe que colocamos duas 
escalas no VERNIER. A 
superior fornece o valor de q o 
qual é aplicado na equação (10) 
para o cálculo de L. Já a escala 
inferior, que tem os valores da 
superior divididos por 2, facilita 
a leitura, pois o valor lido já está 
em centésimos de milímetros. Na 
leitura de L teríamos L=76mm + 0,85mm = 76,85mm. 
O erro de L nessa escala, da mesma forma que a anterior, será a menor variação na 
leitura L, isto é, L= 0,05mm, temos então: 
 L = 76,85  0,05 mm 
 70 80 90 100 (mm) 
Figura 7 Temos p = 76(mm) e q = 17 
(0,85) 
 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 VERNIER 
Figura 6 
p = 87(mm) e 
q = 8 
 70 80 90 100 (mm) 
0 5 10 
 VERNIER 
 24 
Medidas Indiretas e Propagação de Incertezas 
 Nem sempre é possível determinar certas grandezas por medição direta, para se 
determinar a densidade de um objeto, por exemplo, é preciso medir a sua massa e o seu 
volume, que por sua vez é determinado pela medida de suas dimensões. Todas estas 
medidas estarão afetadas de incertezas, que na determinação da densidade se propagarão 
e darão origem a uma incerteza na densidade. 
 Inicialmente, vamos uniformizar a nossa linguagem: ao invés de erros, desvios, 
incertezas, utilizaremos apenas incertezas que é um termo mais abrangente. Quanto à 
representação matemática, para grandezas tais como x, t, T, v, Tc, representaremos suas 
incertezas (ou incertezas absolutas) por x, t, T, v, Tc, e, conseqüentemente, suas 
incertezas relativas por x/x, t/t, T/T, v/v, etc. 
 
i) Incerteza em uma soma ou diferença. 
Suponha que vamosdeterminar a grandeza S = A – B + C + ....... 
e foram feitas as medidas A ± A, B ± B, C ± C,...... 
Como determinar a incerteza S associada a uma soma? 
Para simplificar, adotaremos o critério mais desfavorável, isto é, vamos supor que 
todas as incertezas A, B, C, etc. contribuam para S no mesmo sentido, em outras 
palavras, tenham o mesmo sinal. 
 S = A + B + C + ... (1) 
 
Na diferença as incertezas também se somam. Note que o sinal de B é 
positivo. Portanto, nas expressões com diferença de parcelas ou soma os erros sempre 
se somam. 
 Utilizando critérios mais rigorosos obtêm-se uma expressão para a incerteza 
associada com operações de soma e/ou subtração de grandezas medidas dada por: 
 
 
      ...CBAS 222E 
 (2) 
essa expressão, logicamente, vai fornecer um valor diferente (SE ≤ S) daquele obtido 
com a expressão da equação (1-13), porém, para os nossos objetivos e praticidade das 
nossas atividades e considerando que estamos adotando o critério mais desfavorável à 
utilização da equação (1) não vai, de modo algum, distorcer ou modificar os conceitos 
dos erros associados às medidas, apenas os valores seriam, na maioria dos casos, 
ligeiramente diferentes. 
Aplicação 1 
Na determinação do perímetro de um quadrilátero, mediram-se os seus lados a, b, c, e d 
com instrumentos diferentes obtendo-se 
 a = ( 5,03 ± 0,05 ) cm, b = ( 6,8 ± 0,5 ) cm 
 c = ( 0,673 ± 0,001) cm d = ( 2,36 ± 0,05 ) cm 
Na calculadora obtém-se que o perímetro 
p = 5,03 + 6,8 + 0,673 + 2,36 = 14,863 cm 
 25 
e a incerteza 
p = a + b + c + d = 0,05 + 0,5 + 0,001 + 0,05 = 0,601cm 
Como devemos ter apenas um algarismo significativo para o erro escrevemos 
p = 0,6 cm 
conseqüentemente, utilizando nosso critério de aproximação, podemos escrever: 
p = ( 14,9 ± 0,6 ) cm 
 
ii) Incerteza em uma multiplicação, potenciação e divisão 
 Para calcular a incerteza numa expressão envolvendo multiplicação, divisão e 
potenciação, como em 
 Y = K a
p  bq  cr (3) 
 
onde K é uma constante, p, q, r são expoentes positivos ou negativos e a, b, c são 
variáveis, usaremos a seguinte expressão: 
 
c
Δc
r
b
Δb
q
a
Δa
p
Y
ΔY

 (4) 
 
Para verificar esta equação basta lembrar que a diferencial de uma função do tipo 
y = y(a,b,c) 
é dada por: 
dc
c
y
db
b
y
da
a
y
dy 






 (5) 
 
a qual, após ser dividida em ambos os lados por y e tomando-se os módulos (lembre-se 
que estamos utilizando o critério mais desfavorável) dá origem à expressão para a 
incerteza estimada. 
É importante não esquecer que esta expressão só é válida se y = y(a,b,c). Se for 
necessário calcularmos a incerteza de uma variável em função das outras, por exemplo, 
a em função de y, b e c, necessitaremos expressar esta variável "a" como função 
de y, b e c. Isto é, a = a(y,b,c) e só então utilizar a expressão (5). 
 A expressão (5), utilizando critérios mais rigorosos, teria uma forma do tipo: 
 
y
2
 = 
2








a
y
a
2
 +
2








b
y
 b
2
 + 
2








c
y
c
2
+ ... (6) 
onde y é o erro de y=f(a,b,c,...) e a, b, c etc. são os erros associados as medidas de 
a, b e c etc. Se y é dado por (1-15) podemos obter uma expressão para o cálculo do erro 
equivalente a expressão (1-16), isto é: 
2
c
Δc2
2
b
Δb2
2
a
Δa2
Y
ΔY
























 rqp
 (7) 
 26 
 
 Note que para o caso de uma variável apenas esta expressão é idêntica a (4) 
 
Aplicação 2 
Na determinação do volume de um cilindro foram feitas as seguintes medidas: 
 raio r = (2,02 ± 0,03)cm, e 
altura h = (8,432 ± 0,005)cm. 
Determine o volume deste cilindro. 
Solução: Sabemos que V =  r2 h, então V = 3,14  (2,02)2  8,432 = 108,0346 cm3. 
Para o cálculo de V, utilizamos a expressão (1-16) e obtemos: 
 V = V x ( 2x (r/r) + [(h/h)) 
 V = 108,0346 x (2x (r/r) + (h/h)) 
 V = 3,2730 cm3 (a) 
ou V = 3 cm3 
portanto podemos escrever o volume do cilindro como: 
 V = (1083) cm3. (b) 
 
Caso utilizássemos a equação (6) teríamos duas variáveis r e h (grandezas medidas) 
portanto: 
 V
2
 = 
2








r
V

r
2
 +
2








h
V
 
h
2
 (c) 
de V =  r
2
 h 
obtemos 
 








r
V
= h (2r) e 








h
V
=  r
2
 (d) 
substituindo em (1-22) vem: 
 
 V
2
 = (2 h r)2 r
2 + (r
2
)
2
 h
2
 (e) 
 
dividindo a equação (e) por V
2
 obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
h222
22
2
r22
2
2
h22
22
2
r22
22
V ε
hπr
r π
ε
rπrh
πrh2
ε
hπr
r π
ε
hπr
hr 2π
V
ε






 
que simplificando toma a forma: 
2
h
2
r
2
V
h
ε
r
2ε
V
ε


















 
ou 
2
h
2
r
V
h
ε
r
2ε
ε 











V
 (f) 
esta equação pode ser obtida mais facilmente utilizando-se a equação (7) onde: 
V = Y, V = Y 
 27 
r =a, r = a, p=2 
h =b, h = b q=1 
e (c=0) obtemos: 
22
h
h
r
r2
V 




 





 
 V
 (g) 
que é equivalente a equação (f). Substituindo os valores dos erros, h, r e de V na 
equação (1-26) obtemos: 
3
22
V 3,2096cm
8,432
0,005
2,02
0,032
108,0346ε 










 

 (h) 

V = 3 cm
3
 (i) 
que é o mesmo valor, V = 3 cm3 calculado anteriormente. 
Note que o valor V = 3,2096 cm
3
 de (a) e V = 3,2730 cm3 de (h) antes do 
arredondamento tem uma diferença menor do que 2%, portanto a utilização da equação 
(4) para obtenção do erro é bastante satisfatória e bem mais fácil de ser calculada. 
 
Aplicação 3 
Calcule o volume de um sólido constituído por dois cubos de lados: 
 L1=(7,65 ± 0,05) cm e L2=(3,25±0,05) cm. 
 
Solução: V = V1 + V2 = L1
3
 + L2
3
 = 7,65
3
 + 3,25
3
 = 482,02 cm
3
 
 V = V1 + V2 
V1 = L1
3
 logo V1 / V1 = 3 L1 / L1 e V1 = 3 L1 L1
2
 
 V2 = L2
3
 logo V2 / V2 = 3 L2 / L2 e V2 = 3 L2 L2
2
 
Assim V = 3 L1 L1
2
 + 3 L2 L2
2
 = 10,362 cm; 
conseqüentemente, V = 1101 cm3 
 
Finalmente, V = (48 ± 1) 101 cm3 
 
Questão 1.5-1 
Na função Z = 4XY
2
 + 2X
2
/Y
3
 dados X, Y, X e Y, calcule o desvio de Z, isto 
é, calcule Z.