Lista de Modelagem 1

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Universidade Federal de Ouro Preto � UFOP
Escola de Minas
Departamento de Engenharia de Produção � DEPRO
Disciplina: PRO706 � Pesquisa Operacional I
Professor: Helton Gomes (helton.gomes@gmail.com)
Período: 2018/1
Exercícios - Modelagem de Problemas de Programação Linear
Data: março/2018
1. Uma empresa moveleira fabrica três tipos de mesas de fórmica: quadrada, retangular e
redonda. Cada mesa passa por dois processos: montagem e acabamento. Existem 1.000
horas disponíveis da mão-de-obra para montagem e 600 horas para o acabamento. A tabela
1 a seguir sumariza o número de horas requerido em cada mesa, em cada um dos processos,
bem como o lucro unitário de cada mesa:
Escreva um modelo de programação linear visando determinar quantas mesas de cada tipo
a empresa deve fabricar a fim de obter o maior lucro possível.
2. Uma fazenda pecuarista pode comprar e misturar um ou mais de um de três tipos de grãos,
cada um contendo diferentes quantidades de quatro elementos nutrientes, cujos dados sãos
apresntados na tabela 2 a seguir:
O gerente de produção especifica que qualquer mistura para ração de seu gado deve satis-
fazer pelo menos as exigências mínimas de nutrientes, e ele procura a de menor custo entre
todas essas misturas.
Suponha que seu horizonte de planejamanto seja um período de duas semanas, isto é, ele
compra o suficiente para preencher suas necessidades por duas semanas.
Escreva um modelo de programação linear visando determinar qual o nível de peso para
cada grão a fim de atender o objetivo de minimização de custos da mistura.
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3. O dono de uma granja precisa fabricar uma ração especial para as suas aves, de forma a
atender diversas exigências alimentares.
A produção desejada dessa ração é de 90 Kg, e a mistura deve ser formada por dois
ingredientes básicos: milho e farelo de arroz. A partir da tabela 3, pede-se formular um
modelo de programação linear para atender às necessidades diárias a um custo mínimo.
4. Uma linha de produção possui dois tipos de máquinas, M1 e M2. A máquina M1 pode
produzir diariamente 1.000 produtos do tipo 1, 2.000 do tipo 2 e 1.500 do tipo 3.
A máquina M2 pode produzir diariamente 5.000 produtos do tipo 1, 800 do tipo 2 e 1.500
do tipo 3.
Sabendo-se que o custo operacional diário da máquina M1 é de R$ 200 e o da máquina
M2 é de R$ 250, deseja-se saber quantos dias cada máquina deverá ser operada de modo a
produzir, ao menor custo possível, pelo menos 40.000 produtos do tipo 1, 24.000 do tipo 2
e 30.000 produtos do tipo 3.
5. Uma empresa possui duas fábricas, I e II, respectivamente. Três de seus produtos, que
identificaremos como A, B e C, são produzidos em cada uma das fábricas I e II.
Os produtos são similares, no sentido de que todos requerem a mesma quantidade e tipo
de matéria, por unidade produzida.
No entanto, o tipo de equipamento e as condições dele, variam de uma fábrica para outra,
com o resultado de que os custos unitários de fabricação, para os respectivos produtos,
dependem da fábrica em que são produzidos. Especificamente, os custos são os seguintes:
O Departamento de Controle de Produção é avisado de que, para a próxima semana, deverá
providenciar a fabricação de 110 unidades do produto A, 80 de B e 60 do produto C.
Uma verificação nos estoques das duas fábricas revela que a fábrica I tem quantidade
suficiente de matéria-prima para fabricar um total de 150 unidades dos produtos A, B e
C em conjunto, e que a fábrica II tem quantidade suficiente para fabricar um total de 100
unidades dos produtos A, B e C também em conjunto.
Além disso, concluiu-se que não é econômico enviar matéria-prima de uma fábrica a outra,
e que não há tempo suficiente para nenhuma das fábricas obterem material adicional de
um fornecedor.
Dadas essas circunstâncias, o Departamento de Controle de Produção deverá construir
um modelo para determinar as quantidades de cada um dos produtos que necessitam ser
programadas para produção nas respectivas fábricas. Esse programa de produção, é claro,
deverá minimizar os custos totais de produção e, além disso, satisfazer a demanda dos
produtos.
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6. Uma refeição padrão é constituída de cinco alimentos diferentes: carne (alcatra magra),
arroz, feijão, ovo e batata. A tabela a seguir dá os valores nutricionais desses alimentos,
para cada 100 g:
Os preços (R$) de cada porção de 100 g dos alimentos são os seguintes:
Deseja-se saber o consumo diário de cada alimento de tal maneira que a refeição satisfaça
as quantidades mínimas da tabela abaixo a custo mínimo.
7. Uma certa empresa é a líder mundial na fabricação de certo produto. Recentemente, essa
empresa recebeu um pedido de $ 750.000,00 para diversas quantidades de três tipos desse
produto. Cada produto exige certa quantidade de tempo para ser montado e para receber
acabamento fino. A tabela abaixo resume as exigências para os três tipos de produto.
No entanto, essa empresa não tem capacidade suficiente para produzir os produtos, de
modo a concluir o pedido até a data de entrega.
A empresa tem somente 10.000 horas de capacidade de montagem e 5.000 horas de capa-
cidade de acabamento para alocar esse pedido.
Entretanto, a empresa pode subcontratar qualquer parte desse pedido com um de seus
concorrentes. Os custos unitários ($) para produzir internamente cada modelo e o custo
de compra de produtos fabricados por um concorrente estão resumidos a seguir:
A empresa quer determinar o número de produtos que deve produzir e o número que deve
comprar, de modo a atender o pedido do cliente com o menor custo possível.
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8. Uma refinaria produz três tipos de gasolina: verde, azul e comum.
Cada tipo requer gasolina pura, octana e aditivo que são disponíveis nas quantidades de
9.600.000, 4.800.000 e 2.200.000 litros por semana, respectivamente. As especificações de
cada tipo são:
• um litro de gasolina verde requer 0,22 litro de gasolina pura, 0,50 litro de octana e
0,28 litro de aditivo;
• um litro de gasolina azul requer 0,52 litro de gasolina pura, 0,34 litro de octana e 0,14
litro de aditivo;
• um litro de gasolina comum requer 0,74 litro de gasolina pura, 0,20 litro de octana e
0,06 litro de aditivo.
Como regra de produção, com base na demanda de mercado, o planejamento da refinaria
estipulou que a quantidade de gasolina comum deve ser no mínimo igual a 16 vezes a
quantidade de gasolina verde, e que a quantidade de gasolina azul seja no máximo igual a
600.000 litros por semana.
A empresa sabe que cada litro de gasolina verde, azul e comum dá uma margem de contri-
buição para o lucro de $ 0,30, $ 0,25 e $ 0,20, respectivamente, e seu objetivo é determinar
o programa de produção que maximiza a margem total de contribuição para o lucro.
9. Uma fábrica de cimento produz dois tipos de cimento: cimento tipo 1 e cimento tipo 2.
As fórmulas convecionais de fabricação dos dois tipos de cimento são mostradas na tabela
abaixo:
A produção de clínquer é limitada a um máximo de 1.100.000 toneladas por ano (capacidade
do forno). Da mesma forma, a produção dos dois tipos de cimento também se limita a
1.100.000 toneladas por ano (capacidade do moinho).
São conhecidas as seguintes limitações adicionais:
• venda de clínquer a outros fabricantes de cimento: máximo de 200.000 t/ano;
• Compra de escória de usinas siderúrgicas: máximo de 180.000 t/ano;
• compra de gesso e aditivo (cada um): máximo de 50.000 t/ano.
Por outro lado, são conhecidos os seguintes dados de lucros e custos:
• contribuição marginal do cimento tipo I: $ 41,00/t;
• contribuição marginal do cimento tipo II: $ 37,80/t;
• contribuição marginal do clínquer: $ 34,40/t;
• custo da escória de siderúrgica: $ 22,10/t;
• custo do gesso: $ 34,20/t;
• custo do aditivo: $ 1,90/t;
O objetivo da empresa é calcular a produção total anual que maximiza olucro total.
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10. Uma determinada cidade enfrenta uma séria carência orçamentária. Em busca de uma
solução de longo prazo, a câmara de vereadores da cidade aprova uma melhoria da base
de cobrança de impostos que prevê a condenação de uma área habitacional do centro da
cidade e sua substituição por um conjunto habitacional moderno.
O projeto envolve duas fases:
(a) Demolição das casas que estão aquém do padrão, visando liberar terreno para o novo
projeto; e
(b) Construção do novo conjunto urbano.
O resumo do projeto é apresentado a seguir:
• Um total de 300 casas aquém do padrão podem ser demolidas. Cada casa ocupa um
lote de 0,25 acres (1 acre
∼= 4.046,8m2). O custo da demolição de uma casa condenada
é de $ 2.000;
• Os tamanhos de lotes para domicílios (unidades) simples, duplos, triplos e quádru-
plos são de 0,18; 0,28; 0,40 e 0,50 acres, respectivamente. Ruas, espaços abertos e
instalações públicas ocupam 15% da área disponível;
• No novo conjunto habitacional, as unidades triplas e quádruplas representam no mí-
nimo 25% do total. Unidades simples devem representar no mínimo 20% de todas
unidades, e unidades duplas, no mínimo 10%;
• O imposto cobrado por unidade para unidades simples, duplas, triplas e quádruplas
é de $ 1.000, $ 1.900, $ 2.700 e $ 3.400, respectivamente;
• O custo da construção por unidade domiciliar simples, dupla, tripla e quádrupla é de
$ 50.000, $ 70.000, $ 130.000 e $ 160.000, respectivamente. O financiamento acordado
com um banco local será de no máximo $ 15 milhões.
Quantas unidades de cada tipo devem ser construídas para maximizar a arrecadação de
impostos?
11. Um empresa de investimentos possui $ 6 milhões, quantia essa que deverá ser aplicada em
5 tipos de investimento, sendo que os retornos para cada investimento são:
• investimento 1 (I1) → 10 % ;
• investimento 2 (I2) → 8 % ;
• investimento 3 (I3) → 6 % ;
• investimento 4 (I4) → 5 % ;
• investimento 5 (I5) → 9 % ;
O gerente financeiro desta empresa deseja diversificar os investimentos para obter o máximo
rendimento possível.
Devido ao risco envolvido, o gerente restringiu:
• a quantia aplicada no I1 não mais que a quantia total que irá investir em I3, I4 e I5
em conjunto;
• a quantia total aplicada em I2 e I5 deve ser pelo menos igual à quantia aplicada em
I3;
• O I2 deve estar limitado a um nível que não exceda a quantia aplicada em I4.
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Como deve ser feito o investimento entre os 5 tipos, de forma que o retorno ao final do ano
seja máximo?
12. Uma empresa logística irá transportar cargas de três tipos diferentes. A empresa transpor-
tadora colocou à disposição da empresa produtora três containers com capacidade de peso
e volumes diferentes.
• O primeiro container tem capacidade de 27,33 t de peso e 75,24 m3 de volume;
• O segundo container tem capacidade de 24 t de peso e 47,16 m3 de volume;
• O terceiro container tem capacidade de 26,98 t de peso e 49,59 m3 de volume;
A carga a ser transportada:
• do tipo I tem 32,25 t de peso e 2,64 m3/t;
• do tipo II tem 26,80 t de peso e 1,89 m3/t;
• do tipo II tem 29,60 t de peso e 1,77 m3/t;
O lucro por tonelada transportadané de $ 2.000,00; $ 1.800,00 e $ 1.600,00 para as cargas
do tipo I, II e III, respectivamente.
Modele este problema para se saber como deve ser distribuída a carga nos containers para
se obter o lucro máximo.
13. Um rede de depósitos de material de construção tem 4 lojas que devem ser abastecidas
com 50 m3 (loja 1), 80 m3 (loja 2), 40 m3 (loja 3) e 100 m3 (loja 4) de areia.
Essa areia pode ser carregada em 3 portos (P1, P2 e P3), cujas distâncias às lojas , em
Km, estão na tabela a seguir:
O caminhão pode transportar 10 m3 por viagem. Os portos tem areia para suprir qualquer
demanda. Estabelecer um plano de transporte que minimize a distância total percorrida
entre os portos e as lojas e supra as necessidades das lojas. Construa o modelo linear do
problema.
14. Durante os próximos seis meses, uma empresa deve atender aos seguintes compromissos de
seção de produção:
Ao final de dezembro, há 500 peças em estoque e a empresa só tem capacidade para produzir
3000 peças mensais.
Entretanto, usando horas extras, a empresa pode produzir até 600 peças a mais que sua
capacidade nominal.
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O custo de produzir uma peça é de R$ 3,00 por peça, e o custo de produzir em horas extras
é de R$ 3,40 por peça. Além disso, peças que ficam em estoque de um mês para o outro
provocam um custo aproximado de R$ 0,25 por peça.
Pede-se um modelo de programação linear que satisfaça a demanda, mas minimize os custos
de produção.
15. Uma certa empresa fabrica compressores de ar para trabalho pesado. Atualmente, esta
empresa está tentando planejar seus níveis de produção e estoque para os próximos seis
meses.
Devido às flutuações sazonais nos custos de serviços públicos e de matéria-prima, o custo
de produção do compressor de ar varia a cada mês - acompanhando a demanda.
A capacidade de produção também varia de um mês para o outro devido às diferenças no
número de dias úteis, feriados, manutenção e treinamentos programados.
A tabela a seguir traz os custos mensais de produção, a demanda e a capacidade de produção
que a gerência estimou para os próximos seis meses.
O depósito da empresa comporta no máximo 6.000 unidades e o proprietário da empresa
deseja manter pelo menos 1.500 unidades como estoque de segurança para atender a con-
tigências de demandas inesperadas.
Para manter uma força de mão de obra estável, a empresa quer produzir pelo menos o
equivalente à metade de sua capacidade mensal de produção.
Um gerente da empresa prevê que o custo de manter uma unidade em estoque, em qualquer
mês, seja aproximadamente igual a 1,5 % do custo unitário de produção do mesmo mês.
A empresa calcula o número de unidades mantidas em estoque a cada mês pela média do
estoque inicial e final de cada mês.
Atualmente, há 2.750 unidades em estoque. A empresa deseja identificar o plano de pro-
dução e de estoque para os próximos seis meses que atenda à demanda esperada a cada
mês ao mesmo tempo que minimiza os custos de produção e de estoque.
16. Um investidor dispõe de R$ 6000 e está contemplando a possibilidade de compra de dois
dos seguintes tipos de ações:
• Tipo I - preço unitário de compra de R$ 5 e rentabilidade anual, por hipótese, de 80
% ;
• Tipo II - preço unitário de compra de R$ 4 e rentabilidade anual, por hipótese, de 50
% ;
O investidor não deseja adquirir mais do que 1750 ações e seu corretor só pode conseguir
1000 ações do Tipo I e 1500 ações do Tipo II. Que quantidade deve comprar de cada tipo
de ação, se o objetivo do investidor é maximizar o total de capital no fim de um ano?
17. Uma rede de distribuição logística de um determinado produto é composta por 4 pontos
de oferta e por 10 mercados consumidores.
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Devido às restrições financeiras e tecnológicas, cada fonte possui um limite superior para sua
oferta. Cada mercado consumidor possui uma demanda específica, que deve ser atendida
da melhor maneira possível.
O problema consiste em determinar a quantidade de itens que serão enviados de cada
ponto de oferta para cada mercado consumidor, a fim de que os custos de transportes
sejam minimizados.
Para isso, são conhecidos os dados de distâncias (em Km) entre cada fonte de oferta e
cada mercado, bem como o limite de oferta de cada fonte e a demanda requerida por cada
mercado, conforme pode ser visto na tabela a seguir:
O custo de frete de cada item é R$ 0,50 por Km. Determine quanto deverá ser remetido
de cada fonte para cada um dos mercados consumidores para que os custos de transporte
sejam minimizados.
18. Deseja-se contratar n operários para executar n tarefas a um custo mínimo. Suponha que
cij seja o salário do operário i para executar a tarefa j.Por exemplo, considere os salários
da tabela abaixo.
Trata-se de designar quatro operários para executar quatro tarefas. Modele a situação de
maneira a atribuir os operários às tarefas de maneira que o total gasto com salários seja
mínimo.
19. Considere a seguinte versão modificada do problema do transporte:
Bens e serviços devem passar por pontos intermediários, ou de transbordo, provenientes de
uma fonte oridinal, a um destino final. A figura abaixo ilustra essa situação.
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Modele a situação, visando minimizar o custo total de transporte entre um ponto de origem
i e o ponto de destino j, passando por uma instalação intermediária k.
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