3º Teste de Fundamentos de Mecânica (02/2014 - UFMG)

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GABARITO DO3o TESTE DE FUNDAMENTOS DE MECAˆNICA - TURMA N3 - valor= 5 pontos
Dados: sen(45◦)=cos(45◦)=
√
2
2
Abaixo esta˜o os Momentos de Ine´rcia de alguns corpos uniformes por eixos que passam pelo centro de massa:
- disco ou cilindro de massa M , raio R, pelo seu eixo: ICM,cil =
1
2
MR2
- esfera macic¸a de massa M , raio R, por um eixo que passa pelo seu centro de massa: ICM,esf,1 =
2
5
MR2
- esfera oˆca de massa M , raio R, por um eixo que passa pelo seu centro de massa: ICM,esf,2 =
2
3
MR2
- barra de massa M , comprimento L, por um eixo que passa pelo seu centro de massa, perpendicular a`
barra: ICM,bar =
1
12
ML2
1- A figura ao lado mostra 4 estrelas de mesma massa m colocadas nos
ve´rtices de um quadrado plano de lado a, isoladas do resto do universo.
1.1– Calcule o mo´dulo da forc¸a gravitacional resultante em cada uma
das estrelas e desenhe essa forc¸a na figura, para uma das estrelas.
1.2– Calcule a energia potencial gravitacional total do sistema nessa
situac¸a˜o, considerando nula a energia potencial quando esta˜o in-
finitamente afastadas umas das outras.
1.3– Calcule a velocidade angular que o sistema tem que possuir, para
que girem em o´rbita em torno umas das outras mantendo a con-
figurac¸a˜o do quadrado de lado a, sem se aproximarem ou se afasta-
rem umas das outras.
ra
io
m
a
am m
a
a m
2
34
F21
F31
F41
CM
Soluc¸a˜o
Para facilidade de racioc´ınio, numerei as estrelas de 1 (na˜o mostrado) a 4. Na estrela 1 atuam as forc¸as
gravitacionais das 3 outras, mostradas na figura. O mo´dulo das forc¸as que as estrelas 2 e 4 fazem na estrela
1 sa˜o iguais,
F21 = F41 = G
m2
a2
(1)
mas, pelo fato de estar mais distante, o mo´dulo da forc¸a gravitacional da estrela 3 sobre a 1 e´ menor e vale
F31 = G
m2
2a2
. (2)
1.1– Somando as 3 forc¸as vetorialmente, a forc¸a resultante sobre a estrela 1 aponta para o centro de massa
do sistema e possui mo´dulo
FRES,1 = G
m2
a2
(√
2 +
1
2
)
. (3)
As forc¸as resultantes nas outras estrelas possuem mo´dulo igual e apontam para o centro de massa do sistema.
Para clareza, somente as forc¸as resultantes nas estrelas 3 e 4 foram representadas em vermelho na figura.
1.2– Duas massas, mA e mB, separadas de uma distaˆncia r possuem uma energia potencial gravitacional em
relac¸a˜o a` situac¸a˜o em que esta˜o infinitamente afastadas igual a
EPOT,AB = −G
mAmB
r
. (4)
Na situac¸a˜o do problema temos 6 pares
EPOT,total = EPOT,12 + EPOT,13 + EPOT,14 + EPOT,23 + EPOT,24 + EPOT,34. (5)
Calculando individualmente as energias para cada par, temos
EPOT,total =
(
−G
m2
a
)
+
(
−G
m2
a
)
+
(
−G
m2
√
2a
)
+
(
−G
m2
a
)
+
(
−G
m2
√
2a
)
+
(
−G
m2
a
)
,
EPOT,total = −G
m2
a
(
4 +
2
√
2
)
(6)
1.3– A forc¸a resultante atuando em cada estrela sera´, pela 2a Lei de Newton, igual a` sua massa vezes sua
acelerac¸a˜o. Para manter a forma de um quadrado, cada estrela deve realizar um c´ırculo em torno do
centro de massa do sistema e a acelerac¸a˜o sera´ a acelerac¸a˜o centr´ıpeta. Usando o resultado da Eq.(3)
FRES,1 = G
m2
a2
(√
2 +
1
2
)
= macentr = mω
2
(
a
√
2
2
)
ou ω =
√
G
2m
a3
(
1 +
1
2
√
2
)
(7)
2– A figura ao lado mostra um ioioˆ de massa M ,
raio maior R, momento de ine´rcia em torno do
eixo perpendicular a seu plano e que passa pelo
centro de massa I, e cujo eixo interno possui
raio r. O ioioˆ esta´ apoiado sobre uma superf´ıcie
horizontal plana com atrito. Ele e´ puxado por
uma forc¸a F , horizontal e constante, por meio
de um fio que se enrola em torno de seu eixo
como mostra a figura, sem que haja escorrega-
mento entre o ioioˆ e a superf´ıcie e entre o eixo
e o fio. Deˆ suas respostas em termos de M , R,
r, I, g e F .
Mg
R
r
com atrito, mas
sem deslizamento
F
M,I
NFa
2.1– Identifique na figura as forc¸as que atuam no ioioˆ, ale´m da forc¸a F ja´ indicada.
2.2– Escreva as equac¸o˜es da 2a Lei de Newton para a translac¸a˜o do centro de massa do ioioˆ e para sua rotac¸a˜o
em torno do ponto de contato do mesmo com a superf´ıcie horizontal.
2.3– Encontre a acelerac¸a˜o angular do ioioˆ em torno do ponto de contato e a acelerac¸a˜o linear do centro de
massa do ioioˆ (lembre-se que o ioioˆ rola sem deslizar sobre a superf´ıcie).
2.4– Encontre a forc¸a de atrito esta´tico entre o ioioˆ e a superf´ıcie (mo´dulo, direc¸a˜o e sentido).
Soluc¸a˜o
2.1– As forc¸as que atuam no ioioˆ, ale´m da que o fio faz, dada no enunciado, sa˜o seu (1) peso (realizado pela
Terra, vertical para baixo, valor Mg, atuando no centro de massa do ioioˆ), e a forc¸a que a superf´ıcie
horizontal faz no ioioˆ, no ponto de contato, que, para simplificar, dividimos em (2) a normal (vertical,
pois deve ser perpendicular a` super´ıcie horizontal, apontando para o centro de massa do ioioˆ) e (3) a
forc¸a de atrito que deve ser horizontal, pois e´ paralela a` suparf´ıcie. Como o ioioˆ na˜o deslizar (dado do
problema), essa forc¸a e´ de atrito esta´tico e, como na˜o esta´ em seu limite, na˜o se sabe quanto vale e
nem para onde aponta. Vou supor que aponta de forma a atrapalhar o movimento de translac¸a˜o do ioioˆ.
Todas as forc¸as foram desenhadas na figura.
2.2– Considerando translac¸a˜o na vertical, o ioioˆ na˜o se movimenta nessa direc¸a˜o e a resultante vertical das
forc¸as deve ser nula. Considerando positivo para cima
N + 0+ 0 + (−Mg) = 0 e N =Mg. (8)
Na horizontal, considerando positivo para a direita
0 + F + (−Fa,est) + 0 =Ma e Fa,est = F −Ma, (10)
onde na˜o conhecemos nem a acelerac¸a˜o do centro de massa e nem a forc¸a de atrito esta´tico. Considerando
agora a rotac¸a˜o em torno do ponto de contato com o piso, a 2a lei de Newton fica, lembrando que o ioioˆ
e´ um corpo r´ıgido e que o eixo na˜o se inclina,
τres,P = τpeso,P + τnormal,P + τatrito,P + τF,P = IPα. (11)
Como tanto o atrito como a normal atuam diretamente no ponto de contato, na˜o produzem torque. O
peso tambe´m na˜o exerce torque, porque o aˆngulo entre os vetores do produto vetorial e´ 180◦. A u´nica
forc¸a que exerce torque e´ a exercida pelo fio. O seu torque aponta para dentro do desenho e possui o
mo´dulo τres,P = τF,P = F (R− r) = IPα = (I +MR2)α, (12)
onde fez-se uso do teorema dos eixos paralelos para encontrar o momento de ine´rcia do ioioˆ em relac¸a˜o
ao ponto de contato.
2.3– Diretamente da Eq.(12) encontramos a acelerac¸a˜o angular do cilindro
α =
F (R − r)
I +MR2
. (13)
O ioioˆ faz um movimento de rolamento sem deslizar no ponto de contato. Para isso acontecer a velocidade
e a acelerac¸a˜o lineares de seu centro geome´trico (onde esta´ o centro de massa) precisam ter as relac¸o˜es
com sua velocidade e sua acelerac¸a˜o lineares: v = ωR e a = αR. Levando a segunda dessas relac¸o˜es na
Eq.(13), encontramos
a = αR =
F (R− r)
I +MR2
R. (14)
2.4– Levando a Eq.(14) na Eq.(10), encontramos a forc¸a de atrito esta´tico
Fa,est = F −Ma = F
(
1−
M(R− r)
I +MR2
R
)
. (15)