Apostila - Sinais e Sistemas NP 007

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Capítulo 1 – Introdução à Teoria de Sinais e Sistemas 1.1 
CAPÍTULO 1 
I TRODUÇÃO À TEORIA DE SI AIS E SISTEMAS 
O Curso de Sinais e Sistemas tem por objetivo permitir ao aluno a associação dos 
conceitos matemáticos com os fenômenos da natureza, para a compreensão e a análise do 
comportamento de sinais e sistemas lineares. 
Os conhecimentos adquiridos neste curso são básicos para o aprendizado e análise de 
vários conteúdos essenciais à formação de um engenheiro. 
Neste Capítulo 1 serão introduzidos os conceitos fundamentais e as operações básicas da 
teoria de sinais e sistemas, sobretudo no domínio do tempo. Nos demais capítulos serão 
enunciados os conceitos e ferramentas de análise de sinais e sistemas no domínio do tempo e 
da freqüência. 
A metodologia de aprendizado utilizada neste curso é apresentar a teoria de sinais e 
sistemas de maneira integrada e, sempre que possível, visualizar os fenômenos físicos 
existentes na natureza como a origem da teoria e não o contrário. 
1.1.I TRODUÇÃO AOS SI AIS E SISTEMAS 
Um sinal é uma função representando uma variável ou quantidade física e, tipicamente, 
contém informação sobre o comportamento ou a natureza de determinado fenômeno físico. 
Matematicamente, o sinal é representado por uma função. 
O sinal, representado por uma função de uma variável, é função da variável 
independente t e, em geral, t representa o tempo. 
Exemplos de sinais: 
• tensão ou corrente em um circuito; 
• vídeo; 
• áudio; 
• cotação diária do dólar; 
• eletrocardiograma; 
• concentração de álcool no sangue; 
• temperatura de uma sala; 
• .... 
Um sistema pode ser definido como um conjunto de elementos interdependentes que 
interagem com objetivos comuns formando um todo, e onde cada um dos elementos 
componentes comporta-se, por sua vez, como um sistema cujo resultado é maior do que o 
resultado que as unidades poderiam ter se funcionassem independentemente. Qualquer 
conjunto de partes unidas entre si pode ser considerado um sistema, desde que as relações 
entre as partes e o comportamento do todo sejam o foco de atenção1. 
Outra forma de definir um sistema é considerá-lo como um modelo2 matemático de um 
processo físico que relaciona um sinal de entrada (ou excitação) a um sinal de saída (ou 
resposta). Em outras palavras, dizemos que matematicamente, um sistema é definido como 
uma operação usada para relacionar um sinal r(t) (a saída) a um sinal f(t) (a entrada), isto é, 
 )]([T)( tftr = , (1.1) 
 
1 María Esmeralda Ballestero-Alvarez, Organização, Sistemas e Métodos. São Paulo: McGraw Hill, 1990. 
2 “Modelo é o conjunto de hipóteses sobre a estrutura ou o comportamento de um fenômeno físico pelo qual se 
procura explicar ou prever, dentro de uma teoria científica, as propriedades deste fenômeno”. (Aurélio, 1986) 
Capítulo 1 – Introdução à Teoria de Sinais e Sistemas 1.2 
onde T[ ] é a operação. Esta operação pode ser uma expressão algébrica, uma equação 
diferencial e/ou integral, etc. 
Exemplos de sistemas: 
• um circuito; 
• sistema auditivo; 
• sistema de comunicação; 
• sistema de controle; 
• sistema massa-mola; 
• válvula de controle; 
• .... 
1.2.CLASSIFICAÇÃO DOS SI AIS 
De um modo geral, os sinais são classificados através das denominações apresentadas a 
seguir. 
1.2.1.SI AL CO TÍ UO O TEMPO E SI AL DISCRETO O TEMPO 
No domínio do tempo, uma das classificações mais comuns é relacionada à continuidade 
do sinal. 
Os sinais contínuos no tempo (ou sinais de tempo contínuo) são sinais que variam 
dinamicamente e continuamente com o tempo. Estes sinais são definidos para qualquer 
instante de tempo sobre um domínio ou intervalo contínuo, ou ainda uma união de intervalos 
contínuos. 
Os sinais discretos no tempo (ou sinais de tempo discreto) são sinais que variam 
dinamicamente, mas que são avaliados somente em instante de tempos discretos. Estes sinais 
assumem somente valores contidos em um conjunto de pontos contáveis sobre uma linha real. 
A Fig.1.1 mostra exemplos destes sinais. 
 
Fig.1.1.a-Sinal contínuo no tempo. 
 
Fig.1.1.b-Sinal discreto no tempo. 
Capítulo 1 – Introdução à Teoria de Sinais e Sistemas 1.3 
 
Fig.1.1.c-Sinal contínuo e sinal discreto no tempo (amostrado). 
O sinal contínuo no tempo é, em geral, denotado por f(t) e o sinal discreto no tempo 
denotado por f[n]3. 
1.2.2.SI AL A ALÓGICO E SI AL DIGITAL 
Os sinais analógicos são sinais contínuos no tempo ou contínuos na amplitude, isto é, 
eles assumem qualquer valor de uma região contínua de um número incontável de possíveis 
valores de amplitude. 
Os sinais digitais são sinais discretos no tempo e também discretos na amplitude, isto é, 
assumem valores de amplitude dentre um conjunto de valores reais, discretos, contáveis e 
finitos. 
A Fig.1.2 mostra exemplos destes sinais. 
 
Fig.1.2-Sinal digital e sinal analógico. 
1.2.3.SI AL REAL E SI AL COMPLEXO 
A classificação de sinais em reais e complexos é uma ferramenta matemática necessária 
e importante na representação dos elementos de um espaço vetorial. Entretanto, como será 
estudado nos capítulos posteriores, os sinais representados de forma complexa são mais 
corriqueiramente utilizados na análise de sinais no domínio da freqüência. 
O sinal )(tf é um sinal complexo se Ctf ∈)( , ou seja, 
 
3 Considerando T o intervalo de amostragem e n um inteiro, amostrando f(t) nos instantes t = nT resulta uma 
amostra de valor f(nT). Por conveniência de representação escreve-se: f[n] = f(nT), n = 0, ± 1, ± 2, .... Então um 
sinal discreto no tempo é representado por uma sequência de números, ..., f[-1], f[0], f[1], f[2], .… 
Capítulo 1 – Introdução à Teoria de Sinais e Sistemas 1.4 
 )()()( tjftftf IR += , (1.2) 
sendo )(tfR a parte real e )(tf I a parte imaginária e ℜ∈)(),( tftf IR . O sinal conjugado 
complexo de )(tf é: 
 )()()(* tjftftf IR −= . (1.3) 
Quando )(tf é um sinal conjugado simétrico, temos: 
 )()(* tftf −= . (1.4) 
O sinal complexo, )(tf , também pode ser escrito pela representação vetorial, ou seja: 
 )()()( tjetftf θ= , (1.5) 
onde: 
 )()()( 22 tftftf IR += , e, (1.6) 
 





=θ
)(
)(
arctg)(
tf
tf
t
R
I . (1.7) 
1.2.4.SI AL PERIÓDICO E SI AL ÃO-PERIÓDICO 
Um sinal é periódico se existe uma constante inteira 0>T tal que: 
 )()( Ttftf += , (1.8) 
para qualquer t. A menor constante T que satisfaz a equação anterior é chamada de período do 
sinal. 
Se não existe uma constante inteira 0>T que satisfaça a equação (1.8), o sinal é não-
periódico (ou aperiódico). 
Esses sinais serão estudados, com mais detalhes, na seção 1.6. A Fig.1.3 mostra 
exemplos destes sinais. 
 
Fig.1.3-Sinal periódico e sinal não-periódico. 
1.2.5.SI AL PAR E SI AL ÍMPAR 
Um sinal par é aquele que apresenta uma simetria em relação ao eixo da variável 
dependente, ou seja, é aquele no qual 
 )()( tftf =− . (1.9) 
Um sinal ímpar, por sua vez, apresenta uma simetria em relação à origem do sistema de 
coordenadas. Isto é, 
Capítulo 1 – Introdução à Teoria de Sinais e Sistemas 1.5 
 )()( tftf −=− . (1.10) 
Esses sinais serão estudados, com mais detalhes, na seção 1.7. A Fig.1.4 mostra 
exemplos destes sinais. 
 
Fig.1.4.a-Sinais com simetria par. 
 
Fig.1.4.b-Sinais com simetria ímpar. 
1.2.6.SI AL DETERMI ÍSTICO E SI AL ALEATÓRIO 
O sinal )(tf é um sinal determinístico quando este sinal é previsível a qualquer tempo, 
ou seja, não há incerteza com relação ao seu valor em qualquer instante de tempo. 
Entretanto, )(tf será classificado como um sinal aleatório (ou randômico) quando 
houver um grau de incerteza (probabilidade) de sua ocorrência real. 
A Fig.1.5 mostra exemplos destes sinais. 
Capítulo1 – Introdução à Teoria de Sinais e Sistemas 1.6 
 
Fig.1.5.a-Sinais determinísticos. 
 
Fig.1.5.b-Sinais aleatórios. 
1.2.7.SI AL DE E ERGIA E SI AL DE POTÊ CIA 
Um sinal de energia é aquele que existe em um intervalo de tempo finito ou, mesmo que 
exista para uma quantidade de tempo infinita, tem a maior parte de sua energia concentrada 
em um intervalo de tempo finito. 
Um sinal de potência é aquele que não se enquadra na condição anterior. 
Matematicamente, temos: 
 Rti
R
tv
tp )(
)(
)(Potência 2
2
==≡ . (1.11) 
Se )(1 Ω=R , temos que 
 )()()()( 222 tftitvtp === , (1.12) 
onde f(t) é um sinal de corrente ou tensão. 
Para um sinal qualquer f(t), podendo ser este complexo, a energia normalizada (a um 
resistor de 1(Ω)) é definida como: 
 ∫
∞
∞−
= dttfE 2|)(| . (1.13) 
A potência normalizada de f(t) é definida como: 
 ∫
−
→∞
=
2
2
2|)(|
1
lim
T
T
T
dttf
T
P . (1.14) 
Com base nas equações anteriores, podemos definir o seguinte: 
• sinal de energia: sua energia é finita e diferente de zero, ou seja, ∞<< E0 . 
• sinal de potência: sua potência é finita e diferente de zero, ou seja, ∞<< P0 . 
Como regra geral, temos que os sinais periódicos e aleatórios são sinais de potência e os 
sinais determinísticos e não periódicos são sinais de energia. 
Capítulo 1 – Introdução à Teoria de Sinais e Sistemas 1.7 
Para reflexão, considere a seguinte afirmativa: ”Em sistemas de comunicação digital o 
desempenho depende, dentre outros fatores, da energia detectada do sinal, energia esta que 
depende da potência de transmissão”. 
A Fig.1.6 mostra exemplos destes sinais. 
 
Fig.1.6.a-Sinais de energia. 
 
Fig.1.6.b-Sinais de potência. 
Exercício Proposto 1.1. Determine se os sinais a seguir são de energia ou de potência: 
a) )1002cos(3)( ttf ⋅pi= ; 
b) )sgn()( ttf = ; 
c)



<
>
=
0,0
0,
)(
t
te
tf
at
, onde a é uma constante positiva; 
d)



<
>
=
−
0,0
0,
)(
t
te
tf
at
, onde a é uma constante positiva; 
e)





>
<<−
−<
=
1,0
11,1
1,0
)(
t
t
t
tf ; 
f) ||)( taetf −= , onde a é uma constante positiva. 
1.3.CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS 
Neste item serão enunciadas as classificações mais usuais dos sistemas. 
Capítulo 1 – Introdução à Teoria de Sinais e Sistemas 1.8 
1.3.1.Sistema linear ou Sistema não linear 
Se um sistema é linear o princípio da superposição pode ser aplicado; isto é, se a e b são 
constantes e se )]([)( 11 tfTtr = e )]([)( 22 tfTtr = , então: 
 )()()]()([ 2121 tbrtartbftafT +=+ . (1.15) 
Um sistema é linear se ele satisfaz a equação (1.15), qualquer sistema que não satisfaça 
a equação é classificado como não linear. 
1.3.2.Sistema invariante no tempo ou Sistema variante no tempo 
Um sistema é invariante no tempo (também chamados de sistemas com parâmetros 
constantes) se um deslocamento no tempo do sinal de entrada resulta em um deslocamento 
idêntico no tempo do sinal de saída de tal forma que: 
 )]([)( 00 ttfTttr −=− . (1.16) 
A saída de um sistema invariante no tempo depende da diferença de tempo e não dos 
valores absolutos de tempo. Ou seja, as condições dinâmicas do sistema não mudam com o 
passar do tempo. Qualquer sistema que não satisfaça esta condição é denominado de variante 
no tempo (também chamados de sistemas com parâmetros variáveis). 
1.3.3.Sistema instantâneo ou Sistema dinâmico 
Um sistema é instantâneo ou sem memória se o valor da saída em qualquer instante t 
depender, no máximo, da sua entrada no mesmo instante t e não de qualquer valor passado ou 
futuro da entrada. Caso contrário, o sistema é chamado de dinâmico ou com memória. 
1.3.4.Sistema causal ou Sistema não-causal 
Um sistema, quanto à causalidade, é classificado em causal (ou não antecipativo) e não 
causal (ou antecipativo). O sistema é definido como causal quando o valor do sinal de saída 
no instante presente depende somente do valor passado e atual do sinal de entrada, e não de 
seus valores futuros. Em contrapartida, um sistema é definido como não-causal quando o sinal 
de saída depende dos valores futuros do sinal de entrada. 
Intuitivamente, é evidente que um sistema fisicamente realizável não pode ter uma 
resposta, ou seja, uma saída antes que um sinal arbitrário de entrada seja aplicado. Por essa 
razão, um sistema causal é também denominado de realizável fisicamente. Qualquer outro 
sistema que não atenda a esta propriedade é denominado de sistema não-realizável 
fisicamente. 
1.3.5.Sistema analógico ou Sistema digital 
Um sistema cujos sinais de entrada e saída são analógicos é um sistema analógico. Um 
sistema cujos sinais de entrada e de saída são digitais é um sistema digital. 
1.3.6.Sistema inversível e Sistema não inversível 
Sistemas são inversíveis se entradas distintas levam a saídas distintas. Desta forma, para 
um sistema S com sinal de entrada )(tf que produz um sinal de saída )(tr é possível achar 
um sistema inverso S-1 cuja entrada )(tr produz a saída )(tf . Através de um esquema em que 
Capítulo 1 – Introdução à Teoria de Sinais e Sistemas 1.9 
os sistemas S e S-1 são postos em cascata, (isto é, a saída )(tr do Sistema S é a entrada do 
Sistema S-1), podemos recuperar )(tf , o sinal de entrada aplicado em S, na saída de S-1. 
1.3.7.Sistema estável e Sistema instável 
A estabilidade de um sistema pode ser definida de diversas maneiras e segundo vários 
critérios. Nós faremos a definição, nesse texto, seguindo o conceito de estabilidade BIBO 
(bounded-input/bounded-output). Segundo este conceito, um sistema é dito ser estável se, para 
todo sinal de amplitude limitada aplicado em sua entrada, o sinal de saída é também limitado. 
Por outro lado, se o sistema é instável, ao aplicarmos um sinal de amplitude limitada em sua 
entrada, sua saída divergirá com o passar do tempo, ou seja, a amplitude do sinal de saída 
tenderá a crescer indefinidamente. 
Exercício Proposto 1.2. Mostre que: 
a)um sistema descrito pela equação diferencial: )()(3
)(
trtf
dt
tdf
=+ é linear; 
b)um sistema que possui a relação entrada-saída: )()( 2 tftr = é não-linear. 
1.4.OPERAÇÕES BÁSICAS COM SI AIS 
Na seqüência deste item serão definidas algumas das principais operações com sinais. 
Nos exemplos, )(tf sempre será o sinal original e )(tr o sinal resultante da operação. 
As operações básicas com sinais são divididas em dois grandes grupos: 
• operações realizadas em variáveis dependentes; 
• operações realizadas em variáveis independentes. 
No primeiro grupo temos as seguintes operações: mudança de escala de amplitude; 
adição; multiplicação; diferenciação e integração. No segundo grupo temos: mudança de 
escala de tempo; reflexão; deslocamento no tempo e, simultaneamente, mudança de escala e 
deslocamento no tempo. 
1.4.1.OPERAÇÕES REALIZADAS EM VARIÁVEIS DEPE DE TES 
O1.Mudança de Escala de Amplitude: 
 )()( tcftr = . (1.17) 
O2.Adição: 
 )()()( 21 tftftr += . (1.18) 
O3.Multiplicação: 
 )()()( 21 tftftr ⋅= . (1.19) 
O4.Diferenciação: 
 
dt
tdf
tr
)(
)( = . (1.20) 
O5.Integração: 
 ∫∫ ==
∞−
dttfdttftr
t
)()()( . (1.21) 
Capítulo 1 – Introdução à Teoria de Sinais e Sistemas 1.10 
1.4.2.OPERAÇÕES REALIZADAS EM VARIÁVEIS I DEPE DE TES 
O1.Mudança de Escala de Tempo 
Esta operação é, normalmente, utilizada na compressão ou na expansão (também 
conhecida como espalhamento) de um sinal em relação à variável independente tempo, sem 
alteração da sua amplitude. Sua expressão matemática é a seguinte: 
 )()( atftr = . (1.22) 
Se 1>a , )(tr será a versão comprimida de )(tf e se 10 << a , )(tr será a versão expandida 
de )(tf . A Fig.1.7 mostra exemplos desta operação. 
 
Fig.1.7.a-Sinal original. 
 
Fig.1.7.b-Sinalcomprimido e sinal expandido. 
O2.Reflexão 
Esta operação também é conhecida como orientação reversa ou operação “espelho”, cuja 
expressão matemática é a seguinte: 
 )()( tftr −= . (1.23) 
O sinal )(tr representará uma versão refletida do sinal )(tf em relação ao eixo das ordenadas. 
É um caso especial da operação anterior, mostrado na Fig.1.8. 
 
Fig.1.8-Sinal original e sinal refletido. 
O3.Deslocamento no Tempo 
Esta operação é comumente utilizada para representar sinais de mesma forma, porém 
deslocados em relação ao eixo da variável independente (tempo). O deslocamento pode ser 
feito em termos de atraso ou avanço em relação ao sinal original, sendo a orientação do eixo t 
positiva ou negativa. Sua operação pode ser assim expressa pelas seguintes expressões: 
Capítulo 1 – Introdução à Teoria de Sinais e Sistemas 1.11 
 )()( 0ttftr −= , (1.24.a) 
quando o deslocamento ocorre para a direita (sinal atrasado no tempo), e, 
 )()( 0ttftr += , (1.24.b) 
quando o deslocamento ocorre para a esquerda (sinal avançado ou adiantado no tempo). 
A Fig.1.9 mostra exemplo desta operação. 
 
Fig.1.9.a-Sinal original. 
 
Fig.1.9.b-Sinal deslocado para a esquerda e sinal deslocado para a direita. 
O4.Deslocamento e Mudança de Escala de Tempo 
Esta operação está associada com as duas operações anteriores. Sua expressão 
matemática é: 
 )()( batftr −= . (1.25) 
Exercício Proposto 1.3. Seja o seguinte sinal: 





>
<<−
−<
=
1,0
12,1
2,0
)(
t
t
t
tf 
Construa o gráfico dos seguintes sinais: 
a) )(2)(1 tftr = ; 
b) )2()(2 −= tftr ; 
c) )2()(3 tftr = ; 
d) 





=
2
)(4
t
ftr ; 
Capítulo 1 – Introdução à Teoria de Sinais e Sistemas 1.12 
e) )()(5 tftr −= ; 
f) )2(2)(6 += tftr ; 
g) )12()(7 −−= tftr ; 
h) )()2()(8 tftftr += ; 
i) )1(2)()(9 −−= tftftr ; 
j) )22(2)(10 += tftr ; 
k) )2()()(11 tftftr ⋅= . 
l) ∫= dttftr )()(12 . 
1.5.SI AIS ELEME TARES 
O objetivo deste item é analisar, no domínio do tempo, a dinâmica de alguns sinais 
elementares mais usuais: 
• sinais senoidais (ou harmônicos); 
• sinais exponenciais; 
• sinal degrau unitário; 
• sinal rampa unitária; 
• sinal impulso unitário (ou delta de Dirac). 
A análise destes sinais será feita independentemente ou de forma associada, quando houver 
correspondências entre eles. 
1.5.1.SI AIS SE OIDAIS 
Os sinais senoidais ou harmônicos são expressos de uma forma geral por: 
 ( )ϕ+ω+== tAyytf 00 sen)( , (1.26) 
ou, 
 ( )ϕ+ω+== tAyytf 00 cos)( , (1.27) 
onde: 
0y – é o valor médio
4 do sinal (no período). O cálculo da área de um dado sinal, em um dado 
intervalo, pode ser feito através da integral do sinal no intervalo considerado. Isto é, o valor da 
área S sob o sinal pode ser calculado, resultando em um número bem determinado. Uma vez 
conhecido o valor da área S é sempre possível achar um retângulo cuja base é o intervalo de 
tempo utilizado para o cálculo da área do sinal com a mesma área S. O valor da altura desse 
retângulo é o valor médio do sinal no intervalo de tempo considerado. Matematicamente, 
temos: 
 ℜ∈∀= ∫
+
ddttf
T
y
Td
d
,)(
1
0 ; (1.28) 
A – é a amplitude do sinal e representa a diferença entre o valor máximo e o valor médio do 
sinal: 
 0yyA máx −= ; (1.29) 
 
4 Fisicamente, o valor médio de uma função representa o resultado líquido da variação de uma grandeza física 
como deslocamento, temperatura, tensão, corrente, etc. 
Capítulo 1 – Introdução à Teoria de Sinais e Sistemas 1.13 
0ω – é a pulsação ou freqüência angular (em rd/s): 
 f
T
pi=
pi
=ω 2
2
0 ; (1.30) 
sendo f a freqüência5 do sinal (em Hz): 
 
T
f
1
= ; (1.31) 
ϕ – é a fase inicial do sinal; 
ϕ+ω t0 – é a fase, ou ângulo ou argumento do sinal. 
Outros dois valores a serem considerados são o valor eficaz e o valor quadrático médio 
(ou valor médio quadrático). 
O valor eficaz representa, fisicamente, o valor de uma tensão (ou corrente) constante 
(contínua) que dissipa, durante um intervalo de tempo e em uma resistência R, a mesma 
energia térmica que é dissipada em R pela tensão (ou corrente) alternada, durante o mesmo 
intervalo de tempo. Ou seja, o valor eficaz de um sinal representa a capacidade de produção de 
trabalho efetivo de uma grandeza variável no tempo entre as excursões positivas e negativas. 
Ele é dado por: 
 ℜ∈∀= ∫
+
ddttf
T
y
Td
d
rms ,)(
1 2 . (1.32) 
O valor eficaz é também conhecido por valor rms (do inglês root mean square). Para os sinais 
senoidais, o valor eficaz é calculado por: 
 
2
A
yrms = . (1.33) 
O valor quadrático médio (ou valor médio quadrático) de um sinal que é dado por: 
 ℜ∈∀= ∫
+
ddttf
T
y
Td
d
ms ,)(
1 2 . (1.34) 
A Fig.1.10 mostra uma senóide com alguns valores indicados. 
 
Fig.1.10-Sinal senoidal. 
 
5 A freqüência é o número de ciclos completos contidos na unidade de tempo. 
Capítulo 1 – Introdução à Teoria de Sinais e Sistemas 1.14 
Exercício Proposto 1.4. Dado o sinal: ttf 3cos
2
3
)( 2+−= , determine seu valor médio, sua 
pulsação, sua freqüência, seu período e esboce seu gráfico. 
Exercício Proposto 1.5. Dado o sinal 22 )2(cos)2sen()( tttf = , determine seu valor médio, seu 
período e esboce seu gráfico. 
Exercício Proposto 1.6. Seja o sinal definido por: ( )25sen2sen)( tbtatf += . Sabendo que f(t) 
tem valor médio igual a 10 e que a e b são constantes reais positivas, onde ba 2= , determine 
os valores das constantes a e b. 
1.5.2.SI AIS EXPO E CIAIS 
Os sinais exponenciais podem ser classificados em sinais reais e sinais complexos. O 
sinal exponencial real é descrito pela seguinte expressão genérica: 
 ℜ∈∀= aBBetf at ,)( , (1.35) 
onde: 
B é a amplitude do sinal em 0=t ; 
a é a razão de decaimento de )(tx quando 0<a ou é a razão de crescimento de )(tx quando 
0>a . 
O sinal é constante com amplitude igual a B quando 0=a . 
O sinal exponencial complexo é descrito pela seguinte expressão genérica: 
 )(sen)cos()( 00
)( 0 φ+ω+φ+ω== φ+ω tjBtBBetf tj , (1.36) 
onde )cos( 0 φ+ω tB é a parte real do sinal e )(sen 0 φ+ω tB é a parte imaginária do sinal. 
Esse sinal é periódico e tem período: 
0
2
ω
pi
=T . 
Outra expressão, bastante utilizada, para um sinal exponencial complexo, onde 
ω+α= js , é dada por: 
 )sen(cos)( )( tjteeetx ttjst ω+ω=== αω+α , (1.37) 
onde te t ωα cos é a parte real do sinal e te t ωα sen é a parte imaginária do sinal. 
1.5.3.SI AL DEGRAU U ITÁRIO 
O sinal degrau unitário, )(tu ou )(U 1 t− , também chamado de sinal unitário de 
Heaviside, mostrado na Fig.1.11, é definido como: 
 



>
<
==
− 0,1
0,0
)(U)( 1
t
t
ttu . (1.38) 
 
Fig.1.11-Sinal degrau unitário. 
Capítulo 1 – Introdução à Teoria de Sinais e Sistemas 1.15 
Note que ele é descontínuo no ponto 0=t . De maneira similar, podemos ter o sinal degrau 
unitário deslocado no tempo: 
 



>
<
=−=−
−
at
at
atatu
,1
,0
)(U)( 1 . (1.39) 
Nesse caso a descontinuidade ocorre no ponto at = , conforme mostra a Fig.1.12. 
 
Fig.1.12-Sinal degrau unitário deslocado no tempo. 
O degrau pode ainda ser multiplicado por uma constante A. Nesse caso ele deixa de ser 
unitário e passa a ter amplitude A, conforme mostra a expressão a seguir: 
 



>
<
==
− 0,
0,0
)(U)( 1
tA
t
tAtuA . (1.40) 
Quando trabalhamos com sinais causais (que só existem a partir de 0=t ), eles são 
descritos em termos do sinal degrau unitário. Ou seja, para se utilizar um sinal a partir de 
0=t , multiplicamos o sinal por )(tu . Veja o sinal exponencial )(tue at− mostradona Fig.1.13. 
 
Fig.1.13-Sinal exponencial unilateral. 
O sinal degrau unitário também é útil para definir em uma única expressão (válida para 
todo t) um sinal com diferentes descrições matemáticas em intervalos de tempo distintos. Por 
exemplo, o sinal pulso retangular que se estende do instante 2=t ao instante 4=t , mostrado 
na Fig.1.14, pode ser expresso por: )4()2()( −−−= tututf . 
 
Fig.1.14-Sinal pulso retangular entre os instantes 2 e 4. 
Capítulo 1 – Introdução à Teoria de Sinais e Sistemas 1.16 
Um número infinito de outros sinais pode ser obtido a partir do sinal degrau unitário por 
integrações e derivações sucessivas. 
Exercício Proposto 1.7. Construir o gráfico dos seguintes sinais: 
a) )2()(1 += tutf ; b) )(2)(2 tutf = ; 
c) )1(3)(3 −= tutf ; d) )4()()(4 −−= tututf ; 
e) )()(5 tutf −= ; f) )4(2)2(2)1()()(6 −−−+−−= tututututf ; 
g) )]4()2([)(7 −−−⋅= tututtf ; h) )]4()([)1()(8 −−⋅+= tututtf . 
1.5.4.SI AL RAMPA U ITÁRIA 
Outro sinal de grande interesse é o sinal rampa unitária, )(tr ou )(U 2 t− . Ele é 
resultante da integração do sinal degrau unitário, ou seja, é a área envolvida pelo degrau até o 
instante t. Assim, 
 )(U)()()(U)( 12 ttttudxxuttr
t
−
∞−
−
==== ∫ , (1.41) 
ou 
 



≥
≤
==
− 0,
0,0
)(U)( 2
tt
t
ttr . (1.42) 
Na Fig.1.15 está representado o sinal rampa unitária e na Fig.1.16 o sinal rampa unitária 
atrasado de a, a saber: 
 



≥−
≤
=−=−
−
atat
at
atatr
,
,0
)(U)( 2 , (1.43) 
ou, de acordo com a equação 1.41: 
 )()()( atuatatr −−=− . (1.44) 
 
Fig.1.15-Sinal rampa unitária. 
 
Fig.1.16-Sinal rampa unitária atrasado de a. 
Capítulo 1 – Introdução à Teoria de Sinais e Sistemas 1.17 
De acordo com a equação 1.41 e com a Fig.1.15, 
 
dt
tdr
tu
)(
)( = . (1.45) 
O sinal rampa unitária se assemelha a uma rampa e tem inclinação unitária, daí seu 
nome. Da mesma forma que o degrau, a rampa pode ser multiplicada por um fator A. Quando 
o fazemos, nós alteramos a sua inclinação que deixa de ser 1 e passa a ser A, ou seja, 
 



≥
≤
=
0,
0,0
)(
tAt
t
tAr . (1.46) 
Exercício Proposto 1.8. Sintetizar os sinais dados a seguir e representar graficamente o 
resultado obtido: 
a) )2()(2)2()(1 −+−+= trtrtrtf ; b) )4()2(2)()(2 −−−+−= trtrtrtf ; 
c) )1()(2)1()(3 −−−+= trtutrtf ; d) )3()2()1()(2)(4 −−−+−−= tutrtrtutf . 
1.5.5.SI AL IMPULSO U ITÁRIO 
O sinal impulso unitário, )(tδ ou )(U0 t , também conhecido como delta de Dirac6 é 
definido como o limite de um determinado sinal, tendo uma área unitária, amplitude infinita e 
duração em um único instante de tempo. 
Num primeiro instante, parece-nos um sinal diferente daquele com que estamos 
acostumados a trabalhar. 
Esse sinal foi usado pela primeira vez por Paul A. M. Dirac nos seus trabalhos de 
Mecânica Quântica. A impossibilidade de uma formulação matemática rigorosa para o sinal 
)(tδ fundamentada na matemática clássica levou Dirac a denominá-lo de sinal impróprio. 
Em 1950, Laurent Schwartz publicou o trabalho A Teoria das Distribuições dentro do 
qual formalizou uma base rigorosa e satisfatória para o sinal )(tδ . No entanto, por ser muito 
complexa, essa teoria não prosperou. Em 1953, George Temple elaborou uma teoria mais 
simples que a de Laurent, porém não menos rigorosa e definiu o sinal )(tδ formalmente. Essa 
teoria foi denominada Teoria e Aplicações das Funções Generalizadas e constitui-se como a 
base formal da definição do impulso. 
Nesse curso, não estamos interessados na definição formal, mas na forma como o sinal 
)(tδ é concebido e utilizado dentro da engenharia: como o limite generalizado de uma 
seqüência de sinais ordinários. Vamos nos ater nisso e, para que possamos entender melhor a 
definição desse sinal, consideremos o pulso retangular de área unitária mostrado na Fig.1.17. 
 
Fig.1.17-Sinal retangular de área unitária. 
 
6 Paul A. Maurice Dirac (1902 -1984) físico inglês 
Capítulo 1 – Introdução à Teoria de Sinais e Sistemas 1.18 
O pulso )(tgT tem área unitária, independente do valor de T, o qual é considerado sempre 
positivo, ou seja, 
 0,1)( >=∫
∞
∞−
TdttgT . (1.47) 
Quando T tender a zero, resultará, no limite, um “pulso” de área unitária, base zero e 
amplitude infinita. A esse “pulso” limite denomina-se impulso unitário. Assim, 
 )(lim)(
0
tgt T
T→
=δ . (1.48) 
O impulso é representado por uma seta conforme mostra a Fig.1.18. 
 
Fig.1.18-Sinal impulso unitário. 
Como no caso do degrau ou da rampa, o impulso pode ser deslocado no tempo para a 
direita ou para a esquerda. O impulso também pode ser multiplicado por fator qualquer a. É 
importante observar que o fator a que multiplica o impulso não representa a sua amplitude que 
é infinita, mas sim a área envolvida pelo mesmo, conforme mostra a Fig.1.19. 
 
Fig.1.19-Sinal impulso. 
As propriedades fundamentais do impulso7 são: 
 





=δ
≠=δ
∫
∞
∞−
1)(
0,0)(
dtt
tt
. (1.49) 
Como o impulso é zero para 0≠t , podemos escrever também: 
 ∫
+
−
=δ
0
0
1)( dtt , (1.50) 
pois a área total do impulso está concentrada em 0=t . Em conseqüência: 
 ∫∫
+∞
∞−
+
−
=δ=δ
0
0
0)()( dttdtt . (1.51) 
 
7 Na verdade, essa foi a maneira pela qual Dirac definiu o impulso. 
Capítulo 1 – Introdução à Teoria de Sinais e Sistemas 1.19 
Da mesma forma: 
 





=−δ
≠=−δ
∫
∞
∞−
1)(
,0)(
0
00
dttt
tttt
, (1.52) 
e, também, 
 ∫
+
−
=−δ
0
0
1)( 0
t
t
dttt . (1.53) 
Outra importante propriedade do impulso, conhecida como propriedade da amostragem 
dos impulsos (ou propriedade do peneiramento), é a seguinte: 
 ∫
∞
∞−
=−δ )()()( 00 txdttttx . (1.54) 
Essa integral é facilmente verificada, uma vez que 0)( 0 =−δ tt para 0tt ≠ . Portanto, 
 0)()( 0 =−δ tttx para todo 0tt ≠ . (1.55) 
Para 0tt = , se )(tx é contínua nesse ponto, o produto )()( 0tttx −δ torna-se )()( 00 tttx −δ . 
Assim, 
 )()()()( 000 tttxtttx −δ=−δ . (1.56) 
Então, 
 ∫ ∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
=−δ=−δ=−δ )()()()()()()( 000000 txdttttxdttttxdttttx . (1.57) 
Da mesma forma, 
 ∫
∞
∞−
=δ )0()()( xdtttx . (1.58) 
Exercício Proposto 1.9. Avalie as seguintes expressões determinando, quando for o caso, seu 
valor numérico: 
a) )2(2 −δ− te t ; b) ∫
∞
∞−
δ+ dttt )()13( 2 ; 
c) ∫
∞
∞−
+δ+ dttt )2()13( 2 ; d) ∫
−
δ+
2
1
2 )()13( dttt ; 
e) ∫ δ+
2
1
2 )()13( dttt ; f) ∫
pi
pi−δ
2
0
)(cos dtttt . 
Outra propriedade do impulso é a propriedade da mudança de escala de tempo: 
 )(
||
1
)( t
a
at δ=δ . (1.59) 
Capítulo 1 – Introdução à Teoria de Sinais e Sistemas 1.20 
Note, pela Fig.1.20, que a mudança de escala do pulso )(tgT , apresentado na Fig.1.17, altera, 
no limite de 0→T , apenas o valor da área. Quando T tender a zero, continuaremos tendo um 
“pulso” de base zero e amplitude infinita. Ou seja, 
 )(lim)(
1
0
atgt
a
T
T→
=δ . (1.60) 
 
Fig.1.20-Sinal retangular de área 1/a. 
O módulo presente no divisor da equação 1.60 ocorre pelo fato do impulso ter simetria par, 
isto é, 
 )()( tt −δ=δ . (1.61) 
Em outras palavras, o fator de escala a só altera o valor da área do impulso. 
Uma observação importante é destacar a relação existente entre o degrau unitário e o 
impulso unitário. Para tal, consideremos as Figs.1.21 e 1.22. 
 
Fig.1.21-Sinal fu(t). 
 
Fig.1.22-Sinal fi(t). 
Note que o sinal )(tf i mostrado na Fig.1.22 é a derivada do sinal )(tfu mostrado na Fig.1.21: 
Capítulo 1 – Introdução à Teoria de Sinaise Sistemas 1.21 
 
dt
tdf
tf ui
)(
)( = . (1.62) 
Conseqüentemente, )(tfu é a integral de )(tfi : 
 ∫
∞−
=
t
iu duuftf )()( . (1.63) 
Quando fazemos a tender a zero, )(tf i se transforma no impulso e )(tfu se transforma no 
degrau. Assim, as equações 1.62 e 1.63 tronam-se: 
 
dt
tdu
t
)(
)( =δ , (1.64) 
e, 
 ∫
∞−
δ=
t
duutu )()( . (1.65) 
Dizemos que o impulso é a derivada do degrau. 
Se o degrau tem intensidade A e ocorre no ponto at = , isto é, se o degrau é )( atAu − , 
então: 
 )()]([ atAatAu
dt
d
−δ=− . (1.66) 
Podemos então estabelecer que o degrau é a derivada da rampa e o impulso é derivada 
do degrau. Existe, portanto, uma relação linear entre impulso, degrau e rampa unitários. 
Exercício Proposto 1.10. Escreva uma expressão matemática para as funções dadas pelos 
gráficos a seguir como a soma de funções rampa, )(tr , e/ou funções degrau, )(tu : 
a) 
 
b) 
 
Capítulo 1 – Introdução à Teoria de Sinais e Sistemas 1.22 
c) 
 
d) 
 
1.6.SI AIS PERIÓDICOS 
Como vimos, um sinal periódico é aquele para o qual, existe uma constante inteira 
0>T , tal que: 
 )()( Ttftf += , (1.67) 
para qualquer t, onde T é o período do sinal. 
Denominamos onda qualquer trecho da curva representativa de um sinal periódico 
compreendendo um período. 
Exercício Proposto 1.11. Construa o gráfico das seguintes sinais definidos a seguir: 
a) 50,10)( <<−= tttf e )5()( += tftf ; 
b) pi<<= 20 para ,)( tetf t e )2()( pi+= tftf ; 
c) 22 para ,2)( <<−= − tetf t e )4()( += tftf ; 
d) )4()(,
20,2
2
02,2
2)( +=






≤≤+−
≤≤−+
= tftf
t
t
t
t
tf ; 
e) )4()(,
2,0
,
2,0
)( pi+=





pi≤<pi
pi<<pi−
pi−<≤pi−
= tftf
t
tt
t
tf . 
As principais propriedades dos sinais periódicos são as seguintes: 
P1. ∗∈+= ZnnTtftf ),()( . 
Capítulo 1 – Introdução à Teoria de Sinais e Sistemas 1.23 
P2.Se )(tf é um sinal periódico de período T, os sinais: 
ktf +)( , 
)(tkf , 
)( ktf + , 
dt
tdf )(
, 
são também periódicos de período T (k é uma constante qualquer). 
P3.A soma (ou subtração) de dois ou mais sinais periódicos gera outro sinal periódico cujo 
período é igual ao mínimo múltiplo comum dos períodos dos sinais que foram somados (ou 
subtraídos)8. 
P4.Se )(tf é um sinal periódico de período T, os sinais: 
)(ktf , 
)( aktf + , 
são também periódicos e têm período 
k
T
 (onde k e a são constantes quaisquer). 
P5.Se )(tf é um sinal periódico de período T, então: 
∫∫
++
=
Tb
b
Ta
a
dttfdttf )()( , 
onde a e b são constantes reais quaisquer. 
Exercício Proposto 1.12. Um sinal periódico f(t) é composto pela soma de cinco outros sinais 
periódicos cujos períodos são: 2, 3, 4, 5 e 15. Determine o período do sinal f(t). 
Exercício Proposto 1.13. Um sinal periódico f(t) tem período 3. Utilizando as propriedades 
dos sinais periódicos, determine o período dos sinais dados a seguir, obtidos a partir do sinal 
f(t): 
a) )(10)( tfta = ; 
b) )4(2)( +−= tftb ; 
c) )(92)( tfth += ; 
d) )5(3030)( tftg −= ; 
e) )55()( −= tftr ; 
f) 





−=
10
3030)(
t
fto . 
Exercício Proposto 1.14. Seja o sinal periódico f t( ) representado graficamente: 
2
-1
1 3
1
5 6
7
0
-1
-3-5
-6
f(t)
t
 
a)Qual é o período, T, do sinal f t( )? 
 
8 Esta propriedade não se aplica à multiplicação ou à divisão de funções periódicas. 
Capítulo 1 – Introdução à Teoria de Sinais e Sistemas 1.24 
b)Determine os valores de f ( )−83 e f ( )93 . 
Exercício Proposto 1.15. Seja o sinal definido por: 2)5sen32sen2()( tttf += . Determine o 
período desse sinal. 
1.7.SI AIS PARES E ÍMPARES 
Como vimos, um sinal par, definido num intervalo I, se diz par, nesse intervalo, 
quando: 
 Ittftf ∈∀−= ),()( , (1.68) 
e ímpar, quando: 
 Ittftf ∈∀−=− ),()( , (1.69) 
Nas principais propriedades dos sinais pares e ímpares apresentadas a seguir, considera-
se que )(tI , )(1 tI e )(2 tI são sinais ímpares e )(tP , )(1 tP e )(2 tP são sinais pares: 
P1. RadttI
a
a
∈∀=∫
−
,0)( . 
P2. RadttPdttPdttP
a
aa
a
∈∀== ∫∫∫
−−
,)(2)(2)(
0
0
. 
P3.O produto entre sinais com simetria par gera um sinal com simetria par, ou seja, 
)()()( 21 tPtPtP =⋅ . 
P4.A divisão entre sinais com simetria par gera um sinal com simetria par, ou seja, 
)()(/)( 21 tPtPtP = . 
P5.O produto entre sinais com simetria ímpar gera um sinal com simetria par, ou seja, 
)()()( 21 tPtItI =⋅ . 
P6.A divisão entre sinais com simetria ímpar gera um sinal com simetria par, ou seja, 
)()(/)( 21 tPtItI = . 
P7.O produto entre um sinal com simetria par e um sinal com simetria ímpar gera um sinal 
com simetria ímpar, ou seja, )()()( 11 tItItP =⋅ . 
P8.A divisão entre um sinal com simetria par e um sinal com simetria ímpar gera um sinal 
com simetria ímpar, ou seja, )()(/)( 11 tItItP = . 
P9.A divisão entre um sinal com simetria ímpar e um sinal com simetria par gera um sinal 
com simetria ímpar ou seja, )()(/)( 11 tItPtI = . 
P10.A derivada de um sinal com simetria ímpar gera um sinal com simetria par e vice-versa. 
Se um sinal )(tf não tem simetria par nem simetria ímpar dizemos que ele é um sinal 
nem par nem ímpar e pode ser decomposto em duas componentes: uma componente par e uma 
componente ímpar, ou seja: 
 )()()( tftftf IP += , (1.70) 
onde: 
Capítulo 1 – Introdução à Teoria de Sinais e Sistemas 1.25 
 
2
)()(
)(
tftf
tfP
−+
= , é a componente par do sinal )(tf , e, (1.71) 
 
2
)()(
)(
tftf
tf I
−−
= , é a componente ímpar do sinal )(tf . (1.72) 
Exercício Proposto 1.16. Seja o sinal f(t) dado por: 








≥
≤≤+−
≤<−
<≤
≤
=
5,0
53,5
32,1
20,
0,0
)(
t
tt
tt
tt
t
tf . 
a)Determine o gráfico do sinal f(t); 
b)Determine o gráfico da componente par do sinal f(t); 
c)Determine o gráfico da componente ímpar do sinal f(t). 
Exercício Proposto 1.17. Dado o sinal )2(3)2(2)( −++−= tututg , determine: 
a)o gráfico do sinal g(t); 
b)o gráfico da componente par do sinal g(t); 
c)o gráfico da componente ímpar do sinal g(t). 
Exercício Proposto 1.18. Seja o sinal k t( ) definido por: 
k t b t a t( ) ( cos ) ( sen )= + − +2 2 32 2 . 
Sabendo que a soma das constantes reais positivas: a e b é igual a 3, determine o valor das 
constantes a e b para que o sinal k t( ) tenha valor médio nulo. 
Exercício Proposto 1.19. Seja o sinal f(t) dado a seguir: 
22 )4sen2()2cos3()( tatbtf +−+= . 
Sabendo que a e b são constantes reais positivas, determine: 
a)uma relação entre as constantes a e b para que o sinal )(tf tenha valor médio nulo; 
b)o período do sinal )(tf ; 
c)se o sinal )(tf tem simetria par ou ímpar. Justifique sua resposta. 
Exercício Proposto 1.20. Seja o sinal periódico f(t) dado a seguir: 
0 1 3 5 6 7 9-1-3-5-6-7-9
t
-2-4-8 2 4 8
1
2
f(t)
 
a)Defina analiticamente o sinal )(tf . 
b)Determine o valor de )893(−f . 
c)Determine o período do sinal 




 pi
−pi+−+−= tttfth
5
cos)sen()5(1829)( . 
d)Podemos afirmar que o valor da integral: ∫
−
⋅
100
100
2sen)( dtttf é zero? Por quê? 
Exercício Proposto 1.21. Dado o sinal ))(cos(sen)( 3 tttf = , determine: 
a)o valor médio de f(t); 
Capítulo 1 – Introdução à Teoria de Sinais e Sistemas 1.26 
b)o período de f(t); 
c)se o sinal é par ou ímpar, ou, nem par nem ímpar. 
1.8.CO VOLUÇÃO 
A convolução é uma importante operação matemática entre duas funções. Ela pode ser 
aplicada em várias situações na engenharia e na matemática, especialmente no estudo de sinais 
e sitemas. Existem diferentes ferramentas matemáticas paraa solução da operação de 
convolução. O símbolo ∗ é usado para denotar a operação. Nós escrevemos )()( 21 tftf ∗ e 
lemos “ )(1 tf convoluída (ou convolvida) com )(2 tf ”. A convolução de )(1 tf com )(2 tf é 
definida como 
 f t f t f f t d1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )∗ = −
−∞
∞
∫ τ τ τ . (1.73) 
Note, na equação (1.73), que no processo de integração a “variável muda” τ desaparece e o 
resultado é uma função de t. 
A convolução é comutativa: 
 f t g t g t f t( ) ( ) ( ) ( )∗ = ∗ , 
associativa, 
 f t g t h t f t g t h t( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( )∗ ∗ = ∗ ∗ , e, 
distributiva, 
 f t g t h t f t g t f t h t( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )∗ + = ∗ + ∗ . 
Vamos apresentar, a seguir, várias representações de sinais contínuos no tempo com 
duração infinita e com duração finita. Em todas as situações o nosso objetivo será executar a 
operação de convolução entre os sinais. Cada situação é abordada através de um exemplo. Um 
mesmo exemplo pode permitir diferentes caminhos para a solução com a aplicação de 
diferentes ferramentas matemáticas. Procuramos, nesse texto, apresentar e exemplificar a 
maioria das situações de sinais contínuos com a operação de convolução. 
A convolução opera com duas funções ou com dois sinais, digamos )(tx e )(th , para 
gerar uma terceira função ou sinal como resultado da operação, )(ty . Como veremos adiante, 
a interpretação para a função )(th , na engenharia, é que esta é a resposta impulsiva de um 
sistema linear e invariante no tempo, mas também não deixa de ser uma função matemática 
que descreve as características intrínsecas de um sistema. O teorema da superposição é válido 
em sistemas lineares. Em sistemas invariantes no tempo, um atraso no sinal de entrada, 
provoca o mesmo atraso no sinal de saída. 
A integral da equação (1.73) é denominada de integral da convolução. Note que nessa 
integral uma das funções sofre apenas a mudança de variável de t para τ, enquanto a outra 
função sofre a mudança de variável seguida pela operação de reflexão e por um deslocamento 
pela variável t. 
Como vamos trabalhar com os sinais )(tx e )(th gerando o sinal )(ty , e, sabendo que a 
convolução é uma operação comutativa, vamos reescrever a equação (1.73) como 
 ∫∫
∞
∞−
∞
∞−
ττ−τ=∗=ττ−τ=∗= dtxhtxthdthxthtxty )()()()()()()()()( . (1.74) 
A convolução de dois sinais finitos, por exemplo, )(tx com duração xL e )(th com duração 
hL , resultará num sinal, )(ty , com duração hx LL + . Considerando, ainda, que o sinal )(tx 
Capítulo 1 – Introdução à Teoria de Sinais e Sistemas 1.27 
esteja contido no intervalo ],[ xx FI , e que o sinal )(th esteja contido no intervalo ],[ hh FI , o 
sinal resultante da convolução desses dois sinais finitos estará contido no intervalo 
],[ hxhx FFII ++ . 
Vamos apresentar, a partir de agora, exemplos da operação de convolução de sinais 
contínuos no tempo que podem ter duração infinita e finita. Para tal, vamos utilizar a definição 
matemática da operação. 
Na convolução de dois sinais com duração infinita, vamos utilizadas duas funções 
exponenciais decrescentes: )(2)( tuetx t−= e )()( 3 tueth t−= . Os sinais trabalhados para realizar 
a operação, através da troca de variáveis de t para τ, da operação de reflexão e o deslocamento 
no sinal h são dados por: )(2)( τ=τ τ− uex e )()( )(3 τ−=τ− τ−− tueth t . 
Para realizar a operação de convolução pela definição é necessário, normalmente, o 
auxílio de gráficos que permitam verificar a interação entre os sinais para a determinação das 
condições de integração. Na interpretação da convolução, um sinal permanece na sua posição 
original e o outro sinal que sofreu a reflexão e o deslocamento é posicionado em −∞=t sendo 
deslocado até +∞=t para realizar a integral da convolução. 
As etapas da operação de convolução para os sinais desse exemplo são apresentadas na 
Fig. 1.23. 
 
 
 
Fig.1.23-Exemplo da operação de convolução com sinais de duração infinita. 
Os instantes 0<t e 0=t são apresentados pelas Figs.1.23(a) e 1.23(b), resultando em valor 
nulo para a convolução, pois os sinais não possuem sobreposição. Para 0>t , conforme 
apresenta a Fig.1.23(c), os sinais são sobrepostos, e o produto entre eles resulta em valor não 
nulo. Observa-se, pela Fig.1.23(c), que o intervalo de integração é de 0 até t e a expressão 
matemática de )(ty pode ser calculada a partir da equação (1.74): 
 tt
t
t
t
t eedeedeety 3
0
23
0
)(3 22)( −−τ−τ−−τ− −=τ=τ= ∫∫ . 
Como esse resultado é válido para 0>t , podemos escrever: 
 )()()( 3 tueety tt −− −= . (1.75) 
A Fig.1.24 apresenta o comportamento do resultado da convolução, )(ty , descrita pela 
equação (1.75). Observa-se que a convolução de dois sinais contínuos no tempo e com 
duração infinita resultou num sinal contínuo no tempo com duração infinita. 
Capítulo 1 – Introdução à Teoria de Sinais e Sistemas 1.28 
 
Fig.1.24-Resultado da operação de convolução com sinais de duração infinita. 
Para exemplificar a convolução para sinais contínuos finitos, vamos utilizar dois pulsos 
retangulares )(tx e )(th , apresentados nas Figs.1.25(a) e 1.25(b), respectivamente. Estes 
sinais são definidos pelas seguintes equações: )2()()( −−= tututx e )4(2)(2)( −−= tututh . 
Como regra prática para a execução da convolução, a operação é simplificada se for escolhido 
o sinal mais simples para ser refletido e deslocado. Como a operação tem a propriedade de ser 
comutativa, optou-se por deslocar e refletir o sinal )(tx . 
 
 
 
 
Fig.1.25-Exemplo da operação de convolução com sinais de duração finita. 
As Figs.1.25(c) e 1.25(d) apresentam os sinais preparados para realizar a operação, 
fazendo a troca de variáveis de t para τ, realizando a operação de reflexão e o deslocamento no 
sinal )(tx , e a troca de variável no sinal )(th . 
Para realizar a operação de convolução pela definição, vamos utilizar os gráficos 
apresentados na Fig.1.26. Na interpretação da convolução, como já dissemos anteriormente, 
um sinal permanece na sua posição, no caso desse exemplo o sinal )(τh , e o outro sinal 
)( τ−tx é posicionado em −∞=t sendo deslocado até +∞=t para realizar a integral da 
convolução. 
Capítulo 1 – Introdução à Teoria de Sinais e Sistemas 1.29 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.1.26-Sinais com durações finitas e suas respectivas transformações para a operação 
de convolução. 
O instante 0=t , apresentado pela Fig.1.26(a), resulta em valor nulo para a convolução, 
pois os dois sinais estão no limite para iniciar a sobreposição. Para o intervalo 60 << t , os 
sinais são sobrepostos, sendo que o produto dos sinais e a área sobre este sinal produto 
Capítulo 1 – Introdução à Teoria de Sinais e Sistemas 1.30 
resultam em valor não nulo, conforme apresenta a Fig.1.26(b). Uma situação limite ocorre 
para 2=t , onde que o sinal )( τ−tx está completamente sobreposto ao sinal )(τh , desta 
forma executa-se a análise para o intervalo 20 << t . Para este intervalo, observa-se na 
Fig.1.26(b) que o produto das funções possui uma largura variável, definindo o intervalo de 
integração entre 0 e t. A convolução para o intervalo 20 << t resulta na função tty 2)( = , 
aumentando linearmente a área determinada pelo produto entre as duas funções. 
No intervalo 42 << t , observa-se que, pelas Figs.1.26(c), 1.26(d) e 1.26(e), o resultado 
da integral não é alterado, pois o sinal )( τ−tx encontra-se completamente sobreposto pelo 
sinal )(τh , sendo deslocado sob este. Observa-se que o intervalo de integração varia de t+− 2 
até t. O desenvolvimento da integral resulta em: 
 412)(
2
=τ⋅= ∫
+−
t
t
dty , 
ou seja, a convolução resulta na função constante 4)( =ty , obtida do produto das duas 
funções multiplicado pela largura do sinal )( τ−tx . 
A partir do instante 4=t , o sinal )( τ−tx não está mais completamente sobrepostopelo 
sinal )(τh , sendo necessárias novas condições de análise. A Fig.1.26(f) apresenta esta 
situação, sendo que o limite ocorre para 6=t . Para a análise no intervalo 64 << t , o 
intervalo de integração varia de t+− 2 até 4. O desenvolvimento da integral resulta em: 
 tdty
t
21212)(
4
2
−=τ⋅= ∫
+−
. 
A partir de 6=t não há mais sobreposição dos sinais, resultando em valor nulo para a 
convolução, conforme apresentado na Fig.1.26(g). 
As sentenças matemáticas do resultado da convolução, )(ty , são apresentadas na 
equação (1.76). 
 








≥
≤≤−
≤≤
≤≤
≤
=
6,0
64,212
42,4
20,2
0,0
)(
t
tt
t
tt
t
ty . (1.76) 
A forma gráfica do resultado é apresentada na Fig.1.27. 
 
Fig.1.27-Resultado da operação de convolução com sinais de duração finita. 
Como os sinais )(tx e )(th são finitos, observa-se que 2=xL e 4=hL , resultando em 
6=yL . Quanto aos intervalos, para o sinal )(tx temos )2,0( e para o sinal )(th temos )4,0( , 
resultando no intervalo ]6,0[ para )(ty . 
Capítulo 1 – Introdução à Teoria de Sinais e Sistemas 1.31 
Observa-se que, devido ao sinal pulso retangular possuir descontinuidades, é necessária 
a realização da convolução por intervalos, para cada mudança dos limites de integração da 
integral de convolução. Neste caso, a operação só pode ser realizada com a ajuda de gráficos 
que apresentam as interações entre os sinais. 
Para exemplificar a convolução entre um sinal com duração finita e um sinal com 
duração infinita, utilizaremos )(tx e )(th definidos por: )3(2)(2)( −−= tututx e 
)()( 2 tueth t−= , cujo comportamento é apresentado pelas Figs.1.28(a) e 1.28(b). 
 
 
Fig.1.28-Exemplo da operação de convolução entre sinal de duração finita e sinal de 
duração infinita. 
A Fig.1.29(a) apresenta os sinais preparados para realizar a operação de convolução 
através da troca de variáveis de t para τ, da operação de reflexão e de deslocamento no sinal 
)(tx , e da troca de variável no sinal )(th . Podemos observar que, para 0<t , não existe 
convolução. 
 
 
 
 
Capítulo 1 – Introdução à Teoria de Sinais e Sistemas 1.32 
 
 
Fig.1.29-Exemplo da operação de convolução entre um sinal finito e um sinal infinito 
utilizando a definição de convolução contínua. 
A convolução inicia para 0=t , como apresenta a Fig.1.29(b), ocorrendo uma situação 
limite para 3=t , conforme apresenta a Fig.1.29(d). Para o intervalo 30 << t , observa-se o 
intervalo de integração varia entre 0 e t. Nesse intervalo, temos: 
 t
t
edety 2
0
2 12)( −τ− −=τ= ∫ . 
Para o intervalo 3>t , apresentado pela Fig.1.29(e), o sinal finito )(tx continua deslocando-se 
até o infinito, ocorrendo a convolução até o infinito. Neste intervalo de análise, a integral da 
convolução possui os limites de integração t+− 3 e t. Nesse intervalo temos: 
 )1(2)( 62
3
2
−=τ= −
+−
τ−
∫ eedety
t
t
t
. 
A convolução das funções )(tx e )(th resulta em uma função )(ty apresentada pela equação 
(1.77). 
 





≥−
≤≤−
≤
=
−
−
3),1(
30,1
0,0
)(
62
2
tee
te
t
ty
t
t . (1.77) 
A forma gráfica do resultado é apresentada na Fig.1.30. 
 
Fig.1.30-Resultado da operação de convolução entre um sinal de duração finita e um 
sinal de duração infinita. 
Além das propriedades comutativa, distributiva e associativa, outras propriedades da 
integral de convolução merecem destaque. São elas: 
a propriedade da derivada: 
 
dt
tdh
txth
dt
tdx
thtx
dt
d )(
)()(
)(
)]()([ ∗=∗=∗ , (1.78) 
a propriedade da integral (ou da área total) onde, se )()()( thtxty ∗= , então: 
Capítulo 1 – Introdução à Teoria de Sinais e Sistemas 1.33 
 ∫∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
×= dtthdttxdtty )()()( , (1.79) 
a propriedade da convolução com o impulso: 
 )()()( atxattx ±=±δ∗ . (1.80) 
1.9.SISTEMAS LI EARES E I VARIA TES O TEMPO 
Os sistemas lineares são caracterizados pelo princípio da superposição. Isso implica em 
que, se )(1 tr é a resposta a uma função de excitação )(1 tf e )(2 tr é a resposta a outra função 
de excitação )(2 tf , então, para a função de excitação )()( 21 tftf + , a resposta será 
)()( 21 trtr + . O enunciado do princípio da superposição diz que a resposta a uma função de 
excitação )()( 21 tbftaf + é dada por )()( 21 tbrtar + . Portanto, para determinar a resposta de um 
sistema linear a uma dada função de excitação podemos empregar o princípio da superposição. 
A maioria dos sistemas utilizados em engenharia são lineares e invariantes no tempo. Ou 
seja, atendem o princípio da linearidade e dependem da diferença de tempo entre entrada e 
saída (e não dos valores absolutos do tempo entrada e do tempo de saída). Assim, 
consideremos um sistema linear e invariante no tempo (SLIT) sem energia inicial armazenada 
e com uma excitação )(tf . Em algum ponto desse sistema estará presente uma resposta )(tr , 
conforme mostra a Fig.1.31. 
 
Fig.1.31-Representação entrada/saída de um Sistema Linear e Invariante no Tempo 
(SLIT). 
Vamos admitir que )(th seja a função que representa a resposta desse sistema a uma 
excitação do impulso unitário no instante 0=t , conforme mostra a Fig.1.32. 
 
Fig.1.32-Representação entrada/saída de um SLIT para uma entrada impulso unitário. 
Se o impulso unitário tivesse sido aplicado no instante τ=t e não no instante 0=t , a única 
alteração seria um atraso na saída, conforme mostra a Fig.1.33. 
 
Fig.1.33-Representação entrada/saída de um SLIT para uma entrada impulso unitário 
atrasada. 
Capítulo 1 – Introdução à Teoria de Sinais e Sistemas 1.34 
Considerando que o peso (área) do impulso não seja mais unitário, mas sim igual a um número 
dado por, digamos, )(τf , teremos o que mostra a Fig.1.34. 
 
Fig.1.34-Representação entrada/saída de um SLIT para uma entrada impulso atrasada e 
com peso não unitário. 
Imaginemos, agora, que τ possa assumir infinitos valores. As infinitas funções de entrada que 
serão geradas pelos infinitos valores de τ geram infinitas respostas para o sistema. Pelo 
princípio da superposição, se somarmos todas as funções de entrada, teremos uma somatória 
na saída, conforme mostra a Fig.1.35. 
 
Fig.1.35-Representação entrada/saída de um SLIT para uma soma de impulsos 
deslocados no tempo e com pesos não unitários. 
Supondo que τ sofra variações infinitesimais e imaginando que multiplicamos todas as 
entradas e, conseqüentemente, todas as saídas por τ∆ ; no limite, o somatório se transforma 
numa integral. Ou seja, na entrada teremos ττ−δτ∫
∞
∞−
dtf )()( e na saída ττ−τ∫
∞
∞−
dthf )()( . 
Recordando a definição de convolução, temos: 
 f t f t f f t d1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )∗ = −
−∞
∞
∫ τ τ τ . (1.81) 
Note que a expressão da entrada bem como a expressão da saída do nosso sistema são duas 
convoluções: 
 ττ−δτ=δ∗ ∫
∞
∞−
dtfttf )()()()( , (1.82) 
e, 
 ττ−τ=∗ ∫
∞
∞−
dthfthtf )()()()( . (1.83) 
A convolução de um impulso com uma função qualquer resulta na própria função. Assim, a 
equação (1.82) torna-se: 
 )()()( tfttf =δ∗ . (1.84) 
No caso da equação (1.83) que define a saída do sistema, temos: 
 )()()( thtftr ∗= . (1.85) 
A Fig.1.36 resume os resultados para o domínio do tempo. 
Capítulo 1 – Introdução à Teoria de Sinais e Sistemas 1.35 
 
Fig.1.36-Representação da relação entre entrada/saída de um SLIT para o domínio do 
tempo. 
Exercício Proposto 1.22. Um SLIT tem como resposta ao impulso unitário, h(t), o gráfico 
dado a seguir. Na entrada do sistema é colocado um pulso retangular de amplitude três e que 
se estende de t = 0 (s) a (s)4=t . Esboce o gráfico do sinal de saída do sistema linear. 
h t( )
t
0 1
1
(s)