Ciência dos Materiais - Prof. Evandro Bittencourt

Prévia do material em texto

Cieˆncias dos Materiais
Prof. Evandro Bittencourt (Dr.)
12 de marc¸o de 2012
Suma´rio
1 Sistemas critalinos 2
1
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 2
1.1 Sistema cu´bico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Sistema cu´bico simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Sistema Cu´bico de Corpo Centrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Sistema Cu´bico de Face Centrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Cristalografia 6
2.1 Posic¸o˜es cristalinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Direc¸o˜es cristalinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Planos cristalinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 Densidade atoˆmica planar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5.1 Cu´bico simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5.2 Cu´bico de corpo centrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5.3 Cu´bico de face centrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6 Densidade atoˆmica linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.7 Planos e direc¸o˜es compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Caracterizac¸a˜o da estrutura 19
3.1 Lei de Bragg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Me´todos de difrac¸a˜o de raios-X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Espectro de difrac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4 Exemplo de aplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Defeitos 27
4.1 Vacaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1.1 Exemplo de aplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2 Soluc¸o˜es So´lidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2.1 Condic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2.2 Exerc´ıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5 Composic¸a˜o 30
5.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6 Diagramas de Fases 31
6.1 Importa˜ncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.2 Limite de solubilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.3 Fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.4 Diagramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.5 Fases de equil´ıbrio e fases metaesta´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.6 Diagrama de equil´ıbrio para sistemas bina´rios e isomo´rfos . . . . . . . . . . . 32
6.6.1 Interpretac¸a˜o dos diagramas de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.7 Desenvolvimento da microestrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.8 Diagrama Eute´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.8.1 Desenvolvimento da estrutura para ligas eute´ticas . . . . . . . . . . . 37
6.8.2 Diagrama Cu-Ag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 3
7 Propriedades Mecaˆnicas dos Materiais 40
7.1 Ensaio de Trac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7.1.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 4
1 Sistemas critalinos
Existem 7 tipos de ce´lulas cristalinas, chamados de sistemas cristalinos: sistema cu´bico,
sistema tetragonal, sistema romboe´drico, sistema hexagonal, sistema ortorroˆmbico, sistema
monocl´ınico e sistema tricl´ınico. Quando posicionamos a´tomos dentro desses sistemas for-
mamos redes (ou estruturas cristalinas). Dessa maneira, os 7 sistemas cristalinos geram 14
Redes de Bravais (estruturas cristalinas).
simples corpo centrado face centrada
Sistema cu´bico,
treˆs eixos com
aˆngulos retos; to-
dos iguais: a = b =
c; α = β = γ = 90o
Cobre (Cu),
Prata (Ag),
Cloreto de so´dio
(NaCl)
simples corpo centrado
Sistema tetragonal,
treˆs eixos com
aˆngulos retos; dois
iguais: a = b 6=
c; α = β = γ = 90o
Estanho (Sn),
Rutilo (TiO2)
simples c.centrado t.centrada f.centrada
Sistema ortorrom-
bico, treˆs eixos com
aˆngulos retos: a 6=
b 6= c; α = β = γ =
90o
Ga´lio (Ga),
Perovskita
(CaTiO3)
simples face centrada
Sistema mo-
nocl´ınico, dois
eixos com aˆngulos
retos: a 6= b 6=
c; α = γ = 90o 6= β
Gesso
(CaSO4·2H2O)
simples
Sistema tricl´ınico,
a 6= b 6= c; α 6= γ 6=
β 6= 90o
Cromato
de Pota´ssio
(K2CrO7)
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 5
simples
Sistema trigonal
(romboe´drico),
a = b = c; α = γ =
β 6= 90o
Calcita
(CaCO3), Ar-
senic (As),
Bismuto (Bi)
simples
Sistema Trigonal
(hexagonal), a1 =
a2 = a3 6= c; α =
β = 90o, γ = 120o
Zinco (Zn),
Ca´dmio (Cd),
Quartzo (SiO2)
1.1 Sistema cu´bico
Especial atenc¸a˜o sera´ dada ao sistema cu´bico de empilhamento atoˆmico.
O paraˆmetro cristalino e´ o lado da ce´lula unita´ria cu´bica. Outro coeficiente que carac-
teriza os sistemas cristalinos e´ o Fator de Empacotamento, uma relac¸a˜o entre o volume de
material atoˆmico e o volume da ce´lula unita´ria. Ale´m disso, temos o Nu´mero de Coordenac¸a˜o,
que e´ o nu´mero de a´tomos vizinhos de cada posic¸a˜o atoˆmica.
FE =
Volume de material atoˆmico
Volume da ce´lula unita´ria
1.1.1 Sistema cu´bico simples
No sistema cu´bico simples o empilhamento atoˆmico ocorre com 1 a´tomo alocado em cada
ve´rtice da ce´lula unita´ria.
x
y
z
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 6
x
y
z
O paraˆmetro cristalino e´ igual a 2R e o nu´mero de coordenac¸a˜o e´ 6. O fator de empaco-
tamento e´ igual:
FE =
4
3
pi R3
(2 R)3
=
pi
6
= 0, 52
1.1.2 Sistema Cu´bico de Corpo Centrado
No sistema cu´bico de corpo centrada o empilhamento atoˆmico ocorre com 1 a´tomo alocado
em cada ve´rtice da ce´lula unita´ria ale´m de um a´tomo posicionada exatamente no centro.
4 R√
3
x
y
z
x
y
z
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 7
O paraˆmetro cristalino e´ igual a
4 R√
3
e o nu´mero de coordenac¸a˜o e´ 8. O fator de empa-
cotamento e´ igual:
FE =
2× 4
3
pi R3(
4 R√
3
)3 = √3 pi8 = 0, 68
1.1.3 Sistema Cu´bico de Face Centrada
No sistema cu´bico de face centrada o empilhamento atoˆmico ocorre com 1 a´tomo alocado
em cada ve´rtice da ce´lula unita´ria ale´m de um a´tomo no centro de cada face.
x
y
z
2 R
√
2
x
y
z
O paraˆmetro cristalino e´ igual a 2 R
√
2 e o nu´mero de coordenac¸a˜o e´ 12. O fator de
empacotamento e´ igual:
FE =
4× 4
3
pi R3(
2 R
√
2
)3 = pi3 √2 = 0, 74
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 8
2 Cristalografia
A descric¸a˜o da estrutura cristalina dos materiais e´ feita considerando-se uma notac¸a˜o para:
posic¸o˜es, direc¸o˜es e planos.
2.1 Posic¸o˜es cristalinas
As posic¸o˜es cristalinas sa˜o pontos representados na ce´lula cristalina cu´bica. O paraˆmetro
cristalino e´ a unidade de medidapara representac¸a˜o dessas posic¸o˜es.
P1 = 0; 0; 0
P2 = 0; 1; 0
P3 = 0; 1; 1
P4 = 0; 0; 1
P5 = 1; 0; 0
P6 = 1; 1; 0
P7 = 1; 1; 1
P8 = 1; 0; 1
x
y
z
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P8
P7
As posic¸o˜es cristalinas auxiliam na determinac¸a˜o e desenho dos ı´ndices das direc¸o˜es e
planos cristalinos. Ale´m das posic¸o˜es nos ve´rtices podemos ter intermedia´rias, com frac¸o˜es
do paraˆmetro cristalino.
P1 = 1/2; 1/2; 1/2
P2 = 1/3; 0; 0
P3 = 2/3; 1; 1
P4 = 0; 1; 1/4
x
y
z
P1P2
P3
P4
2.2 Direc¸o˜es cristalinas
A direc¸a˜o cristalogra´fica e´ representada por um vetor entre duas posic¸o˜es cristalogra´ficas.
O comprimento da projec¸a˜o ortogonal sobre os eixos determina os coeficientes que carac-
terizam a direc¸a˜o cristalina. Essa medida e´ fornecida tendo como base o paraˆmetro cristalino
(dimensa˜o da ce´lula unita´ria: a, b ou c).
A representac¸a˜o final e´ feita considerando os menores valores inteiros.
Os treˆs ı´ndices sa˜o representados em couchetes (na˜o separados por v´ırgula). Dessa ma-
neira [uvw], representam os menores inteiros proporcionais a projec¸a˜o da direc¸a˜o cristalina
nos eixos x, y e z, respectivamente.
Uma determinada projec¸a˜o pode ter sentido contra´rio ao do eixo que a suporta, dessa ma-
neira o ı´ndice e´ negativo, devendo ser representado com uma barra superior. Exemplificando
[1¯11] tem a projec¸a˜o em x negativa, sentido contra´rio ao eixo x.
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 9
x
y
z
x
y
z
x
y
z
Figura 1: Representac¸a˜o das direc¸o˜es cristalina [100], [110] e [111] respectivamente
A determinac¸a˜o dos ı´ndices da direc¸a˜o pode ser feita considerando os acre´scimos entre a
posic¸a˜o inicial e final. Exemplificando:
x
y
z
Pi = 0; 0; 0
Pf = 1/2; 1; 0
∆ = Pf − Pi = 1/2; 1; 0 (o tamanho da
projec¸a˜o)
multiplicando por dois (menores inteiros)
obtem-se os ı´ndices da direc¸a˜o
[120]
Essa abordagem permite a determinac¸a˜o dos ı´ndices da direc¸a˜o cristalina representada
em qualquer posic¸a˜o da ce´lula unita´ria.
x
y
z
Pi = 0; 1; 1
Pf = 1; 0; 1/2
∆ = Pf − Pi = 1; −1; −1/2
multiplicando por dois (menores inteiros)
obtem-se os ı´ndices da direc¸a˜o
[22¯1¯]
Para o desenho da direc¸a˜o a partir dos ı´ndices podemos usar o inverso do mesmo proce-
dimento:
Dada a direc¸a˜o [120]:
Considerando a origem como ponto inicial: Pi = 0; 0; 0
∆ = 1/2; 1; 0 (´ındices divididos por dois)
Pf = Pi +∆ = 1/2; 1; 0
x
y
z
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 10
Quando a direc¸a˜o tiver algum ı´ndice negativo basta alterar o ponto inicial para o desenho
se manter dentro da ce´lula unita´ria.
Dada a direc¸a˜o [1¯22¯]:
Considerando a origem como ponto inicial: Pi = 1; 0; 1
∆ = −1/2; 1; −1
Pf = Pi +∆ = 1/2; 1; 0
x
y
z
2.3 Planos cristalinos
A notac¸a˜o para os planos utiliza os I´ndices de Miller, que sa˜o obtidos da seguinte maneira:
• Obte´m-se as intersecc¸o˜es do plano com os eixos;
• Obte´m-se os inverso das intersecc¸o˜es;
• Multiplica-se para obter os menores nu´meros inteiros.
Para o plano da figura os interceptos sa˜o: Ix =
1
2
; Iz = 1. Sendo ainda que o plano e´
paralelo ao eixo y, portanto na˜o existe intercepto, ou o intercepto ocorre no infinito (Iy =∞).
x
y
z
1
1/2
Calculamos os I´ndices de Miller:
h =
1
Ix
=
1
1
2
= 2
k =
1
Iy
=
1
∞ = 0
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 11
l =
1
Iz
=
1
1
= 1
O plano e´ caracterizado assim (sistema cu´bico): ( h k l ). Para o exemplo temos: ( 2 0 1
).
Os plano frontais sa˜o:
x
y
z
( 1 0 0 )
x
y
z
( 0 1 0 )
x
y
z
( 0 0 1 )
Figura 2: Planos frontais
Da mesma maneira, os planos frontais negativos sa˜o:
x
y
z
( 1¯ 0 0 )
x
y
z
( 0 1¯ 0 )
x
y
z
( 0 0 1¯ )
Figura 3: Planos frontais negativos
Note que foi feito um deslocamento da origem para a visualizac¸a˜o dos planos negativos.
Os planos diagonais da ce´lula unita´ria cu´bica sa˜o:
x
y
z
(1 1 1 )
x
y
z
( 1¯ 1 1 )
x
y
z
( 1 1¯ 1 )
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 12
x
y
z
( 0 0 1¯ )
x
y
z
( 1¯ 1¯ 1 )
x
y
z
( 1 1¯ 1¯ )
x
y
z
( 1¯ 0 1¯ )
x
y
z
( 1¯ 1¯ 1¯ )
Figura 4: Planos diagonais da ce´lula unita´ria cu´bica
O sistema formado por esses planos e a famı´lia de planos representada por { 1 1 1 } :
Um bom exerc´ıcio e´ imaginar o so´lido formado pela intersecc¸a˜o de todos os planos da
famı´lia { 1 1 1 } :
x
y
z
Figura 5: Todos os planos diagonais da ce´lula unita´ria cu´bica
Quando as intersec¸o˜es do plano com os eixos na˜o sa˜o o´bvias, deve-se deslocar o plano ate´
obter as intersecc¸o˜es corretas.
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 13
x
y
z
Ix = 1
Iy = −1
Iz =∞
h = 1; k = −1; l = 0
( 1 1¯ 0 )
Ou melhor, alterar a origem de posic¸a˜o, na˜o necessitando aumentar o desenho.
x
y
z
x
y
z
2.4 Exerc´ıcios
1) Desenhe as direc¸o˜es dentro de uma ce´lula unita´ria cu´bica:
(a) [1¯10]; (b) [1¯2¯1]; (c) [01¯2];
x
y
z
x
y
z
x
y
z
(d) [13¯3]; (e) [1¯1¯1]; (f) [1¯22];
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 14
x
y
z
x
y
z
x
y
z
(g) [12¯3¯]; (h) [1¯03]; (i) [01¯0].
x
y
z
x
y
z
x
y
z
2) Determine os ı´ndices das direc¸o˜es mostradas nas ce´lulas unita´rias cu´bicas:
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 15
x
y
z
x
y
z
x
y
z
3) Determine os ı´ndices de Miller dos planos mostrados na ce´lula unita´ria:
x
y
z
2
3
1
2
x
y
z
1
2
x
y
z 1
21
3
1
2
4) Determine os ı´ndices de Miller dos planos mostrados na ce´lula unita´ria:
x
y
z
x
y
z
x
y
z
5) Desenhe numa ce´lula unita´ria cu´bica os seguintes planos cristalinos:
(a) (01¯1¯); (b) (112¯); (c) (102¯);
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 16
x
y
z
x
y
z
x
y
z
(d) (13¯1); (e) (1¯11¯); (f) (12¯2¯);
x
y
z
x
y
z
x
y
z
(g) (1¯23¯); (h) (01¯3¯); (i) (03¯0).
x
y
z
x
y
z
x
y
z
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 17
2.5 Densidade atoˆmica planar
Ana´logo ao fator de empacotamento atoˆmico, que corrensponde a` densidade volume´trica de
a´tomos, podemos definir a densidade atoˆmica num determinado plano cristalino:
DAP =
a´rea total de atomos
a´rea do plano
Para cada sistema cristalino existem planos especiais onde as densidades atoˆmicas sa˜o
ma´ximas.
2.5.1 Cu´bico simples
Para o sistema cu´bico simples temos as faces como planos principais (famı´lia 100):
2R
DAP =
4
pi R2
4
(2 R)2
=
pi
4
= 0, 79
2.5.2 Cu´bico de corpo centrado
Para o sistema cu´bico simples temos os planos das faces (famı´lia {100}) e os planos diagonais
(famı´lia {110}):
4 R√
3
Famı´lia {100}
DAP =
4
pi R2
4(
4 R√
3
)2 = 3 pi16 = 0, 59
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 18
4
√
2 R√
3
4
R √ 3
Famı´lia {110}
DAP =
pi R2 + 4
pi R2
4
4
√
2 R√
3
· 4 R√
3
=
3 pi
8
√
2
= 0, 83
Dessa forma, o plano com a ma´xima densidade planar e o plano diagonal, da famı´lia 110.
2.5.3 Cu´bico de face centrada
Para o sistema cu´bico simples temos os planos das faces (famı´lia {100}), os planos diagonais
(famı´lia {110}) e os planos diagonais do cubo (famı´lia {111}):
2 R
√
2
Famı´lia {100}
DAP =
pi R2 + 4
pi R2
4(
2 R
√
2
)2 = pi4 =0, 79
4 R
2
R
√ 2
Famı´lia {110}
DAP =
2
pi R2
2
+ 4
pi R2
4
2 R
√
2 · 4 R =
pi
4
√
2
= 0, 55
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 19
4 R
4
R
4
R
2
R
√ 3
Famı´lia {111}
DAP =
3
pi R2
2
+ 3
pi R2
6
2 R
√
3 · 4 R
2
=
pi
2
√
3
= 0, 91
Dessa forma, o plano com a ma´xima densidade planar e o plano diagonal do cubo, famı´lia
{111}.
2.6 Densidade atoˆmica linear
Similar a` DAP pode-se definir a densidade atoˆmica linear como:
DAL =
Comprimento total de a´tomos
Comprimento de uma direc¸a˜o
Vamos apresentar a DAL para as direc¸o˜es nos planos de ma´xima densidade de cada
estrutura cristalina cu´bica.
2R
Cu´bica simples: famı´lia <100>
DAL =
2 R
2 R
= 1, 0
4
√
2 R√
3
4
R √ 3
Cu´bica corpo centrado: famı´lia <111>
DAL = 1, 0
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 20
4 R
4
R
4
R
2
R
√ 3 Cu´bica corpo centrado: famı´lia <110>
DAL = 1, 0
2.7 Planos e direc¸o˜es compactos
A estrutura cristalina CFC e´ a mais densa do ponto de vista volume´trico. Por outro lado, em
cada rede, existem planos com valores diferentes de DAP. Os planos compactos sa˜o aqueles
com o valor maior de DAP para cada estrutura cristalina.
As direc¸o˜es compactas esta˜o contidas nos planos compactos de cada estrutura cristalina.
Para a estrutura cristalina CS e´ a famı´lia de planos {100}, para a estrutura cristalina
CCS e´ a famı´lia de planos {110} e para a estrutura cristalina CFC e´ a famı´lia de planos
{111}.
Os planos compctos e as direc¸o˜es compactas sa˜o fundamentais na deformac¸a˜o mecaˆnica
dos materiais. Normalmente a deformac¸a˜o mecaˆnica ocorre atrave´s do deslizamento de
planos. Como os a´tomos esta˜o mais ligados nos planos compactos, o deslizamento ocorre
entre esses planos, ou seja, num plano paralelo a esse plano compacto e no sentido da direc¸a˜o
compacta.
Desse modo, os materiais que possuem a estrutura CFC, que tem a famı´lia de planos {111}
com DAP=0,91, tem muita facilidade de deformac¸a˜o, relativamente as demais estruturas.
Ale´m do DAP diferenciado, a famı´lia {111} e´ composta por 8 planos, facilitando a deformac¸a˜o
em diversas direc¸o˜es (famı´lia <110>) nesses planos.
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 21
3 Caracterizac¸a˜o da estrutura
A estrutura cristalina dos materiais e´ determinada experimentalmente pela difrac¸a˜o de raios-
x.
Quando um feixe de radiac¸a˜o incide sobre o material ele sofre uma interfereˆncia, e´ difra-
tado, dependendo do aˆngulo de incideˆncia e da densidade dos planos cristalinos atoˆmicos.
Esse efeito acontece por causa da proximidade entre os espac¸amentos interplanares e o com-
primento de onda dos raios-x que e´ da ordem de 0,1 nm.
A interfereˆncia pode ser construtiva ou destrutiva. Quando construtiva o feixe de raios
difratados se apresentam em fase, possibilitando que a leitura da intensidade seja realizada.
3.1 Lei de Bragg
A relac¸a˜o entre o aˆngulo de incideˆncia dos raios-x, o comprimento da onda, a distaˆncia
interplanar do material e o tipo de interfereˆncia e´ usada numa expressa˜o geome´trica chamada
de Lei de Bragg.
A C
B
θ θ
λ
Raios-X
incidentes
Raios-X
difratados
Planos
atoˆmicos
d distaˆncia
interplanar
A C
B
θ θ
θ θ
d
A lei de Bragg e´ definida considerando-se a necessidade dos feixes difratados estarem em
fase. Dessa maneira, o caminho do feixe mais interno deve percorrer distaˆncia multipla do
comprimento de onda (n λ):
AB +BC = 2AB = 2 d sen θ
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 22
2 d sen θ = n λ (Lei de Bragg)
Onde n e´ um nu´mero inteiro.
Por outro lado, a distaˆncia entre dois planos atoˆmicos paralelos adjacentes pode ser
calculado considerando os ı´ndices de Miller (h, k, l) e o paraˆmetro cristalino (a):
dhkl =
a√
h2 + k2 + l2
3.2 Me´todos de difrac¸a˜o de raios-X
Existem dois me´todos:
• Me´todo de Laue, onde uma amostra mono-cristalina e´ exposta a raios-X com va´rios
comprimentos de onda (poli-croma´tico) num determinado aˆngulo fixo;
• Difratoˆmetro, mais moderno, onde uma amostra poli-cristalina em po´ e´ exposta a
raios-X monocroma´tico. O aˆngulo de incideˆncia varia continuamente e relaciona-se a
intensidade percebida no feixe difratado.
3.3 Espectro de difrac¸a˜o
O resultado gra´fico da caracterizac¸a˜o difratome´trica e´ chamada do espectro de difrac¸a˜o.
30 40 50 60 70 80 90 100
(110)
(200)
(211)
Aˆngulo de difrac¸a˜o 2θ
In
te
n
si
d
ad
e
re
la
ti
va
Figura 6: Padra˜o de difrac¸a˜o para o ferro-α (ferro CCC) policristalino.
Os picos no gra´fico traduzem a intensidade do feixe de raios difratados considerando-se a
densidade atoˆmica planar. Dessa maneira, o pico com maior intensidade relativa e´ referente
a difrac¸a˜o no plano compacto da estrutura cristalina do material caracterizado.
3.4 Exemplo de aplicac¸a˜o
1) Para o ferro CCC, calcular: (a) o espac¸amento interplanar, e (b) o aˆngulo de difrac¸a˜o
para o conjunto de planos (220). O paraˆmetro cristalino do Fe e´ 0,2866 nm e a radiac¸a˜o
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 23
nomocroma´tica utilisada tem um comprimento de onda igual a 0,1790 nm. Considerar
a ordem de difrac¸a˜o igual a 1 (n = 1).
Soluc¸a˜o:
(a) O valor do espac¸amento interplanar dhkl pode ser determinado considerando-se
a = 0, 2866 nm, e h = 2, k = 2, e l = 0, desde que se considere os planos (220) para o
ca´lculo. Portanto:
dhkl =
a√
h2 + k2 + l2
=
0, 2866√
22 + 22 + 02
= 0, 1013 nm
(b) O valor de θ pode ser calculado agora considerando-se n = 1 (deflexa˜o de primeira
ordem):
sen θ =
nλ
2dhkl
=
(1)(0, 1790)
(2)(0, 1013)
= 0, 884
θ = sen−1(0, 884) = 62, 13o
O aˆngulo de difrac¸a˜o e´ 2θ:
2θ = (2)(62, 13) = 124, 26o
2) Dado o padra˜o de difrac¸a˜o para o Alumı´nio (gra´fico e tabela completa), determi-
nar os coeficientes dos planos atoˆmicos identificados. Considerar radiac¸a˜o Cu Kα =
0, 154056 nm
30 40 50 60 70 80 90 100
Aˆngulo de difrac¸a˜o 2θ
In
te
n
si
d
ad
e
re
la
ti
va
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 24
Tabela 1: Picos de difrac¸a˜o para o alumı´nio.
Pico 2θ
1 38,5192
2 44,7651
3 65,1402
4 78,2641
5 82,4726
6 99,1140
7 112,0367
8 116,5898
9 137,4595
Soluc¸a˜o:
O ca´lculo do paraˆmetro cristalino poderia ser feito considerando-se qualquer pico re-
sultante, evidentemente a resposta seria igual, independente do pico considerado. Pen-
sando dessa maneira, podemos trabalhar com a Lei de Bragg e o ca´lculo da distaˆncia
entre planos quaisquer:
2 d sen θ = n λ (Lei de Bragg) e dhkl =
a√
h2 + k2 + l2
2
a√
h2 + k2 + l2
sen θ = n λ
n λ
2 a
=
sen θ√
h2 + k2 + l2
O segundo lado da igualdade varia conforme o pico considerado no difratograma. Ele-
vando ao quadrado: (
n λ
2 a
)2
=
(
sen θ√
h2 + k2 + l2
)2
(
n λ
2 a
)2
=
sen2θ
h2 + k2 + l2
Considerando o primeiro membro igual a uma constante A:
A =
(
n λ
2 a
)2
A =
sen2θ
h2 + k2 + l2
Com o ca´lculo do paraˆmetro cristalino sendo feito:
a =
λ
2
√
A
(1)
considerando difrac¸a˜o de primeira ordem, ou seja n = 1.
Por outro lado, os planos cristalinos e a soma dos quadrados dos ı´ndices podem ser:
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 25
Coeficientes h2 + k2 + l2
100 1
110 2
111 3
200 4
210 5
211 6
220 8
221 9
300 9
310 10
311 11
222 12
. . . . . .
Vamos procurar a constante A fazendo uma tabela da seguinte maneira:
pico 2θ sen2θ
sen2θ
2
sen2θ
3
sen2θ
4
sen2θ
5
sen2θ
6
sen2θ
8
1
2
3
4
5
6
. . .
. . .
. . .
Para o exemplo temos:
pico2θ sen2θ
sen2θ
2
sen2θ
3
sen2θ
4
sen2θ
5
sen2θ
6
sen2θ
8
1 38,5192 0,1088 0,0544 0,0363 0,0272 0,0218 0,0181 0,0136
2 44,7651 0,1450 0,0725 0,0483 0,0363 0,0290 0,0242 0,0181
3 65,1402 0,2898 0,1449 0,0966 0,0725 0,0580 0,0483 0,0362
4 78,2641 0,3983 0,1992 0,1328 0,0996 0,0797 0,0664 0,0498
5 82,4726 0,4345 0,2173 0,1448 0,1086 0,0869 0,0724 0,0543
6 99,1140 0,5792 0,2896 0,1931 0,1448 0,1158 0,0965 0,0724
7 112,0367 0,6876 0,3438 0,2292 0,1719 0,1375 0,1146 0,0860
8 116,5898 0,7238 0,3619 0,2413 0,1810 0,1448 0,1206 0,0905
9 137,4595 0,8684 0,4342 0,2895 0,2171 0,1737 0,1447 0,1086
A constante A deve se repetir na tabela em todas as linhas, ou seja para todos os picos,
mas na˜o necessariamente em todas as colunas.
Dessa maneira, observamos A = 0, 0363 (em negrito).
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 26
O paraˆmetro cristalino pode ser calculado pela equac¸a˜o 1:
a =
λ
2
√
A
=
0, 154056
2
√
0, 0363
= 0, 4049 nm
A identificac¸a˜o dos picos pode ser feita dessa maneira:
pico 2θ sen2θ
sen2θ
A
h2 + k2 + l2 (hkl)
1 38,5192 0,1088 2,9972 3 plano (111)
2 44,7651 0,1450 3,9945 4 plano (200)
3 65,1402 0,2898 7,9835 8 plano (220)
4 78,2641 0,3983 10,9725 11 plano (311)
5 82,4726 0,4345 11,9697 12 plano (222)
6 99,1140 0,5792 15,9559 16 plano (400)
7 112,0367 0,6876 18,9421 19 plano (331)
8 116,5898 0,7238 19,9394 20 plano (420)
9 137,4595 0,8684 23,9229 24 plano (422)
Representando no gra´fico:
30 40 50 60 70 80 90 100
(111)
(200)
(221)
(331)
(222)
(400)
Aˆngulo de difrac¸a˜o 2θ
In
te
n
si
d
ad
e
re
la
ti
va
3.5 Exerc´ıcios
1) Dado o padra˜o de difrac¸a˜o para o Nı´quel (gra´fico e tabela completa), determinar os coe-
ficientes dos planos atoˆmicos identificados. Considerar radiac¸a˜o Cu Kα = 0, 154056 nm
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 27
30 40 50 60 70 80 90 100
Aˆngulo de difrac¸a˜o 2θ
In
te
n
si
d
ad
e
re
la
ti
va
Tabela 2: Picos de difrac¸a˜o para o n´ıquel.
Pico 2θ
1 44,53
2 51,89
3 76,45
4 93,01
5 98,51
6 122,12
2) Dado o padra˜o de difrac¸a˜o para o Cobre (gra´fico e tabela completa), determinar os coe-
ficientes dos planos atoˆmicos identificados. Considerar radiac¸a˜o Cu Kα = 0, 154056 nm
30 40 50 60 70 80 90 100
Aˆngulo de difrac¸a˜o 2θ
In
te
n
si
d
ad
e
re
la
ti
va
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 28
Tabela 3: Picos de difrac¸a˜o para o cobre.
Pico 2θ
1 43,16
2 50,30
3 73,99
4 89,85
5 95,03
6 116,92
7 136,59
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 29
4 Defeitos
4.1 Vacaˆncia
O nu´mero vacaˆncias de equil´ıbrio (Nv)para uma dada quantidade de material depende do
aumento da temperatura de acordo com:
Nv = Ne
−QvkT
Onde:
N = nu´mero total de posic¸o˜es atoˆmicas;
Qv = energia requerida para formac¸a˜o das vacaˆncias;
T = temperatura absoluta (K);
k = constante de Boltzmann;
k = 1, 38× 10−23 J/atom-K;
k= 8, 62× 10−5 eV/atom-K.
Assim, o nu´mero de vacaˆncias varia exponencialmente com a temperatura.
Para a maioria dos metais a frac¸a˜o Nv/N na temperatura de fusa˜o (justamente abaixo) e´
da ordem de 10−4, o que indica que existe uma posic¸a˜o na malha cristalina vazia em 10.000.
4.1.1 Exemplo de aplicac¸a˜o
Calcular o nu´mero de vacaˆncias de equil´ıbrio por metro cu´bico de cobre a 1.000oC. A energia
da formac¸a˜o de vacaˆncia e´ 0,9 eV/atom; o peso atoˆmico e a densidade do cobre (a 1.000oC)
sa˜o 63,5 g/mol e 8,4 g/cm3, respectivamente.
Soluc¸a˜o:
Sendo:
T = 1000 + 273 = 1.273 K
a constante de Boltzmann por mol de a´tomos torna-se a constante dos gazes R;
R = 8, 31 J/mol-K
R = 1, 987 cal/mol-K
Inicialmente, contudo, calcula-se o valor de N, o nu´mero de posic¸o˜es atoˆmicas por metro
cu´bico para o cobre:
N =
NAρ
ACu
Onde:
NA = nu´mero de Avogrado = 6, 023× 1023 a´tomos/mol;
ρ = densidade = 8, 4 g/cm3;
ACu = massa atoˆmica = 63, 5 g/mol;
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 30
N =
(6, 023× 1023 a´tomos/mol)(8, 4 g/cm3)(106 cm3/m3)
63, 5 g/mol
= 8, 0× 1028 a´tomos/m3
Assim, o nu´mero de vacaˆncias a 1.000oC (1.273 K) e´ igual a:
Nv = N e
−Qv
kT
Nv = (8, 0× 1028 a´tomos/m3) exp
[
− 0, 9 eV
(8, 62× 10−5 eV/K)(1273 K)
]
Nv = 2, 2× 1025 vacaˆncias/m3
4.1.2 Exerc´ıcios
1) Calcular a frac¸a˜o de posic¸o˜es atoˆmicas que sa˜o vacaˆncias para o Chumbo na sua tem-
peratura de fusa˜o de 327 oC. Assumindo a energia de formac¸a˜o de vacaˆncia igual a 0,55
eV/a´tomo.
2) Calcular o nu´mero de vacaˆncias por metro cu´bico do ferro a 850 oC. A energia para a
formac¸a˜o de vacaˆncias e´ 1,08 eV/a´tomo. Ale´m disso, a densidade e a massa atoˆmica
para o ferro sa˜o 7,65 g/cm3 e 55,85 g/mol, respectivamente.
3) Calcular a energia para formac¸a˜o de vacaˆncias na prata, dado que o nu´mero de vacaˆncias
de equ´ılibro a 800 oC e´ 3, 6 × 1023 m −3. A massa atoˆmica e a densidade (a 800 oC)
sa˜o, respectivamente, 107,9 g/mol e 9,5 g/cm 3.
4.2 Soluc¸o˜es So´lidas
As soluc¸o˜es so´lidas sa˜o formadas quando a´tomos de um elemento (soluto) sa˜o adicionados
no material hospedeiro (solvente) e a estrutura cristalina original e´ mantida.
4.2.1 Condic¸o˜es
Existem diversas condic¸o˜es para formac¸a˜o de uma soluc¸a˜o so´lida (substitucional ou intersti-
cial):
1) Fator do tamanho atoˆmico: quando a diferenc¸a entre tamanho for inferior a 15%;
2) Estrutura cristalina: quando os dois metais apresentarem a mesma estrutura cristalina;
3) Eletronegatividade: quanto mais um elemento for eletropositivo e o outro form mais
eletronegativo, maior e´ a probabilidade da formac¸a˜o de um composto intermeta´lico ao
inve´s da formac¸a˜o de uma soluc¸a˜o so´lida;
4) Valeˆncia: com os outros fatores sendo iguais, um metal tem maior tendeˆncia a se
dissolver em outro metal de maior valeˆncia que de outro de menor valeˆncia.
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 31
4.2.2 Exerc´ıcio
Elemento Raio Atoˆmico (nm) Estrutura cristalina Eletronegatividade Valeˆncia
Cu 0,1278 CFC 1,9 +2
C 0,071
H 0,046
O 0,060
Ag 0,1445 CFC 1,9 +1
Al 0,1431 CFC 1,5 +3
Co 0,1253 HC 1,8 +2
Cr 0,1249 CCC 1,6 +3
Fe 0,1241 CCC 1,8 +2
Ni 0,1246 CFC 1,8 +2
Pd 0,1376 CFC 2,2 +2
Pt 0,1387 CFC 2,2 +2
Zn 0,1332 HC 1,6 +2
CFC = Cu´bica de face centrada;
CCC = Cu´bica de corpo centrado;
HC = Hexagonal compacta.
Quais desses elementos podem ser formadores com o cobre:
1) Uma soluc¸a˜o so´lida substitucional com solubilidade completa?
2) Uma soluc¸a˜o so´lida substitucional com solubilidade incompleta?
3) Uma soluc¸a˜o so´lida interticial?
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 32
5 Composic¸a˜o
1) Percentagem de massa
C1 =
m1
m1 +m2
× 100 ; onde: mi = massa do elemento na liga.
2) Percentagem de a´tomos
C ′1 =
nm1
nm1 + nm2
× 100 ; onde: nm1 = m
′
1
A1
com m′1 = massa do elemento em gramas e
A1 = massa atoˆmica.
3) Conversa˜o
C ′1 =
C1A2
C1A2 + C2A1
× 100
C ′2 =
C2A1
C1A2 + C2A1
× 100
C1 =
C ′1A1
C ′1A1 + C
′
2A2
× 100
C2 =
C ′2A2
C ′1A1 + C
′
2A2
× 100
Com: C1 + C2 = 100; C
′
1 + C
′
2 = 100
5.1 Exemplo
Determinar a composic¸a˜o, em percentagem atoˆmica, de uma liga que consiste de 97% de
alumı´nio e 3% de cobre em massa. Soluc¸a˜o: com CAl = 97; CCu = 3
C ′Al =
CAlACu
CAlACu + CCuAAl
× 100
C ′Al =
(97)(63, 55 g/mol)
(97)(63, 55 g/mol) + (3)(26, 98 g/mol
× 100
C ′Al = 98, 7 % atoˆmica.
C ′Cu =
CCuAAl
CCuAAl + CAlACu
× 100
C ′Cu =
(3)(26, 98 g/mol)
(3)(26, 98 g/mol) + (97)(63, 55 g/mol
× 100
C ′Cu = 1, 3 % atoˆmica.
5.2 Exerc´ıcios
1) Composic¸a˜o em percentagem atoˆmica para 30% Zn e 70% Cu em massa?
2) Composic¸a˜o em percentagem de massapara 6% Pb e 94% Sn em atoˆmica?
3) Calcular a composic¸a˜o, em percentagem de massa, de uma liga consistindo de 218,0 kg
de titaˆnio e 14,6 kg de alumı´nio e 9,7 kg de vana´dio.
4) Qual e´ a composic¸a˜o, em percentagem atoˆmica, de uma liga consistindo de 98 g de
estanho e 65 g de chumbo?
5) Qual e´ a composic¸a˜o, em percentagem atoˆmica, de uma liga consistindo de 99,7 kg de
cobre, 102 kg de zinco, e 2,1 kg de chumbo?
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 33
6 Diagramas de Fases
Os diagramas de fase ou de equil´ıbrio sa˜o gra´ficos bi ou tridimensionais que fornecem in-
formac¸o˜es sobre as condic¸o˜es da formac¸a˜o de ligas de acordo com a temperatura e proporc¸o˜es.
6.1 Importa˜ncia
• Da´ informac¸o˜es sobre microestrutura e propriedades mecaˆnicas em func¸a˜o da tempe-
ratura e composic¸a˜o;
• Permite a visualizac¸a˜o da solidificac¸a˜o e fusa˜o;
• Prediz as transformac¸o˜es de fases;
• Da´ informac¸o˜es sobre outros fenoˆmenos.
6.2 Limite de solubilidade
Quando misturamos dois materiais diferentes (a´tomos diferentes) podemos ter:
• Solubilidade complesta: a mistura acontece em qualquer proporc¸a˜o;
• Solubilidade incompleta: a mistura acontece em determinadas proporc¸o˜es;
• Insolubilidade: a mistura na˜o acontece, independente da proporc¸a˜o.
O limite de solubilidade e´ a concentrac¸a˜o ma´xima de a´tomos de soluto que pode dissolver-
se no solvente, a uma dada temperatura, para formar uma soluc¸a˜o so´lida. Quando o limite
de solubilidade e´ ultrapassado forma-se uma segunda fase com composic¸a˜o distinta
6.3 Fases
Fase e´ a porc¸a˜o homogeˆnea de um sistema que tem caracter´ısticas f´ısicas e qu´ımicas definidas.
Considerac¸o˜es sobre as fases:
• Todo metal puro e uma considerado uma fase;
• Uma fase e´ identificada pela composic¸a˜o qu´ımica e microestrutura;
• A interac¸a˜o de 2 ou mais fases em um material permite a obtenc¸a˜o de propriedades
diferentes;
• E´ poss´ıvel alterar as propriedades do material alterando a forma e distribuic¸a˜o das
fases.
6.4 Diagramas
Os diagramas de fases ou de equil´ıbrios sa˜o mapas para a determinac¸a˜o das fases presentes
para qualquer temperatura e composic¸a˜o, desde que a liga esteja em equil´ıbrio. Termodina-
micamente o equil´ıbrio e´ descrito em termos de energia livre. Dessa maneira, um sistema
esta´ em equil´ıbrio quando a energia livre e´ mı´nima.
O equil´ıbrio de fases e´ o reflexo da constaˆncia das caracter´ısticas das fases com o tempo.
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 34
6.5 Fases de equil´ıbrio e fases metaesta´veis
Nas fases de equil´ıbrio as propriedades ou caracter´ısticas na˜o mudam com o tempo. Geral-
mente sa˜o representadas nos diagramas por letras gregas.
Ao contra´rio, nas fases metaesta´veis as propriedades ou caracter´ısticas mudam lentamente
com o tempo, ou seja, o estado de equil´ıbrio na˜o e´ nunca alcanc¸ado. No entanto, na˜o ha´
mudanc¸as muito percept´ıveis com o tempo na microestrutura das fases metaesta´veis.
6.6 Diagrama de equil´ıbrio para sistemas bina´rios e isomo´rfos
O diagrama e´ dito isomorfo quando a solubilidade e´ completa. Nos metais o exemplo cla´sico
e a liga Cobre-Nı´quel.
1100
1200
1300
1400
1500
20 40 60 80 100
Linha liquidus
Linha solidus
L´ıquido
α
α + L
1085 oC
1453 oC
(Cu) (Ni)Composic¸a˜o (% Ni em peso)
T
em
p
er
at
u
ra
(o
C
)
Figura 7: Diagrama de fases Cobre-Nı´quel: diagrama isomorfo.
No diagrama de fases, a chamada linha liquidus divide a fase que e´ totalmente l´ıquida das
fases que contenham algum componente so´lido. Da mesma maneira, a chamada linha solidus
divide a fase que e´ totalmente so´lida das fases que contenham componente l´ıquido.
No diagrama Cu − Ni pode-se notar que entre a linha liquidus e linha solidus temos
uma fase somente, composta por α + L (so´lido α + l´ıquido).
O so´lido α e´ uma mistura atoˆmica de Cobre e Nı´quel. Ele e´ uma soluc¸a˜o so´lida substitu-
cional com estrutura cristalina CFC, estrutura original dos dois metais, cobre e zinco.
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 35
Por outro lado, o l´ıquido L e´ uma soluc¸a˜o l´ıquida homogeˆnea composta por cobre e n´ıquel.
O ponto de fusa˜o do cobre e do n´ıquel esta˜o em destaque no diagrama, 1085oC e 1455oC
respectivamente. Os metais puros se fundem (ou solidificam) numa temperatura determinada
(num patamar de temperatura).
Ao contra´rio, as ligas meta´licas, muito geralmente, se fundem (ou solidificam) num pro-
cesso que envolve variac¸a˜o de temperatura. Esse efeito causa o aparecimento das regio˜es
entre a linha solidus e a linha liquidus.
Dessa maneira, a quantidade relativa de cada fase, so´lido α e l´ıquido L, varia coma a tem-
peratura, quanto mais pro´ximo o ponto analisado estiver da linha solidus maior sera´ a pro-
porc¸a˜o de so´lido α, da mesma maneira quando mais pro´ximo o ponto estiver da linha liquidus
maior sera´ a proporc¸a˜o de l´ıquido L presente na mistura.
Para esses caso, a determinac¸a˜o das quantidades relativas de cada fase e´ feita utilizando-
se a regra da alavanca. Para expressa˜o os ca´lculos envolvidos vamos utilizar uma porc¸a˜o do
diagrama Cu−Ni.
1150
1200
1250
1300
1350
20 30 40 50
CL CO Cα
D E
B
L´ıquido
α
α + L
α + L
Linha da alavanca
Composic¸a˜o (% Ni em peso)
T
em
p
er
at
u
ra
(o
C
)
Figura 8: Porc¸a˜o do diagrama Cu-Ni
6.6.1 Interpretac¸a˜o dos diagramas de fase
Para um sistema bina´rio em equil´ıbrio com composic¸a˜o e temperatura conhecida podemos
obter, pelo menos, treˆs informac¸o˜es:
• as fases que esta˜o presentes: no ponto B esta˜o presentes as fases l´ıquido L e so´lido α.
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 36
• a composic¸a˜o dessas fases: a composic¸a˜o da liga no ponto B e´ l´ıquido L + so´lido α, em
termos de % de Ni em peso temos o valor indicado na horizontal CO.
Ja´ a composic¸a˜o de cada fase e´ fornecida com a ajuda da linha da alavanca, que e´ uma
linha horizontal feita a partir do ponto analisado (ponto B no caso) e prolongada ate´
atingir as linhas limitrofes da regia˜o do diagrama. Os pontos de intersecc¸a˜o observados
fornecem a composic¸a˜o.
Dessa maneira, temos CL como sendo a composic¸a˜o do l´ıquido L, em termos de % de
Ni em peso, e Cα como sendo a composic¸a˜o do so´lido α, em termos de % de Ni em
peso.
• as quantidades relativas de cada fase: para isso utilizamos a Regra da alavanca, que
usa as semi-distaˆncias indicadas na figura 8 como D e E, sendo:
D = CO − CL e E = Cα − CO
As quantidades relativas dependem da relac¸a˜o entre a semi-distaˆncia oposta e a distaˆncia
total (soma das duas semi-distaˆncias). Dessa maneira:
quantidade relativa de l´ıquido L = PL =
E
D + E
quantidade relativa de so´lido α = Pα =
D
D + E
ou considerando a subtrac¸a˜o das composic¸o˜es:
PL =
Cα − CO
Cα − CL
Pα =
CO − CL
Cα − CL
6.7 Desenvolvimento da microestrutura
O desenvolvimento da microestrutura na solidificac¸a˜o ou fusa˜o deve ser feito considerando
uma velocidade adequadamente lenta para que as informac¸o˜es obtidas no diagrama de
equil´ıbrio sejam reais.
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 37
a
b
c
d
e
α(46 Ni)
α(43 Ni)
L(32 Ni)
L(24 Ni)
1150
1200
1250
1300
1350
20 30 40 50
L
(35 Ni)
L(35 Ni)
α(46 Ni)
L(32 Ni)
α(43 Ni)
L(24 Ni)
α(35 Ni)
α
α α
α
αα
α
α
α α
α(35 Ni)
α
α
α
α
L´ıquido
α
α + L
α + L
Composic¸a˜o (% Ni em peso)
T
em
p
er
at
u
ra
(o
C
)
Figura 9: Desenvolvimento da estrutura
No ponto a da figura 9 a liga com 35% Ni esta´ totalmente na fase l´ıquida, ou seja, temos
uma fase somente, 100% L.
Diminuindo a temperatura comec¸a o processode solidificac¸a˜o (ponto b). No seio do
l´ıquido aparecem sementes que sa˜o os pontos iniciais para a solidificac¸a˜o do material.
No ponto c temos uma quantidade relevante de material so´lido α, relativamente rico em
Ni (43% Ni) com o l´ıquido L de composic¸a˜o 32% Ni. Pode-se utilizar a regra da alavanca
para obter as quantidades relativas de cada fase, L e α:
PL =
Cα − CO
Cα − CL =
43− 35
43− 32 = 0, 73 (73%)
Pα =
CO − CL
Cα − CL =
35− 32
43− 32 = 0, 27 (27%)
O final da solidificac¸a˜o acontece na linha solidus, ponto d. E em temperaturas abaixo
temos o material solidificado (ponto e), uma fase somente, 100% α com 35% Ni.
E´ importante salientar que a composic¸a˜o sempre foi fornecida em quantidade de Nı´quel,
observando-se que o restante e´ Cobre.
6.8 Diagrama Eute´tico
A mistura de materiais diferentes formando ligas altera as propriedades atoˆmicas, isso modi-
fica o ponto de fusa˜o, principalmente em ligas onde na˜o existe solubilidade ou a solubilidade
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 38
na fase so´lida e´ parcial. Nos diagramas eute´ticos para uma determinada proporc¸a˜o, cha-
mada de ponto eute´tico, ou liga eute´tica, a temperatura de fusa˜o e´ inferior a temperatura
dos materiais puros.
Ale´m disso, a fusa˜o e a solidificac¸a˜o da liga eute´tica ocorre num patamar de temperatura,
igual aos materiais puros. Nesse caso, duas fases so´lidas se transformam em uma fase l´ıquida
na fusa˜o:
α+ β ⇔ L
Para se introduzir o diagrama eute´tico vamos estudar o diagrama Ca´dmio-Bismuto, liga
com insolubilidade completa, ou seja, em qualquer proporc¸a˜o na˜o existe a mistura atoˆmica
na fase so´lida.
100
200
300
400
20 40 60 80 100
Linha liquidus
Linha liquidus
Linha solidus
L´ıquido
Cd+BiCd+ (Cd+Bi) Bi+ (Cd+Bi)
Bi+ LCd+ L
321 oC
271 oC
144 oC
(Cd) (Bi)Composic¸a˜o (% Bi em peso)
T
em
p
er
at
u
ra
(o
C
)
Figura 10: Diagrama de fases Ca´dmio-Bismuto: diagrama eute´tico.
O diagrama eute´tico tem algumas caracter´ısticas peculiares. Na figura 11 pode-se notar
que no ponto eute´tico (60% Bi) a linha liquidus toca a linha− solidus, local onde ocorre a
transformac¸a˜o de fase Cd+Bi⇔ L.
A linha eute´tica e´ uma linha horizontal na temperatura eute´tica (144o C) e sempre faz
parte (ou nesse caso e´ totalmente) da linha solidus.
As ligas com composic¸a˜o inferior a liga eute´tica sa˜o chamadas de ligas hipoeute´ticas.
Nessas ligas temos a formac¸a˜o de so´lido proeute´tico, para o exemplo (figura 11 temos a
formac¸a˜o antecipada de Cd.
Por outro lado, as ligas com composic¸a˜o superior a liga eute´tica sa˜o chamadas de ligas
hipereute´ticas. Nessas ligas o so´lido proeute´tico e´ Bi (para o exemplo).
Quando do resfriamento abaixo da linha eute´tica, nessas ligas (hipo e hipereute´ticas), o
l´ıquido remanescente se transforma em so´lido eute´tico, uma combinac¸a˜o homogeˆnea, mistura
de Cd e Bi (para o exemplo).
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 39
6.8.1 Desenvolvimento da estrutura para ligas eute´ticas
O desenvolvimento da estrutura para ligas eute´ticas e´ peculiar. Pois por um lado, temos
o so´lido eute´tico, que e´ uma mistura homogeˆnea de dois constituintes, por outro lado, nas
ligas hipo e hipereute´ticas temos a formac¸a˜o do so´lido (so´lido proeute´tico) antes da reac¸a˜o
eute´tica.
100
200
300
400
20 40 60 80 100
L´ıquido
321 oC
271 oC
144 oC
(Cd) (Bi)Composic¸a˜o (% Bi em peso)
T
em
p
er
at
u
ra
(o
C
)
Cd+BiL
Cd)
L
Bi
E
Cd)
E
BiE(Cd+Bi)
Figura 11: Diagrama de fases Ca´dmio-Bismuto: diagrama eute´tico.
A formac¸a˜o homogeˆnea do so´lido eute´tico pode aparecer de diversas formas, geralmente
em camadas sobrepostas, chamada de estrutura lamelar.
As propriedades da liga eute´tica tambe´m sa˜o diferenciadas em relac¸a˜o aos materiais
puros. Dessa maneira, podemos ter um material mais resistente mecaˆnicamente que seus
componentes isolados.
Dessa maneira, variando-se a composic¸a˜o, indo das ligas hipoeute´ticas ate´ as ligas hipe-
reute´ticas, podemos ter adequada variac¸a˜o das propriedades desses so´lidos.
6.8.2 Diagrama Cu-Ag
No diagrama eute´tico Cobre-Prata podemos identificar regio˜es com solubilidade parcial, ou
seja, para determinadas composic¸o˜es e temperaturas temos uma mistura atoˆmica homogeˆnea
com a´tomos de cobre e a´tomos de prata.
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 40
400
600
800
1000
1200
20 40 60 80 100
liquidus
liquidus
solidus
solvus
L´ıquido
α + β
α β
β + L
α + L
1085 oC
962 oC
779 oC
8,0% 71,9% 91,2%
(Cu) (Ag)Composic¸a˜o (% Ag em peso)
T
em
p
er
at
u
ra
(o
C
)
Figura 12: Diagrama de fases Cobre-Prata
A linha no diagrama que divide a regia˜o com o so´lido que e´ soluc¸a˜o (α e β) e a mistura
desses dois so´lidos e´ chamada de linha solvus como indicada na figura 12.
Como ana´lise da microestrutura vamos usar a liga eute´tica na temperatura imediatamente
acima e imediatamente abaixo da temperatura eute´tica.
Imediatamente acima da temperatura eute´tica temos 100% L com 71,9% de Ag.
No ponto imediatamente abaixo da temperatura eute´tica temos 100% de E (so´lido eute´tico),
formado por uma mistura homogeˆnea do so´lido α e do so´lido β.
O so´lido α tem uma composic¸a˜o de 8% de Ag e o so´lido β tem 91,2% de Ag.
As quantidades relativas podem ser calculadas:
Pα =
91, 2− 71, 9
91, 2− 8, 0 = 23, 2
Pβ =
71, 9− 8, 0
91, 2− 8, 0 = 76, 8
6.9 Exerc´ıcios
1) Para o diagrama Sn-Pb, analisar a liga eute´tica para temperatura imediatamente acima
e imediatamente abaixo da temperatura eute´tica.
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 41
50
100
150
200
250
300
350
20 40 60 80 100
L´ıquido
α + β
α β
β + Lα + L
327 oC
232 oC
183 oC
19,2% 61,9% 97,5%
(Pb) (Sn)Composic¸a˜o (% Sn em peso)
T
em
p
er
at
u
ra
(o
C
)
Figura 13: Diagrama de fases Chumbo-Estanho
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 42
7 Propriedades Mecaˆnicas dos Materiais
7.1 Ensaio de Trac¸a˜o
Uma barra meta´lica submetida a um esforc¸o crescente de trac¸a˜o sofre uma deformac¸a˜o pro-
gressiva de extensa˜o (figura 14) . A relac¸a˜o entre a tensa˜o aplicada (σ = F/a´rea) e a
deformac¸a˜o linear espec´ıfica (� = ∆l /l ) de alguns ac¸os estruturais pode ser vista no diagra-
mas tensa˜o-deformac¸a˜o da figura 15.
Figura 14: Deformac¸a˜o em um corpo de prova submetido a` trac¸a˜o
Figura 15: Diagrama tensa˜o-deformac¸a˜o em escala real
Ate´ certo n´ıvel de tensa˜o aplicada, o material trabalha no regime ela´stico-linear, isto
e´, segue a lei de Hooke e a deformac¸a˜o linear espec´ıfica e´ proporcional ao esforc¸o apli-
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 43
cado. A proporcionalidade pode ser observada (figura 16) no trecho retil´ıneo do diagrama
tensa˜o-deformac¸a˜o e a constante de proporcionalidade e´ denominada mo´dulo de deformac¸a˜o
longitudinal ou mo´dulo de elasticidade. Ultrapassado o limite de proporcionalidade (fp),
tem lugar a fase pla´stica, na qual ocorrem deformac¸o˜es crescentes sem variac¸a˜o de tensa˜o
(patamar de escoamento). O valor constante dessa tensa˜o e´ a mais importante caracter´ıstica
dos ac¸os estruturais e e´ denominada resisteˆncia ao escoamento.
Apo´s o escoamento, a estrutura interna do ac¸o se rearranja e o material passa pelo
encruamento, em que se verifica novamente a variac¸a˜o de tensa˜o com a deformac¸a˜o espec´ıfica,
pore´m de forma na˜o-linear.
O valor ma´ximo da tensa˜o antes da ruptura e´ denominada resisteˆncia a` ruptura do
material. A resisteˆncia a` ruptura do material e´ calculado dividindo-se a carga ma´xima
que ele suporta, antes da ruptura,pela a´rea da sec¸a˜o transversal inicial do corpo de prova.
Observa-se que fu e´ calculado em relac¸a˜o a` a´rea inicial, apesar de o material sofrer uma
reduc¸a˜o de a´rea quando solicitada a` trac¸a˜o. Embora a tensa˜o verdadeira deva ser calculada
considerando-se a a´rea real, a tensa˜o tal como foi definida anteriormente e´ mais importante
para o engenheiro, pois os projetos sa˜o feitos com base nas dimenso˜es iniciais.
Em um ensaio de compressa˜o, sem a ocorreˆncia de flambagem, obte´m-se um diagrama
tensa˜o-deformac¸a˜o similar ao do ensaio de trac¸a˜o.
Figura 16: Diagrama tensa˜o-deformac¸a˜o dos ac¸os estruturais, em escala deformada
7.1.1 Exerc´ıcios
1) Uma pec¸a de Cobre originalmente com 305 mm de comprimento e´ tracionada com uma
tensa˜o de 276 MPa. Se a deformac¸a˜o e´ inteiramente ela´stica, qual sera´ o alongamento
resultante? (ECu =110 GPa)
Dado a lei de Hooke: σ = �E, substituindo a deformac¸a˜o espec´ıfica: � =
∆l
lo
resulta: σ =
∆l
lo
E
isolando: ∆l =
σlo
E
e calculando: ∆l =
(276 MPa)(305 mm)
110× 103 MPa = 0, 77 mm
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 44
2) Um corpo de prova de alumı´nio com uma sec¸a˜o retangular de 10 mm x 12,7 mm e´
tracionado com uma carga de 35.500 N, produzindo uma deformac¸a˜o ela´stica. Calcular
a deformac¸a˜o espec´ıfica resultante. (EAl =69 GPa)
3) Um corpo de prova cil´ındrico de uma liga de titaˆnio tem seu mo´dulo de elasticidade
igual a 107 GPa e um diaˆmetro original de 3,8 mm que sera´ deformado elasticamente
quando uma carga de 2000 N e´ aplicada. Calcular o comprimento ma´ximo do corpo
de prova antes da deformac¸a˜o provocada de 0,42 mm.
4) Um barra de ac¸o de 100 mm de comprimento e uma sec¸a˜o quadrada de 20 mm e´
tracionada com uma carga de 89.000 N, sofrendo um alongamento de 0,10 mm. Calcular
o mo´dulo de elasticidade do ac¸o assumindo a deformac¸a˜o como inteiramente ela´stica.
5) Considerar um cabo cil´ındrico de titaˆnio com 3 mm de diaˆmetro e 2,5 × 104 mm de
comprimento. Calcular o alongamento quando uma carga de 500 N e´ aplicada. Assumir
que a deformac¸a˜o e´ totalmente ela´stica.
6) Para uma liga de bronze, a tensa˜o que a deformac¸a˜o pla´stica inicia e´ 275 MPa e o
mo´dulo de elasticidade igual a 115 GPa.
(a) Qual e´ a ma´xima carga que um corpo de prova pode receber sem deformac¸a˜o
pla´stica com uma a´rea transversal de 325 mm2?
(b) Se o tamanho original e´ 115 mm, qual e´ o ma´ximo comprimento que o corpo de
prova pode ser alongado sem causar deformac¸a˜o pla´stica?
7) Para o diagrama de tensa˜o-deformac¸a˜o do corpo de prova de bronze (figura 7):
(a) Qual e´ o mo´dulo de elasticidade.
(b) Qual e´ a tensa˜o do limite de proporcionalidade.
(c) Qual e´ a ma´xima carga que pode ser suportada por uma pec¸a cil´ındrica tendo um
diaˆmetro original de 12,8 mm.
(d) A alterac¸a˜o no comprimento de um pec¸a originalmente com 250 mm sendo sujeita
a uma tensa˜o de trac¸a˜o de 345 MPa.
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 45
8) Um espe´cime de alumı´nio com diaˆmetro de 12,8 mm e um comprimento de 50,8 mm e´
ensaiado sob trac¸a˜o. Os resultados de carga e alongamento sa˜o apresentados a seguir.
Carga (N) Comprimento (mm)
0 50,800
7.330 50,851
15.100 50,902
23.100 50,952
30.400 51,003
34.400 51,054
38.400 51,308
41.300 51,816
44.800 52,832
46.200 53,848
47.300 54,864
47.500 55,880
46.100 56,896
44.800 57,658
42.600 58,420
36.400 59,182
Fratura
(a) Plotar os dados obtidos de tensa˜o ver-
sus deformac¸a˜o espec´ıfica.
(b) Calcular o mo´dulo de elasticidade;
(c) Determinar a resisteˆncia limite para
uma deformac¸a˜o espec´ıfica de 0,002.
(d) Determinar o resisteˆncia ma´xima
para a liga.
(e) Qual e´ a ductibilidade (aproximada),
em percentual de alongamento?
(f) Calcular o mo´dulo de resilieˆncia (Ca-
pacidade do material de absorver
energia quando deformado elastica-
mente)
(
Ur =
σ2y
2E
)
.
Prof. Evandro Bittencourt - Cieˆncias dos Materiais - 2012 46
9) Uma amostra de ferro fundido du´ctil com sec¸a˜o retangular de 4,8 mm X 15,9 mm
e´ deformado sob trac¸a˜o. Usando os dados de carga-deformac¸a˜o abaixo responda as
questo˜es.
Carga (N) Comprimento (mm)
0 75,000
4.740 75,025
9.140 75,050
12.920 75,075
16.540 75,113
18.300 75,150
20.170 75,225
22.900 75,375
25.070 75,525
26.800 75,750
28.640 76,500
30.240 78,000
31.100 79,500
31.280 81,000
30.820 82,500
29.180 84,000
27.190 85,500
24.140 87,000
18.970 88,725
Fratura
(a) Plotar os dados obtidos de tensa˜o ver-
sus deformac¸a˜o espec´ıfica.
(b) Calcular o mo´dulo de elasticidade;
(c) Determinar a resisteˆncia limite para
uma deformac¸a˜o espec´ıfica de 0,002.
(d) Determinar o resisteˆncia ma´xima
para a liga.
(e) Qual e´ a ductibilidade, em percentual
de alongamento?
(f) Calcular o mo´dulo de resilieˆncia.
(g) Estimar o mo´dulo de tenacidade.