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Resolução do Capítulo 10 - Franco Brunetti

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CAPÍTULO 10 
GENERALIZAÇÃO DAS EQUAÇÕES INTEGRAIS PARA REGIME 
VARIADO 
 
Nos capítulos 3, 4 e 5 foram estudados problemas nos quais o regime foi admitido permanente. 
Isso eliminou a variável tempo, facilitando a compreensão dos fenômenos e das soluções. Apesar 
de essa hipótese ser restritiva em termos gerais, é importante ressaltar que na prática muitos 
problemas podem ser abordados dessa forma, com grande aproximação, chegando a resultados 
satisfatórios para as aplicações. 
Quando as variáveis são função do tempo e das coordenadas, os problemas tornam-se, 
normalmente, muito complexos e às vezes permitem somente soluções aproximadas. 
Neste capítulo são desenvolvidas as equações gerais para volume de controle, para as quais não 
se faz nenhuma hipótese simplificadora quanto a possíveis variações das grandezas no espaço e 
no tempo; entretanto, devido à finalidade puramente didática do livro, o leitor observará que as 
aplicações restringem-se a casos de solução relativamente simples. 
Observe-se que todos os exercícios dos capítulos citados anteriormente podem ser resolvidos 
com as equações deste capítulo, adotando-se as hipóteses simplificadoras adequadas. Aliás, este 
é modo mais apropriado para adquirir uma grande intimidade com a matéria 
 
Exercício 10.1 
 
 0dAnvdV
t
)a
SCVC
=×ρ+ρ∂
∂ ∫∫ rr 
 Adotando um VC que envolva todo o fluido, tem-se fluxo apenas na seção de saída, onde 
nv rr × é positivo. Além disso, nota-se que o volume do VC é constante, ao passo que, com o 
passar do tempo tem-se a variação da massa específica do gás dentro do VC. Dessa forma: ( ) 0vA
t
V =ρ+∂
ρ∂ 
Como ρ varia somente com o tempo, supondo que se mantenha homogêneo dentro do 
tanque, a derivada parcial pode ser substituída pela total. 
( )
s
kg510005,01052tV2Q
t2
dt
d
t1
p
ppp
Q
dt
dV
0m
0
2
000
0
m
=××××=αρ=
αρ−=ρ
α−==ρ
ρ→ρ=ρ
−=ρ
 
( )
s
m2
5,2
5Q
m
kg5,210005,015s10ttetaninsNo
QQ)b
3
3
2
m
==
=×−×=ρ→=
ρ=
 
 
 
kg25105,2Vm)d
s
m4
5,0
2
A
Qv)c
=×=ρ=
===
 
Obviamente, a vazão na saída será interrompida quando a pressão interna se igualar com a 
externa. Supondo que a pressão externa é igual à pressão atmosférica de 2cm
kgf1 
( )
( ) ( )
kg1,51051,0Vm
m
kg51,04,13005,015t1)f
s4,13
10
11
005,0
1
p
p11t
t1pp
finalfinal
3
22
0final
0
final
2
0final
=×=ρ=
=×−×=α−ρ=ρ
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −×=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −α=
α−=
 
 
Exercício 10.3 
( )
( ) ( )
%2,3ou032,0
62,0
061,0
25,0
251
D
D
v
v1
L
4
D
v
L
4
Dv
1
V
V
L
4
DV;
v
Lt;
4
DvQ
V
tQ1
V
V
tQVVtQVtQ
tQQVdtQQdV
dtQQdV:tempodofunçãoésóVComo
0QQ
t
V
0dAnvdV
t
2
2
c
2
a
e
a
2
c
e
2
a
a
i
.perd
2
c
i
e
2
a
aa
i
a
i
.perd
ai.perdaialgfo
aalgfoi
t
0aalgfo
0
v
aalgfo
aalgfo
VC SC
i
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=−=π
×π
−=
π==π=
−=→−=→−=
+=→+−=
+−=
=++∂
∂
=×ρ+ρ∂
∂
∫∫
∫ ∫ rr
 
 
Exercício 10.5 
 
0dAnvdV
t SCVC
=×ρ+ρ∂
∂ ∫∫ rr 
Sendo o regime permanente: 0dAnv0dV
t SCVC
=×ρ⇒=ρ∂
∂ ∫∫ rr 
Sendo o fluido incompressível: 0dAnv
SC
=×∫ rr 
 
 
3214
4321
QQQQ
0QQQQ
−+=
=++−−
 
Representando por q a vazão por unidade de largura: dxbqQ
L
0 222 ∫= 
( )
s
L8,29225,114300Q
s
m01125,05,015,0
2
5,03,03,0Q
x15,0
2
x3,03,0dx3,015,0x3,0Q
3,0a15,0a5,000qm5,0LxPara
15,0b15,0q0xPara
bxaq
dxbqQ
s
m004,0
3
5,0096,0
3
x096,0dx3,0x32,0Q:totanPor
x32,0q32,0a:Logo
0bbax2
dx
dq0
dx
dq0xPara
b5,0a25,008,0
m.s
m08,0qm5,0LxPara
0c0q0xPara
cbxaxq
4
32
3
5,0
0
5,0
0
25,0
03
3
3
3
3
L
0 33
33
5,0
0
35,0
0
2
2
2
2
22
3
2
2
2
2
=−+=
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×+×−×=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−×=+−=
−=′⇒+′=⇒=→==
=′⇒=→=
′+′=
=
===××=
=⇒=
=⇒+=⇒=→=
+=⇒=→==
=⇒=→=
++=
∫
∫
∫
 
 
Exercício 10.7 
 
dAnvgzp
2
vdVgz
2
v
t
NN:18.10equaçãoPela
SC
2
VC
2
diss
rr ×⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +ρ+ρ+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +ρ∂
∂=− ∫∫ 
Sendo o fluido ideal: .1e0Ndiss =α= 
Não havendo máquina: 0N = 
Sendo um líquido, o fluido é incompressível. 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +γ+−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +γ+ρ+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +ρ∂
∂ ∫ 11212222
VC
2
zp
g2
vzp
g2
vQgdVgz
2
v
t
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21
2
2
2
1
VC
2
atm21
zz
g2
vvdVgz
2
v
tQ
1
efetivaescalanappp
−+−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +ρ∂
∂
γ
==
∫ 
Sendo o fluido incompressível, 21 vv = e zzz 12 =−= 
z2dVgz
2
v
tQ
1
VC
2
−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +ρ∂
∂
γ ∫ 
A variação da energia potencial com o tempo é nula, pois, a toda subida de um lado, corresponde 
uma mesma descida do outro. 
z2
t
v
gQ2
V
z2dV
t
v
2Q
1
2
VC
2
−=∂
∂
−=∂
∂ρ
γ ∫
 
A velocidade é função somente do tempo e V = LA 
z2
dt
dv
g
Lz2
dt
dvv2
gv2
Lz2
dt
dv
gvA2
LA 2 −=→−=⇒−= 
Mas, 
dt
dz
dz
dv
dt
dv = 
( )22máx2máx22
2
máx
máx
2222
zz
L
g2v
L
gz
L
gz
2
v
L
gzC0vzzPara
C
L
gz
2
vC
2
z
L
g2
2
vIntegrando]
zdz
L
g2vdvouz2
dt
dz
dz
dv
g
L
−=⇒+−=
=⇒=→=
+−=→+−=
−=−=
 
dt
L
g2
zz
dz
dt
dzv
2
máx
=
−
→= 
 
z 
PHR Posição 
inicial de 
equilíbrio Configuração num 
instante t qualquer 
-z 
+z 
(1) 
(2) 
g2
L2T
4
T
L
g2
2
4
T
L
g21senarczzperíodooéTonde
4
TtPara
0C0z0tPara
Ct
L
g2
z
zsenarc
máx
máx
π=⇒=π
=⇒=→=
=′⇒=→=
′+=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
 
Exercício 10.9 
( )
( ) ( ) m.N250.15,05,125
2
10100000.1rrv
2
QM
s
m25
1022
10100
A2
Qvve
2
QQQ
QvrQvrM
0dVvr
t
:permanenteregimeoSendo
dAnvvrdVvr
t
M:28.10equaçãoPela
3
232
1
z
3
3
2
1
32
1
32
333222z
VC
o
SC
o
VC
oz
=−××××=−ρ=
=××
×=====
ρ+ρ−=
=ρ∂
∂
×ρ+ρ∂
∂=
−
−
−
θ
θθ
∫
∫∫ rr
 
 
Exercício 10.11 
 
a) Sendo: vabs = v; vrel = w; varr = u 
 
Na entrada 
 
 
 
 
 
Na saída 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
v1 = vr1 
w1 
u1 
α1 
s
m32,9
15cos
9
cos
uw
s
m41,215tg9tguv
s
m91,0
60
1720ndu
o1
1
1
o
11r
11
1
==α=
=×=α=
=××π=π=
 
v2 w2 
vu2 
vr2 
u2 
α2 
s
m51,1741,234,17vvv
s
m70,5
25sen
41,2
sen
v
w
s
m34,17
25tg
41,251,22
tg
v
uvvv
s
m51,2225,0
60
1720ndu
22
ru2
o2
r
2
o2
r
2urr
22
22
2
2
212
=+=+=
==α=
=−=α−=→=
=××π=π=
 
m8,39
8,9
51,2234,17
g
uv
H 2ut 2 =×==∞

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