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CAPÍTULO 10 GENERALIZAÇÃO DAS EQUAÇÕES INTEGRAIS PARA REGIME VARIADO Nos capítulos 3, 4 e 5 foram estudados problemas nos quais o regime foi admitido permanente. Isso eliminou a variável tempo, facilitando a compreensão dos fenômenos e das soluções. Apesar de essa hipótese ser restritiva em termos gerais, é importante ressaltar que na prática muitos problemas podem ser abordados dessa forma, com grande aproximação, chegando a resultados satisfatórios para as aplicações. Quando as variáveis são função do tempo e das coordenadas, os problemas tornam-se, normalmente, muito complexos e às vezes permitem somente soluções aproximadas. Neste capítulo são desenvolvidas as equações gerais para volume de controle, para as quais não se faz nenhuma hipótese simplificadora quanto a possíveis variações das grandezas no espaço e no tempo; entretanto, devido à finalidade puramente didática do livro, o leitor observará que as aplicações restringem-se a casos de solução relativamente simples. Observe-se que todos os exercícios dos capítulos citados anteriormente podem ser resolvidos com as equações deste capítulo, adotando-se as hipóteses simplificadoras adequadas. Aliás, este é modo mais apropriado para adquirir uma grande intimidade com a matéria Exercício 10.1 0dAnvdV t )a SCVC =×ρ+ρ∂ ∂ ∫∫ rr Adotando um VC que envolva todo o fluido, tem-se fluxo apenas na seção de saída, onde nv rr × é positivo. Além disso, nota-se que o volume do VC é constante, ao passo que, com o passar do tempo tem-se a variação da massa específica do gás dentro do VC. Dessa forma: ( ) 0vA t V =ρ+∂ ρ∂ Como ρ varia somente com o tempo, supondo que se mantenha homogêneo dentro do tanque, a derivada parcial pode ser substituída pela total. ( ) s kg510005,01052tV2Q t2 dt d t1 p ppp Q dt dV 0m 0 2 000 0 m =××××=αρ= αρ−=ρ α−==ρ ρ→ρ=ρ −=ρ ( ) s m2 5,2 5Q m kg5,210005,015s10ttetaninsNo QQ)b 3 3 2 m == =×−×=ρ→= ρ= kg25105,2Vm)d s m4 5,0 2 A Qv)c =×=ρ= === Obviamente, a vazão na saída será interrompida quando a pressão interna se igualar com a externa. Supondo que a pressão externa é igual à pressão atmosférica de 2cm kgf1 ( ) ( ) ( ) kg1,51051,0Vm m kg51,04,13005,015t1)f s4,13 10 11 005,0 1 p p11t t1pp finalfinal 3 22 0final 0 final 2 0final =×=ρ= =×−×=α−ρ=ρ =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −×=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −α= α−= Exercício 10.3 ( ) ( ) ( ) %2,3ou032,0 62,0 061,0 25,0 251 D D v v1 L 4 D v L 4 Dv 1 V V L 4 DV; v Lt; 4 DvQ V tQ1 V V tQVVtQVtQ tQQVdtQQdV dtQQdV:tempodofunçãoésóVComo 0QQ t V 0dAnvdV t 2 2 c 2 a e a 2 c e 2 a a i .perd 2 c i e 2 a aa i a i .perd ai.perdaialgfo aalgfoi t 0aalgfo 0 v aalgfo aalgfo VC SC i =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−=−=π ×π −= π==π= −=→−=→−= +=→+−= +−= =++∂ ∂ =×ρ+ρ∂ ∂ ∫∫ ∫ ∫ rr Exercício 10.5 0dAnvdV t SCVC =×ρ+ρ∂ ∂ ∫∫ rr Sendo o regime permanente: 0dAnv0dV t SCVC =×ρ⇒=ρ∂ ∂ ∫∫ rr Sendo o fluido incompressível: 0dAnv SC =×∫ rr 3214 4321 QQQQ 0QQQQ −+= =++−− Representando por q a vazão por unidade de largura: dxbqQ L 0 222 ∫= ( ) s L8,29225,114300Q s m01125,05,015,0 2 5,03,03,0Q x15,0 2 x3,03,0dx3,015,0x3,0Q 3,0a15,0a5,000qm5,0LxPara 15,0b15,0q0xPara bxaq dxbqQ s m004,0 3 5,0096,0 3 x096,0dx3,0x32,0Q:totanPor x32,0q32,0a:Logo 0bbax2 dx dq0 dx dq0xPara b5,0a25,008,0 m.s m08,0qm5,0LxPara 0c0q0xPara cbxaxq 4 32 3 5,0 0 5,0 0 25,0 03 3 3 3 3 L 0 33 33 5,0 0 35,0 0 2 2 2 2 22 3 2 2 2 2 =−+= =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ×+×−×= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−×=+−= −=′⇒+′=⇒=→== =′⇒=→= ′+′= = ===××= =⇒= =⇒+=⇒=→= +=⇒=→== =⇒=→= ++= ∫ ∫ ∫ Exercício 10.7 dAnvgzp 2 vdVgz 2 v t NN:18.10equaçãoPela SC 2 VC 2 diss rr ×⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +ρ+ρ+⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +ρ∂ ∂=− ∫∫ Sendo o fluido ideal: .1e0Ndiss =α= Não havendo máquina: 0N = Sendo um líquido, o fluido é incompressível. ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +γ+−⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +γ+ρ+⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +ρ∂ ∂ ∫ 11212222 VC 2 zp g2 vzp g2 vQgdVgz 2 v t 21 2 2 2 1 VC 2 atm21 zz g2 vvdVgz 2 v tQ 1 efetivaescalanappp −+−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +ρ∂ ∂ γ == ∫ Sendo o fluido incompressível, 21 vv = e zzz 12 =−= z2dVgz 2 v tQ 1 VC 2 −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +ρ∂ ∂ γ ∫ A variação da energia potencial com o tempo é nula, pois, a toda subida de um lado, corresponde uma mesma descida do outro. z2 t v gQ2 V z2dV t v 2Q 1 2 VC 2 −=∂ ∂ −=∂ ∂ρ γ ∫ A velocidade é função somente do tempo e V = LA z2 dt dv g Lz2 dt dvv2 gv2 Lz2 dt dv gvA2 LA 2 −=→−=⇒−= Mas, dt dz dz dv dt dv = ( )22máx2máx22 2 máx máx 2222 zz L g2v L gz L gz 2 v L gzC0vzzPara C L gz 2 vC 2 z L g2 2 vIntegrando] zdz L g2vdvouz2 dt dz dz dv g L −=⇒+−= =⇒=→= +−=→+−= −=−= dt L g2 zz dz dt dzv 2 máx = − →= z PHR Posição inicial de equilíbrio Configuração num instante t qualquer -z +z (1) (2) g2 L2T 4 T L g2 2 4 T L g21senarczzperíodooéTonde 4 TtPara 0C0z0tPara Ct L g2 z zsenarc máx máx π=⇒=π =⇒=→= =′⇒=→= ′+=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ Exercício 10.9 ( ) ( ) ( ) m.N250.15,05,125 2 10100000.1rrv 2 QM s m25 1022 10100 A2 Qvve 2 QQQ QvrQvrM 0dVvr t :permanenteregimeoSendo dAnvvrdVvr t M:28.10equaçãoPela 3 232 1 z 3 3 2 1 32 1 32 333222z VC o SC o VC oz =−××××=−ρ= =×× ×===== ρ+ρ−= =ρ∂ ∂ ×ρ+ρ∂ ∂= − − − θ θθ ∫ ∫∫ rr Exercício 10.11 a) Sendo: vabs = v; vrel = w; varr = u Na entrada Na saída b) v1 = vr1 w1 u1 α1 s m32,9 15cos 9 cos uw s m41,215tg9tguv s m91,0 60 1720ndu o1 1 1 o 11r 11 1 ==α= =×=α= =××π=π= v2 w2 vu2 vr2 u2 α2 s m51,1741,234,17vvv s m70,5 25sen 41,2 sen v w s m34,17 25tg 41,251,22 tg v uvvv s m51,2225,0 60 1720ndu 22 ru2 o2 r 2 o2 r 2urr 22 22 2 2 212 =+=+= ==α= =−=α−=→= =××π=π= m8,39 8,9 51,2234,17 g uv H 2ut 2 =×==∞
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