Resolução do Capítulo 11 - Franco Brunetti

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CAPÍTULO 11 
ANÁLISE DIFERENCIAL 
 
Neste capítulo estuda-se o comportamento individual de uma partícula de fluido. Para isso, 
estabelecem-se equações que permitam acompanhar o seu movimento e a variação de suas 
propriedades, de acordo com a posição e do tempo. 
 
Exercício 11.1 
 
Trajetórias 
t
0
0
200
t
0
0
100
0z
2y
1x
eyyt
y
ylnCylnyy
exxt
x
xlnCxlnxx0tPara
zz0dtvdz
Ctylndt
y
dydtytdvdy
Ctxlndt
x
dxdtxdtvdx
β
α
=→β=→=→=
=→α=→=→=→=
=→==
+β=→β=→β=→=
+α=→α=→α==
 
Linhas de corrente 
2
zx
11
yx
Cz0dz
v
dz
v
dx
yCxClnylnxln
y
dy
x
dx
y
dy
x
dx
v
dy
v
dx
=→=→=
=→+β
α=→β
α=→β=α→=
βα
 
 
Exercício 11.3 
 
2z2C2zPara
Cz0dz
v
dz
v
dx
y2x2C1ye2xPara
yCxClnylnxln
t
y
dy
t
x
dx
v
dy
v
dx)a
2
2
zx
1
11
yx
=⇒=→=
=→=→=
=⇒=→==
=→+=→=→=
 
2zCz
y2x:Logo
ty1C1ye1tPara
tCyClntlnyln
t
dt
y
dydt
t
ydydtvdy
t2x2C2xe1tPara
tCxClntlnxln
t
dt
x
dxdt
t
xdxdtvdx)b
3
2
22y
1
11x
=⇒=
=
=⇒=→==
=⇒+=→=→=→=
=⇒=→==
=⇒+=→=→=→=
 
( )yx2
2
y
yy
2
x
xx
ee2
t
1a
t
1
t
v
a
t
1
t
yv
t
2
t
v
a
t
2
t
xv)c
vrr +−=
−=∂
∂=→==
−=∂
∂=→==
 
 
Exercício 11.5 
0
y
v
x
v
0vdiv:ívelIncompress yx =∂
∂+∂
∂⇒=r 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) possível0xy6xy6
y
xxy3
x
yx3yB
possível0x2x2
y
xy2x
x
yxA)a
3223
32
=+−=∂
−∂+∂
−∂
=−=∂
−∂+∂
−∂
 
z
xy
y
zx
x
yz e
y
v
x
v
e
x
v
z
v
e
z
v
y
v
vrot)b rrrr ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂= 
Para ser irrotacional: 0vrot =r 
Sendo o campo de velocidades no plano xy: 
y
v
x
v
0
y
v
x
v xyxy
∂
∂=∂
∂→=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂
 
( ) ( )
( ) 1
y
yx
y
v
y2x3
x
xy2x
x
v
A
2
x
2
3y
−=∂
−∂=∂
∂
−=∂
−∂=∂
∂
 
( ) ( )
( ) 2223x
22
32y
x3y3
y
yx3y
y
v
x3y3
x
xxy3
x
v
B
−=∂
−∂=∂
∂
−=∂
−∂=∂
∂
 
0y2x311y2x3:Logo
e
2
1e
y
v
x
v
2
1vrot
2
1)c
22
zz
xy
=−⇒=+−
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂==Ω rrrr
 
 
Exercício 11.7 
 
120
1a0Qs120tPara
1b
s
m1Q0tPara
batQ)a
3
−=⇒=→=
=⇒=→=
+=
 
 
rotacional 
irrotacional 
( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
π
−π−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
π
−π−=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
π
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
π
−×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −π=∂
∂
π−=∂
∂
∂
∂+∂
∂=∂
∂+θ∂
∂+∂
∂+∂
∂=
∇×+∂
∂==
==θ⇒==
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −π=⇒=→=→=
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −π=⇒+
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−π=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −π=→⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −π=→=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −π→=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −π=
π
−=⇒π=θ=⇒θ==
=×=
−=
θ
θ
∫ ∫
∫
∫∫
π
2
322
2
322r
2
3222
r
r
r
r
r
rr
z
rr
r
r
r
r
rr
r
32z
2
0
2
2
010
1
2
1
2
2
r
r
rr0 rrn
A
n
A
1
120
t
rL
9
Lr40
1
120
t1
rL
9
Lr40
1a
120
t1
rL
9
120
t1
Lr
3
120
t1
Lr
3
r
v
v;
Lr40
1
t
v
r
v
v
t
v
z
v
v
v
r
v
r
v
v
t
v
a
vv
t
v
dt
dv
a4.11equaçãoPela)c
CzeC0ve0vComo
r
240
tt
L
6rrCrr0tPara
C
240
tt
L
6rCdt
120
2
t
t
L
3
2
r
dt
120
t1
L
3rdrdt
120
t1
L
3rdr
dt
dr
120
t1
Lr
3
dt
drv
Trajetória)b
e
120
t1
Lr
3v
Lr40
t120v
3
LrvdLrvQdLrdAvv
dAvdAnvQ:decontinuidadaequaçãoPela
120
t1Q:Logo
3
r
rr
rr
 
 
Exercício 11.9 
 
( ) ( ) ( )[ ]
( )
.ívelincompresséNão0
z
v
y
v
x
v
vdiv)b
e
2
1e2e
2
1e
2
22;3;6:Ponto
e
2
1e
2
ze10e00e0z
2
1
e
y
v
x
v
e
x
v
z
v
e
z
v
y
v
2
1vrot
2
1)a
zyx
zxzx
2
zx
2
zyx
2
xy
y
zx
x
yz
z
≠∂
∂+∂
∂+∂
∂=
−=−=Ω→
−=−+−+−=Ω
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂==Ω
r
rrrrr
rrrrrr
rrrrr
 
 
Exercício 11.11 
 
2
2
2222222
yx
1
yx
a4
vyxya4xa4v
eay2eax2v)b
CxyCylnxln
ay2
dy
ax2
dx
v
dy
v
dx)a
=+⇒+=
−=
=→=→−=→=
−
rrr 
c) Fluido ideal, incompressível, movimento no plano horizontal: 
( )
( ) ( ) ( )
( )
22
0
22
0
222
0
22
2
00
10
22
22
11
2
xa4ppyxbissetrizNa)d
xa2pp0yOxeixoNo
yxa2pp
yx
g2
a4pppCpp0,0y,xPara
yx
g2
a4
g2
vCpCp
g2
v
ρ−=⇒=
ρ−=⇒=→
+ρ−=
+−γ=γ⇒γ=→=→≡
+=−=γ→=γ+
 
 
Exercício 1.13 
 
 Aplicando Bernoulli entre (1) e (2) obtém-se: 
 ( )
g2
RhRvComo
hzz
g2
v
z
p
g2
v
z
p
g2
v
2
1
12
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
ω−=⇒ω=
−=−=→+γ+=+γ+ 
A equação de Bernoulli não é aplicável, pois, o movimento não é irrotacional. 
Aplicando a equação de Euler: 
( )
( )
g2
Rhz:Logo
0C0p0z0rPara
)r(C
2
rgzp
gzp
r
r:ededireçãonaSomente
centrípetaaceleraçãoera
gzpgrada0pgrad1ag
2
1
22
22
2
r
r
2
ω==
=⇒=→=→=
+ω=+ρ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −ρ−∂
∂=ω−
ω−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −ρ−=→=ρ−−
r
rr
rrr
 
 
 
 
 
 
Exercício 1.15 
( )
m.s
m000.22000.1q01000.1
12
qv
m1r:ApontoNo)c
senvcosrvrln
2
q
r
1
r
1v
cosv
r2
qcosrvrln
2
q
rr
v)b
cosrvrln
2
q
senrv
2
q
senrvyv
cosrvxv:polaresscoordenadaemuniformeEscoamento
2
q
rln
2
qFonte)a
3
r
AA
00
00r
021
021
002
002
1
1
A
π=π×=→=−×+×π=
π=θ=
θ−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ θ+πθ∂
∂=θ∂
φ∂=
θ+π=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ θ+π∂
∂=∂
φ∂=
θ+π=φ+φ=φ
θ+θπ=Ψ+Ψ=Ψ
θ==Ψ
θ==φ
θπ=Ψ
π=φ→
θ
 
 
Exercício 11.17 
 
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
L
2
2yLy2yLy
2
y
2
ydyyb
L
v
dyby
L
v
dAvdAv
vL
L
v
v;y
L
v
v;00
L
v
v
QQ)e
rotacionale
L
v
e
y
y
L
v
0e
y
v
x
v
vrot)d
Permanente)c
possível0
y
v
x
v
vdiv)b
0
x
v
lineardiagramay
L
v
y
L2
v
yy
v)a
22222
L
y
2y
0
2L
y
0y
0
0A
C
C
B
0
0
x
0
x
0
x
B,AC,A
z
0
z
0
z
xy
yx
y
020
x
ACB
=⇒=→−=
=→=→=
=====
=
−=
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
∂
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂
−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=
=∂
∂+∂
∂=
=∂
Ψ∂−=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂=∂
Ψ∂=
∫∫∫∫
rrrr
r
 
Exercício 11.19 
 
r2r
v
r2
q
r
v
rln
22
q
2
q
r2
q
rrr
)a
r
21
1
111
π
Γ=∂
Ψ∂−=
π−=θ∂
Ψ∂=
π
Γ−θπ−=Ψ+Ψ=Ψ
θπ−=Ψ⇒π−=θ∂
Ψ∂⇒θ∂
Ψ∂=∂
φ∂
θ
 
m500400300yxrPPonto 2222 =+=+=→ 
s
m50
5002
105v
s
m20
5002
102v
4
4
r
π=×π
×=
π−=×π
×−=
θ
 
θπ+π−= e
50e20v r
rrr 
( ) 2222
22
2
22
2
22
2
22
r
2
1
2
0
2
0
2
q
v2
1rq
v4
1r
r4r4
qvvv
C
g2
vtetanconspdePontos
C
p
g2
vp
g2
v)b
Γ+π=→Γ+π
=
π
Γ+
π
=+=
=→=
=γ+=γ+
θ
 
 
Exercício 11.21 
 
( ) ( )
( )
( )
m.s
m9
2
x2Q0ydyyx2dxbvQ
m.s
m6,9y16Q0xdy16x2dybvQ
yx2y2x2
x
v
16x2
y
v
y16xy2xs2tPara
yt4xy2x
33
0
2
C,A
3
0
3
0 yC,A
36,0
0B,A
6,0
0
6,0
0 xB,A
y
x
2
22
−=−=⇒=→+−==
==⇒=→+==
+−=+−=∂
Ψ∂−=
+=∂
Ψ∂=
++=Ψ→=
++=Ψ
∫∫
∫∫
 
 
 
Exercício 11.23 
 
( )
6
Chh1
6
ChbhvQ
3
2
4
Ch
6
Ch
v
v
6
Ch
3
h
2
h
h
C
3
Cy
2
hCy
h
1dyCyCyh
h
1dybv
bh
1v4
Ch
2
hh
2
hCv
2
hy0Cy2Ch
dy
dv
:máximoévondePonto
32
m
2
2
máx
m
233h
0
32h
0
2h
0 xm
2
máx
x
x
=××==
==
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=−==
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
=→=−=→
∫∫ 
 
 
Exercício 11.25 
 
a) Supondo que o eixo dos tubos seja horizontal a velocidade terá componente somente na 
direção de x e variará somente na direção radial. Logo: ( )rfve0v;0v xr ===θ 
Sendo o regime permanente: 0
t
vx =∂
∂
 e as equações 11.41 reduzem-se a: 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂μ=∂
∂
r
v
r
1
r
v
x
p x
2
x
2*
 como no Exemplo 4 da página 317. 
De forma semelhante, como p* é função apenas de x e vx é função apenas de r conclui-se que: 
r
C
2
r
dr
dv
C
2
r
dr
dv
r
r
dr
dv
r
dr
d
dr
dv
r
dr
d
r
1
dr
dv
r
1
dr
vd
1x
1
2
x
xxx
2
x
2
+β=→+β=
β=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛→β=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛→β=+
 
Chamando de rmáx o raio para o qual acontece a velocidade máxima, tem-se: 
Para 
2
r
C
r
C
2
r
00
dr
dv
rr
2
máx
1
máx
1máxx
máx
β−=⇒+β=⇒=→= 
 
2
2
máx
2
x
2
máxx Crln
2
rrv
r2
r
2
r
dr
dv:Logo +β−β=→β−β=
 
( )
( )
( ) ( )
( )[ ]
( )
( )[ ]2máx2122
22
máx
22
2
m
x
2
máx
2
1
2
2m
R
R
22
máx
22
22
1
2
2A
xm
1
2
2
1
2
2
máx
1
22
máx
2
1
2
2x1
22
máx
22
2
2
2
2
2
máx
2
máx
2
x
2
2
2
2
máx
222
2
máx
2
2
x2
r2RR
r
R
lnr2rR
2
v
v
r2RR
8
v
rdr2
r
R
lnr2rR
4RR
1dAv
A
1v
R
R
ln2
RR
r
R
R
lnr2RR
4
00vRrPara
r
R
lnr2rR
44
R
Rln
2
r
rln
2
r
4
rv
4
R
Rln
2
r
CCRln
2
r
4
R
00vRrPara
2
1
−+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−
=
−+β−=
π⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−β−
−π
==
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−β−=⇒=→=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−β−=β−β+β−β=
β−β=→+β−β=⇒=→=
∫∫
 
 
( ) ( )
s
m156,0
101,021,0102,0
101,0
102,0ln101,02101,0102,0
2079,0v
r2RR
r
R
lnr2rR
2vv
cm1,10
10
2,10ln2
1,02,10
R
R
ln2
RR
r
s
m079,0
1,0102,0
101,0
RR
Qv)b
222
222
máx
2
máx
2
1
2
2
máx
22
máx
2
máx
2
2
mmáx
22
1
2
2
1
2
2
máx
22
3
2
1
2
2
m
=
×−+
××−−
××=
−+
−−
×=
=
×
−=−=
=
−π
×=
−π
=
−
 
 
 
Exercício 11.27 
 
Pelas equações 11.40, com: vx = 0; vy = 0, numa seção da película ascendente, tem-se vz = f (x). 
Sendo o regime permanente: .0
t
vz =∂
∂
 
z
v
(x) f v:Como
x
v
z
p1g
z
v
v:Logo
z
z
2
z
2
z
z
∂
∂⇒=
∂
∂ν+∂
∂
ρ−−=∂
∂
 
Como a espessura é constante e na superfície da película p = patm, para qualquer z 0
z
p =∂
∂⇒ 
0v
2
gh
6
gh0xv
2
ghx
6
gx
0dxbvxgh
2
gxdAvQ
v1
h2
xxghvouvxgh
2
gxv:Logo
ghC0
dx
dv
0
dx
dv
hxPara
vC)chapadavelocidade(vv)chapadaerfíciesupna(0xPara
CxC
2
gxvCxg
dx
dv
g
dx
vd
oug
x
v
:Logo
0
22h
0
0
23
h
0 0
2
A
z
0z0
2
z
1
zz
020z
21
2
z1
z
2
z
2
2
z
2
=+ν−ν→=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +ν−ν
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +ν−ν==
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −ν=+ν−ν=
ν−=⇒=⇒=μ=τ→=
=⇒=→=
++ν=⇒+ν=
ν=ν=∂
∂
∫∫
 
( )
s
mm6
s
m106
1053
103,010
3
ghv 3
5
232
0 =×=××
××=ν=
−
−
−