Aula 3 Estradas

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Curvas 
Horizontais
Estradas
Introdução
O traçado de uma rodovia é constituídos de trechos retos
(tangentes) e de trechos curvos, os quais chamamos de
curvas horizontais.
Geralmente, o que determina a quantidade de curvas são
as condições do relevo da região, problemas de
desapropriações, pontos de passagem obrigatórios, etc.
Contudo, é recomendável que dê-se prioridade às curvas
de raios grandes.
Categorias de Curvas Horizontais
 Curvas circulares simples
 Curvas circulares compostas
 Curvas circulares reversas
 Curvas circulares com trechos de transição
Curvas Circulares Simples
Formadas por arcos de circunferência que ligam
diretamente às tangentes, e são descritas pelos
seus raios (R) e pelos ângulos de deflexão entre as
tangentes, ou ângulos centrais de curvatura (AC)
PI – Ponto de interseção 
das tangentes;
PC – ponto de início da 
curva;
PT – ponto final da curva;
AC – ângulo central da 
curva;
R – raio da curva;
T – comprim. da 
tangente da curva;
D – desenv. da curva;
O – centro da curva.
Elementos 
Geométricos da 
Curva Circular Simples
Exercícios de Aplicação
Em uma curva circular, são conhecidos os seguintes
elementos:
AC = 22°36’
R = 600 m
Calcular o comprimento da tangente e o comprimento da
curva.
Solução

Solução

Estaqueamento
Para implantar os pontos do traçado de uma rodovia,
as normas de projeto utilizam a estaca como unidade
de comprimento, que corresponde à extensão de 20
metros sobre o eixo da rodovia.
Quando um ponto não corresponde a um número
inteiro de estacas, sua posição é definida pela estaca
anterior mais a distância, em metros, a partir dela.
Locação de Curvas Horizontais 
Circulares Simples
 Método das Deflexões e das Cordas
 Método das Coordenadas Parciais
 Método das Coordenadas Totais
Método das Deflexões e das 
Cordas
Qualquer um dos métodos citados anteriormente,
inicia-se com a locação do PI. No caso do método
das deflexões, a partir disso são realizados cálculos
para determinação dos pontos inicial e final da curva,
como os ângulos de deflexão e na determinação do
comprimento das cordas das estacas inteiras da
curva.
Exercícios de Aplicação
A partir dos dados do exercício resolvido
anteriormente, e que a estaca PI = [148 + 5,60],
calcular os valores das estacas PC e PT e o grau
de curva.
Cálculo de Estacas
Estaca do PC = estaca do PI – T
Estaca do PT = estaca do PC + D
Exercícios de Aplicação
Calcular os elementos geométricos de uma curva
circular simples (tangente, comprimento de curva e
grau de curva), como também as estacas do PC e do
PT, considerando que o raio é igual a 200 metros e o
ângulo central é igual à 32º12’35”. Depois, utilizando o
método das deflexões, elabore a tabela de locação
das estacas da curva. Adotar PI = [325 + 16,37]
Método das Coordenadas 
Parciais
Também conhecido como método das abcissas e
ordenadas sobre a tangente, ou seja, o eixo x do
plano cartesiano irá coincidir com o trecho de
tangente.
O método consiste em implantar pontos de
coordenadas (x, y) conhecidas, tomando a tangente
como linha de abcissa.
Exercícios de Aplicação
Através do método das coordenadas parciais,
calcular as coordenadas (x, y) da estaca 148 de
uma curva horizontal simples de uma dada
rodovia. São dados:
R = 275,00 m
Estaca PI = [147 + 12,40]
AC = 28º 36’ 00”
Curvas Horizontais Circulares 
Compostas
Trata-se da curva horizontal formada por duas ou mais
curvas simples, consecutivas, com raios (R) de
curvatura diferentes.
O uso deste tipo de curva é recomendado apenas
para casos especiais em que se necessita fugir de
obstáculos do terreno, os quais não podem ser
evitados com o uso de curvas horizontais.
Curvas Horizontais Circulares 
Reversas
Trata-se da curva formada por duas curvas simples
consecutivas, geralmente de raios de curvatura iguais,
porém, com centros de curvatura opostos.
Para determinação dos elementos geométricos deste
tipo de curva, os cálculos são realizados considerando-
as como duas curvas horizontais independentes.
Exercícios de Aplicação
Dado o traçado de uma rodovia, considerando que trata-se
de duas curvas circulares reversas, calculas as estacas PC e
PT da primeira curva e PC e PT da segunda curva.
Dados:
1º trecho – PI = [148 + 5,60]
2º trecho – PI = [165 + 9,70]
R1 = 600 m AC1 = AC2 = 22º36’
R2 = 700 m
Exercícios de Aplicação
Utilizando os dados do exercício anterior, através do método
das coordenadas parciais, calcule as coordenadas (x, y) da
estaca PT1 e PT2.
Dados:
1º trecho – PI = [148 + 5,60]
2º trecho – PI = [165 + 9,70]
R1 = 600 m AC1 = AC2 = 22º36’
R2 = 700 m
Curvas 
Horizontais 
com Transição
Estradas
Curvas Horizontais com Transição
Quando um veículo passa de um alinhamento reto para
um trecho curvo, surge uma força centrífuga atuando
sobre o mesmo, que tende a desviá-lo da trajetória que
normalmente deveria percorrer, impelindo-o para fora da
curva.
Este fato representa um perigo e desconforto para o
usuário da estrada, podendo ocasionar até mesmo o
capotamento do veículo.
Curvas Horizontais com Transição
Visando contrabalançar a ação da força centrífuga e assim
evitando o deslizamento ou tombamento, estabeleceu-se a
formação de uma inclinação no bordo externo da pista,
concordando com o outro bordo, provocando assim a ação
de uma força centrípeta (de sentido contrário), de modo a
estabelecer o equilíbrio de forças. Essa inclinação é
denominada de SUPERELEVAÇÃO e será objeto de estudo na
seqüência da disciplina.
Curvas Horizontais com Transição
Imaginando a aplicação da
superelevação (incremento da
inclinação da pista) nas curvas
circulares, teríamos a formação
de um degrau ou a brusca
passagem da tangente para a
curva (no PC), o que é
impraticável.
Curvas Horizontais com Transição
Curvas Horizontais com Transição
Para corrigir essa deficiência das curvas circulares de pequeno
raio, foram introduzidas no projeto de rodovias, as CURVAS DE
TRANSIÇÃO, onde são criadas curvas intermediárias
concordando tangente e curva circular de modo a garantir o
desenvolvimento gradual da força centrífuga, de seu valor nulo
em tangente até atingir seu valor máximo no início da curva
circular acomodando a variação da superelevação em
perfeito equilíbrio geométrico.
Curvas Horizontais com Transição
Curvas Horizontais com Transição
De certa forma, qualquer curva cujo raio varie de infinito até o
valor do raio da curva circular, em uma extensão conveniente,
pode ser usada como curva de transição.
A clotóide, ou espiral é a mais vantajosa do ponto de vista
técnico, pois ela proporciona uma variação linear do raio de
curvatura (ρ) ao longo do comprimento percorrido (Lc).
A espiram de transição tem a principal função de permitir a
passagem gradativa de um traçado em tangente para um
traçado em curva circular.
Curvas Horizontais com Transição
Curvas Horizontais com Transição
Em vários casos usa-se a
ESPIRAL DE CORNU como
curva de transição entre a
tangente e a curva circular,
na concordância horizontal
de traçados rodoviários e
ferroviários.
Curvas Horizontais com Transição
A adoção de espirais proporciona uma série de vantagens ao
traçado da estrada, tais como:
 Diminuição gradativa da força centrífuga que atua sobre os
veículos nas curvas;
 A transição entre a inclinação transversal do trecho em
tangente para a superelevação do trecho em curva pode
ser efetuada na curva de transição;
 A visualização daestrada torna-se melhor pela supressão de
descontinuidade no início e no fim das curvas circulares.
Formas de Implantação da Transição
Para introdução de um ramo de espiral entre a tangente e a curva
circular, alguma acomodação deve ocorrer visando atender a
nova configuração da curva, podendo apresentar-se nas três
formas seguintes:
• Transição a raio e centro conservados;
• Transição a raio conservado;
• Transição a centro conservado.
Este processo demanda alguns ajustes na geometria da curva
circular, devido ao afastamento desta das tangentes que se
interceptam em PI.
Transição a Raio e Centro Conservados
Adotado somente em
situações excepcionais,
consiste no deslocamento das
tangentes paralelamente as
posições originais, mantendo o
CENTRO e o RAIO. Somente
aplicável quando não se pode
evitar um ponto obrigatório de
passagem situado sobre a
curva original.
Transição a Centro Conservado
Neste caso, mantêm-se
a posição do centro da
curva horizontal, e
reduz-se o
comprimento do raio R,
mantendo também a
posição das tangentes.
Transição a Raio Conservado
Trata-se do tipo de
transição preferido
pelos projetistas, visto
que tanto o raio da
curva circular, como a
posição da tangente
não são alteradas.
Estudo da Curva de Transição
Uma curva com transição
em espiral tem a
configuração representada
a seguir e os seus
elementos são
identificados no sentido
crescente do
estaqueamento.
Elementos Geométricos de Curvas 
Horizontais com Transição
• PI = Ponto de interseção. É o ponto definido pelo cruzamento dos
alinhamentos base (tangentes).
• I = Deflexão total da curva. É o ângulo formado pelo prolongamento
de um alinhamento e o seguinte.
• TS = Ponto de curva. É o ponto onde finda a tangente e tem início o
primeiro ramo da espiral (Tangent/Spiral).
• SC = Ponto osculador. É o ponto onde finda o primeiro ramo da
espiral e inicia o tramo circular (Spiral/Circle).
• CS = Ponto osculador. É o ponto termina o primeiro tramo da circular
e começa o segundo ramo da espiral (Circle/Spiral).
Elementos Geométricos de Curvas 
Horizontais com Transição
• ST = Ponto de tangente. É o ponto onde termina o segundo ramo da
espiral e tem continuidade o alinhamento seguinte (Spiral/Tangent).
• ρ = Raio da espiral. Corresponde ao raio variável em qualquer ponto
da espiral, tendo valor máximo igual a infinito no TS ou ST e mínimo
igual ao raio da curva circular no SC ou CS.
• R = Raio da circular. Corresponde ao raio constante do tramo
circular da curva.
• Lc = Comprimento total da espiral. Corresponde ao comprimento
de cada ramo da espiral, igual no início e final da curva de
transição; distância em curva entre os pontos TS e SC e também
entre CS e ST.
Elementos Geométricos de Curvas 
Horizontais com Transição
• Sc = Ângulo central total da espiral. Corresponde ao ângulo central
da espiral entre TS ou ST ao ponto osculador CS ou SC.
• S = Ângulo central da espiral. Corresponde ao ângulo central de um
ponto qualquer da espiral.
• AC = Ângulo central da circular. É o ângulo central total do tramo
circular.
• C = Corda total. Corresponde a distância medida no alinhamento
retilíneo entre os pontos TS e SC.
Estudo da Curva de Transição
• Comprimento da Transição
No ramo espiral da transição (lc) vai ocorrer todo o
desenvolvimento da superelevação, portanto a definição do seu
comprimento é função direta da grandeza do raio da curva, da
velocidade diretriz e da taxa de superelevação, podendo ser
visualizado como sendo o comprimento necessário para se
percorrer a espiral em um tempo compatível com a assimilação
da trajetória pelo veículo e pelo usuário. Trata-se da distância ao
longo da qual se procede à distribuição da superelevação e da
superlargura, passando-a da condição de tangente, à condição
de curva circular.
Estudo da Curva de Transição
São três os critérios mais utilizados para estabelecer o
comprimento mínimo de transição:
• Critério Dinâmico;
• Critério de Tempo;
• Critério Estético.
Estudo da Curva de Transição
• Critério Dinâmico;
Consiste em estabelecer a taxa máxima de variação da aceleração
centrípeta por unidade de tempo.
A experiência internacional estabeleceu para J o valor máximo de 0,6
m/s²/s. Inserindo o valor de Jmáx e transformando a velocidade Vp em
km/h, temos:
Estudo da Curva de Transição
• Critério de Tempo
Estabelece o tempo mínimo de 2 segundos para o giro do volante, e
consequentemente para o percurso
Utilizando Vp em km/h, temos:
Estudo da Curva de Transição
• Critério Estético
Determina que o comprimento de transição deve permitir uma taxa
máxima de variação da superelevação, de acordo com a velocidade
de projeto.
Estudo da Curva de Transição
A tabela anteriormente apresentada contém os valores de
comprimento mínimos, considerando uma largura de faixa de tráfego
padrão de 3,60 m.
Para larguras diferentes, são adotadas as seguintes relações:
Estudo da Curva de Transição
Outros critérios:
• O comprimento mínimo de transição não deve ser menor do que 30
m;
• Comprimento máximo: corresponde à situação em que as espirais
de transição substituem a curva circular, ou seja:
• Comprimento desejável (J = 0,3 m/s²/s):
Exercício de Aplicação
No projeto de uma curva circular horizontal, foram definidos os
parâmetros conforme a tabela abaixo. Considerando que a rodovia,
de classe II, foi implantada em uma região de relevo ondulado, que
valor para superelevação adotado foi de 6%, que o ângulo central do
trecho circular é igual a 24º12’40” e que o raio da curva circular é igual
a 200 m, pede-se calcular os comprimentos mínimos e máximos da
curva de transição.
Cálculo dos Pontos Notáveis de uma 
Curva de Transição
o Cálculo do ângulo central (Sc) do trecho em espiral:
Cálculo dos Pontos Notáveis de uma 
Curva de Transição
Cálculo dos Pontos Notáveis de uma 
Curva de Transição
Obs.: Sc em radianos
o Tangente Exterior (Ts):
Cálculo dos Pontos Notáveis de uma 
Curva de Transição
Obs.: Sc em graus
o Cálculo do ângulo central (θ) do trecho em curva horizontal:
o Desenvolvimento (D) do trecho em curva circular:
Exercício de Aplicação
Para o exercício anterior, calcule os pontos notáveis da curva de
transição, adotando o comprimentos de transição obtido.
Vértice AC R (m) D (m) T (m)
PI 24°12'40'' 200,00 84,51 42,90
Exercício de Aplicação
Uma rodovia está sendo projetada para uma velocidade de projeto
igual a 100 km/h. Considerando que o raio da curva circular é igual a
600 m, que a deflexão entre as tangentes é igual a 60º, a
superelevação é igual a 9% e que a largura da faixa de tráfego é igual
a 3,60 m, calcular o comprimento de transição mínimo e máximo para
esta curva. Após, calcule os os pontos notáveis da curva de transição.
Exercício de Aplicação
No projeto do eixo de uma rodovia, com os alinhamentos da poligonal
definidos na forma da figura abaixo:
Rodovia Classe II, relevo plano.
Superelevação curva 1: 6%
Superelevação curva 2: 5%