Apostila Calculo Diferencial e Integral I: Derivada

Prévia do material em texto

Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia da Bahia
Campus Vito´ria da Conquista
Coordenac¸a˜o Te´cnica Pedago´gica
Programa de Assisteˆncia e Apoio aos Estudantes
Apostila
Ca´lculo Diferencial e Integral I:
Derivada
Orientadora: Ma. Polyane Alves Santos
Bolsista: Philipe Silva Farias
Vito´ria da Conquista
2012
Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia da Bahia
Campus Vito´ria da Conquista
Coordenac¸a˜o Te´cnica Pedago´gica
Programa de Assisteˆncia e Apoio aos Estudantes
Apostila
Ca´lculo Diferencial e Integral I:
Derivada
Apostila feita por Philipe Silva Fa-
rias, estudante do curso de Graduac¸a˜o
em Engenharia Ele´trica, do Instituto
Federal de Educac¸a˜o Cieˆncia e Tecnolo-
gia da Bahia, Campus Vito´ria da Con-
quista, desenvolvida sob a orientac¸a˜o
da Professora: Ma. Polyane Alves
Santos, no per´ıodo de Agosto de 2010
a` Janeiro de 2011. Atualizac¸a˜o em
Abril de 2012.
Vito´ria da Conquista
2012
Suma´rio
1 Derivada 7
1.1 A Reta Tangente e a Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 Derivabilidade e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5 Teoremas Sobre Derivac¸a˜o de Func¸o˜es Alge´bricas . . . . . . . 32
1.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.7 Derivadas das Func¸o˜es Trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . 39
1.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.9 A Derivada de uma Func¸a˜o Composta e a Regra da Cadeia . . 44
1.10 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.11 A Derivada da Func¸a˜o Poteˆncia para Expoentes Racionais . . 52
1.12 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.13 Derivac¸a˜o Impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.14 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.15 Derivadas de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.16 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.17 Derivadas das Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas . . . . . . . . 68
1.18 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1.19 Derivadas de uma Func¸a˜o exponencial . . . . . . . . . . . . . 71
1.20 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.21 Derivadas das Func¸o˜es Logar´ıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . 74
1.22 Diferenciac¸a˜o Logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.23 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1.24 Derivadas das Func¸o˜es Hiperbo´licas . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.25 Derivadas das Func¸o˜es Hiperbo´licas Inversas . . . . . . . . . . 82
1.26 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
1.27 Valores extremos das Func¸o˜es e Te´cnicas de Construc¸a˜o de
Gra´ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1.27.1 Valor Funcional Ma´ximo e Mı´nimo . . . . . . . . . . . 86
1.27.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
1.27.3 Func¸o˜es Crescentes e Decrescentes e o Teste da Deri-
vada Primeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
1.27.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
1.27.5 Concavidade e Pontos de Inflexa˜o . . . . . . . . . . . . 110
1.27.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
1.27.7 O Teste da Derivada Segunda para Extremos Relativos 123
1.27.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
1.27.9 Trac¸ando um Esboc¸o do Gra´fico de uma Func¸a˜o . . . . 131
1.27.10 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
1.28 Formas Indeterminadas e a Regra de L’Hoˆspital . . . . . . . . 143
1.28.1 Produtos Indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
1.28.2 Diferenc¸as Indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . . . 148
1.28.3 Poteˆncias Indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . . . 149
1.29 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
2 Refereˆncias 153
Lista de Figuras
1 Ilustrac¸a˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Ilustrac¸a˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Ilustrac¸a˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 y = x2 no ponto (2, 4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Hipe´rbole e sua tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6 Retas tangente e normal ao gra´fico, Exemplo 5. . . . . . . . . 14
7 f(x) = x
1
3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8 y = f(x) = |x|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
9 y = f ′(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
10 f(x) = |1− x2|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
11 Ma´ximo relativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
12 Ma´ximo relativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
13 Mı´nimo relativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
14 Mı´nimo relativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
15 Exemplo 62. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
16 Exemplo 63. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
17 Exemplo 64. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
18 Exemplo 67. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
19 Exemplo 68. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
20 Exemplo 69. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
21 Exemplo 70. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
22 Exemplo 71. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
23 Exemplo 72. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
24 Exemplo 73. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
25 Exemplo 74. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
26 Exemplo 75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
27 Exemplo 76. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
28 Exemplo 77. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
29 Ilustrac¸a˜o 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
30 Ilustrac¸a˜o 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
31 Exemplo 78. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
32 Exemplo 78. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
33 f(x) = x4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
34 Ponto de Inflexa˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
35 Ponto de Inflexa˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
36 Ponto de Inflexa˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
37 Ilustrac¸a˜o 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
38 Exemplo 80. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
39 Exemplo 81. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
40 Exemplo 82. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
41 Exemplo 83. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
42 Exemplo 84. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
43 Exemplo 86. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
44 Exemplo 87. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
45 Exemplo 88. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
46 Exemplo 89. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
47 Exemplo 90. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
48 Exemplo 91. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
49 Exemplo 92. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 138
50 Exemplo 93. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Ca´lculo Diferencial e Integral I
1 Derivada
1.1 A Reta Tangente e a Derivada
Muitos problemas importantes de Ca´lculo envolvem a determinac¸a˜o da reta
tangente a uma curva dada, em um determinado ponto dela. Para uma
circunfereˆncia, sabe-se da Geometria Plana que a reta tangente em um ponto
seu e´ a reta que tem com ela um u´nico ponto em comum. Essa definic¸a˜o na˜o
e´ va´lida para uma curva em geral. Por exemplo, na Figura 1 a reta que
queremos que seja tangente a` curva no ponto P intercepta a curva em outro
ponto Q. Para chegar a uma definic¸a˜o adequada de reta tangente ao gra´fico
de uma func¸a˜o em um de seus pontos, comec¸amos pensando em definir a
inclinac¸a˜o da reta tangente ao ponto. Enta˜o, a reta tangente e´ determinada
por sua inclinac¸a˜o e pelo ponto de tangeˆncia.
Figura 1: Ilustrac¸a˜o.
Consideremos a func¸a˜o f cont´ınua em x1. Queremos definir a inclinac¸a˜o
da reta tangente ao gra´fico de f em P (x1, f(x1)). Seja I o intervalo aberto
que conte´m x1 e no qual f esta´ definida. Seja Q(x2, f(x2)) outro ponto do
gra´fico de f , tal que x2 tambe´m esteja em I. Tracemos uma reta atrave´s de
P e Q. Qualquer reta que passe por dois pontos de uma curva e´ chamada de
reta secante, assim, a reta atrave´s de P e Q e´ uma reta secante. A Figura
2 mostra retas secantes para va´rios valores de x2. A Figura 3 mostra uma
determinada reta secante, onde Q esta´ a` direita de P . No entanto Q pode
estar de qualquer lado de P , conforme mostra a Figura 2.
Vamos denotar a diferenc¸a entre as abscissas de Q e de P por ∆x, assim,
∆x = x2 − x1.
Apostila Derivada 7
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Figura 2: Ilustrac¸a˜o.
Figura 3: Ilustrac¸a˜o.
Apostila Derivada 8
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Observe que ∆x denota uma variac¸a˜o nos valores de x, quando ele muda
de x1 para x2 e pode ser positiva ou negativa. Essa variac¸a˜o e´ chamada de
incremento de x.
Retornando a` reta secante PQ da Figura 3, sua inclinac¸a˜o e´ dada por
mPQ =
f(x2)− f(x1)
∆x
,
desde que a reta PQ na˜o seja vertical. Como x2 = x1 + ∆x, a inclinac¸a˜o de
PQ pode ser escrita como
mPQ =
f(x1 + ∆x)− f(x1)
∆x
.
Vamos agora considerar o ponto P como fixo e o ponto Q como mo´vel,
ao longo da curva em direc¸a˜o a P , isto e´, Q tende a P . Isto equivale a dizer
que ∆x tende a zero. Quando isso ocorre, a reta secante gira em torno do
ponto fixo P . Se a reta secante tiver uma posic¸a˜o limite, desejaremos essa
posic¸a˜o limite como sendo a da reta tangente ao gra´fico f no ponto P . Assim,
queremos que a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico em P seja o limite de
mPQ quando ∆x tende a zero, se esse limite existir. Se lim
∆x→0
mPQ for +∞ ou
−∞, enta˜o, a` medida que ∆x tende a zero, a reta PQ aproxima-se da reta
por P , que e´ paralela ao eixo y. Nesse caso, queremos que a reta tangente
ao gra´fico em P seja a reta x = x1. Toda essa discussa˜o leva-nos a` seguinte
definic¸a˜o:
Definic¸a˜o 1. Suponhamos que a func¸a˜o f seja cont´ınua em x1. A reta
tangente ao gra´fico de f no ponto P (x1, f(x1)) e´
(i) a reta por P tendo a inclinac¸a˜o m(x1), dada por
m(x1) = lim
∆x→0
f(x1 + ∆x)− f(x1)
∆x
, (1)
se o limite existir;
(ii) a reta x = x1 se
lim
∆x→0+
f(x1 + ∆x)− f(x1)
∆x
for +∞ ou −∞
e
lim
∆x→0−
f(x1 + ∆x)− f(x1)
∆x
for +∞ ou −∞.
Apostila Derivada 9
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Se nem (i) e nem (ii) da Definic¸a˜o 1 forem verdadeiras, enta˜o na˜o existira´
reta tangente ao gra´fico de f no ponto P (x1, f(x1)).
Exemplo 1. Dada a para´bola y = x2, ache a inclinac¸a˜o da reta secante, nos
quesitos de (a) ate´ (c) pelos dois pontos: (a) (2, 4), (3, 9); (b) (2, 4), (2,1;
4,41); (c) (2, 4), (2,01; 4,0401). (d) Ache a inclinac¸a˜o da reta tangente a`
para´bola no ponto (2, 4). Fac¸a um esboc¸o do gra´fico e mostre um segmento
da reta tangente em (2, 4).
Soluc¸a˜o:
Sejam ma, mb e mc as inclinac¸o˜es das retas secantes em (a), (b) e (c),
respectivamente.
(a) ma =
9− 4
3− 2 = 5;
(b) mb =
4, 41− 4
2, 1− 2 =
0, 41
0, 1
= 4, 1;
(c) mc =
4, 0401− 4
2, 01− 2 =
0, 0401
0, 01
= 4, 01;
(d) Seja f(x) = x2. De (1) temos,
m(2) = lim
∆x→0
f(2 + ∆x)− f(2)
∆x
= lim
∆x→0
(2 + ∆x)2 − 4
∆x
= lim
∆x→0
4 + 4∆x+ (∆x)2 − 4
∆x
= lim
∆x→0
4∆x+ (∆x)2
∆x
= lim
∆x→0
(4 + ∆x) = 4.
(e) A Figura 4 mostra um esboc¸o do gra´fico e um segmento da reta tangente
em (2,4).
�
Algumas vezes nos referimos a` inclinac¸a˜o da reta tangente como a in-
clinac¸a˜o da curva no ponto. A ideia por tra´s disso e´ que, se dermos um
grande zoom em direc¸a˜o ao ponto, a curva aparentara´ ser uma reta. A Fi-
gura 4 ilustra esse procedimento para a curva y = x2 do Exemplo 1. Quanto
maior for o zoom, mais indistingu´ıvel da reta tangente sera´ a para´bola.
Apostila Derivada 10
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Figura 4: y = x2 no ponto (2, 4).
Exemplo 2. Ache a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o definida
por y = x2 − 3x+ 4 no ponto (x1, y1).
Soluc¸a˜o:
f(x1) = x
3
1 − 3x1 + 4.
f(x1 + ∆x) = (x1 + ∆x)
3 − 3(x1 + ∆x) + 4.
De (1),
m(x1) = lim
∆x→0
f(x1 + ∆x)− f(x1)
∆x
= lim
∆x→0
(x1 + ∆x)
3 − 3(x1 + ∆x) + 4− (x31 − 3x1 + 4)
∆x
= lim
∆x→0
x31 + 3x
2
1∆x+ 3x1(∆x)
2 + (∆x)3 − 3x1 − 3∆x+ 4− x31 + 3x1 − 4
∆x
= lim
∆x→0
3x21∆x+ 3x1(∆x)
2 + (∆x)3 − 3∆x
∆x
.
Como ∆x 6= 0, podemos dividir o numerador e o denominador por ∆x e
obter
m(x1) = lim
∆x→0
[3x31 + 3x1∆x+ (∆x)
2 − 3]
= 3x21 − 3. (2)
�
Apostila Derivada 11
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Para fazer um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o do Exemplo 2, colocamos pon-
tos no gra´fico e um segmento da reta tangente em alguns deles. Os valores de
x sa˜o tomados arbitrariamente e o valor funcional correspondente e´ calculado
pela equac¸a˜o dada, o valor de m e´ calculado de (2). E´ importante determinar
os pontos onde o gra´fico possui tangente horizontal. Como uma reta hori-
zontal possui inclinac¸a˜o zero, esses pontos sa˜o encontrados ao resolvermos
em x1 a` equac¸a˜o m(x1) = 0. Fazendo os ca´lculos para esse exemplo temos
3x21− 3 = 0, resultando x1 = ±1. Assim sendo, nos pontos com abscissas −1
e 1 a reta tangente e´ paralela ao eixo x.
Exemplo 3. Encontre uma equac¸a˜o da reta tangente a` hipe´rbole y =
3
x
no
ponto (3, 1).
Soluc¸a˜o:
Seja f(x) =
3
x
. Enta˜o a inclinac¸a˜o da reta tangente em (3, 1) e´
m(3) = lim
∆x→0
f(3 + ∆x)− f(3)
∆x
= lim
∆x→0
3
3+∆x
− 1
∆x
= lim
∆x→0
3−(3+∆x)
3+∆x
∆x
= lim
∆x→0
−∆x
∆x(3 + ∆x)
= lim
∆x→0
− 1
3 + ∆x
= −1
3
.
Portanto, uma equac¸a˜o da reta tangente no ponto (3, 1) e´
y − 1 = −1
3
(x− 3),
que se simplifica para
x+ 3y − 6 = 0.
A hipe´rbole e sua tangente esta˜o na Figura 5.
�
Apostila Derivada 12
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Figura 5: Hipe´rbole e sua tangente.
Exemplo 4. Encontre as inclinac¸o˜es das retas tangentes ao gra´fico da func¸a˜o
f(x) =
√
x nos pontos (1, 1), (4, 2) e (9, 3).
Soluc¸a˜o:
Como temos que calcular treˆs inclinac¸o˜es, e´ mais eficiente encontrar a
inclinac¸a˜o em um ponto gene´rico (x1,
√
x1):
m(x1) = lim
∆x→0
f(x1 + ∆x)− f(x1)
∆x
= lim
∆x→0
√
x1 + ∆x−√x1
∆x
= lim
∆x→0
√
x1 + ∆x−√x1
∆x
.
√
x1 + ∆x+
√
x1√
x1 + ∆x+
√
x1
= lim
∆x→0
(x1 + ∆x)− x1
∆x(
√
x1 + ∆x+
√
x1)
= lim
∆x→0
∆x
∆x(
√
x1 + ∆x+
√
x1)
= lim
∆x→0
1√
x1 + ∆x+
√
x1
=
1√
x1 +
√
x1
=
1
2
√
x1
.
No ponto (1, 1) temos x1 = 1; logo, a inclinac¸a˜o da tangente e´ m(1) =
1
2
√
1
= 1
2
. Em (4, 2), temos m(4) = 1
2
√
4
= 1
4
; e em (9, 3), temos m(9) = 1
2
√9
=
1
6
.
�
Definic¸a˜o 2. A reta normal a um gra´fico em um dado ponto e´ a reta
perpendicular a` reta tangente naquele ponto.
Apostila Derivada 13
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Exemplo 5. Encontre a equac¸a˜o da reta normal ao gra´fico da func¸a˜o f(x) =
x3 − 3x+ 4 no ponto (2, 6).
Soluc¸a˜o:
Como a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico f(x) = x3 − 3x + 4 em
qualquer ponto (x1, y1) e´ m(x1) = 3x
2
1 − 3, a inclinac¸a˜o da reta tangente no
ponto (2, 6) e´ m(2) = 9.
Sendo assim, a reta normal ao gra´fico f(x) = x3−3x+4 no ponto (2, 6) e´
perpendicular a` reta tangente naquele ponto. Portanto, a inclinac¸a˜o da reta
normal a (2, 6) e´ −1
9
, e uma equac¸a˜o dessa reta normal e´
y − 6 = −1
9
(x− 2)
9y − 54 = −x+ 2
x+ 9y − 56 = 0.
A Figura 6 mostra o gra´fico e as retas tangente e normal em (2, 6).
Figura 6: Retas tangente e normal ao gra´fico, Exemplo 5.
�
O tipo de limite em (1), na Definic¸a˜o 1, pa´gina 9, usado para definir a
inclinac¸a˜o da reta tangente e´ um dos mais importantes em Ca´lculo.
Definic¸a˜o 3. A derivada de uma func¸a˜o f e´ a func¸a˜o denotada por f ′,
tal que seu valor em qualquer nu´mero x do domı´nio de f seja dado por
f ′(x) = lim
∆x→0
f(x+ ∆x)− f(x)
∆x
, (3)
se esse limite existir.
Apostila Derivada 14
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Se x1 for um determinado nu´mero no domı´nio de f , enta˜o
f ′(x1) = lim
∆x→0
f(x1 + ∆x)− f(x1)
∆x
. (4)
Se esse limite existir. Comparando as fo´rmulas (1) e (4), note que a inclinac¸a˜o
da reta tangente ao gra´fico de y = f(x) no ponto (x1, f(x1)) e´ precisamente
a derivada de f calculada em x1.
Exemplo 6. Ache a derivada de f se f(x) = 3x2 + 12.
Soluc¸a˜o:
Se x for qualquer nu´mero do domı´nio de f , enta˜o de (3),
f ′(x) = lim
∆x→0
f(x+ ∆x)− f(x)
∆x
= lim
∆x→0
[3(x+ ∆x)2 + 12]− (3x2 + 12)
∆x
= lim
∆x→0
3x2 + 6x∆x+ 3(∆x)2 + 12− 3x2 − 12
∆x
= lim
∆x→0
6x∆x+ 3(∆x)2
∆x
= lim
∆x→0
(6x+ 3∆x) = 6x.
Logo, a derivada de f e´ a func¸a˜o f ′, definida por f ′(x) = 6x. O domı´nio de
f ′ e´ o conjunto de todos os nu´meros reais, sendo igual ao domı´nio de f .
�
Considere agora a fo´rmula (4), que e´
f ′(x1) = lim
∆x→0
f(x1 + ∆x)− f(x1)
∆x
.
Nessa fo´rmula seja
x1 + ∆x = x, (5)
enta˜o “∆x→ 0” e´ equivalente a “x→ x1”. (6)
De (4), (5) e (6) obtemos a seguinte fo´rmula para f ′(x1):
f ′(x1) = lim
x→x1
f(x)− f(x1)
x− x1 , (7)
se o limite existir. A fo´rmula (7) e´ uma alternativa para (4) no ca´lculo de
f ′(x).
Apostila Derivada 15
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Exemplo 7. Para a func¸a˜o f(x) = 3x2 + 12, ache a derivada de f em 2 de
duas maneiras: (a) Aplicando a fo´rmula (4); (b) Aplicando a fo´rmula (7).
Soluc¸a˜o:
(a) f(x) = 3x2 + 12. Da fo´rmula (4),
f ′(2) = lim
∆x→0
f(2 + ∆x)− f(2)
∆x
= lim
∆x→0
[3(2 + ∆x)2 + 12]− [3(2)2 + 12]
∆x
= lim
∆x→0
12 + 12∆x+ 3(∆x)2 + 12− 12− 12
∆x
= lim
∆x→0
12∆x+ 3(∆x)2
∆x
= lim
∆x→0
(12 + 3∆x) = 12.
(b) Da fo´rmula (7),
f ′(2) = lim
x→2
f(x)− f(2)
x− 2
= lim
x→2
(3x2 + 12)− 24
x− 2
= lim
x→2
3x2 − 12
x− 2 = 3 limx→2
(x− 2)(x+ 2)
x− 2 = 3 limx→2(x+ 2) = 12.
�
O uso do s´ımbolo f ′ para a derivada da func¸a˜o f foi introduzido pelo
matema´tico franceˆs Joseph Louis Lagrange (1736-1813), no se´culo XVIII.
Essa notac¸a˜o indica que a func¸a˜o f ′ e´ derivada da func¸a˜o f e seu valor em x
e´ f ′(x).
Se (x, y) for um ponto do gra´fico de f , enta˜o y = f(x) e y′ tambe´m sera´
usado como notac¸a˜o para a derivada de f(x). Com a func¸a˜o f definida pela
equac¸a˜o y = f(x), podemos expressar
∆y = f(x+ ∆x)− f(x), (8)
onde ∆y e´ chamado de incremento de y e denota a variac¸a˜o no valor da
func¸a˜o quando x varia de ∆x. Usando (8) e escrevendo dy
dx
em lugar de f ′(x),
a fo´rmula (3) torna-se
dy
dx
= lim
∆x→0
∆y
∆x
.
Apostila Derivada 16
Ca´lculo Diferencial e Integral I
O s´ımbolo
dy
dx
como notac¸a˜o para derivada foi introduzido pelo matema´tico alema˜o Gottfried
Wilhelm Leibniz (1646-1716). No se´culo XVII Leibniz e Sir Isaac Newton
(1642-1727), trabalhando independentemente, introduziram quase ao mesmo
tempo o conceito de derivada. E´ prova´vel que Leibniz considerasse dx e dy
como pequenas variac¸o˜es nas varia´veis x e y e a derivada de y em relac¸a˜o a x
como a raza˜o de dy por dx quando dy e dx tornam-se pequenos. O conceito
de Limite como concebemos atualmente na˜o era conhecido por Leibniz.
Na notac¸a˜o de Lagrange, o valor da derivada em x = x1 e´ indicado por
f ′(x1). Com a notac¸a˜o de Leibniz escrever´ıamos
dy
dx
]
x=x1
.
Deve-se lembrar que, nesse momento, dy
dx
e´ um s´ımbolo para derivada e na˜o
deve ser considerado como uma raza˜o. Na verdade, d
dx
pode ser considerado
como um operador (um s´ımbolo para a operac¸a˜o de ca´lculo da derivada) e
quando escrevemos dy
dx
, isto significa d
dx
(y), ou seja, a derivada de y em relac¸a˜o
a x.
Duas outras notac¸o˜es para a derivada de uma func¸a˜o f sa˜o
d
dx
[f(x)] e Dx[f(x)].
Cada uma dessas notac¸o˜es permite-nos indicar a func¸a˜o original na ex-
pressa˜o para a derivada.
Naturalmente, se a func¸a˜o e as varia´veis forem denotadas por outras letras
que na˜o f , x e y, as notac¸o˜es para derivada incorporara˜o essas letras. Por
exemplo, se a func¸a˜o g estiver definida pela equac¸a˜o s = g(t), enta˜o a derivada
de g podera´ ser indicada em cada uma das seguintes formas:
g′(t),
ds
dt
,
d
dt
[g(t)] ou Dt[g(t)].
Apostila Derivada 17
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Exemplo 8. Ache
dy
dx
se y =
√
x− 3.
Soluc¸a˜o:
Temos y = f(x), onde f(x) =
√
x− 3.
dy
dx
= lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
f(x+ ∆x)− f(x)
∆x
= lim
∆x→0
√
x+ ∆x− 3−√x− 3
∆x
.
Para avaliar esse limite, racionalizamos o numerador.
dy
dx
= lim
∆x→0
(
√
x+ ∆x− 3−√x− 3)(√x+ ∆x− 3 +√x− 3)
∆x(
√
x+ ∆x− 3 +√x− 3)
= lim
∆x→0
(x+ ∆x− 3)− (x− 3)
∆x(
√
x+ ∆x− 3 +√x− 3)
= lim
∆x→0
∆x
∆x(
√
x+ ∆x− 3) +√x− 3 .
O numerador e o denominador sa˜o divididos por ∆x (desde que ∆x 6= 0)
para obter
dy
dx
= lim
∆x→0
1√
x+ ∆x− 3 +√x− 3 =
1
2
√
x− 3 .
�
Exemplo 9. Calcule
d
dx
(
2 + x
3− x
)
.
Soluc¸a˜o:
Queremos encontrar a derivada de f(x) onde f(x) =
2 + x
3− x . Assim,
Apostila Derivada 18
Ca´lculo Diferencial e Integral I
d
dx
(
2 + x
3− x
)
= lim
∆x→0
f(x+ ∆x)− f(x)
∆x
= lim
∆x→0
2+x+∆x
3−x−∆x − 2+x3−x
∆x
= lim
∆x→0
(3− x)(2 + x+ ∆x)− (2 + x)(3− x−∆x)
∆x(3− x−∆x)(3− x)
= lim
∆x→0
(6 + x− x2 + 3∆x− x∆x)− (6 + x− x2 − 2∆x− x∆x)
∆x(3− x−∆x)(3− x)
= lim
∆x→0
5∆x
∆x(3− x−∆x)(3− x)
= lim
∆x→0
5
(3− x−∆x)(3− x) =
5
(3− x)2 .
�
1.2 Exerc´ıcios
1. Ache a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico no ponto (x1, y1). Fac¸a
uma tabela de valores de x, y e m no intervalo fechado [a, b] e inclua
na tabela todos os pontos onde o gra´fico tem uma tangente horizontal.
Fac¸a um esboc¸o do gra´fico e mostre um segmento da reta tangente em
cada ponto colocado no gra´fico.
(a) y = 9− x2; [a, b] = [−3, 3]
(b) y = −2x2 + 4x; [a, b] = [−1, 3]
(c) y = x3 + 1; [a, b] = [−2, 2]
2. Ache a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico no ponto (x1, y1). Fac¸a
uma tabela dos valores de x, y e m nos va´rios pontos do gra´fico e inclua
na tabela todos os pontos onde o gra´fico tem uma tangente horizontal.
Fac¸a um esboc¸o do gra´fico.
(a) f(x) = 3x2 − 12x+ 8.
(b) f(x) =
√
4− x.
Apostila Derivada 19
Ca´lculo Diferencial e Integral I
(c) f(x) = x3 − 6x2 + 9x− 2.
3. Ache uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva dada no ponto indicado.
Fac¸a um esboc¸o da curva com a reta tangente e a reta normal.
(a) y = x2 − 4x− 5; (−2, 7).
(b) y = 1
8
x3;(4, 8).
(c) y =
6
x
; (3, 2).
(d) y = x4 − 4x; (0, 0).
4. Ache uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = 2x2 + 3 que e´ paralela
a` reta 8x− y + 3 = 0.
5. Ache uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = 2− 1
3
x2 que e´ perpen-
dicular a` reta x− y = 0.
6. Ache f ′(x) aplicando a fo´rmula f ′(x) = lim
∆x→0
f(x+ ∆x)− f(x)
∆x
.
(a) f(x) = 7x− 3.
(b) f(x) = 8− 5x.
(c) f(x) = −4.
(d) f(x) = 4− 2x2.
(e) f(x) = 3x2 − 2x+ 1.
7. Ache a derivada indicada.
(a)
d
dx
(8− x3).
(b)
d
dx
(
√
x).
(c) Dx
(
1
x+ 1
)
.
(d) Dx
(
2x+ 3
3x− 2
)
.
(e) Dx
(
1
x2
− x
)
.
8. Ache f ′(a) aplicando a fo´rmula f ′(x1) = lim
∆x→0
f(x1 + ∆x)− f(x1)
∆x
.
Apostila Derivada 20
Ca´lculo Diferencial e Integral I
(a) f(x) = 4− x2; a = 5.
(b) f(x) =
2
x3
; a = 4.
(c) f(x) =
2√
x
− 1; a = 4.
9. Ache f ′(a) aplicando a fo´rmula f ′(x1) = lim
x→x1
f(x)− f(x1)
x− x1 .
(a) f(x) = 2− x3; a = −2.
(b) f(x) =
1√
2x+ 3
; a = 3.
(c) f(x) =
√
1− 9x; a = 7.
10. Ache
dy
dx
.
(a) y =
4
x2
+ 3x.
(b) y =
√
2− 7x.
(c) y = 3
√
x.
(d) y =
1
3
√
x
− x.
Apostila Derivada 21
Ca´lculo Diferencial e Integral I
1.3 Derivabilidade e Continuidade
O processo de ca´lculo da derivada e´ chamado derivac¸a˜o.
Se uma func¸a˜o possui uma derivada em x1, a func¸a˜o sera´ deriva´vel em
x1. Isto e´, a func¸a˜o f sera´ deriva´vel em x1 se f
′(x1) existir. Uma func¸a˜o sera´
deriva´vel em um intervalo aberto se ela for deriva´vel em todo nu´mero
no intervalo aberto.
Exemplo 10. Seja f(x) = x
1
3 . (a) Ache f ′(x). (b) Mostre que f ′(0) na˜o
existe, mesmo que f seja cont´ınua nesse nu´mero. (c) Fac¸a um esboc¸o do
gra´fico de f .
Soluc¸a˜o:
(a) Da Definic¸a˜o 1,
f ′(x) = lim
∆x→0
(x+ ∆x)
1
3 − x 13
∆x
. (9)
Racionalizemos o numerador para obter um fator comum ∆x no nume-
rador e no denominador; disto resulta,
f ′(x) = lim
∆x→0
[(x+ ∆x)
1
3 − x 13 ][(x+ ∆x) 23 + (x+ ∆x) 13x 13 + x 23 ]
∆x[(x+ ∆x)
2
3 + (x+ ∆x)
1
3x
1
3 + x
2
3 ]
= lim
∆x→0
(x+ ∆x)− x
∆x[(x+ ∆x)
2
3 + (x+ ∆x)
1
3x
1
3 + x
2
3 ]
= lim
∆x→0
1
(x+ ∆x)
2
3 + (x+ ∆x)
1
3x
1
3 + x
2
3
=
1
x
2
3 + x
1
3x
1
3 + x
2
3
=
1
3x
2
3
.
(b) Observe que 1
3x
2
3
na˜o e´ definido em x = 0. Se (9) for usado para calcular
f ′(0), temos
lim
∆x→0
(0 + ∆x)
1
3 − 0 13
∆x
= lim
∆x→0
1
(∆x)
2
3
,
e esse limite na˜o existe. Enta˜o, f na˜o e´ deriva´vel em zero. No entanto,
a func¸a˜o f e´ cont´ınua em 0, pois
lim
x→0
f(x) = lim
x→0
x
1
3 = 0 = f(0).
(c) Um esboc¸o do gra´fico de f esta´ na Figura 7.
Apostila Derivada 22
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Figura 7: f(x) = x
1
3 .
Para a func¸a˜o f(x) = x
1
3 , como
lim
∆x→0
f(0 + ∆x)− f(0)
∆x
= lim
∆x→0
1
(∆x)
2
3
= +∞,
da Definic¸a˜o 1 (ii) segue que a reta x = 0 e´ a reta tangente ao gra´fico de f
na origem.
Nesse exemplo, a func¸a˜o definida por f(x) = x
1
3 tem as seguintes propri-
edades:
1. f e´ cont´ınua em zero;
2. f na˜o e´ deriva´vel em zero;
3. O gra´fico de f tem uma reta tangente vertical no ponto onde x e´ zero.
�
E´ importante deixar claro que o fato de uma func¸a˜o ser cont´ınua em um
nu´mero na˜o implica que ela seja deriva´vel naquele nu´mero. Mas o fato da
func¸a˜o ser deriva´vel implica a continuidade, o que e´ assegurado pelo Teorema
1.
Teorema 1. Se uma func¸a˜o f for deriva´vel em x1, enta˜o f sera´ cont´ınua
em x1.
a
aA prova desse teorema pode ser encontrada na pa´gina 150, Livro: “O Ca´lculo com
Geometria Anal´ıtica”, 3a edic¸a˜o, Louis Leithold.
Uma func¸a˜o f pode deixar de ser deriva´vel em um nu´mero c por uma das
seguintes razo˜es:
1. A func¸a˜o f e´ descont´ınua em c. Isso decorre do Teorema 1;
Apostila Derivada 23
Ca´lculo Diferencial e Integral I
2. A func¸a˜o f e´ cont´ınua em c e o gra´fico de f tem uma reta tangente
vertical no ponto onde x = c;
3. A func¸a˜o f e´ cont´ınua em c e o gra´fico de f na˜o tem uma reta tangente
no ponto x = c.
Definic¸a˜o 4. Se a func¸a˜o f for definida em x1, enta˜o a derivada a` direita
de f em x1, denotada por f
′
+(x1), sera´ definida por
f ′+(x1) = lim
∆x→0+
f(x1 + ∆x)− f(x1)
∆x
⇔ f ′+(x1) = lim
x→x+1
f(x)− f(x1)
x− x1 ,
se o limite existir.
Definic¸a˜o 5. Se a func¸a˜o f for definida em x1, enta˜o a derivada a` es-
querda de f em x1, denotada por f
′
−(x1), sera´ definida por
f ′−(x1) = lim
∆x→0−
f(x1 + ∆x)− f(x1)
∆x
⇔ f ′−(x1) = lim
x→x−1
f(x)− f(x1)
x− x1 ,
se o limite existir.
Uma func¸a˜o f definida num intervalo aberto contendo x1 sera´ deriva´vel
em x1 se e somente se f
′
+(x1) e f
′
−(x1) existirem e forem iguais. Naturalmente,
enta˜o, f ′(x1), f ′+(x1) e f
′
−(x1) sa˜o todas iguais.
Exemplo 11. Onde a func¸a˜o f(x) = |x| e´ diferencia´vel?
Soluc¸a˜o:
Se x > 0, enta˜o |x| = x e podemos escolher ∆x suficientemente pequeno
tal que x + ∆x > 0 e ainda |x + ∆x| = x + ∆x. Consequentemente, para
x > 0 temos
f ′(x) = lim
∆x→0
|x+ ∆x| − |x|
∆x
= lim
∆x→0
(x+ ∆x)− x
∆x
= lim
∆x→0
∆x
∆x
= lim
∆x→0
1 = 1,
e f e´ diferencia´vel para qualquer x > 0.
Analogamente, para x < 0 temos |x| = −x e podemos escolher ∆x sufi-
cientemente pequeno tal que x + ∆x < 0 e, assim, |x + ∆x| = −(x + ∆x).
Apostila Derivada 24
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Portanto, para x < 0,
f ′(x) = lim
∆x→0
|x+ ∆x| − |x|
∆x
= lim
∆x→0
−(x+ ∆x)− (−x)
∆x
= lim
∆x→0
−∆x
∆x
= lim
∆x→0
(−1) = −1,
e dessa forma f e´ diferencia´vel para qualquer x < 0.
Para x = 0 temos que verificar
f ′(0) = lim
∆x→0
f(0 + ∆x)− f(0)
∆x
= lim
∆x→0
|0 + ∆x| − |0|
∆x
(se ele existe).
Vamos calcular o limite esquerdo e o direito:
lim
∆x→0+
|0 + ∆x| − |0|
∆x
= lim
∆x→0+
|∆x|
∆x
= lim
∆x→0+
∆x
∆x
= lim
∆x→0+
1 = 1
e
lim
∆x→0−
|0 + ∆x| − |0|
∆x
= lim
∆x→0−
|∆x|
∆x
= lim
∆x→0−
−∆x
∆x
= lim
∆x→0−
(−1) = −1.
Uma vez que esses limites sa˜o diferentes, f ′(0) na˜o existe. Portanto, f e´
diferencia´vel para todo x, exceto em 0.
Uma fo´rmula para f ′ e´ dada por
f ′(x) =
{
1 se x > 0
−1 se x < 0 ,
e seu gra´fico esta´ ilustrado na Figura 9. O fato de que f ′(0) na˜o existe
esta´ refletido geometricamente no fato de que a curva y = |x| na˜o tem reta
tangente em (0, 0) (ver gra´fico na Figura 8).
�
Apostila Derivada 25
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Figura 8: y = f(x) = |x|.
Figura 9: y = f ′(x).
Apostila Derivada 26
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Exemplo 12. Seja f definida por f(x) = |1 − x2|. (a) Fac¸a um esboc¸o
do gra´fico de f . (b) Prove que f e´ cont´ınua em 1. (c) Determine se f e´
deriva´vel em 1.
Soluc¸a˜o:
Pela definic¸a˜o de valor absoluto, se x < −1 ou x > 1, enta˜o f(x) =
−(1− x2) e se −1 ≤ x ≤ 1, f(x) = 1− x2. Logo, f pode ser definida como
f(x) =

x2 − 1 se x < −1
1− x2 se −1 ≤ x ≤ 1
x2 − 1 se x > 1
.
(a) Um esboc¸o do gra´fico de f esta´ Figura 10.
Figura 10: f(x) = |1− x2|.
(b) Para provar que f e´ cont´ınua em 1, verificamos as treˆs condic¸o˜es para
continuidade.
(i) f(1) = 0;
(ii) lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
(1− x2) = 0; lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
(x2 − 1) = 0.
Assim,
lim
x→1
f(x) = 0;
(iii) lim
x→1
f(x) = f(1).
Como as condic¸o˜es (i)-(iii) sa˜o verificadas em 1, f e´ cont´ınua em
1.
Apostila Derivada 27
Ca´lculo Diferencial e Integral I
(c)
f ′−(1) = lim
x→1−
f(x)− f(1)
x− 1
= lim
x→1−
(1− x2)− 0
x− 1
= lim
x→1−
(1− x)(1 + x)
x− 1 = limx→1−[−(1 + x)] = −2.
f ′+(1) = lim
x→1+
f(x)− f(1)
x− 1
= lim
x→1+
(x2 − 1)−0
x− 1
= lim
x→1+
(x− 1)(x+ 1)
x− 1 = limx→1+(x+ 1) = 2.
Como f ′−(1) 6= f ′+(1), segue que f ′(1) na˜o existe e assim f na˜o e´ de-
riva´vel em 1.
�
Exemplo 13. Dada
f(x) =
{
1
x
se 0 < x < b
1− 1
4
x se x ≥ b .
(a) Determine um valor de b de tal forma que f seja cont´ınua em b. (b) f e´
deriva´vel no valor de b encontrado na parte (a)?
Soluc¸a˜o:
(a) A func¸a˜o f sera´ cont´ınua em b se lim
x→b−
f(x) = f(b) e lim
x→b+
f(x) = f(b).
lim
x→b−
f(x) = lim
x→b−
1
x
=
1
b
; lim
x→b+
f(x) = lim
x→b+
(
1− 1
4
x
)
= 1− 1
4
b.
f(b) = 1− 1
4
b; logo f sera´ cont´ınua em b se
1
b
= 1− 1
4
b
4 = 4b− b2
b2 − 4b+ 4 = 0
(b− 2)2 = 0
b = 2.
Apostila Derivada 28
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Assim,
f(x) =
{
1
x
se 0 < x < 2
1− 1
4
x se x ≥ 2 ,
e f e´ cont´ınua em 2.
(b) Para determinar se f e´ deriva´vel em 2, calculemos f ′−(2) e f
′
+(2).
f ′−(2) = lim
x→2−
f(x)− f(2)
x− 2
= lim
x→2−
1
x
− 1
2
x− 2
= lim
x→2−
2− x
2x(x− 2) = limx→2−
−1
2x
= −1
4
.
f ′+(2) = lim
x→2+
f(x)− f(2)
x− 2
= lim
x→2+
(1− 1
4
x)− 1
2
x− 2
= lim
x→2+
1
2
− 1
4
x
x− 2
= lim
x→2+
2− x
4(x− 2) = limx→2+
−1
4
= −1
4
.
Como f ′−(2) = f
′
+(2), segue que f
′(2) existe e, portanto, f e´ deriva´vel
em 2.
�
1.4 Exerc´ıcios
1. Fac¸a o seguinte: (I) Trace um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o; (II) deter-
mine se f e´ cont´ınua em x1; (III) calcule f
′
−(x1) e f
′
+(x1), se existirem;
(IV) determine se f e´ deriva´vel em x1.
(a)
f(x) =
{
x+ 2 se x ≤ −4
−x− 6 se x > −4 , x1 = −4.
Apostila Derivada 29
Ca´lculo Diferencial e Integral I
(b) |x− 3|, x1 = 3.
(c)
f(x) =
{ −1 se x < 0
x− 1 se x ≥ 0 , x1 = 0.
(d)
f(x) =
{
x2 se x ≤ 0
−x2 se x > 0 , x1 = 0.
(e)
f(x) =
{ √
1− x se x < 1
(1− x)2 se x ≥ 1 , x1 = 1.
(f)
f(x) =
{
2x2 − 3 se x ≤ 2
8x− 11 se x > 2 , x1 = 2.
(g) f(x) = 3
√
x+ 1, x1 = −1.
(h)
f(x) =
{
5− 6x se x ≤ 3
−4− x2 se x > 3 , x1 = 3.
(i)
f(x) =
{
x− 2 se x < 0
x2 se x ≥ 0 , x1 = 0.
(j)
f(x) =
{
3x2 se x ≤ 2
x3 se x > 2
, x1 = 2.
2. Dada f(x) =
√
x− 4. (I) Prove que f e´ cont´ınua a` direita de 4. (II)
Prove que f ′+(4) na˜o existe. (III) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f .
3. Dada f(x) =
√
x2 − 9. (I) Prove que f e´ cont´ınua em (−∞,−3] e
[3,+∞). (II) Prove que nem f ′−(−3) nem f ′+(−3) existem. (III) Fac¸a
um esboc¸o do gra´fico de f .
4. Dada f(x) = x
3
2 . (I) Prove que f e´ cont´ınua a` direita de 0. (II) Prove
que f ′+(0) existe e ache o seu valor inicial. (III) Fac¸a um esboc¸o do
gra´fico de f .
5. Dada
f(x) =
{
x2 − 7 se 0 < x ≤ b
6
x
se x > b
,
Apostila Derivada 30
Ca´lculo Diferencial e Integral I
(a) Determine um valor de b para o qual f e´ cont´ınua em b.
(b) f e´ deriva´vel em b encontrado na parte (a)?
6. Ache os valores de a e b tais que f seja deriva´vel em 2 se
f(x) =
{
ax+ b se x < 2
2x2 − 1 se x ≥ 2 .
Apostila Derivada 31
Ca´lculo Diferencial e Integral I
1.5 Teoremas Sobre Derivac¸a˜o de Func¸o˜es Alge´bricas
Como o processo de ca´lculo da derivada de uma func¸a˜o, a partir a Definic¸a˜o
3, em geral e´ lento, veremos alguns teoremas que nos possibilitam encontrar
derivadas com mais facilidade.
Teorema 2. Se c for uma constante e se f(x) = c para todo x1 enta˜o
f ′(x) = 0,
ou seja: A derivada de uma constante e´ zero. a
aver prova na pa´gina 156, Livro :“O Ca´lculo com Geometria Anal´ıtica”, 3a edic¸a˜o,
Louis Leithold.
Exemplo 14. Se f(x) = 5, enta˜o, de acordo com o Teorema 2, calcule sua
derivada.
Soluc¸a˜o:
f ′(x) = 0.
�
Teorema 3. Se n for um inteiro positivo e se f(x) = xn, enta˜o
f ′(x) = nxn−1.
(ver prova na pa´gina 157, Livro :“O Ca´lculo com Geometria Anal´ıtica”,
3a edic¸a˜o, Louis Leithold)
Exemplo 15. Se f(x) = x8, enta˜o, de acordo com o Teorema 3, calcule sua
derivada.
Soluc¸a˜o:
f ′(x) = 8x7.
�
Apostila Derivada 32
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Exemplo 16. Se f(x) = x, enta˜o, de acordo com o Teorema 3, calcule sua
derivada.
Soluc¸a˜o:
f ′(x) = 1 . x0 = 1 . 1 = 1.
�
Teorema 4. Se f for uma func¸a˜o, c uma constante e g a func¸a˜o definida
por
g(x) = c . f(x),
enta˜o, se f ′(x) existir,
g′(x) = c . f ′(x),
ou seja: A derivada de uma constante vezes uma func¸a˜o e´ a cons-
tante vezes a derivada da func¸a˜o, se essa derivada existir.a
aver prova na pa´gina 158, Livro :“O Ca´lculo com Geometria Anal´ıtica”, 3a edic¸a˜o,
Louis Leithold.
Exemplo 17. Se f(x) = 5x7, enta˜o, de acordo com o Teorema 4, calcule sua
derivada.
Soluc¸a˜o:
f ′(x) = 5 . 7x6 = 35x6.
�
Teorema 5. Se f e g forem func¸o˜es e se h for a func¸a˜o definida por
h(x) = f(x) + g(x),
enta˜o, se f ′(x) e g′(x) existirem,
h′(x) = f ′(x) + g′(x),
ou seja: A derivada da soma de duas func¸o˜es e´ a soma de suas
derivada se elas existirem.a
aver prova na pa´gina 158, Livro :“O Ca´lculo com Geometria Anal´ıtica”, 3a edic¸a˜o,
Louis Leithold.
Apostila Derivada 33
Ca´lculo Diferencial e Integral I
O resultado do Teorema 5 pode ser aplicado a um nu´mero qualquer, finito,
de func¸o˜es, por induc¸a˜o matema´tica, e isso sera´ enunciado como um outro
teorema.
Teorema 6. A derivada da soma de um nu´mero finito de func¸o˜es e´ igual
a` soma de suas derivadas, se elas existirem.
Exemplo 18. Encontre f ′(x) se f(x) = 7x4 − 2x3 + 8x+ 5.
Soluc¸a˜o:
f ′(x) = Dx(7x4 − 2x3 + 8x+ 5)
= Dx(7x
4) +Dx(−2x3) +Dx(8x) +Dx(5)
= 28x3 − 6x2 + 8.
�
Teorema 7. Se f e g forem func¸o˜es e h for a func¸a˜o definida por
h(x) = f(x)g(x),
enta˜o, se existirem f ′(x) e g′(x),
h′(x) = f(x)g′(x) + g(x)f ′(x),
ou seja: A derivada do produto de duas func¸o˜es e´ a primeira
func¸a˜o vezes a derivada da segunda func¸a˜o, mais a segunda
func¸a˜o vezes a derivada da primeira func¸a˜o, se essas derivadas
existirem.a
aver prova na pa´gina 159, Livro :“O Ca´lculo com Geometria Anal´ıtica”, 3a edic¸a˜o,
Louis Leithold.
Exemplo 19. Encontre h′(x) se h(x) = (2x3 − 4x2)(3x5 + x2).
Soluc¸a˜o:
h′(x) = (2x3 − 4x2)(15x4 + 2x) + (3x5 + x2)(6x2 − 8x)
= (30x7 − 60x6 + 4x4 − 8x3) + (18x7 − 24x6 + 6x4 − 8x3)
= 48x7 − 84x6 + 10x4 − 16x3.
�
Apostila Derivada 34
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Teorema 8. Se f e g forem func¸o˜es e se h for a func¸a˜o definida por
h(x) =
f(x)
g(x)
, onde g(x) 6= 0,
enta˜o, se f ′(x) e g′(x) existirem,
h′(x) =
g(x)f ′(x)− f(x)g′(x)
[g(x)]2
,
ou seja: A derivada do quociente de duas func¸o˜es e´ a frac¸a˜o tendo
como denominador o quadrado do denominador original e como
numerador o denominador vezes a derivada do numerador menos
o numerador vezes a derivada do denominador, se essas derivadas
existirem.a
aver prova na pa´gina 160, Livro :“O Ca´lculo com Geometria Anal´ıtica”, 3a edic¸a˜o,
Louis Leithold.
Exemplo 20. Ache Dx
(
2x3 + 4
x2 − 4x+ 1
)
.
Soluc¸a˜o:
Dx
(
2x3 + 4
x2 − 4x+ 1
)
=
(x2 − 4x+ 1)(6x2)− (2x3 + 4)(2x− 4)
(x2 − 4x+ 1)2
=
6x4 − 24x3 + 6x2 − 4x4 + 8x3 − 8x− 16
(x2 − 4x+ 1)2
=
2x4 − 16x3 + 6x2 − 8x+ 16
(x2 − 4x+ 1)2 .
�
Teorema 9. Se f(x) = x−n, onde −n e´ um inteiro negativo e x 6= 0, enta˜o
f ′(x) = −nx−n−1.
(ver prova na pa´gina 161, Livro :“O Ca´lculo com Geometria Anal´ıtica”,
3a edic¸a˜o, Louis Leithold)
Apostila Derivada 35
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Exemplo 21. Ache
d
dx
(
3
x5
)
.
Soluc¸a˜o:
d
dx
(
3
x5
)
=
d
dx
(3x−5)
= 3(−5x−6)
= −15
x6
.
�
1.6 Exerc´ıcios
1. Derive a func¸a˜o dada aplicando os Teoremas de Derivac¸a˜o.
(a) f(x) = 7x− 5.
(b) g(x) = 8− 3x.
(c) g(x) = 1− 2x− x2.
(d) f(x) = 4x2 + x+ 1.
(e) f(x) = x3 − 3x2+ 5x− 2.
(f) f(x) = 3x4 − 5x2 + 1.
(g) f(x) =
1
8
x8 − x4.
(h) g(x) = x7 − 2x5 + 5x3 − 7x.
(i) F (t) =
1
4
t4 − 1
2
t2.
(j) v(r) =
4
3
pir3.
(k) G(y) = y10 + 7y5 − y3 + 1.
(l) F (x) = x2 + 3x+
1
x2
.
Apostila Derivada 36
Ca´lculo Diferencial e Integral I
(m) f(x) =
x3
3
+
3
x3
.
(n) g(x) = 4x4 − 1
4x4
.
(o) f(x) = x4 − 5 + x−2 + 4x−4.
(p) g(x) =
3
x2
+
5
x4
.
(q) H(x) =
5
6x5
.
(r) f(s) =
√
3(s3 − s2).
(s) g(x) = (2x2 + 5)(4x− 1).
(t) f(x) = (2x4 − 1)(5x3 + 6x).
(u) f(x) = (4x+ 3)2.
(v) G(y) = (7− 3y3)2.
(w) F (t) = (t3 − 2t+ 1)(2t2 + 3t).
2. Calcule a derivada indicada aplicando os teoremas de derivac¸a˜o.
(a) Dx[(x
2 − 3x+ 2)(2x3 + 1)].
(b) Dx
(
2x
x+ 3
)
.
(c) Dx
(
x
x− 1
)
.
(d) Dy
(
2y + 1
3y + 4
)
.
(e)
d
dx
(
x2 + 2x+ 1
x2 − 2x+ 1
)
.
(f)
d
dx
(
4− 3x− x2
x− 2
)
.
(g)
d
dt
(
5t
1 + 2t2
)
.
(h)
d
dx
(
x4 − 2x2 + 5x+ 1
x4
)
.
(i)
d
dy
(
y3 − 8
y3 + 8
)
.
Apostila Derivada 37
Ca´lculo Diferencial e Integral I
(j)
d
ds
(
s2 − a2
s2 + a2
)
.
(k) Dx
[
2x+ 1
x+ 5
(3x− 1)
]
.
(l) Dx
[
x3 + 1
x2 + 3
(x2 − 2x−1 + 1)
]
.
3. Ache uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = x3−4 no ponto (2, 4).
4. Ache uma equac¸a˜o da reta normal a` curva y =
10
14− x2 no ponto (4,
-5).
5. Ache uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = 3x2 − 4x e paralela a`
reta 2x− y + 3 = 0.
6. Ache uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = x4 − 6x que seja
perpendicular a` reta x− 2y + 6 = 0.
7. Ache uma equac¸a˜o de cada uma das retas normais a` curva y = x3− 4x
que sejam paralelas a` reta x+ 8y − 8 = 0.
8. Ache uma equac¸a˜o de cada uma das retas que passam pelo ponto (4,
13), que sejam tangentes a` curva y = 2x2 − 1.
Apostila Derivada 38
Ca´lculo Diferencial e Integral I
1.7 Derivadas das Func¸o˜es Trigonome´tricas
Teorema 10. a
Dx(senx) = cos x.
Teorema 11. b
Dx(cosx) = − senx.
Teorema 12. c
Dx(tanx) = sec
2 x.
Teorema 13.
Dx(cotanx) = − cosec2 x.
Teorema 14. d
Dx(secx) = sec x tanx.
Teorema 15.
Dx(cosecx) = − cosecx cotanx.
aver prova na pa´gina 173, Livro: “O Ca´lculo com Geometria Anal´ıtica”, 3a edic¸a˜o,
Louis Leithold.
bver prova na pa´gina 174, Livro: “O Ca´lculo com Geometria Anal´ıtica”, 3a edic¸a˜o,
Louis Leithold.
cver prova na pa´gina 175, Livro :“O Ca´lculo com Geometria Anal´ıtica”, 3a edic¸a˜o,
Louis Leithold.
dver prova na pa´gina 175, Livro :“O Ca´lculo com Geometria Anal´ıtica”, 3a edic¸a˜o,
Louis Leithold.
As derivadas das func¸o˜es tangente, cotangente, secante e cossecante sa˜o
obtidas de identidades trigonome´tricas envolvendo o seno e o cosseno, bem
como suas derivadas e teoremas sobre derivac¸a˜o. Para a derivada da tangente
aplicamos as identidades
tanx =
senx
cosx
• secx = 1
cosx
• sen2 x+ cos2 x = 1.
Apostila Derivada 39
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Exemplo 22. Ache f ′(x) se f(x) = x2 senx.
Soluc¸a˜o:
Encontramos a derivada do produto de duas func¸o˜es aplicando o Teorema
7 (derivada do produto) 1.
f ′(x) = x2Dx(senx) +Dx(x2) senx
= x2 cosx+ 2x senx.
�
Exemplo 23. Ache
dy
dx
se y =
senx
1− 2 cosx .
Soluc¸a˜o:
Aplicando o Teorema 8 (derivada de um quociente) 2,
dy
dx
=
(1− 2 cosx)Dx(senx)− senx . Dx(1− 2 cosx)
(1− 2 cosx)2
=
(1− 2 cosx)(cosx)− senx(2 senx)
(1− 2 cosx)2
=
cosx− 2(cos2 x+ sen2 x)
(1− 2 cosx)2
=
cosx− 2
(1− 2 cosx)2 .
�
Exemplo 24. Calcule
d
dx
(tanx secx).
Soluc¸a˜o:
d
dx
(tanx secx) = tanx .
d
dx
(secx) +
d
dx
(tanx) . secx
= tan x(secx tanx) + sec2 x(secx)
= sec x tan2 x+ sec3 x.
�
1ver pa´gina 34.
2ver pa´gina 35.
Apostila Derivada 40
Ca´lculo Diferencial e Integral I
1.8 Exerc´ıcios
1. Prove: Dx(cotanx) = − cosec2 x.
2. Prove: Dx(cosecx) = − cosecx cotanx.
3. Ache a derivada da func¸a˜o dada.
(a) f(x) = 3 senx.
(b) g(x) = sen x+ cosx.
(c) g(x) = tan x+ cotanx.
(d) f(x) = 4 secx− 2 cosecx.
(e) f(t) = 2t cos t.
(f) f(x) = 4x2 cosx.
(g) g(y) = 3 sen y − y cos y.
(h) h(x) = 4 senx cosx.
(i) f(x) = x2 senx+ 2x cosx.
(j) f(x) = x2 cosx− 2x senx− 2 cosx.
(k) h(y) = y3 − y2 cos y + 2y sen y + 2 cos y.
(l) f(x) = 3 secx tanx.
(m) f(t) = sen t tan t.
4. Calcule a derivada indicada.
(a) Dy(cotan y cosec y).
(b) Dx(cosx cotanx).
(c) Dz
(
2 cos z
z + 1
)
.
(d) Dt
(
sen t
t
)
.
(e)
d
dx
(
senx
1− cosx
)
.
Apostila Derivada 41
Ca´lculo Diferencial e Integral I
(f)
d
dx
(
x+ 4
cosx
)
.
(g)
d
dt
(
tan t
cos t− 4
)
.
(h)
d
dy
(
cotan y
1− sen y
)
.
(i)
d
dy
(
1 + sen y
1− sen y
)
.
(j)
d
dx
(
senx− 1
cosx+ 1
)
.
(k) Dx[(x− senx)(x+ cosx)].
(l) Dz[(z
2 + cos z)(2z − sen z)].
(m) Dt
(
2 cosec t− 1
cosec t+ 2
)
.
(n) Dy
(
tan y + 1
tan y − 1
)
.
5. Ache f ′(a) para o valor de a dado.
(a) f(x) = x cosx, a = 0.
(b) f(x) = x senx, a = 3
2
pi.
(c) f(x) =
cosx
x
, a = 1
2
pi.
(d) f(x) =
secx
x2
, a = pi.
(e) f(x) = x2 tanx, a = pi.
(f) f(x) = x2 cosx− senx, a = 0.
(g) f(x) = senx(cosx− 1), a = pi.
(h) f(x) = (cos x+ 1)(x senx− 1), 1
2
pi.
(i) f(x) = x cosx+ x senx, a = 1
4
pi.
(j) f(x) = tan x+ secx, a = 1
6
pi.
(k) f(x) = 2 cotanx− cosecx, a = 2
3
pi.
(l) f(x) =
1
cotanx− 1 , a =
3
4
pi.
6. Ache uma equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o seno no ponto
(a) x = 0; (b) x =
pi
3
; (c) x = pi.
Apostila Derivada 42
Ca´lculo Diferencial e Integral I
7. Ache uma equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o cosseno no
ponto (a) x =
pi
2
; (b) x = −pi
2
; (c) x =
pi
6
.
8. Ache uma equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o tangente no
ponto (a) x = 0; (b) x =
pi
4
; (c) x = −pi
4
.
9. Ache uma equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o secante no
ponto (a) x =
pi
4
; (b) x = −pi
4
; (c) x =
3
4
pi.
Apostila Derivada 43
Ca´lculo Diferencial e Integral I
1.9 A Derivada de uma Func¸a˜o Composta e a Regra
da Cadeia
Para encontrar a derivada de uma func¸a˜o composta usamos um dos impor-
tantes teoremas do Ca´lculo chamado regra da cadeia.
Teorema 16. A Regra da Cadeia a: Se a func¸a˜o g for deriva´vel em x
e a func¸a˜o f for deriva´vel em g(x), enta˜o a func¸a˜o composta f ◦ g sera´
deriva´vel em x, e
(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x))g′(x). (10)
aver demonstrac¸a˜o na pa´gina 187, Livro :“O Ca´lculo com Geometria Anal´ıtica”, 3a
edic¸a˜o, Louis Leithold.
Exemplo 25. Sejam f(x) = x10 e g(x) = 2x3− 5x2 + 4. Calcule (f ◦ g)′(x).
Soluc¸a˜o:
A func¸a˜o composta f ◦ g e´ definida por
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = (2x3 − 5x2 + 4)10.
Para aplicar (10), precisamos calcular f ′(g(x)) e g′(x). Como f(x) = x10,
f ′(x) = 10x9; enta˜o
f ′(g(x)) = 10[g(x)]9
f ′(g(x)) = 10(2x3 − 5x2 + 4)9. (11)
Ale´m disso, como g(x) = 2x3 − 5x2 + 4, enta˜o
g′(x) = 6x2 − 10x. (12)
Logo, de (10), (11), (12), temos
(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x))g′(x) = 10(2x3 − 5x2 + 4)9(6x2 − 10x).
�
Apostila Derivada 44
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Exemplo 26. Sejam f(x) = sen x e g(x) = x2 + 3. Calcule (f ◦ g)′(x).
Soluc¸a˜o: A func¸a˜o composta f ◦ g sera´ definida por
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = sen(x2 + 3).
Calculamos f ′(g(x)) e g′(x). Como f(x) = senx, f ′(x) = cos x. Logo,
f ′(g(x)) = cos[g(x)]
f ′(g(x)) = cos(x2 + 3). (13)
Como g(x) = x2 + 3,
g′(x) = 2x. (14)
Assim, de (10), (13) e (14), obtemos
(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x))g′(x) = [cos(x2 + 3)](2x) = 2x cos(x2 + 3).
�
Exemplo 27. Suponha que h(x) =
(
2
x− 1
)
. Seja f(x) =x5 e g(x) =
2
x− 1. Sabendo que h(x) = f(g(x)), determine h
′(x) utilizando a regra da
cadeia.
Soluc¸a˜o:
Como temos f(x) e g(x), podemos obter f ′(x) = 5x4 e g′(x) = − 2
(x− 1)2 .
De acordo com a regra da cadeia,
h′(x) = f ′(g(x)) . g′(x)
= 5
(
2
x− 1
)4
.
[ −2
(x− 1)2
]
=
−160
(x− 1)6 .
�
Apostila Derivada 45
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Exemplo 28. Encontre f ′(x) pela regra da cadeia, se
f(x) =
1
4x3 + 5x2 − 7x+ 8
Soluc¸a˜o:
Escrevendo f(x) = (4x3 + 5x2 − 7x+ 8)−1 e aplicando a regra da cadeia,
iremos obter
f ′(x) = −1(4x3 + 5x2 − 7x+ 8)−2 . Dx(4x3 + 5x2 − 7x+ 8)
= −1(4x3 + 5x2 − 7x+ 8)−2(12x2 + 10x− 7)
=
−12x2 − 10x+ 7
(4x3 + 5x2 − 7x+ 8)2 .
�
Exemplo 29. Calcule
d
dx
[(
2x+ 1
3x− 1
)4]
.
Soluc¸a˜o:
Da regra da cadeia,
d
dx
[(
2x+ 1
3x− 1
)4]
= 4
(
2x+ 1
3x− 1
)3
.
d
dx
(
2x+ 1
3x− 1
)
= 4
(
2x+ 1
3x− 1
)3 [
(3x− 1)(2)− (2x+ 1)(3)
(3x− 1)2
]
=
4(2x+ 1)3(−5)
(3x− 1)5
= −20(2x+ 1)
3
(3x− 1)5 .
�
Utilizando a notac¸a˜o de Leibniz para a derivada, a regra da cadeia podera´
ser enunciada da seguinte forma:
Apostila Derivada 46
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Se y for uma func¸a˜o de u, definida por y = f(u) e dy
du
existir, e se u for
uma func¸a˜o de x, definida por u = g(x) e du
dx
existir, enta˜o y sera´ uma func¸a˜o
de x e dy
dx
existira´ e sera´ dada por
dy
dx
=
dy
du
.
du
dx
. (15)
Outra maneira de escrever a regra da cadeia e´ fazer a substituic¸a˜o u =
g(x). Enta˜o
(f ◦ g)(x) = f(u), (f ◦ g)′(x) = Dxf(u),
f ′(g(x)) = f ′(u), g′(x) = Dxu,
com essas substituic¸o˜es (10) torna-se,
Dx[f(u)] = f
′(u)Dxu.
Sera´ usada essa forma da regra da cadeia para enunciar fo´rmulas impor-
tantes de derivac¸a˜o. Se u for uma func¸a˜o deriva´vel de x, as derivadas das
func¸o˜es trigonome´tricas podem ser reescritas como segue:
Dx(senu) = cos uDxu,
Dx(tanu) = sec
2 uDxu,
Dx(secu) = secu tanuDxu,
Dx(cosu) = − senuDxu,
Dx(cotanu) = − cosec2 uDxu,
Dx(cosecu) = − cosecu cotanuDxu.
Exemplo 30. Encontre F ′(t) se F (t) = tan(3t2 + 2t).
Soluc¸a˜o:
Aplicando a regra da cadeia,
F ′(t) = sec2(3t2 + 2t) . Dt(3t2 + 2t)
= sec2(3t2 + 2t) . (6t+ 2)
= 2(3t+ 1) sec2(3t2 + 2t).
�
Apostila Derivada 47
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Exemplo 31. Encontre
dy
dx
se y = sen(cosx).
Soluc¸a˜o:
Aplicando a regra da cadeia,
dy
dx
= cos(cosx)[Dx(cosx)]
= cos(cosx)[− senx]
= − senx[cos(cosx)].
�
Exemplo 32. Encontre f ′(x) se f(x) = (3x2 + 2)2(x2 − 5x)3.
Soluc¸a˜o:
Consideremos f como o produto de duas func¸o˜es g e h, onde
g(x) = (3x2 + 2)2, h(x) = (x2 − 5x)3.
Do Teorema 7 para a derivada do produto de duas func¸o˜es,
f ′(x) = g(x)h′(x) + h(x)g′(x).
Encontramos h′(x) e g′(x) pela regra da cadeia.
f ′(x) = (3x2 + 2)2[3(x2 − 5x)2(2x− 5)] + (x2 − 5x)3[2(3x2 + 2)(6x)]
= 3(3x2 + 2)(x2 − 5x)2[(3x2 + 2)(2x− 5) + 4x(x2 − 5x)]
= 3(3x2 + 2)(x2 − 5x)2[6x3 − 15x2 + 4x− 10 + 4x3 − 20x2]
= 3(3x2 + 2)(x2 − 5x)2(10x3 − 35x2 + 4x− 10).
�
Apostila Derivada 48
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Exemplo 33. Se f(x) = sec4 2x2, calcule f ′(x).
Soluc¸a˜o:
Usamos a regra da cadeia duas vezes.
f ′(x) = 4 sec3 2x2[Dx(sec 2x2)]
= 4 sec3 2x2[(sec 2x2 tan 2x2)Dx(2x
2)]
= (4 sec4 2x2 tan 2x2)(4x)
= 16x sec4 2x2 tan 2x2.
�
1.10 Exerc´ıcios
1. Ache a derivada da func¸a˜o dada.
(a) f(x) = (2x+ 1)3.
(b) f(x) = (10− 5x)4.
(c) f(x) = (x2 + 4x− 5)4.
(d) g(r) = (2r4 + 8r2 + 1)5.
(e) f(t) = (2t4 − 7t3 + 2t− 1)2.
(f) H(z) = (z3 − 3z2 + 1)−3.
(g) f(x) = (x2 + 4)−2.
(h) g(x) = sen x2.
(i) f(x) = 4 cos 3x− 3 sen 4x.
(j) G(x) = sec2 x.
(k) h(t) =
1
3
sec3 2t− sec 2t.
(l) f(x) = cos(3x2 + 1).
2. Calcule a derivada indicada.
Apostila Derivada 49
Ca´lculo Diferencial e Integral I
(a)
d
dx
(sec2 x tan2 x).
(b)
d
dt
(2 sen3 t cos2 t).
(c)
d
dt
(cotan4 t− cosec4 t).
(d)
d
dx
[(4x2 + 7)2(2x3 + 1)4].
(e) Du[(3u
2 + 5)3(3u− 1)2].
(f) Dx[(x
2 − 4x−2)2(x2 + 1)−1].
(g) Dx[(2x− 5)−1(4x+ 3)−2].
(h) Dr[(r
2 + 1)3(2r2 + 5r − 3)2].
(i) Dy[(y + 3)
3(5y + 1)2(3y2 − 4)].
(j)
d
dy
[(
y − 7
y + 2
)2]
.
(k)
d
dt
[(
2t2 + 1
3t3 + 1
)2]
.
3. Ache a derivada da func¸a˜o dada.
(a) f(x) =
(
2x− 1
3x2 + x− 2
)3
.
(b) F (x) =
(x2 + 3)3
(5x− 8)2 .
(c) f(z) =
(x2 − 5)3
(z2 + 4)2
.
(d) G(x) =
(4x− 1)3(x2 + 2)4
(3x2 + 5)2
.
(e) g(t) = sen2(3t2 − 1).
(f) f(x) = tan2 x2.
(g) f(x) = (tan2 x− x2)3.
(h) G(x) = (2 senx− 3 cosx)3.
(i) f(y) =
3 sen 2y
cos2 2y + 1
.
(j) g(x) =
cotan2 2x
1 + x2
.
Apostila Derivada 50
Ca´lculo Diferencial e Integral I
(k) F (x) = 4 cos(sen 3x).
(l) f(x) = sen2(cos 2x).
Apostila Derivada 51
Ca´lculo Diferencial e Integral I
1.11 A Derivada da Func¸a˜o Poteˆncia para Expoentes
Racionais
Teorema 17. a Se f for a func¸a˜o poteˆncia definida por f(x) = xr, onde
r e´ qualquer nu´mero racional, enta˜o f sera´ deriva´vel e
f ′(x) = rxr−1.
Para que essa fo´rmula tenha validade para f ′(0), r deve ser tal que xr−1
esteja definida em algum intervalo aberto contendo 0.
aver demonstrac¸a˜o na pa´gina 190, Livro :“O Ca´lculo com Geometria Anal´ıtica”, 3a
edic¸a˜o, Louis Leithold.
Exemplo 34. Encontre f ′(x) se f(x) = 4 3
√
x2.
Soluc¸a˜o:
f(x) = 4x
2
3 .Do Teorema 17,
f ′(x) = 4 .
2
3
(x
2
3
−1)
=
8
3
x−
1
3
=
8
3x
1
3
=
8
3 3
√
x
.
�
O Teorema 18 e´ uma consequeˆncia imediata do Teorema 17 e da regra da
cadeia.
Teorema 18. Se f e g forem func¸o˜es tais que f(x) = [g(x)]r, onde r e´
qualquer nu´mero racional e se g′(x) existir, enta˜o f sera´ deriva´vel e
f ′(x) = r[g(x)]r−1g′(x).
Apostila Derivada 52
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Exemplo 35. Calcule Dx(
√
2x3 − 4x+ 5).
Soluc¸a˜o:
Escrevemos
√
2x3 − 4x+ 5 como (2x3 − 4x+ 5) 12 e aplicamos o Teorema
18.
Dx[(2x
3 − 4x+ 5) 12 ] = 1
2
(2x3 − 4x+ 5)− 12 . Dx(2x3 − 4x+ 5)
=
1
2
(2x3 − 4x+ 5)− 12 (6x2 − 4)
=
3x2 − 2√
2x3 − 4x+ 5 .
�
Exemplo 36. Encontre g′(x) se g(x) =
x3
3
√
3x2 − 1.
Soluc¸a˜o:
A frac¸a˜o dada pode ser escrita como um produto:
g(x) = x3(3x2 − 1)− 13 .
Dos Teoremas 7 e 18,
g′(x) = 3x2(3x2 − 1)− 13 − 1
3
(3x2 − 1)− 43 (6x)(x3)
= x2(3x2 − 1)− 43 [3(3x2 − 1)− 2x2]
=
x2(7x2 − 3)
(3x2 − 1) 43 .
�
Apostila Derivada 53
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Exemplo 37. Encontre f ′(r) se f(r) =
√
4 sen2 r + 9 cos2 r.
Soluc¸a˜o:
f(r) = (4 sen2 r + 9 cos2 r)
1
2 . Aplicamos o Teorema 18.
f ′(r) =
1
2
(4 sen2 r + 9 cos2 r)−
1
2 . Dr(4 sen
2 r + 9 cos2 r)
=
8 sen r . Dr(sen r) + 18 cos r . Dr(cos r)
2
√
4 sen2 r + 9 cos2 r
=
8 sen r . cos r + 18 cos r . (− sen r)
2
√
4 sen2 r + 9 cos2 r
=
−10 sen r cos r
2
√
4 sen2 r + 9 cos2 r
=
−5 sen r cos r√
4 sen2 r + 9 cos2 r
.
�
1.12 Exerc´ıcios
1. Ache a derivada da func¸a˜o dada.
(a) f(x) = 4x
1
2 + 5x−
1
2 .
(b) f(x) = 3x
2
3 − 6x 13 + x− 13 .
(c) g(x) =
√
1 + 4x2.
(d) f(x) = (5− 3x) 23 .
(e) g(x) = 3
√
4x2 − 1.
(f) g(y) =
1√
25− y2 .
(g) h(t) = 2 cos
√
t.
(h) f(x) = 4 sec
√
x.
(i) g(r) = cotan
√
3r.
Apostila Derivada 54
Ca´lculo Diferencial e Integral I
(j) g(x) =
√
3 senx.
(k) f(x) = (sen 3x)−
1
2 .
(l) f(y) =
√
1 + cosec2 y.
(m) f(x) = tan
√
x2 + 1.
(n) f(y) = 3 cos 3
√
2y2.
(o) g(x) =
√
2x− 5
3x+ 1
.
(p) h(t) =
√
t− 1√
t+ 1
.
(q) F (x) = 3
√
2x3 − 5x2 + x.
(r) a(t) =
√
2t+
√
2
t
.
(s) f(x) = (5− x2) 12 (x3 + 1) 14 .
2. Calcule a derivada indicada.
(a)
d
dx
(√
x2 − 1
x
)
.(b)
d
dx
(
√
x2 − 5 3√x2 + 3).
(c)
d
dt
(√
sen t+ 1
1− sen t
)
.
(d)
d
dz
(sen 3
√
z cos 3
√
z).
(e)
d
dy
(tan
√
y sec
√
y).
(f)
d
dx
(√
cosx− 1
senx
)
.
(g) Dx
(√
x− 1
3
√
x+ 1
)
(h) Dx(
√
9 +
√
9− x.
(i) Dy
(
4
√
y3 + 1
y3 − 1
)
.
(j) Dz
(
1√
1 + cos2 2z
)
.
Apostila Derivada 55
Ca´lculo Diferencial e Integral I
(k) Dx
(√
x tan
1
x
)
.
3. Ache uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva y =
√
x2 + 9, no ponto (4,
5).
4. Ache uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = (7x − 6)− 13 que seja
perpendicular a` reta 12x− 7y + 2 = 0.
5. Ache uma equac¸a˜o da reta normal a` curva y = x
√
16 + x2 na origem.
6. Ache uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva y =
√
senx+ cosx no
ponto onde x =
pi
4
.
Apostila Derivada 56
Ca´lculo Diferencial e Integral I
1.13 Derivac¸a˜o Impl´ıcita
Se f = {(x, y)|y = 3x2 + 5x+ 1}, enta˜o a equac¸a˜o
y = 3x2 + 5x+ 1,
define a func¸a˜o f explicitamente. Mas, nem todas as func¸o˜es esta˜o definidas
dessa forma. Por exemplo, se tivermos a equac¸a˜o
x6 − 2x = 3y6 + y5 − y2, (16)
na˜o poderemos resolver y em termos de x. Ale´m disso, podem existir uma ou
mais func¸o˜es f , para as quais se y = f(x), a equac¸a˜o (16) estara´ satisfeita,
isto e´, tais que a equac¸a˜o
x6 − 2x = 3[f(x)]6 + [f(x)]5 − [f(x)]2,
seja va´lida para todos os valores de x no domı´nio de f . Nesse caso, a func¸a˜o
f esta´ definida implicitamente pela equac¸a˜o dada.
Com a hipo´tese de que (16) define y como uma func¸a˜o deriva´vel de x, a
derivada de y em relac¸a˜o a x pode ser encontrada por derivac¸a˜o impl´ıcita.
A equac¸a˜o (16) e´ um tipo especial de equac¸a˜o envolvendo x e y, pois pode
ser escrita de tal forma que todos os termos envolvendo x estejam de um lado
da equac¸a˜o, enquanto que no outro lado ficara˜o todos os termos envolvendo
y. Ela serve como um primeiro exemplo do processo de derivac¸a˜o impl´ıcita.
O lado esquerdo de (16) e´ uma func¸a˜o de x e o lado direito e´ uma func¸a˜o
de y. Seja F a func¸a˜o definida pelo lado esquerdo e seja G a func¸a˜o definida
pelo lado direito. Assim,
F (x) = x6 − 2x e G(y) = 3y6 + y5 − y2,
onde y e´ uma func¸a˜o de x, digamos y = f(x). Dessa forma, (16) pode ser
escrita como
F (x) = G(f(x)).
Essa equac¸a˜o esta´ satisfeita por todos os valores de x no domı´nio de f para
os quais G(f(x)) existe.
Enta˜o, para todos os valores de x para os quais f e´ deriva´vel,
Dx(x
6 − 2x) = Dx(3y6 + y5 − y2). (17)
A derivada do primeiro membro de (17) e´ facilmente encontrada e
Dx(x
6 − 2x) = 6x5 − 2. (18)
Apostila Derivada 57
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Encontramos a derivada do segundo membro de (17) pela regra da cadeia.
Dx(3y
6 + y5 − y2) = 18y5 . dy
dx
+ 5y4 .
dy
dx
− 2y . dy
dx
. (19)
Substituindo os valores de (18) e (19) em (17), obtemos
6x5 − 2 = (18y5 + 5y4 − 2y)dy
dx
dy
dx
=
6x5 − 2
18y5 + 5y4 − 2y .
Observe que ao usarmos a derivac¸a˜o impl´ıcita, obtivemos uma expressa˜o
para dy
dx
que envolve ambas as varia´veis, x e y.
Exemplo 38. Utilize o me´todo da derivac¸a˜o impl´ıcita para encontrar dy
dx
.
Considere a equac¸a˜o
3x4y2 − 7xy3 = 4− 8y, (20)
e suponha que exista pelo menos uma func¸a˜o deriva´vel f , tal que se y = f(x).
Soluc¸a˜o: Derivando-se ambos os membros de (20) (tendo em mente que y
e´ uma func¸a˜o deriva´vel de x) e aplicando os teoremas para derivada de um
produto, a de uma poteˆncia e a regra da cadeia, obtemos
12x3y2 + 3x4
(
2y
dy
dx
)
− 7y3 − 7x
(
3y2
dy
dx
)
= 0− 8dy
dx
dy
dx
(6x4y − 21xy2 + 8) = 7y3 − 12x3y2
dy
dx
=
7y3 − 12x3y2
6x4y − 21xy2 + 8 .
�
Estamos supondo que ambas (16) e (20) definam y como pelo menos
uma func¸a˜o deriva´vel de x. Pode acontecer que uma equac¸a˜o em x e y na˜o
implique a existeˆncia de nenhuma func¸a˜o com valores reais, como e´ o caso
da equac¸a˜o
x2 + y2 + 4 = 0,
que na˜o esta´ satisfeita por nenhum valor real de x e y. Ale´m disso, e´ poss´ıvel
que uma equac¸a˜o em x e y possa estar satisfeita por va´rias func¸o˜es , algu-
mas das quais sa˜o deriva´veis, enquanto que outras na˜o sa˜o. Nas discusso˜es
Apostila Derivada 58
Ca´lculo Diferencial e Integral I
subsequentes, quando afirmarmos que uma equac¸a˜o em x e y define y como
uma func¸a˜o impl´ıcita de x, suporemos que uma ou mais dessas func¸o˜es seja
deriva´vel.
Exemplo 39. Dada (x+ y)2 − (x− y)2 = x4 + y4, ache dy
dx
.
Soluc¸a˜o:
Derivando implicitamente em relac¸a˜o a x, teremos
2(x+ y)
(
1 +
dy
dx
)
− 2(x− y)
(
1− dy
dx
)
= 4x3 + 4y3
dy
dx
2x+ 2y + (2x+ 2y)
dy
dx
− 2x+ 2y + (2x− 2y)dy
dx
= 4x3 + 4y3
dy
dx
dy
dx
(4x− 4y3) = 4x3 − 4y
dy
dx
=
x3 − y
x− y3 .
�
Exemplo 40. Ache uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva x3 + y3 = 9, no
ponto (1, 2).
Soluc¸a˜o:
Vamos derivar implicitamente em relac¸a˜o a x.
3x2 + 3y2
dy
dx
= 0
dy
dx
= −x
2
y2
.
Logo, no ponto (1, 2),
dy
dx
= −1
4
. Uma equac¸a˜o da reta tangente e´, enta˜o,
y − 2 = −1
4
(x− 1)
x+ 4y − 9 = 0.
�
Apostila Derivada 59
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Exemplo 41. Dada x cosx+ y cosx = 1, ache
dy
dx
.
Soluc¸a˜o:
Derivando implicitamente em relac¸a˜o a x, obteremos
1 . cos y + x(− sen y)dy
dx
+
dy
dx
(cosx) + y(− senx) = 0
dy
dx
(cosx− x sen y) = y senx− cos y
dy
dx
=
y senx− cos y
cosx− x sen y .
�
Exemplo 42. Dada a equac¸a˜o x2 + y2 = 9, ache (a)
dy
dx
por derivac¸a˜o
impl´ıcita; (b) as duas func¸o˜es definidas pela equac¸a˜o; (c) a derivada de
cada func¸a˜o obtida na parte (b) por derivac¸a˜o expl´ıcita; (d) comprove que
o resultado obtido na parte (a) esta´ de acordo com os resultados obtidos na
parte (c).
Soluc¸a˜o:
(a) Derivando implicitamente,
2x+ 2y
dy
dx
= 0
dy
dx
= −x
y
.
(b) Resolvendo a equac¸a˜o dada em y,
y =
√
9− x2 e y = −
√
9− x2.
Sejam f1 e f2 as duas func¸o˜es para as quais
f1(x) =
√
9− x2 e f2(x) = −
√
9− x2.
(c) Como f1(x) = (9 − x2) 12 e f2(x) = −(9 − x2) 12 , pela regra da cadeia
obtemos
Apostila Derivada 60
Ca´lculo Diferencial e Integral I
f ′1(x) =
1
2
(9− x2)− 12 (−2x)
= − x√
9− x2 ;
f ′2(x) = −
1
2
(9− x2)− 12 (−2x)
=
x√
9− x2 .
(d) Para y = f1(x) onde, f1(x) =
√
9− x2, segue da parte (c) que
f ′1(x) = −
x√
9− x2
= −x
y
,
o que esta´ de acordo com a parte (a).
Para y = f2(x), onde f2(x) = −
√
9− x2, temos da parte (c)
f ′2(x) =
x√
9− x2
= − x−√9− x2
= −x
y
,
o que tambe´m esta´ de acordo com o resultado obtido na parte (a).
�
1.14 Exerc´ıcios
1. Ache
dy
dx
por derivac¸a˜o impl´ıcita.
(a) x2 + y2 = 16.
(b) 4x2 − 9y2 = 1.
(c) x3 + y3 = 8xy.
Apostila Derivada 61
Ca´lculo Diferencial e Integral I
(d)
1
x
+
1
y
= 1.
(e)
3
x
− 3
y
= 2x.
(f)
√
x+
√
y = 4.
(g) 2x3y + 3xy3 = 5.
(h) x2y2 = x2 + y2.
(i) (2x+ 3)4 = 3y4.
(j) x2 =
x+ 2y
x− 2y .
(k)
x√
y
− 4y = x.
(l) 3
√
x+ 3
√
xy = 4y2.
(m)
√
y + 3
√
y + 4
√
y = x.
(n)
√
xy + 2x =
√
y.
(o)
y√
x− y = 2 + x
2.
(p) x2y3 = x4 − y4.
(q) y = cos(x− y).
(r) x = sen(x+ y).
(s) sec2 x+ cosec2 y = 4.
(t) cotan xy + xy = 0.
(u) x sen y + y cosx = 1.
(v) cos(x+ y) = y senx.
(w) sec2 y + cotan(x− y) = tan2 x.
(x) cosec(x− y) + sec(x+ y) = x.
(y) (x+ y)2 − (x− y)2 = x3 + y3.
(z) y
√
2 + 3x+ x
√
1 + y = x.
2. Considere y como a varia´vel independente e ache
dx
dy
.
(a) x4 + y4 = 12x2y.
(b) y = 2x3 − 5x.
(c) x3y + 2y4 − x4 = 0.
Apostila Derivada 62
Ca´lculo Diferencial e Integral I
(d) y
√
x− x√y = 9.
3. Ache uma equac¸a˜oda reta tangente a` curva 16x4 + y4 = 32 no ponto
(1, 2).
4. Ache uma equac¸a˜o da reta normal a` curva 9x3 − y3 = 1 no ponto (1,
2).
5. Ache uma equac¸a˜o da reta normal a` curva x2 + xy + y2 − 3y = 10 no
ponto (2, 3).
6. Ache uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva 3
√
xy = 14x + y no ponto
(2, -32).
7. Ache a taxa de variac¸a˜o de y em relac¸a˜o a x no ponto (3, 2), se 7y2 −
xy3 = 4.
8. Em que ponto da curva x+
√
xy + y = 1 a reta tangente e´ paralela ao
eixo x?
Apostila Derivada 63
Ca´lculo Diferencial e Integral I
1.15 Derivadas de Ordem Superior
Se a func¸a˜o f for deriva´vel, enta˜o f ′ sera´ chamada a derivada primeira
de f . A`s vezes e´ chamada de func¸a˜o derivada primeira. Se a derivada
de f ′ existir, ela sera´ chamada de derivada segunda de f , ou de func¸a˜o
derivada segunda e podera´ ser denotada por f ′′ (leˆ-se f duas linhas). Da
mesma forma, a derivada terceira de f , ou a func¸a˜o derivada terceira, e´
definida como a derivada de f ′′, se ela existir. A derivada terceira de f e´
denotada por f ′′′ (leˆ-se f treˆs linhas).
A derivada n-e´sima da func¸a˜o f , onde n e´ um nu´mero inteiro positivo
maior do que 1, e´ a derivada primeira da derivada (n− 1)e´sima de f . Deno-
tamos a derivada n-e´sima de f por f (n). Assim, se f (n) for a derivada n-e´sima
da func¸a˜o, podemos escrever f como sendo f (0).
Exemplo 43. Ache todas as derivadas da func¸a˜o f definida por
f(x) = 8x4 + 5x3 − x2 + 7.
Soluc¸a˜o:
f ′(x) = 32x3 + 15x2 − 2x
f ′′(x) = 96x2 + 30x− 2
f ′′′(x) = 192x+ 30
f (4)(x) = 192
f (5)(x) = 0
f (n)(x) = 0, n ≥ 5.
�
A notac¸a˜o de Leibniz para a derivada primeira e´
dy
dx
. Para a derivada
segunda de y em relac¸a˜o a x, a notac¸a˜o de Leibniz e´
d2y
dx2
, porque ela repre-
senta
d
dx
[
d
dx
(y)
]
. O s´ımbolo
dny
dxn
e´ uma notac¸a˜o para a derivada n-e´sima
de y em relac¸a˜o a x.
Outros s´ımbolos para a derivada n-e´sima de f sa˜o
dn
dxn
[f(x)] • Dnx [f(x)].
Apostila Derivada 64
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Exemplo 44. Calcule
d3
dx3
(2 senx+ 3 cosx− x3).
Soluc¸a˜o:
d
dx
(2 senx+ 3 cosx− x3) = 2 cos x− senx− 3x2
d2
dx2
(2 senx+ 3 cosx− x3) = −2 senx− 3 cosx− 6x
d3
dx3
(2 senx+ 3 cosx− x3) = −2 cosx+ 3 senx− 6.
�
Exemplo 45. Dada 4x2 + 9y2 = 36, ache
d2y
dx2
por derivac¸a˜o impl´ıcita.
Soluc¸a˜o:
Derivando implicitamente em relac¸a˜o a x, obtemos
8x+ 18y
dy
dx
= 0
dy
dx
= −4x
9y
. (21)
Para encontrar d
2y
dx2
, calculamos a derivada de um quociente tendo em
mente que y e´ uma func¸a˜o de x. Assim,
d2y
dx2
=
9y(−4)− (−4x) (9 . dy
dx
)
81y2
.
Substituindo o valor de dy
dx
de (21) nessa equac¸a˜o, obtemos
d2y
dx2
=
−36y + (36x)
(
−4x
9y
)
81y2
=
−36y2 − 16x2
81y3
=
−4(9y2 + 4x2)
81y3
.
Apostila Derivada 65
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Como qualquer valor de x e y satisfazendo essa equac¸a˜o deve tambe´m
satisfazer a equac¸a˜o original, podemos substituir 9y2 + 4x2 por 36 e obter
d2y
dx2
=
−4(36)
81y3
= − 16
9y3
.
�
1.16 Exerc´ıcios
1. Ache as derivadas primeira e segunda da func¸a˜o definida pela equac¸a˜o
dada.
(a) f(x) = x5 − 2x3 + x.
(b) f(x) = 7x3 − 8x2.
(c) g(s) = 2s4 − 4s3 + 7s− 1.
(d) G(t) = t3 − t2 + t.
(e) f(x) = x2
√
x− 5x.
(f) g(r) =
√
r +
1√
r
.
(g) f(x) =
√
x2 + 1.
(h) h(y) = 3
√
2y3 + 5.
(i) f(t) = 4 cos t2.
(j) g(t) = 2 sen3 t.
(k) G(x) = cotan2 x.
(l) f(x) =
2−√x
2 +
√
x
.
(m) g(x) =
x2
x2 + 4
.
(n) g(x) = (2x− 3)2(x+ 4)3.
(o) f(x) =
√
senx+ 1.
Apostila Derivada 66
Ca´lculo Diferencial e Integral I
(p) f(x) = sec 2x+ tan 2x.
2. Ache D3x(x
4 − 2x2 + x− 5).
3. Ache D3t (
√
4t+ 1).
4. Ache
d4
dx4
(
3
2x− 1
)
.
5. Ache f (4)(x) se f(x) =
2
x− 1.
6. Ache D3x(2 tan 3x),
7. Ache
d4
dt4
(3 sen2 2t).
8. Ache f (5)(x) se f(x) = cos 2x− sen 2x.
9. Ache
d3u
dv3
se u = v
√
v − 2.
10. Dada x2 + y2 = 1, mostre que
d2y
dx2
= − 1
y3
.
11. Dada x2 + 25y2 = 100, mostre que
d2y
dx2
= − 4
25y3
.
12. Dada x3 + y3 = 1, mostre que
d2y
dx2
= −2x
y5
.
13. Dada x
1
2 + y
1
2 = 2, mostre que
d2y
dx2
=
1
x
3
2
.
14. Dada x4+y4 = a4 (a e´ uma constante), ache
d2y
dx2
na forma mais simples.
15. Dada b2x2−a2y2 = a2b2 (a e b sa˜o constantes), ache d
2y
dx2
na forma mais
simples.
16. Ache a inclinac¸a˜o da reta tangente em cada ponto do gra´fico de y =
x4 + x3 − 3x2, onde a taxa de variac¸a˜o da inclinac¸a˜o e´ zero.
Apostila Derivada 67
Ca´lculo Diferencial e Integral I
1.17 Derivadas das Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas
Nesta sec¸a˜o a diferenciac¸a˜o impl´ıcita sera´ usada para determinar as derivadas
das func¸o˜es trigonome´tricas inversas, supondo que essas func¸o˜es sejam dife-
rencia´veis (de fato, qualquer que seja a func¸a˜o f diferencia´vel um a um, pode
ser provado que sua func¸a˜o inversa, f−1, e´ tambe´m diferencia´vel, exceto onde
suas tangentes sa˜o verticais. Isto e´ plaus´ıvel, pois o gra´fico de uma func¸a˜o
diferencia´vel na˜o possui bicos ou dobras e se o refletimos em torno de y = x,
o gra´fico de sua func¸a˜o inversa tambe´m na˜o tera´ bicos ou dobras).
Lembre-se de que a func¸a˜o inversa da func¸a˜o seno foi dada por:
y = sen−1 x significa que sen y = x e − pi
2
≤ y ≤ pi
2
.
Diferenciando sen y = x implicitamente em relac¸a˜o a x obtemos
cos y
dy
dx
= 1 e
dy
dx
=
1
cos y
.
Agora cos y ≥ 0, uma vez que −pi
2
≤ y ≤ pi
2
, logo:
cos y =
√
1− sen2 y =
√
1− x2.
Portanto
dy
dx
=
1
cos y
=
1√
1− x2 ,
d
dx
(sen−1 x) =
1√
1− x2 .
A fo´rmula para a derivada da func¸a˜o arco tangente e´ deduzida de maneira
similar. Se y = tan−1 x, enta˜o tan y = x. Diferenciando essa u´ltima equac¸a˜o
implicitamente em relac¸a˜o a x temos
sec2 y
dy
dx
= 1
dy
dx
=
1
sec2 y
=
1
1 + tan2 y
=
1
1 + x2
d
dx
(tan−1 x) =
1
1 + x2
.
Apostila Derivada 68
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Exemplo 46. Diferencie (a) y =
1
sen−1 x
e (b) f(x) = x tan−1
√
x.
Soluc¸a˜o:
(a)
dy
dx
=
d
dx
(sen−1 x)−1 = −(sen−1 x)−2 d
dx
(sen−1 x) = − 1
(sen−1 x)2
√
1− x2 ;
(b) f ′(x) = x
1
1 + (
√
x)2
(
1
2
x−
1
2
)
+ tan−1
√
x =
√
x
2(1 + x)
+ tan−1
√
x.
�
As func¸o˜es trigonome´tricas inversas que ocorrem com mais frequeˆncia sa˜o
aquelas dadas anteriormente (arco seno e arco tangente). As derivadas das
quatro func¸o˜es remanescentes esta˜o dadas no quadro abaixo.
d
dx
(sen−1 x) =
1√
1− x2 ,
d
dx
(cos−1 x) = − 1√
1− x2 ,
d
dx
(tan−1 x) =
1
1 + x2
,
d
dx
(cosec−1 x) = − 1
x
√
x2 − 1,
d
dx
(sec−1 x) =
1
x
√
x2 − 1,
d
dx
(cotan−1 x) = − 1
1 + x2
.
1.18 Exerc´ıcios
1. Encontre a derivada da func¸a˜o. Simplifique onde poss´ıvel.
(a) y = tan−1
√
x.
(b) y =
√
tan−1 x.
(c) y = sen−1(2x+ 1).
(d) h(x) =
√
1− x2 sen−1 x.
(e) H(x) = (1 + x2) tan−1 x.
(f) f(x) = tan−1(x−√1 + x2).
(g) h(t) = cotan−1(t) + cotan−1
(
1
t
)
.
Apostila Derivada 69
Ca´lculo Diferencial e Integral I
(h) y = x cos−1 x−√1− x2.
(i) y = cos−1(e2x).
(j) y = tan−1(cos θ).
2. Uma maneira de definir sec−1 x e´ dizer que y = sec−1 x ⇔ sec y = x e
0 ≤ y ≤ pi
2
ou pi ≤ y ≤ 3pi
2
. Mostre que, se essa definic¸a˜o for adotada,
enta˜o
d
dx
(sec−1 x) =
1
x
√
x2 − 1 .
3. Outra maneira de definir sec−1 x e´ dizer que y = sec−1 x⇔ sec y = x e
0 ≤ y ≤ pi, y 6= 0. Mostre que, se essa definic¸a˜o for adotada, enta˜o
d
dx
(sec−1 x) =
1
|x|√x2 − 1 .
Apostila Derivada 70
Ca´lculo Diferencial e IntegralI
1.19 Derivadas de uma Func¸a˜o exponencial
Teorema 19. a Derivada de uma func¸a˜o exponencial: Se a for um
nu´mero positivo qualquer e u for uma func¸a˜o diferencia´vel de x,
Dx(a
u) = au ln aDxu.
aA prova desse teorema pode ser encontrada na pa´gina 464, Livro: “O Ca´lculo com
Geometria Anal´ıtica”, 3a edic¸a˜o, Louis Leithold.
Exemplo 47. Se y = 3x
2
, enta˜o pelo Teorema 19, determine sua derivada.
Soluc¸a˜o:
dy
dx
= 3x
2
(ln 3)(2x)
= 2(ln 3)x3x
2
.
�
Teorema 20. a Derivada de uma func¸a˜o exponencial natural: Se
u for uma func¸a˜o de x, diferencia´vel,
Dx(e
u) = auDxu.
aA prova desse teorema pode ser encontrada na pa´gina 458, Livro: “O Ca´lculo com
Geometria Anal´ıtica”, 3a edic¸a˜o, Louis Leithold.
Exemplo 48. De acordo com o Teorema 20, ache
dy
dx
sabendo que y = e
1
x2 .
Soluc¸a˜o:
dy
dx
= e
1
x2
(
− 2
x3
)
= −2e
1
x2
x3
.
�
Apostila Derivada 71
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Exemplo 49. De acordo com o Teorema 20, ache
dy
dx
sabendo que
y = e2x+lnx.
Soluc¸a˜o: Como e2x+lnx = e2xelnx e elnx = x, enta˜o
y = xe2x.
Logo,
dy
dx
= e2x + 2xe2x.
�
1.20 Exerc´ıcios
1. Ache a derivada da func¸a˜o dada.
(a) f(x) = 35x.
(b) f(t) = 43t
2
.
(c) f(x) = 6−3x.
(d) g(x) = 10x
2−2x.
(e) f(x) = pix.
(f) f(x) = 4sen 2x.
(g) f(z) = 2cosec 3z.
(h) g(x) = 25x34x
2
.
(i) f(x) = (x3 + 3)2−7x.
(j) f(x) = x2ex.
(k) f(x) = ex cosx.
(l) f(x) =
1 + ex
1− ex .
(m) f(x) =
ex
x2 + 1
.
Apostila Derivada 72
Ca´lculo Diferencial e Integral I
(n) f(x) =
ex
x+ 1
.
(o) f(x) = xex cosx.
(p) f(x) = ex senx cosx.
(q) f(x) = cos ex.
(r) f(x) = etanx
2
.
Apostila Derivada 73
Ca´lculo Diferencial e Integral I
1.21 Derivadas das Func¸o˜es Logar´ıtmicas
Nesta sec¸a˜o vamos usar a diferenciac¸a˜o impl´ıcita para calcular as derivadas
das func¸o˜es logar´ıtmicas y = loga x e, em particular, a func¸a˜o logar´ıtmica
natural y = lnx. Assumiremos que as func¸o˜es logar´ıtmicas sa˜o diferencia´veis.
d
dx
(loga x) =
1
x ln a
. (22)
A seguir, a prova de (22): Seja y = loga x. Enta˜o,
ay = x.
Diferenciando essa equac¸a˜o implicitamente em relac¸a˜o a x obtemos,
ay(ln a)
dy
dx
= 1,
e logo,
dy
dx
=
1
ay ln a
=
1
x ln a
.
Se pusermos a = e em (22), enta˜o o fator ln a no lado direito torna-se
ln e = 1 e obtemos a fo´rmula para a derivada da func¸a˜o logar´ıtmica natural
loge x = lnx:
d
dx
(lnx) =
1
x
. (23)
Comparando-se as fo´rmulas (22) e (23), vemos uma das principais razo˜es
para os logaritmos naturais (logaritmos com base e) serem usados em ca´lculo.
A fo´rmula de diferenciac¸a˜o e´ mais simples quando a = e, pois ln e = 1.
Exemplo 50. Diferencie y = ln(x3 + 1).
Soluc¸a˜o:
Para usar a Regra da Cadeia vamos fazer u = x3 + 1. Enta˜o y = lnu;
logo:
dy
dx
=
dy
du
du
dx
=
1
u
du
dx
=
1
x3 + 1
(3x2) =
3x2
x3 + 1
.
�
Em geral, se combinarmos a fo´rmula (23) com a Regra da Cadeia, como
no exemplo anterior, obtemos
d
dx
(lnu) =
1
u
du
dx
ou
d
dx
[ln g(x)] =
g′(x)
g(x)
. (24)
Apostila Derivada 74
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Exemplo 51. Encontre
d
dx
[ln(senx)].
Soluc¸a˜o:
Usando (24), temos
d
dx
[ln(senx)] =
1
senx
d
dx
(senx) =
1
senx
cosx = cotanx.
�
Exemplo 52. Diferencie f(x) =
√
lnx.
Soluc¸a˜o:
Dessa vez o logaritmo e´ a func¸a˜o de dentro; logo, a Regra da Cadeia da´
f ′(x) =
1
2
(lnx)−
1
2
d
dx
(lnx) =
1
2
√
lnx
.
1
x
=
1
2x
√
lnx
.
�
Exemplo 53. Diferencie f(x) = log10(2 + sen x).
Soluc¸a˜o:
Usando a fo´rmula (22) com a = 10, temos
f ′(x) =
d
dx
[log10(2 + sen x)] =
1
(2 + sen x) ln 10
d
dx
(2 + sen x)
=
cosx
(2 + sen x) ln 10
.
�
Apostila Derivada 75
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Exemplo 54. Encontre
d
dx
[
ln
(
x+ 1√
x− 2
)]
.
Soluc¸a˜o:
Se primeiro simplificarmos a func¸a˜o dada usando as propriedades do lo-
garitmo, enta˜o a diferenciac¸a˜o ficara´ mais fa´cil:
d
dx
[
ln
(
x+ 1√
x− 2
)]
=
d
dx
[ln(x+ 1)− 1
2
ln(x− 2)]
=
1
x+ 1
− 1
2
(
1
x− 2
)
.
�
Exemplo 55. Encontre f ′(x) se f(x) = ln |x|.
Soluc¸a˜o:
Uma vez que,
f(x) =
{
lnx se x > 0
ln(−x) se x < 0 ,
sempre que,
f ′(x) =
{
1
x
se x > 0
1
−x(−1) = 1x se x < 0
.
Assim, f ′(x) = 1
x
, para todo x 6= 0. �
O resultado do exemplo anterior vale a pena ser lembrado:
d
dx
ln |x| = 1
x
. (25)
1.22 Diferenciac¸a˜o Logar´ıtmica
Os ca´lculos de derivadas de func¸o˜es complicadas envolvendo produtos, quo-
cientes ou poteˆncias podem muitas vezes ser simplificados tomando-se os
logaritmos. O me´todo usado no exemplo a seguir e´ chamado diferenciac¸a˜o
logar´ıtmica.
Apostila Derivada 76
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Exemplo 56. Diferencie y =
x
3
4
√
x2 + 1
(3x+ 2)5
.
Soluc¸a˜o:
Tome o logaritmo em ambos os lados da equac¸a˜o e use as propriedades
do logaritmo para simplificar:
ln y =
3
4
lnx+
1
2
ln(x2 + 1)− 5 ln(3x+ 2).
Diferenciando implicitamente em relac¸a˜o a x temos
1
y
dy
dx
=
3
4
.
1
x
+
1
2
.
2x
x2 + 1
− 5 . 3
3x+ 2
.
Resolvendo dy
dx
, obtemos
dy
dx
= y
(
3
4x
+
x
x2 + 1
− 15
3x+ 2
)
.
Como temos uma expressa˜o expl´ıcita para y, podemos substitu´ı-lo por
ela e escrever
dy
dx
=
x
3
4
√
x2 + 1
(3x+ 2)5
(
3
4x
+
x
x2 + 1
− 15
3x+ 2
)
.
�
Passos na Diferenciac¸a˜o Logar´ıtmica:
1. Tome o logaritmo natural em ambos os lados de uma equac¸a˜o y =
f(x) e use as propriedades dos logaritmos para simplificar;
2. Diferencie implicitamente em relac¸a˜o a x;
3. Resolva a equac¸a˜o resultante para y′.
Se f(x) < 0 para algum valor de x, enta˜o ln f(x) na˜o esta´ definida, mas
podemos escrever |y| = |f(x)| e usar a equac¸a˜o (25).
Apostila Derivada 77
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Exemplo 57. Diferencie y = x
√
x.
Soluc¸a˜o:
Usando a diferenciac¸a˜o logar´ıtmica, temos
ln y = lnx
√
x =
√
x lnx
y′
y
=
√
x .
1
x
+ (lnx)
1
2
√
x
y′ = y
(
1√
x
+
lnx
2
√
x
)
= x
√
x
(
2 + ln x
2
√
x
)
.
�
1.23 Exerc´ıcios
1. Diferencie a func¸a˜o.
(a) f(x) = ln(x2 + 10).
(b) f(θ) = ln(cos θ).
(c) f(x) = cos(ln x).
(d) f(x) = log2(1− 3x).
(e) f(x) = log10
(
x
x− 1
)
.
(f) f(x) = 5
√
lnx.
(g) f(x) = ln 5
√
x.
(h) f(x) =
√
x lnx.
(i) f(x) =
1 + ln t
1− ln t .
(j) F (t) = ln
(
(2t+ 1)3
(3t− 1)4
)
.
(k) f(x) = ln(x+
√
x2 − 1).
Apostila Derivada 78
Ca´lculo Diferencial e Integral I
(l) g(x) = ln
(
a− x
a+ x
)
.
(m) F (y) = y ln(1 + ey).
(n) f(u) =
lnu
1 + ln(2u)
.
(o) y = ln(x4 sen2 x).
(p) y = |2− x− 5x2|.
(q) G(u) = ln
√
3u+ 2
3u− 2.
(r) y = ln(e−x + xe−x).
(s) y = [ln(1 + ex)]2.
2. Encontre y′ e y′′.
(a) y = x lnx.
(b) y =
lnx
x2
.
(c) y = log10 x.
(d) y = ln(secx+ tanx).
3. Diferencie e encontre o domı´nio de f .
(a) f(x) =
x
1− ln(x− 1).
(b) f(x) =
1
1 + ln x
.
(c) f(x) = x2 ln(1− x2).
(d) f(x) = ln(ln(ln x)).
4. Se f(x) =
x
lnx
, encontre f ′(e).
5. Se f(x) = x2 lnx, encontre f ′(1).
6. Use a diferenciac¸a˜o logar´ıtmica para achar a derivada da func¸a˜o dada.
(a) y = (2x+ 1)5(x4 − 3)6.
(b) y =
√
xex
2
(x2 + 1)10.
(c) y =
sen2 x tan4 x
(x2 + 1)2
.
Apostila Derivada 79
Ca´lculo Diferencial e Integral I
(d) y = 4
√
x2 + 1
x2 − 1.
(e) y = xx.
(f) y = x
1
x .
(g) y = xsenx.
(h) y = (senx)x.